МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР

АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. Ленина

На правах рукописи

П. А. МАМИКОНЯН

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПРИЕМ СРАВНЕНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В V—VIII КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

(732—Методика преподавания математики)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандитата педагогических наук

Баку — 1968 г.

Работа выполнена в Азербайджанском государственном научно-исследовательском институте педагогики Официальные оппоненты:

1. Член-корр. АН Азерб. ССР, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки Азерб. ССР, профессор А. И. Гусейнов.

2. Кандидат педагогических наук, доцент С. А. Хачиян.

Ведущее учреждение—Тбилисский педагогический институт им. А. С. Пушкина.

Автореферат разослан «_» 1968 г.

Защита диссертации состоится 23 декабря 1968 г. на заседании специализированного совета по присуждению ученых степеней по специальностям: «Физика», «Математика», «Методика преподавании физики и математики» Азербайджанского государственного педагогического института им. В. И. Ленина (ул. Узеира Гаджибекова, 34, малый зал).

С диссертацией можно ознокомиться в библиотеке института.

Ученый секретарь Совета:

ВСЕ ПОЗНАЕТСЯ СРАВНЕНИЕМ:

«Если Вы хотите, чтобы какой-нибудь предмет внешней природы был понят ясно, то отличайте его от самых сходных с ним предметов и находите в нем сходство е самыми отдаленными от него предметами, тогда только Вы выясните себе все существенные признаки предмета, а это значит понять предмет»1.

1 К. Д. Ушинский, избранные сочинения, том II, 1939 г. стр. 436.

Решения XXIII съезда КПСС и постановление ЦК КПСС и Совета Министров СССР «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы» от 10/ХI— 1966 г. поставили большие и сложные задачи перед советской школой и всеми работниками народного образования.

Эти задачи требуют решения таких важнейших педагогических проблем, как повышение интереса всех учащихся к знаниям и предупреждение второгодническтва, умелое применение новых программ и глубокое изучение учебно-методической литературы и т. д.

Основными путями решения этих проблем являются: совершенствование содержания образования и воспитания подрастающего поколения в соответствии с задачами коммунистического строительства, улучшение методики обучения, изыскание наиболее эффективных методов и приемов в педагогической работе и т. д.

Одним из эффективных приемов в преподавании школьных дисциплин, в том числе и математики, является дидактический прием сравнения.

Передовой опыт преподавания математики показывает, что в результате сравнения объектов еще лучше выясняются их особенности, составляются осознанные, ясные и точные представления и понятия о них.

Прием сравнения в преподавании математики способствует проблемному изложению учебного материала, так как при этом требуются словесные описания, объяснения, доказательства, искания истин путем установления сходства и различия между математическими понятиями, что значительно активизирует словесно-мыслительную деятельность учащихся.

Применение приема сравнения в преподавании математики оказывает благоприятное (влияние на развитие у учащихся умения анализировать и обобщать, сопоставлять и противопоставлять, в результате чего еще больше развиваются самостоятельные познавательные способности учащихся, углубляются их знания, формируются приемы мышления, повышается активность в процессе решения примеров и задач.

Несмотря на бесспорную важность сравнения и требования, содержащиеся в соответствующих научно-методических статьях применять его в обучении, все же оно еще не достаточно используется в преподавании математики в обшеобра-

зовательной школе, а также и в некоторых школьных учебниках.

Это и явилось основной причиной выбора в качестве объекта нашего исследования дидактического приема сравнения в преподавании математики в V—VIII классах.

Основные задачи нашего исследования:

1. Показать сущность приема сравнения и положительное влияние его на повышение математических знаний учащихся.

2. На основании анализа и обобщения собранных материалов, результатов наблюдения уроков многих учителей математики, проведенных экспериментов, письменных контрольных работ и устных опросов, изучения научно-методической литературы, конкретно показать роль приема сравнения в преподавании математики. Изучить методы использования приема сравнения в учебном процессе и указать когда, где и как сравнивать различные математические понятия.

3. Учитывая уровень знаний, возрастные особенности учащихся, а также содержание программы, глубоко изучить опыт применения приема сравнения в преподавании математики в V—VIII классах, придти к научно-обоснованным выводам и дать соответствующие рекомендации по применению этого приема.

Методологической основой исследования явилось изучение трудов классиков марксизма-ленинизма, идей передовых учителей прошлого и настоящего, постановлений ЦК КПСС Совета Министров СССР по вопросам народного образования.

В работе использованы мысли К. Д. Ушинского, Я- А. Коменского, И. Г. Песталоцци и других классиков педагогики, а также работы П. М. Эрдниева, Н. М. Кязимова и др. о необходимости применения приема сравнения в процессе преподавания всех учебных предметов, в том числе и математики.

Нами были использованы следующие формы и методы исследования: изучение руководящих материалов, литературы по теме; наблюдение и обобщение опыта работы передовых учителей математики школ Кировабада, Ханлара, ряда сельских школ Дашкесанского района Азерб. ССР и др.; изучение опыта работы передовых учителей нашей страны по их выступлениям и периодической печати.

Наблюдениям и экспериментам были посвящены более 10 лет; кроме того диссертант вел 37 лет учебно-методическую работу в педучилище и в общеобразовательных школах Баку, Кировабада и Дашкесанского района.

Все это явилось основанием для соответствующих заключений и выводов.

Научно-методические исследования проводились в школах № 1, 11, 14, 28, 36 г. Кировабада, в школе № 1 г. Ханлара, в средней школе с. Заглик Дашкесанского района и др.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и библиографии.

В введении отражены диалектико-материалистические основы приема сравнения, его сущность и актуальность, необходимость применения приема сравнения в преподавании, его роль в активизации мыслительной деятельности, в развитии познавательной и умственной способности учащихся. Помимо этого дается обоснование темы, указываются цели и задачи исследования, методика применения приема сравнения.

В первой главе «Передовые идеи прошлого о роли сравнения в познавательной деятельности человека и анализ состояния исследуемого вопроса в школьной практике, в программах, учебниках и периодической литературе», указывается, что К. Маркс, Ф. Энгельс, В. И. Ленин высоко оценивали роль сравнения в развитии науки и познавательной деятельности человека.

