ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра Дошкольной Педагогики

А. М. ЛЕУШИНА

ПОДГОТОВКА ДЕТЕЙ К УСВОЕНИЮ АРИФМЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА В ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук

ЛЕНИНГРАД 1956

§ 1. Задачи, теоретические основы и методы исследования

B поступательном движении нашей страны к коммунизму необходимо всесторонне образованные люди, квалифицированные специалисты. В политехническом обучении детей в школе значительное место принадлежит математическим наукам. Дети еще задолго до поступления в школу начинают усваивать элементарные арифметические знания. Первые конкретные представления о множествах, а постепенно — и о числах, первые умения считать начинают формироваться у детей еще в преддошкольном и дошкольном возрасте. Поэтому для школы является не безразличным уровень подготовки детей, поступающих в первый класс. На необходимость предварительной подготовки детей к школе в области счета указывали еще классики педагоги: Ян Амос Коменский, И. Г. Песталоцци, К. Д. Ушинский и др.

К. Маркс считал счет ребенка «первой теоретической деятельностью рассудка, который еще колеблется между чувственностью и мышлением»1. Эти указания К. Маркса особенно важны для понимания генезиса счетной деятельности маленького ребенка. Только в деятельности ребенка с различными множествами реального мира формируются у него и первые понятия о числе, отражающие количественные отношения между предметами и явлениями окружающей действительности. Изучение закономерностей развития у детей с раннего детства и до школы представлений о множестве, числе и операций счета явилось одной из задач нашего исследования.

Процесс формирования представлений и понятий совершается у ребенка под руководством взрослого. Поэтому второй задачей исследования было изучить способы и методы обуче-

1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. I, Госполитиздат, 1955 г., стр. 31.

ния детей счетной деятельности в разных возрастных группах, обеспечив преемственность в работе так между группами детского сада, так и между яслями и детским садом, детским садом и школою.

При разработке научных гипотез и анализе экспериментального материала мы опирались на марксистскую теорию познания и на ее естественно-научную основу — рефлекторную теорию И. М. Сеченова и И. П. Павлова, а также на данные советской генетической психологии и педагогики (гл. I, II и III).

Методы исследования определялись задачами и выдвинутыми нами научными (гипотезами, которые подтвердились в процессе исследования.

Экспериментально-педагогическая работа велась нами в двух плавах: с одной стороны, мы проводили индивидуальные занятия с детьми, воспитывающимися в различных учреждениях (в городских детских садах с четырьмя возрастными группами, в однокомплектных детских садах области, в детских яслях, в первом классе школы с детьми, пришедшими в школу из семьи и из детских садов), с другой стороны, в течение двух с лишним лет мы проводили экспериментально-педагогическую работу (по типу естественного эксперимента) в четырех группах 32-го детского сада Свердловского района гор. Ленинграда.

Как в индивидуальных, так и в общегрупповых занятиях мы стремились не только выявить, что знает и умеет ребенок, но и обучить его, сформировать у него то или иное представление, понятие или умение, и в процессе этого вскрыть психологические и педагогические закономерности. Обучая детей, мы стремились, мак требует диалектический материализм, проследить самый процесс усвоения детьми званий и умений в его движении, изменении, развитии.

Все это позволило нам проверить используемые на занятиях методические приемы и дидактические пособия, проанализировать и исправить допускаемые в ходе эксперимента ошибки.

Для индивидуального изучения детей вами была разработана методика исследования, состоящая из семи серий заданий:

I серия имела целью выявить, какую роль играет счетная операция в поведении ребенка при определении количества предметов, находящихся перед ним, или при задании отсчитать указанное количество предметов.

II серия заданий была направлена на выявление особенностей восприятия множества и особенностей его воспроизведения по образцу, причем кружки или пуговицы на образце располагались линейно или в форме.

III серия была посвящена выявлению особенностей сравнения детыми двух множеств (различно пространственно расположенных на карточках или различающихся размерами элементов). Этим имелось в виду выявить роль счетных умений детей при сравнении множеств.

IV серия заданий была направлена на выявление объема известных детям числительных, умений называть их в прямом и обратном порядке, называть от любого числа, умений определять пропущенное число, называть числа, смежные с указанными. Целью этой серии было выявить, каков механизм усвоения порядка числительных детьми на ранних этапах их развития, каковы особенности образования у детей представлений о натуральном ряде как системе чисел.

V серия задании была направлена на изучение вопроса об умении устно называть число, большее (меньшее) на единицу, чем называл экспериментатор, а также практически воспроизводить множество, большее (меньшее) на один предмет, чем давал экспериментатор. Затем предлагалось сравнить множества (числа), определив при этом разностные отношения между ними. В этой серии выяснялись способы выполнения детьми задания и особенности представлений детей о порядковом и количественном значении числа.

VI серия заданий была посвящена изучению вопроса об особенностях усвоения детьми арифметических задач и вычислительных приемов при их решении.

VII серия заданий была направлена на изучение особенностей восприятия множеств различными анализаторами (зрительным, слуховым, двигательным, осязательным). Задания при этом различно варьировались, например, давалось для восприятия несколько звуков, повторяющихся с одинаковыми интервалами, или то же количество звуков, но в ритмическом рисунке. При воспроизведении количества звуков предлагалось в одном случае не прибегать к счету, в другом случае — считать звуки. Мы выясняли, какую роль играет ритм и ритмический рисунок при восприятии множества звуков, какую роль играет слово вообще, и числительное в частности, при восприятии множества на слух.

Индивидуальными занятиями по указанным выше сериям

мы охватили 295 детей в возрасте с I г. 6 мес. до 7 лет 11 мес., воспитывавшихся в различных условиях.

В детском саду № 32 Свердловского района, где в течение двух лет проходил педагогический эксперимент, индивидуальное изучение детей проводилось дважды в год: осенью перед началом экспериментальной педагогической работы и весною при ее окончании. Этим мы имели в виду пронаблюдать продвижение каждого ребенка в результате проводимого в детском саду экспериментального обучения.

Методика проведения педагогического эксперимента была следующей: программе работы по группам и семестрам планировалась нами совместно с воспитателями, исходя из «Руководства для воспитателя детского сада» (изд. 1946 г.), в также из учета и анализа уровня развития детей, известного нам в результате их индивидуального изучения. Воспитатели при нашем участии и участии заведующей разрабатывали конспекты занятий. Занятия в каждой группе проводились еженедельно в определенное время и подвергались совместному анализу, в результате чего вносились исправления, намечались новые пробы, возникали новые методические вопросы, которые изучались в последующих занятиях. Итоги экспериментальной работы первого года были подвергнуты анализу и на этой основе была спланирована и построена работа второго года в тех же возрастных группах, но с новым составом детей. Одновременно продолжалась работа с детьми, перешедшими в следующую группу. Всего за два года работы было проведено 158 групповых занятий.

Диссертация состоит из следующих глав:

Глава I. Задачи, теоретические основы и методы исследования.

Глава II. Постановка вопроса о развитии числовых представлений у детей в дореволюционной методической и психологической литературе.

Глава III. Вопросы развития счетных умений и представлений о множестве и числе у детей в советской психологической и педагогической литературе.

Глава IV. Уровень развития счетных умений и понятий о числе у детей, поступивших в первый класс школы.

Глава V. Особенности формирования представлений о множестве и первых счетных операций у детей в возрасте 1,6—2,11 лет.

Глава VI. Уровень развития представлений о множестве и счетных умений у детей в возрасте 3,0—3,11 лет.

Глава VII. Опыт проведения заданий по счету с детьми младшей группы.

Глава VIII. Уровень развития представлений о множестве и числе и счетных навыков у детей 5 лет.

