МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. А. И. ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

Старший преподаватель Тобольского Государственного педагогического института

ЛИТВИНОВ Н. Н.

ПРЕПОДАВАНИЕ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ В ПЕДВУЗЕ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доцент ЛЯПИН С. Е.

Ленинград, 1958 г.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

Защита состоится в Ленинградском Государственном педагогическом институте имени А. И. Герцена, Ленинград-Мойка, 48_________

Автореферат разослан

В решениях XX с'езда КПСС и XIII с'езда ВЛКСМ перед советскими педагогами поставлена задача дальнейшего улучшения работы школы. При этом для решения главной задачи—подготовки выпускников средней школы к практической деятельности—необходимо поднять идейно-теоретический уровень преподавания всех учебных предметов, в частности преподавания математики.

Одним из основных вопросов преподавания математики в средней школе является вопрос формирования, расширения и обобщения понятия числа. Ему посвящается почти весь школьный курс арифметики, является также и одним из основных в школьном курсе алгебры.

В знаниях учащихся по разделам, относящимся к обобщению и развитию понятия числа, имеются еще весьма существенные недостатки. Постановка преподавания учения о числе в средней школе требует дальнейшего совершенствования. Для решения этой задачи необходимо улучшение качества подготовки учителей по указанному вопросу математики. Это может быть достигнуто путем: 1) дальнейшего улучшения преподавания арифметики в курсе элементарной математики в педвузе, 2) повышения арифметической культуры преподавателей математики средней школы.

Предлагаемая работа является попыткой указать возможные пути совершенствования изучения вопроса о числе на физико-математическом факультете педвуза.

Имеющиеся в настоящее время учебные пособия, предназначенные для учителей математики: «Арифметика» М. К. Гребенча и С. Е. Ляпина, «Теоретическая арифметика» В. М. Брадиса и др., не рассматривают вопроса о расширении и обобщении понятия числа от натуральных чисел до комплексных включительно. В диссертации дается систематическое изложение курса учения о числе от натуральных до комплексных. При рассмотрении вопросов, не затронутых в работе, указывается в какой распространенной книге и на каких страницах он изложен. Поэтому работа может быть использована преподавателями математики, студентами и др., желающими совершенствовать свои знания по арифметике.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Глава первая называется «Необходимость улучшения преподавания учения о числе в педвузе».

В ней показывается необходимость улучшения постановки преподавания учения о числе в средней школе в связи с задачей осуществления политехнического обучения. Отмечаются наиболее существенные недостатки в знаниях учащихся по учению о числе.

Данные о знаниях выпускников средней школы по арифметике, заимствованные из журнала «Математика в школе», а также собственные наблюдения автора, произведенные на экзаменах на аттестат зрелости в школах города Тобольска и вступительных экзаменах в Тобольский педагогический и учительский институты, позволяют сделать вывод о наличии весьма серьезных недостатков в знаниях учащихся по учению о числе.

Отмечаются следующие наиболее существенные недостатки: 1) учащиеся не всегда ясно представляют практическую необходимость каждого расширения понятия о числе; части не имеют четкого понятия о применении чисел, полученных в результате расширения, 2) слабо, часто формально, усваивают теоретические положения: определение числа, сравнение, операции и их законы и т. д.; 3) не имеют ясного представления об этапах расширения понятия числа.

Одной из основных причин указанных недостатков в знаниях учащихся является то, что многие учителя математики не уделяют достаточного внимания одной из ведущих идей школьного курса математики—развитию понятия числа, это проявляется в следующем:

1) учащимся не прививается достаточно твердых представлений о каждом классе чисел при его изучении; 2) не проводится систематического повторения вопросов арифметики и понятия о числе в старших классах средней школы; 3) учащимся в старших классах не прививается более научный взгляд на числа, изучавшиеся в младших классах; 4) учащиеся не приучаются к необходимости проведении рассуждений и доказательств в арифметике и алгебре.