Передовые педагоги прошлого Я. А. Коменский, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинский, И. М. Сеченов, Я. С. Гогебошвили, В. П. Вахтеров и др. также придавали большое значение приему сравнения в обучении любому учебному предмету.

Далее в главе анализируется состояние исследуемого вопроса в школьной практике, в программах, учебниках и в периодической литературе.

Школьная практика показывает, что многие учащиеся V—VIII кл. не успевают по математике. Одной из причин этого является, как показали исследования, поверхностное изучение учащимися программного материала, восприятие его без соответствующей мыслительной обработки, анализа, обобщения, сравнения и закрепления.

Наше научно-практическое исследование по применению приема сравнения в преподавании математики привело к убеждению, что в активизации учебного процесса и в предупреждении формального изучения математики значительная роль принадлежит дидактическому приему сравнения. Нами показано, что в процессе установления сходства и различия отдельных математических понятий, мысли учащихся находятся в постоянном искании нового, в творческом воображении и осознанном понимании изученного материала.

Но, к сожалению, многие учителя математики, особенно малоопытные, часто затрудняются применять прием сравнения, так как в методической литературе этот вопрос разра-

ботан недостаточно. Некоторые же учителя подвергают сомнению необходимость применения этого приема.

В программе по математике V—VIII кл. средней общеобразовательной школы уделяется должное внимание приему сравнения.

В ней требуется сравнивать и устанавливать сходства и различия между ранее пройденным и новым материалом, излагать новое в тесной связи с пройденным и т. д.

С точки зрения исследуемой темы анализируются учебники и задачники по математике. Отмечается, что при освещении различных разделов математики мало обращается внимания на вопросы сравнительного характера, на выявление сходства и различия отдельных понятий. Авторы учебников в лучшем случае ссылаются на сравнение различных чисел, выражений, отрезков и углов по их величине, а иногда и сравнивают два понятия для того, чтобы сделать соответствующие выводы.

Рекомендуется: во-первых, при изложении новой темы вместе с применением аналогии, установить также сходство и различие старого и нового материалов, если они вытекают из их содержания, во-вторых, показать сходство и различие только в рамках одной темы, раздела, главы и т. д. и в конце каждой главы наряду с другими, предложить и вопросы сравнительного характера.

В данной главе приводится свыше сорока вопросов указанного типа.

Изученную нами методическую литературу, посвященную исследуемой теме, мы, в основном, разделили на три группы:

1. Специальные книги-методические пособия для учителей средней школы, посвященные приему сравнения.

2. Специальные статьи о необходимости применения приема сравнения в обучении.

3. Литература, в которой авторы прямо или косвенно ссылаются на большую роль сравнения и требуют применять его при обучении любому предмету, ь том числе и математике

Анализ учебно-методической литературы показывает, что:

1. Классики марксизма-ленинизма указывали на положительную роль сравнения в познавательной деятельности человека.

2. Дореволюционные прогрессивные педагоги и мыслители считали сравнение одним из дидактических приемов и указывали пути применения его в учебном процессе.

3. Передовые советские педагоги и ученые экспериментально доказывали, что сравнение является важным дидак-

тическим приемом и требовали применять его в обучении подрастающего поколения.

4 Несмотря на необходимость применения приема сравнения в преподавании любого предмета, в том числе и математики, все же пока многие учителя, особенно молодые, недостаточно применяют его в своей практической работе.

Вторая глава «Прием сравнения в преподавании арифметики в V—VI классах».

В двадцати параграфах этой главы конкретно показывается применение приема сравнения в преподавании арифметики. Отмечаются различия: в записи чисел в обычном виде и в виде суммы разрядных единиц, разряда и класса.

Указывается также различие делимости суммы и произведения на какое-нибудь число.

Затем сравниваются признаки делимости чисел на 2, 5 и 10; на 4, 25, 50 и 100; на 3 и 9, простые и составные числа, НОД и НОК чисел и т. д.

При изучении дробей указывается, что в отличие от натуральных чисел, дроби пишутся парами чисел, разделенных дробной чертой. Далее рассматриваются сходство и различие членов дроби. При сравнении дробей по величине, отмечается, что одна дробь больше другой, если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй больше произведения знаменателя первой дроби на числитель второй. Сравниваются также сложение и вычитание целых и дробных чисел, умножение и деление дробей и т. д.

На конкретных примерах указываются сходство и различие умножения и деления целых и дробных чисел.

Например, на вопрос, чем отличаются 4 . ~у- и 4: —, следует ответ:

1) 4* —— показывает нахождение величины дроби данного числа, а 4: —, нахождение числа по данной величине его дроби.

2) Существует также различие и в правилах действий: в первом, целое умножают на числитель и произведение делят на знаменатель, а во втором, целое умножают на знаменатель и произведение делят на числитель.

3) Для данных примеров первый результат меньше второго, а когда целое число умножают и делят на неправильную дробь, то первый результат бывает больше второго.

Из конкретных примеров делаются выводы:

а) Произведение натуральных чисел есть число натуральное, а дробных могут быть дробными, смешанными и целыми.

б) Произведение натуральных чисел отличных от единицы всегда больше каждого сомножителя; произведение неправильных дробей больше, а правильных меньше каждого сомножителя.

в) Произведение любого натурального числа, кроме единицы и правильной дроби всегда меньше, а неправильной дроби, неравной единице, всегда больше множимого; произведение правильной и неправильной дробей, неравной единице, больше правильной дроби и меньше неправильной.

г) Произведение натуральных чисел, отличных от единицы, всегда больше единицы; произведение дробных чисел может быть меньшим, равным, большим единицы.

д) Деление не всегда выполнимо во множестве натуральных чисел, а во множестве дробных и целых чисел деление всегда выполнимо, кроме деления на нуль.

е) Частное от деления чисел отличных от единицы всегда меньше делимого, а дробных могут быть меньше и болше делимого. При этом, если делитель правильная дробь, то в частном получится число, больше делимого, если же делитель неправильная дробь неравной единице, то в частном получится число меньше делимого.

ж) частное от деления двух натуральных чисел и частное от деления двух дробных могут быть дробными, смешанными или целыми числами.

