На правах рукописи

В. П. ЛЕБЕДЕВ

ИЗУЧЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ В VIII КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В СВЕТЕ ЗАДАЧ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель профессор М. А. ЗНАМЕНСКИЙ

Москва — 1957

1. ВВЕДЕНИЕ

Важнейшим средством подготовки учащихся к практической деятельности является осуществление политехнического обучения в школе.

XX съезд Коммунистической партии Советского Союза принял решение: «Осуществись в основном всеобщее среднее образование в городах и сельской местности... Развивать политехническое обучение в общеобразовательной школе, обеспечив ознакомление учащихся с важнейшими отраслями современного промышленного и сельскохозяйственного производства»1).

Изучение основ наук должно находиться в единстве с решением практических вопросов, так как теория и практика в процессе познания находятся в неразрывной связи и взаимозависимости.

Недооценка роли практики в школьном обучении неизбежно ведет к формализму в знаниях, к снижению активности учащихся. В то же время умаление роли теоретической подготовки учащихся приводит к кустарщине, к снижению общеобразовательного уровня школы.

В преподавание математики с каждым годом все больше внедряются элементы политехнического обучения. Так, например, школьные методы решения задач и их содержание все больше увязывается с задачами, которые применяются на заводах, в колхозах и т. д.; повышается вычислительная культура учащихся; учитель гораздо чаще чем в прошлые годы опирается на самостоятельную работу учащихся, прививает им интерес к предмету, любовь к труду. В учебной и методической литературе, в частности, уже намечаются пути решения вопроса о преподавании математики в связи с осуществлением политехнического обучения. Однако далеко еще не изучены проблемы преподавания каждого математического предмета, мало разработаны также отдельные методические вопросы. Возникает поэтому необходимость раскрыть содержание политехнического обучения применительно к отдельным предметам и даже к отдельным разделам этих предметов.

Этот конкретный подход должен найти свое выражение в перестройке программ средней школы, в создании новых учебных пособий по математике и в частности по тригонометрии,

1) Резолюции XX съезда КПСС. М., Госполитиздат, 1956, стр. 82.

в разработке отдельных тем программы и в применении новых, способов изложения ряда вопросов.

Одним из таких принципиальных вопросов изложения всего курса тригонометрии является начальный (пропедевтический) курс тригонометрии, объем, содержание и методика изложения которого неоднократно обсуждалась среди учителей и научных работников, в педагогической печати и на II Всероссийском съезде преподавателей математики (1913—1914 гг.) еще в дореволюционный период. Однако окончательного разрешения этот вопрос не получил. Этот курс остается неразработанным и в настоящее время в условиях политехнического обучения в школе.

Между тем, насущные вопросы политехнизации школы настоятельно требуют разработки подобного курса. Отсутствие научно-разработанной методики изложения начального курса тригонометрии приводит к тому, что преподавание его в школе ведется разными учителями по-разному. Одни учителя, придерживаясь стабильного учебника геометрии А. П. Киселева, формально излагают небольшой объем сведений о тригонометрических функциях острого угла. Другие же, соглашаясь с мнением профессора В. М. Брадиса, считают, что изучение этого раздела по стабильному учебнику никаких полезных сведений учащимся не дает и поэтому предпочитают ограничиться решением прямоугольных треугольников в плане, изложенном в «Методике математики» В. М. Брадиса. Третьи — изучают с учащимися тригонометрические функции острого угла и решение прямоугольных треугольников в соответствии с разработками В. В. Репьева или В. Г. Чичигина.

Некоторые преподаватели, учитывая, что этот раздел необходим при изучении тригонометрии в IX классе, проходят первый концентр основного курса тригонометрии по учебнику Н. Рыбкина. Иные же, соглашаясь со взглядами, высказанными в книге H. М. Бескина «Вопросы тригонометрии и ее преподавания», считают вообще эту тему ненужной и даже вредной для дальнейшего изучения предмета. Наконец многие преподаватели, стремясь самостоятельно осмыслить этот курс, излагают его в школе, опираясь на свой личный опыт или на некоторые методические разработки преподавателей, опубликованные в печати.

