АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

Х. Б. ЛИВЕРЦ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОСНОВНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ И МЕТОДИКА ИХ ВВЕДЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК (по методике преподавания математики)

Научный руководитель — ст. научный сотрудник Института методов обучения АПН И. А. ГИБШ.

МОСКВА—1958

А. Во «В ведении» выясняется сущность поставленной проблемы и обосновывается ее актуальность.

1. Для достижения вполне сознательного усвоения учащимися школьною курса геометрии необходимо, чтобы в нем были в возможно большей мере отражены понятия, идеи и методы геометрии как науки, которая изучает пространственные формы и отношения между ними, существующие в предметах и явлениях окружающей действительности.

Как известно, современный аксиоматический метод обоснования геометрии как науки является вместе с тем и методом её развития. Постепенное и последовательное ознакомление учащихся с сущностью и способами применения этого метода могло бы дать учащимся ясное представление о построении геометрии как научной системы, раскрыть перед ними богатое идейное содержание геометрии, всемерно содействовать приобретению ими знаний из области логики и развитию их способности к самостоятельному логическому мышлению и вместе с тем могло бы создать широкие возможности для осуществления одной из важнейших задач нашей школы — формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

Между тем постановка преподавания геометрии в школе еще весьма мало содействует тому, чтобы учащиеся получили правильное представление о задаче обоснования геометрии и идее дедуктивного построения этой дисциплины.

Прежде всего выяснению этих вопросов уделяется весьма недостаточное внимание как в программе, так и в методике преподавания геометрии.

До 1956/57 учебного года понятие о математических предложениях, в частности об аксиомах, давалось учащимся в самом начале изучения ими основного курса геометрии, и, лишь начиная с 1956/57 учебного года, этот вопрос сперва рассматривается в конце VI класса, а затем повторяется в конце X класса.

Очевидно, что такое построение программы не обеспечивает правильного понимания учащимися логической структуры геометрии. Для достижения этой цели необходимо, чтобы в про-

цессе всего обучения геометрии в школе постепенно и систематически раскрывались сущность и роль основных понятий и аксиом и разъяснялись на конкретных примерах логические связи, существующие между предложениями геометрии.

Между тем при изложении материала геометрии учителя в недостаточной мере используют те средства, которые служат для выявления логических связей между основными и определяемыми понятиями, между теоремами и аксиомами и между отдельными теоремами.

В практике преподавания геометрии учителя нередко сосредоточивают все внимание на сообщении учащимся теоретических фактов и на решении ими задач и привитии им практических навыков, но обходят принципиальные, логические вопросы под тем предлогом, что у них нет для этого времени или что эти вопросы будто бы мало доступны учащимся.

В результате учащиеся, даже достаточно твердо усвоившие определения, аксиомы и теоремы, воспринимают геометрию лишь как некоторое собрание предложений, сообщающих о свойствах фигур, но не приобретают необходимых сведений о том, как построено все здание геометрии, какую роль при этом построении играют основные понятия и основные предложения и как пользуются ими при дедуктивном развертывании геометрии.

2. В настоящей работе автор поставил себе целью установить ту методику преподавания школьного курса геометрии, которая позволила бы устранить отмеченные выше недостатки и достигнуть возможно более полного и глубокого усвоения учащимися всех сведений, связанных с обоснованием геометрии, и тем самым обеспечить ясное понимание структуры этой дисциплины как системы, логически развивающейся из некоторого числа основных понятий и основных предложений геометрии.

Наряду и в тесной связи с указанной задачей ставится и решается весьма назревший вопрос ознакомления учащихся с некоторыми историческими сведениями о развитии геометрии, с ее современным научным построением и различными интерпретациями одной и той же геометрической системы и, наконец, с основными положениями геометрии Лобачевского.

Исследование вопроса о формировании основных понятий и аксиом, установление наиболее целесообразной системы их для построения школьного курса геометрии, методика их постепенного и последовательного введения и применения в процессе преподавания геометрии, приобщение учащихся к некоторым идеям современного научного курса геометрии — все это имеет

актуальное значение для улучшения постановки преподавания геометрии в школе.

Раскрытие точного смысла основных понятий и основных предложений, оперирование ими в процессе определения новых понятий, доказательства теорем и решения задач, нахождение связей между отдельными понятиями и отдельными предложениями геометрии — эти процессы служат весьма действенным средством для повышения уровня развития учащихся, и степень овладения ими служит показателем того, в какой мере учащиеся овладели основами геометрической науки.

Б. Диссертация состоит из четырех глав:

Глава I. Основные понятия геометрии.

Глава II. Основные предложения геометрии.

Глава III. Основные предложения школьного курса геометрии.

Глава IV. Заключительные обзоры школьного курса геометрии IX и X классов.

Первая глава «Основные понятия геометрии» начинается с изложения вопроса о сущности и роли основных понятий в геометрии. Затем дается краткий обзор истории вопроса и его современного состояния.

Попытки дать определение основных понятий геометрии делались,, начиная с Евклида, на протяжении многих веков. Но все эти «определения» либо описывали только некоторые свойства основных геометрических образов, либо вводили такие понятия, которые сами подлежали определению. Вместе с тем все эти попытки имеют историческое значение, заключающееся в том, что они способствовали установлению современной аксиоматики геометрии и что многие из них не потеряли практического значения и в настоящее время. Они могут быть соответствующим образом использованы в школьной практике при ознакомлении учащихся со свойствами прямой и плоскости.