Аналогичными способами сравниваются в работе и некоторые другие свойства четырех арифметических действий чад натуральными и дробными числами.

В главе сравниваются также десятичные дроби с обыкновенными.

Берется два ряда дробей:

и предлагается учащимся ответить: в чем различия между дробями первого и второго рядов? (дроби первого ряда имеют всевозможные знаменатели, а второго-единица с последующими нулями). После этого учитель разъясняет, что дроби второго ряда называются десятичными и пишутся без зна-

менателей, то есть записываются в виде позиционной десятичной системы счисления 0,1 0,13; 0,27; 0,0319 и т.д.

Благодаря такой формы записи, правила действия над десятичными дробями сходятся с правилами действий над целыми числами

Затем указывается, что все целые и дробные числа можно представить в виде дроби —, где р и q любые взаимно простые натуральные числа. При q=1, — целое, при q = 10n * --десятичная дробь, а при q-^10n —обыкновенная дробь.

Приводится также ряд сходств и различий десятичных и обыкновенных дробей, целых чисел и т. д. Указаны некоторые сходства и различия между четырьмя арифметическими действиями над целыми и десятичными дробями.

При изучении темы «Обращение обыкновенной дроби в десятичную», сопоставляя следующие два ряда дробей:

отмечается, что знаменатели дробей первого ряда содержат только множители 2 и 5, а второго, кроме 2 и 5—и другие множители.

Поэтому дроби первого ряда обращаются в конечные, а второго-в бесконечные десятичные дроби. Рассматривая дроби:

1) 0,5; 0,75; 0,625 и т. д.

2) 0,333; 0,666...., 0,8333 .... и т. д.

указывается, что дроби первого ряда конечные и получены от дробей -^-, — и —, а дроби второго ряда бесконечные и получены от обыкновенных дробей — , — - и -, которые называются периодическими, так как в них одна или несколько цифр повторяются в одной и той же последовательности.

При изучении способов округления отмечается, что различие между погрешностями точных и приближенных чисел

состоит в том, что погрешность округления точного числа остается без изменения для данной точности округления, а погрешность приближенного числа увеличивается за счет погрешности самого приближенного числа.

Округление с недостатком отличается от округления с избытком тем, что при округлении с недостатком последняя сохраняемая цифра не изменяется, а при округлении с избытком, увеличивается на единицу.

Погрешность округления с недостатком не больше единицы последнего сохраняемого разряда (равна единице, когда отбрасывается ряд десятков), а с избытком, всегда меньше единицы последнего сохраняемого разряда.

Существует и округление с поправкой, которое отличается от предыдущих двух тем, что абсолютная погрешность составляет не больше половины единицы последнего сохраняемого разряда. Кроме того, при этом способе не предлагаются особые условия округления (с недостатком или с избытком), а смотрят на цифру первого слева отбрасываемого разряда.

Далее дается понятие относительной погрешности и указывается её отличия от абсолютной погрешности приближенных чисел.

Затем на конкретных примерах, путем сопоставления и противопоставления сложения, вычитания и умножения точных и приближенных чисел, устанавливаются некоторые сходства и различия.

При изучении темы: «Проценты» указывается, что так как проценты сотые доли числа, а дроби любые доли единицы, то нахождение процентов данного числа, числа по данным его процентам и процентного отношения чисел сходны с нахождением дроби данного числа, числа по данной его дроби и отношения двух чисел. Поэтому при решении задач па процентное вычисление учащиеся опираются на эти сходства.

При разборе темы: «Сравнение числовых значений величин» сопоставляется три способа сравнения:

Первым способом узнается на сколько одно значение больше другого (N — M).

Вторым—во сколько раз одно значение больше другого или какую часть составляет меньшее (N.M).

Третьим—на сколько процентов одно значение больше другого

При изучении темы: «Пропорции» приводится ряд примеров на пропорции с различными членами и указывается, что все они обладают одним и тем же основным свойством. Для

каждой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних её членов.

При изучении темы «Прямо и обратно пропорциональные величины и их сравнение» приводится ряд примеров и таблиц, сравниваются соотвествующие числовые значения и установниваются следующее:

1) Для прямо пропорциональной зависимости с увеличением (уменьшением) значения одной величины в несколько раз во столько же раз увеличивается (уменьшается) значение другой величины, а для обратно пропорциональной зависимости с увеличением (уменьшением) значения одной величины в несколько раз значение другой уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

2) Свойство прямо пропорциональной зависимости—отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно отношению двух соответствующих значений другой' величины. Свойство обратно пропорциональной зависимости—отношение произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

3) Прямо пропорциональная зависимость выражается формулой у = кх, а обратно пропорциональная зависимость—ху = к.

Третья глава «Приём сравнения в преподавании алгебры в VI—VIII классах» состоит из 15 параграфов.

При ознакомлении с алгебраическими выражениями отмечается, что коэффициент, (дробный или целый) получается от сложения равных слагаемых, а показатель степени—от умножения одинаковых сомножителей и приводятся соответствующие примеры.

Далее указывается, что алгебраические выражения не заключаются в скобки, если требуется над результатом действия одной ступени выполнять действия предыдущих ступеней.

Например,

Алгебраическое выражение заключается в скобки, если требуется над результатом действия какой-либо ступени выполнять действия высшей ступени.

Например,

Иногда заключаются в скобки выражения, где требуется над результатом действия какой-либо ступени производить действия той же ступени.

Например; m—(а+b), m:(а-в, (x2)3 и т. д. Сопоставляются также арифметические и алгебраические выражения. Приводятся выражения:

и указывается, что в первом выражении даны определенные числа и требуется выполнить над ними соответствующие действия; во втором выражении числовые данные обозначены буквами, над которыми указаны только действия.

В отличие от арифметического выражения, которое может иметь только одно числовое значение, алгебраическое выражение может получить сколько угодно значений зависимости от числовых значений, входящих в него букв.

На конкретных примерах показаны также различия между допустимыми и недопустимыми значениями букв, входящих в алгебраические выражения.

