МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени государственный педагогический институт имени А. И. Герцена

П. С. МАРГОЛИТЕ

ВОПРОСЫ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПРИ ИЗУЧЕНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике преподавания математики)

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор З. А. Скопец

Ленинград 1967

Работа выполнена при кафедре элементарной математики Ярославского государственного педагогического института.

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор РОЗЕНФЕЛЬД Б. А.

Кандидат педагогических наук, доцент АБУГОВА Х. Б.

Внешний отзыв — Ростовский — на — Дону педагогический институт, кафедра геометрии.

Защита диссертации состоится на заседании Ученого Совета факу математики Ленинградского педагогического института Мойка, 48.

Рефера 967 года

Баранова.

Советская средняя общеобразовательная трудовая политехническая школа призвана готовить образованных людей, обладающих прочными знаниями основ наук, формировать у них материалистическое мировоззрение и коммунистическую нравственность, готовить их к жизни, к сознательному выбору профессии. Первоочередной задачей школы на современном этапе, как указано в материалах XXIII съезда КПСС, является повышение уровня общего, политехнического и трудового образования и приведение его в соответствие с современными требованиями развития науки и техники [1, 2].

Общие цели, стоящие перед школой, определяют содержание и задачи математического образования, в том числе и геометрии. В частности, к основным задачам стереометрии можно отнести следующие:

1) сообщение учащимся основных сведений о взаимном расположении геометрических фигур в пространстве;

2) изучение свойств простейших многогранников и круглых тел;

3) знакомство с элементарными методами изображения пространственных фигур на плоскости;

4) дальнейшее изучение метрических соотношений: вычисление площадей поверхностей и объемов геометрических тел;

5) развитие пространственных представлений и пространственного воображения;

6) дальнейшее развитие логического мышления;

7) применение полученных знаний к решению задач вычислительного и конструктивного характера, к выполнению практических работ.

В настоящее время в курсе стереометрии средней школы в определенной мере решаются все указанные выше задачи. Однако преподавание стереометрии страдает еще многими недостатками. Отметим некоторые из них.

Не все учащиеся имеют ясное представление о взаимном расположении геометрических фигур в пространстве. Затруднения вызывают в ряде случаев даже упражнения, связанные с положением прямых и плоскостей. Учащиеся, например, не

всегда понимают, что решение задачи, в которой даны две прямые или прямая и плоскость или две плоскости требует рассмотрения всех возможных случаев взаимного расположения этих объектов. Значительно большие трудности вызывают вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей по отношению к другим геометрическим фигурам: окружности, многогранникам, круглым телам. На вопрос: «Верно ли утверждение, что прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, является касательной к этой окружности?» — учащиеся в большинстве случаев отвечают утвердительно, не замечая, что при постановке вопроса отсутствует указание на принадлежность прямой и окружности к одной плоскости. Многие учащиеся не знают, какие фигуры получаются при пересечении плоскостью цилиндрической и конической поверхностей, особенно последней.

Учащиеся слабо владеют элементарными методами изображения пространственных фигур на плоскости. Анализ знаний учащихся по математике и итоги вступительных экзаменов в Ярославский педагогический институт показывают, что учащиеся допускают многочисленные ошибки при изображении пространственных фигур на плоскости, у многих из них отсутствуют отчетливые и правильные пространственные представления. Некоторые не в состоянии, например, правильно изобразить линейные углы двугранных углов при основании в пирамиде, у которой одна из граней перпендикулярна основанию. Были случаи, когда учащиеся затруднялись найти на чертеже угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и его боковой гранью, когда сечение вписанной в пирамиду сферы изображалось в виде окружности, несмотря на то, что плоскость сечения не совпадала с плоскостью чертежа. На уроках приходилось наблюдать, как при выполнении иллюстрирующих чертежей учащиеся не всегда правильно указывали невидимый контур изображаемых фигур. В многочисленных статьях, авторы которых анализируют знания учащихся по математике на протяжении целого ряда лет, также указывается, что учащиеся очень часто допускают ошибки при выполнении чертежей, что у многих из них еще недостаточно развито пространственное воображение.

Все эти факты свидетельствуют о том, что постановка преподавания стереометрии нуждается в совершенствовании.