Начальный курс тригонометрии имеет однако важное значение в подготовке учащихся к восприятию основного курса тригонометрии: он обобщает, систематизирует знания учащихся, полученные ранее при изучении различных предметов и знакомит учащихся с первоначальными сведениями о тригонометрических функциях.

Кроме того, начальный курс тригонометрии может сыграть положительную роль в ликвидации ряда существенных недостатков как «линейного», так и «концентрического» способов

построения всего курса тригонометрии. Начальный курс является одним из основных разделов тригонометрии, имеющий широкое применение при решении самых разнообразных задач из физики, техники, геодезии, астрономии и других областей практической деятельности людей.

Все это обусловило выбор нами темы диссертации: «Изучение начального курса тригонометрии в VIII классе средней школы в свете .задач политехнического обучения».

Мы поставили своей целью исследовать, как и в каком объеме предлагается изложение начального курса тригонометрии в учебной и методической литературе; рассмотреть наиболее целесообразное место его изучения и связь со смежными предметами, а также наметить наиболее рациональные методы его преподавания в свете задач политехнического обучения.

Для этой цели нами изучена учебная, методическая и техническая литература по данному вопросу и обобщен передовой опыт учителей средних школ, а также личный опыт автора. Наряду с этим мы провели эксперимент в ряде школ г. Москвы и Московской области. Материалы обсуждались на школьных и районных совещаниях учителей, на областных и центральных педагогических чтениях.

Диссертация состоит из введения, двух частей, заключения и приложения.

Во введении дается обоснование выбора темы и методы исследования.

В первой части — «Обзор литературы по тригонометрии»— дан краткий исторический очерк изложения первоначальных понятий по тригонометрии в учебной и методической литературе. Рассмотрены также некоторые вопросы основного курса тригонометрии, связанные с определением тригонометрических функций:

Во второй части — «Изучение начального курса тригонометрии в VIII классе средней школы в связи с политехническим обучением» — дается обоснование изложения основных вопросов темы диссертации.

В заключении изложены результаты исследования и экспериментальной проверки данной темы.

Приложение представляет собой изложение начального курса тригонометрии, как основное содержание главы учебника с приведением упражнений и задач политехнического содержания, а также вопросов для повторения. Кроме того, в приложении приведены некоторые протоколы уроков учителей, проводивших экспериментальную проверку темы диссертации по нашим разработкам в школах в 1954—55 и 1955—56 учебных годах. Даны также отзывы о проведенном эксперименте.

Часть I.

ОБЗОР УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

При построении начального курса тригонометрии, мы поставили своей целью в первую очередь изучить накопленный по данному вопросу опыт и на основе его критической переработки, обобщения передового опыта учителей и проведенного нами эксперимента, наметить наиболее рациональные пути решения проблемы.

Нами проанализировано значительное количество учебников, задачников и других пособий по тригонометрии, начиная с первого учебника Л. Магницкого до вышедшего в 1956 году учебника С. И. Новоселова, однако в диссертации мы рассматриваем лишь те учебные пособия, которые наиболее полно характеризуют каждый период и наиболее четко показывают развитие предмета тригонометрии и методов его изложения. Анализ литературы не является для нас самоцелью, поэтому исторический очерк отнюдь не претендует на исчерпывающую полноту.

Поскольку начальный курс органически связан с основным курсом тригонометрии и в значительной мере зависит от целей, задач и методов его изложения, мы стремились при анализе литературы выяснить вопрос, как в связи с развитием предмета авторы учебных пособий излагали не только первоначальные понятия по тригонометрии, но и некоторые существенные вопросы основного курса. При этом мы выделили важнейшие вопросы и на них сосредоточили главное внимание:

1. Как изменялись цели изучения предмета тригонометрии с развитием самой тригонометрии.

2. Какие определения тригонометрических функций даются при первоначальном ознакомлении с предметом и в дальнейшем при изучении свойств тригонометрических функций. Способы построения курса тригонометрии («линейный» или «концентрический»).

