МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

В. И. ЛЫСЕНКО

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ПЕТЕРБУРГСКИХ АКАДЕМИКОВ конца 18 — начала 19 веков

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель-доктор физико-математических наук, проф. А. П. ЮШКЕВИЧ

МОСКВА—1962

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Член-корр. АПН РСФСР, проф. И. К. АНДРОНОВ,

2. Канд. физ.-мат. наук, доц. В. Н. МОЛОДШИЙ.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской (ул. Радио, 10а) 1962 г.

Автореферат разослан . . 1962 г.

Ученый секретарь

Леонард Эйлер (1707—1783) был, как известно, по преимуществу аналистом. Однако в его творчестве видное место занимала и геометрия. В Петербургской Академии наук Эйлер и ряд его учеников успешно разрабатывали целый комплекс направлений геометрии. Эти исследования первой Петербургской математической школы оказали влияние на развитие геометрической мысли в целом.

В диссертации главное внимание уделяется разбору геометрических работ членов Петербургской Академии конца 18 — начала 19 веков. Наряду с этим рассматривается организаторская и педагогическая деятельность учеников и последователей Эйлера, которая сыграла важную роль в развитии математического образования в России.

Сведения о творчестве петербургских математиков основаны на изучении их сочинений, публиковавшихся в периодических изданиях Академии: Commentarii Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (в дальнейшем обозначается С), Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (N. C), Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (A.), Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (N. A.), Mémoires de l'Académie Imperiale des Sciences de St.-Pétersbourg (M.), умозрительные исследования императорской Санкт-Петербургской Академии наук (Умозр. иссл.). Кроме того, были исследованы материалы архива Академии наук СССР, рукописного отдела Государственной публичной библиотеки им. М. Е. Салтыкова-Щедрина и Центрального государственного исторического архива в Ленинграде (ЦГИАЛ). Так были обнаружены 5 неопубликованных статей А. И. Лекселя и 6 статей Н. И. Фуса, представляющих интерес. Эти рукописи разобраны в диссертации. Остальная литература, которой нам приходилось пользоваться, названа в конце диссертации (293 наименования); там же приведены списки геометрических работ (89 названий).

Диссертация содержит семь глав. Порядок их расположения определялся главным образом ценностью для геометрии рассматриваемых работ.

В 1-й главе дана характеристика первой петербургской математической школы Эйлера. К математической школе Эйле-

ра относятся современники и непосредственные продолжатели его традиций в Академии. Девять из них, а именно: С. К. Котельников (1723—1806), С. Я. Румовский (1734—1812), А. И. Лексель (1740—1784), Н. И. Фус (1755—1826), М. Е. Головин (1756—1790), В. Л. Крафт (1743—1814), М. Софронов (1729—1760), И. А. Эйлер (1734—1800), П. Б. Иноходцев (1742—1806) — были прямыми учениками Эйлера. Кроме того, к геометрической школе Эйлера естественно примыкают Ф. И. Шуберт (1758—1825), СЕ. Гурьев (1766—1813), а также воспитанники Академии А. К. Кононов (1766—1795), В. И. Висковатов (1779—1812), Э. Д. Коллинс (1791—1840) и П. Фус (1798—1855), которые во многих вопросах непосредственно продолжали разработку его научного наследия.

В таблице приведена статистическая характеристика трудов петербургских академиков. Наиболее многочисленными были работы Лекселя, Фуса, Шуберта, Гурьева и Коллинса, при этом наиболее оригинальными и ценными—работы первых четырех из них. В таблицу включены работы только тех представителей школы Эйлера, которые занимались геометрией.

Фамилия и инициалы

Геометрия

Другие отрасли математики (анализ, алгебра, теория чисел)

Механика

Астрономия

Физика

Метеорология

ВСЕГО

Котельников С. К.

1

3

_

_

_

4

Лексель А. И.

10

15

3

41

2

71

Фус Н. И.

33

51

16

5

2

-

107

Шуберт Ф. И.

20

11

1

32

1

65

Гурьев С. Е.

12

4

13

-

29

Коллинс Э. Д.

7

24

31

Фус П.

6

8

_

14*

ВСЕГО

89

116

33

78

3

2

321

Как видно из таблицы, 89 из 205 собственно математических работ — геометрические. Общность научной тематики и методов, нашедших отражение в геометрических работах Эйлера и его последователей, и их взаимное сотрудничество в Академии позволяют говорить о геометрической школе Эйлера.

* В том числе 5 напечатанных отзывов (один по геометрии и четыре по другим отраслям математики), из них два написаны совместно с В. Я. Буняковским.

Основными разделами геометрии, которыми занимались русские геометры в 18 и начале 19 в. были: элементарная геометрия, в частности решение некоторых классических задач Паппа и Аполлония (Лексель, Фус, Шуберт, Гурьев); полигонометрия (Лексель, Котельников, Фус) ; исследование некоторых свойств кривых и поверхностей 2-го порядка (Фус, Гурьев).; кривые высших порядков и кривые, обладающие какими-нибудь заранее заданными свойствами (Фус, Шуберт, Гурьев); сферическая геометрия и сферическая тригонометрия (Лексель, Фус, Шуберт); математическое обоснование некоторых картографических проекций (Фус, Шуберт).