При выявлении причин указанных выше недостатков в знаниях учеников потребовалось проанализировать постановку преподавания в средней школе не только курса стереометрии, но и черчения. Вопросы связи курса черчения и элементов стереометрии, изучаемых в восьмилетней школе, рассматри-

ваются в первой главе диссертации „Начала стереометрии в школьном курсе черчения и их связь с изучением методов изображения“.

Задачи изучения элементарных методов изображения фигур на плоскости и развития пространственных представлений могут быть успешно решены, если стереометрия вместе с черчением и рисованием образуют систему предметов, в которой обеспечивается последовательность и преемственность в решении указанных задач. Учитывая время изучения перечисленных предметов в средней школе, такую систему условно можно обозначить: «рисование→черчение→стереометрия». В работе мы не касались постановки преподавания рисования, а сосредоточили внимание на изучении курсов черчения и стереометрии.

Для повышения уровня преподавания курса черчения необходимо обеспечить сознательность в изучении методов изображения фигур. Это может быть достигнуто, если изучение этих методов будет опираться на начала стереометрии. К сожалению, анализ программы восьмилетней школы по геометрии и черчению показывает, что надлежащей связи между курсами черчения и элементами стереометрии, которые в настоящее время изучаются в восьмилетней школе, нет, и проекционное черчение рассматривается без достаточного математического обоснования. Этим в значительной мере определяются формализм в знаниях учащихся, низкий теоретический уровень преподавания черчения. На крупные недостатки преподавания черчения, связанные с искусственным отрывом черчения от изучения стереометрии, указывали также в своих диссертациях А. А. Панкратов [3], В. Е. Евплов [4] и другие авторы.

Таким образом, для успешного решения общих задач, стоящих перед стереометрией и черчением, необходимо коренное улучшение постановки преподавания черчения, необходимо математическое обоснование проекционного черчения. В связи с этим считаем нужным пересмотреть установившийся взгляд на значение и место изучения начал стереометрии в восьмилетней школе и, в первую очередь, вопросов взаимного расположения основных геометрических образов в пространстве.

Рассматривая постановку преподавания элементов стереометрии в восьмилетней школе и курса черчения, мы исходим из следующих положений.

1. В восьмилетней школе следует рассмотреть вопросы стереометрии, имеющие практическое приложение в пределах, указанных в «Объеме знаний» [5].

2. Начала стереометрии призваны дать определенную математическую основу для изучения методов проекционного черчения, что позволит излагать эти методы на более высоком теоретическом уровне.

3. Начала стереометрии должны развивать и совершенствовать пространственные представления учащихся и стать составной частью системы предметов «рисование→черчение→ стереометрия».

4. Широкие практические приложения рассматриваемых в курсе черчения методов изображения диктуют необходимость раннего изучения основ проекционного черчения.

Раннее изучение черчения требует еще более раннего изложения некоторых вопросов стереометрии. Однако это обстоятельство не всегда соответствует способам наиболее рационального построения курса геометрии в школе. Чтобы удовлетворить требованиям изучения стереометрии и черчения в восьмилетней школе, предлагаем из пропедевтического курса стереометрии выделить вопросы, относящиеся к взаимному расположению прямых и плоскостей и основные сведения о простейших геометрических телах, и рассматривать их в курсе черчения по мере введения понятия метода прямоугольного проектирования на две и три взаимно перпендикулярные плоскости. Сведения по стереометрии при этом излагаются в основном индуктивным методом.

Метрические вопросы—вычисление площадей поверхностей и объемов геометрических тел—могут быть рассмотрены отдельной темой в курсе геометрии восьмилетней школы или еще ранее в курсе арифметики. Так как речь идет о пропедевтическом курсе стереометрии, то такое разделение, по нашему мнению, вполне возможно.

Предлагая изучать элементы стереометрии в курсе черчения, мы не подменяем изучение черчения изучением геометрии. Именно потому, что изучение элементов стереометрии подчинено нуждам черчения, предмет черчения не теряет своей самостоятельности, все основные задачи, стоящие перед курсом черчения, остаются. Однако содержание самого предмета требует определенного пересмотра.

С другой стороны, рассмотрение каждого нового положения геометрии пространства диктуется требованиями практики, изучение стереометрических фактов на уроках черчения становится оправданным. Изложение указанного материала предполагается сопровождать решением небольших, в основном, устных упражнений, необходимых для закрепления полученных знаний.

Изучение начал стереометрии в курсе черчения требует решения ряда организационных вопросов обучения.