3. Какие определения наилучшим образом способствуют дальнейшему изложению основных вопросов тригонометрии (доказательству теоремы сложения, формул приведения и т. д.).

4. Мотивы, вызвавшие необходимость создания начального (пропедевтического) курса тригонометрии, его цели, объем и содержание.

5. Как осуществляется связь между изучением первоначальных сведений по тригонометрии со смежными предметами и решением практических задач.

6. Содержание и методика изучения первоначальных сведений по тригонометрии в настоящее время в связи с политехническим обучением в средней школе.

Проводя анализ учебной литературы, мы постоянно стремились выделять положительные черты изложения ряда практических вопросов в различных учебниках с тем, чтобы этот положительный опыт мог быть обобщен, а затем использован в. современной средней школе. В диссертации приведен ряд практических задач, а также отмечены различные подходы и способы как в их решении, так и в изложении теоретического материала.

Кроме того, с целью изучения и обобщения передового опыта, нами, кроме отечественной учебной литературы, рассмотрены вышедшие за последние годы учебники и программы по тригонометрии для массовых средних учебных заведений крупнейших капиталистических стран (Франции, США, Англии), а также некоторых стран народной демократии (Болгарии, ГДР, Польши).

Рассмотрение зарубежной литературы представляет большой интерес как с точки зрения методов изложения предмета, так и в отношении всей системы народного образования. Характерно, что во всех рассмотренных нами современных зарубежных учебниках, тригонометрия начинается с изложения элементов начального курса, с определения тригонометрических функций острого угла.

§ 1. Учебная литература по тригонометрии в России в XVIII веке.

Изложение сведений по тригонометрии в учебниках XVIII века носило узко-прикладной, утилитарный характер и основывалось главным образом на решении некоторых задач на треугольники. Под влиянием трудов Л. Эйлера произошел резкий перелом в изложении тригонометрии, после чего она приняла новое направление. Л. Эйлер впервые стал рассматривать тригонометрические линии как функции угла в круге; он ввел обыкновение считать «полный синус» (sinus totus) равным единице, впервые стал рассматривать значения функций как числа, а не как отрезки, установил формулы, связывающие тригонометрические функции с показательными.

Учебники тригонометрии XVIII века отражают это новое направление, данное Л. Эйлером.

В руководствах С. Я. Румовского и М. Е. Головина нашли свое отражение достижения математической науки того времени по тригонометрии.

XVIII век можно назвать периодом создания предмета тригонометрии. В этот период в учебной литературе по тригонометрии обращают на себя внимание прикладные задачи, которые решались с помощью тригонометрических функций, а также методы составления таблиц тригонометрических функций, которые небезынтересны и для современной школы. Некоторые задачи приведены в диссертации.

§ 2. Развитие предмета тригонометрии в первой половине XIX века.

Первая половина XIX столетия характеризуется довольно быстрым развитием тригонометрии как учебного предмета, перед которым теперь ставится цель не только решения треугольников, но также изучение особого класса функций — тригонометрических.

Составители учебных пособий учитывают необходимость массового изучения предмета, а поэтому стремятся провести изложение тригонометрии более доступными способами. По методическим соображениям некоторые авторы учебных пособий излагают тригонометрию отдельными концентрами. Подобное построение курса сохранилось в ряде учебных пособий и до нашего времени. Правда, содержание, объем и формы этих концентров изменялись неоднократно.

Особого внимания заслуживает вышедший в этот период учебник по тригонометрии Ф. Симашко, написанный в соответствии с указаниями, данными академиком М. В. Остроградским. В нем, в отличие от других учебников, определение тригонометрических функций дается не как отношение соответствующих линий в круге, а исходя из прямоугольного треугольника. Этот способ изложения значительно упрощает первоначальное ознакомление с предметом и дает возможность уже на первых уроках показать учащимся применение тригонометрических функций к решению практических задач.

