МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КазССР

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ АБАЯ

Е. С. ЛИ

ОПЫТ ПРИМЕНЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СЕТОК И НОМОГРАММ В КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ В СИСТЕМЕ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор А. А. Глаголев

АЛМА-АТА, 1966

Официальные оппоненты:

1. Доктор технических наук, зав. отделом вычислительного центра Академии наук СССР Г. С. Хованский.

2. Кандидат педагогических наук по методике преподавания математики, доцент Казахского Государственного университета С. А. Аяпбергенов.

Защита состоится в Казахском Государственном педагогическом институте имени Абая, Алма-Ата, Комсомольская. 31.

„________“________1966 года

Автореферат разослан „________“___________1966 года

В программе, принятой XXII съездом КПСС, говорится: «Среднее образование должно обеспечить прочное знание основ наук».

Однако средняя школа еще недостаточно уделяет внимания разрешению этой директивы. В частности, при современном характере серийного производства в народном хозяйстве часто приходится производить вычисления по одним и тем же сложным формулам. В связи с этим крайне важным является вопрос о применении номографических методов вычисления.

Ознакомление учащихся средней школы с элементами номографии облегчает подготовку в вузах специалистов многих отраслей народного хозяйства.

Необходимо также учитывать, что часть выпускников средней школы еще до поступления в вузы начинает заниматься производительным трудом на заводах, фабриках, в лабораториях, на полиграфических и других предприятиях, где широко применяются номограммы.

Номограммы применяются и в сельском хозяйстве: для расчета основных параметров сортировальных решет, определения качества работы триера и в других случаях, связанных с использованием сельскохозяйственных машин.

В настоящее время необходимость введения функциональных сеток и элементов номографии в школьную математику является неизбежной. Однако в школьной программе и учебниках нашей средней школы этот вопрос не находит отражения.

В то время в школьных учебниках по математике зарубежных стран помещены функциональные сетки: миллиметровые (ГДР1, Франция2), логарифмические и полулогарифмические (Дания3) и их применение в решениях практических задач по математике и астрономии. Также в школьных учебниках указанных государств и федеративной республики Югославии включены элементы номографии: функциональные шкалы (ФРГ5, Дания3, Югославия6), сетчатые номограммы на процентное исчисление (ФРГ5, Югосла-

1 Математика (Введение в дифференциальное исчисление. Аналитическая геометрия). Учебник для XII класса. Берлин. 1964.

2 Mathmatiques classe 6-е cycue D'observation, Paris, 1961.

3 Matematik I (Математика, ч. I, учебник для I класса математических отделений датских гимназий. 1964).

4 Mathmatiques classes DE sixi EME, PARIS.

5 Rechen Buch für höher schulen 6 und 7 schulen (Учебник арифметики для 6 и 7 классов гимназии. ФРГ. 1965).

вия6), решение квадратных уравнений (Югославия6) и номограммы из выравненных точек формул сложения, умножения и квадратного уравнения (Югославия6).

Изучение элементов номографии в средней школе можно начать на уроках математики и во внеклассной работе, в органической связи с программным материалом, без изменения учебного плана и программы, так как номографический метод вытекает из природы самой математики.

Правда, для изучения некоторых номограмм потребуется дополнительное время, которое может найти сам учитель за счет:

а) сокращения времени, затрачиваемого на проверку знаний и проведение повторений на каждом уроке;

б) уменьшения числа упражнений, решаемых с помощью таблиц;

в) внедрения программированного обучения в школе;

г) экономии времени, получаемой от применения номограмм в решении различных задач;

д) в скором времени, когда из всех программ исключим устаревшие и второстепенные сведения, тогда учитель дополнительно будет иметь достаточно времени на расширение объема знаний и на основательное изучение наиболее важных разделов курса математики (в первую очередь функциональная зависимость, ее графическое изображение и др.).

Но главное — успех дела решает не количество часов, а глубокая перестройка стиля работы учителя математики — как писал в своей статье А. Арсеньев — действит. член АПН (Учительская газета от 29. VIII—1964 г.).

В методической литературе чрезвычайно слабо отражены вопросы, связанные с применением данных номографии в курсе элементарной математики. Особенно функциональные сетки (они обосновываются и строятся лишь на основе элементарной теории геометрии и алгебры 6—10 классов), которые имеют большое применение в процессе обучения элементарной математике, еще не нашли должного отражения в школьном курсе преподавания математики.