Во-первых, возникает необходимость в учебном пособии, которое позволило бы осуществить внесенное предложение на практике. В диссертации, в приложении к ней приводится содержание основной части пособия «Введение в проекционное черчение» для учащихся восьмилетней школы. В нем глава «Прямоугольные проекции» изложена таким образом, что материал стереометрии вводится по мере рассмотрения отдельных понятий, относящихся к проекциям. В главе приводятся также основные свойства параллельной проекции. На основании этого материала в дальнейшем рассматривается метод прямоугольных проекций на две и три взаимно перпендикулярные плоскости и метод параллельной аксонометрии. Основные сведения о простейших геометрических телах даются в связи с вопросом изображения их на чертеже в прямоугольных проекциях.

Во-вторых, необходимо пересмотреть учебный план восьмилетней школы и определенным образом перераспределить учебное время между курсами геометрии и черчения.

В-третьих, серьезного решения требует вопрос о преподавателях, которые могли бы осуществить предлагаемое на практике. К ним относятся, в первую очередь, те, кто окончил физико-математические факультеты пединститутов по специальности «математика и черчение». По нашему мнению, указанная специальность отвечает потребностям развития школы Наличие учителей этой специальности, безусловно, способствовало бы значительному улучшению качества изучения черчения в школе. Поэтому было бы желательно восстановить ее в ряде педагогических институтов.

В курсе стереометрии средней школы изучение методов отображения пространства на плоскость продолжается. Изображение пространственных фигур на плоскости является одним из средств познания свойств этих фигур. Учащиеся знакомятся с основными свойствами параллельной проекции и применением ее для построения изображений. Однако наблюдения за изучением стереометрии в школе показывают, что учителя математики почти не пользуются знаниями учащихся, полученными на уроках черчения. До сих пор в объяснительной записке к действующей программе по математике для старших классов и в другой официальной методической литературе преподаватель математики не получает необходимых рекомендаций по связи курсов стереометрии и черчения. Учитель математики в основном пользуется наглядными изображениями в произвольной параллельной проекции. Использо-

вание одного и того же метода изображения во всех случаях способствует созданию шаблонных представлений, которые, как отмечает Н. Ф. Четверухин [6], тормозят развитие пространственного воображения у учащихся. Поэтому считаем, что вопросам изображения пространственных фигур на плоскости в школьном курсе стереометрии должно быть уделена больше внимания. Было бы желательно, чтобы учащиеся свободно владели различными методами изображения и научились быстро определять целесообразность применения того или иного метода при решении конкретных задач.

Во второй главе диссертации „Построение изображений плоских сечений конуса, цилиндра и сферы при изучении стереометрии в средней школе“ мы рассматриваем метод изображения простейших поверхностей вращения — метод ортогональной монопроекции. Ортогональная монопроекция — это частный вид прямоугольной проекции на одну плоскость. Плоскость специально выбирается таким образом, чтобы максимально упростить построения. Метод изображения простейших поверхностей вращения в ортогональной монопроекции использован для построения изображений плоских сечений этих поверхностей.

Сущность изображения простейших поверхностей вращения в ортогональной монопроекции рассмотрена на примере конической поверхности вращения К2 [7]. Выберем в качестве плоскости изображения тс плоскость симметрии К2, перпендикулярную оси вращения, и спроектируем точки К2 ортогонально на плоскость тс. Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между точками поверхности К2 и плоскости тс„ приписываем проекциям ориентацию: положительную, если проектируются точки К2, лежащие по одну сторону тс, отрицательную, если проектируются точки К2, лежащие по другую сторону от тс. Следом конической поверхности К2 на тс является вершина О поверхности. Полем проекций — двойная плоскость тс. Прямая, пересекающая К2 в двух точках A1 и B1, изображается на тс прямой AB, где А и В — проекции точек A1 и B1.

Цилиндрическая поверхность вращения F2 проектируется ортогонально на плоскость симметрии тс этой поверхности, проходящую через ось вращения. Следом F2 на плоскости тс являются две образующие, принадлежащие плоскости тс; полем проекций — двойная область плоскости тс, заключенная между прямыми следа, и точки этих прямых.

Сфера ортогонально проектируется на диаметральную плоскость. Следом сферы на плоскости изображения является окружность большого круга сферы, а полем проекций — двой-

ная область плоскости изображения, заключенная внутри следа, и точки самого следа.

Построение изображения плоского сечения поверхности вращения для каждой поверхности сводится к решению трех основных задач.