Глава IX. Опыт проведения занятий по обучению детей счету в средней группе детского сада.

Глава X. Уровень развития счетных и вычислительных навыков у детей 6 лет.

Глава XI. Опыт проведения занятий по счету в старшей группе детского сада.

Глава XII. Формирование у детей представлений о множестве, понятий о числе и навыков счета в условиях обучения (Заключение).

***

Во II главе мы подвергли подробному критическому анализу различные теоретические концепции о развитии у детей первых представлений о числе и счете, возникшие еще в XIX веке и вызвавшие длительную дискуссию у нас в России и за рубежом.

Изучая методические и психологические взгляды русского или зарубежного автора того или иного направления, мы анализировали их под углом зрения основных философских воззрений, с позиции которых защищалась автором та или иная педагогическая концепция. Это позволило нам разобраться более глубоко в сущности дискуссии XIX—XX века по вопросу о развитии у детей числа и счета, а в связи с этим понять и сущность различных методических направлений в начальном обучении детей арифметике.

Основной вывод, вытекающий из анализа обширного литературного материала, состоит в том, что борьба различных методических течений XIX—XX веков была отражением острой борьбы, часто скрытой между материализмом и идеализмом.

Понимание исторического генезиса вопроса позволило понять более отчетливо и проблему, стоящую перед современной педагогической наукой.

В III главе мы подробно проследили, как развивается эта проблема дальше в советской психологии, методике обучения арифметике, дошкольной педагогике. Мы критически рассмотрели имеющиеся психологические исследования (И. А. Френкеля, Г. С. Костюк, Н. А. Менчинской, Е. И. Корзаковой, Л. А. Яблокова, Н. Н. Лежава), некоторые высказывания

методистов советской школы (А. С. Пчелко, Г. Б. Поляк, Н. С. Поповой, Н. А. Эменова, П. А. Компанейца и др.), а также дошкольную педагогическую литературу (книги Л. К. Шлегер, Е. И. Тихеевой и М. Я. Морозовой, Ф. Н. Блехер, З. С. Пипулевской, Г. И. Архангельской, методическое письмо НКП РСФОР по счету и др.).

Все советские исследователи о начальных этапах развития числовых представлений у детей подходят к рассмотрению вопроса с позиций ленинской теории отражения и законов диалектического материализма. Однако многие частные вопросы до сих пор остаются недостаточно выясненными и спорными. Так, общие утверждения всех советских методистов о том, что нельзя противопоставлять счет числу, не раскрывают еще теоретически отношений между числом и счетом. Необходимо отметить, как же проходит процесс отражения количественных отношений реальной действительности в сознании ребенка и какую роль при этом играет деятельность счета.

Передовые практики-педагоги сделали многое для профдвижения вопросов обучения детей счету в детском саду, но нерешенность теоретических вопросов неизбежно порождает необоснованность, случайность при разработке методики.

Все это требует дальнейших исследований, которые должны проводиться совместно силами педагогов, методистов, психологов и физиологов. Часть этой важной, большой работы мы взяли и на себя.

Остановимся кратко на изложении основных теоретических положений, которые обобщены нами и систематизированы на основе всего исследования (гл. XII) с тем, чтобы в последующих параграфах конкретизировать их по отдельным возрастным периодам.

Предпосылки развития счетной деятельности детей

Основой для раннего подражания детей внешней стороне счетной операции мы считали повторяемость однородных движений, звуков, слов, предметов, воспринимаемую различными анализаторами. Наиболее яркие ощущения этой повторяемости ребенок испытывает при собственных движениях.

Наряду с ними, движения глаза с одного предмета на другой создают зрительно-кинэстетические ощущения и т. д. Повторяемость различных однородных явлений во времени и пространстве, повидимому, создает первые ряды временных

связей. Каждый из этих рядов повторяющихся однородных явлений, обобщаясь и обособляясь от другого-, формирует у ребенка представление о неопределенной множественности.

Овладение числительными

Овладевая речью, маленький ребенок почти одновременно усваивает множественное и единственное число, ибо первые представления о множественности как о повторяемости однородных явлений уже сформировались у него ранее. Все это создает условия для развития у него счетной деятельности в элементарном виде. Перебирая предметы, ребенок любит повторять однородные слова, типа: «вот,., вот, ..вот...» или «раз,., раз,., раз...» или «еще,., еще,., еще...» и др. Одновременно в его речи появляются и такие слова, как «все», «много». Эти факты были отмечены многими исследователями (Г. С. Костюк, Н. А. Менчинской, Л. А. Яблоковым и др.). Здесь к ощущениям от повторяемости однородных движений (руки и глаза) присоединяются речедвигательные ощущения, что образует межассоциативные связи. Многократное сопоставление множеств формирует представление об их различной мощности. У детей возникает потребность отразить эти различия в речи. Это создает новые условия для дальнейшего подражания счетной операции взрослых, для усвоения слов-числительных.

Постепенно под воздействием взрослых называние числительных упорядочивается, формируется новый ряд чисто словесных ассоциаций, которые, закрепляясь в процессе упражнений, создают речедвигательный стереотип. На основе взаимодействия этих рядов ассоциаций, двигательных — руки и глаза, и речедвигательных и слуховых, возникает счетная деятельность ребенка с помощью слов-числительных. Однако называние числительных и передвижение предметов на первом этапе не имеет еще в виду определить общее количество сосчитанной совокупности, называние числительных служит скорее отражением в слове ритма движения и средством сигнализации к остановке.

Формирование представлений о множестве как целостном единстве

Первые представления о неопределенной множественности, возникающие на основе представления о повторяемости однородных явлений, постепенно перестраиваются в более отчет-

ливое представление о множестве как пространственно замкнутом целостном единстве, состоящем в то же время из отдельных однородных элементов. При формировании этого представления ведущая роль принадлежит зрительному анализатору.

Дальнейшее развитие представлений о множестве — переход к восприятию количества

От восприятия множества как пространственно замкнутого единства ребенок переходит к более точной дифференцировке элементов, образующих множество, чему способствует сравнение множеств и установление между ними взаимно-однозначного соответствия, на что обратил внимание и Г. С. Костюк. На этой основе у ребенка впервые формируется представление о равенстве и неравенстве множеств. Практическое сравнение и умение различить их порождает новую потребность — определять мощность множества с помощью слов-числительных, чему и помогает счет.

Так между устным называнием числительных, опирающимся на кинэстетические ощущения и ритм, и практическим «счетом» в виде установления между множествами взаимно-однозначного соответствия, возникают новые временные связи, которые являются механизмом счетной операции. Понимание значения числительного перестраивается: функция отражения в слове ритма движения, а также функция сигнала к остановке сменяются функцией определения порядково-количественных отношений. Так постепенно «количественное число» становится понятием «о некотором классе равномощных между собою множеств».

Исходя из этого, мы считаем, что на ранних этапах надо обучать детей не числу, а основам счетной деятельности — в виде установления между множествами взаимно-однозначного соответствия (способами наложения, приложения один к одному), считаем необходимым учить детей определять равенство и неравенство совокупностей, еще не называя их числительными. И лишь на следующем этапе мы считаем возможным, опираясь на практический опыт детей, на умение сравнивать множества, обучать их счету в подлинном смысле этого слова, т. е. учить точно соотносить называние числительных к элементам множества, определяя последним числительным все множество в целом. На этом этапе вступают в сложнее

взаимодействие различные ассоциативные ряды, которые формируются на основе различных анализаторов.

Пересчитывание элементов различных множеств (звуков, движений, предметов, по разному расположенных в пространстве) формирует представление о независимости количественной стороны множества от пространственно-качественных особенностей его элементов. Дети подводятся к пониманию того, что «натуральное число есть общая количественная характеристика некоторого класса равномощных между собою множеств».

