ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Г. Г. ЛЕВИТАС

ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ КУРСА МАТЕМАТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике преподавания математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук А. Д. СЕМУШИН

Москва 1966

Развитие и расширение сети математических школ является в настоящее время неотложной задачей. Слишком очевидна целесообразность их существования в век, когда математика все глубже проникает в другие отрасли знания и когда все большее число специалистов всех профессий должно овладеть этой дисциплиной.

Сеть математических школ необходимо расширить так, чтобы каждый школьник, окончивший восьмой класс и любящий математику, смог бы продолжать обучение в такой школе. Это отвечает требованиям современной науки, современного производства.

Существующие в настоящее время школы программистов не могут до конца решить этой задачи. Главная особенность их — профессиональное обучение программированию, которое может быть обеспечено лишь при руководстве со стороны вычислительных центров или вузов. Это создает огромные дополнительные трудности в деле организации таких школ, а во многих районах делает его попросту невозможным. Между тем, математические школы должны быть созданы не только в крупных городах, но и в самых удаленных от них уголках страны. Поэтому, говоря о математических школах, мы имеем в виду не школы программистов, а школы без профессионального обучения, но с более серьезной, чем обычно, программой по математике.

Важной и актуальной проблемой является разработка курса математики математической школы. Этот курс должен обеспечить более широкую и более глубокую математическую подготовку учащихся, чем курс нематематической школы. При разработке его необходимо учесть большой положительный опыт, накопленный школами программистов. Лучшие достижения школ программистов: включение в курс математики элементов математического анализа, аналитической геометрии, вычислительной математики, значительное углубление традиционно школьной части курса математики и, как следствие этого, — повышение уровня строгости изложения материала, — должны быть восприняты математической школой. Опыт школ программистов неопровержимо доказывает доступность и полезность такого расширенного и углубленного курса математики для учащихся.

Важным организующим началом при создании курса математики школ программистов явились требования со стороны профессионального обучения программированию. В математи-

ческой школе обучение программированию не планируется, и это организующее начало тем самым отсутствует.

Между тем, подготовка учащихся к практической деятельности после окончания школы и к продолжению образования требует сделать основным стержнем курса математики его функциональный и вычислительный аспекты. Первостепенная важность функционального и вычислительного направления в преподавании математики подтверждается всем опытом школ программистов, в том числе нашим собственным пятилетним опытом работы в такой школе.

Вычислительная направленность курса математики математической школы означает ознакомление учащихся с некоторыми доступными им достижениями вычислительной математики (а не только совершенствование приемов счета) и, на этой основе, решение широкого класса задач и исследование широкого класса функций.

Функциональная направленность курса означает ознакомление учащихся с некоторыми доступными им достижениями аналитической геометрии, математического анализа, теории функций действительного и комплексного переменных и высшей алгебры, а также с идеями геометрических преобразований и, на базе этого, воспитание у учащихся общих взглядов на изучаемый ими курс математики, рассмотрение большинства вопросов которого весьма полезно вести под единым, функциональным углом зрения.

О значении функциональной подготовки и о значении вычислительной подготовки школьников сказано и написано много. Однако, ни в одной работе исследовательского характера нам не удалось найти мысли о необходимости единства функциональной и вычислительной подготовки учащихся. Так, например, в школах программистов, с момента их создания и до сих пор, вычислительная математика выделялась и выделяется в отдельный от общего курса математики предмет (в последнем варианте программы темы, связанные с вычислительной математикой, объединены с курсом программирования и математических машин).

Слияние вычислительного материала с общим курсом математики, его рассредоточение среди предметов общего курса должно, по нашему мнению, обогатить общематематический курс, сделать его методы более могущественными и одновременно с этим привить школьникам правильный взгляд на место вычислительных методов в математической науке: большинство задач, порождаемых практикой, решается именно этими методами.

Таким образом, проблема диссертации состоит в изучении функционального и вычислительного содержания курса математики математической школы и в разработке методики

изучения этого материала, обеспечивающей тесную связь функциональной и вычислительной подготовки учащихся.