В теме «Одночлены и многочлены» показаны различные виды рациональных алгебраических выражений—целые и дробные, одночлены и многочлены и т. д. Указывается, что целые не содержат деления на буквенные выражения, ? дробные—содержат.

Одночлен—алгебраическое выражение, содержащее только действия умножение и возведение в степень, а многочлен—алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночленом можно считать многочлен с одним членом.

Разобраны вопросы типа:

1. Какая разница между алгебраической суммой и многочленом?

2. Между тождественными и нетождественными выражениями? и др.

При сравнении одночленов 2ху и 5ху, — 9а2в и 9а2в, 2х2у и т. д. отмечается, что подобны одночлены первой и второй пары, а неподобны одночлены третьей и четвертой пары.

Различия между ними—подобные одночлены могут отличаться только коэффициентами, а неподобные, как коэффициентами, так и буквенными выражениями,

Сопоставляя сложение и вычитание одночленов и многочленов:

учащиеся приходят к выводу, что сумма подобных членов является одночленом, а неподобных, многочленом.

Рассматривая одночлены 4а- и —4а2 отмечаем, что они отличаются только знаками. Сумма таких членов равна нулю и они называются противоположными одночленами.

Сравнивая многочлены: x—y+z — t и —х+у—z +t подчеркиваем, что они тоже противоположные, так как их сумма равна нулю.

Значит, два многочлена, члены которых попарно противоположны, называются противоположными.

При изучены темы: «Сокращенное умножение» рассматривается ряд сравнительных вопросов.

Например: Какая разница между выражениями «квадрат суммы» и «сумма квардратов»? «квадрат разности» и «разность квадратов»? «куб суммы» и «сумма кубов»? и т. д.

Рассматриваются деление одночленов и многочленов примерно в таком порядке:

Сопоставляя их, учащиеся приходят к выводу, что в том и в другом случае при умножении частного на делитель получается делимое.

При делении многочлена на одночлен рассматривается: такое деление многозначного числа на однозначное.

Например:

Из подобных примеров видно, что закон распределительности деления суммы натуральных чисел на число применяется и при делении многочлена на одночлен.

Различие—делимое первого примера можно представить в виде суммы разрядных единиц, а второго дано в виде алгебраической суммы.

В теме: «Разложение многочленов на множители» сравниваются три способа: вынесение за скобку, группировка и применение формул сокращенного умножения.

Отмечается, что для лучшей ориентировки в выборе способов разложения необходимо отличать заданные многочлены по числу членов, по общим множителям одночлен ли он или многочлен, по знакам общего множителя или других членов и т. д.

При разложении по формулам умножения следует учесть, что формулы разности квадратов, суммы и разности кубов, содержат по два члена. Квадраты суммы и разности содержат по три члена, а кубы суммы и разности содержат по четыре члена. При изучении темы: «Алгебраические дроби» рассматриваются:

и подчеркивается, что дроби первого ряда называются арифметическими, а второго—алгебраическими. Тут же дается определения этих дробей.

Их различие—члены дробей первого ряда могут быть любыми натуральными числами, а второго—любыми рациональными выражениями отличными от нуля в знаменателе.

Их сходство- как члены арифметической дроби можно сократить на их общий делитель, так и члены алгебраической дроби можно сократить.

Далее, при изучении сложения и вычитания дробей указывается, что следует отличать сложение и вычитание во-первых, алгебраических дробей от арифетических, во-вторых, дробей с одинаковыми одночленными знаменателями и числителями, с одинаковыми одночленными знаменателями и многочленными числителями, с разными одночленными и многочленными знаменателями и т. д.

При изучении уравнения первой степени с одним неизвестным рассматриваются следующие сравнительные вопросы:

1. Чем отличается допустимое значение от недопустимого значения неизвестного? (При допустимом значении неизвестного получаются верные и неверные равенства, а при недопустимом—равенства теряют смысл).

2. Чем отличается корень от других допустимых значениях неизвестного? (Корень удовлетворяет уравнению, а другие значения не удовлетворяют).

3. Чем отличается верное от неверного равенства? (При верном равенстве числовые значения обеих частей равны, при неверном—не равны).

Отмечают, что уравнение ах+в=0 может иметь одно решение при а^О, множество решений при а = 0 и в=0 и не иметь ни одного решения при а = 0 и в≠0.

Далее указывается, что тождество тоже является уравнением, имеющим бесконечное множество решений и поэтому можно считать его частным случаем уравнения. Например, преобразуя уравнение 3х+7 = 2(х+4)+(x— 1) получим 0-х =х, которому тождественно удовлетворяет любое допустимое значение неизвестного.

Значит, уравнение 3x+7 = 2(x+4) + (x+1)— тождество.

Указываются следующие различия между тождеством и уравнением:1) Каждое уравнение первой степени приводится к нормальному виду ах+b=0, а тождество к виду 0=0 (запись 0-x=0 искусственная); 2) Два тождества обладают свойством транзитивности, а два уровнения, нет. Например, из тождества в и в=с следует, что а = с, а из уравнения х=1 и х2=1 не следует, что х=х2.

При решении уравнений первой степени с одним неизвестным на основе теорем о равносильности уравнений разбираются вопросы:

1. — Когда можно узнать, что после приведения уравнения к простейшему виду значение неизвестного последнего уравнения является также корнем данного уравнения?

— Тогда, когда полученное последнее уравнение равносильно данному.

2. — Почему, иногда после тождественного преобразования найденное значение неизвестного не является корнем данного уравнения?

— Потому, что в процессе тождественного преобразования где-нибудь нарушаются равносильности уравнения.

3. — А в каких случаях может нарушиться равносильность уравнения?

— В тех случаях, когда при замене одного уравнения другим, появляется посторонный корень или же теряется корень. Иначе, область определения уравнения расширяется или сужается, а это может быть тогда, когда к обеим частям уравнения прибавляют дробь, содержащую неизвестное в знаменателе или, когда обе части уравнения умножают на выражение равное нулю.

4. — Чем отличаются уравнения x+1 = 5 и |x+1|=5?

Разъясняется, что первое уравнение имеет один корень, второе, два корня.

Сравнивая равенства с неравенствами указываются также их сходства и различия.