Однако при этом способе построения курса автору, после изложения первого концентра, приходилось вновь давать определение тригонометрических функций в более общем виде с тем, чтобы можно было бы проводить дальнейшее изучение свойств тригонометрических функций. Несмотря на это, изложенное Ф. Симашко определение тригонометрических функций, а также определение основной задачи начального курса тригонометрии — решение прямоугольных треугольников,— и до настоящего времени признается большинством методистов и составителей учебных пособий.

Кроме того, серьезного внимания заслуживают приводимые авторами учебных пособий задачи практического характера, как по своему содержанию, так и по методам решения и по расположению их в учебниках.

§ 3. Дальнейшее развитие предмета во второй половине XIX столетия.

Во второй половине XIX века продолжает издаваться новая учебная литература по тригонометрии, причем можно считать, что в это время курс тригонометрии средних учебных заведений вполне сложился и в основном сохранился в таком виде и до наших дней.

Многие авторы, составляя руководства по тригонометрии, стремились соединить наглядность графических приемов с общностью выводов формул и теорем.

Стремясь излагать доказательства основных теорем в общем виде, авторы принимают различные определения тригонометрических функций. Например, К. М. Герц в своей книге «Руководство плоской тригонометрии» впервые в нашей учебной литературе стремится доказывать теорему сложения сразу в общем виде на основе теории проекций.

Однако следует заметить, что большое количество издававшейся в этот период литературы по тригонометрии обладало рядом существенных недостатков: отрыв от практики, обилие формул и сложных схем, вычисления с логарифмами астрономической точности, надуманные и бессодержательные задачи. В школах насаждался формализм. Вопросам посильности ознакомления с тригонометрическими функциями, ясности цели изучения предмета в это время не уделялось должного внимания. Даже Ф. Симашко переработал свой учебник в соответствии с программой так, что он утратил многие свои положительные качества.

§ 4. Реформистское движение в России и некоторые учебные пособия по тригонометрии конца XIX и начала XX века.

Проводимая царским правительством толстовско-деляновская система народного образования не могла долго существовать, поскольку она оказалась в вопиющем противоречии с потребностями экономического развития России. Назрела необходимость проведения реформы в школьном образовании, в котором активное участие приняли прогрессивные представители русской педагогики.

Заметную работу в развитии методических проблем проделал «Педагогический музей военно-учебных заведений», основанный в 1864 г. в Петербурге. На заседаниях «Музея» обсуждались также важнейшие методические проблемы преподава-

ния тригонометрии: о построении курса тригонометрии, доступного учащимся средних школ; о первоначальных сведениях, которые необходимо сообщить учащимся до изучения основного курса; о приложении тригонометрии к решению треугольников и практических задач на местности и др.

Методические искания на пути к улучшению преподавания тригонометрии выразились в выходе в это время большого числа учебников. Авторы многих учебников уделяют большое внимание ясности изложения предмета, развитию общего понятия функции, исследованию тригонометрических функций, шире используют геометрическую наглядность вплоть до графического изображения функций, обращают внимание на приложимость тригонометрических функций к решению практических задач, знакомят с историческими сведениями в преподавании тригонометрии.

§ 5. Учебная литература по тригонометрии в годы Советской власти.

Многие авторы первое знакомство с тригонометрическими функциями начинают с вводного раздела, в котором на ряде целесообразно подобранных задач показывают необходимость изучения нового предмета, знакомят с определениями тригонометрических функций, исходя из прямоугольного треугольника или соответствующих линий первого квадранта.

Вопрос о пропедевтике тригонометрии обсуждался на II Всероссийском съезде преподавателей математики. Однако этот вопрос не получил окончательного разрешения и до настоящего времени.

Среди учебников, издававшихся в тот период, мы не можем указать ни на один, в котором конкретно и четко был бы изложен начальный курс тригонометрии. В диссертации мы показываем различные пути, которыми авторы разрешали вопрос о пропедевтике тригонометрии.

Основным направлением в области преподавания тригонометрии в советское время было стремление приблизить курс к запросам жизни, выделить важнейшие моменты прикладного характера, связанные с преподаванием тригонометрии, развить идею функциональной зависимости, обратив основное внимание на прочность усвоения теоретической части предмета.