При построении аксиоматического курса геометрии выбор основных понятий возможно произвести различным образом. В научном курсе геометрии об основных понятиях (основных объектах и основных отношениях) утверждается только то, что говорится о них в аксиомах. На основе этого устанавливается возможность различных интерпретаций основных понятий и приводятся некоторые примеры интерпретаций.

При рассмотрении вопроса о происхождении основных понятий показывается, что они возникли из опыта, из данных многовековой человеческой практики, и вскрывается полная несостоятельность идеалистической точки зрения по этому вопросу.

Остальные параграфы главы I посвящены анализу основных понятий школьного курса геометрии.

Проведенный в целях выявления недостатков в усвоении учащимися этих понятий эксперимент в IX и X классах, в осуществлении которого принимали участие преподаватели математики соответствующих классов трех школ гор. Хабаровска, установил, что подавляющее большинство учащихся имеет весьма смутное представление об основных понятиях школьного курса геометрии и не может выделить их из числа всех понятий этого курса; встречаются попытки определения основных понятий, причем допускаются грубые ошибки, свидетельствующие о непонимании существа дела; многие учащиеся не могли привести никаких соображений о происхождении основных понятий и даже указать какие-либо объекты из окружающей действительности, в результате абстракции от которых возникли эти понятия.

При исследовании причин этих недостатков оказалось, что они возникли, в основном, в связи с тем, что учителя нередко не осознают важности — в образовательном и методологическом отношениях — правильного понимания учащимися сущности и роли основных геометрических понятий и не освещают этого вопроса ни в начале обучения курсу геометрии, ни в дальнейших его частях.

В связи с этим в диссертации содержится критическое рассмотрение школьной программы, учебников, а также основных курсов методики преподавания математики с точки зрения освещения ими вопроса об основных понятиях геометрии.

В программах прошлых лет (до 1956/57 учебного года) основные понятия геометрии не были выделены. В программах 1956/57 и 1957/58 учебных годов весь первый раздел именуется «Основные понятия», но и здесь основные, неопределяемые понятия не отделены от производных, определяемых понятий.

Между тем в объяснительной записке к действующей программу говорится, что в конце X класса необходимо сделать обзор по всему курсу геометрии, в котором следует раскрыть идею дедуктивного построения геометрии и показать роль основных понятий и аксиом.

Мало внимания уделяется выработке правильного понимания сущности основных понятий и в учебной и методической литературе.

В «Геометрии» А. П. Киселева понятиям геометрического тела, поверхности, линии и точки даются не подробные описания, иллюстрированные примерами, а нечто вроде определений.

Формулировки, характеризующие свойства основных геометрических образов, имеют слишком отвлеченный характер и недоступны учащимся, начинающим изучать систематический курс геометрии.

В «Геометрии» H. Н. Никитина и А. И. Фетисова для всех основных понятий приводятся подробные описания, иллюстрируемые рядом примеров, и рассматриваются определяющие их свойства.

В методической литературе почти не содержится конкретных указаний о способах последовательного выяснения сущности и роли основных понятий в процессе преподавания геометрии.

В «Методике преподавания математики», вышедшей под редакцией С. Е. Ляпина, авторы рекомендуют учителю на первых уроках геометрии в VI классе, ограничить ознакомление учащихся с основными геометрическими образами только показом их на моделях и предметах классной обстановки, не останавливаясь на характеристике наиболее существенных свойств этих образов.

А в «Методике геометрии» H. М. Бескина утверждается противоположное мнение, что, не добиваясь на первых уроках геометрии абсолютного понимания основных геометрических образов, учитель может и должен ознакомить учащихся с важнейшими свойствами этих образов.

В связи с выявлением основных причин недостатков в усвоении учащимися основных понятий геометрии в диссертации приводится система мероприятий, имеющая целью установить методику введения основных понятий и дальнейшей работы над ними. При этом автор исходил из того положения, что овладение системой понятий каждой науки требует полного уяснения основных понятий этой науки.

Известный русский ученый и педагог академик М. В. Остроградский в своем «Руководстве начальной геометрии» на первое место выдвигает принцип, что изложение геометрии необходимо начинать с подробных объяснений оснований, на которых она строится.

Великий русский ученый Н. И. Лобачевский, касаясь методики преподавания геометрии, говорит, что «от ясности первых понятий зависит успех всего учения».

По этому вопросу в диссертации выдвигаются следующие положения:

1. Основные понятия школьного курса геометрии, установленные в результате изучения конкретных наглядных представ-

лений, должны получить в сознании учащихся ясное содержание еще до того, как определяющие эти понятия свойства будут сформулированы в аксиомах.

2. Опыт приводит к выводу, что в школьном курсе геометрии целесообразно рассматривать в качестве основных следующие четыре группы понятий:

1) «геометрическое тело», «поверхность», «линия», «точка»;

2) «прямая», «плоскость»;

3) «движение» («перемещение», «изменение положения»);

4а) «принадлежит» («лежит на», «проходит через», «соединяет точки»);

4б) «между», «внутри» и «вне», «по одну и ту же сторону» и «по разные стороны».

Все эти понятия не определяются. Их содержание раскрывается через непосредственное восприятие, через описание и через аксиомы.

Каждому из основных понятий группы 1-й дается соответствующее описание, они иллюстрируются и поясняются на моделях и объектах окружающей действительности, после чего из образовавшихся в результате этих описаний и наблюдений представлений путем выделения из них существенных признаков формируются понятия о геометрическом теле, поверхности, линии и точке.