Диссертация состоит из введения, трех глав, общих выводов и библиографии. Названия глав следующие:

Глава первая. Содержание и организация вычислительной и функциональной подготовки учащихся математической школы.

Глава вторая. Вычислительная подготовка учащихся математической школы.

Глава третья. Функциональная подготовка учащихся математической школы.

Во введении сформулированы общие требования к курсу математики математической школы, в первой главе обосновано предложение о построении этого курса на основе тесной связи функциональной и вычислительной подготовки учащихся, во второй и третьей главах это предложение конкретизировано посредством методической разработки большой части курса.

1. Анализ требований, предъявляемых к выпускникам средней школы со стороны производства, высшей школы и интересов самой средней школы, позволил определить объем вычислительного и функционального материала, подлежащего включению в программу математической школы. Помимо традиционно школьных разделов курса математики, в нее должны быть включены следующие вопросы:

вычисление элементарных функций с учетом погрешностей, работа над таблицами функций и интерполирование, численные методы решения уравнений, неравенств и их систем,

численное интегрирование,

углубленное изучение элементарных функций, в том числе введение понятий производной, дифференциала и интеграла и, как подготавливающих его — введение понятий предела и непрерывности функции,

исследование элементарных функций с применением не только элементарных средств, но и средств классического анализа и численных методов,

элементы аналитической геометрии.

Принципиальное значение этих включений в курс математики состоит в том, что они чрезвычайно расширяют возможности выпускника в области решения задач с практическим содержанием. В то время, как нематематическая школа учит решать только задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям (в алгебре и тригонометрии) и к простейшим построениям и фигурам (в геометрии), такой расширенный курс математики позволяет решать уравнения, не сводящиеся к квадратным, системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, рассматривать

и вычислять площади и объемы фигур и тел, не сводящихся к простейшим. Все это отвечает потребностям жизни и производства.

Осуществление функциональной и вычислительной направленности курса математики в предлагаемом объеме обеспечивает высокую математическую культуру выпускников, позволяющую им успешно продолжать образование: идейная подготовка учащихся математической школы ликвидирует барьер между так называемой школьной и вузовской математикой. Это вполне подтверждается опытом нашего общения с бывшими учениками экспериментальных классов — нынешними студентами. В частности, весьма полезной для учебы наших выпускников в институтах оказывается вычислительная подготовка, полученная ими в школе. Она дает им возможность быстро овладевать алгоритмической стороной вузовских курсов физико-математического цикла.

Расширение и углубление курса математики оказывается благотворным и для интересов школы. Во время обучения физике, черчению, химии, на лабораторных и практических занятиях учащиеся свободно применяют математический аппарат. Их знания по физико-математическим предметам прочные и глубокие. Тем самым более высокой становится и их общая успеваемость.

Общие методы математического исследования позволяют улучшить и преподавание самой математики. Предмет математики приближается к современной математической науке. Изложение многих вопросов становится на более современную основу. Так, с помощью интегрирования мы преподаем метрическую часть геометрии (площадь, объем), добиваясь не только большей общности результатов, но и большой экономии времени (в нашем опыте вся теория объемов в курсе стереометрии занимает всего два часа учебного времени).

Все указанные вопросы включались в программы школ программистов. Но само включение было сделано, с нашей точки зрения, не лучшим образом, поскольку вычислительный материал был оторван от общего курса математики.

2. И вычислительная подготовка учащихся математической школы, и их функциональная подготовка сильно выиграют, если будут протекать совместно, в тесном единстве. Это вытекает из следующих соображений:

а) Для успеха вычислительной подготовки школьников необходимо знание функционального материала:

для вычисления погрешностей — понятия дифференциала и функционального ряда,

для отделения корней уравнения — умение строить графики,

для вычисления корней уравнения такими численными методами, как метод хорд, метод Ньютона, метод итераций — понятия первой и второй производных,

для вычисления площадей и объемов —понятия интеграла и производной,

для интерпретации многих вычислительных задач (например, для решения неравенств)—умение строить графики.

