АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

Б. О. МАРГУЛИС

Методика изучения систем линейных уравнений в политехнической средней школе

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук В. Г. Ашкинузе

г. Москва, 1962 г.

Закон об укреплении связи школы с жизнью требует решительно преодолеть имевший место «известный отрыв обучения от жизни». Перестраивая процесс обучения, необходимо исходить не только из потребностей сегодняшнего дня, но и из перспективы развития народного хозяйства и науки в будущем. А в перспективе развития нашей страны, как указано в Программе КПСС, принятой XXII съездом КПСС,—всестороннее развитие автоматики, электронных счетно-решающих и управляющих устройств.

Одним из разделов школьной программы по математике, в котором еще продолжается остро ощущаться отрыв школы от жизни, является раздел о системах линейных уравнений. Линейные системы уже давно играют видную роль в прикладных науках: к ним сводятся многие задачи механики и гидромеханики, расчет электрических цепей и приближенное решение некоторых проблем электромагнитной радиации, задачи, связанные с малыми колебаниями, труднейшие задачи, возникающие в ходе обработки данных геодезической съемки, и ряд других прикладных задач. Еще более возросла роль линейных систем в связи с разработкой численных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений, а также в связи с развитием общей теории линейных пространств с ее приложениями к квантовой механике. Уже в самое последнее время системы линейных уравнений нашли свои дальнейшие приложения как в математике, так и во многих других науках, в том числе и в экономических. Этот новый стимул в развитии линейной алгебры связан, с одной стороны, с возникновением линейного программирования, с другой стороны—с появлением универсальных электронных счетных машин.

Из сказанного следует, что в настоящее время системы линейных уравнений получили широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Будущим специалистам самых разнообразных профессий потребуются обширные сведения о линейных системах. В школьном же курсе математики удельный вес этого раздела математики не только не уве-

личился, но даже несколько уменьшился: из программы полностью исключены системы третьего порядка (порядком системы здесь и в диссертации называется число уравнений или число неизвестных в системе, когда эти два числа совпадают). Такое несоответствие между возросшей ролью линейных систем и их местом в школьном обучении ведет к недооценке этой роли учителями и учащимися.

Недостаточный объем учебного материала, связанного с линейными системами, с которым учащиеся знакомятся в школе, порождает серьезный пробел в математической подготовке учащихся. Этот пробел они будут ощущать как в своей дальнейшей работе по профессии, так и в случае продолжения своего образования.

Диссертант поставил перед собой цель выявить и разработать пути приведения в соответствие с современными требованиями изучение элементов линейной алгебры в курсе математики в общеобразовательной школе с производственным обучением, в том числе в школах с повышенной математической подготовкой.

Ниже будут отмечены конкретные направления в решении указанной проблемы, рассмотренные в диссертации.

1. О состоянии изучения систем линейных уравнений в массовой1 политехнической школе и мерах по его улучшению.

В настоящее время системы линейных уравнений представлены в программах для средней школы следующим образом:

а) в седьмом классе изучаются способы подстановки и алгебраического сложения применительно к системам второго порядка, а также графическая иллюстрация системы того же вида;

б) в девятом классе отводится несколько уроков для «повторения и углубления» тех же вопросов.

Многие задачи, рекомендуемые для использования в школе в ходе изучения систем линейных уравнений, имеют искусственно составленное условие, не связанное с жизнью и не отличаются также дидактической ценностью.

В диссертации (§ 2 гл. I, § I, гл. II, вводная часть гл. VII) дан анализ недостатков состояния изучения линейных систем в массовой политехнической средней школе и намечены пути устранения этих недостатков. Значительная часть диссертации (§§ 2 и 3 гл. II, § 1 или § 3 гл. V; § 1 и часть § 3 гл. VI,

1 Под «массовой» школой понимаются все средние школы с производственным обучением, в которых учащихся готовят к работе по профессиям, не требующим повышенной математической подготовки.