В первые годы Советской власти наша школа находилась на пути исканий различных методов обучения, что было вызвано необходимостью решительно бороться с формализмом и зубрежкой, до этого насаждавшихся в области преподавания тригонометрии и других дисциплин. Несмотря на то, что в этот период Наркомпрос по ряду вопросов занимал неправильные позиции, мы отмечаем тот положительный вклад, который был сделан в связи с внедрением элементов политехнического обучения в преподавание тригонометрии.

Вопрос о начальных сведениях по тригонометрии широко обсуждался в печати, издавалось много методических разработок, сыгравших положительную роль в развитии методической мысли.

Из анализа нетрудно заметить, что основным затруднением в создании начального курса тригонометрии являлось то, что многие авторы рассматривали этот вопрос изолированно от основного курса, вне связи с целями и задачами основного курса тригонометрии, что зачастую приводило к формальному изучению лишь некоторых свойств тригонометрических функций острого угла.

Задачники по тригонометрии далеко еще не выполняют тех функций, которые на них возгалаются, особенно в связи с политехническим обучением. Нет еще до настоящего времени задачника, который бы содержал достаточное количество задач политехнического содержания и способствовал бы прочному усвоению учащимися данного курса. В методической литературе до настоящего времени не решен вопрос, какие же задачи считать политехническими. Совершенно справедливо замечает проф. А. И. Маркушевич, что до настоящего времени наши учебники и задачники «следуют канонам XIX века и лишены идейной насыщенности»1). В методических руководствах и отдельным статьях мы находим различные варианты изложения начального курса тригонометрии, зачастую значительно отличающиеся друг от друга.

§ 6. Состояние преподавания тригонометрии за границей.

Анализ состояния преподавания математики, и в частности тригонометрии, в главных капиталистических странах (США, Англия, Франция) показывает, что господствующие клаассы не заинтересованы в том, чтобы дать детям трудящихся надлежащее теоретическое и практическое образование.

В этих странах существует сложная система народного образования, рассчитанная на то, чтобы готовить кадры в интересах господствующего класса. В разных странах это проводится по-разному. Во Франции система обучения поставлена так, что при небольшом количестве учебных часов в программу, например, по тригонометрии, включен ряд сложных вопросов. Программа перегружена вопросами, которые не имеют существенного значения в преподавании предмета. Учебники по тригонометрии написаны так, что изучение их представляет значительные трудности. Благодаря такой системе обучения значительная часть юношества, подвергающаяся всевозможным конкурсным экзаменам, бросает средние школы, не сдав тот или иной экзамен и не имея возможности с помощью репетиторов подготовиться к его сдаче.

1) А. И. Маркушевич, «Математика в школе» 1950 г., № 1, стр. 1

В Англии и США посредством так называемых тестов «на измерение умственной одаренности» производится классовый отбор учащихся. Благодаря этому среднее образование получают лишь немногие учащиеся из числа привилегированных слоев населения.

В средних школах США и Англии не предусматривается, как у нас, изучение предметов в строгом соответствии с учебными планами и программами по каждой дисциплине. Дирекции школ и преподавателям предоставляется право преподавания предметов в угодном им объеме и по любому учебнику, а учащиеся старших классов могут по своему усмотрению выбирать предметы, которые они желают изучать в школе.

Изложение тригонометрии в рассмотренных нами учебниках для английских школ второй ступени, говорит о том, что предмет тригонометрии рассматривается, как один из методов решения треугольников.

Изложение всего материала проводится схематично, без должных логических обоснований. В них отсутствует вывод ряда основных формул и доказательства теорем. Изложение не систематизировано.

Совершенно иную картину преподавания тригонометрии мы встречаем в странах народной демократии (Польше, Германии и Болгарии). В них осуществляется переход к обязательному среднему образованию и политехническому обучению в общеобразовательной школе.

Учебники и программы по тригонометрии построены так, чтобы учащиеся смогли получить необходимый объем знаний на научной основе с учетом возрастных особенностей.