Одной из причин недооценки учителями идеи расширения и обобщения понятия числа является, по нашему мнению, недостаточная подготовка многих преподавателей математики по вопросам арифметики.

В работе приводятся примеры, показывающие, что многие из недостатков в представлениях учащихся о вещественных и затем комплексных числах, а также об идее расширения и обобщения понятия числа, обусловлены наличием нечетких представлений по этим вопросам у некоторой части преподавателей математики.

При анализе существующего учебного плана и программы по учению о числе в педвузе отмечается, что в элементарной математике отсутствует систематический курс арифметики. Для уяснения же идеи расширения и обобщения понятия числа и классификации числовых

множеств необходим систематический курс учения о числе, включающий в себя изучение всех классов чисел от натуральных до комплексных, и понятие о гиперкомплексных числах и теореме Фробениуса. Постановки такого курса арифметики требуют интересы профессиональной подготовки учителей математики. Только в курсе элементарной математики можно с достаточной полнотой оттенить основные положения, лежащие в основе расширения понятия числа: необходимость расширения понятия числа для выполнимости обратных арифметических операций, необходимость характеризовать числом более широкий класс величин, который до расширения характеризовать числом было невозможно.

В результате изучения курса арифметики в педвузе студент должен:

1. Понимать необходимость расширения понятия числа на каждом этапе, а также, что каждое расширение диктуется либо непосредственными интересами практики, либо интересами развития теории, которая сама развивается иод воздействием практической деятельности человека. Следовательно, и в последнем случае воздействие практики косвенно приводит к необходимости дальнейшего расширения понятия числа.

2. Получить отчетливое представление о каждом этапе расширения понятия числа, об эволюции в процессе этого расширения понятий: «число», «равенство», «сумма», «произведение».

3. Получить ясное представление о практическом применении чисел как введенных при расширении, так и получившихся в результате расширения.

Необходимость получения студентами правильного представления об эволюции понятия числа, понятий «число», «сумма», «равенство», «произведение» указывает на целесообразность постановки систематического курса учения о числе.

Необходимость сознательного усвоения источников возникновения и применения числовых множеств на практике соответствует задаче элементарной математики—обеспечить непосредственную профессиональную подготовку будущих учителей математики. Этим подтверждается ранее установленное положение о том, что систематический курс учения о числе желательно поставить в элементарной математике.

Вопрос о месте систематического курса арифметики выясняется в связи с необходимостью изучения арифметики для нужд математического анализа, аналитической геометрии, высшей алгебры и элементарной математики.

В диссертации анализируются попытки изложения математического анализа без предварительного изучения теории вещественных чисел. Показывается, что такие попытки в наиболее распространенной литературе но математическому анализу не дали пока положительного результата.

На основании этого делается вывод о необходимости усвоения студентами теории вещественных чисел до изучения ими основных теорем анализа о существовании, т. е. на первом семестре.

Постановки систематического курса учения о числе на первом семестре требуют и интересы прочих наук математического цикла.

Идея взаимно однозначного соответствия между вещественными числами и точками прямой (числовой оси) необходима для усвоения аналитической геометрии. Ясное представление о вещественных и мнимых числах важно для рассмотрения вопроса о пересечении геометрических фигур, заданных уравнениями. Чем раньше будет поставлен в педвузе систематический курс учения о числе, тем с большим обоснованием будут рассмотрены многие вопросы аналитической геометрии.

Для понимания теории комплексных чисел (при существующей программе в курсе высшей алгебры) необходимо, чтобы студенты имели правильное представление о числах вещественных. В случае изучения комплексных чисел в конце первого семестра, как это предлагается нами в настоящей работе, интересы высшей алгебры могут только выиграть.

Знание арифметики вещественных чисел необходимо и при изучении многих вопросов элементарной математики: в арифметике при прохождении приближенных вычислений, в алгебре при изучении вопросов уравнений и неравенств, в геометрии при рассмотрении вопроса об измерении величии и т. д.