Тот факт, что почти ослепший к старости Эйлер, особенно в последние десять лет жизни (1773—1783), опирался на помощь своих молодых учеников — Лекселя, Головина, Крафта и Фуса, имел для них важные последствия. Работая с Эйлером, они сами формировались как ученые и сберегли для науки высокую трудоспособность своего учителя в эти годы.

В 1-й главе даны также биографические сведения о петербургских геометрах. Кроме того, отражены их международные связи, в частности, переписка с крупными зарубежными учеными (К. Ф. Гауссом, П. С. Лапласом, С. Д. Пуассоном, К. Г. Якоби, Ф. В. Бесселем и другими), заграничные командировки, публикации работ в зарубежных изданиях, участие в конкурсах.

Выдающийся интерес имеют труды петербургских геометров в области полигонометрии — учении о многоугольниках. Здесь они прокладывали новые пути. Разбору полигонометрических работ посвящена 2-я глава диссертации.

Развитие учения о многоугольниках имеет большое значение для практики (например, в геодезии, землемерном деле) и для самой геометрии. На протяжении многих веков вплоть до 18 в общих методов решения многоугольников не было. Их решение (определение сторон, углов между ними, диагоналей, площади) сводилось к преобразованию многоугольника в равновеликий треугольник, либо к разбиению на треугольники непересекающимися диагоналями и решению отдельных треугольников. Эти методы приводили ко многим лишним промежуточным вычислениям, в силу чего увеличивалось число возможных ошибок.

Общий тригонометрический метод решения многоугольников* впервые предложил А. И. Лексель. Он изложил и обосновал его в двух статьях под названием «De resolutione polvgonorum rectilineorum, (N. C, 1774, t. XIX, 1775; N. C, 1775, t. XX, 1776). Пользуясь только основными элементами (сторо-

* В начале 19 в. появился также общий координатный метод их решения.

ны и углы многоугольника), Лексель получил две такие общие формулы (теоремы) :

(1)

(2)

(а1 а2,.., an — стороны, φ1, φ2, ..., φn—внешние углы многоугольника в порядке обхода). Доказательство нетрудно получить, если рассмотреть сумму проекций сторон (замкнутого) многоугольника на одну из сторон и на перпендикуляр к ней. С помощью только теорем (1) и (2) можно вывести, вообще говоря, n формул для решений n-угольника. Лексель вывел такие формулы для 4-, 5-, 6- и 7-угольников. Для 4-угольника, например, эти формулы следующие:

Рассмотрев все возможные варианты задач на определение основных элементов этих многоугольников, Лексель изложил соображения, позволяющие классифицировать задачи и определить количество задач каждого класса. Несмотря на очевидные трудности классификации, Лексель рассмотрел и ту группу задач, где многоугольники решаются не только через основные элементы, но и через диагонали и углы, образуемые ими со сторонами. Он показал, что их решения могут быть приведены к некоторым общим правилам и предложил классификацию таких задач, решив попутно некоторые связанные с нею задачи комбинаторики.

Во второй из упомянутых статей Лексель продемонстрировал свой общий метод решения многоугольников на конкретных задачах тетрагонометрии и показал пути обобщения этих решений на многоугольники с любым числом сторон.

Независимо от Лекселя, но после него, над проблемой общего решения многоугольников трудились Л. Маскерони (1750—1800) и С. Люилье (1750—1840). Первый из них опубликовал свои результаты в книге Metodo di misurare i poligoni, Pavia, 1787, второй — в Polygonométrie ou de la mesure des figures rectilignés..., Paris, 1789, указав при этом на совпадение своих основных результатов с результатами Лекселя. В книге Маскерони впервые встречается общая формула вычисления площади многоугольника. У Люилье формула площади n-угольника явилась основной теоремой. Лексель оставил в стороне определение площади.

Общий тригонометрический метод решения многоугольников и, в частности, 4-угольников употребляется и в современ-

ной геодезии и землемерной практике, он рассматривается также в новых учебных пособиях.*

Следующая группа работ петербургских математиков посвящена вопросу о числе разбиений многоугольников диагоналями. Это прежде всего статья С. К- Котельникова, доказавшего справедливость формулы П —г+ для определения числа разбиений n-угольника непересекающимися диагоналями (С, 1764, т. X, 1766). Такую формулу указал Эйлер в аннотации к одной статье И. А. Зегнера (N. С, 1758—1759, t. VII, 1761), решившего эту задачу, предложенную Эйлером, иным путем.

Фус (1795) исследовал, сколькими способами можно разбить n-угольник на m-угольники так, чтобы не осталось ни одного l-угольника, где l < m < n (M., t. XI, 1830).

Наконец, еще одна группа работ—это статьи о многоугольниках, вписанных в круг и описанных около него. Некоторые задачи для вписанных 4-угольников были решены Эйлером (1750 и 1786). Особенно много внимания задачам о многоугольнике и окружности уделял Фус. Ему принадлежат три специальные работы по этому вопросу. В первой (N. А., 1792, t. X, 1797) он впервые нашел зависимость между радиусами r и R вписанного и описанного кругов для 4-угольника и расстоянием d между их центрами:

где знак минус берется при r < R, знак плюс—при r > R (случай вписания в продолжение сторон).

