МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

Ленинградский государственный педагогический институт им. А. И. Герцена

Е. И. ЛЯЩЕНКО

СОДЕРЖАНИЕ И СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ, РАСКРЫВАЮЩИХ ИДЕЮ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации и а соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике преподавания математики)

Научный руководитель — доцент С. Е. ЛЯПИН.

Ленинград — 1967

Работа выполнена при Минском государственном педагогическом институте им. А. М. Горького.

Автореферат разослан « »........ 1967 года,

Защита состоится на заседании Ученого Совета факультета математики в Ленинградском ордена Трудового Красного Знамени педагогическом институте имени А. И. Герцена.

Ленинград, Мойка, 48, 1-й корпус ауд.......

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института.

Ответственный редактор — доцент Щукина М. А.

AT 23061. Подп. в печ. 2/VIII-67 г. Формат 60Х841/1в. Печ. л. 1,25. Усл. л. 1,176. Бум. л. 0,625. За:каз 5725. Тираж 250 г. Минск, Свердлова, 28, тип. мелкопечатных изданий

Современное развитие науки и техники требует проникновения математических методов в различные области человеческой деятельности, что невозможно без повышения математической подготовки учащихся школ. Повышение уровня математической подготовки учащихся выдвигает ряд серьезных проблем, связанных с определением содержания изучаемого материала и методов его преподавания в школе.

В последние годы математиками, педагогами и психолотами Советского Союза и за рубежом ведется большая экспериментальная работа по определению содержания математического образования и соответствующих ему форм и методов работы на различных этапах обучения. Особенно широкая исследовательская работа осуществляется в области начального обучения математике (1—5 классы).

Исследования лабораторий под руководством В. В. Давыдова, Л. В. Занкова сводятся к выяснению содержания и построению курса начальной математики (1—3 классы).

В эксперименте К. И. Нешкова и Н. Г. Миндюк разрабатываются принципы содержания и организации единой начальной математики на основе органической связи начальной алгебры с арифметическим материалом так, чтобы учащиеся на ранней стадии обучения овладевали элементами алгебры, способствующими усвоению арифметического материала, изложенного на более высоком теоретическом уровне по сравнению с традиционным.

В методической и психологической литературе можно указать ряд исследований, посвященных вопросу влияния функциональной трактовки начальных понятий математики на общий уровень математического развития

учащихся (Добровольский М. И., Жаворонков А. И., Виноградова А. Д., Тоненкова М. М. и др.).

Большинство современных исследований по определению содержания начального математического образования сводится к алгебраизации начал школьной математики, к приданию этим курсам более значительного функционального аспекта. Следует отметить, что авторы названных исследований в основном касаются требований, предъявляемых к теоретическому построению того или иного школьного курса (темы) начальной математики.

Изменение теоретического содержания школьного курса математики влечет изменение содержания и форм организации упражнений, с помощью которых осуществляется изучение теоретического материала. Поэтому, наряду с разработкой проблем, решающих содержание образования, должны исследоваться и проблемы методики упражнений.

Существует немало работ, раскрывающих отдельные вопросы методики упражнений традиционного курса школьной математики (Шохор-Троцкий С. И., Арнольд И. В., Нагибин Ф. Ф., Эрдниев П. М., Груденов И. Я., Канин Е. С, Зарецкий М. И., Дункер К., Гальперин П. Я. и др.) — Однако вопросы методики упражнений, формирующих основы нового содержания математического образования, в котором значительное внимание уделяется идейным началам курса, изучены недостаточно и поэтому не получили должного обоснования.

Используя в некоторой степени результаты названных исследований, определяющих теоретическое содержание начального образования, и выполнив самостоятельно некоторые предварительные исследования (введение в начальной школе координатного метода и построение простейших графиков, изучение на арифметическом материале отдельных вопросов конечных множеств, более углубленное изучение математического понятия величины), мы поставили проблему разработать требования к упражнениям, с помощью которых возможно осуществить сознательное изучение основных понятий алгебры, при условии, что теоретической основой начальной алгебры будет идея соответствия.