б) Для успеха функциональной подготовки учащихся необходимо развивать их вычислительную культуру:

для исследования функций необходимо уметь решать уравнения и неравенства, причем не только точными, но и приближенными методами,

вычисление функций — это работа, в равной мере относящаяся к вычислительной и функциональной сторонам математики; для того, чтобы справляться с ней, ученик должен уметь обращаться с готовой таблицей (в том числе интерполировать), а также уметь табулировать функцию,

введение понятий математического анализа очень важно подготовить вычислительной работой (так строит свою книгу «Высшая математика для начинающих» академик Я. Б. Зельдович, и именно в этом сильная сторона книги) : отыскание N и ô для данного е при подготовке к введению понятий предела и непрерывности функций и сходимости ряда, вычисление dy и dy при изучении дифференциала, вычисление определенного интеграла численными методами перед введением формулы Ньютона—Лейбница — все это позволяет преодолеть шаблонность в знаниях учащихся.

в) Столь тесная связь между функциональной и вычислительной сторонами математики, когда, например, для решения уравнений нужно уметь исследовать функции, а для исследования функций нужно уметь решать уравнения, естественным образом приводит к мысли о том, что общематематическая подготовка учащихся только выиграет от организации совместной функциональной и вычислительной работы на уроках.

Преподавание элементов вычислительной математики совместно с функциональным материалом устраняет ненужный параллелизм при рассмотрении многих понятий (например, в школах программистов поневоле приходится говорить об интеграле дважды: в общем курсе и в курсе вычислительной математики, причем часто эти курсы ведут разные преподаватели, так что объяснение проводится на разных уровнях).

Совместное преподавание вычислительного и функционального материала позволяет воспитать у учащихся правильный взгляд на методы вычислительной математики как на сильные методы единой математической науки. Решая на одном и том же уроке одно и то же уравнение точными методами и методами вычислительной математики, ученик получает более ясное представление об этом вопросе, чем если он на одних уроках решает уравнения точными методами, а на других уроках (уроках по другому предмету)—другие уравнения — численными методами. В результате у школьника развивается чутье,

позволяющее ему самостоятельно определять, когда и какими методами лучше воспользоваться. Он будет уверенно пользоваться графиком (если вид графика ему известен) при решении вычислительных задач и вычислениями — при построении новых для него графиков. Приближенные формулы типа ln(1+х)=х для малых х будут связаны в его сознании с графиками.

При совместном преподавании функциональных и вычислительных тем удается научить школьника применять численные методы и для решения типично школьных задач (например, задачи о разбиении пространства плоскостями). Единая функциональная и вычислительная подготовка дает учащимся возможность с более общих позиций рассматривать многие вопросы геометрии и физики.

Наконец, отсутствие отдельного предмета «Вычислительная математика» удобно и с точки зрения организации процесса обучения: меньше предметов в учебном плане, лучше накапливаются оценки и т. д.

г) В диссертации разработаны предложения о способе соединения вычислительной и функциональной подготовки учащихся математической школы, обеспечивающие планомерное изучение курса при тесной связи и взаимопроникновении обоих этих направлений.

Предмет «Вычислительная математика» упраздняется и материал, его составляющий, рассредоточивается по темам общематематического курса.

Общематематический курс делится на четыре предмета: алгебра, математический анализ, тригонометрия и геометрия. Выделение тригонометрии связано с желанием растянуть на более долгий срок изучение тригонометрических преобразований1.

Курс алгебры строится на основе последовательного изучения элементарных функций, в процессе которого вводятся такие численные методы, как интерполяция, численное решение уравнений и неравенств, численное решение систем линейных уравнений. В курсе алгебры изучаются элементы высшей алгебры и теории функций комплексного переменного.

1 В своей статье «К вопросу о проекте программы по математике для трехлетней школы» В. Г. Ашкинузе и А. Д. Семушин в 1960 г. писали: «Почему логарифмическая функция, не менее трансцендентная, чем тригонометрические, все же считается прочным достоянием алгебры и теорию логарифмов, столь же специфичную, как тригонометрия, никто не предлагает выделить в особый предмет?» («Математика в школе», № 5, 1960 г., стр. 42). Однако простое сравнение числа формул тригонометрии с числом формул, относящихся в школе к логарифмам, показывает неправомерность такого суждения. Если включение тригонометрии в курс алгебры было оправдано в одиннадцатилетней массовой школе (малое число часов в неделю не давало возможности увеличивать число предметов), то в математической школе нужно иметь тригонометрию отдельным предметом.