§§ 1 и 2 гл. VII) посвящена разработке методики изложения вопросов, связанных с изучением линейных систем в массовой школе. Отметим основные выводы, к которым пришел диссертант.

а) Учитывая необходимость разгрузки учебных программ от второстепенных вопросов, можно согласиться с такими изменениями, внесенными в разное время в школьные программы: исключение метода сравнения и исключение систем третьего порядка с буквенными коэффициентами. Можно так. же оправдать изъятие из сборников задач ряда задач с устаревшим содержанием. Более того, автор пришел к выводу, что в целях совершенствования программ за счет включения в них более ценных вопросов, также связанных с системами линейных уравнений, можно в массовой школе ограничиться изучением на уроках единственного метода исключения неизвестных—метода подстановки, при условии ознакомления учащихся с методом алгебраического сложения на уроках, отведенных для изучения систем уравнений второй степени.

б) Трудно согласиться с исключением из программ средней школы систем третьего порядка с числовыми коэффициентами. Ведь на системах второго порядка можно усвоить лишь алгорифм исключения неизвестного; наименьшим числом неизвестных, которое позволяет иллюстрировать алгорифм последовательного исключения неизвестных является число три. Поэтому изъятие из программы вопроса о системах третьего порядка равносильно отказу от изучения в школе систем линейных уравнений, как раздела математики (необходимо учесть, что метод последовательного исключения неизвестных пока единственный, понятие о котором дается в школе под видом методов подстановки и алгебраического сложения). А отказываться от изучения линейных систем в условиях сильно возросшей роли их в математике едва ли целесообразно.

в) Средняя школа до сих пор не уделяла должного внимания практическим приемам выполнения массовых однородных вычислений. В частности, в школьном курсе математики не вводится даже понятие о вычислительной схеме, не говоря уже о таких понятиях, как алгорифм для решения задач определенного вида и программа для решения таких задач на счетной машине. А это можно легко сделать, по крайней мере, для простейших задач. Наиболее удобным материалом, хотя и не единственно возможным, при изучении которого целесообразно ввести понятие вычислительной схемы, являются системы линейных уравнений.

В гл. II диссертации приведены разработанные автором учебные вычислительные схемы для решения систем второго и третьего порядков, которые можно рекомендовать для изучения в массовой школе. С этой целью полезно также ознако-

мить учащихся со схемой Горнера и, при наличии возможности, с некоторыми другими вычислительными схемами.

г) В средней школе нарушено единство изложения вопросов исследования систем линейных уравнений и методов их решения (последние изучаются в восьмилетней школе, а первые—в старших классах средней школы). Кроме того, распространено мнение, что исследование системы можно провести только с помощью определителей. Но теории определителей в программе по математике нет. Поэтому либо изложение вопросов исследования ведется не на должном научном уровне, либо введение сверх программы определителей вызывает дополнительную нагрузку для учащихся.

В диссертации (в гл. II для систем простейшего вида, в гл. III для произвольных систем) автор устанавливает, что исследование систем можно и нужно проводить одновременно с их решением уже при первом знакомстве с системами, и что предложенные там вычислительные схемы могут с успехом быть использованы для одновременного решения указанных вопросов.

д) В школьном обучении еще не нашли своего места широко применяемые па практике приближенные методы решения совместных систем, в частности, метод итераций. В гл. V диссертации обосновывается целесообразность изучения (после того, как усвоена бесконечно убывающая геометрическая прогрессия) вопроса о решении систем второго порядка методом итераций (простых или Зейделя) в геометрическом изложении и даются соответствующие методические указания.

е) В настоящее время учащиеся средней школы не получают каких-либо сведений о несовместных системах; наоборот, они выносят из школы убеждение в том, что такие системы, как не имеющие решений, лишены всякого смысла. Тем не менее известно, что на практике несовместные системы встречаются очень часто; к таким системам приводит, например, задача составления эмпирической формулы, то-есть нахождения аналитического выражения для функции, заданной в виде таблицы.