В другой статье (N. А., 1795—1796, t. XIII, 1802) Фус обобщает задачу на случай n > 4 и дает ее решение для 5-, 6-, 7- и 8-угольников с иррегулярной симметрией (многоугольников, симметричных относительно диаметра, проходящего через центры вписанного и описанного кругов). Проблема, поставленная Фусом, привлекла внимание многих выдающихся геометров. Через 25 лет аналогичные формулы получил Я. Штейнер (кроме формулы для 7-угольника; Journ. für die reine u. angew. Math., Т. 2, Berlin, 1827). К- Г. Якоби показал, что формулы Штейнера сводятся к формулам Фуса и что формулы Фуса в действительности годятся для общего случая. Якоби решил эту задачу для окружностей в общем виде как проблему замыкания, воспользовавшись эллиптическими функциями (Journ. für die reine u. angew. Math., Т. 3, Berlin, 1828). Для конических сечений проблему замыкания поставил и решил Ж- В. Понселе (Traité des propriétés projectives des figures,... Paris, 1822).

* См. И. К. Андронов, А. К. Окунев, Основной курс тригонометрии, М., 1960, стр. 348—352.

В конце главы описана одна неопубликованная рукопись Фуса, представленная в Академию 18 августа 1824 г.* В ней дана следующая формула определения радиуса r окружности, вписанной в n-угольник: (1)

ai —отрезки сторон от вершин до точек касания i = l, 2, ..., n). Аналогичными задачами вскоре после Фуса занимались Я. Штейнер (Journ. für die reine u. angew. Math., Т. 2, Berlin, 1827) и А. Мёбиус (Journ. für die reine u. angew. Math., Т. 3, Berlin, 1828).

Петербургские математики в конце 18 века внесли заметный вклад в учение о прямолинейных фигурах, пользуясь, наряду с тригонометрией, и чисто геометрическими методами, за которые их хвалил известный геометр и историк математики М. Шаль.**

Проблемами, интересовавшими петербургских академиков, и их обобщениями занялись позднее такие крупные математики, как Люилье, Штейнер, Понселе, Якоби. При этом Люилье и Якоби прямо ссылались на своих предшественников — первый на Лекселя, а второй — на Фуса. Петербургские математики проявили такой устойчивый интерес к полигонометрии потому, что она тесно связана с геодезией и картографией, которые, по отзывам современников и по утверждению нынешних исследователей,*** были в 18 в. поставлены в России лучше, чем в какой-либо другой стране.

Особую ценность имели работы Лекселя, Фуса и Шуберта в области сферики и сферической тригонометрии. Они рассмотрены в 3-й главе диссертации.

Большой интерес к сферике и сферической тригонометрии в последней четверти 18 в. был обусловлен как успехами астрономии, географии, картографии и мореходных наук, так и имманентным развитием самой геометрии, стремившейся к новым обобщениям ввиду большой аналогии в свойствах плоских фигур и фигур на сфере.

Новые результаты, полученные Лекселем, содержатся в трех его мемуарах: «Solutio problematis geometrici ex doctrina sphaericorum» (A., 1781, t. V, p. 1, 1784), «De proprietatibus

* Архив АН СССР, ф. 40, оп. 1, № 40. Статья была прочитана на заседании Конференции Академии 25 мая 1825 г.

** М. Шаль, Исторический очерк происхождения и развития геометрических методов, т. I—II, М., 1883, стр. 216.

*** См., напр., докт. диссерт. С. Е. Фель, Картография России XVIII в., М., 1951.

circulorum in superficie sphaerica descriptorum» (A., 1782, t. VI, p. 1, 1786), «Demonstratio nonnullorum theorematum ex doctrina sphaerica» (A., 1782, t. VI, p. 2, 1786). Первый из них Лексель посвятил доказательству теоремы, носящей теперь его имя: геометрическим местом вершин всех сферических треугольников, имеющих общий базис и одинаковую площадь, являются дуги двух малых кругов, концами которых служат точки, диаметрально противоположные концам базиса. Теорема Лекселя быстро получила распространение в геометрической литературе.

Во втором мемуаре доказано 26 теорем сферики о некоторых линиях в полукруге, о вписанных в круг треугольниках, с треугольниках описанных, о вписанных четырехугольниках, об описанных четырехугольниках. Почти каждая теорема была новой. Ценным было введение постоянных

(где 5 — полусумма сторон, 5 — полусумма углов сферического треугольника ABC), через которые Лексель выразил радиус R описанного и радиус r вписанного кругов для треугольника:

он дал также полярные формулы. Позднее выражение для ctgR получил А. М. Лежандр в Eléments de Géométrie, Paris, 1794, a Х. Гудерман нашел еще ряд выражений d и Ô (Lehrbuch der niederen Sphärik, Münster, 1835).

Лексель первый доказал, что в сферическом 4-угольнике, вписанном в круг (как и в плоском), суммы двух противоположных углов равны между собою, а также что, если 4-сторонник описан вокруг малого круга, то суммы его противоположных сторон равны. Двойственные теоремы сформулировал Ж. Д. Жергонн (Annales de Math., t. V, 1814—1815), a доказал Ж. Б. Дюрранд (Annales de Math., t. VI, 1815—1816).

В третьем мемуаре Лексель доказал две новые теоремы сферики, имеющие свои аналогии в планиметрии.