Каждое из основных понятий группы 2-й иллюстрируется на моделях и объектах из окружающей обстановки; им не дается описания, но основные свойства их формулируются в виде аксиом. Можно сказать, что аксиомы косвенно определяют эти понятия.

К группе 3-й отнесено в качестве основного понятие «движение» («перемещение»). Это понятие должно быть установлено в самом начале курса геометрии.

Наконец, к группе 4-й относятся основные отношения между точками, прямыми и плоскостями. Смысл некоторых из этих основных отношений вскрывают на примерах, являющихся очевидными и воспринимаемыми интуитивно, после чего их употребляют для формулировки аксиом, содержание которых понимается учащимися не формально, а материально, то есть связывается с их конкретными представлениями об основных образах. Пытаться на этом этапе говорить учащимся о возможности формального понимания аксиом было бы, конечно, и невозможно, и бесцельно.

3. Все основные понятия необходимо рассматривать по мере введения их в действие. В диссертации подробно приводятся их

описания, формулируются определяющие их свойства, причем эти понятия иллюстрируются рдцом объектов из окружающей действительности, в результате отвлечения от которых они создаются. К ознакомлению с основными и определяемыми понятиями надо подводить учащихся постепенно, начиная с момента введения первых определений.

4. В процессе дальнейшего изучения геометрии необходимо, чтобы учащиеся увидели основные понятия в действии, ознакомились с их применением и осознали их роль при построении определений других понятий. Для этою на ряде примеров показывают, как определяемое понятие сводится (редуцируется) к основным понятиям.

Такой анализ определений и составление соответствующих схем следует проводить от времени до времени на протяжении изучения всего курса геометрии, всемерно привлекая к этому учащихся. Это мероприятие отчетливо выявляет логические связи, существующие между геометрическими понятиями и дает возможность учащимся убедиться в том, что все понятия геометрии в конечном счете сводятся к основным.

5. В IX классе после изучения планиметрии, при обзоре пройденного материала, необходимо систематизировать все те сведения об основных понятиях, которые учащиеся приобрели к этому времени.

Наконец, в X классе после изучения всего школьного курса геометрии можно в заключительном разделе ознакомить учащихся с идеей интерпретации основных геометрических образов и с некоторыми простейшими примерами интерпретаций.

Вторая глава «Основные предложения» геометрии начинается с изложения вопроса о сущности и роли аксиом в геометрии (§1).

Для построения систематического курса дедуктивной геометрии необходимо установить те свойства, которыми определяются основные понятия. Эту роль по формулированию свойств, определяющих основные понятия, выполняют основные предложения — аксиомы.

Из большого числа геометрических фактов мы выбираем некоторые в качестве отправных, исходных и кладем их в основу построения геометрии. Эти предложения, принимаемые без доказательства, и называются аксиомами.

По Энгельсу, аксиомы — «это те немногие мыслительные определения, которые необходимы в математике в качестве исходного пункта»1.

1 Ф. Энгельс. Диалектика природы, Госполитиздат, 1953, стр. 205.

В диссертации показана полная несостоятельность широко распространенного взгляда на аксиомы как на истины, которые не нуждаются в доказательствах в силу их очевидности или не могут быть доказаны в силу их простоты.

Для правильного решения вопроса об установлении системы аксиом в школьном курсе геометрии необходимо иметь ясное представление о том, как этот вопрос был решен в научном курсе геометрии. В диссертации сообщаются краткие сведения об этом (§ 2).

§ 3 этой главы посвящен вопросу о происхождении аксиом. Здесь показано, что аксиомы имеют опытное происхождение, что их достоверность подтверждается многовековой человеческой практикой. Аксиомы являются результатом длительной абстрагирующей работы человеческого мышления, отражением реальной действительности в нашем сознании, связанном с практической деятельностью человека.

«Практическая деятельность человека,— писал В. И. Ленин,— миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом»1.

В отличие от материалистической точки зрения на происхождение и природу аксиом идеализм рассматривает аксиомы как продукт совершенно свободного творчества мышления математиков, как чисто условные соглашения, не связанные с нашим опытом и реальной действительностью.

В диссертации приводится подробная критика идеалистической точки зрения по вопросу происхождения аксиом и показывается полная несостоятельность этой точки зрения.

В свете вышеизложенного указывается, что старый взгляд на аксиомы как на истины, не нуждающиеся в доказательстве в силу их очевидности, является субъективно идеалистическим взглядом.

В § 4 главы II дается краткий исторический обзор развития аксиоматики геометрии.

Третья глава «Основные предложения школьного курса геометрии» начинается с описания эксперимента, проведенного в X классе в целях выявления недостатков в понимании учащимися вопроса об аксиомах. Этот эксперимент, в проведении которого принимали участие преподаватели математики десятых классов трех школ гор. Хабаровска, установил, что учащиеся определяют аксиомы как истины, не требующие доказательства в силу их очевидности; не могут отличить аксиомы от теорем

1 В. И. Ленин. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 161.

и следствий из них; не понимают роли аксиом; не могут указать какие-либо простейшие прообразы из окружающей действительности, обладающие свойствами, описанными в аксиомах; полагают, что доказательство теорем нужно только для того, чтобы убедиться в истинности геометрических предложений.

