АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ

СИСТЕМА ИЗУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В СТАРШИХ КЛАССАХ, СОДЕЙСТВУЮЩАЯ ОВЛАДЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ЗНАНИЯМИ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. И. Левин

Москва — 1964

Современное развитие науки и техники сопровождается интенсивным проникновением математических методов в различные области человеческой деятельности. Основательное знание математики теперь необходимо уже и экономисту, и биологу, и лингвисту (а не только будущему математику, инженеру, физику или химику). В этих условиях требования к качеству математической подготовки учащихся средней школы значительно возрастают.

Особенно важно для всех учащихся усвоение наиболее общих идей математики (функции, множества, переменной и др.). В диссертации проводится анализ функционального подхода к изучению школьного курса математики.

Понятие функции, являясь одним из важнейших понятий математики, как науки, представляет большую ценность и для школьного курса математики. Серьезная постановка изучения функций в средней школе позволяет раскрыть внутренние связи между понятием функции и другими понятиями школьного курса математики. Создание у учащихся прочной функциональной основы дает им возможность математически осмыслить большой класс явлений, встречающихся в многочисленных отраслях знаний, как в области теории, так и в практике. Обучение в вузе (особенно с физико-математической и технической направленностью) было бы сильно затруднено (что и имеет место в большинстве случаев в настоящее время), если еще в стенах средней школы не были усвоены вопросы, связанные с понятием функции. Наконец, рассмотрение явлений в процессе их изменения, изучение взаимных связей между ними содействует воспитанию у учащихся диалектического мышления.

Таким образом, овладение понятием функции в школьном курсе математики имеет большое образовательное и воспитательное значение.

Между тем функциональная подготовка учащихся средней школы является наиболее слабым местом в их математическом образовании.

Диссертационное исследование (см. вводную и первую главы) позволяет устверждать, что слабая функциональная подготовка учащихся средней школы вызвана не отдельными недочетами в методике изучения функций, а порождается всей системой преподавания алгебры и системой изучения функций в частности.

При сложившейся системе обучения алгебре изучение функций проводится изолированно от других вопросов курса. В методической литературе и в опыте работы школы переоценивается роль формальных (внешних) сторон изучения функций (например, роль определений функции) и недооценивается прикладное значение функционального аппарата к различным вопросам курса алгебры. Рекомендации по использованию понятия функции в школьной математике относятся к приложениям функций к вычислениям, решению уравнений и систем уравнений, при этом они имеют общий характер й не могут служить для учителя руководством к действию. График функции применяется как средство иллюстрации и вычислений (графическое решение уравнений, систем уравнений) и в известной мере для формирования отдельных понятий (уравнение, корень уравнения, система уравнений и ее решения, некоторые свойства функций). Ограничена область приложения функций к решению задач.

При этом вся постановка изучения функций в школе не имеет характера целенаправленной системы.

Естественно, что в таких условиях понятие функции не стало «центральным стержнем» школьного курса математики, несмотря на то, что попытки перестройки курса алгебры на функциональной основе начали предприниматься еще с XIX века.

Ни в отечественной методической литературе, ни в диссертациях, ни в зарубежных исследованиях не был дан анализ процесса изучения алгебры в связи с той ролью, которую играет понятие функции в овладении алгебраическими знаниями.

Существенные сдвиги в отходе от традиционных представлений при изучении школьного курса алгебры и внесении в него идеи функциональной зависимости были сделаны проф. В. Л. Гончаровым. Он в своей книге «Начальная алгебра» и других статьях разработал систему изучения алгебры в VI—VII классах на функциональной основе, которую учитель может непосредственно использовать в своей практике. Идеи В. Л. Гончарова для VIII класса нашли отражение и дальнейшую конкретизацию в диссертации В. Г. Ашкинузе

«Построение курса алгебры восьмого класса на основе идеи функциональной зависимости».

Проблема настоящей диссертации состояла в следующем.

Научно-методически исследовать возможность построения системы изучения элементарных функций в старших классах (в IX—XI), содействующей овладению алгебраическими знаниями, обеспечивающей их применение при изучении школьного курса алгебры (с элементами дифференциального исчисления), в практической деятельности по окончании школы и при продолжении образования в высшей школе.