Таким образом, Лексель постепенно осуществлял свой замысел, который он высказал в мемуаре 1784 года: перенести на сферу предложения планиметрии.

Пять неопубликованных рукописей Лекселя, обнаруженных в архиве,* посвящены сферике и существенно дополняют наши сведения о круге вопросов, интересовавших этого ученого. Рукописи Лекселя позволяют установить, что он изучал четырехугольники на поверхности сферы и нашел несколько неизвестных прежде соотношений их элементов. Пользуясь сферическими координатами, он исследовал на сфере некоторые кривые, обладающие заранее заданными свойствами, перенес обычные тогда планиметрические задачи на «обратный метод касательных» на сферу и тем самым приблизился к аналитической геометрии сферы. Эта рукопись озаглавлена Problemata quaedam ex methodo tangentium inversa, ad lineas curvas in superficie sphaerica desriptas, adplicata** (70-е годы). Сам Лексель писал в рукописи: «Этот вопрос, насколько мне известно, не был рассмотрен никем из геометров».

В рукописи под названием «Disquisitio geometrica de mensura angulorum solidorum superficiebus planis inclusorum et de constructione corporum solidorum regularium»*** Лексель рассмотрел пирамиды, с вершиной в центре сферы, основания которых можно считать гранями некоторого вписанного в шар многогранника. Установив пропорциональность между телесными и некоторыми плоскими углами, он определил ребро, радиус описанной сферы, поверхность и объем каждого из правильных многогранников.

Рукопись «Proprietates tetragonorum in superficie sphaerica descriptorum»**** содержит вывод шести неизвестных прежде соотношений между углами и сторонами сферических четырехугольников и 24 задачи, решаемые с помощью этих соотношений.

После Лекселя существенный вклад в исследование сферики внесли Н. И. Фус и Ф. И. Шуберт. Их работы посвящены изучению экстремальных свойств сферических треугольников, поискам новых геометрических мест на сфере и построению системы сферической тригонометрии на базе одного главного предложения. Назовем два мемуара Фуса: «Problemata quorumdam sphaericorum solutio» (N. A., 1784, t. II, 1788), «De proprietatibus quibusdam ellipseos in superficie sphaerica descriptae» (N. A., 1785, t. III, 1788), a также два мемуара Шуберта, о которых речь пойдет дальше. Экстремальными задачами на сфере вскоре после Фуса и Шуберта занимался Лежандр (Elém. de Géom., Paris, 1794).

Мемуар Фуса о сферическом эллипсе нашел живой отклик среди геометров того времени. Фус первый перешагнул границы той части сферики, которая соответствовала планиметрии

* Архив АН СССР, р. I, оп. 91, № 9, 17, 16, 30, 35.

** Архив АН СССР, р. I. оп. 91, № 17.

*** Архив АН СССР, р. I, оп. 91, № 16.

**** Архив АН СССР, р. I, оп. 91, № 9.

и, рассмотрев коническое сечение на поверхности шара, подал идею о создании аналитической геометрии сферы, которую разработали позднее Х. Гудерман (1830 и 1835), Т. Девис (1834) и другие.

Шуберт в мемуаре «Problemata ex doctrina sphaerica» (N. A., 1794, t. XII, 1801) решил четыре задачи на отыскание геометрических мест вершин треугольников, для которых кроме данного базиса даны еще отношения: 1) синусов, 2) косинусов, 3) половин синусов и 4) половин косинусов двух других сторон.

Лексель (А., 1779, t. III, р. I, 1782) и Фус (Труды Санкт-Петерб. имп. Акад. наук, ч. I, 1821) продолжили исследования циклоиды, описанной на сфере, начатые впервые тоже членом Петербургской Академии Я. Германом (С, 1726, t. I, 1728).

Вместе с развитием сферики в тех же работах получила развитие и сферическая тригонометрия как инструмент, посредством которого рассматривались геометрические образы на сфере. Некоторые формулы Лекселя вошли в учебники сферической тригонометрии (В. Л. Некрасов, Основания сферической тригонометрии, ч. I, Томск, 1912). Другие формулы Лекселя сыграли большую роль в новой системе формул сферической тригонометрии, над созданием которой трудились Ф. Шмайссер (Journ. für die reine u. angew. Math., Т. 10, Berlin, 1833) и К. Бретшнайдер (Journ. für die reine u. angew. Math., Т. 13, Berlin, 1835).

Вывод системы формул сферической тригонометрии из одного основного предложения впервые был осуществлен Ж. Дегюа (Mém. Ac. Paris, 1783 (1786). Той же проблеме посвятил вскоре свою работу «Trigonometria sphaerica е Ptolemaeo» (N. А., 1794, t. XII, 1801) Ф. И. Шуберт. Он вывел систему формул сферической тригонометрии, опираясь на теорему Менелая о трансверсалях. Несколько ранее эту идею осуществил Лагранж (Journ. Ее. Polyt., 1798—1799).

Лексель, Фус и Шуберт еще не дали систематического изложения аналитической геометрии сферы, но уже отчетливо указывали ведущий к ней путь употребления сферических координат для исследования расположенных на ее поверхности геометрических образов.