Выясняя природу ошибок, допускаемых учащимися при решении упражнений алгебры, мы заметили, что те-

оретические знания, которые получают учащиеся по алгебре в восьмилетней школе, часто не являются руководящим началом к выполнению упражнений.

Чтобы разработать требования к упражнениям, необходимо было определить тему, на материале которой возможно решение поставленной проблемы. Такой темой мы избрали «Функции и графики». Целесообразность выбора темы объясняется следующими мотивами: 1) сближение функциональной стороны школьного курса алгебры, начиная с первых уроков, с идеями преобразования и вычисления, приближает предмет алгебры к идеям современной математики и значительно способствует развитию мыслительной деятельности учащихся данного (10—14 лет) возраста; 2) успех математического образования возможен только при сравнительно ранней функциональной подготовке учащихся (выводы исследователей Добровольского М. И., Тоненковой М. М. и др.); 3) с помощью главной идеи этой темы — идеи соответствия, возможно ввести все основные понятия курса алгебры восьмилетней школы (переменная, функция, алгебраическое выражение, уравнение и др.); 4) в процессе изучения идеи соответствия имеется возможность ознакомиться с важнейшими приемами и методами решения упражнений и проследить условия формирования сознательного выполнения упражнений в курсе алгебры.

При решении данной проблемы мы высказали ряд гипотез следующего содержания:

1) Расширение теоретических знаний при изучении основных понятий алгебры (переменной, буквы, функции, линейной функции и квадратной функции и др.) влияет на осознанность выполнения упражнений учащимися 5—8 классов.

2) Учащиеся выполняют упражнения более осмысленно, если содержание упражнений значительно насыщено математической информацией по сравнению с содержанием упражнений современного стабильного задачника.

3) Решение упражнений будет более сознательно выполняться учащимися 5—8 классов, если упражнения разместить в определенной последовательности, согласно нашим предложениям, изложенным во 2-й главе работы.

Результаты исследования и опытной проверки названной проблемы оформлены в виде диссертации, состоящей из введения, четырех глав и обобщающих выводов.

К диссертации прилагается список цитированной литературы и 5 приложений — системы упражнений для изучения основных понятий алгебры с функциональной точки зрения.

Исследование было осуществлено нами по следующему плану:

1. а) Изучили математическую, методическую и психологическую литературу по данному вопросу, б) на основе изученной литературы и личного опыта обосновали требования к основным понятиям школьного курса алгебры с точки зрения соответствия и упражнениям, формирующим эти понятия в 5—8 классах школы.

2. Провели экспериментальную проверку: а) влияния расширения теоретических знаний на операционную деятельность учащихся, б) влияния содержания упражнений на раскрытие идейных основ понятий и развитие мыслительной деятельности учащихся, в) влияния системы упражнений на сознательность выполнения учащимися алгебраических операций и исследования свойств функций.

3. На основе данных экспериментальной проверки и теоретических исследований разработали учебные материалы и осуществили опытную проверку.

Опытная проверка была проведена учителями Лещинской С. Д. и Семеновой М. М. — СШ № 3 г. Минска, Бошковой Л. В. и Вигдорович С. Л. — СШ № 30 г. Минска. При исследовании был использован 9-летний опыт работы автора в школе.

Во введении сформулированы общие требования к курсу алгебры, построенному на основе идеи соответствия, а также приведены основные требования, которым должны удовлетворять упражнения, формирующие теоретические положения курса. Кроме того, сформулированы основные рабочие гипотезы и план исследования проблемы.

В первой главе — «Основные определения начальной алгебры» — рассматривается история развития определения функции, величины и переменной в математической и методической литературе и высказываются рекомендации относительно указанных понятий в современном школьном курсе математики.