Поэтому в диссертации делается вывод о желательности постановки систематического курса учения о числе в элементарной математике на первом семестре.

Глава вторая называется: «Принципы построения систематического курса учения о числе в педвузе». В ней отмечается, что влияние того или иного из основных принципов дидактики на отбор программного материала и методы его изучения не является неизменным на всем протяжении обучения. В частности, при изучении любой науки в высшем учебном заведении наибольшее значение приобретают принципы научности и систематичности.

Большое влияние принципа систематичности отчасти объясняется и характером самой науки. Малейшее нарушение систематичности влечет за собой и потерю соответствия основному принципу вузовской дидактики—принципу научности.

Абстрактность большинства математических понятий делает особенно важным при изучении математики в высшем педагогическом учебном заведении и соблюдение принципа единства и связи теории и практики.

Анализируются два возможных пути, которыми можно вести изложение любой математической дисциплины в соответствии с принципами научности и систематичцости; 1) генетический путь, допускающий при

рассуждениях некоторые обращения к опыту, 2) дедуктивно-аксиоматический путь, дающий систему науки в наиболее законченном ее виде.

При рассмотрении роли принципа единства и связи теории и практики устанавливается, что недооценка роли практики, ее игнорирование может легко привести к идеализму. На примерах высказываний о понятии числа и арифметики Р. Дедекинда, Г. Гельмгольца и Э. Маха показывается, что у философов идеалистов отвлеченность математических понятий является средством для протаскивания в математику, а следовательно и во всю философию, идеалистических взглядов. Указывается, что игнорирование дидактического принципа единства и связи теории и практики легко может привести к идеалистическим выводам и против желания автора.

На примерах изложения некоторых вопросов арифметики, взятых из распространенной литературы, показывается, что повсеместное использование генетического метода с обращением при рассуждениях к интуиции легко может привести читателя (слушателя) к недостаточно четким (подчас неправильным) выводам.

Исходя из этого при построении систематического курса учения о числе выбирается сочетание принципа единства и связи теории и практики с дедуктивно-аксиоматическим путем изложения курса. Требования принципа единства и связи теории и практики будут выполнены, если расширение понятия числа на каждом его этапе мотивируется потребностями практики, числа и операции над ними интерпретируются на величинах, изучение каждого класса завершается рассмотрением конкретных задач, которые перестали быть неразрешимыми в результате расширения понятия числа.

При рассмотрении дедуктивно - аксиоматического метода показывается принципиальная важность понимания учащимися средних школ идеи дедуктивно - аксиоматического построения математики для их марксистско-ленинского воспитания.

На фактах, заимствованных из методической литературы и из собственных наблюдений, в работе показывается, что многие учителя математики не имеют достаточной подготовки к решению задачи об увеличении роли дедуктивно-аксиоматического метода в преподавании математики в средней школе. Многие преподаватели считают, что на основе аксиом строится лишь одна из отраслей математики—геометрия. Встречаются на уроках определения аксиомы как «истины не требующей доказательства» и т. д. Не являются особенно блестящими и представления некоторых учителей о дедуктивно-аксиоматическом построении геометрии. В подтверждение этой мысли приводится пример, заимствованный в статье Н. А. Фетисова «Аксиоматический метод в преподавании математики в средней школе» о том, что в АПН до сих пор продолжают поступать «доказательства» 5-го постулата Евклида,

причем авторами этих «доказательств» являются часто не рядовые учителя, а работники институтов усовершенствования учителей, руководители районных методических групп математиков и т. п. Исходя из этого, делается вывод: одним из главных условий решения задачи о сознательном овладении учащимися основными понятиями и методами математики является улучшение дедуктивно-аксиоматической подготовки будущих учителей математики в пединституте.