Курс математического анализа строится как общее учение о функциях действительного переменного с привлечением аппарата дифференциального исчисления, интегрального исчисления и рядов. При изучении математического анализа рассматривается вычисление элементарных функций (в темах «Дифференциал» и «Ряды») и численного интегрирования.

Преодолевается еще имеющий место во многих школах программистов искусственный разрыв между исследованием функций элементарными методами, методами классического анализа и численными методами. Вне зависимости от того, в рамках какого предмета проходит исследование той или иной функции, решение того или иного уравнения, средства привлекаются наиболее выгодные для данного случая.

Более того, явно прослеживаются связи между этими методами. Так, например, связь между знаком производной и монотонностью функции устанавливается с помощью элементарного определения монотонности. При доказательстве сходимости таких численных методов, как метод хорд и метод Ньютона, широко применяются методы классического анализа, элементарные выкладки, геометрические преобразования (гомотетия).

На более высокую ступень ставится изучение геометрии, пронизываемое функциональным (элементы аналитической геометрии, геометрические преобразования) и вычислительным духом (применение аппарата высшей и вычислительной математики к вычислению объемов и площадей).

3. В диссертации рассмотрен вопрос о функциональной подготовке учащихся.

Показано, что функциями, подлежащими специальному изучению в математической школе, должны быть элементарные функции, к которым должны быть отнесены главные элементарные функции: многочлен, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические (в том числе обратные тригонометрические) функции, — а также их суперпозиции. Эти функции очень важны своими приложениями (например, процессы органического роста и распада идут по экспоненте), они сравнительно просты по своим свойствам и образуют замкнутое множество относительно операций сложения, умножения, вычитания, деления и дифференцирования. Интегрирование главных элементарных функций не выводит нас из множества элементарных функций.

Не только школьная физика, но и подавляющее число глав общего курса физики в вузах довольствуется этим функциональным аппаратом. (При этом гиперболические функции мы тоже, конечно, считаем элементарными. Трудности, испытываемые студентами при их изучении, объясняются слабой функциональной подготовкой, полученной этими студентами в школе. Гиперболические функции вводятся нами при изучении показательной функции у=ех. Оперирование понятиями математи-

ческого анализа заставляет нас привлекать и другие функции (функцию Дирихле, например), но это не значит, что неэлементарные функции должны служить объектом специального изучения в курсе математики математической школы.

Вопрос о схеме исследования функций решен в пользу полного их исследования: 1) область определения, 2) область изменения, 3) непрерывность, 4) дифференцируемость, 5) знак функции, 6) монотонность, 7) выпуклость, 8) экстремумы, 9) четность (нечетность), 10) периодичность, 11) асимптоты.

При определении полной схемы исследования мы исходили из следующих соображений. Исследование функции, как правило, завершается построением ее графика, наглядно интерпретирующего свойства функции и открывающего широкие возможности для приложений (отметим хотя бы графический метод решения уравнений вида f(x)=(p(x), где f(x) и у(х) — функции, графики которых нам известны). Никакое исследование функции не является, вообще говоря, достаточным для построения графика: чтобы построить график, нужно знать значения функции в каждой точке ее области определения. Но необходимость исследования функции по только что приведенной схеме можно доказать. В диссертации показано, что отсутствие даже одного из указанных пунктов исследования приводит к невозможности обосновать вид графика хотя бы одной из главных элементарных функций. (Разумеется, не каждую функцию нужно подвергать полному исследованию. Часто исследование функции по одним пунктам перекрывает исследование ее по другим пунктам. Бессмысленно, например, исследовать на четность логарифмическую функцию в поле действительных чисел, ибо она определена лишь для положительных значений аргумента).

Средства исследования функции в математической школе — это элементарные методы, методы классического анализа и численные методы.