Таким образом, тема настоящего исследования возникла из объективной потребности рационализации процесса обучения элементарной математике. Практическое значение данного исследования состоит в возможности использования его учителями, студентами старших курсов физмата пединститутов, методистами институтов усовершенствования учителей и пединститутов для подготовки к урокам и для составления и решения задач с прикладным содержанием.

В соответствии со сказанным оказалось необходимым:

а) выяснить роль преподавания функциональных сеток и эле-

6 Алгебра за II разред гимназие природно-матемачисог смера Белград, 1963,

ментов номографии, излагаемых при прохождении курса математики средней школы;

б) разработать систему уроков по изучению функциональных сеток и элементов номографии в средней школе;

в) показать опыт применения функциональных сеток и номограмм при изучении элементарной математики, (через школьные задачи);

г) разработать систему применения функциональных сеток и номограмм не только как средства инструментов вычисления, но и как средства связи преподавания математики с техникой, производством (через задачи по физике, химии и другим учебным дисциплинам), а также повышения качества общего и политехнического образования.

В основу диссертации положена теоретическая разработка элементов школьной номографии докторов наук А. Глаголева, М. Пентковского, Г. Хованского, Б. А. Невского и других ученых.

В диссертации нашли освещение:

1. Личный 10-летний опыт автора по применению отдельных номограмм.

2. Опыт применения графической работы преподавателей математики в разных школах республики.

3. Результаты систематической работы автора с учителями математики в Алма-Атинском институте усовершенствования учителей.

4. Выступления автора с докладами на научно-педагогических конференциях по вопросам номографии в школах 1959—1963 гг.

5. Опыт преподавания элементов номографии на физико-математическом факультете Чимкентского пединститута и учительских курсах Алма-Атинской и Южно-Казахстанской областей Казахской ССР.

6. Опыт работы со студентами пединститута по номографии (курсовые работы, доклады на семинарах и конференциях).

Экспериментальная работа по теме диссертации ведется с 1958 года. В период 1958—1960 гг. проводились в основном наблюдения и их анализ.

В 1959—1961 учебном году были проведены экспериментальные работы по проверке эффективности отдельных номограмм в связи с проведением педагогической практики студентов 4—5-х курсов физико-математического факультета Чимкентского педагогического института в школах г. Чимкента и Арысского района.

В 1960—1961 учебном году проводился педагогический эксперимент в десятых классах средней школы № 721 г. Москвы (учитель Н. И. Борисов) с целью проверки эффективности применения номографического метода в курсе математики.

В 1963—1964 учебном году экспериментальная работа в шестых классах восьмилетней школы № 53 г. Чимкента (учителя Н. М. Чечинова и Т. И. Канакина) тоже подтвердила наши выводы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, кратких выводов, приложений по экспериментальным работам (от № 1 до № 4) и списка использованной литературы.

Введение посвящено значению функциональных сеток и элементов номографии в системе политехнического образования.

Во введении рассматривается роль функциональных сеток и элементов номографии, излагаемых при обучении математике в средней школе, и установления связи с практикой.

Методы функциональных сеток и элементов номографии в курсе элементарной математики являются не только вычислительным средством, но и наглядным средством исследований функциональной зависимости и также средством связи преподавания математики с другими учебными дисциплинами, техникой, производством. В конечном счете они служат средством повышения общего и политехнического образования в школе.

Во введении также излагаются педагогические принципы отбора обязательного минимума учебного материала по функциональным сеткам и элементам номографии в курсе математики 6—10 классов.

Уясняются преимущества метода функциональных сеток и номограмм перед другими методами вычислений, исследований и решений различных задач.

Таким образом, метод функциональных сеток и некоторых других номограмм является средством обучения в средней школе.

Глава I посвящена содержанию учебного материала, последовательности изучения, методике изложения функциональных сеток и других элементов номографии в процессе прохождения элементарной математики в школе в органической связи с программным материалом курса 6—10 классов средней школы.

В этой главе рассматриваются виды уроков с элементами функциональных сеток и номографии с применением специальных наглядных пособий. Разработана система уроков по функциональным сеткам и элементам номографии в средней школе.

Глава II посвящена опыту методической разработки применения функциональных сеток при прохождении курса элементарной математики. При этом автором рассматривается применение различных сеток: миллиметровой, треугольной, логарифмической и полулогарифмической в решении практических задач.