В гл. VI диссертации автор приводит методику приближенного решения несовместных систем простейшим и вполне доступным для средней школы методом средних. В гл. VII даны подробные решения задач, в которых метод средних используется для составления эмпирических формул различного вида (в том числе имеющих вид линейной функции).

ж) В целях лучшей подготовки учащихся к работе и дальнейшему обучению, диссертант в гл. VII рекомендует рассмотреть с учащимися некоторые задачи, приводящие к составлению и решению систем уравнений, подобных которым нет в применяемых в настоящее время сборниках. Разумеет-

ся, что в массовой средней школе следует использовать только простейшие из приведенных там задач. Не считая упомянутых уже задач, связанных с составлением эмпирических формул, следует особо рекомендовать задачи, в решении которых используется метод неопределенных коэффициентов. Этот метод имеет многочисленные приложения в математике, он вполне доступен для учащихся и, тем не менее, не нашел еще своего места в школьном математическом образовании. Целесообразно включить в число упражнений по алгебре некоторые несложные задачи, решаемые методами неопределенных коэффициентов, как например, задачи деления многочленов без выполнения операции деления (сюда входит и деление по схеме Горнера), выделения полного квадрата из многочлена второй степени, разложения многочлена третьей или четвертой степеней на множители с действительными коэффициентами.

Полное или хотя бы частичное внедрение перечисленных рекомендаций в практику работы массовой средней школы содействовало бы повышению качества знаний учащихся, приблизило бы обучение к жизни и, что также весьма важно, повысило бы интерес к изучению математики.

2. О методике изучения систем линейных уравнений в школах с производственным обучением, готовящих вычислителей-программистов.

В связи с бурным развитием электронной счетно-решающей и управляющей техники и с намечаемой программой КПСС автоматизацией производства в нашей стране в скором времени потребуются многочисленные кадры средней квалификации, способные успешно освоить эту сложнейшую технику. В настоящее время общепризнано, что готовить такие кадры лучше всего в средней школе с производственным обучением.

Начиная с 1959 г., стали возникать школы с производственным обучением, готовящие своих учащихся к работе по профессии вычислителей-программистов. В настоящее время имеется уже несколько десятков таких школ, а через 5—7 лет число классов, в которых будут обучаться будущие вычислители-программисты, должно увеличиться до нескольких тысяч. Наряду с улучшением состояния изучения математики в массовой средней школе, правильная, научно-обоснованная по, становка математических курсов в школах указанного профиля (как и в других школах, которые будут готовить учащихся к работе по математическим профессиям) должна занять важное место в работе методистов-математиков.

Вычислителю-программисту необходимо не только прочное усвоение общего курса математики; ему нужны обширные

сведения из разных отделов высшей математики, в частности, он должен хорошо владеть численными методами решения наиболее распространенных математических задач. Одно из первых мест здесь занимают методы линейной алгебры, включающие теорию определителей и элементарные сведения о матрицах.

Подобные вопросы до сих пор не изучались не только в средней школе, но и в пединститутах, вследствие чего они недостаточно известны большинству учителей математики. В прошлом эти вопросы рассматривались только в университетах и в некоторых втузах; изложение этих вопросов имеется только в учебной литературе, предназначенной для указанных учебных заведений.

Совершенно очевидно, что ввиду возрастных особенностей и более низкого уровня общего развития учащихся школ, недопустим механический перенос изложения указанных вопросов из втузовских учебников в среднюю школу (как это кое-где делается). Следует очень внимательно подойти к решению вопроса об объеме изучения необходимых для средней школы разделов математики и тщательно продумать методику изложения каждого из них.

В своей работе диссертант уделяет много внимания решению этой задачи в отношении раздела курса, посвященного элементам линейной алгебры. Помимо вопросов, перечисленных в п. 1, общих для всех школ и имеющих особо важное значение для школ указанного типа, в диссертацию включены целые главы и параграфы, в которых в доступном виде и с методическими указаниями излагаются специальные вопросы линейной алгебры, необходимые будущему вычислителю-программисту.

Ниже указаны темы, важные для специалистов упомянутого профиля, методическая разработка которых дана в диссертации.