В работе указывается, что правильное понимание преподавателями вопроса об основных понятиях и методах математики является вопросом их непосредственной профессиональной подготовки. Поэтому в элементарной математике целесообразно иметь курс, который давал бы студентам полное представление о дедуктивном аксиоматическом построении одной из отраслей математики, отличной от геометрии.

Указывается, что при сопоставлении возможности изучения аксиоматического курса арифметики и алгебры можно обнаружить следующее: 1) аксиомы и первоначальные понятия арифметики менее абстрактны, чем первоначальные понятия и аксиомы алгебры, и могут быть в доступной форме изложены студентам педвуза, 2) доказательство основных предложений теории порядкового натурального числа основаны на применении принципа математической индукции, имеющем большую ценность для средней школы.

Основываясь на этом делается вывод о предпочтительности постановки аксиоматического курса арифметики и предлагается программа этого курса.

При составлении программы курса учения о числе мы исходили из следующих, ранее установленных положений: 1) курс арифметики должен являться систематическим курсом, включающим изучение классов чисел от натуральных до комплексных и знакомство с последующим расширением понятия числа; 2) изучение систематического курса учения о числе желательно провести в элементарной математике на первом семестре: 3) этот курс должен помочь учителю использовать знания, полученные в процессе изучения арифметики.при преподавании отдельных классов чисел в средней школе, поэтому обобщение и расширение понятия числа рекомендуется проводить по тем же этапам, что и в школе, а именно: а) натуральные числа, б) неотрицательные целые числа, в) неотрицательные рациональные, г) рациональные, д) вещественные, е) комплексные; 4) основным принципом построения курса является дедуктивно-аксиоматический принцип.

Такая постановка курса арифметики не требует, по нашему мнению, необходимости подробного изучения комплексных чисел в курсе высшей алгебры, как это предусмотрено программой по высшей алгебре. При подобной постановке изучения учения о числе будут затронуты и некоторые вопросы существующей программы по основаниям арифметики и математическому анализу. Поэтому при составлении программы

курса мы исходили в своей работе не из 12-х часов, отведенных на арифметику в настоящее время, а из 90 часов.

В соответствии с указанными принципами построения курса в программу арифметики рациональных чисел предлагается ввести следующие изменения: 1) предпослать систематическому курсу небольшое введение, в которое включить вопросы: а) марксистско-ленинское понимание основных понятий и аксиом математики, первоначальные понятия арифметики, б) арифметика как наука и как учебный предмет: 2) изучить обе наиболее распространенные теории натуральных чисел (теорию порядкового натурального числа и теорию количественного натурального числа); 3) в качестве основной теории при изучении неотрицательных рациональных чисел и рациональных чисел брать арифметическую теорию пар; 4) из'ять из программы вопросы о цепных дробях и неопределенных уравнениях первой степени, рассмотреть эти вопросы в курсе теории чисел, в котором они и изучались до 1955 года.

Предлагается следующая программа изучения вещественных и комплексных чисел.

Изучение вещественных чисел рекомендуется начать с задач, приводящих к необходимости дальнейшего расширения понятия числа. Мы считаем возможным ознакомить лишь с одной из наиболее распространенных теорий вещественных чисел с рассмотрением в ней основных операций. Подробное ознакомление со всеми наиболее распространенными теориями вещественных чисел рекомендуется провести в основаниях арифметики и спецкурсе (подобного рода спецкурс но действительным числам ставился нами в Тобольском пединституте).

Программа по вещественным числам завершается рассмотрением главных отличий более широкого класса чисел от ранее известных, т. е. рациональных (непрерывность и счетность). Устанавливается, что в результате расширения получили разрешение те практические задачи, которые привели к необходимости расширения.

Благодаря рассмотрению вопроса о непрерывности множества вещественных чисел в курсе элементарной математики на первом семестре, курс математического анализа не будет иметь логических пробелов, которые он должен иметь согласно действующей программе по анализу (непрерывность множества вещественных чисел в программу по матанализу не включена, ее рассмотрение откладывается до изучения теории функций вещественного переменного, т. е. на 2х/2 года).