Формирование представления о натуральном ряде чисел и понимание детьми отношений между смежными числами

Вначале, называя числительные по порядку, дети не представляют себе ни связей, ни отношений между ними. Порядок числительных для них является некоторым последовательным комплексом, в котором не вычленяются еще его отдельные компоненты. Дифференцировка их возникает, с одной стороны, на основе анализа .слуховых и речедвигательных ощущений (для ребенка становится возможным определить большее-меньшее число по признаку дальности его от начала «счета»); с другой стороны — на основе зрительных ощущений при установлении взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств. При усвоении отношений между смежными числами натурального ряда ведущую роль играют зрительные восприятия при сравнении множеств; именно они являются первосигнальной основой при формировании понятия «больше-меньше». Этому, как показало исследование, должно способствовать обучение на начальных этапах развития.

Переход детей от деятельности счета к вычислительной деятельности

Арифметическое действие является отвлеченным понятием, в котором отражены существенные стороны многообразных операций человека с конкретными множествами. Поэтому необходимо формировать первоначальное понятие о сущности арифметических действий на арифметических задачах, ибо в их содержании раскрываются конкретные примеры человеческой деятельности. На целесообразность такого пути указы-

вали крупнейшие педагоги прошлого (К. Д. Ушинский, В. А. Латышев и др.).

Рассмотрим эти положения на конкретном материале.

§ 2. Количественные представления, счетные и вычислительные навыки у детей, пришедших в первый класс школы

Мы изучили требования школы к детям, поступающим в 1-й класс, изучили программу по арифметике и методы работы учителя, проанализировали причины тех затруднений, которые испытывают дети на начальных этапах обучения.

Мы выявили, что поступающие в школу дети должны уже в совершенстве владеть навыками счета (в виде сосчитывания и отсчитывания предметов, звуков, движений), потому что задачей школы является познакомить детей с арифметическими действиями, обучить их вычислительной деятельности. Первые приемы вычислений опираются на умения детей считать, на их знания об отношениях между смежными числами натурального ряда. Стало быть, чтобы успешно овладеть в школе программным материалом по арифметике, дети должны хорошо владеть счетной операцией, иметь отчетливые представления о натуральном ряде чисел (в пределе десяти), знать закон образования ряда, понимать отношения между смежными числами.

Анализ экспериментального изучения 136 первоклассников, только что поступивших в школу, показывает, что, далеко не все дети владеют необходимыми знаниями и умениями.

Из состава изученных нами детей 61% пришли в школу из детских садов и 39% — из семьи. Мы раздельно анализировали материал о детях из детских садов и из семьи, чтобы, сравнив его, выявить положительные и отрицательные стороны воспитания в семье и в детском саду.

Данные об изучении этих детей изложены нами в главе IV, они же использованы нами в статье «Развитие количественных представлений и вычислительных навыков у детей в процессе обучения в I «классе»1. Поэтому в автореферате мы ограничимся лишь общими выводами об особенностях арифметических представлений и навыков у детей этого возраста и о типичных недостатках подготовки детей к обучению в школе.

1. Отмечается излишнее увлечение «устным счетом», иногда в большом объеме (особенно в условиях воспитания

1 «Известия» АПН РСФСР, № 70, 1955 г., стр. 149—193.

в семье), за счет недостаточного упражнения в конкретном счете при участии различных анализаторов.

2. У многих детей не сформировались отчетливые количественные представления даже о числах в пределе 10, они неясно представляют себе те конкретные множества, мощность которых отражают эти числа.

3. Дети не овладели в полной мере и умениями сравнивать между собою конкретные множества путем установления взаимно-однозначного соответствия между элементами этих множеств. Сравнение чисел в большинстве случаев они производят лишь по признаку дальности их от начала счета, а не по количеству единиц, образующих то или иное число. Неумение практически устанавливать взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств являлось, как помазало исследование, одной из причин тех затруднений, которые испытывали учащиеся при изучении раздела о разностных отношениях между числами. Этот факт неоднократно отмечался учителями школы и методистами.

4. Многие дети овладели лишь внешней стороной операции счета, они недостаточно отчетливо усвоили значение итогового числа в счетной операции. Это значит, что итог счета не отдифференцировался у них от процесса счета.

5. Отметены нами и другие ошибки при счете предметов, как «небрежность» в точном соотнесении числительного к одному лишь предмету, особенно при молчаливом счете глазами, без показа рукою. Это свидетельствует о недостаточности развития у детей пространственно-количественных дифференцировок, об отсутствии прочных ассоциативных связей в зрительном, двигательном и речедвигательном анализаторах.

6. Во всех случаях затруднений при сосчитывании у детей, как правило, усиливались движения: от молчаливого счета одними глазами они переходили к счету шопотом или громкому счету, сопровождающемуся ритмическими кивками головы или показом рукою, что полностью соответствует данным исследования Л. К. Назаровой о роли движений и (возникающих при них речевых кинестезии в процессе письма начинающего.

7. Отмечено нами своеобразие в направлении движения руки и глаза при счете предметов, расположенных в ряд или в виде той или иной числовой фигуры. У многих детей при сосчитывании предметов, расположенных по горизонтали, движение руки и глаза шло справа налево, а в числовой фигуре движение руки и глаза совершалось в основном по

кругу, причем при счете правой рукой — против часовой стрелки, а левой рукой — по часовой стрелке. Как показало дальнейшее исследование, у этих детей сохранился стереотип движений руки и глаза, сформировавшийся еще в раннем детстве и не подвергшийся необходимой перестройке. Между тем, если для количественного счета порядок расположения элементов множества не имеет значения, то для усвоения порядкового счета и для формирования понятия об «упорядоченном ряде чисел» требуется расположение элементов множества слева направо. Формирование нового стереотипа в направлении движений руки и глаза слева направо важно также и в .целях подготовки детей к чтению и письму, к правильному расположению арифметических и других записей в тетради.

8. Отмечено нами своеобразие представлений детей о натуральном ряде чисел. Одни дети представляли себе натуральный ряд в виде «пространственного образа», у них все последующие числа воспринимались как стоящие впереди, а предыдущие — как стоящие позади («6 — впереди, а 5 — позади»). Для других детей, наоборот, признаком последовательности чисел являлось время («5.— впереди, а 6 — позади», в смысле: сначала 5, а затем 6) ; мы назвали это «временным» представлением ряда. У незначительной части детей представления о натуральном ряде имели смешанный «пространственно-временной» характер. И, наконец, 22% детей ограничивались лишь устным называнием чисел по порядку всегда только от единицы, совсем не понимая связей и отношений между числами, т. е. опирались лишь на речедвигательные ассоциативные связи.

Изучение этого явления на предшествующих ступенях развития позволило нам вскрыть некоторые особенности в развитии представлений детей о натуральном ряде чисел. На этапе называния числительных лишь от единицы дети не знают ни связей, ни отношений между числами, они опираются лишь на стереотип связей, образовавшихся в речедвигательном аппарате. По мере упражнения в сосчитывании предметов у детей образуется пространственный образ ряда, причем они усваивают, что с появлением в ряду нового элемента образуется новое, большее число, которое им представляется впереди стоящим. Этому особенно содействует счет на пальцах. На этом этапе дети усвоили лишь внешние связи между числами в прямом порядке. С усвоением же связей и отношений не только в прямом, но и обратном порядке, «пространственный образ» ряда перестраивается во «временной». Сме-

шанный характер представлений у части детей I класса свидетельствует о происходящей у них перестройке: овладев пониманием не только прямых, но и обратных отношений между смежными числами в пределе первого пятка, дети начинают пользоваться временными представлениями, не зная обратных отношений между числами второго пятка, они продолжают пользоваться прежними представлениями пространственного ряда. Таким образом, основой представлений детей о натуральном ряде чисел является осознание ими связей и отношений между смежными числами в прямом и обратном порядке. Этому не уделяется должного внимания в процессе воспитания и обучения детей в дошкольный период.