Сравнивая уравнения ах=в и ах+ву=с указываются соответствующие различия в их решениях.

Затем, построив графики уравнений x+y=5, у = 2х+3, у = 2х. и т.д., указываются некоторые их сходства и различия.

При изучении системы уравнений первой степени с двумя неизвестными указывается, что для решения отдельных задач приходится составить два уравнения с двумя неизвестными.

Затем подчеркивается, что два таких уравнения, для которых надо найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно обоим уравнениям, называются системой уравнений и в общем виде пишутся:

Путем параллельного решения и сопоставления отдельных способов решения системы показываем более доступный прием решения.

Далее, указывается, что:

1. Если коэффициенты при соответствующих неизвестных, входящих в систему, непропорциональны, то такая система имеет единственное решение.

Например, система

имеет единственное решение.

Геометрически оба уравнения изображаются прямыми, пересекающимися в точке (4, 1).

2. Если коэффициенты неизвестных и свободные члены данных двух уравнений, составляющих систему, пропорциональны, то система имеет бесконечное множество решений. Геометрически это означает, что их графики, представляя прямые линии, совпадают в одну, координаты всех точек которой удовлетворяют уравнения.

Например, система

имеет бесконечное множество решений.

3. Если в данной системе коэффициенты при неизвестных соответственно пропорциональны между собой, но непропорциональны свободным членам, то такая система не имеет решения.

Геометрически это означает, что изображающие их прямые не имеют общей точки. Например, система

Зная эти свойства, учащиеся могут, не решая систему, установить, какое она имеет решение.

При изучении темы: «Квадратные уравнения» в начале рассматриваются уравнения вх^с^О и ах2+вх+с = 0. Сопоставляя их указывается, что одно является уравнением первой степени, а другое-квадратным.

Первое уравнение имеет не больше одного, а второе—не больше двух решений.

Далее, сравниваются уравнения ах2 + вх+с = 0 и х2+-+-px+q = 0 и отмечается, что оба—полные квадратные уравнения, которые отличаются коэффициентами и первое называется уравнением общего вида, а второе—приведенного.

Формула корней уравнения общего вида

а приведенного

Если во второй фермуле вместо Р подставить —, а вместо q, —, то получится первая формула, по которой решаются все виды квадратных уравнений.

Если же в первой формуле вместо коэффициента в и свободного члена с подставить нуль, то получатся формулы решения соответствующих неполных квадратных уравнений.

При исследовании решения квадратных уравнений по дискриминанту b2—4ас можно установить вид квадратного уравнения.

При изучении темы «Функции и графики» разбираются вопросы:

1. — Чем отличаются постоянные от переменных величин?

— Постоянные в течение данного процесса сохраняют одно и то же значение, а переменные принимают различные значения.

2. — Чем отличается аргумент от функции?

— Аргумент—переменная, принимающая произвольные (допустимые) значения, а функция—переменная, значения которой зависят от значения аргумента.

3. — Какое различие между аналитическим, табличным и графическим способами задания функции.

— При аналитическом способе функция задается формулой, показывающей, как по данному значению аргумента вы-

числить соответствующие значения функции; при табличном—таблицей, а при графическом способе—графиком, показывающим ход изменения функции.

Таким образом, говорится в конце главы, изучение программного материала алгебры в V—VIII кл. с применением приема сравнения создает прочный фундамент как для дальнейшего освоения программного материала средней школы, так и успешного применения его на практике.

Четвертая глава «Прием сравнения в преподавании геометрии в VI—VIII классах» состоит из десяти параграфов, В иен отмечается, что в VI классе на первых уроках, ознакамливая учащихся с элементами геометрических фигур, наряду с другими желательно разобрать такие вопросы: Какое сходство и различие между прямой линией и лучом, между прямой и отрезком прямой, между прямой и ломаной? и т. д.

Под руководством учителя учащиеся отвечают, что прямая линия бесконечна, а луч ограничен с одной и неограничен с другой стороны. Отрезок прямой ограничен с двух сторон точками, ломаная состоит из нескольких отрезков, не лежащих на одной прямой. Далее отмечают, что длину линии и луча нельзя выразить конечными числами, а длину отрезка прямой можно выразить таким числом.

При изучении углов полезно разобрать вопросы:

— Чем отличается острый угол от тупого?

— Острый угол меньше, а тупой больше прямого угла.

— Чем отличается развернутый угол от полного?

— Развернутый угол состоит из двух, а полный из четырех прямых углов.

Далее, сопоставляя вертикальные углы со смежными, отмечают, что если при пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов, то смежных—четыре пары.

Сумма двух пар вертикальных углов равна одному полному, также как и четырех пар смежных.

Вертикальные углы всегда равны между собой, а смежные углы равны, когда они оба прямые.

Далее разъясняются различия определения, аксиомы и теоремы. Отмечается, что определение раскрывает содержание какого-либо понятия.

Аксиома—предложение, принимаемое без доказательства, рассматриваемое как исходное при построении той или иной математической теории.

Теорема—это такая истина, достоверность которой подтверждается после некоторых доказательств.

Сравнивая некоторые прямые и обратные теоремы, указывается: во-первых, что они состоят из условия и заключе-

нии, во-вторых, что условие прямой теоремы является заключением обратной, а заключение прямой теоремы—условием обратной, в-третьих, если прямая теорема верна, то обратная—по отношению к ней—или верна или ложна.

При изучении темы: «Треугольники» разбираются вопросы:

— Чем отличаются треугольники друг от друга?

— Треугольники отличаются друг от друга как по величине углов, так и то длине сторон. По величине углов: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники; по длине сторон: равносторонние, равнобедренные и разносторонние.

Остроугольный треугольник отличается от прямоугольного тем, что у первого все три угла острые, а у второго два утла острые, один прямой. Тупоугольный треугольник отличается от двух других видов тем, что у него два угла острые, один тупой.

Равносторонний треугольник отличается от равнобедренного тем, что у первого все три стороны равны, а у второго только две стороны равны, кроме того у равностороннего треугольника все углы равны между собой, а у равнобедренного—равны только углы при основании. В тупоугольном треугольнике может быть только один тупой, а в прямоугольном один прямой угол.