Исследование по общей проблеме предусматривало решение следующих частных задач:

1) выяснение причины слабой функциональной подготовки учащихся средней школы;

2) выяснение отношения между основными понятиями школьного курса алгебры и понятием функции;

3) определение содержания сведений по функциям, необходимых для овладения алгебраическими знаниями и успешного изучения элементов математического анализа;

4) выяснение необходимых условий для возможности успешного изучения функций;

5) определение роли и места графика функции в процессе овладения учащимися функциональными знаниями;

6) выяснение условий изучения функций в старших классах, содействующих математическому развитию учащихся и овладению алгебраическими знаниями;

7) разработка методики изучения функций в старших классах и рекомендаций, направленных на улучшение действующей программы по математике.

Диссертация состоит из вводной главы, заключения и следующих глав:

Глава I. Принципы построения системы изучения функций в старших классах средней щколы.

Глава II. Методика формирования основных функциональных понятий, изучаемых в старших классах средней школы.

Глава III. Исследование функций элементарными средствами.

Глава IV. Линейная и квадратичная функции, их использование в курсе алгебры.

Глава V. Степенная функция с натуральным показателем и методика ее изучения.

Глава VI. Степенная функция с действительным показателем, показательная и логарифмическая функции и методика их изучения.

Общие принципы системы изучения функций

Разработка общих принципов системы изучения функций была предпринята с целью определить общий подход при изучении школьного курса алгебры старших классов. Основное содержание их изложено в первой главе диссертации и сводится к следующему.

1. Переход знаний на более высокую ступень абстракции усиливает возможность их применения при изучении курса математики. Например, овладение общим понятием функции расширяет круг рассматриваемых приложений, пополняет запас способов решения задач, способствует более глубокому раскрытию взаимосвязей между отдельными разделами курса алгебры. Возможность успешного перехода знаний на новую ступень абстракции должна быть подготовлена предшествующим обучением: не задерживаясь слишком долго на конкретной стадии знаний, необходимо обеспечить достаточный запас фактов для выполнения проводимых обобщений. С другой стороны необходимо целенаправленно раскрывать возможность приложения новых абстрактных знаний к более широкому кругу явлений. Установление между конкретным и абстрактным двусторонней связи является одним из важнейших условий процесса обучения.

2. Одна из основных целей изучения алгебры в школе в самом общем виде формулируется следующим образом. Учащиеся должны: а) приобрести знания основных фактов, предусмотренных программой; б) научиться применять эти знания при решении задач; в) приобрести навыки в проводимых преобразованиях. Соответственно этим задачам при обучении алгебре можно выделить три основные линии: а) логическую; б) содержательно-прикладную; в) алгоритмическую (формально-оперативную)1.

Невнимание к какой-либо из них приводит к существенным пробелам в знаниях учащихся. Слабость сложившейся системы обучения алгебре в целом состоит в том, что в процессе обучения неправомерно большое внимание уделяется проведению алгоритмической линии и недооценивается значение логической и содержательно-прикладной. Отмеченные недостатки особенно сильно проявляются при изучении функционального материала. Практически в опыте работы школы

1 Вычленение в курсе алгебры логической, формально-оперативной, вычислительно-графической и содержательно-прикладной линий было осуществлено В. Л. Гончаровым. В отличие от выделенных им четырех линий в диссертации рассматриваются три перечисленных и аргументируется целесообразность такого выделения.

в лучшем случае дело сводится к выработке навыков в построении и преобразовании графиков, отысканию области определения функции, заданной формулой, и к умению распознавать свойства функции по ее графику.

Соразмерность в проведении отмеченных линий при изучении функций создает условия для качественно нового подъема знаний учащихся.

3. Общее понятие функции, функциональная символика, простейшие сведения из теории множеств, а также методы элементарного исследования функций составляют основной материал, дающий возможность эффективно поставить изучение функций в курсе алгебры старших классов.

4. Необходимое условие возможности овладения понятием функции состоит в систематическом использовании функционального материала в школьном курсе алгебры (при изучении тождественных преобразований, уравнений, неравенств, в вычислениях, при доказательствах теорем). Это в свою очередь позволяет глубже изучать курс алгебры, открывает учащимся возможность видеть внутренние связи, имеющие место между понятием функции и другими понятиями курса, что ведет к пониманию структуры курса и содействует овладению алгебраическими знаниями.