В программу изучения комплексных чисел включается рассмотрение комплексных чисел как пар третьей ступени, как характеристик классов равных векторов на плоскости и положения точки на плоскости. Особое внимание рекомендуется уделить различным интерпретациям и приложениям комплексных чисел.

Операции целесообразно рассмотреть подробно с геометрическими иллюстрациями их. Особое внимание должно быть уделено операции извлечения корня к-той степени из комплексного числа, которая в классе комплексных чисел становится всегда к-значной.

Для окончательного завершения курса рекомендуется дать понятие об идее дальнейшего расширения понятия числа и указать на невозможность такого расширения с сохранением основных законов прямых действий. Завершается курс изучением вопроса о расширении понятия числа в средней школе.

Глава третья называется «Преподавание систематического курса учения о числе на первом семестре».

В начале каждого параграфа этой главы дается краткое изложение наиболее распространенных теорий рассматриваемого класса чисел и производится сравнение этих теорий. В результате сравнения выбирается теория, которая рекомендуется в качестве основной, наиболее подробно изучаемой при прохождении данного числового множества в предлагаемом курсе.

При сравнении учитывается: 1) соответствие принципу дедуктивно-аксиоматического построения, 2) характер теории (арифметическая, геометрическая и т. д.), 3) соответствие теории представлениям о числе, имеющимся у нас из практики, 4) возможность интерпретации теоретических положений на величинах, 5) возможность использование элементов теории при преподавании данного класса чисел в средней школе.

В соответствии с этим выбираются в качестве основных следующие теории: 1) теория порядкового натурального числа при изучении натуральных и целых неотрицательных чисел, 2) арифметические теории пар при изучении неотрицательных рациональных и рациональных чисел, 3) теория двойных сходящихся последовательностей рациональных чисел при изучении вещественных чисел, 4) комплексные числа как пары вещественных чисел для комплексных чисел.

В первых четырех параграфах этой главы основное внимание уделено вопросам, входящим в существующую программу арифметики рациональных чисел курса элементарной математики. Рассматриваются и те вопросы, изучение которых было бы, по нашему мнению, целесообразно провести в систематическом курсе учения о числе на первом семестре.

В параграфах, посвященных изучению неотрицательных рациональных и рациональных чисел, рекомендуется ознакомить изучающих с понятием изоморфизма множеств. На примерах взаимно однозначного соответствия между натуральными числами «а» и парами второй ступени вида (а,1), а также положительных чисел «а» и пар первой ступени вида (а,О) учащийся на сравнительно доступном материале знакомится с одним из основных понятий современной математики с понятием изоморфизма.

такое пропедевтическое знакомство с идеей изоморфизма значительно облегчит, по нашему мнению, основательное его изучение в курсе высшей алгебры.

Параграф, который посвящен действительным числам, рассчитан при существующей программе по математике на изучение его содержания в качестве спецкурса. В нем дается довольно подробное изложение основных положений каждой из наиболее распространенных теорий действительных чисел (определение числа, сравнение чисел, определение операций). Исходя из указанных на стр. 10 принципов, в качестве основной теории выбирается сочетание теории двойных сходящихся последовательностей рациональных чисел*) с теорией бесконечных десятичных дробей.

При введении понятия действительного числа в указанной теории мы придерживаемся схемы, данной в книге В. М. Брадиса «Теоретическая арифметика», Учпедгиз, 1956. В этой книге устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством классов равносильных двойных сходящихся последовательностей и бесконечными десятичными дробями. Заменив нехоторые из геометрических рассуждений автора арифметическими доказательствами, мы устанавливаем далее изоморфизм множества классов равных двойных сходящихся последовательностей и бесконечных десятичных дробей относительно отношений «равно», «больше» и «меньше».