— Чем отличаются биссектриса, медиана и высота треугольника друг от друга.

— Биссектриса делит угол пополам, а медиана—противоположную сторону пополам, высота же перпендикулярна к противоположной стороне.

Все виды треугольников обладают тем свойством, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке, также как и все мадианы и высоты.

Существенное различие заключается в том, что высоты остроугольных треугольников пересекаются во внутренней области треугольника, прямоугольных—на вершине прямого угла, а тупоугольных—вне внутренней области треугольника.

В отличие от разностороннего треугольника все указанные отрезки равнобедренного треугольника, проведенные из вершины на неравную сторону, сливаются в один общий отрезок.

Далее указываются различные Способы построения треугольников, а также сходство и различие признаков равенства прямоугольных и других треугольников.

Отмечается также, что перпендикуляр от наклонной отличается, во-первых, тем, что наклонная образует с прямой два смежных утла, один из которых острый, а другой—тупой, а перпендикуляр составляет два смежных и равных между со-

бой угла, т. е. составляет два прямых угла, во-вторых, наклонная длинее перпендикуляра, при этом, чем более она приближается к перпендикуляру, тем уменьшается её длина; в-третьих, наклонная имеет проекцию, длина которой отлична от нуля, а перпендикуляр имеет прокцию, равную нулю, геометрически изображает точка; в-четвертых, перпендикуляр показывает кратчайшее расстояние точки от прямой, а наклонная-не кратчайшее.

При разборе темы: «Четырехугольники» указывается, что, если треугольники построены по трем их элементам, то четырехугольники можно построить по пяти их элементам.

Например, требуется построить четырехугольник:

1) по двум сторонам и трем углам, 2) трём сторонам и двум углам, 3) четырем сторонам и одному углу.

Разъясняются сходство и различие параллелограмма, трапеции, прямоугольника, квадрата, ромба и т. д. Для указания различия между свойствами и признаками параллелограмма подчеркивается, что свойство показывает те особенности, которые отличают параллелограмм от других четырехугольников, а признак показывает те приметы, благодаря которым данный четырехугольник является параллелограммом. Например, свойство: «диагональ параллелограмма делит сто на два равных треугольника», отличает параллелограм от других четырехугольников.

Признак: «Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм», а не другой какой-либо четырехугольник.

Прямоугольник тоже является параллелограммом, но он кроме свойств параллелограмма имеет и другие свойства, вытекающие из его видового отличия. По роду параллелограмм, а по виду прямоугольник. Он отличается от параллелограмма, тем, что его углы равны между собой, то есть они прямые.

Другой вид параллелограмма—ромб. Его отличительные свойства: «Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом», «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны», «Диагональ ромба делит угол его пополам».

Квадрат тоже является параллелограммом, так как обладает всеми его свойствами. Он является прямоугольником, так как обладает всеми свойствами прямоугольника.

Квадрат является также прямоугольным ромбом и обладает всеми его свойствами.

Квадрат отличается от прямоугольника тем, что его стороны равны, а от ромба тем, что его углы прямые.

Таким образом учащиеся приходят к выводу, что хотя

прямоугольник, квадрат, ромб являются чатсными случаями параллелограмма, но все они отличаются от него.

Параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат обладают также различными симметриями.

Параллелограмм центрально симметричен относительно точки пересечения его диагоналей. Остальные три фигуры кроме этой имеют ещё: прямоугольник имеет оси симметрии (прямые, проходящие через середины противоположных сторон). У ромба осями симметрии являются его диагонали, у квадрата—четыре оси симметрии и т.д.

Далее разъясняется, что трапеция от параллелограмма отличается тем, что её две противоположные стороны непараллельны.

Параллелограмм является частным случаем трапеции. Сравнивая среднюю линию трапеции со средними линиями треугольника, параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата отмечается, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований; треугольника—половине основания. Средние линии остальных фигур равны длинам тех сторон, которым они параллельны.

При разъяснении темы: «Площади плоских фигур» рекомендуется обратить внимание учащихся на различие между единицами длины и площади, между способами их вычисления и т. д.

Затем разбирается вопрос: какое сходство можно обнаружить между площадями треугольника и трапеции?

Следует ответ: так как треугольник есть такая трапеция, одно из оснований которой превращено в точку, то формула площади трапеции S=mh, где m средняя линия трапеции, будет служить формулой площади треугольника, где „т“ —его средняя линия.

Значит площадь треугольника равна произведению длины его средней линии на высоту.

Далее решаются некоторые задачи на доказательство:

1. Из двух изопериметрических прямоугольников наибольшая площадь у квадрата.

2. Из двух равновеликих прямоугольников наименьший периметр у квадрата.

При изучении темы: «Некоторые сведения о многогранниках» отмечается, что те фигуры, все элементы которых по мешаются в одной плоскости, называются плоскими геометрическими фигурами, а те, которые со своими частями не уложатся на плоскости, часть их остается в пространстве, называются пространственными геометрическими фигурами.

Та часть геометрии, которая занимается изучением геометрических фигур на плоскости, называется планиметрией,

а та часть геометрии, которая занимается изучением геометрических фигур в пространстве, называется стереометрией.

Значит, планиметрия отличается от стереометрии тем, что первая занимается изучением геометрических фигур на плоскости, а вторая—в пространстве.

Затем предлагаются учащимся некоторые вопросы, выясняющие сущность и взаимозависимость геометрических тел. Например:

1. Чем отличается прямая призма от наклонной, от правильной призмы, от параллелепипеда и т. д.?

2. Каковы сходство и различие между прямым и прямоугольным параллелепипедами, между параллелепипедом и кубом и т. д.?

3. Каковы сходство и различие между формулами боковой и полной поверхностями куба и призмы, призмы и цилиндра, пирамиды и конуса, между их объемами, поверхностью шара и площади круга и т. п.

Подчеркивается, что подобные вопросы положительно влияют на расширение и углубление пространственных воображений и геометрических представлений учащихся.

При рассмотрении темы: «Окружность» отмечается, что в VII классе при изучении данной темы разбираются и такие вопросы:

1. Чем определяются положения прямой и окружности на плоскости?