В диссертации устанавливается, что эти недостатки являются следствием того, что учителя нередко: 1) сами придерживаются неправильного взгляда на аксиомы и прививают его учащимся; 2) вводят аксиомы без привлечения представлений, на примере которых можно убедиться в существовании свойств, выражаемых аксиомами; 3) при повторении пройденного материала недостаточно обращают внимание учащихся на осознание ими связей, существующих между теоремами и аксиомами и между отдельными теоремами; 4) не рассматривают вопроса об опытном происхождении аксиом (§ 1).

Весьма недостаточное внимание уделяется вопросу об аксиомах в программе, учебниках и методической литературе.

В связи с этим в диссертации содержится критическое рассмотрение школьной программы, учебников и методической литературы с точки зрения освещения ими вопроса об аксиомах геометрии (§ 2).

Как уже выше было указано, в программах прошлых лет (до 1956/57 учебного года) понятие об аксиоме и теореме рассматривалось в средней школе в самом начале изучения основного курса геометрии, когда учащиеся не в состоянии были разобраться в существе этих понятий, после чего к этому вопросу не возвращались на протяжении всего периода изучения геометрии в школе.

Начиная с 1956/57 учебного года указанные понятия рассматриваются уже не в самом начале изучения геометрии, а в конце VI класса при обзоре пройденного материала. Но осуществление этою указания, конечно, совершенно недостаточно для того, чтобы идея дедуктивного построения геометрии оказалась выясненной с достаточной обстоятельностью и глубиной,— для этого необходимо, чтобы учитель неоднократно возвращался к ней, в особенности в IX и X классах.

В объяснительных записках к программам прошлых лет (до 1956/57 учебного года) указывалось, что перед началом изучения стереометрии необходимо дать учащимся понятие об опытном происхождении аксиом. Однако это указание с 1956/57 учебного года в программах не нашло своего отражения.

Что касается X класса, то до 1956/57 учебного года ни в программах, ни в объяснительных записках к ним ничего не говорилось по вопросу об аксиомах. В объяснительной записке к программе на 1956/57 учебный год указывалось, что в последней, обзорной части курса должна быть раскрыта идея дедуктивного построения геометрии и показана роль основных понятий и аксиом. Но этому весьма важному указанию в программе не соответствовал пункт, который вводил бы в качестве обязательной обзорную тему, имеющую указанное содержание.

Только в ныне действующей программе соответствующий пункт нашел свое отражение.

Анализ школьных учебников позволяет установить следующие положения:

1) В «Геометрии» А. П. Киселева понятия аксиомы и теоремы вводятся слишком рано, вследствие чего они остаются непонятными для учащихся. Из всего сказанного в учебнике об аксиоме и теореме учащийся может сделать единственный вывод, что аксиома есть очевидная истина, а потому не требующая доказательства, а теорема — неочевидная истина, требующая доказательства.

2) В «Геометрии» Н. А. Глаголева сказано: «Аксиомой называется утверждение, принимаемое за достоверное»1. Но ведь достоверность является признаком не только аксиомы, но и теоремы. Список аксиом в этом учебнике явно недостаточен.

3) В «Геометрии» H. Н. Никитина и А. И. Фетисова понятия о теореме и затем об аксиоме и о видах теорем даются в конце раздела «Треугольники». Эти понятия составляют предмет подробного изучения и иллюстрируются примерами. Такое введение понятий об аксиоме и теореме дает возможность учащимся правильно усвоить их.

Далее в диссертации рассматривается освещение исследуемого вопроса в методической литературе.

1) В «Методике геометрии» H. М. Бескина по вопросу об аксиомах имеется явно неправильная установка: автор этого учебника высказывается за то, что математикам не надо заниматься выяснением вопроса о происхождении аксиом и что этим делом должны заниматься только философы.

2) В «Методике преподавания математики» В. М. Брадиса все, сказанное об аксиомах, носит лишь общий характер. Автор учебника рекомендует составить исчерпывающий список аксиом, фактически используемых в систематическом курсе геометрии, и постепенно вводить их по мере надобности. Однако

1 Н. А. Глаголев. Геометрия, ч. 1, 1954, стр. 9.

наличие слишком большого числа аксиом может осложнить усвоение учащимися курса.

3) В «Методике преподавания математики», вышедшей под ред. С. Е. Ляпина, указывается, что учащимся надо пояснить, как установлены аксиомы, чем подтверждается их правильность, рекомендуется перед изучением стереометрии напомнить учащимся об основных понятиях и роли аксиом и дать понятие об опытном происхождении аксиом.

§ 3 главы III посвящен проблеме отбора аксиом, необходимых для построения школьного курса геометрии.

В школьные учебники обычно вводится недостаточное число явно сформулированных аксиом. Некоторые аксиомы, которые неявно используются авторами учебников при изложении геометрии, заслуживают того, чтобы их выделить и сообщить учащимся, не затрудняя усвоения ими материала, но в то же время содействуя внесению в изложение большей логической стройности и ясности. Между тем, принятая в школьных учебниках аксиоматика представлена так, что фактически она почти не осознается учащимися как система на протяжении всего курса, ввиду чего они плохо представляют себе процесс дедуктивного построения геометрии.

На наличие этого факта указал еще в 1908 году выдающийся ученый и педагог В. Ф. Каган в речи, произнесенной им при защите диссертации на тему «Основания геометрии»: «Где же та система аксиом, из которых выводится наша геометрия? В наших учебниках вы ее не найдете. Во всех руководствах указывается, что такое аксиома, утверждается, что вся геометрия развивается из небольшого числа таких аксиом. Но списка аксиом мы не находим, всегда указано только несколько аксиом в качестве примеров»1.