Первая основная задача. Построить на плоскости изображения след прямой, заданной проекциями двух ее точек пересечения с поверхностью вращения.

Вторая основная задача (обратная). Построить изображение точки пересечения прямой с поверхностью вращения, если на плоскости проекций прямая задана изображением другой точки пересечения этой прямой с поверхностью вращения и следом на плоскости изображения.

Третья основная задача. Построить изображение сечения поверхности вращения плоскостью, заданной следом на плоскости изображения и проекцией точки поверхности.

Во второй главе решены также некоторые позиционные задачи для рассматриваемых поверхностей вращения, которые могут быть сведены к перечисленным выше основным задачам. Для решения используется материал стереометрии, не выходящий за пределы школьной программы.

Изучение предлагаемого материала дает возможность:

1) рассмотреть более подробно свойства простейших поверхностей вращения, взаимное расположение прямых и плоскостей по отношению к ним;

2) повторить широкий круг вопросов стереометрии;

3) расширить представления учащихся о методах изображения пространственных фигур;

4) развить пространственные представления учащихся.

В связи с особенностями указанного материала, его рекомендуется использовать в числе задач при повторении темы «Круглые тела» или при повторении всего курса стереометрии.

Построение изображений плоских сечений конической поверхности вращения в ортогональной монопроекции, в которой плоскостью изображения является плоскость симметрии конуса, перпендикулярная оси вращения, дает возможность построить элементарную теорию конических сечений. Важные приложения теории конических сечений в механике, физике, астрономии, технике, космонавтике и других областях требуют, чтобы в школе учащиеся получали систематизированные знания об этих кривых. Этому вопросу посвящена третья глава диссертации „Элементы теории конических сечений, основанной на методе их изображения“.

Элементарная теория конических сечений в этой главе изложена в такой последовательности.

1. Устанавливается, что изображение с2 сечения конуса К2 плоскостью а симметрично относительно прямой, проходящей через вершину О конуса перпендикулярно следу s плоскости а на плоскости изображения.

2. Доказываются теоремы.

Теорема 1. Отношение е расстояния каждой точки изображения с2 плоского конического сечения до точки О к расстоянию до следа s плоскости сечения — постоянно.

Теорема 2 (обратная). Если точки некоторой кривой с2 обладают тем свойством, что отношение е расстояния каждой точки этой кривой от заданной точки О и от заданной прямой s (s не проходит через О) постоянно, то точки кривой с2 могут быть построены способом, которым строится изображение плоского сечения конуса К, в ортогональной монопроекции.

3. Доказывается основная теорема 3 о плоских сечениях конуса вращения и их изображениях. Всякое изображение сечения конуса вращения плоскостью в ортогональной монопроекции представляет собой плоское сечение конической поверхности.

На основании этой теоремы можно утверждать, что всякое аффинное свойство изображения конического сечения является в то же время и свойством самого конического сечения. Точка О называется фокусом, прямая s — директрисой, е — эксцентриситетом конического сечения.

4. Далее устанавливаются некоторые общие свойства конических сечений.

Прямая является прямой асимптотического направления для данной точки конического сечения, если отрезок этой прямой, заключенный между точкой и директрисой, равен расстоянию данной точки от фокуса.

Отрезок касательной, заключенный между точкой касания и директрисой, виден из фокуса под прямым углом.

Касательные к коническому сечению в концах фокальной хорды пересекаются на директрисе или параллельны ей, и обратно.

Рассмотренная в главе III пространственная интерпретация конического сечения с заданным фокусом используется для решения некоторых задач на построение конических сечений. В частности:

а) построить коническое сечение по фокусу и трем точкам;

б) построить коническое сечение по фокусу, двум точкам и точке, лежащей на директрисе, соответствующей этому фокусу.

5. Вслед за этим вводится определение эллипса, гиперболы и параболы, рассматриваются свойства симметрии, фокальные и некоторые другие свойства этих кривых, выводятся канонические уравнения.

Элементарную теорию конических сечений, основанную на методе их изображения, можно также изложить несколько иначе:

1) доказать теорему 1 и обратную ей теорему 2;

2) дать изображениям плоских конических сечений определение эллипса, гиперболы, параболы в зависимости от числового значения эксцентриситета;

3) исследовать свойства каждого частного вида изображения, необходимые для вывода канонического уравнения кривой, и вывести эти уравнения;

4) доказать теорему для каждого вида изображения: если изображение плоского конического сечения в ортогональной монопроекции является эллипсом (гиперболой, параболой), то само коническое сечение также является эллипсом (гиперболой, параболой), и обратно.