— Положения прямой линии определяется двумя точками плоскости (аксиома прямой), а окружности—тремя точками не лежащими на одной прямой.

2. Сколько прямых и окружностей можно провести через одну или две точки на плоскости?

— Через одну точку можно провести сколько угодно прямых и окружностей; через две точки на плоскости можно провести прямую, притом только одну, а окружностей—сколько угодно.

Далее, для самостоятельной работы предлагаются вопросы:

1. В чем сходство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу одной окружности?

2. Каковы сходство и различие между описанными и вписанными углами, между вписанными углами и углами, составленными касательной и хордой и т. д.?

3. Какая разница между вписанными и описанными треугольниками, четырехугольниками и т. д.?

4. Чем отличается внешнее расположение окружностей от внуетреннего?

5. Чем отличается апофема вписанного многоугольника от радиуса круга? и т. д.

При изучении темы: «Пропорциональные отрезки и подобие фигур» разбираются вопросы:

— Каково различие между подобиями треугольников и многоугольников?

— Только равенство углов треугольников или пропорциональность сторон влечет за собой их подобие, но наличие только одного из этих условий не влечет за собой подобие многоугольников.

— Каковы сходство и различие между признаками равенства и подобия треугольников?

— Во-первых, сходство заключается в том, что в обоих случаях берется равенство сторон, а при подобии—пропорциональность сторон. Во-вторых, все равные треугольники одновременно подобны, то есть равенство треугольников также является частным случаем подобия. Отмечается также, что все равные многоугольники подобны, а все подобные многоугольники могут быть и неравны.

Далее, сравнивая признаки подобия и равенства треугольников отмечают, что в первом признаке равенства треугольников берется равенство двух углов и прилежащих к ним сторон, а при подобии—только равенство этих пар углов.

Во втором признаке равенства треугольников берется равенство двух пар сторон и углов между ними, а при подобии равенство этих же угло, но пропорциональность тех же сторон.

В третьем признаке берется равенство всех трех сторон, а в подобии—пропорциональность этих же сторон.

В параграфе «Метрические соотношения между элементами плоских фигур» рассматриваются сходство и различие тригонометрических функций.

Далее указывается, что при изучении соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике приводится сравнение сторон, лежащих против острого, прямого и тупого углов треугольника. Разъясняется, что если сторона лежит против прямого утла, то её квадрат равен сумме квадратов этих сторон, если же эти стороны лежат против острого или тупого угла, то их квадраты в первом случае меньше, во втором—больше, чем сумма квадратов двух других сторон.

При изучении следующей темы восьмого класса «Многоугольники» разъясняются сходство и различие вписанных и описанных, правильных и неправильных многоугольников и т. д.

Глава пятая, посвящена итогам проведенных экспериментов.

Указывается, что в процессе исследования использован опыт работы многих передовых учителей, гор. Кировабада, Ханлара и ряда сельских школ Дашкесанского района, а также личный опыт автора, который проработал в Кировабадском педучилище с 1939 по 1957 г. и до настоящего времени работает в общеобразовательных школах г. Кировабада.

Накопленный в течение многих лет опыт автора по применению дидактического приема сравнения в преподавании математики, а также экспериментальные уроки, проведенные в школах № 1, 9, 11, 13, 14 28, 36, № 5 рабочей молодежи гор. Кировабада, в школе № 1 г. Ханлара и в некоторых сельских школах Дашкесанского района, показали актуальность темы и явились конкретным подтверждением правильности данного исследования.

Для проверки эффективности влияния приема сравнения на повышение качества знаний учащихся и предупреждение неуспеваемости на занятиях с учащимися указанных школ разбирались вопросы сравнительного характера, проводились устные и письменные проверочные работы в V—VIII классах. Часто мы обменивались мнениями с опытными учителями республики, изучали их работу и т. д.

В данной главе описаны результаты экспериментальных и контрольных уроков по арифметике, алгебре и геометрии в V—VIII классах.

Приведены ведомости учета ошибок, допущенных учащимися экспериментальных и контрольных классов в письменных контрольных и самостоятельных работах и указаны причины, порождающие эти ошибки.

Многолетняя научно-практическая исследовательская работа и проверка результатов эскпериментальных уроков, проведенных с 1958/59 по 1963/64 уч. года в вышеуказанных школах, по применению дидактического приема сравнения в преподавании математики в V—VIII классах позволили сделать следующие выводы:

1. Дидактический прием сравнения не только способствует углублению и упрочению математических знаний, но и развивает математическое мышление, творческие и познавательные способности учащихся, активизирует их мыслительную деятельность и ускоряет процесс умственного развития.

2. Сравнение учит мыслить диалектически, раскрывает причинно-следственные связи между отдельными математическими понятиями, создает благоприятные условия для приобретении умения и навыков самостоятельного научного поиска.

3. Значительное влияние оказывает сравнение на развитие наблюдательности и ощущения, воображения и восприятия, внимания и памяти, на формирование общей умственной

культуры и математической подготовки, на общее развитие, идейный уровень учащихся и т. д.

4. Применение приема сравнения в преподавании математики оказывает идейно-эмоциональное воздействие на учащихся и повышает их стремление и интерес к учению, к овладению знаниями, а поэтому повышает эффективность и результативность уроков.

5. При применении приема сравнения в процессе преподавания перед учащимися ставятся конкретные познавательные задачи: найти сходство и различие между математическими понятиями, а это—условие стимулирования мышления учащихся. При этом они получают знания не в готовом виде, а в результате самостоятельного мышления. У школьников таким образом развивается не только воспроизводящее, но и творческое мышление.

6. Сравнительные вопросы подбираются в соответствии с программным материалом и постепенно усложняются. При этом учитывается возрастные и индивидуальные особенности учащихся.

7. Прием сравнения помогает учащимся еще глубже усвоить материал при проблемном изложении знаний, дифференцированном и исследовательском методах обучения и положительно влияет на совершенствование традиционных форм и методов обучения.

8. Прием сравнения положительно влияет на классификацию математических понятий, на выявление их признаков по родам и видам, на развитие вычислительных навыков и умения, на развитие трудолюбия, на преодоление формально-трафарентного заучивания отдельных формулировок математических понятий. На смену описательно-информационного метода, приходит творческо-познавательный метод.