9. В связи с этим мы констатировали и такой факт: оперируя числами натурального ряда, иногда в весьма большом объеме, но не осознавая связей и отношений между ними в прямом и особенно в обратном порядке даже в пределе первого десятка, дети испытывали большие затруднения в усвоении действия вычитания, на что также многократно обращали внимание методисты и учителя школы. Исследование показало, что причиной этого является непонимание детьми обратных отношений между смежными числами. Поэтому дети не умели воспользоваться и предлагаемым им приемом отсчитывания по единице. Эта же причина затрудняла усвоение детьми раздела программы о разностных отношениях.

Итак, многие дети, пришедшие в школу, оказались недостаточно подготовленными в области умений сравнивать множества, а стало быть — и числа, устанавливать взаимно-однозначное соответствие, они не осознали прямых и обратных связей и отношений между смежными числами.

10. Исследование показало также отсутствие у детей понимания сущности арифметической задачи, которую они слабо отличали от рассказа, загадки, числового примера. Дети не понимали, что содержание задачи раскрывает всегда те или иные отношения между числами, не понимали они и значения вопроса в задаче. Они воспринимали его субъективно, как вопрос, обращенный к ним, а не как вопрос, направленный на нахождение того или иного арифметического действия. Не уяснив для себя отношений между смежными числами, многие дети с трудом и чисто формально: усваивали первые вычислительные приемы присчитывания и отсчитывания по одному, смешивая их с самим арифметическим действием.

Лишь незначительная часть детей могла сформулировать арифметическое действие, пользуясь при этом, как правило,

«отвлеченными» числами, не именуя тех предметов, о которых шла речь в задаче. Здесь действовал прежний стереотип ситуативной речи, образовавшийся в результате неправильного обучения счету, когда после сосчитывания называлось лишь последнее число без наименования пересчитанных предметов.

11. Анализ материала позволил сделать выводы о различиях в подготовке детей в семье и в детском саду. Словесное обучение и обучение с помощью пальцев преобладало в семье, обучение в семье не давало глубоких знаний о количественном и порядковом значении числа, не обеспечивало- понимания связей и отношений между смежными числами.

Дети детских садов в основном имели более глубокие знания в области конкретного счета, у них лучше сформировались количественные представления. Однако мы отметили значительную пестроту в уровне подготовки детей из детских садов. Как показало исследование, это в значительной степени обусловлено отсутствием четко разработанной системы и последовательности в обучении счету детей в детских садах.

Анализ изучения первоклассников вскрыл как типичные недочеты в подготовке детей, так и оптимальные их возможности. Это послужило основой для теоретической и практической разработки программы и методики обучения детей в детском саду.

§ 3. Представления о множестве, числе и особенности счетной деятельности детей в возрасте 1,6—4,0 лет

Чтобы учесть уровень арифметических представлений, с которым дети приходят в детский сад, и выявить возможности развития на данном этапе, мы изучили генезис начальных представлений о множестве, числе и возникновение счетной деятельности у детей ясельного возраста с 1,6 до 3,0 лет (Гл. 5) и у дошкольников 3—4 лет, воспитывающихся в различных учреждениях: в яслях, однокомплектном детском саду или младшей группе типового детского сада (Гл. 6).

О восприятии множества в пространстве

В исследовании удалось вскрыть последовательность в процессе развития восприятия множества в пространстве. Мы выяснили связь между характером восприятия множества и особенностями движения рук детей при его воспроизведении, что позволило нам пронаблюдать различные этапы в развитии восприятия.

Восприятие множества ребенком в возрасте 1,6—1,11 лет отличается значительной аморфностью. Это не столько пред-

ставление о множестве как структурно оформленном единстве, сколько диффузное представление о неопределенной множественности, состоящей из отдельностей.

Линейное расположение множества способствует восприятию прежде всего отдельных элементов его, а не множества как структурно-замкнутого целого.

При воспроизведении множества, расположенного в ряд, ребенком сначала выделяется некоторая центральная точка, от которой направо правой рукой, а налево — левой рукой раскладываются по-одному предметы совокупности. Вначале ребенок раскладывает их таким образом, не считаясь ни с количеством, ни с их пространственным расположением на образце, лишь на третьем году жизни он овладевает приемом наложения. На этом этапе аналитико-синтетической деятельности анализ как бы преобладает над синтезом, хотя то и другое выступают всегда в единстве.

Постепенно ребенок начинает синтезировать элементы множества в единое пространственно-замкнутое целое, а это изменяет направление движения рук детей: при воспроизведении множества дети воспринимают и обозначают теперь прежде всего его границы, после чего заполняется средина между этими границами, элементы выкладываются чаще всего еще не в адэкватном количестве. Формирование нового представления о множестве как о едином пространственно замкнутом целом перестраивает поведение ребенка, направление движений его рук. Прежняя двуручная операция наложения элементов от центра множества к его концам сменяется наложением элементов (также обеими руками) от обоих концов множества, к его средине, а в дальнейшем все множество воспроизводится одной рукой от одного конца к другому (левой рукой — слева направо, или правой — справа налево). Повторяющийся опыт действия одной рукой закрепляет, с одной стороны, связи о пространственной замкнутости множества, а с другой стороны, способствует воспроизведению всех элементов множества в их временной последовательности. Так замыкаются связи между временной последовательностью воспроизводимых элементов и пространственным их объединением в единое целое. Тенденция воспринимать множество как целое доминирует на данном этапе, как бы подавляя анализ элементов, его образующих, что и порождает ошибки в воспроизведении адэкватного образцу количества.

Сильно возрастает количество ошибок, когда множество воспроизводится не приемом наложения, а приемом приложе-

ния: Этот прием становится частично доступным для детей лишь на четвертом году жизни при условии обучения. Трудность данного задания обусловлена тем, что при воспроизведении множества приложением требуется подвергнуть анализу не только общее количество элементов, но и пространственное расположение каждою из них. Такой сложный двойной анализ оказывается недоступным детям на данном этапе развития, особенно при отсутствии надлежащего руководства.

С аналогичными явлениями мы встречаемся и при воспроизведении множества, расположенного в той или иной геометрической форме (числовой фигуре), но геометрическая форма множества значительно больше, чем линейное его расположение, способствует восприятию множества как единого пространственно замкнутого целого.

На начальном этапе дети воспринимали множественность аморфно (клали горсть пуговиц на карточку, не заботясь о соотнесении элементов друг к другу) В дальнейшем возникает стремление наложить предметы на их рисунки. Дети в данном случае действуют всегда лишь одной какой-нибудь рукой, раскладывая предметы как бы по кругу, начиная от нижней точки числовой фигуры (левой рукой — в направлении часовой стрелки, а правой — против часовой стрелки). В поведении детей отражается особенность их восприятия множества как пространственно замкнутого целого. В данном случае в едином процессе аналитико-синтетической деятельности синтез преобладает над анализом.

Воспроизведение множества приемом приложения становится доступным детям лишь на четвертом году жизни. Сначала предметы выкладываются в неопределенном количестве вокруг всей карточки. На следующем этапе усиливается анализ при восприятии множества, но анализируется прежде всего пространственная форма числовой фигуры: выделяются стороны, ее образующие, а само множество дробится на части, примыкающие к той или иной грани данной формы; количественный же анализ затруднен, поэтому множество воспроизводится неадекватно:

Числовая фигура 3 Числовая фигура 4

Подобный характер воспроизведения встречается даже у детей в возрасте 5—6 лет.