В работе приведены основные этапы развития определения функции, начиная от определения Эйлера и до

современного, которое находит применение в вузовских учебниках математического анализа (Толстов Г. П., Смирнов В. И., Фихтенгольц Г. М. и др.)

Далее рассматриваются две точки зрения, существующие в методической литературе на вопрос о выборе определения функции и времени «-ведения его в школе. Первая, предлагающая сразу знакомить учащихся с определением функции таким, как дается в современном курсе теории функций действительного переменного, т. е. если (каждому элементу х множества M поставлен в соответствие некоторый элемент у множества N, то говорят, что на множестве M задана функция — выражена в работах А. И. Маркушевича, В. И. Севбо, Ф. М. Томашевича и др. Вторая — определяющая функцию как соответствие численных значений переменной величины, нашла истолкование в работах А. Н. Барсукова, Ф. Ф. Нагибина, А. И. Жаворонков а и др.

После теоретического и экспериментального исследований мы пришли к выводу, что в 6-м классе может быть дано следующее определение функции: закон (правило), по которому каждому элементу х множества X ставится в соответствие элементу из множества У, называется функцией. Элементы х называются значениями аргумента, а элементы у или f (х)—значениями функции, f — это правило (закон), есть функция. Множество значений х—область определения функции, множество значений у или f (х) — область изменения функции.

В работе рассматривается вопрос о доступности предлагаемого определения и делается вывод, что изучение его будет доступно, если асе раскрывающие это определение понятия (множество, соответствие, область определения, таблица, график и т. п.) будут даны в виде задач и примеров лабораторных работ, практических заданий в таких формах, которые доступны (пониманию учащихся. Подбор и организация системы упражнений — вот один из путей решения проблемы доступности изучаемого материала.

В качестве элементов множеств в каждом из двух множеств функции рассматриваются произвольные объекты, затем величины и их численные значения. После того, как будет усвоена сущность определения функции, необходимо более подробно изучить свойства функций, у которых в качестве значений аргумента и зна-

чений функции выступают значения переменной величины. Переменная величина выделяется нами из общего понятия переменной. Переменная же по содержанию аналогична содержанию константы, но только в отличие от последней принимает различные значения. С переменной неразрывно связана область принимаемых ею значений, поэтому лучше, начиная с первых уроков, различать понятия переменной и множества ее значений. То же относится и к понятию функции; сейчас в школьной практике приходится наблюдать, что понятие функции отождествляется с множеством ее значений.

Переменная величина есть величина, в соответствии с общим положением о переменной, принимающая любое значение из области действительных чисел.

В связи с таким определением переменной величины в работе дан план изучения понятия величины. Понятие величины рассматривается как основное логически неопределяемое понятие, поэтому оно может быть введено описательно или с помощью системы аксиом, раскрывающих сущность этого понятия. Мы считаем, что в курсе арифметики и начальной алгебры должно быть на содержательных примерах сформировано понятие величины с его отдельными характерными свойствами (измеряемостью—сравнимостью, аддитивностью). В старших классах возможно рассмотрение понятия величины с аксиоматической точки зрения.

Так как систематическое изучение курса алгебры мы предлагаем начинать с понятия функции, то алгебраическое выражение можно рассматривать как функцию-указатель, т. е. функцию без наличия знака отношения (знака равенства).

Дальнейшее построение курса алгебры определяется двумя направлениями, тесно связанными друг с другом: 1) исследование простейших функций элементарными средствами, начиная с 6-го класса и 2) преобразование и нахождение численных значений термов.

Понятие уравнения дается как запись требования о разыскании таких значений аргументов, при которых значения данных функций f (х) и f1(х) равны.

Вторая глава диссертации — «Дидактические требования к упражнениям курса алгебры восьмилетней школы» посвящена выяснению требований к упражнениям, формирующим понятия и предложения алгебры.