Однако у некоторых авторов школьных учебников геометрии имеется тенденция не к увеличению числа аксиом, а, наоборот, к уменьшению его.

О целесообразности увеличения числа аксиом в школьном курсе геометрии говорит и Н. М. Бескин:

«В школьном курсе геометрии мы сообщаем ученикам весьма мало» аксиом, так как многие аксиомы мы незаметно используем, не формулируя их. Поскольку в школе мы не строим абсолютно строгого курса геометрии, нет оснований

1 В. Ф. Каган. Задача обоснования геометрии в современной постановке, Одесса, 1908, стр. 5.

стремиться к уменьшению числа аксиом. Напротив, желательно, чтобы ученики имели достаточно примеров аксиом»1.

Вместе с тем не следует невнимательно относиться в школьном курсе геометрии и к общематематическим аксиомам, которыми приходится пользоваться в этом курсе.

При выборе системы аксиом для школьного курса геометрии приходится ограничиться требованием непротиворечивости, то есть совместности аксиом.

Я. С. Дубнов предлагает, помимо обычно включаемых в школьных учебниках аксиом, принимать за аксиомы те предложения, .которые удовлетворяют двум критериям: а) верны и б) подтверждаются интуицией учащихся2.

Необходимо дополнить критерии а) и б) еще одним критерием, выдвинутым А. Н. Колмогоровым: «Не менее существенным требованием является такой выбор аксиом, при котором все дальнейшее развитие теории делается наиболее последовательным и простым»3.

Автор считает целесообразным включить в школьный курс геометрии следующую совокупность аксиом, которые должны быть сформулированы в процессе доказательства геометрических предложений.

I. Аксиомы прямой

1. Через любые две точки можно провести прямую линию и притом только одну.

2. На прямой существует бесконечное множество точек, лежащих 1) внутри и 2) вне данного отрезка этой прямой.

3. Отрезок прямой меньше всякой ломаной, соединяющей его концы.

II. Аксиомы плоскости

1. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и каждая точка этой прямой принадлежит той же плоскости.

2. Каждой плоскости принадлежит бесконечное множество точек, не лежащих на одной и той же прямой.

1 Н. М. Бескин. Методика геометрии, М., 1947, стр. 66.

2 Я. С. Дубнов. К истории постулата о параллельности в связи с практикой современного преподавания. Журнал «Математика в школе», 1950, № 5, стр. 7.

3 А. Н. Колмогоров. Статья «Аксиома», Б. С. Э., т. I, издание 2-е, стр. 614.

3. Если две не совпадающие плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку.

4. Существует одна и только одна плоскость, проходящая через три данные точки, не лежащие на одной и той же прямой.

III. Аксиомы движения

1. Каждая геометрическая фигура может быть перемещена в пространстве.

2. Каждую из двух полуплоскостей, на которые делится плоскость лежащей на ней прямой, можно совместить с другой полуплоскостью, вращая первую полуплоскость вокруг прямой, разделяющей эти полуплоскости.

3. Каждый отрезок можно привести в такое положение по отношению к другому отрезку, чтобы один из концов первого отрезка совпал с одним из концов второго отрезка, чтобы первый отрезок расположился на той же прямой, которой принадлежит второй отрезок, и чтобы при этом другие концы отрезков оказались расположенными 1) по одну и ту же сторону или 2) по разные стороны от совпавших концов.

В случае 1-м говорят, что первый отрезок наложен на второй, а в случае 2-м говорят, что первый отрезок приложен ко второму.

4. Каждый угол можно привести в такое положение по отношению к другому углу, чтобы вершина первого угла совпала с вершиной второго угла, чтобы одна из сторон первого угла совпала с одной из сторон второго угла, и чтобы при этом другие стороны углов оказались расположенными в одной и той же плоскости 1) по одну и ту же сторону или 2) по разные стороны от совпавших сторон.

В случае 1-м говорят, что первый угол наложен на второй, а в случае 2-м говорят, что первый угол приложен ко второму.

Примечание. Предложения, с помощью которых сформулированы свойства движения и которые по существу являются косвенными определениями понятий «наложение» и «приложение», в VI классе преподносятся учащимся как необходимое описание смысла этих простейших преобразований на .примерах конкретных фигур (отрезков, углов, треугольников). Но в IX классе при обзоре пройденного курса планиметрии и в X классе в заключительном разделе всего школьного курса геометрии следует указать, что эти предложения можно рассматривать как группу аксиом под названием «аксиомы движения».

IV. Аксиома параллельности

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

V. Аксиомы измерения

1. Аксиома Архимеда. Каковы бы ни были два данных отрезка, всегда найдется такой отрезок, кратный меньшего отрезка, который превосходит больший отрезок.

2. Аксиома Кантора. Если имеется система отрезков, в которой каждый последующий отрезок находится внутри предыдущего, и если в этой системе всегда можно найти отрезок, меньший любого данного отрезка, то существует единственная точка, лежащая внутри всех этих отрезков.

VI. Аксиомы измерения площадей многоугольников

1. Равные многоугольники имеют одну и ту же площадь.

2. Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих многоугольников.

VII. Аксиомы измерения объемов многогранников

1. Равные многогранники имеют один и тот же объем.