Итак, при расположении множества в сложной геометрической форме процесс диффренцировки начинается с пространственного анализа его формы и, лишь постепенно развиваясь, дополняется количественным анализом. Этот процесс развития протекает быстрее при условии руководства взрослого и значительно задерживается при его отсутствии.

Чем сложнее пространственная форма множества, тем более трудным становится количественный анализ. Поэтому для развития количественных представлений на начальных этапах целесообразно применять линейное расположение множеств.

Восприятие множества на слух и по осязанию

При восприятии множества другими анализаторами, мы выявили ту же картину перехода от диффузного восприятия множественности к восприятию множества как структурно оформленного целого и постепенного развития дифференцировки элементов внутри этого целого. Дети до 2, 4 лет совсем не могли воспроизвести количество звукодвижений, подражая стуку вообще. На более позднем этапе (2,6— 4,0 лет) дети воспроизводили по образцу 1—3 звука.

Значительно улучшалось воспроизведение количества элементов под наш «счет» (до 4—5 звуков). Называние нами числительных или даже разных бессмысленных слогов типа «считалочки», помогало расчленению множества и выделению каждого звука как при восприятии его, так и при воспроизведении. На четвертом году жизни дети сами называли слова-числительные при восприятии множества звуков или движений, т. е. отмечалось стремление к наиболее четкому их расчленению с помощью слова. То же самое мы наблюдали и при определении количества предметов по осязанию (при выключенном зрении). Смысл называния числительных, значение итогового числа становились в этих случаях особенно понятны детям.

Представляет интерес восприятие множества звуков, данных в ритмическом рисунке. Дети 3,0—3,11 воспроизводили обычно не свыше трех звуков при равных интервалах между ними. При ритмическом рисунке количество воспроизводимых звуков возрастало у тех же детей до 6—10. Это объясняется тем, что анализ ритмического рисунка производился детьми не путем вычленения каждого отдельного звукового элемента, а по частям рисунка, однородным по длительности.

Таким образом, как в сложной пространственной форме

количественному анализу предшествует анализ формы, так и в ритмическом рисунке выделяются прежде всего не отдельные звуки, а части рисунка, объединяемые по признаку однородной длительности.

Итак, в процессе формирования первых представлений о множестве участвуют различные анализаторы: зрительный, кинестетический, осязательный, речедвигательный, слуховой. Это обусловлено тем, что множество многогранно по своей природе, и воспринимается всегда во времени и в пространстве, причем каждый из анализаторов подчеркивает особо ту или иную его сторону. Представление о (множестве формируется в результате сложною взаимодействия анализаторов в деятельности коры головного мозга.

О развитии счетной деятельности

Основой счетной деятельности при восприятии множества в пространстве является движение руки и глаза, помогающее расчленить совокупность, выделить в ней отдельности. На ранних этапах (1,6—2,6 лет) такому расчленению множества на элементы способствует повторение при каждом движении показа одного и того же слова, вроде: еще... еще..., или: вот... вот..., или: раз... раз... Это отмечалось многими исследователями (Н. А. Менчинской, Г. С. Костюк, Л. А. Яблоковым и др.).

В других случаях в ответ на вопрос «сколько» или на предложение «посчитай» наблюдается молчаливый показ ребенка или передвижение им предметов один за другим.

Постепенно от молчаливого показа или показа, сопровождаемого повторяющимся словом, ребенок переходит к употреблению слов—числительных, заимствованных им из речи взрослого. Называние при каждом движении нового слова еще более четко дифференцирует каждый отдельный элемент множества. На эту роль числительных указывал еще И. М. Сеченов. Однородные движения руки и глаза «не могут зарегистрироваться в памяти раздельно, а должны в силу сходства сливаться друг с другом. Дело другого рода, если каждое последующее передвижение отмечено для сознания новым знаком, например, звуковым, тогда память сразу выводится из всякого затруднения, потому что каждый вновь появляющийся знак суммирует сосчитанное»1.

Числительное на первых этапах развития ребенка еще не суммирует сосчитанное, но, бесспорно, способствует более четкому обособлению каждого элемента множества. Этим, как

1 И. М. Сеченов. Избранные произведения, Из-во АН СССР, 1952 г., стр. 408.

видим, и обусловлен столь ранний интерес детей к словам — числительным. Объем знаний числительных на этом этапе резко увеличивается.

Однако необходимость усвоить эти слова, а к тому же произносить их в определенной последовательности, порождает у детей диссоциацию, которая выражается в том, что, произнося слова—числительные, ребенок начинает менее точно соотносить их к предметам, чем то было на предшествующем этапе при повторении однородного слова «еще» или «вот». Теперь внимание ребенка сосредоточивается на назывании числительных, на их припоминании. При этом называние числительных начинает сопровождаться общими движениями. Механизм этого явления состоит, повидимому, в том, что у детей возникает новый доминантный очаг возбуждения в слухоречедвигательных центрах, захватывающий и центры общих движений, что и вызывает генерализованную двигательную реакцию. В силу индукционных отношений деятельность зрительных центров оказывается временно заторможенной; поэтому, называя числительные, ребенок не соотносит их точно к каждому предмету. При правильном руководстве взрослых эти межассоциативные связи сравнительно быстро восстанавливаются на новой более высокой основе — счета с помощью слов—числительных. В иных случаях допускается серьезная ошибка: обучение называнию слов—числительных («устному счету») отрывается от счета предметов, звуков и других множеств, воспринимаемых различными анализаторами.

Исследование показало, что у детей старше 3 лет становятся особенно заметными различия в уровне знаний, обусловленные образом жизни и условиями воспитания. Так, дети, воспитывающиеся с раннего возраста в яслях, отставали от детей того же возраста, воспитывающихся в детских садах города и в однокомплектных детских садах области.

Все это говорит о необходимости с раннего возраста разумно и сознательно руководить формированием представлений детей о множестве, развивать умение дифференцировать элементы множеств, производить сравнения множеств путем практического установления взаимно-однозначного соответствия между их элементами, практически знакомить детей с равенством и неравенством множеств еще до числового их обозначения. Это создает необходимую первосигнальную основу, которая обеспечивает переход детей к усвоению понятия числа как определенной мощности множества, а также подводит детей к деятельности счета с помощью слов—числительных.

§ 4. Развитие счетной деятельности у детей 5 лет, формирование их представлений о множестве и понятия числа

Материал о дальнейшем развитии счетных навыков и представлений о множестве, переходящих постепенно в понятие числа, у детей-пятилеток представлен нами в главе VIII.

Развитие «устного счета» и счета предметов

Дети 5 и особенно 6 лет пользуются уже значительным объемом числительных, называемых по порядку. Этот объем знаний все время возрастает. Но, как показало исследование, привычная форма называть числительные всегда от единицы (с «раз») и всегда в одном и том же порядке образует чисто словесный стереотип; отдельные компоненты этого сложного комплексного раздражителя еще не выделяются, ибо за словом—числительным нет еще четкого количественного представления. Поэтому-то у детей 4—5 лет, а частично и 6 лет, «счет» с помощью числительных приобретает нередко чисто сигнальную функцию типа «довольно, остановись». При счете предметов такой словесный стереотип «устного счета» часто разрушается: числительные пропускаются, наблюдается несоотнесенность называемого числительного к предмету. Стало быть, словесный стереотип, включенный в другую деятельность — деятельность практического счета, разрушается, повидимому, в силу индукционных отношений, возникающих между различными центрами коры головного мозга. Дети не понимают значения последнего числа при счете и на вопрос, «сколько», начинают вновь «считать» те же предметы. Отбирая количество предметов по указанному числу, дети прислушиваются к своей речи, ожидая появления указанного им числительного в потоке произносимых слов, причем нередко, пропустив или не заметив это числительное, они продолжают набирать предметы. Это значит, что в словесном стереотипе не осознается еще место каждого из речевых компонентов. Отсюда вполне понятными становятся и такие факты в области устного называния числительных, как неумение называть их по порядку от любого числа, а не от единицы, неумение обнаружить пропущенное экспериментатором числительное, самому сознательно пропустить одно число при назывании того или иного отрезка числового ряда, невозможность называния числительных в обратном порядке.