9.Прием сравнения следует применять на всех этапах урока: при опросе или повтоверении пройденного, объяснении или закреплении нового материала, на экзаменах и при учете знаний учащихся, при самостоятельных работах, на факультативных занятиях, на математических викторинах, олимпиадах и т. д.

10. В результате успешного применения приема сравнения в преподавании арифметики учащиеся получили отчётливые, осознанные и незапутанные знания о целых и дробных числах и действиях над ними; об измерении величин и метрической системе мер; об отношениях и пропорциях; о процентных и приближенных вычислениях и т. д.

11. В процессе изучения алгебры с применением приема сравнения учащиеся выяснили сходство и различие между отдельными видами одночленов, между одночленами и мно-

гочленами, алгебраическими и арифметическими дробями, рациональными и натуральными, отрицательными и положительными числами, различными функциональными зависимостями и т. д. и глубоко усвоили содержания соответствующей темы.

12. При применении приема сравнения в процессе преподавания геометрии в VI—VIII классах учащиеся не только заучивали отдельные правила и определения, доказывали теоремы и решали задачи, но и посредством сопоставления выясняли общие и отличительные признаки и свойства отдельных геометрических понятий, их взаимные связи и зависимоть.

13. Применение приема сравнения в преподавании, требует от учителя математики достаточного знания: во-первых, приема сравнения, как мыслительной операции и дидактического приема; во-вторых, методики его применения в процессе обучения математики; в-третьих, он должен заранее при подготовке к каждому уроку продумывать те основные сходные и отличительные стороны, которые существуют между отдельными разделами новой темы, между новой и ранее пройденной темами и т. д.

Необходимо в процессе применения приема сравнения, исходя из содержания темы и степени её связи с ранее изученными, путем сопоставления и противопоставления установить или только сходство, или только различие, или же и сходство и различие между двумя или несколькими математическими понятиями.

В практическом осуществлении идеи применения приема сравнения в преподавании арифметики, алгебры, и геометрии в V—VIII классах добились положительных результатов многие советские передовые педагоги, которые сумели дать учащимся глубокие и прочные знания, умения и навыки по математике, о чём вкратце говорится в диссертационной работе.

Многолетний опыт применения автором приема сравнения,—его наблюдения, анализ и обобщение серии экспериментальных, показательных и контрольных уроков, проводимых многими опытными и передовыми учителями, а также анализ ошибок в устных и письменных ответах учащихся убедительно показывают, что прием сравнения является одним из важнейших дидактических приемов в преподавании математики и имеет большое образовательное и воспитательное значение.

Умелое применение этого приема в процессе обучения значительно повысит качество знаний учащихся и предупредит неуспеваемость, а это и есть одна из важнейших задач

на пути подготовки всесторонне развитых строителей коммунизма.

В конце диссертации приведен список использованной общественно-политеческой и учебно-методической литературы всего 141 наименований).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. Сравнение, как дидактическое средство в процессе преподавания математики в V—VIII классах общеобразовательной школы, 0,6 п. л. Журнал «Советский педагог» № 7, (на армянском языке), Ереван, 1965 г.

2. Из опыта применения сравнения в преподавании алгебры в VI кл. 0,5 п. л. Приложение к журналу «Азербайджан мектеби» — «Преподавание физики и математики» (на азерб. языке) № 4, Баку 1965 г.

3. Из опыта применения приема сравнения в преподавании арифетики в V—VI кл. общеобразовательной школы, 0,8 п. л. Приложение к журналу «Азербайджан мектеби» — «Преподавание физики и математики» № 4, (на азербайджанском языке) Баку, 1966 г.

4. Из опыта использования приема сравнения в обучении геометрии в VI—VIII классах 0,25 п. л. Приложение к журналу «Азербайджан мектеби»—«Преподавание физики и математики» № 1 (на азербайджанском языке), Баку, 1968 г.

ДОКЛАДЫ ПО СОДЕРЖАНИЮ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Сравнение в развитии алгебры как науки и как учебною предмета. (Рукопись 0,5 п. л.)

Доклад прочитан на городских педагогических чтениях. Кировабад, 1958 г.

2. Из опыта применения приема сравнения в преподавании математики в V—VIII кл. общеобразовательной школы. (Рукопись 0,6 п. л.

Для слушателей межрайонных курсов усовершенствования учителей математики школ Кировабадской зоны. Кировабад, 1959 г.

3. Сравнение в преподавании обыкновенных и десятичных дробей. (Рукопись 0,5 п. л.)

Доклад прочитан для учителей математики. Кировабад, 1962 г.

4. Сравнение как дидактический прием в преподавании математики в V—VIII кл. (Рукопись 0,5 п. л.)

Доклад прочитан на городских педагогических чтениях. Кировабад, 1964 г.

5. О применении приема сравнения в курсе алгебры в VI—VIII кл. (Рукопись 0,5 п. л.)

Доклад прочитан на республиканской научно-практической конференции. Баку, 1965 г.

6. Научные основы приема сравнения. (Рукопись 0, 4 п. л.)

Доклад прочитан учителям школ города. Кировабад, Дом учителя, 1966 г.

7. Роль сравнения в развитии мыслительной деятельности учащихся в процессе преподавания математики. (Рукопись 0,5 п. л.)

Доклад прочитан на XVI городских педагогических чтениях, Кировабад, 1967 г.

8. Использование приема сравнения в преподавании геометрии в VI—VIII кл. (Рукопись 0,5 п. л.).

Доклад прочитан на XVI республиканских педагогических чтениях, посвященных 50—летию Великой Октябрьской социалистической революции. Баку, 1967 г.

9. «Что нужно знать о современных проблемах дидактики», (Рукопись 0,5 п. л.).

Доклад прочитан на семинаре директоров школ. Кировабад, 1968 г.

ФГ 08841 Подписано к печати 1/XI-68 г.

Формат 60×84 1,16 д. л. Объем 2 печати, листа тир. 150 зак. 1037 5-я Перевальная, д. 21, Тип. 19. Изд. „Статистика“