Большинство главных элементарных функций легко исследуется по многим пунктам полной схемы с помощью элементарных средств, не связанных с понятием предела. Важность элементарных методов очень велика: введение методов анализа и вычислительной математики может произойти лишь на базе относительно высокого функционального развития учащихся (следовательно, не в самом начале обучения в математической школе); это развитие хорошо осуществляется с помощью элементарных приемов исследования функций. Кроме того, сами определения знака функции, монотонности, выпуклости, четности (нечетности), периодичности и, тем более, области определения и области изменения, являются элементарными по своему существу. Давая их, мы, естественно стремимся к отработке этих определений путем превращения их в рабочий инструмент исследования. Некоторые функции удается исследовать на экстремумы с помощью элементарных приемов.

Однако, элементарное исследование элементарных функций удается провести далеко не всегда. Так, например, исследование на выпуклость степенной функции общего вида этими методами не выполняется. Не удается без введения понятия предела исследовать и область изменения показательной функции, если рассматривать ее до логарифмической функции. Так что ограничивать возможности учащихся одними только элементарными методами исследования функций — значило бы существенно сузить эти возможности.

Все это заставляет нас, по примеру школ программистов, включить в программу работы над функциями средства классического анализа. При введении этого материала мы стараемся увязать его с уже изученным: условия монотонности и выпуклости функции тесно связываем с уже известными школьникам элементарными определениями этих понятий — выводим их из этих определений. Мы показываем, когда именно нужно пользоваться производными, а когда лучше остановиться на элементарных средствах исследования. При этом очень часто элементарные методы используются на уроках математического анализа, а производные — на уроках алгебры.

Однако средств анализа часто оказывается недостаточно для исследования функции. Например, при исследовании многочленов высших степеней приходится решать уравнения и неравенства, не приводящиеся к квадратным известными нам способами. Без численных методов в этих случаях нам не обойтись. Мы вводим эти методы, показывая их связь с элементарными методами и методами анализа, подчеркивая общность и силу средств вычислительной математики и одновременно — их зависимость от выводов элементарной алгебры и математического анализа (сходимость численных методов доказывается, в конечном итоге, не численными методами).

Изучение функций в тесном единстве с повышением вычислительной подготовки учащихся приводит к высоким результатам в деле повышения их общематематической подготовки.

4. В диссертации рассмотрен вопрос о вычислительной подготовке учащихся.

Вычислительная работа в математической школе должна быть направлена не только на развитие вычислительных и алгоритмических навыков, полученных школьниками в восьмилетке, но и, главным образом, на ознакомление их в доступной форме с некоторыми идеями современной вычислительной математики в их функциональном освещении.

Первая тема, на которой начинается углубленная вычислительная работа — «Неравенства». Мы учитываем, что из восьмилетней школы ученики могли вынести лишь первоначальное знакомство с неравенствами. Поэтому тема начинается с определения понятия неравенства и с доказательства основных свойств неравенств. В течение этой темы мы доказываем нера-

венство о среднем арифметическом и среднем геометрическом нескольких положительных чисел и неравенство Бернулли. Это делается во имя создания аппарата для исследования функций и вычисления их пределов.

Следующий вопрос — решение уравнений и их систем —находит свое место при изучении функций. Уравнение f(x)=0 вводится при исследовании функции y=f(x). Тем самым вычислительная работа наполняется функциональным содержанием. Это дает возможность на определенных этапах вводить те или иные средства приближенного решения уравнений (метод половинного деления, метод хорд, метод Ньютона, метод итераций для решения уравнения с одним неизвестным, метод Гаусса и метод итераций для решения систем уравнений). Мы стремимся сделать изложение вычислительных тем близким, даже одностильным с изложением остального математического материала. Поэтому сходимость численных методов нами строго доказывается. (При отыскании способов такого доказательства нам пришлось по-своему подойти к доказательству сходимости метода хорд и метода Ньютона, так как в существующей литературе нам не удалось найти доступного для школьников изложения этого вопроса).

Важной темой, связывающей математику с прикладными дисциплинами, является аппроксимация функций. В нашей программе функции аппроксимируются многочленами. В диссертации дана подробная методика изложения интерполяции, увязывающая вопрос не только с функциональным материалом, но и с решением комбинаторных задач.