Придавая существенное значение теоретическому началу предмета алгебры, мы выяснили, что теоретические знания оказывают существенное влияние на осознанность выполнения упражнений. Основное назначение упражнений заключается в том, чтобы их средствами раскрывались основные признаки системы изучаемых понятий; чтобы они служили основой формирования обобщенных методов мыслительной деятельности учащихся и выполняли роль стимула «в приобретении знаний по предмету.

Содержание всех изучаемых понятий было выражено нами в упражнениях. Упражнения изучали только с точки зрения их математического содержания и способов нахождения связи между условием и вопросом упражнения; между условием, вопросом и теоретическими знаниями учащихся.

Математическая информация, заключенная в содержании упражнения и системы упражнений, показывает, насколько учащийся обогащается новыми математическими сведениями и методами решения упражнений в процессе работы по данной системе упражнений. Увеличение математической информации с помощью системы упражнений осуществлялось двумя путями: а) без сообщения новых теоретических знаний формируемое понятие включается в связи с самыми разнообразными ранее известными знаниями; б) ранее известные приемы и методы решения упражнений применяются к еще неизвестному новому материалу, тем самым накапливается математическая информация для формирования новых математических знаний и общих схем мыслительной деятельности учащихся. К математической насыщенности упражнений и системы упражнений мы отнесли степень сложности отношений между данными и искомыми элементами упражнения.

Кроме того, система упражнений, способствующая развитию самостоятельности учащихся, своим содержанием развивает мыслительную деятельность школьника. Большинство упражнений современного стабильного задачника по алгебре для восьмилетней школы ни содержанием, ни системой не оказывает должных стимулов для развития мыслительной деятельности учащихся, так как многие упражнения (по теме «Функция и графики» —85%) решаются непосредственным подчинением кон-

кретной ситуации упражнения известному общему способу решения.

Чтобы система упражнений обеспечивала развивающее обучение, необходимо в ее содержании иметь упражнения, которые при решении требуют умения узнавать в конкретном упражнении свойства изученного понятия и, наоборот, применять общие свойства понятия к конкретному упражнению; умения обосновать выполняемые математические и логические операции; умения выполнять анализ упражнения и на его основе решать упражнения; умения систематизировать отдельные свойства, сравнивать результаты и делать выводы из приведенного сравнения; умения выделять наиболее существенные свойства и количественные характеристики процесса, абстрагируясь от второстепенных данных и производить обобщение.

Для составления системы упражнений по формированию того или иного математического понятия применяли схемы-структуры основных свойств этого понятия, а также устанавливали круг мыслительных действий, которые возможно сформировать при изучении определенного понятия. В работе приведен механизм определения содержания упражнений на примере понятия функции и переменной величины.

Следовательно, содержание системы упражнений определяется системой понятий, которые должны изучить учащиеся в курсе алгебры; основными обобщенными методами мыслительной деятельности учащихся и стимулами, побуждающими школьника к познавательной деятельности.

Образовательная ценность системы знаний по тому или иному предмету определяется как качеством самих знаний, включенных в данную систему, так и их упорядоченностью, логикой соотношения понятий и представлений друг с другом, их подчиненностью той или иной научной идее. Поэтому, определив содержание системы упражнений, мы считали необходимым установить хотя бы основные принципы систематики упражнений.

Такими принципами мы считаем следующие:

1. Объединение упражнений в группы, связанные идейно и операционно.

2. Расположение упражнений по математическому содержанию, по уровню развития мыслительной деятельности и по методам решения упражнений.

3. Расположение упражнений с учетом развития интереса учащихся к математике.

Расположение упражнений должно быть основано на сближении логически (и генетически) связанных между собой упражнений (исследования Эрдниева П. М. и Груденова И. Я.). Мы разработали в своем исследовании вопрос о том, какие упражнения следует решать, используя метод одновременного противопоставления, какие методом последовательного противопоставления, а какие вообще сравнивать после того, как они были изучены отдельно. Наш вывод заключается в том, что в 5—6 классах методом одновременного противопоставления можно изучать понятия и решать упражнения, которые имеют отчетливо выраженные критерии для сравнения (написание функций-указателей символами и их словесная формулировка, составление формул-указателей на основе анализа численной зависимости и выражение функции-указателя в числах в зависимости от допустимых значений буквы, сложение и вычитание рациональных чисел, одночленов, многочленов; построение и чтение графиков функций и др.).