Затем формулируются и доказываются теоремы о том, что установленное ранее взаимно однозначное соответствие между указанными множествами сохраняется при выполнении в каждом из них операций сложения и умножения но правилам, введенным для этого множества. Этим устанавливается изоморфизм множеств классов двойных сходящихся последовательностей рациональных чисел и бесконечных десятичных дробей относительно операций сложения и умножения. Тем самым изучающий убеждается в возможности производить замену числа как характеристики класса равных двойных сходящихся последовательностей бесконечными десятичными дробями и наоборот как при рассмотрении свойств действительных чисел, так и при выполнении операций.

Исходя из этого, свойства действительных чисел и операций над ними могут быть изучены в той теории, в которой каждый из этих конкретных вопросов может быть доступней изложен. Поэтому при изложении, например, вопроса о сравнении действительных чисел в работе отдается предпочтение бесконечным десятичным дробям, а для операций—двойным сходящимся последовательностям.

Так как в распространенной литературе на русском языке не приводится подробное изложение свойств действительных чисел в теории

*) Название заимствовано у И В. Арнольда, Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1939, стр. 206

двойных сходящихся последовательностей (транзитивность равенства и неравенства, плотность, непрерывность и др.), то в работе мы взяли на себя смелость провести подробные доказательства указанных свойств.

В параграфе, посвященном изучению комплексных чисел, большое внимание уделяется различным интерпретациям этих чисел и их применению на практике. В частности даются определения тригонометрических функций и основные операции над тригонометрическими функциями с помощью комплексных чисел, приводится вывод формул для решения треугольников и четырехугольников, дается определение комплексного числа как пары вещественных чисел исходя из необходимости выполнения операции нахождения логарифма произвольного числа при любом основании.

Вопрос о преподавании арифметики разрабатывался нами на основе опыта работы в Тобольском педагогическом институте с 1947 года по настоящее время.

В целях выяснения доступности различных вопросов учения о числе при их изучении на первом курсе и для отыскания наиболее рациональных методов изложения отдельных вопросов нами с 1953—1954 учебного года ставился экспериментальный курс арифметики на первом семестре. Велось также и преподавание других предметов, в которые входят вопросы расширения и обобщения понятия числа (основания арифметики, высшая алгебра, спецкурс по вещественным числам).

Было установлено, что некоторые из вопросов, которые мы пытались изучать со студентами первого курса, не являются доступными для первокурсников. Такими вопросами являются, например, 1) использование определения множества первого класса, приведенного в книге И. В. Арнольда, Теоретическая арифметика, Учпедгиз, 1939, стр. 28; 2) изложение вопроса о сравнении натуральных чисел по той же книге (стр. 63—65); 3) введение понятия множества целых чисел как минимального кольца, содержащего все натуральные числа, 4) введение понятия множества рациональных чисел как минимального поля, содержащего кольцо целых чисел и некоторые другие.

При экспериментальной постановке курса нами проводились собеседования со студентами по всем вопросам, постановка которых на 1-ом курсе вызывает некоторые возражения в методической литературе. Учащимся ставились вопросы, и на каждый из них отвечал один из студентов, вызванных преподавателем. Ответы студентов на собеседованиях и на экзаменах протоколировались.

В приложениях к диссертации приводятся краткие отчеты об ответах учащихся на собеседованиях и на экзаменах.

В результате проведенной экспериментальной постановки курса делается вывод о доступности большинства вопросов, которые ставились в этом курсе.

Проведенные собеседования и результаты экзаменов подтверждают возможность сознательного усвоения систематического курса арифметики комплексных чисел на первом семестре в предлагаемом об'еме.

В конце каждого параграфа главы третьей приводятся некоторые примеры использования студентами теоретических положений при составлении конспектов уроков на методической практике и характерные отзывы учащихся об использовании курса учения о числе при проведении ими методической практики.

Параграфы, относящиеся к преподаванию арифметики рациональных чисел, завершаются рассмотрением вопроса о том, как данный раздел программы учения о числе может быть изучен при существующей программе по математике в педагогическом институте.