Исследование показало, что выделение слов—числительных в словесном стереотипе становится возможным по мере

того, как каждое из них начинает наполняться конкретным количественным содержанием, начинает отражать мощность множества, формируя у детей понятие числа. Понимание же отношений между смежными числами в прямом и обратном порядке (каждое последующее число больше предыдущего на единицу, и обратно) постепенно формирует понятие натурального ряда чисел. Так на смену словесному стереотипу приходит понятие о натуральном ряде. Свободное пользование числами натурального ряда, а не просто словами—числительными, требует выработки у детей, с одной стороны, понимания связей между отдельными словами речевого комплекса, с другой — понимания отношений между смежными числами в прямом и обратном порядке, и наконец — понимания количественного значения числа.

Изучение вопроса, что же помогает детям понять сущность числа как показателя определенной мощности множества, привело нас к выводу о значении сравнения множеств, выраженных смежными числами.

Развитие восприятия множества

Выше, говоря о детях 1,6—3,11 лет, мы указывали на недифференцированность пространственных и количественных отношений при восприятии множества. Для познания «количества необходимо пространственно обособить из множества каждый элемент, не утратив в то же время понимания целого. Этим пониманием целого в единстве всех его частей (пониманием отношений множества к единице) дети овладевают не сразу. Некоторые дети 5 и даже 6—7 лет при воспроизведении множества по образцу (приемом приложения) точно так же, как и малыши, устанавливали равенство площадей, на которых располагались множества, но не равенство количества элементов. Множество воспринималось ими как пространственно замкнутое целое, в котором составляющие его элементы еще весьма слабо дифференцировались. Умение «устно считать» не использовалось детьми-пятилетками в целях проверки выполнения задания, а если и применялось по заданию экспериментатора, то далеко не всегда из сосчитывания извлекались необходимые выводы. Множество как пространственно структурное целое часто еще доминировало в их восприятии, тем самым и площадь, им занимаемая, оказывала решающее влияние на определение количества. Еще К. Маркс указывал, что «пространство — это первое, что импонирует ребенку своей

величиной»1. Стало быть, нужна еще значительная работа по дифференцировке множества и образующих его элементов, чему способствует, как мы видели, пространственно-количественный анализ элементов внутри множества.

Участие различных анализаторов при восприятии разнообразных множеств реального мира способствует обособлению количественного анализа от влияния пространственною фактора, способствует формированию понятия числа, отражающего равномощность различных множеств. Механизмом этого понимания является образование межанализаторных связей в коре головного мозга.

Развитие восприятия множеств различными анализаторами

Изучение особенностей восприятия множеств различными анализаторами (определение количества звуков, движений, количества предметов по осязанию) позволило сделать следующие выводы: хотя наши испытуемые в детских учреждениях не обучались специально счету на слух или по осязанию, возможность восприятия таких множеств становилась доступной детям примерно в той же мере, как и при восприятии множества зрением. Это свидетельствует о системности в деятельности коры головного мозга. Однако упражняемость того или иного анализатора при восприятии множеств оказывала свое влияние. Так, определение и воспроизведение множеств по осязанию, в движениях рук (хлопки, броски мяча и т. д.) несколько опережает определение и воспроизведение количества звуков на слух или количества движений, производимых нижними конечностями (отсчет шагов, прыжков и т. д.). Последнее, например, оказалось совсем непосильным для многих детей-пятилеток и становилось возможным лишь при введении нами соответствующего обучения.

Различия в знаниях и умениях детей, зависящие от образа их жизни и воспитания

Сопоставление уровней знаний и умений в области множества, числа и счета у пятилетних детей, воспитывающихся в различных детских учреждениях, позволяет видеть прямую зависимость их развития от условий жизни и воспитания. Так, дети из однокомплектных детских садов Ленинградской области, где не проводилось плановой работы по обучению пятилеток, присутствуя при обучении счету старших 6—7-летних детей, усвоили значительный объем числительных (в пределе 16), не понимая в то же время совсем значения числа. Выполняя за-

1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. I, Госполитиздат, 1955 г., стр. 32.

дание взять столько же, дети производили видимость счетной операции, но итогами сосчитывания не пользовались; они брали неопределенное множество, раскладывали его в соответствии с площадью, занимаемой множеством на образце, не умели определить количества взятых ими предметов.

Эти факты свидетельствуют о возможности отрыва в сознании детей слов—числительных от их количественного значения. Эта опасная тенденция в развитии отмечена была нами уже и у ряда детей 3—4 лет, при условии неправильного воспитания. Она может и дальше породить разрыв между «устным счетом» и счетом конкретных предметов, а это значит, что з развитии детей будет нарушено правильное взаимодействие между двумя сигнальными системами. Этим и объясняется обнаруженное нами отставание данной группы детей от уровня развития детей того же возраста, воспитывающихся в нормальных условиях педагогического воздействия. Совместное воспитание в однокомплектных детских садах детей разных возрастов требует надлежащего их обучения, в соответствии с возможностями и потребностями каждого возраста.

Особенно низкий уровень знаний и умений детей 4,0—4,11 и 5,0—5,11 лет был отмечен нами у детей, которые в этом возрасте продолжали оставаться в яслях. Эти дети, как показало исследование, мало чем отличались по уровню своих знаний и умений от многих трехлетних воспитанников тех же детских яслей. Хаотическое называние небольшого количества числительных, недифференцированность восприятия различных множеств, определение множеств в 2 и 3 предмета словом «два», а всех остальных множеств — словом «много», полное отсутствие умений считать, неумение воспроизвести множество приемом наложения, двуручность операций при раскладывании отдельных предметов совокупности в ряд были весьма типичны для данной группы.

Эти факты свидетельствуют о зависимости развития счетных навыков и количественных представлений детей от условий воспитания. Тем самым они подчеркивают значение, возможность и необходимость систематического проведения плановой работы по обучению детей счету с раннего детства (понимая под счетом и различные дочисловые операции с множествами) .

§ 5. Развитие счетной деятельности у детей 6 лет, формирование у них представлений о множестве и понятия числа

Особенности восприятия множества и дальнейшее развитие счетной операции.

Среди шестилеток (Гл. X) многие дети свободно пользовались счетом в различных условиях. Некоторые из них уже перешли к молчаливому счету без показа рукою. Однако при всяких затруднениях они вновь возвращались к громкому счету, сопровождающемуся заметными движениями руки, головы и т. д., что мы отмечали и у (Школьников (см. § 2). Это (подтверждает одну из наших гипотез о роли двигательного анализатора в формировании представления о множестве и понятия числа.

Как недостаток, явившийся следствием неправильного обучения счету на предшествующих этапах, следует отметить характерное для части детей 6—7 лет забывание чисел (например, забывание итога счета, указаний отсчитать такое-то количество предметов, движений, забывание числовых данных задачи). Причиной этого является, как показал анализ материала, недостаточная отдифференцированноеть значения итогового числа от самого процесса счета, что и порождает недостаточную концентрацию внимания на количественных данных.