В главе 4-й рассмотрены основные черты геометрического метода в обосновании картографических проекций, которые характерны для работ Фуса и Шуберта, и показана связь этих работ с аналогичными работами предшественников, в частности Эйлера.

Главной геометрической задачей, возникающей при построении географических карт, является построение координатной сетки. Аналитически это сводится к отысканию связи между координатами на проектируемой поверхности и на поверхности проекции, т. е. преобразованию координат с учетом воз-

можных искажений. В силу трудности соответствующего круга задач, картографией, особенно начиная с 18 в., стали заниматься многие крупные математики: Ламберт, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев и др.

Первые три работы по математической картографии в России принадлежат Л. Эйлеру (1778). В 4-й главе дана характеристика этих и предшествовавших им геометрических работ, отправных для Фуса и Шуберта.

Работа Фуса «De superficie terrestris projectione stereographica» (A., 1782, t. VI, р. I, 1786) содержала, помимо новых второстепенных геометрических деталей, несколько упрощенное изложение общих сведений о стереографической проекции сферы, какие имелись у И. Г. Ламберта (Beytrage..., Т. III, Berlin, 1772) и в первых двух картографических работах Эйлера (обе в А., 1777, р. I, 1778).

Гораздо значительнее статьи по картографии Шуберта. По мнению специалистов, картографические работы Шуберта «посвящены рассмотрению и изложению важных и довольно разнообразных вопросов по теории картографических проекций, составляя своеобразное руководство по данному предмету».* Две работы посвящены проекции сферы, три — проекции сфероида.

Особенный интерес представляют три статьи Шуберта, объединенные общим названием «De proiectio sphaeroidis ellipticae geographica» (N. A., 1787, t. V, 1789; N. A. 1788, t. VI, 1790; N. A. 1789, t. VII, 1793). Главной целью автора было решение вопроса: следует ли принимать в расчет сплюснутость Земли при составлении географических карт и как она влияет на искажения при тех или иных проекциях? Задача была трудной.

Вопрос об учете сжатия земного сфероида при математическом обосновании географических карт впервые был поставлен Ламбертом (Beytrage, Т. III, 1772). Лагранж (Nouv. Mém. Ac, Berlin, 1779, 1781), а за ним Шуберт (в статье 1789 г. и следующих) первыми занялись его разработкой, причем пошли совершенно разными путями. Лагранж, со свойственным ему размахом, получил решение как частный случай общей задачи конформного отображения любой поверхности вращения на плоскость. Шуберт сразу поставил конкретную задачу, с которой прежде всего сталкивался тогда картограф. Он решил рассмотреть проекцию сфероида на плоскость, конус и цилиндр, как это делали в случае проекции сферы, но в каждой проекции учесть влияние сжатия Земли. Это придало его работам несколько специальный характер, но не уменьшило их

* Г. А. Гинзбург, Н. С. Карпов. Т. Д. Салманова. Математическая картография в СССР, ч. 1, Исторический очерк и справочные данные. Труды Центр, науч.-иссл. инст. геодезии, аэросъемки и картографии, вып. 99, М., 1955, стр. 15:

значения как первых попыток решить проблему отображения одной поверхности на другую с сохранением подобия достаточно малых частей, т. е. той задачи, решения которой требовали актуальные нужды практики и которую только в 1825 году в общем виде решил К. Ф. Гаусс.

Среди геометрических предложений, доказанных в первой статье о проекции сфероида, укажем теорему: если эллипсоид вращения спроектировать из точки экватора на плоскость, перпендикулярную к радиусу этой точки, то как меридианы, так и параллели перейдут в эллипсы, подобные меридиану эллипсоида. Это предложение замечательно своей аналогией с известной теоремой стереографических проекций сферы, где всякий круг на сфере переходит в круг на проекции. В этой же статье Шуберт впервые употребил выражение «proiectio figurae ellipticae conformis», откуда произошел термин «конформное отображение».

Большая часть второй статьи Шуберта посвящена доказательству положения, что разностью между проекцией сфероида и сферы можно пренебречь в проекциях целого полушария, но для карт отдельных небольших областей, близких к полюсу или экватору, расхождения между проекциями сферы и сфероида будут столь значительными, что ими без ущерба для заданной точности карты пренебрегать уже нельзя.

В третьей статье Шуберт дал первое математическое обоснование конической и цилиндрической проекций сфероида, которые вовсе не рассматривались у его предшественников.

Работы Шуберта сыграли значительную роль в поднятии уровня русской картографии и в подготовке многочисленных кадров русских картографов. Изобилуя практическими советами и специально вычисленными таблицами для построения координатной сетки, они служили пособием для русских картографов.

В 5-й главе рассмотрены работы учеников Эйлера по элементарной геометрии, а также их преподавательская деятельность.

Л. Эйлер, С. К. Котельников, А. И. Лексель, Н. И. Фус, Ф. И. Шуберт и С. Е. Гурьев уделяли серьезное внимание вопросам элементарной геометрии.

Внимание петербургских математиков к вопросам элементарной геометрии было вызвано, во-первых, стремлением найти более простые решения ряда классических трудных задач с помощью новых, главным образом аналитических, методов, свойственных петербургской школе; во-вторых, нараставшими потребностями образования в России. На рубеже 18—19 вв. и особенно в начале 19 в. возрастало число учебных заведений, где велось преподавание геометрии, в том числе и самими академиками, и его надо было поставить на лучшую научную и методическую основу.