Методом последовательного противопоставления могут быть решены упражнения, в которых ни в содержании, ни в методах решения нет отчетливо выраженного критерия для сравнения (обратные и противоположные числа, свойства функций f (х) = кх+в и f (х) =— и др.).

Логические связи между упражнениями мы, чисто условно, расчленяли на связи по алгебраическим операциям и по мыслительным действиям, применяемым при решении упражнений. Мыслительная связь замкнется тогда, когда осуществится прямая и обратная мыслительная деятельность. Поэтому, систематизируя упражнения, мы помещали в непосредственной близости синтетические и аналитические упражнения, упражнения, требующие на основе конкретных данных делать обобщения и, наоборот, уметь видеть в абстрактном понятии конкретное его выражение.

Объединив упражнения по принципу прямая—обратная связь, мы исследовали последовательность расположения упражнений друг относительно друга внутри указанной связи. Последовательность расположения упражнений относительно друг друга определяется:

а) их математическим содержанием—математическое содержание предыдущего упражнения в ряде случаев подготавливает решение последующего,

б) возможностями развития мыслительной деятельности учащихся,

в) общностью методов решения упражнений или последовательностью формирования методов решения.

Например, исследуя свойства функций, упражнения были подобраны так, чтобы показать, как приемы исследования свойств функции постепенно обобщаются до метода исследования. Кроме того, нами были выделены приемы решения упражнений, которые встречаются на протяжении всего курса алгебры (исключение целой части из дробного выражения, дополнение выражения до необходимого для решения, интерполирование и экстрополирование и др.), и с их помощью осуществлена систематизация упражнений в порядке следования друг за другом.

Значительную роль при систематике упражнений играет создание (с помощью содержания) и поддержание (с помощью системы) интереса к выполнению упражнений. Воспользовавшись некоторыми исследованиями психолога Кузнецова Б. Н. и осуществив самостоятельно проверку отдельных положений, мы /предлагаем следующую последовательность расположения упражнений с учетом развития интереса учащихся к изучению предмета математики:

1) Упражнения, создающие эмоциональный интерес, который опирается на занимательность фабулы и содержания упражнения.

2) Упражнения, создающие практический интерес, который обеспечивается практическим содержанием и реальными данными упражнения.

3) Упражнения, создающие операционный интерес, формирующийся на основе выполнения логических операций и наиболее общих приемов решения упражнений.

4) Упражнения, создающие еще неустойчивый интеллектуальный интерес, основанный на стройности исследований, на применении анализа и синтеза к абстрактным понятиям.

Итак, упражнения системы, с помощью которой изучаются основные понятия начальной алгебры, построен-

ной на основе идеи соответствия, должны по содержанию удовлетворять следующим требованиям:

а) раскрывать математическую сущность системы понятий на основе более значительного усиления математического содержания упражнений и введения упражнений, позволяющих формировать наиболее общие приемы их решения;

б) служить основой формирования обобщенных методов мышления, для чего большинство упражнений системы должно быть снабжено вопросами и указаниями, требующими умения устанавливать причинно-следственные связи между условием и основным вопросом упражнения, между вопросом упражнения и теоретическими знаниями учащихся и т. п.;

в) побуждать учащихся к познавательной деятельности с помощью фабул упражнений и практического проявления их условия.

Последовательность расположения упражнений системы отвечает трем названным ранее принципам.