Применение различных функциональных сеток создает наиболее благоприятные условия для повышения прочности знаний и ускорения процесса обучения. В конечном результате функциональная сетка позволяет в значительной степени повысить производительность учебного труда.

Для иллюстрации применения миллиметровой сетки были рассмотрены вопросы: задачи на процентные вычисления, номограмма катетов при постоянной гипотенузе, задачи на практическое использование графика линейной функции (у=кх), задачи на закон окружной скорости при вращательном движении, задачи на свобод-

ное падение тел в безвоздушном пространстве, решение некоторых химических задач с использованием миллиметровой сетки с графиком линейной функции, задачи на квадратные уравнения, задачи на нахождение неизвестного числа пропорции, задачи по линейной интерполяции, задачи на приближенное и графическое решение уравнений и систем уравнений и задачи на мостик Уитстона.

В качестве иллюстрации применения треугольной сетки в решении практических задач были рассмотрены следующие задачи: на формулы сложений, формулы вычитаний, на теорему Пифагора, на смешение двух веществ, на смешение трехкомпонентных смесей и на решение некоторых уравнений.

С рассмотрением применения полулогарифмической бумаги разобраны задачи, решаемые с помощью полулогарифмической бумаги: задачи на вычисление неизвестного члена пропорции, задачи на извлечение корня любой степени из числа, задачи на решение по теореме синусов, задачи на построение на полулогарифмической бумаге графиков функции вида

задачи на построение графика эмпирической формулы, задачи на составление аналитической формулы по данным таблицам экспериментальной работы, задачи на построение номограммы системы уравнений.

Решение перечисленных задач имеет не только практическое, но и большое теоретическое значение в школьном преподавании математики.

В самом деле, теория функциональных сеток позволяет заменить построение графиков нелинейной функции (круга, параболы, гиперболы, эллипса и др.) графиком прямой линии. Благодаря ей легко решаются задачи составления аналитической формулы по данному ее графику или по ее некоторым значениям, а также значительно ускоряется построение некоторых номограмм.

В связи с изложением применения логарифмической сетки сначала рассмотрен график функции.

у = Вхп ...А) графиком указанной функции в логарифмической сетке является прямая вида

у=х+С — уравнение кривой, спрямляющейся на двойной логарифмической системе координат с угловым коэффициентом n и с начальной ординатой C = mlgB.

Формула А) выражает весьма различные виды зависимостей геометрии и техники при различных параметрах В и n.

В диссертации иллюстрируется, при каких значениях В и n формула А) выражает формулы извлечения квадратного корня, кубического корня, корня пятой степени из числа, возведения в куб числа, площади круга, боковой поверхности правильной пирамиды, объема всякой пирамиды, боковой поверхности круглого ци-

линдра с постоянной высотой, круглого конуса с постоянной высотой, объема круглого конуса, поверхности шара, объема шара, кривой поверхности шарового сегмента с постоянным радиусом шара, объема шарового сектора, расхода воды в водопроводной трубе и т. д. Все графики этих функций строятся на логарифмической сетке как прямые.

Далее в диссертации рассматриваются практические задачи извлечения корня любой степени из числа по начерченной номограмме, возведения в куб любого числа, составления экспериментальной формулы по данной таблице зависимости, решения системы двух показательных уравнений с двумя неизвестными, взятые из производственной практики, вычисления скорости свободного падения V = 0»6 V2gh

В курсе элементарной математики очень часто рассматриваются функции 4-х переменных, а также при изучении физики и других учебных дисциплин нередко встречается функциональная зависимость с четырьмя переменными, как, например, при изучении работы электрического тока (w=Ivt), сопротивления проводника (R = р— ), активной (полезной) мощности электрического двигателя (P = IVcos(p), закона Фарадея (m=KIt) и т. д. Из них особенно часто встречаются уравнения вида z = Cxyt, где С —постоянное число.

В работе показан общий метод построения номограммы с четырьмя переменными с полным обоснованием на примерах w=Ivt и m = Klt.

Номограммы 3-х и 4-х переменных широко применяются в трудовых операциях современного производства.

Московским станкостроительным заводом «Красный пролетарий» им. А. И. Ефремова выпускались станки модели ДИП-20, ДИП-30, ДИП-40 и ДИП-50 с обязательным приложением номограмм скорости резания.