Отметим несколько наиболее интересных задач, прежде всего задачи Паппа (III в. н. э.) о вписании в данную окружность треугольника, стороны которого проходили бы через три данные точки, лежащие на одной прямой, и Аполлония—о построении окружности, касательной к трем данным.

Первое геометрическое решение обобщенной задачи Паппа на случай трех произвольно заданных точек дал Д. Ф. Кастильон (Nouv. mém. Ас. de Berlin, 1776 (1779), имя которого и получила обобщенная задача. Решение задачи Кастильона опубликовали затем Лагранж (1799, там же, где Кастильон), Эйлер, Фус (оба в А., 1780, t. III, р. II, 1783), Лексель (А., 1780, t. IV, р. II, 1784) и др. Геометрическое решение Эйлера послужило толчком для аналогичной работы Фуса, а затем и Лекселя.

Первое известное решение задачи Аполлония принадлежит Паппу (III в. н. э.), затем ее решали Ф. Виет, ван Роумен, И. Ньютон, Ламберт, Г. Голланд. Эйлер аналитически решил задачу в 1779 году (N. А., 1788, t. VI, 1790) для случая окружностей, а в другой работе для случая сфер (Умозр. иссл., т. IV, 1815). Фус решил ее в том же 1779 г., но опубликовал лишь спустя 11 лет вместе со статьей Эйлера, так как увидел, что его решение гораздо проще решений Ламберта и Голланда, появившихся после эйлерова.

В настоящее время задачи Кастильона и Аполлония обычно решаются методом инверсии.

Другими задачами Паппа заинтересовался Шуберт. Средствами дифференциального исчисления он доказал, что, если длина дуги окружности постоянна, то полукруг — наибольший из всех сегментов, ограниченных этой дугой. Аналогичное предложение он доказал для шара (N. А., 1785, t. III, 1788). Статью «Commentatio in Pappi Alexandrini theor. XVI, libr. IV» (N. A., 1792, t. X, 1797) Шуберт посвятил доказательству следующей теоремы о последовательностях вписанных касательных окружностей: если на диаметре некоторой окружности А построить две касательные окружности В, С, затем окружность D, касающуюся окружностей А, В, С, окружность Е, касающуюся А, В, D и т. д. и, если из центров окружностей D, Е и т. д. опустить на диаметр окружности А перпендикуляры, то длины этих перпендикуляров будут соответственно равны диаметру окружности D, удвоенному диаметру окружности Е, утроенному диаметру следующей окружности и т. д. Шуберт первым из геометров нового времени извлек из забвения эту теорему Паппа. После Шуберта исследованиями различных случаев взаимного расположения семейств таких окружностей занимались Понселе (Traité des propriétés projectives des figures..., Paris, 1822) и Штейнер (Journ. für die reine u. angew. Math., Т. I, Berlin, 1826).

Наконец, еще одна малоизвестная задача Паппа, решенная Шубертом, опубликована на русском языке Н. Н. Навроцким («О геометрическом строении уравнений высших степеней посредством кривой линии, называемой конхоидою. Замечания на предложение, решенное греческим геометром Паппом», Спб., 1827): дана окружность и отрезок AB; на данной окружности требуется найти такую точку Р, чтобы хорда QR, полученная в результате пересечения РА, PB с данной окружностью, была параллельна AВ. В решении Шуберта используется метод координат наряду с чисто геометрическим методом.

Петербургские геометры дали решение и других элементарно-геометрических задач, поставленных ими самими. В статье «Demonstration de quelques théorèmes de géométrie» (N. A., 1797—1798, t. XIV, 1805) Фус доказал ряд предложений геометрии окружности. Эта статья получила высокую оценку М. Шаля (Историч. очерк происх. и разв. геом. методов, т. 1—2, М., 1883, стр. 31—32).

В другой статье Фуса (М., 1809—1810, t. III, 1811) требуется разбить параллелограмм на четыре равновеликие части двумя прямыми линиями, пересекающимися под прямым углом. Фус решил задачу тремя способами.

Для треугольника аналогичная задача была решена в свое время Я. Бернулли и Л. Эйлером.

С. Е. Гурьев впервые опубликовал (Умозр. иссл., т. I, 1808) вывод формулы объема трехгранной пирамиды, определяемого через ребра а, b, с, сходящиеся в одной вершине, и плоские углы между этими ребрами (со — полусумма этих углов):

Определением объема пирамиды по ее ребрам до Гурьева занимался Эйлер, который в письме Гольдбаху от 14 ноября 1750 г. сообщил другую формулу без доказательства.

В неопубликованной статье Фуса «Démonstrations de quelques propriétés du cercle»* содержится 16 теорем, относящихся к геометрии круга, и даны их доказательства. Десять теорем— новые, они приводятся в диссертации.

Заключительные параграфы 5-й главы отведены краткому обзору педагогической деятельности и учебных руководств по геометрии, поскольку они уже были изучены раньше, если не считать учебники Н. Фуса по геометрии и рецензии на геометрические работы, поступавшие в Академию на отзыв.

В 6-й главе разобраны работы по аналитической геометрии.