Приведенные нами задачи говорят о большом стремлении авторов учебников показать применение свойств тригонометрических функций к решению практических вопросов из различных областей жизни и из смежных дисциплин. Особого внимания заслуживают задачи, приведенные в учебнике ГДР как по своему содержанию, так и по системе их расположения. Многие из них могли бы с успехом быть использованы и для наших учебников и задачников.

Учебник по тригонометрии, изданный в Польской Народной Республике, имеет по ряду излагаемых вопросов некоторые преимущества по сравнению с учебником Н. Рыбкина.

Характерно отметить, что во многих зарубежных странах изучение тригонометрии начинается с начального курса, в котором определяются и рассматриваются тригонометрические функции острого угла.

В большинстве стран первые определения тригонометрических функций даются исходя из прямоугольного треугольника и основной задачей курса является научить учащихся решению прямоугольных треугольников.

Однако объем, содержание и методика изучения начального курса тригонометрии резко отличается не только в разных странах, но в некоторых странах даже для параллельных классов.

Из рассмотренной зарубежной литературы можно почерпнуть значительный практический материал по теме, который может быть использован и в нашей школе.

Часть II.

ИЗУЧЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ В VIII КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ В СВЕТЕ ЗАДАЧ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

§ 1. Необходимость изучения начального курса тригонометрии, его цели, место изучения и план построения.

С 1936 года на страницах журнала «Математика и физика в школе», а затем «Математика в школе» проводилась дискуссия по вопросу о пропедевтическом курсе тригонометрии, в результате которой выяснились основные расхождения и стали яснее вопросы, требовавшие дальнейшей разработки.

В настоящее время необходимость изучения начального курса тригонометрии признается большинством составителей учебных пособий и программ средней школы, однако имеющиеся разногласия по ряду вопросов изложения этого курса вносят разнобой в его преподавание, зачастую приводящий к извращению самого смысла преподавания предмета.

Исследовав вопрос о целях изучения первоначальных понятий тригонометрии в отечественной и зарубежной литературе, а также основываясь на личном опыте, проведенном эксперименте и обобщении опыта передовых учителей, мы можем следующим образом сформулировать основные цели преподавания начального курса тригонометрии:

1. Восстановить в памяти, обобщить и систематизировать знания, полученные учащимися из смежных предметов (геометрии, алгебры, физики), которые необходимы для ознакомления с новым классом функций — тригонометрических.

2. Кратко познакомить учащихся с историческими сведениями о возникновении и развитии предмета и показать необходимость изучения тригонометрии в связи с решением задач из различных областей знания.

3. Дать такие определения тригонометрических функций, которые давали бы возможность легко решать задачи прикладного содержания, и, наконец, такие, формулировки которых можно было бы сохранить при изучении основного курса тригонометрии.

4. Изучить с учащимися те свойства тригонометрических функций, которые уже с самого начала способствовали бы развитию идеи функциональной зависимости, позволяли бы учащимся пользоваться таблицами натуральных значений тригонометрических функций и давали бы достаточный объем фактических знаний для решения прямоугольных треугольников, вычислительным методом.

5. Научить учащихся решать задачи из смежных дисциплин и практического содержания на применение тригонометрических функций острого угла и этим способствовать внесению элементов политехнизма в изучение тригонометрии.

Вопрос о времени и месте изучения начального курса тригонометрии мы рассматриваем, исходя из поставленных целей его преподавания, в неразрывной связи с прохождением смежных предметов и вопросами осуществления политехнического обучения.

Мы пришли к выводу о целесообразности прохождения начального курса тригонометрии в VIII классе, начиная со второго полугодия, параллельно с прохождением соответствующих разделов программы геометрии, физики и других предметов. Это дает возможность использовать тригонометрические функции острого угла при изучении смежных предметов, что в свою очередь способствует усвоению этих предметов, а также создает представление у учащихся о необходимости изучения нового для них предмета — тригонометрии.

В конце параграфа мы приводим поурочное распределение материала при прохождении его в школе, с учетом внесения элементов политехнического обучения, отводя специальное время для проведения производственной экскурсии.

§ 2. Основные вопросы в изложении начального курса тригонометрии.