2. Если многогранник состоит из нескольких многогранников, то его объем равен сумме объемов составляющих многогранников.

VIII. Аксиома Кавальери

Два тела с равными высотами равновелики, если равновелики любые их сечения, проведенные параллельно основаниям на одном и том же расстоянии от оснований.

IX. Общематематические аксиомы

1. Если две величины порознь равны одной и той же третьей величине, то они равны между собой.

2. Если к равным величинам прибавим или от равных величин отнимем одну и ту же величину, то полученные величины также будут равны между собой.

3. Если к неравным величинам прибавим или из них вычтем одну и ту же величину, то полученные величины также будут неравны между собой и притом в том же смысле, что и данные величины.

Все аксиомы приведенного списка представляют собой некоторую систему, удовлетворяющую указанным выше требованиям.

Приведя соображения в пользу целесообразности включения всех вышеуказанных аксиом в школьный курс геометрии, автор делает вывод, что на основе этой совокупности аксиом можно достигнуть того, чтобы изложение геометрии в средней школе стало логически более совершенным и последовательным, нисколько не теряя при этом в доступности.

После этого рассматривается методика введения и использования аксиом.

Понятия об аксиоме и теореме следует вводить после того, как учащиеся познакомились с рядом логически связанных между собой предложений. Только при этом условии может быть выяснена роль аксиом и установлена необходимость доказательства теорем. Впервые это может быть сделано в конце VI класса в связи с обзором пройденного материала по геометрии, как это и предусмотрено объяснительной запиской к программе по геометрии.

Понятия о теореме и аксиоме надо устанавливать одновременно, начиная с понятия о теореме; такой порядок дает возможность учащимся лучше осознать эти понятия, сопоставить их между собой, вникнуть в особенности каждого из них.

Прежде чем дать определение понятия теоремы, обращают внимание учащихся на то, что к установлению многих свойств геометрических фигур они приходили в результате некоторых рассуждений. Затем приводят определение теоремы как математического предложения, в правильности которого убеждаются путем некоторого рассуждения, называемого доказательством.

После этого сообщают, что некоторые предложения, утверждающие, что фигура обладает тем или иным свойством, принимаются без доказательств. Чтобы убедить учащихся в необходимости этого, следует обратиться к одной из хорошо известных им теорем и проанализировать ее доказательство. Этот анализ должен установить, что доказательство данной теоремы опирается на ранее установленные предложения, а так как последние, в свою очередь, опираются на еще ранее установленные предложения, то должны существовать некоторые первоначальные предложения, которые необходимо принимать без доказательства. Эти основные, первоначальные предложения называются аксиомами. Затем дается определение аксиомы как математического предложения, принимаемого

без доказательства. После этого приводят примеры аксуом, которые уже встречались учащимся при изучении геометрии. Учащимся указывается, что при дальнейшем изучении геометрии они познакомятся еще с другими аксиомами.

После того как учащиеся дадут себе отчет о том, какими именно аксиомами они пользовались при изучении свойств геометрических фигур, следует снова вернуться к понятию теоремы, указав, что всякое предложение, которое выводится при помощи рассуждений из определений и аксиом, называется теоремой, а само рассуждение, с помощью которого убеждаются в правильности теоремы, называется ее доказательством.

Методика введения аксиом из приведенного перечня должна быть основана на следующих положениях:

а) аксиомы должны вводиться по мере того, как в них встречается необходимость: для установления существенных свойств основных понятий и для обоснования тех теорем, при доказательстве которых приходится на них опираться;

б) при первом ознакомлении учащихся с той или иной аксиомой надо разъяснить ее содержание и показать на конкретном материале из окружающей действительности, какой факт или какое соотношение она выражает;

в) после этого приводят окончательную формулировку аксиомы.

Полезно предложить учащимся придумать примеры, иллюстрирующие аксиому.

Затем в диссертации подробно указывается, когда и как следует вводить каждую из аксиом приведенного перечня и как придать им — наряду с другими предложениями — надлежащую эффективность при доказательстве теорем и решении задач.

Это может быть достигнуто при осуществлении следующей методики:

1. Надо требовать от учащихся, чтобы при доказательстве теорем и решении задач они указывали, какие определения, аксиомы и теоремы были ими использованы, и, в ряде случаев, приводили формулировки этих предложений и чтобы они научились самостоятельно выделять те предложеня, на которые им пришлось опираться в процессе доказательства.

2. Следует учесть, что в учебниках геометрии имеется много теорем, на которые нет ссылок при доказательстве последующих теорем, хотя фактически на них опираются. Этот пробел необходимо восполнить. Нужно при доказательстве теорем обя-

зательно делать ссылки на ранее рассмотренные теоремы и аксиомы, показывать существенную зависимость между ними.

3. При повторении пройденного материала после изучения каждого раздела программы в VII—IX классах весьма полезно показать учащимся, как, в конечном счете, можно свести теорему к определениям и аксиомам. Для этого, проведя анализ уже известного доказательства какой-либо теоремы, выясняют, какие теоремы, аксиомы и определения использованы в процессе этого доказательства и на основе этого анализа составляют соответствующую наглядную схему доказательства теоремы.

Такой анализ в значительной мере облегчает повторение учащимися пройденного материала и дает им возможность осознать идею дедуктивного построения геометрии.

4. В IX классе после изучения курса планиметрии необходимо при обзоре пройденного материала рассмотреть в целом основные вопросы, связанные с логическим построением геометрии.