* Архив АН СССР, ф. 40. оп. 1, № 52.

Многие работы Лекселя, Фуса, Шуберта и Гурьева* посвящены исследованию отдельных кривых. Пятнадцать из них, где речь идет о кривых 2-го порядка и некоторых алгебраических кривых высших порядков, естественно укладываются в рамки аналитической геометрии. В диссертации они рассматриваются в такой последовательности: 1) конические сечения; 2) плоские кривые высших порядков; 3) поверхности 2-го порядка; 4) преобразование пространственных координат.

Самой значительной в аналитико-геометрической группе была работа Лекселя «Theoremata nonnulla generalia de translatione corporum rigidorum» (N. C, 1775, t. XX, 1776), в которой он по-новому вывел формулы преобразования пространственных координат, аналогичные эйлеровым, для случая вращения осей и для случая вращения с переносом именно в том виде, в каком они известны нам по современным учебникам. Эти формулы отличаются от эйлеровых более простым видом коэффициентов.

Лексель получил в этой работе также много формул, эквивалентных или совпадающих полностью с теми, которые были раньше получены Эйлером и Лагранжем;

Специальные исследования конических сечений принадлежат только Фусу. Среди них выделяется статья «De novis quibusdam causticae parabolae proprietatibus» (N. A., 1790, t. VIII, 1794), содержащая среди прочих три новых свойства катакаустики параболы — кривой, важной в оптике.

В 1824 г. Фус, после знакомства со статьями итальянцев Т.-М. Бонатти (1790), Л. Маскерони (1781) и Д. Саладини (1806), написал работу «De descensu gravium super arcu lemniscatae» (M., 1819—1820, t. IX, 1824), где впервые нашел плоскую кривую, обладающую тем свойством, что для точек одной ветви этой кривой сумма, а для точек другой — разность времен свободного падения материальной точки по отрезкам прямых, соединяющих любую точку кривой с двумя данными точками, есть величина постоянная. Дальнейшим исследованием кривой Фуса занимался Ж- А. Серре, напечатавший в журнале Лиувилля статью «Sur une propriété mécanique de la lemniscate découverte par N. Fuss» (Journal de math, pures et appliquées, t. IX, Paris, 1844).

Первые существенные успехи в классификации поверхностей 2-го порядка после Эйлера были достигнуты Г. Монжем, Ж- Ашеттом (Journal de l'Ecole Polytechn., cahier II, v. 4, 1801) и С. Е. Гурьевым. Мемуар последнего «О разделении поверхностей 2-го порядка на роды и виды», написанный в 1805

* Аналитико-геометрические работы С. Е. Гурьева разобраны в работе А. П. Юшкевича «Академик С. Е. Гурьев и его роль в развитии русской науки» (Труды Института истории естествознания, т. 1, М., 1947, стр. 219—268), и поэтому в диссертации об их содержании даются лишь самые краткие сведения.

(Умозр. иссл., т. I, 1808), представляет собою попытку найти критерий для определения вида поверхности по ее общему уравнению. Пользуясь аналитическими признаками Гурьева, можно получить выражения первых трех инвариантов соответствующей поверхности в современной теории преобразования поверхностей 2-го порядка.* Классификация Гурьева однако не привилась (равно как и классификация Монжа и Ашетта), потому что ни сама по себе эта классификация, ни аналитические признаки Гурьева не были достаточно сильным инструментом для получения новых результатов в области теории поверхностей 2-го порядка. Лишь с появлением в 19 веке теории определителей и теории инвариантов преобразования этих поверхностей стала возможной новая классификация, включающая и вырождающиеся поверхности.

В архиве обнаружено четыре неопубликованные рукописи Фуса, относящиеся к аналитической геометрии. В одной из них «Essai sur les propriétés des lignes courbés les plus remarquables, leur histoire et leur génération** (написана в 1780 г.), изложена история и основные свойства многих кривых линий, другая — «De proprietate quadam cîrculi ad alias curvas translata»*** посвящена решению пяти задач, где требуется найти кривые, обладающие свойством, аналогичным известному свойству окружности, согласно которому произведение дуги сектора на радиус круга равно удвоенной площади сектора.

В неопубликованной рукописи «In dissertationem L Euleri: Solutio trium problematum difficiliorum ad methodum tangentium inversam pertinentium**** (90-е годы), Фус средствами анализа исследовал, имеются ли, кроме конических сечений, другие кривые, обладающие основными свойствами конических сечений: 1) лучи, соединяющие любую точку конического сечения с его фокусами, образуют с касательной в этой точке равные углы; 2) сумма (разность) расстояний от каждой точки конического сечения до двух данных точек постоянна. Как и должно быть, Фус не нашел других кривых, кроме конических сечений, обладающих этими свойствами.

В рукописи, озаглавленной «Demonstration de deux théorèmes de géométrie»,***** Фус весьма просто доказал теорему: если вершина прямого угла скользит по некоторой данной прямой а одна из его сторон все время проходит чеерз некоторую данную точку, то все положения другой стороны будут касатель-

* Подробно эту работу проанализировал В. Д. Глатенок в своей канд. диссертации «К истории и методике преподавания аналитической геометрии в России и СССР» (1951).