Таким образом, изучая свойства изображений, мы одновременно изучаем свойства соответствующих конических сечений.

Интерпретация конических сечений как изображений плоских сечений конуса вращения в ортогональной монопроекции дает единообразный подход к изучению конических сечений и их основных свойств; дает способ простого построения конического сечения, заданного фокусом, директрисой и точкой; упрощает решение ряда задач на построение конических сечений.

В дальнейшем имеется возможность сочетать указанный подход к изучению конических сечений с аналитическим методом исследования свойств этих кривых.

Предлагаемый вариант позволяет изложить свойства конических сечений в курсе стереометрии в связи с изучением простейших поверхностей вращения и отображением их на плоскость.

По материалам II и III глав в школе была проведена экспериментальная работа. Цель ее состояла в том, чтобы найти методику изложения на уроках стереометрии основных задач для каждой поверхности вращения и свойств конических сечений.

Экспериментальная работа была проведена в два этапа. На предварительном этапе указанный материал рассматривался на спецсеминарах для студентов и на занятиях 10-го класса Юношеской математической школы при Ярославском пединституте (1963 64 и 1964/65 учебные годы). Эти занятия позволили отработать методику изложения основных вопросов и перейти к заключительному этапу экспериментальной работы— к изложению материала на уроках в школе. Работа велась в 1965/66 учебном году в 11-х классах средних школ № 49 и №64 гор. Ярославля совместно с учителями математики В. П. Муравьевой и Л. А. Лагуненок. Одиннадцатые классы были выбраны потому, что в них оказалось возможным выделить два часа в неделю на проведение экспериментальной работы. Учащимся была роздана рукопись, содержащая соответствующий материал.

Построение изображений плоских сечений конической поверхности было рассмотрено на 5 уроках : 1) отображение точек конической поверхности на плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения; 2) решение задач на построение изображений некоторых плоских сечений конической поверхности; 3) первая основная задача для конуса; 4) вторая основная задача для конуса; 5) построение изображения плоского сечения конической поверхности.

Построение изображения плоского сечения цилиндрической поверхности было изложено в течение 4-х уроков, а построение изображения плоского сечения сферы—на 2-х уроках.

После решения задач на построение изображений плоских сечений конической и цилиндрической поверхностей учащимся была предложена самостоятельная работа на построение этих изображений.

Занятия в школе показали, что предлагаемые вопросы доступны учащимся, вызывают у них интерес, позволяют использовать уроки повторения для расширения кругозора учащихся и углубления их знаний в области методов изображения.

В средней школе № 49 дополнительно к перечисленному материалу были рассмотрены и свойства конических сечений в плане, указанном в III главе. При этом не ставилась задача сравнивать различные возможные пути изложения элементарной теории конических сечений. На изучение свойств конических сечений было отведено 8 уроков. Некоторые теоремы приводились без доказательства. На трех уроках рассматривались основные свойства эллипса: определение, свойства симметрии, соотношение для эксцентриситета, фокаль-

ное свойство эллипса, каноническое уравнение. На двух следующих — свойства гиперболы (свойства, аналогичные свойствам эллипса, были даны без выводов) и, наконец, на последнем уроке—свойства параболы.

В заключение, во внеурочное время было проведено собеседование с учащимися. Собеседование показало, что большинство из них усвоило основные свойства конических сечений и может применить эти свойства к решению несложных задач. Недостаточное понимание рассматриваемых вопросов обнаружили некоторые учащиеся, слабо успевающие по математике.

В результате работы в школе мы пришли к выводу, что для изучения свойств конических сечений в том же объеме необходимо несколько увеличить количество учебных часов либо уменьшить объем материала. В связи с этим считаем более целесообразным элементы теории конических сечений рассматривать на факультативных занятиях.

Дальнейшее изучение отображения поверхностей вращения второго порядка — квадрик вращения—в ортогональной монопроекции показало, что при соответствующем выборе плоскости проекций построение изображений плоских сечений в этой проекции может быть осуществлено элементарными средствами. Этому посвящена IV глава „Построение изображений плоских сечений квадрик вращения“.