5. Одним из условий овладения функциональными понятиями служит логически правильно поставленная система их формирования. Существенный момент в этой работе состоит в конкретно-содержательном истолковании изучаемых понятий. В диссертации принят «геометрически-аналитический» путь, при котором геометрические представления, сложившиеся у учащихся, путем разработанной системы упражнений-вопросов формализуются и доводятся до необходимой степени обобщения; при этом график функции выступает как средство конкретно-содержательной интерпретации изучаемых общих понятий.

6. Овладение общим понятием функции и формализованным функциональным аппаратом необходимо для успешного изучения элементов дифференциального исчисления. Овладение элементарными методами исследования функций рассматривается как средство подготовки учащихся к успешному применению аппарата производной.

7. Успешное изучение функций в школьном курсе алгебры требует применения приемов, форм и методов, которые развивают самостоятельность учащихся, активизируют их мыслительную деятельность и способствуют математическому развитию.

Систематическое изложение содержания основных принципов, проведенное в первой главе диссертации, иллюстрируется в ней примерами конкретно-методических рекомендаций. Во II—VI главах общие принципы используются при разработке методики формирования основных функциональных понятий и изучения конкретных алгебраических функций.

Формирование основных функциональных понятий

Формирование основных функциональных понятий составляет один из важнейших этапов в системе изучения функций. Изложение результатов диссертационного исследования по этой проблеме выполнено во второй главе.

Отбор содержания функционального материала и разработка методики формирования основных функциональных понятий преследовали общую цель: добиться эффективного применения функциональных понятий в процессе изучения школьного курса алгебры.

В диссертации рассматривается методика формирования следующих понятий: 1) простейших теоретико-множественных понятий (множество, элемент, числовые промежутки, сумма и пересечение множеств); 2) функции (закон соответствия, область задания); 3) графика функции; 4) свойств функции (знакопостоянство, возрастание и убывание, максимум и минимум, четность и нечетность, ограниченность и неограниченность, непрерывность и разрывность); 5) обратной функции; 6) предела функции (предела последовательности; предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, предела функции к точке).

Формирование функциональных понятий строится с опорой на конкретные представления учащихся об изучаемых понятиях. Такой подход соответствует выводам психологов, считающих, что на первом этапе усвоения новых понятий регулирующая роль второй сигнальной системы (по отношению к первой сигнальной системе) весьма недостаточна.

Одним из сильных средств конкретно-содержательной интерпретации функциональных понятий является график функции.

Все функции, рассматриваемые в средней школе, являются либо элементарными, либо, так называемыми, «кусочно-элементарными» (заданными посредством нескольких элементарных формул); они допускают отчетливое графическое представление. Задание функции графиком в виде произвольной непрерывной кривой (с сохранением условия однозначности) дает возможность подвести учащихся к пониманию

функции вообще (в силу произвольного выбора кривой), рассмотреть на графике подлежащие изучению свойства функции и выяснить их геометрическую сущность. Наглядность графика достаточно убедительна для учащихся. Поэтому выработка у них геометрических интуитивных представлений об изучаемом явлении может служить первым подготовительным этапом в формировании соответствующего понятия.

В этой работе активная роль отводится учителю, который с опорой на график разъясняет учащимся существенные для формирования понятия моменты и в завершение, когда у них сложатся достаточно отчетливые геометрические представления, дает им «геометрическое определение» понятия. Затем наступает второй этап в формировании понятия, на котором учащиеся под руководством учителя по разработанной им системе упражнений-вопросов переводят «геометрическое» понятие в формализованную его форму.

Этот путь формирования понятий, названный в диссертации «геометрическо-аналитическим методом», является основным. Он положен в основу всей системы формирования функциональных понятий. Действенность такого пути, подтверждаемая экспериментальной проверкой, может быть объяснена тем, что в результате применения изложенной системы формирования понятий у учащихся между графическим представлением и соответствующим понятием в формализованном виде устанавливается прочная связь, которая позволяет учащимся в общем понятии видеть многообразие его конкретных форм.

Существенным моментом в диссертационном исследовании является определение роли и места области задания функции. В практике преподавания в массовой школе этому понятию уделялось чрезвычайно мало внимания. Между тем область задания функции — это настоящее «рабочее» понятие. В процессе исследования каждой функции она разбивается по тому или иному признаку на составные области, в которых исследуемая функция обнаруживает определенные свойства. Этим создается возможность сознательного усвоения свойств функций.