В зарубежных странах также выпускаются станки с необходимым приложением номограммы. Например, токарные станки, выпускаемые немецкой фирмой VDF (VDF Einheitsdrehbank Modell ЕЗН) экспортируются с обязательным приложением номограммы формулы вида

Автору довелось наблюдать за работой одного вычислителя в конструкторском бюро Московского станкостроительного завода «Красный пролетарий».

Девушка, работающая вычислителем всего третий год по этой специальности, добилась больших успехов в повышении произво-

дительности труда благодаря экономии времени на вычислениях путем применения номограмм и малых вычислительных машин.

Во время нашего присутствия она работала над определением веса отдельных частей деталей по номограммам формул:

где К = 7,85-^

Каждая из этих задач решается путем одного прикладывания линейки на номограмму.

Глава заканчивается подробным рассмотрением вопроса о точности вычислений по номограммам.

Степень точности при вычислении по готовой номограмме является основным критерием ее практической пригодности. Впервые четко об этом сформулировано в книге Н. М. Герсеванова1: номограмма должна быть построена так, чтобы обеспечивать практически необходимую точность вычислений. В дальнейшем поставленная Н. М. Герсевановым задача последовательно решалась советскими номографами, как, например, Б. А. Невским2, М. В. Пентковским3.

Оценка точности вычисления по номограмме представляет большой интерес не только для техники, но и для школ.

Главным недостатком на пути использования номограмм в школьном преподавании является небольшая точность результатов вычисления по номограмме. Выяснение всех причин, снижающих точность ответа вычисления по номограмме, и устранение этих причин в работе учащихся — дело первостепенной важности.

Эти причины легко уясняются учащимися при практическом решении задач.

В самом деле, вычисление по номограмме распадается на ряд операций. Например, по данным значениям переменных х0 и у0 требуется вычислить ответное значение z0 по номограмме из трех параллельных шкал. Известно, что нахождение ответа выполняет ся путем следующих операций:

1-я операция — нахождение точки на шкале х по даному х0;

2-я операция — нахождение точки на шкале переменного у по данному у0;

3-я операция — проведение разрешающей прямой через найденные точки;

1 Герсеванов Н. М. Основы номографии. Теория и построение инженерных номограмм. М—1932—Л.

2 Невский Б А. Справочная книга по номографии. М., 1951.

3 Пентковский М. В. Эффективные методы построения номограмм. Докторская диссертация. М., 1952.

4-я операция — нахождение точки пересечения разрешающей прямой с носителем ответной шкалы;

5-я операция — прочитывание пометки ответной точки.

Очевидно, каждая из перечисленных операций может выполняться самостоятельно и независимо от другой, но каждая из них порождает неизбежные ошибки, которые порождают некоторую суммарную ошибку.

После этого можно перейти к выяснению тех факторов, от которых зависит погрешность ответа:

а) погрешности изготовления и конструкции номограммы;

б) погрешности определения действительного положения на номограмме точек, соответствующих значениям переменных;

в) погрешности проведения через найденные точки разрешающей прямой;

г) взаимного расположения ответной шкалы от других;

д) величины угла пересечения разрешающей прямой с другими шкалами;

е) погрешности от интерполяции значений;

ж) точности прочтения пометок ответных точек;

з) погрешности от параллактического смешения пометок шкал.

Рассмотренные нами факторы, порождающие суммарные ошибки, вполне устранимы по мере получения учащимися элементарных знаний и навыков по номографии в процессе обучения математике.

Необходимо напомнить, что к номограммам, состоящим из шкал, предъявляют следующие требования:

а) ответная шкала должна находиться по возможности между другими шкалами;

б) угол, образованный разрешающей прямой с ответной шкалой, не должен быть меньше 20°.

Погрешность в положении ответной точки выражается

где а — угол между разрешающей прямой и ответной шкалой. В— погрешность, когда а = 90°. Легко заметить, что при a=-g погрешность увеличивается примерно в два раза, что можно проверить практически.

Следует привести результат некоторого исследования Ларченко1: «Номограммы размером от 20 до 40 см, построенные для многих геодезических формул, дают возможность определить по ним неизвестные с тремя, а иногда с четырьмя верными значащимися цифрами, что во многих случаях обеспечивает требуемую точность».

Однако заметим, что при достаточной площади чертежа неиз-

1 Ларченко Е. Г. Механизация вычислительных работ. Геодезиздат. М.. 1954.

вестные можно определить по номограмме с точностью до двух и в лучшем случае — до трех верных значащих цифр.