а) Элементы истории возникновения и развития предмета в начальном курсе тригонометрии.

Одним из существенных вопросов в преподавании математики вообще и в частности тригонометрии является ознакомление учащихся с историческими сведениями о возникновении и развитии предмета. Этот вопрос до настоящего времени еще недостаточно исследован и не разработан.

Необходимость такого ознакомления при преподавании тригонометрии сейчас учитывается почти всеми составителями учебных пособий и программой средней школы.

Однако до настоящего времени не решен вопрос когда и в каком объеме сведения из истории возникновения и развития предмета нужно излагать учащимся, какова должна быть методика сообщения этих вопросов и какие конкретные цели необходимо поставить при изучении основных фактов из истории

возникновения и развития тригонометрии. Не ставя своей целью решение всей проблемы, мы полагаем, что ряд вопросов истории возникновения и развития тригонометрии в значительной степени должен быть раскрыт на первых же уроках.

При изложении этих вопросов преподаватель должен поставить следующие цели:

1) дать в доступной форме ясное представление о возникновении и развитии науки;

2) объяснить учащимся, зачем нужна тригонометрия, какие задачи она решает, что нового дает тригонометрия по сравнению с алгеброй и геометрией;

3) возбудить интерес у учащихся к изучению нового предмета;

4) содействовать формированию основ диалектико-материалистического мировоззрения.

Из первоначального изложения исторических сведений у учащихся должно создаться ясное представление о необходимости изучения предмета, о его целенаправленности и значении для практической жизни. Краткое историческое введение следует сделать на первом же уроке, а затем последовательно сообщать исторические сведения по мере прохождения предмета. После прохождения начального курса, а также предмета в целом, желательно провести обзорный урок, на котором подвести итоги изученного материала.

Одним из видов сообщения исторических сведений должно явиться решение задач, послуживших в свое время предпосылкой для введения того или иного понятия или метода. При решении исторических задач желательно ознакомить учащихся как с теми методами и способами, которые применялись ранее, так и с современными. Это создаст представление о развитии средств и методов решения ряда задач и будет способствовать установлению более глубоких связей со смежными предметами.

б) Определение тригонометрических функций.

Рассматривая один из важнейших вопросов (начального курса тригонометрии и предмета в целом) об определении тригонометрических функций, мы считаем, что в школе необходимо определять тригонометрические функции на геометрической основе, поскольку геометрические определения более просты и наглядны, способствуют выработке диалектико-материалистического мировоззрения у учащихся. Они имеют большое политехническое значение, так как дают возможность применять тригонометрические функции к решению различных практических задач.

Исходя из целей начального курса тригонометрии, мы полагаем, что первые определения тригонометрических функций должны способствовать в дальнейшем изучению свойств три-

гонометрических функций в общем виде. Исходя из этого, и учитывая, что одним из способов, принятым в новом стабильном учебнике С. И. Новоселова, является координатный, мы пришли к выводу, что при изучении начального курса тригонометрии целесообразно первые определения тригонометрических функций строить также на координатной основе. Наряду с этим необходимо дать определения тригонометрических функций, исходя из прямоугольного треугольника, рассматривая их как частный случай ранее данных.

Это даст возможность не переопределять тригонометрические функции при изучении основного курса, а также при решении задач пользоваться теми определениями, которые наилучшим образом отвечают смыслу задачи и облегчают ее решение.

В методике сообщения определений тригонометрических, функций и изложении других вопросов, мы придерживаемся взгляда С. И. Шохор-Троцкого в том отношении, что почти к каждому новому понятию следует подводить учащихся целесообразно подобранной задачей. Такой подход создает представление о практической необходимости изучения вопроса, помогает учащимся самим находить нужное решение. Задачи, связанные с изучением начального курса тригонометрии, приводятся в диссертации.

в) Изучение свойств и таблиц натуральных значений тригонометрических функций.

При анализе литературы мы видели, что авторы некоторых учебников и методических руководств при первоначальном ознакомлении с предметом предлагают изучать ряд свойств тригонометрических функций, которые в дальнейшем изложении предмета будут вновь изучаться, но уже не как функции острого угла, а как функции любого аргумента.