Третья глава диссертации посвящена вопросам проведения экспериментальной проверки рабочих гипотез. Основное внимание при этом было направлено на выяснение сознательности усвоения предлагаемого курса алгебры на функциональной основе с помощью системы упражнений. Сознательность усвоения понятий и выполнения упражнений нами была охарактеризована рядом показателей: 1) умение выделять в упражнении основное соответствие между элементами и выражать его с помощью символов и отношений между символами, 2) умение распознать в данном упражнении соответствия, адекватные изученным в теории, и подчинить их сущности этих понятий, 3) умение объяснить причины, вызвавшие применение того или иного математического действия, и основание, опираясь на которое, имеем право выполнять определенное математическое действие.

Основным методом исследования было обучение в экспериментальном и контрольном классах по предложенным нами учебным материалам. Выяснение сознательности усвоения основных понятий и решения упражнений осуществлялось с помощью самостоятельных и контрольных работ, а также индивидуальных бесед с учащимися.

Показатели сознательного выполнения упражнений с учетом развития учащихся были определены следующим образом: сознательно выполненным считалось то упражнение, 1) к которому учащийся умел поставить (письменно или устно) вопрос или мог сделать последующее объяснение мотивов действия; какому понятию подчинена рассматриваемая операция, на основе какого закона она выполняется; в каком логическом следовании построено выполнение упражнения; 2) к которому учащийся мог поставить вопрос, где логичность следования операций, отражающих реальный процесс, адекватна логичности связей действительности; 3) в котором правильность действий обоснована косвенной проверкой (а не простой подстановкой), установлены границы изменения параметров, указана область определения функции и т. д.

Рабочие гипотезы проверялись на материале отдельных тем:

а) влияние расширения теоретических знаний на сознательность выполнения упражнений проверялось в 7-м классе при изучении темы «Линейная функция» в СШ № 30 учительницей Бошковой Л. Д.;

б) выяснение осмысленности выполнения упражнений, система которых построена по нашим принципам, проводилось в СШ № 30 г. Минска у учительницы Бошковой на материале темы «Квадратная функция»;

в) выяснение влияния принципов систематики упражнений было проверено в СШ № 3 у учительницы Семеновой М. М. на материале темы «Начальные понятия алгебры с функциональной точки зрения» в 6-м классе.

После этого, с учетом экспериментальных данных были составлены учебные материалы для систематического изучения в школе тем: «Конечные множества», «Координатный метод и построение графиков», «Определение функции», «Линейная функция», «Квадратная функция». Начиная с 1963—64 учебного года, осуществлялась опытная проверка обучения учащихся 4—8 классов по этим материалам в СШ № 30 и СШ № 3 г. Минска.

В четвертой главе — «Опытная проверка системы упражнений» показана работа по нашим учебным материалам в ряде классов по всем проверяемым нами темам.

В 4-м классе мы изучали отрицательные числа с помощью числовой оси, решали простейшие уравнения и с помощью букв записывали арифметические законы и формулы решения простейших арифметических задач. В 5-м классе, кроме того, что решали задачи методом уравнения и арифметическим способом, изучали дроби (десятичные и обыкновенные), было введено изучение конечных множеств на арифметическом материале (основные определения—конечное, пустое, единичное множество; сравнение множеств путем количества элементов множеств и путем установления взаимно однозначного соответствия; операции над конечными множествами — объединение и пересечение). В 5-м же классе были изучены основы координатного метода (координатная плоскость и ее элементы, основные задачи координатной плоскости—построение точки по ее координатам и нахождение координат точки, данной на координатной плоскости; идея движения точки на координатной плоскости; построение простейших графиков). Кроме этого, в 5-м классе дается содержательная трактовка буквенной символики. С помощью группы упражнений показывается, что различные понятия могут находиться с точки зрения математики в одинаковых отношениях. Затем, с помощью другой группы упражнений показывается, что одни и те же величины могут находиться в различных математических отношениях и после этого делается общий вывод, что для математики не столь важна природа элементов (величина), которые находятся в математических отношениях, но очень важны сами отношения. Поэтому элементы (величины) могут быть заменены произвольными символами-буквами, чтобы, абстрагируясь от их конкретной природы, заниматься изучением самих отношений и их свойств.