Глава III — «Методика применения элементов номографии на уроках математики» — посвящена методической разработке опыта по применению некоторых номограмм в процессе преподавания математики в 6—10 классах средней школы.

В восьмилетней школе рассматриваются вопросы решения задач по номограммам: обращение обыкновенных дробей в десятичные и нахождение обратных величин; среднее арифметическое нескольких чисел; сложение и вычитание обыкновенных дробей; сложение и вычитание приближенных чисел; умножение и деление приближенных чисел; задачи на обратную величину (на совместную работу); задачи на процентное вычисление; задачи вида у = ах; система уравнений первой степени с двумя неизвестными; теорема Пифагора; решение квадратных уравнений с числовыми коэффициентами; графическое решение уравнений и систем уравнений; выражение сторон правильных многоугольников через радиус описанной окружности; вычисление поверхностей правильных призм и пирамиды.

В решении задач приведенных типов требуется не более 15 номограмм, которые в основном служат в качестве вычислительного инструмента. Но иногда уже в восьмилетней школе номограммы являются средством связи математики с другими учебными предметами, техникой и производством.

С целью получения положительных результатов в эффективном применении графического метода, в диссертации много места уделено отбору задач, связанных с жизнью, имеющих производственное и бытовое значение. Этим самым повышается идейное и воспитательное значение определяемого программой материала.

В 9—10 классах рассматриваются решения задач по номограмме следующих тем: решение числовых неравенств первой и второй степени; примеры решения иррациональных уравнений; применение степенных функций в решении практических задач; нахождение тригонометрических функций данного угла и нахождение угла по данному значению одной из тригонометрических функций; свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу; теорема Пифагора; теорема о хордах, пересекающихся внутри круга; вычисление площади треугольника; тригонометрические функции суммы и разности аргументов; гармоническое колебание функции у= A Sin ( -у + а) ; числовые последовательности; показательная и логарифмическая функции (вычисление функции вида Х = Х

многогранники и круглые тела; химические задачи на уроках математики.

Результаты внимательного изучения приведенных задач по б—10 классам позволяют сделать общие выводы по исследуемой проблеме, являющиеся ответом на те вопросы, которые встали перед исследователем в начале его работы над диссертацией.

ВЫВОДЫ

На основании проведенного настоящего исследования по теме изучения и обобщения опыта школ, а также личного опыта педагогической работы (свыше 30 лет) и личной экспериментальной работы мы приходим к следующим выводам:

1. Изучение функциональных сеток и элементов номографии в школьном курсе математики в соответствии с разработанной в диссертации методикой рассматривается как органическая часть всего школьного курса математики.

Своевременное ознакомление с функциональными сетками и элементами номографии обеспечивает овладение кругом основных функциональных понятий и их использование при изучении почти всех разделов математики. Систематическое использование функциональных сеток, графика функции и в целом номографического аппарата как средства формирования математических понятий создает возможность для быстрого поднятия уровня знаний учащихся на более высокую ступень абстракции.

2. Изучение функциональных сеток и элементов номографии в курсе математики позволяет полнее раскрыть содержание программного материала, готовит учащихся к решению и исследованию решений задач, развивает конструктивные навыки, обогащает память учащихся различными видами функциональных зависимостей, содействует формированию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, так как при этом более полное овладение идеей функциональной зависимости позволит учащимся глубже увидеть взаимные связи между различными величинами реального мира, различными понятиями, разделами курса, изучать явления в процессе их изменения.

3. Разработанная в диссертации система применения функциональных сеток вполне доступна учащимся любой общеобразовательной средней школы, способствует развитию интереса и позволяет выработать у учащихся прочные знания.

Система упражнений, предложенная в диссертации, мобилизует активность мыслительной деятельности и предъявляет большие требования к самостоятельной работе учащихся.

Функциональные сетки служат средством активизации методов обучения и повышения прочности усвоения изучаемых дисциплин путем усиления самостоятельной работы учащихся.

4. Глубокое понимание идеи номографического метода, умение применять номографию в многочисленных приложениях улучша-

ет подготовку учащихся к практической деятельности по окончании школы.

5. Введение функциональных сеток и элементов номографии в курс элементарной математики необходимо и возможно в качестве прикладной части школьного курса математики без всяких дополнений к программе и без изменений учебного плана.

При этом лишь необходимо:

а) улучшить соответствующей доработкой структуру имеющегося учебника и задачника по математике путем активного внедрения функциональных сеток и других элементов номографии как для теоретических занятий, так и для практических упражнений;

б) уделить в методике преподавания математики больше, чем это делается в настоящее время, внимания работам учащихся с функциональными сетками и с другими номограммами.