Наконец, в X классе после изучения всего школьного курса геометрии, нужно снова вернуться к вопросам обоснования геометрии, дать понятие о современной системе аксиом научного курса и привести примеры строго логического доказательства некоторых простейших теорем, .известных учащимся.

В четвертой главе «Заключительные обзоры по геометрии в IX и X классах» подробно рассматриваются назначение, тематика и конкретное содержание обзорных уроков в IX классе по окончании курса планиметрии и заключительных уроков после изучения всего школьного курса геометрии в X классе.

1. В IX классе после завершения курса планиметрии у учителей естественно возникает мысль о целесообразности предпослать курсу стереометрии некоторый связный и подытоживающий обзор всего пройденного материала по геометрии. Этот обзор должен быть посвящен не перечислению и повторению изученных геометрических фактов, а по преимуществу вопросам логического построения геометрии и вместе с тем служить введением в курс стереометрии.

В диссертации изложено примерное содержание обзорных уроков, проводимых по следующему плану:

1) Краткие исторические сведения о возникновении и развитии геометрии.

2) Основные понятия геометрии и их опытное происхождение.

3) Определяемые понятия геометрии и сведение их к основным понятиям.

4) Основные предложения геометрии — аксиомы, их опытное происхождение.

5) Теоремы. Виды теорем. Связь между различными видами теорем.

6) Сведение теорем к аксиомам и определениям.

7) Заключение о логическом построении геометрии. Обзору необходимо уделить два-три урока, на которых указанный материал излагается в лекционной форме.

Такие уроки, проводившиеся в порядке эксперимента в 1954/55 и 1955/56 учебных годах в девятых классах трех средних школ гор. Хабаровска и одной сельской средней школы Хабаровского района, вызвали большой интерес среди учащихся и оказали заметное влияние на их развитие в области геометрии.

Опыт проведения этих обзорных уроков позволяет сделать следующие выводы: обзор 1) дает возможность учащимся ясно представить себе внутреннюю связь, существующую между понятиями и между предложениями геометрии, и осознать эту науку как некоторую систему фактов, каждый из которых служит основанием для логического вывода из него ряда дальнейших фактов; 2) повышает интерес учащихся к изучению геометрии как дедуктивной науки; 3) подготовляет учащихся к более глубокому изучению ими стереометрии.

2. Школьный курс геометрии должен быть завершен заключительным разделом, изучаемым в конце X класса.

В этом разделе необходимо пополнить знания учащихся некоторыми важнейшими сведениями, освещающими современное состояние научного курса геометрии, имея в виду, что все основные мероприятия, связанные с обоснованием школьного курса геометрии, были своевременно осуществлены в процессе преподавания этого курса.

Заключительные уроки имеют целью: 1) содействовать формированию диалектико-материалистического мировоззрения учащихся; 2) систематизировать и отчасти углубить ранее приобретенные знания, относящиеся к логическому строению геометрии, ее обоснованию; 3) сообщить учащимся некоторые дополнительные исторические сведения о развитии геометрии; 4) дать учащимся представление о простейших интерпретациях основных геометрических образов; 5) познакомить учащихся с основными идеями геометрии Лобачевского.

В диссертации предлагается следующее содержание заключительных уроков:

1. Предмет геометрии и ее метод.

2. «Начала» Евклида. Характерные особенности этого сочинения. Определения, аксиомы и постулаты Евклида. Достоинства и недостатки «Начал» Евклида.

3. Пятый постулат и попытки его доказательства. Открытие неевклидовой геометрии.

4. Некоторые предложения, эквивалентные пятому постулату Евклида.

5. Понятие о современном научном построении геометрии. Основные понятия и аксиомы геометрии. Современная система аксиом. Примеры строго логического доказательства некоторых простейших теорем. Идея интерпретации геометрической системы. Простейшие примеры интерпретаций евклидовой геометрии.

6. Понятие о неевклидовой геометрии Лобачевского. Великий русский ученый Н. И. Лобачевский (Жизнь и деятельность Н. И. Лобачевского и его борьба за передовые научные идеи). Основные положения геометрии Лобачевского. Связь между геометрией Лобачевского и геометрией Евклида. Применение геометрии Лобачевского.

На изложение всего этого материала необходимо затратить примерно 12—14 часов. По форме изложения заключительные уроки имеют преимущественно лекционный характер.

В случае недостатка времени можно некоторые из указанных вопросов рассмотреть с учащимися в порядке внеклассной работы.

Опыт показывает, что учащиеся IX и X классов после соответствующей подготовки, основанной на намеченных выше мероприятиях, вполне подготовлены к пониманию всех вопросов, освещаемых в этих обзорах, и с большим интересом воспринимают излагаемый в них материал.

В. В «Заключении» к диссертации автором сделаны следующие выводы:

1. Постепенное и последовательное ознакомление учащихся средней школы с вопросами, касающимися обоснования геометрии, ее метода, ее логического строения и приобщение их этим путем к некоторым важнейшим идеям современной науки должно занять в системе преподавания школьного курса геометрии подобающее место, соответствующее принципиальному и образовательному значению этих вопросов.

При условии установления органической связи изложения относящегося сюда материала с изложением всего курса геометрии решение поставленной методической задачи всемерно содействует успешному осуществлению всех образовательных и воспитательных задач, которые ставятся преподаванием геометрии в средней школе, ибо учащиеся только тогда глубоко овладеют основами геометрической науки, когда они поймут ее фундамент, ее метод, когда они ясно представят себе все многочисленные факты геометрии в их взаимной связи, в их взаимодействии, когда перед ними раскроется богатое идейное содержание этого предмета.