Затем рассматривается сущность буквы с точки зрения ранее изученных понятий. К моменту систематического пользования буквой как математическим символом (5 кл.) у учащихся вырабатываются о ней понятия следующего содержания: а) в уравнении буква — это неизвестная переменная, вполне определенная для каждого уравнения, б) в тождестве — это любое число, в) в формуле, устанавливающей соответствие между переменными,—это символ переменной, принимающей значения из области ее допустимых значений.

Кроме того, на протяжении 4—5 классов систематически шло формирование понятия величины (константы и переменной) на основе решения упражнений (методом таблиц, числовых формул, буквенных формул, графиков).

В 6-м классе было дано определение функции и функции-указателя в соответствии с теми определениями, которые были приведены в первой главе. Значительное время в работе по нашему плану в 6-м классе отводится выяснению области определения функций; построению графиков функций по точкам; решению задач на движение с помощью графиков и таблиц; вычислению значений функций для определенных значений букв, входящих в задание функции; тождественным преобразованиям функций-указателей.

В 7-м классе было дано определение линейной функции—как функции, у которой правило (закон) соответствия между элементами множеств может быть записан f (х)=кх+в, где К и в параметры, принимающие любые числовые значения. Прежде чем заняться исследованием свойств линейной функции, было выяснено содержание термина «исследование свойств функции». Изучение свойств функции было выполнено двумя методами: геометрическим и аналитическим. Последовательность изучения свойств линейной функции геометрическим методом была следующая: 1) вычертить график, 2) установить область определения функции, 3) установить область изменения функции, 4) установить промежутки возрастания и убывания функции, 5) определить корни функции, 6) определить четность функции, 7) определить значения функции, при которых аргумент равен нулю.

Хотя учащиеся уже строили графики функций и, казалось бы, начинать изучение свойств линейной функции с построения графика нет необходимости, однако в ходе эксперимента мы убедились, что систематическое исследование свойств функции целесообразно начинать с ее геометрического образа, как наиболее наглядного и доступного пониманию учащихся.

Пользуясь геометрическим методом исследования свойств линейной функции, мы получили определенный запас знаний по вопросу исследования и имели возмож-

ность приступить к исследованию свойств функций аналитическими средствами, как наиболее точными и дающими возможность делать более достоверные выводы о характере поведения функции на определенных участках области ее определения. Аналитическое исследование свойств линейной функции проводилось с помощью понятия приращения. Было доказано характеристическое свойство линейной функции: для линейной функции приращение функции пропорционально приращению аргумента, и отношение их есть величина постоянная, равная коэффициенту К линейной функции f (х) = Кх+ В. С помощью характеристического свойства линейной функции получили возможность устанавливать вид соответствия по эмпирическим данным, если они удовлетворяли этому свойству. Позднее это же свойство было использовано в упражнениях на интерполирование. Квадратная функция характеризуется постоянством вторых разностей, кубическая функция — постоянством третьих разностей переменных и т. д. Работа, проделанная нами в указанном направлении, послужит хорошей базой для введения понятия производной в старших классах. Кроме того, с помощью характеристического свойства линейной функции можно аналитически исследовать функцию на возрастание и убывание и дать определение возрастающей функции: функция будет возрастающей в данном промежутке, если положительному приращению аргумента в данном промежутке соответствует положи тельное приращение линейной функции или же →0.

При исследовании функции аналитическим методом план исследования был несколько изменен по сравнению с геометрическим. Теперь построение графика было итогом исследования, а все свойства устанавливались аналитически.

В 7-м же классе дается определение уравнения, приведенное в первой главе, и с помощью системы упражнений выясняются основные его свойства.

В 8-м классе функции исследуются по следующему плану: 1) установить область определения функции, 2) установить область изменения функции, 3) установить свойство четности и нечетности функции, 4) определить область возрастания и убывания функции, 5) определить максимум или минимум функции, 6) опреде-

лить корни функции, 7) на основании данных исследований построить график функции.