** Архив АН СССР, ф. 40, оп. 1, № 34.

*** Архив АН СССР, ф. 40, оп. 1, № 54.

**** Архив АН СССР, ф. 40, оп. 1, № 43.

***** Архив АН СССР, ф. 40, оп. 1, № 45

ными к одной и той же параболе. Эту теорему предложил ему М. Ф. Бартельс в письме от 23 августа 1809 г. Попытка доказать обратную теорему Фусу не удалась. (Обратная теорема: Пусть дана парабола и ее ось. Доказать, что все перпендикуляры, восставленные к касательным данной параболы в точках их пересечения с осью, пересекаются между собою в одной точке).

Мы разделили 50 из 89 работ петербургских академиков на аналитико-геометрические (15) и дифференциально-геометрические (35), исходя из того, какой в них используется аналитический аппарат. В 7-й главе разобраны работы дифференциально-геометрического характера. Для удобства они распределены на группы: 1) исследования некоторых свойств плоских кривых; 2) работы, примыкающие к так называемой натуральной геометрии кривых; 3) работы о пространственных кривых и поверхностях.

Петербургские геометры уделили много внимания исследованию отдельных свойств известных раньше плоских кривых и поискам новых кривых, обладающих заранее заданными свойствами. Работы такого характера преобладают и в геометрических томах Leonhardi Euleri opera omnia (тт. 26—29) Главное место по количеству и по результатам здесь занимают работы Н. И. Фуса. Затем идут сочинения Шуберта, Гурьева, Коллинса и Павла Фуса.

В большинстве своем дифференциально-геометрические работы петербургских математиков, составляющие более трети всех геометрических работ, представляют собою попытки усовершенствования решений частных задач, которые и прежде решались другими геометрами. Однако несколько работ, подробно рассмотренных в диссертации, содержат ценные результаты, которые вошли в учебные руководства.

В первую очередь необходимо обратить внимание на работы Н. Фуса (N. А., 1786, t. IV, 1789; М., 1803—1806, t. I, 1809) и Шуберта (обе N. А., 1791, t. IX, 1795), написанные под влиянием аналогичных сочинений Эйлера и примыкающие к так называемой естественной геометрии, получившей лишь в конце 19 в. систематическое изложение в трудах итальянского математика Э. Чезаро. Фус и Шуберт решили ряд задач, используя натуральное уравнение кривой, где по заданным определенным соотношениям между радиусом кривизны, радиусом-вектором кривой и длиной дуги надо было найти кривую и ее свойства.

Большие трудности преодолел Фус в двух статьях (А., 1780, t. IV, р. II, 1784; А., 1781, t. V, р. I, 1784), где ищутся кривые, для которых имеет место равенство между отрезком дуги и отрезком данной прямой, заключенными между радиусами-векторами двух точек, взятых на этой прямой. Фус пришел в этих статьях к дифференциальному уравнению:

решить которое смог лишь спустя 40 лет (М., 1819—1820, t. IX, 1824).

Глубокое исследование локсодромии на любых поверхностях вращения выполнил Шуберт (N. А., 1786, t. IV, 1789; N. А., 1799—1802, t. XV, 1806). До Шуберта локсодромию рассматривали только на сфере. Статьи Шуберта о локсодромии оказались совсем забытыми и не разбираются в сводных работах по истории математики (М. Кантора, Г. Вилейтнера и др.).

В статье о точках возврата (М., 1817—1818, t. VIII, 1822) Шуберт впервые получил дифференциальный признак точек возврата 1-го и 2-го рода плоской кривой в той форме, в какой он включается в современные учебники.

Формулы для решения основных дифференциально-геометрических задач на плоскости в полярных координатах предложены были впервые С. Е. Гурьевым (N. А., 1794, t. XII, 1801).

Таким образом видно, что научная и просветительская деятельность петербургских геометров конца 18—начала 19 в. была многогранной и напряженной. Они внесли существенный вклад в полигонометрию, сферику, картографические проекции, теорию плоских кривых и их творчество оказало влияние на общее развитие геометрической науки.

Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в следующих статьях:

1. Работы по полигонометрии в России XVIII в., Историко-математические исследования, вып. 12, М., 1959, стр. 161—178;

2. О неопубликованных рукописях по геометрии академиков А. И. Лекселя и Н. И. Фуса, Академия наук СССР. Вопросы истории естествознания и техники, вып. 9, М., 1960, стр. 116—120;

3. О работах петербургских академиков А. И. Лекселя, Н. И. Фуса и Ф. И. Шуберта по сферической геометрии и сферической тригонометрии, Академия наук СССР. Труды института истории естествознания и техники, т. 34, М., 1960, стр. 384—414;

4. Формулы преобразования пространственных координат в работах по механике Л. Эйлера и А. И. Лекселя, Научная кон-

ференция Всесоюзного заочного института пищевой промышленности, М., 1961, стр. 31—32;

5. О работах академиков Н. И. Фуса и Ф. И. Шуберта по математической картографии, Академия наук СССР. Вопросы истории естествознания и техники, вып. 11, М., 1961, стр. 75—78;

6. Из истории первой петербургской математической школы, Академия наук СССР. Труды института истории естествознания и техники, т. 43, М., 1961, стр. 182—205.

A 70330 Подп. к печ. 13/II 1962 Тир. 200 экз. Зак. 130

Типолитография № В-15