2. Аксиоматическая основа школьного курса геометрии и методика ее введения и применения должны быть подвергнуты некоторым существенным изменениям и дополнениям. По мере изучения основного курса геометрии следует постепенно усиливать ее аксиоматическую базу и строгость дедуктивного изложения. Чем старше класс, тем большее влияние должны иметь логические выводы. Вот почему необходимо четко выделить основные понятия и постепенно увеличить число явно сформулированных аксиом. Это даст возможность укрепить фундамент школьной геометрии, на основе которого будет в определенной мере нарастать уровень дедуктивного изложения геометрии.

В связи с этим проблема отбора основных понятий и аксиом для построения школьного курса геометрии приобретает весьма важное значение.

3. Основные исходные понятия школьного курса геометрии, установленные в результате конкретных наглядных представлений, должны получить в сознании учащихся определенное содержание еще до того, как определяющие эти понятия свойства будут сформулированы в аксиомах. При этом условии введение каждой аксиомы будет являться завершающим этапом, фиксирующим всю работу, предшествующую установлению основного понятия.

Принятая ныне в школьном курсе геометрии совокупность аксиом должна быть несколько расширена в пределах, диктуемых как научными, так и педагогическими соображениями. Именно, необходимо дополнить имеющуюся совокупность аксиом теми часто неявно используемыми в доказательствах аксиомами, которые позволяют, не нарушая доступности изложения, проводить рассуждения на достаточном теоретическом уровне. При этом каждая аксиома должна занимать в школьном курсе геометрии вполне обоснованное место и находиться в органической связи с этим курсом.

Рекомендуемые в настоящей работе перечень основных понятий и список аксиом удовлетворяют вышеуказанным требованиям. Они дают возможность выполнить более точное обоснование школьного курса геометрии, и вместе с тем перечисленные в них основные понятия и аксиомы вполне доступны для понимания учащихся.

4. В связи со всем этим должна быть создана такая методика введения и применения основных понятий и аксиом, которая выявляла бы содержание, место и значение их в школьном курсе геометрии.

Интуиция может и должна занимать при изложении школьного курса геометрии определенное место как в целях достижения доступности материала, так и в виду невозможности и нецелесообразности вполне научного изложения этого курса. Логические же элементы следует вводить постепенно.

Но и при этом условии имеется полная возможность и необходимость установить такой порядок и такую систему изложения школьного курса геометрии, который позволил бы на примере этого курса дать учащимся ясное и достаточно глубокое представление об основных принципах построения научного курса геометрии. С этой целью необходимо, чтобы все преподавание геометрии в школе находилось в неразрывной связи с вопросами, освещающими ее логическое строение и ее метод.

5. Для того чтобы в возможно большей мере выявить логическую структуру геометрии, необходимо при изложении материала и при опросе учащихся различными способами (в устной и письменной форме) устанавливать связь между производными и основными понятиями и между теоремами, аксиомами и раньше доказанными теоремами.

Анализ сущности и формы доказательства геометрических предложений, который может выполняться исподволь, как бы незаметно, не становясь самостоятельным предметом изложения,— в окончательном результате должен привести учащихся к пониманию дедуктивного доказательства геометрических предложений, представляющего собой цепь силлогизмов, с простейшими примерами которых учащихся легко познакомить.

В дальнейшем при проведении обзорных уроков отдельных частей курса геометрии имеется, возможность дополнить эти сведения о дедукции сведениями об индукции, завершая этим некоторый важный круг знаний, имеющих для учащихся общее образовательное значение.

6. Благодаря всей указанной системе мероприятий учащиеся придут к пониманию того, что геометрия представляет собой не

собрание отдельных изолированных фактов, выраженных в виде аксиом и теорем, а стройную логическую систему предложений, находящихся между собой в глубокой внутренней связи.

7. Для достижения указанных целей большое значение в процессе обучения геометрии имеет проведение заключительных обзоров по пройденному курсу в IX и в X классе. Эти обзоры дают возможность учителю привести весь изученный материал в определенную систему и рассмотреть его с общей точки зрения и помогают учащимся глубже усвоить богатое идейное содержание геометрии.

Таким образом, представляется вполне возможным постепенно и последовательно в зависимости от возраста и развития учащихся вести преподавание геометрии в школе в естественной связи с сообщением учащимся некоторых сведений о геометрии как научной системе и о современной задаче обоснования геометрии.

Важно отметить, что предлагаемые мероприятия не требуют расширения программы по геометрии, а выполняются в процессе обоснования, систематизации и некоторого обобщения того, что уже фактически входит в школьный курс геометрии.

Вопросы, решение которых предлагается в данной работе, не получили достаточного освещения в нашей литературе; между тем исследование их, выдвигаемая система мероприятий и обобщение имеющегося опыта должны привести к улучшению постановки преподавания геометрии в средней школе.

Основные положения диссертации опубликованы в статьях:

1) «Об основных понятиях и аксиомах школьного курса геометрии».

2) «Обзор школьного курса планиметрии».

Указанные статьи изданы в виде отдельных брошюр Хабаровским Краевым институтом усовершенствования учителей в 1957 году.

Л95739 от 14/1—58 г.

Зак. 116. Тир. 100

Типография изд-ва «Московская правда».