Задача о построении изображений плоских сечений решена :

1) для конуса вращения при выборе в качестве плоскости изображения плоскости симметрии или параллельной ей плоскости;

2) для гиперболоидов вращения, если плоскостью изображения является плоскость симметрии, перпендикулярная оси вращения;

3) для параболоида вращения, если плоскостью изображения является касательная плоскость в вершине параболоида.

В IV главе приведено также решение задачи о построении изображений плоских сечений сферы на диаметральной плоскости с использованием элементарной теории полюсов и поляр относительно сферы без применения метода совмещения проектирующей плоскости с плоскостью изображения.

Содержание главы может быть использовано для факультативных, внеклассных занятий со школьниками старших классов и для занятий со студентами.

Таким образом, в диссертации исследованы вопросы изучения конструктивной геометрии в курсах стереометрии и черчения в средней общеобразовательной школе.

Предложен один из возможных вариантов коренного улучшения преподавания черчения, который позволяет излагать методы изображения пространственных фигур на — математической основе.

Указана необходимость применения знаний, полученных на уроках черчения, при изучении стереометрии в старших классах.

Приведен материал, относящийся к построению изображений плоских сечений поверхностей вращения, и его методическая разработка. Этот материал дает возможность при повторении стереометрии, при решении задач шире знакомить учащихся со свойствами простейших поверхностей вращения, с особенностями взаимного расположения прямых и плоскостей по отношению к ним.

В диссертации обоснована необходимость изучения в средней школе элементов теории конических сечений. Указан новый подход к этой теме и даны методические рекомендации по ее изложению.

В заключении диссертации затронут вопрос об использовании методов изображения, изучаемых в школе, для ознакомления учащихся с понятием модели пространства на плоскости. Это открывает перспективы для дальнейших методических исследований.

★ ★ ★

Материалы диссертации были доложены на ежегодных научных конференциях Ярославского государственного педагогического института (1961—1967 гг.), на VI научной конференции математических кафедр пединститутов Поволжья в гор. Астрахани (1965 г.), на заседании сектора методики математики института общего и политехнического обучения Академии педагогических наук РСФСР (1959 г.), на XIV областных педагогических чтениях в гор. Ярославле (1967 г.).

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах.

1. «Элементы стереометрии в VII классе в связи с преподаванием черчения». Ученые записки Ярославского гос. пед. ин-та, вып. XXXIII, Ярославль, 1958, стр. 217-218.

2. «Начала стереометрии в курсе черчения восьмилетней школы». Сб. «Вопросы совершенствования преподавания в средней школе», Ярославль, 1963, стр. 161-169.

3. «Построение изображений плоских сечений сферы». Доклады на научных конференциях, т. 2, вып. 3, Ярославль, 1964, стр. 85-92.

4. Жаров В. А., Марголите П. С, Скопец З. А. Вопросы и задачи по геометрии. «Просвещение», 1965.

5. «Построение изображений плоских сечений конуса вращения». Ученые записки Ярославского гос. пед. ин-та, вып. 57, Геометрия, Ярославль, 1967, стр. 124-134.

6. Построение изображений плоских сечений конуса и цилиндра вращения в школьном курсе стереометрии». Ж. «Математика в школе» (в печати).

7. «Элементы теории конических сечений в школьном курсе стереометрии». Ученые записки Ярославского гос. пед. ин-та, сборник методических статей (в печати).

Цитированная литература

1. Материалы XXIII съезда КПСС. Политиздат, 1966.

2. „О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы“. Постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР, ноябрь, 1966.

3. Панкратов А. А. Связь преподавания геометрии и черчения в средней школе. Диссертация, Калинин, 1953.

4. Евплов В. Е. О взаимной связи в преподавании математики и черчения в средней общеобразовательной трудовой политехнической школе с производственным обучением. Диссертация, Москва, 1963.

5. Объем знаний по математике для восьмилетней школы. .Математика в школе", № 2, 1965, стр. 21-24.

6. Четверухин Н. Ф. Опыт исследования пространственных представлений и пространственного воображения учащихся. .Известия АПН РСФСР", вып 21, М., 1949, стр. 5-50.

7. Скопец 3. А. Изображение конических сечений в ортогональной монопроекции. Сб. „Вопросы совершенствования преподавания в средней школе“, Ярославль, 1963, стр. 176-185.

АК-07336. Типография УООП Яроблисполкома. Заказ 1548. Тираж 150.