Хорошее владение понятием области задания функции позволяет учащимся уверенно использовать функциональный материал в приложениях (в тождественных преобразованиях, при решении уравнений и неравенств, в доказательстве теорем). Например, у учащихся, усвоивших понятие области задания функции, не вызывало затруднения решение уравнения x2—5х—6=|4х—6|. Рассматривая его на каждом из мно-

жеств X1=(—∞; 1,5) и Х2 = [1,5; ∞), они заменяли его совокупностью двух уравнений х2—9х = 0 и х2—х—12 = 0, равносильной данному уравнению (соответственно в областях X1 и Х2).

Наиболее эффективно формирование функциональных понятий проводится с привлечением теоретико-множественных понятий. Из их числа отобраны те, которые находят непосредственное применение в школьном курсе алгебры. Усвоение введенных понятий достигается, главным образом, в результате систематического их применения при формировании функциональных понятий и в приложениях.

Изучение функциональных понятий, раскрывающих свойства функций, понятий обратной функции и предела основывается на разработанном в диссертации «геометрическо-аналитическом» методе и излагается преимущественно во второй главе.

В диссертации приводится система упражнений, предназначенная для обеспечения успеха в проведении формирования функциональных понятий.

Методика изучения функций

В III—VI главах разработана методика изучения элементарных функций. В диссертации выработан общий план изучения функций, включающий: определение функций, изучение их общих свойств, выявление особых свойств, применение функций к изучению курса алгебры. Общий план определяет не только методическую линию формирования функциональных понятий, но и условия для применения функций. Это позволяет определить рациональную систему изучения курса алгебры в целом.

Формальное введение новой функции включает рассмотрение ряда примеров, раскрывающих конкретное содержание изучаемой зависимости. Эти примеры показывают значимость новых сведений не только для различных областей знаний (для жизненной практики), но и непосредственно для школьного курса математики.

При формировании понятий выделяются определенные группы свойств функций, дающие возможность установить последовательность в проведении исследования функций.

В диссертации обосновывается целесообразность следующего порядка проведения исследования функций: 1) выяснение принадлежности функции к классу четных, нечетных, периодических функций; 2) отыскание нулей функции, областей ее положительных и отрицательных значений; 3) нахожде-

ние промежутков возрастания и убывания функций, точек максимума и минимума; 4) определение точек разрыва функции и промежутков, в которых она непрерывна; 5) нахождение множества значений функции; 6) исследование функции на ограниченность и неограниченность.

Эта система раскрывается учащимся во всем объеме по мере введения новых понятий. Если, например, на первых порах (при изучении квадратичной функции) учащиеся могут ограничиться вопросами, стоящими в пунктах 2 и 3, то впоследствии (при изучении логарифмической функции) исследование проводится полностью, охватывая все вопросы.

Выработанная у учащегося схема исследования функций облегчает изучение свойств каждой функции. Она способствует выработке навыков в исследовании функций, в результате чего у учащихся складываются более прочные знания основных свойств функций. Эта схема применяется к изучению всех конкретных функций школьного курса алгебры.

Изучению свойств функций в формализованном виде предшествует их изучение на графиках. При рассмотрении линейной и квадратичной функций график служит основным источником для выявления (а в некоторых случаях и обоснования) свойств функций. При изучении степенной функции график уже выступает как средство, позволяющее высказать гипотезу о наличии определенных свойств функции, которые в дальнейшем подлежат аналитическому обоснованию. При изучении показательной и логарифмической функций элемент формализации еще более усиливается.

Изучаемые функции сначала исследуются по единой схеме, в результате чего устанавливаются некоторые их общие свойства, затем рассматриваются особые свойства этих функций.

Основным критерием в отборе особых свойств функций служила возможность их использования в курсе. Например, рассматривается характеристическое свойство линейной функции, так как оно в дальнейшем неоднократно используется (при линейной интерполяции, для сравнения скорости изменения других функций и т. д.). К числу особых свойств отнесена группа из пяти свойств степенной функции (для различных показателей степени), рассматриваемой на множестве положительных чисел (знакопостоянство, зависимость значений функции от величины показателя для промежутков о<х<1 и х>1, монотонность), которые находят широкое применение в самых различных приложениях.

Рассматривается элементарное доказательство ряда теорем, выражающих свойства относительного роста степенной, показательной и логарифмической функций.