Аппроксимация функции многочленом дает средство вычислять функцию в заданной точке. Специально этот вопрос изучается в темах «Дифференциал» и «Ряды».

Большое значение для усвоения школьниками понятия определенного интеграла имеет численное интегрирование. Больше того, введение численных методов интегрирования до формулы Ньютона—Лейбница приводит к более быстрому усвоению этого понятия. Именно так решается в диссертации методика введения определенного интеграла. Здесь численные методы оказываются незаменимым подспорьем и в том отношении, что определенный интеграл наш ученик умеет вычислять даже тогда, когда соответствующий неопределенный интеграл он взять не может.

5. Экспериментальная проверка сделанных в диссертации предложений проводится в классах программистов школы №52 г. Москвы, начиная с 1961/1962 учебного года. В этой школе классы программистов были организованы в 1960 г. Но в течение первого года преподавание высшей и вычислительной математики велось отдельно от элементарной математики, причем даже разными учителями. Первой задачей экспериментального преподавания было объединить в одних руках элементарную

и высшую математику (классический анализ), что и было сделано в 1961/1962 учебном году.

Следующим этапом было объединение вычислительной математики с общематематическим курсом. Это было осуществлено, начиная с 1963/1964 учебного года. Тем самым была начата проверка предложений диссертации во всей их полноте.

Кроме того, в 1962/1963 учебном году нами проводилась экспериментальная работа при преподавании вычислительной математики и высшей алгебры на физико-математическом факультете Московского государственного заочного педагогического института. Эта часть эксперимента проводилась непосредственно перед объединением вычислительной математики с общим курсом в школе № 52 и имела целью уточнить объем вычислительного материала, подлежащего изучению в школе, а также выяснить требования высшей школы к вычислительной и функциональной подготовке выпускников средней школы.

Важной частью работы над диссертацией явился опыт общения с учителями школ программистов, изучение их достижений, в частности, больших успехов школы № 444 г. Москвы. Результаты экспериментальной и теоретической работы над диссертацией излагались нами в выступлении на конференции учителей школ программистов в 1961 г. и при чтении курса алгебры для учителей школ программистов в Московском городском институте усовершенствования учителей в 1964/1965 учебном году.

Экспериментальная проверка изложенных в диссертации предложений показала следующее:

а) Предлагаемый курс математики, построенный на основе тесной связи функциональной и вычислительной подготовки учащихся, с включением элементов высшей математики, вполне доступен учащимся 9—10 классов математической школы.

Об этом говорят результаты многочисленных контрольных работ, результаты экзаменов, а также опыт повседневной работы в классах.

Например, в контрольных работах, посвященных отысканию экстремумов, мы усложняем задание таким образом. Вместо, например, задачи «Из всех прямоугольников данной площади определить тот, периметр которого наименьший»1 мы даем задачу «Из всех прямоугольников данной площади определить тот, периметр которого наименьший, и тот, периметр которого наибольший». Тем самым не только снимается элемент подсказки, содержащийся в условии; наш ученик вынуждается проводить полное исследование экстремальной точки. И тем не менее абсолютное большинство учащихся из года в год справляется с этой контрольной работой.

1 Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1962, стр. 150, задача 1561.

Ответы на экзаменах и на уроках свидетельствуют о глубоком понимании основных теорем о пределах, доказательство которых проводится на высоком уровне строгости. Более того, имевшиеся у нас в начале работы попытки оставить некоторые «очевидные» теоремы без доказательства были отвергнуты нашими учениками. Например, теорема о единственности предела числовой последовательности, которую мы преподнесли без доказательства, была тут же, на уроке, доказана одной из учениц, причем вполне строго. Это несомненно свидетельствует о глубине понимания всего материала, предшествовавшего этой теореме.

На экзаменах учащиеся легко справляются не только с доказательствами теорем, но и с формулировками отрицания теорем и определений, например, правильно формулируют условия, при которых решение уравнения x=f(x) методом итераций невозможно без преобразований этого уравнения.