В главе III имеется заново продуманное изложение следующих специальных вопросов, необходимость изучения которых в основном предусмотрена программой по численным методам, утвержденной для указанных школ:

а) Особенности одновременного решения нескольких систем с одинаковой матрицей коэффициентов при неизвестных. Изложение иллюстрируется соответствующей вычислительной схемой и примером.

б) О целесообразности способа ведения систематического контроля за правильностью вычислений, выполненных в ходе решения систем. Этот вопрос рассмотрен как для случая решения одной системы, так и для упомянутого выше случая одновременного решения нескольких систем с одинаковой матрицей коэффициентов при неизвестных. Изложение здесь

также сопровождается вычислительными схемами и примерами.

в) О погрешности, возникающей при решении системы линейных уравнений, и мерах по ее уменьшению. В работе обосновывается рекомендация учащимся пользоваться формулой S = 0,1n+1, где n—порядок системы, а S—число запасных верных знаков, с которыми целесообразно выполнять промежуточные вычисления. Рекомендованы также и другие способы уменьшения погрешности решения систем: использование главных элементов (наибольших по абсолютному значению чисел из матрицы коэффициентов при неизвестных) и повторное решение системы с постепенным повышением точности вычислений. В работе приведены вычислительные схемы и примеры.

г) Решение систем высокого порядка с помощью компактной схемы. В обычно используемую компактную схему внесены дополнения, позволяющие сделать более доступным ее изложение.

д) Метод Жордана решения линейных систем. Встречающаяся в литературе вычислительная схема для пользования этим методом изменена с целью достижения ее компактности и большей доступности описания.

е) Подсчет числа всех арифметических операций и числа операций второй ступени (умножения и деления), которые необходимо выполнить для решения системы линейных уравнений произвольного порядка n. Такой подсчет выполнен для вычислительных схем четырех типов. В связи с результатами подсчета, произведенного для различных схем, в работа дана сравнительная характеристика рассмотренных схем.

Кроме перечисленных специальных вопросов, в § 3 этой же главы излагается общая теория метода последовательного исключения, с которой следует знакомить учащихся школ с повышенной подготовкой по математике. Здесь вводится понятие точной и вырожденной треугольной формы системы, дается эффективное доказательство того, что всякую систему с произвольной прямоугольной матрицей коэффициентов при неизвестных можно заменить эквивалентной ей системой треугольной формы, и приводится исчерпывающее исследование системы в зависимости от того, какая система треугольной формы равносильна заданной системе.

При рассмотрении общей теории метода последовательного исключения автор рекомендует подчеркнуть следующее:

1. Метод последовательного исключения одинаково применяется к решению любой системы, независимо от числа уравнений и числа неизвестных в системе.

2. Названный метод не только позволяет найти решение совместной системы, но и установить несовместность или неопределенность заданной системы.

В совокупности эти выводы говорят о возможности исследования любой системы методом последовательного исключения и нахождения решений системы, если таковые существуют.

Диссертант считает этот вывод очень важным, так как до сих пор распространено мнение, что исследовать систему можно только с помощью определителей, а метод последовательного исключения считался неприемлемым для этой цели.

Глава IV диссертации посвящена методике изучения в средней школе с повышенной математической подготовкой теории определителей и основ линейной алгебры. Анализ имеющейся литературы показывает, что по этим вопросам в настоящее время нет учебного пособия, приспособленного для нужд средней школы: в одних учебниках изложение недоступно, другие излагают только определители второго и третьего порядков, что совершенно недостаточно для школ названного типа. Диссертант разработал иной подход к построению теории определителей. Этот подход имеет следующие особенности:

а) Построение теории определителей не нуждается в предварительном изучении теории перестановок.

б) Общепринятое определение понятия определителя, громоздкое и неэффективное, заменяется рекуррентным определением.

В главе IV выделен минимум теоретического материала, необходимого для обоснования вопросов, связанных с полным исследованием систем произвольного вида. Кроме того, в ней уделено внимание развитию практических навыков вычисления определителей и исследования систем.