В процессе исследования свойств функций было отмечено как для различных видов задания функции (аналитического, табличного, графического) устанавливается область определения функции. Доказана основная теорема о четности функций: любую функцию f (х), определенную на множестве действительных чисел, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций, заданных на этом же множестве чисел. Даны определения максимума и минимума функций в данной точке. Рассмотрено общее понятие обратной функции и принципа получения ее графика.

Следует отметить, что очень многие вопросы (характеристическое свойство линейной функции, аналитический метод исследования свойств функции, основные теоремы четности функций и др.) учащиеся 7—8 классов усваивали без особых затруднений. Об этом говорят результаты контрольных и самостоятельных работ, приведенные в диссертации, где указано, что большинство учащихся опытных классов получило хорошие оценки. Ответы их на экзамене тоже подтверждают этот вывод.

Общие выводы

Функциональная направленность курса алгебры и начальной математики значительно повышает идейное содержание предмета, делает его более однородным по содержанию и методам изучения и тем самым способствует глубокому и сознательному изучению определяющих идей школьной математики. Обучение основам алгебры по разработанной нами системе упражнений обеспечивает сравнительно высокую математическую культуру учащихся.

Методическая сущность наших положений заключается прежде всего в том, что теоретическому началу курса придается существенное значение. Мы выяснили, что более сознательное уяснение предмета достигается в том случае, когда изучаемым понятиям придается отчетливая теоретическая ориентация.

На основании нашего исследования мы делаем вывод, что в 4—5 классах с помощью системы упражнений мо-

гут быть изучены конечные множества, координатный метод, буквенная символика, величина и переменная; в 6-м классе — определение функции, построение графиков функций, вычисление числовых значений функций-указателей; в 7-м классе — изучение свойств линейной функции, линейных уравнений и неравенств; в 8-м — исследование свойств функций и доказательство основных теорем о четности функции, максимуме и минимуме функции, выяснение общего понятия обратной функции и др.

Такой подход к изучению идеи функции в средних классах школы стал возможен благодаря системе упражнений. Система упражнений раскрывала математическую сущность понятий, служила основой формирования обобщенных методов мышления и побуждала учащихся к познавательной деятельности. С помощью системы упражнений вводилось определенное понятие, раскрывались его наиболее характерные свойства и связи с другими понятиями из курса алгебры и смежных дисциплин, показывалось их практическое применение.

Чтобы с помощью системы упражнений можно было осуществить названные цели, она была значительно усилена математической информацией, введены упражнения, позволяющие формировать наиболее универсальные приемы решения упражнений; большинство упражнений снабжено вопросами и указаниями, стимулирующими развитие мыслительной деятельности и познавательных интересов. Последовательность расположения упражнений учитывала логические связи (идейные, операционные и мыслительные). Кроме требований к системе упражнений, основанных на содержании самих упражнений и структуре мышления учащихся, руководствовались еще мотивами учения. В соответствии с этим упражнения были расположены с учетом уровней интересов учащихся к предмету математики.

Материалы диссертации дважды обсуждались и получили одобрение на Республиканских научно-методических конференциях учителей математики в 1964 и 1966 годах.

Основные положения диссертации изложены в следующих опубликованных работах:

1. Принципы систематизации упражнений в курсе алгебры восьмилетней школы, построенном на основе

идеи соответствия, Сб. «Материалы научно-теоретической конференции», Минск, 1965 г., стр. 403—411.

2. Система упражнений для изучения основных понятий функции в восьмилетней школе, ж. «Народная асвета», Минск, № 6, 1965 г., стр. 68—75.

3. Начальные понятия алгебры, ж. «Народная асвета», Минск, № 2, 1966 г., стр. 38—44.

4. Функциональный подход к изучению начальной математики, ж. «Народная асвета», Минск, № 6, 1967 г.

5. Сравнение — основа мышления, «Настаўніцкая газета», 17 августа 1966 г.