У многих детей следует отметить более четкое и точное восприятие множества, представленного в сложной числовой фигуре, количественно точное воспроизведение такого множества и возможность трансфигурации его в ряд, что было недоступным для детей на более раннем этапе.

О понимании связей и отношений между смежными числами.

Как показало исследование, понимание связей и отношений между смежными числами развивается у детей не одновременно. Сначала возникают представления о внешних связях последовательности чисел при их назывании, и лишь затем — понятие об отношениях между смежными числами (см. § 4). Каждое слово — числительное, наполняясь особым количественным содержанием, принимает индивидуальный образ, что в свою очередь формирует на определенном этапе наглядный образ числовою ряда как «пространственного ряда», в котором последующее число находится «впереди» предыдущего. В этом ряду вначале устанавливаются лишь внешние связи между смежными числами

только в прямом порядке (одно число ближе от начала счета, другое дальше). По мере уточнения не только связей, но и отношений между смежными числами в «прямом и особенно обратном порядке представление о числовом ряде постепенно перестраивается во «временной ряд», что мы отмечали у первоклассников (см. § 2) и частично у шестилеток. Но значительная часть детей 6—7 лет задерживается на уровне «пространственного ряда», поскольку перед ними надлежащим образом не раскрывались в обучении отношения между смежными числами, особенно в обратном порядке.

При наличии пространственного образа числового ряда дети могут производить сравнение чисел лишь по признаку дальности их от начала счета. Как показало исследование, большинство шестилеток, определив совокупность числом, сравнивали эти числа, а не сами совокупности. Они определяли большую или меньшую из них не по количеству элементов, а по дальности соответствующего числа от начала счета. При устном сравнении смежных чисел наблюдался более высокий процент правильных ответов, чем при практическом сравнении соответствующих реальных множеств.

Эта тенденция создает опасность оперирования числами на основе лишь одного признака — признака последовательности называния слов — числительных (анализ чисто-звуковых ассоциаций), а не на основании понимания количественных и более глубоких порядковых отношений между смежными числами. Подобный путь развития грозит опасностью дальнейшего отрыва числительного от количественных представлений. Необходимо подводить детей к сравнению чисел через сравнение конкретных совокупностей, путем количественного сопоставления их элементов, что достилается установлением взаимно однозначного соответствия их в сравниваемых множествах (1:1). Такое сравнение подчеркивает не только количественное значение чисел, но показывает практически и разностные отношения между ними (больше—меньше на один).

Анализ материала показал также, что процесс понимания связей и отношений между смежными числами натурального ряда не совершается прямолинейно от числа к числу и зависит от многообразных факторов. Усвоение связей и отношений между смежными числами не сразу приобретает обобщенный характер для всех чисел. Так, например, многие дети уже усвоили применительно к числам первого пятка связи и

отношения (прямые и обратные), но общий принцип этих отношений между смежными числами еще не переносится ими на числа второго пятка. Закон образования следующего числа из предыдущего — как всеобщий закон для всех чисел — усваивается детьми лишь постепенно в процессе продуманного обучения.

Вот почему при обучении детей уже числам первого пятая необходимо раскрывать на конкретном материале связи и отношения между смежными числами. Анализ методических средств, помогающих усвоить отношения между смежными числами, позволяет дам сделать вывод об особом значении приема сравнения множеств расположенных в ряд, с обязательным сопоставлением элементов один к одному.

Начальный этап формирования у детей деятельности вычисления.

Деятельность счета всегда конкретна и имеет дело с конкретными множествами. Деятельность вычисления имеет дело в основном с числами, т. е. «абстрактами» (по Сеченову). Как совершается переход от одной деятельности к другой?

Многие крупные педагоги и методисты прошлого указывали, что этот переход лучше всего обесточивается через решение арифметических задач, а не числовых примеров. Это мы и приняли за исходное положение.

Работа над задачами является новым этапом в развитии арифметических знаний детей. Через арифметическую задачу ребенок поднимается от простого различения окружающих его совокупностей предметов и явлений к осознанию сложных количественных отношений между ними, выраженных в числовых данных задачи. Усвоение арифметической задачи и приемов ее решения, как показало исследование, является длительным и сложным процессом, требующим глубокого анализа структуры задачи, ее содержания, выделения всех числовых данных, осмысливания отношений между ними, формулировки арифметического действия и осознания приемов его выполнения.

Обучаясь формулировке того или иного арифметического действия, ребенок поднимается до уровня новых видов абстракции и обобщения. В арифметическом действии абстрагируется многообразная практическая деятельность человека с множествами, она принимает скупое по внешней форме и богатое по своему содержанию словесное выражение: «прибавить», «отнять» и т. д.

Вое эти сложные отношения новой вычислительной деятельности ребенок познает не сразу. Анализ материала (Гл. X и Гл. IV о первоклассниках) вскрывает те трудности, которые возникают на пути детей при переходе от счета к вычислительной деятельности. Нередко эти трудности порождены ошибками, допущенными на предшествующих этапах при обучении детей счетной деятельности.

Мы отметили, что многие дети 6—7 лет не могли повторить условия задачи: одни воспроизводили лишь фабулу без числовых данных, другие заменяли числовые данные задачи случайными числами, третьи воспроизводили лишь числа и опускали фабулу задачи. Почти все дети (93%) опускали вопрос в задаче. Стало быть, усвоение структуры задачи, ее основных частей, совершается не сразу. Прежде всего, задача дифференцируется от обычного рассказа, а также от загадки. Особое значение в структуре задачи имеет вопрос. Он организует мысль при слушании задачи, направляя ее на осознание отношений и на поиски ответа, стимулируя вычислительную деятельность. Таким обратом, вопрос задачи несет в основном интеллектуальную функцию. Однако детьми на первых этапах работы над задачей вопрос воспринимается по его социальной функции, хорошо известной детям из практики общения с окружающими людьми. Дети воспринимали вопрос субъективно, как направленный лично к ним, и, выслушав задачу, они обычно спешили дать ответ.

Следует отметить неумение детей сформулировать арифметическое действие, что нередко подменяется у них приемами вычисления («Мальчиков было 5, а девочка пришла одна — шесть, а другая — семь», или «У него было 5, он два продал; пятого и четвертого он продал, и у него осталось 3» и т. д.). Эти факты свидетельствуют, что ребенок в силу недостатков обучения еще не поднимается до уровня тех обобщений, которые отражаются в арифметическом действии. Сущность самого арифметического действия остается скрытой для него, следовательно утрачивается и значение перехода к новому этапу — вычислительной деятельности. Мы не можем разделить мнения тех авторов, которые считают, что дети 2—3 лет уже овладевают в практическом плане арифметическими действиями «сложения и вычитания (Л. А. Яблоков и др.). Такое толкование мешает понять и осмыслить специфические особенности двух видов человеческой деятельности — счета и вычисления, а тем самым ведет и к методическим ошибкам в обучении детей.

§ 6. Выводы из опыта работы в детском саду (педагогический эксперимент)

Анализ всей экспериментально-педагогической работы (Главы VII, IX, XI и выводы — гл. XII) показал возможность более планомерного, четкою и последовательного обучения детей счетной деятельности, чем то имеет место в массовой практике. Такое обучение обеспечивает лучшую подготовку детей к усвоению арифметического материала в школе, в чем мы убедились, следя за успеваемостью бывших воспитанников 32 детского сада (где проводилась экспериментальная работа) в течение 4 последних лег. Все эти дети имели в 1 классе оценки по арифметике 4 и 5, и до сих пор они хорошо успевают по этому предмету.

Исследование подтвердило положение о том, что представления детей о множестве числе формируются в процессе развития деятельности счета. Счетная деятельность ребенка в своем развитии проходит ряд этапов.