Мы считаем, что при изучении начального курса тригонометрии нет надобности изучать те свойства тригонометрических функций, которые в дальнейшем будут изучаться в основном курсе и потребуют довольно скучных и абстрактных обобщений. Достаточно ограничиться изучением лишь тех свойств, которые будут способствовать развитию идеи функциональной: зависимости и позволят познакомиться с натуральными таблицами тригонометрических функций.

Мы полагаем, что в VIII классе достаточно:

1. Изучить изменение тригонометрических фнукций с изменением угла от 0° до 90°.

2. Вывести формулы дополнительного угла.

3. Вывести зависимости между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

4. Научить пользоваться таблицами натуральных значений тригонометрических функций.

Изучение свойств тригонометрических функций постоянно должно сопровождаться решением задач политехнического содержания.

§ 3. Элементы политехнического обучения в связи с построением начального курса тригонометрии.

Основной задачей политехнического обучения в средней общеобразовательной школе является ознакомление учащихся с важнейшими отраслями современного промышленного и сельскохозяйственного производства на базе прочного усвоения основ наук.

В связи с этим задача преподавания курса математики заключается в том, чтобы на базе прочного усвоения учащимися основ науки привить им необходимые вычислительные навыки, показать связь между математикой и смежными предметами и необходимостью приобретения теоретических знаний по математике для решения ряда практических задач.

Тригонометрия, как один из учебных математических предметов средней школы, в значительной мере содействует осуществлению политехнического обучения вследствие того, что она сама широко применяется в ряде других математических и смежных дисциплин (в физике, астрономии, механике, геодезии и т. д.), а через них в самых различных областях техники и производства.

Начальный курс тригонометрии является тем основным разделом всего курса тригонометрии, который имеет преимущественно практическое значение и очень широкое применение в самых разнообразных областях науки и производства.

Особое место при изучении начального курса тригонометрии мы обращаем на его связь с изучением физики, поскольку физика составляет фундамент ряда основных разделов техники.

Кроме того, мы остановились на вопросах связи начального курса тригонометрии с алгеброй, геометрией, машиноведением и другими предметами.

При подборе задач политехнического содержания мы остановились в основном на задачах, связанных с прохождением практикума по машиноведению, поскольку этот предмет в школе проходится первый год и еще недостаточно разработан. Между тем, практикум по машиноведению дает богатейший материал для составления задач политехнического содержания. При этом мы отмечаем, что с составлением и решением задач политехнического содержания до настоящего времени дело обстоит еще весьма неблагополучно, так как до сих пор еще не установлено какие же задачи следует считать политехническими, какова должна быть методика их составления и решения.

Не ставя своей целью дать исчерпывающий ответ на эти вопросы, мы остановились на основных требованиях, предъявляемых к задачам политехнического содержания и привели ряд примеров, на которых старались показать методику их составления и решения.

При этом мы полагаем, что при составлении задач политехнического содержания должны соблюдаться все требования, которые обычно предъявляют к любой математической задаче. Но поскольку почти всякая задача, решаемая на производстве, обычно требует знания целого комплекса вопросов из различных областей и специальной терминологии, то целесообразно для четкого выяснения ее содержания и решения предварительно разобрать ряд пропедевтических задач, не вызывающих затруднений у учащихся и до известной степени раскрывающих содержание производственной задачи. Эти задачи следует решать по мере прохождения теоретического материала. Примеры такого подхода к составлению и решению производственных задач указаны при анализе учебника по математике в ГДР. Приведенные нами задачи составлены на основании изучения технической литературы и производственного опыта автора.

Кроме того, при решении задач политехнического содержания, а также при объяснении теоретического материала следует шире использовать новые формы преподавания: урок — лабораторная работа, урок — производственная экскурсия.

В диссертации мы приводим три лабораторные работы и описание двух экскурсий, содержание которых связано с изучением начального курса тригонометрии.

л 611765 18/111-57 г.

Типография Изд-ва АПН РСФСР

Зак. 177. Тир. 100