б) Объединение вычислительной и функциональной подготовки приводит к несомненному повышению общематематической культуры выпускников школы. Об этом свидетельствует свободное владение материалом, необходимым для решения задач, требующих и функциональных, и вычислительных навыков. Такова задача построения графика функции у= ---, где Р(х) — многочлен третьей степени с ненулевыми коэффициентами, имеющий три иррациональных корня и Q(x) — квадратный трехчлен с ненулевыми коэффициентами и мнимыми корнями. Квалифицированное решение этой задачи требует умения оперировать методами классического анализа и вычислительной математики, более того, умело варьировать их применение, многократно переходя от функциональной работы к вычислительной и обратно. С такой задачей, как правило, не справлялись учащиеся классов с раздельным преподаванием вычислительной и общей математики. С такой задачей успешно справляется подавляющее большинство учащихся, которым эти предметы преподаются совместно.

В классах с отдельным преподаванием численных методов мы то и дело должны были вновь рассказывать ранее пройденный вычислительный материал, иначе ученики терялись при одном только виде кубического уравнения, появившегося при решении алгебраической задачи. При совместном преподавании ученики уже не делят математику на «общую» и «вычислительную»; они гораздо более правильно понимают место и роль численных методов в математической науке.

Внедрение численных методов в живую плоть общематематического курса значительно осовременило его. Теперь в основном курсе математики многие задачи решаются по-современному. На более высокий уровень ставится доказательство мно-

гих теорем, что также способствует росту математической культуры учащихся,

в) Совместное преподавание вычислительной и общей математики приводит к гораздо более прочным знаниям учащихся. Если раньше метод итераций проходили в течение двухчасового занятия и в дальнейшем использовали лишь изредка, в небольшом по объему курсе численных методов, то теперь этот важный метод используется при решении задач в курсе алгебры и анализа часто, и до самого конца обучения в средней школе. Частое применение численных методов неминуемо приводит к более прочному их усвоению. Вместе с тем становятся более прочными общие навыки учеников в решении математических задач.

г) Отметим также, что часть новых для нашей школы разделов, введенных в программу экспериментальных классов, оказалась настолько легкой для учащихся, что не видно никаких мотивов, не позволяющих ввести эти разделы в курс математики нематематической школы: разделы, касающиеся решения уравнений методом половинного деления, использования производной для исследования функций, интеграла для подсчета площадей криволинейных трапеций, а также объемов цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара и его частей. Такое обогащение курса математики нематематической школы приведет к экономии времени, так как владение общими методами в конце концов с лихвой окупит расход времени, связанный с введением этих методов.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

1. Функциональная и вычислительная направленность курса математики в значительной мере приближает его преподавание к идеям современной математической науки.

2. Выделение функционального и вычислительного направления в качестве стержневой линии курса математики в математической школе делает его единым, создает хорошую основу для построения курса в целом и критерии для разработки его в деталях.

3. Обучение математике по разработанной системе обеспечивает высокую общематематическую подготовку учащихся. Это позволяет им с равным успехом продолжать обучение в вузах или работать на производстве.

4. Общематематическое развитие учащихся, достигнутое в результате осуществления предложений, выдвинутых в диссертации, обеспечивает потребности смежных с математикой предметов. Высокий уровень их математической подготовки позволяет им свободно ориентироваться в усложненных курсах физики и черчения. Школьники из экспериментальных классов успешно овладевают всеми учебными дисциплинами в школе.

5. Соединение функциональной и вычислительной подготовки учащихся имеет важное значение не только для математической, но и для массовой школы. Это, в первую очередь, облегчит введение в массовую школу элементов дифференциального и интегрального исчисления, что будет способствовать подъему математического образования в средней школе.

Основные положения диссертации изложены в следующих опубликованных работах:

1. Учебное пособие для 9-го класса по алгебре. М., 1962.

2. Число е. (Журнал «Математика в школе», № 2, 1965 г.).

3. Элементы вычислительной математики в курсе алгебры девятого класса математических школ. (Сборник статей «Обучение в математических школах», М., 1965).

4. Единство и отличие двух подходов к исследованию функций. (Сборник статей «Математический анализ и алгебра», М., 1966).

Л-133014 Ф-т 60×901/16 Объем 1 печ. л. Зак. 4037 Тираж 250 экз.

Московская типография № 19 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР Наб. Мориса Тореза, 34