Для изучения основных свойств функций, используются понятия, связанные с изучением сложной функции. Вводится свойство сложной функции, выраженное равенством f[g(x)] = x, которое является обобщением рассматриваемых в школе свойств степенной, показательной, тригонометрических функций (и им обратных). Оно позволяет облегчить изучение взаимно обратных функций вообще и показательной и логарифмической в частности. Разумно расширяет круг рассматриваемых функций и дает сильное средство для исследования функций элементарными средствами, рассматриваемая в диссертации теорема о характере монотонности (возрастании или убывании) сложной функции y=f [φ(х)] в зависимости от характера монотонности функций f(u) и и = φ(х).

Исследованию функций элементарными средствами в диссертации уделяется серьезное внимание. Этому вопросу посвящена третья глава диссертации. В процессе обучения учащихся этим методам ставится проблема исследования функций вообще и вырабатываются навыки, необходимые для исследования функций с помощью производной.

Исследование функций элементарными средствами рассматривается в диссертации как ценный дидактический материал для формирования общих функциональных понятий. Вместе с тем в этой главе излагаются сведения, призванные расширить математический кругозор учащихся.

Одна из главных целей в разработке методики изучения функций состояла в исследовании возможности различных приложений функций в процессе изучения курса алгебры. Решение этой проблемы иногда приводило к необходимости пересмотра сложившейся трактовки самих прикладных вопросов. В диссертации это выполнено в отношении тождественных преобразований, уравнений, неравенств и изложения некоторых вопросов теории.

Непосредственная связь изучаемых функций с вопросом тождественных преобразований способствует осознанному уяснению сущности понятия тождества, понятия тождественного преобразования. В диссертации обосновывается целесообразность проводить изучение понятия тождественного равенства двух функций в связи с определенным числовым множеством, на котором эти функции рассматриваются. Так

равенство у xz = —х можно считать тождеством, если его рассматривать на множестве отрицательных чисел. Выяснение этой принципиальной позиции при изучении тождественных преобразований расширило возможности рассмотрения различных приложений, которые изложены в диссертации.

Применение функциональных понятий к изучению уравнений и неравенств помогает учащимся не только лучше уяснить точный смысл понятий: уравнение, неравестно, корень уравнения, решение неравенства и т. д., но и вооружает их более общими методами решения задач. В диссертации проводится принцип, согласно которому решение уравнения f(x)=0, или неравенства f(x)>0 [f(x)<0], где f(x) —основная элементарная функция, а также исследование соответствующих уравнений, следует осуществлять не путем формальных выкладок, а используя графические представления (вряд ли имеет смысл прибегать к формальным выкладкам там, где без них легко обойтись). Так, например, исследование квадратного уравнения целесообразно проводить с помощью соответствующего графика квадратного трехчлена, решение дробно-линейных неравенств вида

приводить к решению квадратного неравенства

которое сводится лишь к записи ответа.

Применение функциональной трактовки позволило упростить, сделать доступными и в то же время более безупречными (с точки зрения логической строгости) доказательства ряда теорем. Особенно эффективными стали доказательства (с помощью свойств степенной функции) свойств степени с рациональным показателем, показательной и логарифмической функций.

Использование свойств степенной функции общего вида у=а(х—b)r+с, где a, b и с действительные числа, r — рациональное число, облегчает обоснование решений (а также и сами решения) многих уравнений и неравенств (в частности, иррациональных), делает их доступными для подавляющего большинства учащихся.

В диссертации рассмотрены и другие приложения. Каждое из них рассматривается как осуществление содержательно-прикладной линии в преподавании курса алгебры. Вместе с тем серьезная работа по формированию функциональных понятий представляет собой усиление необходимого внимания к раскрытию логической линии.

Основные положения диссертации проверялись в течение 1957—1964 годов автором (школа № 578, VIII—X классы), а также некоторыми учителями г. Москвы (школы № 1, 21, IX—XI классы) и г. Липецка (школа № 28, IX—X классы). Основными материалами экспериментальной проверки служили систематическое наблюдение за учащимися в классных условиях и в процессе индивидуальных бесед и занятий, письменные контрольные работы учащихся и их устные ответы.

Экспериментальная проверка показала доступность для учащихся массовой школы разработанной в диссертации методики изучения элементарных функций. У учащихся, подвергшихся экспериментальной проверке, был замечен значительный рост интереса к изучению математики, их знания стали более глубокими и прочными, сильно возросла способность применения полученных знаний в решении различных (и особенно нешаблонных) задач по курсу математики. Повысилась математическая культура учащихся, их математическое развитие. В частности было установлено, что учащиеся, прошедшие подготовку в соответствии с разработанной в диссертации системой изучения элементарных функций, не встретили затруднений при изучении производной и ее приложений. Эта тема была воспринята ими как естественное продолжение изучавшегося ранее материала.