6. В данной диссертации автор предлагает для рассмотрения в качестве своих достижений следующее:

а) новую разработку методики преподавания элементов номографии в школе, отличающуюся от всех прежних разработок тем, что в ней впервые методика преподавания функциональных сеток и других элементов номогр.афии внедряется на протяжении всего курса элементарной математики;

б) вопросы применения функциональных сеток и некоторых других номограмм в связи с прохождением элементарной математики даются автором впервые;

в) применение в данном исследовании школьной номографической линейки (ШНЛ) и графико-номографической таблицы (ГНТ) в качестве наглядного пособия по номографии вводится диссертантом также впервые;

г) номографическая методическая разработка по разделам химических задач на уроках математики, показательных и логарифмических уравнений, примеров решения иррациональных уравнений, систем линейных уравнений второй и третьей степеней, показательных, логарифмических, тригонометрических и др. даются автором, насколько ему известно, впервые;

д) в качестве иллюстрации применения функциональных сеток и других номограмм были взяты сотни задач, из них более 90% имеют оригинальный характер;

е) приведенные номограммы в атласе не являются новыми с точки зрения номографических методов (см. приложение № 4), однако свыше 30% номограмм построены автором впервые в избранной системе (с использованием известных методов номографии);

ж) применение функциональных сеток для построения номограмм функций 3-х и 4-х переменных в конкретных условиях Московского станкостроительного завода «Красный пролетарий» им. А. И. Ефремова и немецкой станкостроительной фирмы VDF изучено автором с целью возможности ознакомить учащихся с фактическим применением номограмм в производстве.

7. Использование автором в своем исследовании не только опыта советской школы, но и довольно обширный материал, отражающий состояние данной проблемы во многих зарубежных странах (например, в ГДР, Франции, Дании, ФРГ, Югославии), что, без сомнения, представляет большой методический интерес и ценность данного исследования.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Опыт проведения математического практикума (на казахском языке). Ежемесячный научно-педагогический журнал Министерства просвещения Казахской ССР «Халык Мугалим», № 5, 1956, Алма-Ата.

2. Номограммы на уроках математики в 8 классе средней школы (на казахском языке). Ежемесячный научно-педагогический журнал Министерства просвещения КазССР «Казахстан Мектеби», № 1, 1960.

3. Мой опыт проведения математического практикума (на русском языке). Министерство просвещения Казахской ССР. Институт усовершенствования учителей. Педагогические чтения. Вопросы методики математики в средней школе. Алма-Ата, 1957.

4. Номографическая таблица с подвижной шкалой (на казахском языке). Ежемесячный научно-методический журнал «Казахстан Мектеби», № 1, 1964. Алма-Ата.

5. Школьная номографическая линейка. Журнал «Математика в школе», № 2, 1965, Москва.

6. Опыт применения функциональных сеток и номограмм в курсе элементарной математики в системе политехнического образования. Первая межвузовская номографическая конференция. (Программа и тезисы докладов). Академия наук СССР. Вычислительный центр. 1965. Москва.

Результаты настоящей диссертации были доложены:

1. На научно-теоретической конференции по математике и механике при Академии наук Казахской ССР, октябрь 1959 г.

2. На научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава Чимкентского Государственного педагогического института, май 1961 г.

3. На секторе математики и черчения Московского института общего и политехнического образования АПН РСФСР, октябрь 1962 г.

4. На областных «Педагогических чтениях» Южно-Казахстанской области, январь 1962 г.

5. На республиканских «Педагогических чтениях», август 1963 г.

6. На объединенном заседании кафедр высшей алгебры, элементарной математики и методики математики и геометрии Мос-

ковского Областного педагогического института им. Н. К. Крупской, ноябрь 1965 г.

7. На объединенном заседании кафедр высшей алгебры, элементарной математики и методики математики и высшей математики Чимкентского Государственного педагогического института, декабрь 1965 г.

8. На заседании элементарной и методики математики Алма-Атинского Государственного педагогического института им. Абая, декабрь 1965 г.

УГ01125. Сдано в набор 20/I-1966 г. Подписано к печати 20/I-1966 г. Формат бум. 60x,01/16, 1 п. л.

Алма-Ата, Республиканское бланочное предприятие, з. 905, т. 200,