I этап «счета» — (практическое перемещение предметов множества одного за другим, т. е. дробление неопределенной множественности на элементы с помощью движения. Позднее это движение начинает сопровождаться однородно-повторяющимся словом, вроде «еще» или «вот».

II этап «счета» — практическое овладение детьми пониманием взаимно-однозначного соответствия между элементами множества, структурно оформившегося в сознании ребенка как единство. Этому способствует прием наложения и приложения одного множества к другому (еще до именования множеств словом — числительным).

III этап — сосчитывайте элементов сравниваемых множеств при помощи числительных, что подводит ребенка постепенно» к пониманию числа как показателя равномощных множеств.

IV этап счета — осознание связей и отношений между смежными числами как в прямом, так и в обратном порядке, что формирует у детей представление и затем понятие числа и числового ряда как определенной системы чисел.

Исследование показало, что в период усвоения понятия числа и операции счета нужны знания о количественном составе числа из единиц (понимание отношения числа к единице) и об образовании следующего числа из предыдущего

(т. е. понимание отношений между смежными числами в прямом, а также и в обратном порядке). Изучение всех других разновидностей состава числа, что делается в настоящее время, является важным лишь при переходе к изучению арифметических действий.

Умение разложить число на меньшие числа, как «показало исследование Е. И. Корзаковой и др., предшествует умению по «двум числам найти их сумму, что получило подтверждение и в нашем исследовании. Поэтому обучение разложению числа должно предшествовать переходу к составлению и решению арифметических задач.

Обучая детей деятельности вычисления, мы пришли к выводу о целесообразности давать новый материал в такой последовательности:

1) Дети усваивают смысл арифметической задачи на сложение и вычитание («на числах первого пятка) и ее структуру — условие и вопрос,

2) Решая задачу, дети учатся формулировать арифметическое действие,

3) Выполняя арифметическое действие, они усваивают простейшие вычислительные приемы присчитывания и отсчитывания по одному (на числах первого десятка). Эти приемы вычисления должны опираться на ранее полученные знания об отношениях между смежными числами в прямом и обратном порядке.

Методика обучения детей счету в разных группах детского сада строилась у нас на следующих основах;

1. Обеспечивалась строгая последовательность и постепенность в усложнении программного материала на протяжении года в каждой из возрастных групп, ибо исследование показало, что даже усвоение элементарнейших знаний поднимает ребенка на новую ступень развития, создает возможности для усвоения новых знаний и умений.

2. Имела место строгая дозировка программного материала по отдельным занятиям, обусловленная возрастными возможностями детей.

3. Обеспечивалось неоднократное возвращение к пройденному материалу на протяжении всего года для его закрепления и упражнений; в этих целях использовались различные игровые приемы.

4. Обучение счету строилось с привлечением различных анализаторов, что способствовало формированию ряда меж-

анализаторных и межсигнальных связей, которые, объединяясь и систематизируясь, все с большей полнотой и глубиной получали свое отражение во второй сигнальной системе.

5. Обучение строилось на тесном взаимодействии двух сигнальных систем. На разных этапах усвоения материала это взаимодействие носило разный характер и отнюдь не зависало лишь от возраста. Так, при объяснении нового материала всегда обеспечивалась наглядность (образец и пример практическою действия); к наблюдению постепенно присоединялось слово ребенка в виде описания того, что он видит или что он сам сделал. В дальнейшем уже само слово регулировало практическое действие ребенка; выполнив задание на основе словесных указаний, ребенок контролировал правильность его выполнения по образцу, даваемому воспитателем. Такое изменяющееся соотношение слова и наглядности, обусловленное степенью усвоения детьми знаний и умений, являлось необходимым условием прочности связей слова и действительности, и в то же время постепенно освобождало ребенка от связанности наглядным материалом, способствуя развитию быстроты его мысли. Нарушение соотношения между словом и наглядностью порождало ошибки при обучении счету, что мы неоднократно подчеркивали выше.

6. На занятиях широко привлекался разнообразный счетный материал (игрушки, разные предметы, хорошо знакомые ребенку из окружающей жизни). Сюжетность дидактического материала при правильном его методическом использовании не столько отвлекала детей (как считает H. Н. Лежава), сколько приучала их видеть количественные отношения между предметами и явлениями в самой жизни. Мы не исключали, однако, и бессюжетные виды специально разработанного счетного материала (кружки, колечки и др.).

7. Полученные на занятиях по счету знания и сформированные умения применялись на других занятиях, в играх, в повседневной жизни, что не только закрепляло их, но способствовало развитию у детей интереса к последующим занятиям.

***

Психолого-педагогическое исследование, проведенное нами в генетическом плане, дает большой материал для более широких обобщений и выводов по дошкольной педагогике и детской психологии. Чтобы не выходить за пределы изучаемой темы, остановимся лишь на двух вопросах: а) о форми-

ровании понятий у маленьких детей и 2) о развитии детей в условиях воспитания.

1. Исследование подтвердило ложность утверждения, длительное время существовавшего в буржуазной психологии о том, что маленькому ребенку свойственны лишь представления и -вовсе недоступны понятия.

Мысль ребенка на первых этапах счетной деятельности движется от конкретного образа множества через слово — числительное к понятию, к обобщению конкретных образов в числе. Последнее отражает количественную сущность явлений — мощность множества. В дальнейшем первое понятие числа углубляется. Оперирование числами в деятельности счета (соотнесение каждого из них к элементам множества) формирует сначала пространственный образ ряда, т. е. представление. Дальнейшее же проникновение в сущность связей и отношений между смежными числами в прямом и обратном порядке формирует у детей понятие о натуральном ряде как определенной системе отношений между числами, хотя этот принцип не сразу приобретает для детей всеобщее значение.

Усвоение понятия числа и понятия о натуральном ряде чисел означает диалектический переход от живого созерцания множества конкретных предметов или повторяющихся во времени однородных явлений — к первым начаткам отвлеченного мышления. Это создает основу дли перехода к более абстрактной деятельности — деятельности вычисления.

Тем самым между представлениями и понятиями нет непроходимой стены: представления переходят в понятия, что порождает, в свою очередь, новые представления; осознание основной сущности этих представлений формирует новые понятия более сложного порядка. «Понятия не неподвижны, а сами по себе, по своей природе — переход»1.

2. Исследование конкретно показывает влияние воспитания на развитие детей. Дети одного из того же возраста, воспитывающиеся в разных условиях, имели разный уровень развития, что мы неоднократно подчеркивали выше.

Целенаправленное и систематически проводимое нами обучение детей в экспериментальном детском саду обеспечило им не только знания и навыки в области счета, но и значительно повышло их интерес к количественной стороне. Полученные на занятиях знания становились достоянием личности ребен-

1 В. И. Ленин. Философские тетради, Госполитиздат, 1938 г., стр. 215.

ка. Это говорит о значении элементарных математических знаний и навыков для общего развития детей.

Исследование показало, что формирование представлений о множестве начинается на самых ранних этапах жизни детей. Оно вскрыло оптимальные возможности детей преддошкольного возраста, что позволяет сделать вывод о целесообразности проведения педагогической работы в детских яслях. Этим будет создана необходимая преемственность в работе яслей и детских садов.

В детских садах работа по обучению детей счету должна проводиться планомерно и систематически во всех группах. Исследование показало, что такая работа обеспечивает надлежащую подготовку детей к усвоению арифметического -материала в школе, способствуя повышению успеваемости детей. Все это создает необходимую преемственность в работе детского сада и школы.

Ответственный редактор действительный член АПН РСФСР профессор Б. Г. Ананьев.

Ml 1232 31-1-56 г. Тип. «Сталинец» зак. 623, т. 100