Сравнительная характеристика знаний учащихся обычных и экспериментальных классов показала существенное преимущество в качестве знаний последних не только в чисто функциональных вопросах, но и по всему курсу математики. Особенно сильно это различие проявилось в способности самостоятельного приложения знаний в решении всевозможных задач.

Продолжительность экспериментального исследования позволила внести в разработанную методику существенные изменения, которые значительно улучшили первоначальный ее вариант.

Например, стало ясно, что глубокое усвоение учащимися понятия области задания функции вызывает качественный скачок в овладении понятием функции. Этому способствовало использование введенных при изучении в курсе простейших теоретико-множественных понятий.

Проведенное по теме диссертации исследование позволяет сделать следующие выводы:

1) Изучение функций в соответствии с разработанной в диссертации методикой рассматривается как органическая составная часть всего школьного курса математики. Раннее введение общего понятия функции и функциональной символики с применением простейших сведений из теории множеств и элементарных методов исследования функций обеспечивает овладение кругом основных функциональных понятий и их использование при изучении тождественных преобразований, уравнений и неравенств. Этим создаются благоприятные условия для осознания учащимися связей между различными вопросами курса алгебры. Систематическое использование формализованного функционального аппарата и графика функции как средства формирования понятий создают возможность для быстрого подъема знаний учащихся на более высокую ступень абстракции.

2) Овладение общим понятием функции и формализованным функциональным аппаратом, уяснение сущности предельного перехода и понятия средней скорости изменения функции, использование этих понятий в курсе математики в течение длительного отрезка времени обеспечивают уровень математического развития учащихся, достаточный для перехода к изучению элементов дифференциального (а в перспективе и интегрального) исчисления. Систематическое проведение исследования функций элементарными средствами и использование свойств функций в прикладных вопросах курса математики открывают путь к применению понятия производной в различных приложениях. Этим по-существу естественно устраняется психологический барьер, который обычно разделяет изучение «элементарной» математики и «высшей». Свободно владея элементарными методами исследования функций, учащиеся уже фактически осознают сущность задачи исследования, поэтому ознакомление их с более мощными методами исследования (с помощью производной), показывает лишь преимущество новых методов над старыми, а не ведет к чему-то принципиально новому.

3) Функциональная направленность курса математики средней школы содействует решению воспитательных задач.

Овладение идеей функциональной зависимости позволяет учащимся в абстрактном выражении функции увидеть множество конкретных зависимостей величин реального мира, обнаружить взаимные связи между различными понятиями и разделами курса, изучать явления в процессе их изменения. Это, в частности, способствует формированию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения.

4) Разработанная в диссертации система изучения элементарных функций доступна учащимся старших классов обычной общеобразовательной средней школы, способствует развитию интереса к изучению математики, позволяет выработать у учащихся глубокие и прочные знания, содействует их математическому развитию. Система упражнений обеспечивает активность мыслительной деятельности учащихся и развивает их самостоятельность.

5) Основные положения диссертации, разработанные автором с целью улучшения преподавания математики в массовой школе, могут быть использованы для совершенствования системы обучения математике и в классах с физико-математической специализацией.

6) Знания, основанные на глубоком понимании идеи функциональной зависимости, умения и навыки применения понятия функции в многочисленных приложениях обеспечивают подготовку учащихся к практической деятельности по окончании школы.

7) Разработанная система изучения элементарных функций создает условия для возможности успешного продолжения образования в высшей школе. Основная цель высказанных рекомендаций состоит не в переносе части материала из вузовской программы в программу по математике средней школы, а в устранении разрыва между высшей и средней школой.

* * *

Основные положения диссертации содержатся в следующих опубликованных работах автора:

1) Статья «Принципы построения учения о функциях в связи с изучением элементов анализа» в сборнике «Вопросы перестройки обучения математике в школе», Изд-во АПН, 1963 (4 печатных листа).

2) Книга «Система изучения элементарных функций в старших классах средней школы», Изд-во «Просвещение», М., 1964 (14 печатных листов).

Подписано в печать A 27712 12/Х 1964 г. Объем 1 п. л., тир. 200 экз., зак. 1682, тип, ГКС