В целях подготовки учащихся к чтению специальной литературы в этой же главе приводятся элементарные сведения о векторах произвольного измерения n.

В главе V излагаются итерационные методы решения систем линейных уравнений. Приведено геометрическое изложение методов простых итераций и Зейделя применительно к системам второго порядка и подробное аналитическое изложение метода простых итераций применительно к системам третьего порядка. Для обоих методов даны вновь разработанные вычислительные схемы.

Метод наименьших квадратов для решения несовместных систем безусловно необходим будущему вычислителю. Рассмотрению этого метода посвящен § 2 гл. VI. Автором разработана упрощенная методика вывода нормальной системы, соответствующей данной несовместной системе; этот вывод не предполагает знакомства с понятием частной производной и с необходимым условием экстремума функции от нескольких переменных. Здесь же приведена методически обработанная вычислительная схема для нахождения матрицы коэффи-

циентов нормальной системы и проверки правильности выполненных вычислений.

Школам с повышенной математической подготовкой адресована часть задач, помещенных в гл. VII. Сюда относятся задачи на разложение многочлена по степеням данного линейного двучлена, на разложение дробей на элементарные, большинство задач с физическим содержанием (§3), в частности, на нахождение реакций опор в статически определимой и в статически неопределимой системах, задача на расчет электрической цепи и более сложные случаи составления эмпирических формул.

Учитывая ценность соответствующих сведений, автор счел возможным включить в главу задачи, решение которых приводит к нелинейным системам или подготовляет к усвоению общих методов решения нелинейных систем. К таким задачам относится вывод необходимых условий для наличия общего корня у двух уравнений невысокой степени и кратного корня у заданного уравнения, а также вывод удобной формулы численного интегрирования, принадлежащей Чебышеву (вывод дан для пяти абсцисс). Применение формул иллюстрируется числовыми примерами.

3. Системы линейных уравнений в других школах с повышенной математической подготовкой.

В настоящее время поднят и обсуждается в компетентных организациях вопрос о дифференциации объема и содержания учебного материала в старших классах средней школы. Этот вопрос еще окончательно не решен, но он, очевидно, будет решен положительно, так как необходимость такого мероприятия продиктована жизнью, задачами успешного дальнейшего продвижения нашей страны по пути строительства коммунизма.

В значительной части школ будет усилено изучение наук физико-математического цикла. Несомненно, что в программах по математике для указанных школ элементы линейной алгебры будут представлены значительно шире, чем это имеет место в настоящее время в массовой средней школе.

Для получения желательного объема изучения элементов линейной алгебры, общего для всех школ с повышенной математической подготовкой, следует:

а) исключить из диссертации отдельные специальные вопросы, представляющие интерес только для вычислителей-программистов (как, например, вопрос об одновременном решении нескольких систем с одинаковой матрицей коэффициентов при неизвестных, или о подсчете числа арифметических операций для нескольких схем);

б) уменьшить объем изложения других тем (например, за счет части вычислительных схем).

Разумеется, что в зависимости от профессии, к работе по которой будет готовить каждая такая школа с повышенной математической подготовкой, этот объем возможно придется несколько увеличить за счет специальных вопросов. Указывать здесь перечень таких вопросов до создания соответствующих школ было бы преждевременно.

4. Системы линейных уравнений во внеклассной работе учащихся.

Автор придает исключительно большое значение внеклассной работе учащихся по математике, по крайней мере, в настоящее время, когда в стране еще не развернута достаточно широкая сеть школ с повышенной математической подготовкой (создание такой сети потребует несколько лет). В специальном приложении к диссертации (приложение 2) отмечается, что систематическая внеклассная работа по математике мыслится несколько шире, чем это обычно принято: это не только кружковая работа. Не отрицая полезной роли математических кружков там, где они созданы и успешно работают, все же отмечается, что математические кружки не могут быть универсальной формой систематической внеклассной работы, вследствие чего рекомендуется широко пользоваться более совершенными формами проведения такой работы.

В число других форм внеклассной работы названы юношеские математические школы, функционирующие уже во многих крупных городах, детские математические общества, которые кое-где стали появляться.

Автор рекомендует в работе еще одну форму организации систематической внеклассной работы, особенно удобную там, где не могут быть организованы юношеские математические школы. Речь идет о создании при районных отделах народного образования математических семинаров, которыми руководили бы специально выделенные для этой работы опытные учителя и в которые был бы открыт доступ для всех желающих принять участие в их работе. В указанном приложении перечислены организационные принципы, которые могли бы лечь в основу создания семинаров по элементарной математике.

Несомненно, что во внеклассной работе системы линейных уравнений должны занять место, соответствующее их значению в современной жизни.

Если исключить из диссертации вопросы, рекомендованные в п. 1 для классного изучения в массовой школе, то останутся материалы, которые могут служить целям расширения сведений о системах линейных уравнений и их приложениях в порядке индивидуальной или групповой внеклассной работы.

5. Экспериментальная проверка материалов диссертации.

Методические рекомендации диссертации неоднократно подвергались экспериментальной проверке. Описанию педагогических экспериментов посвящено приложение I.

В 1957—1959 гг. диссертант руководил математическим кружком школьников при Смоленском педагогическом институте. На заседаниях кружка были заслушаны доклады по многим вопросам, связанным с системами линейных уравнений. Эти доклады и некоторые задачи, приведенные для иллюстрации приложений систем, были использованы в книге (I).

В средней школе № 28 г. Смоленска на протяжении ряда лет рассматриваются отдельные задачи, решаемые методом неопределенных коэффициентов; в первую очередь это относится к схеме Горнера. В 1961/62 учебном году во внеклассной работе в этой школе были также рассмотрены другие задачи, приводящие к решению систем линейных уравнений.

В течение 1961/62 учебного года был проведен педагогический эксперимент в математическом кружке девятых классов средней школы № 315 г. Москвы. Наряду с темами, связанными с изучаемым в данном классе учебным материалом, на заседаниях кружка рассмотрены многие вопросы, касающиеся систем линейных уравнений (составление и использование вычислительных схем, построение эпирических формул, решение задач методом неопределенных коэффициентов) .

Наиболее широкий масштаб имел педагогический эксперимент, проведенный под руководством автора при участии кандидата педагогических наук С. И. Шварцбурда в двух девятых классах средней школы № 425 г. Москвы, где учащиеся овладевают профессией вычислителей-программистов. Проведенная здесь проверка почти всего материала, помещенного в диссертации, показала, что предлагаемый объем изучения систем линейных уравнений и методика изложения соответствующих вопросов вполне приемлемы. Проведенный по окончании указанного раздела зачет дал такие результаты: из 63 оценок 45 были отличными, 15—хорошими и только 3— удовлетворительными.

Учитывая положительные результаты последнего эксперимента, комиссия Министерства просвещения РСФСР согласилась с соображениями, высказанными автором в отношении объема изучения систем линейных уравнений в школах, готовящих вычислителей-программистов, и внесла соответствующие изменения во второе издание программ по приближенным вычислениям (март 1962 г.).

* * *

Основные результаты, полученные автором по теме диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Б. Е. Маргулис—Системы линейных уравнений, Физматгиз, 1960, стр. 1—95.

2. Б. Е. Маргулис—Решение систем линейных уравнений в средней школе. Издание Смоленского областного института усовершенствования учителей, 1962, стр. 1—48 и 6 таблиц.

3. Б. Е. Маргулис—Краткий вывод формул Крамера, Ученые записки Смоленского педагогического института, вып. 10, 1962, стр. 57—61.

4. Б. Е. Маргулис—Об изложении вопросов численного интегрирования в курсе математического анализа в пединститутах. Ученые записки Смоленского пединститута, вып. 4, 1957, стр. 151—152.

Типогр. доротд. Трансжелдориздата, г. Смоленск.

HК O2083 Тир. 150 Зак. 2322