МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

А. И. ЛАЗАРЕВА

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ ПО ГЕОМЕТРИИ В VI—VII КЛАССАХ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

МОСКВА — 1952

«От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».

(В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 146, 147).

Успешное разрешение поставленных перед советской школой задач мыслимо только на базе марксистско-ленинской теории познания. Знание основных положений этой теории, умение применить эти положения в своей работе — необходимое условие правильного обучения и воспитания подрастающего поколения.

Исходя из этого основного тезиса теории познания, наглядность при обучении вообще и, в частности, геометрии в 6—7 классах приобретает безусловное обоснование.

В настоящее время нет споров о значении наглядности при обучении. Разные точки зрения имеются только по вопросу методики использования наглядных пособий, их места, объема и другим вопросам. Спор этот имеет свою историю.

В связи с этим мы в первой части диссертации даем исторический обзор наглядного обучения геометрии в России до Октябрьской революции и в советской школе с соответствующими выводами для школы, а во второй части приводим методические указания к использованию наглядных пособий при обучении геометрии в б—7 классах, а также и описание их.

В первой части, рассмотрев достаточное количество имеющейся литературы по этому вопросу, мы сделали выводы:

1) при изучении геометрии передовые педагоги дореволюционной России уделяли большое внимание вопросу наглядности;

2) абсолютное большинство их считало необходимым иметь два курса геометрии: а) пропедевтический и б) систематический;

3) пропедевтические, курсы строились на разной основе. Некоторые из авторов этих курсов начинали изучение геометрии: а) с рассматривания геометрических тел (Косинский,. Вулих, Астряб и др.); б) другие же — с линий, отрезков... (Малинин, Волков и др.) и в) третьи — с измерительных работ на местности (Фальке, Фан-дер-Флит, Добровольский и др.), г) четвертые-с чертежей (Шохор-Троцкий).

4) Такой подход к пропедевтическому курсу некоторым образом определял и взгляд на характер наглядных пособий.

Одни из них считали, что основными пособиями при изучении геометрии являются предметы окружающей действительности (Добровольский и др.), другие — модели (Вулих) и т. д.

5) Были высказывания и против пропедевтических курсов, которые распространялись бы на среднюю школу (Извольский, Латышев и др.).

6) Из всех рассмотренных точек зрения по вопросу наглядности в геометрии и в связи с этим по пропедевтическому курсу геометрии в средней школе мы считаем более правильной точку зрения Н. А. Извольского. У него правильно в основном сочетается вопрос обучения геометрии в средней школе с применением наглядности. Он правильно ставит вопрос о нецелесообразности пропедевтического курса геометрии в более старших классах. Его работы требуют специального изучения, и многое из них можно использовать при создании курса методики геометрии, отвечающей требованиям настоящего времени, правда, со значительными методологическими исправлениями.

7) В основу работ педагогов дореволюционной России не были положены законы материалистической диалектики, что естественно для того времени. Это приводило к принципиальным педагогическим ошибкам в области применения наглядности в преподавании геометрии. Целый ряд вопросов ими разрешался ненаучно.

8) Несмотря на ряд имевшихся недостатков, все же вопрос наглядности педагогами дореволюционной России, разрешался правильнее, смелее, прогрессивнее, чем педагогами Западной Европы.

Об этом свидетельствуют и успехи, которые имели место на международных выставках, об этом свидетельствуют работы 1-го и 2-го Всероссийских съездов преподавателей математики, об этом свидетельствуют и работы по созданию пропедевтических курсов, выгодно отличавшихся от подобных курсов Западной Европы, об этом свидетельствуют работы таких маститых методистов-математиков, какими являлись А. Н. Острогорский, С. И. Шохор-Троцкий, Н. А. Извольский и мн. другие.

По вопросу наглядности при изучении геометрии в советской школе можно сказать следующее: начиная с первых дней существования советской школы, наглядность при обучении геометрии имела место, но полного и правильного разрешения она не получила.

С 1917 до 1934 г. был курс, до 7 класса включительно, «наглядной геометрии», изучение которого шло главным образом по учебникам Астряба и других.

При этом главное внимание было обращено на опыт, факты

изучались путем наблюдения, опытным путем, и это считалось основным методом работы. Только потом шло доказательство и то не всех выводов, полученных опытным путем. Эти годы были годами недооценки теории и роли абстракции в ней, что потом было осознано и исправлено.

Необходимость применения наглядных пособий при изучении геометрии в настоящее время признается всеми, но однако, этот вопрос в школах до сих пор еще не получил должного разрешения.

Основными недостатками по вопросу применения наглядности при обучении геометрии в настоящее время можно считеть следующие:

1) Не учитывается специфичность наглядных пособий при изучении геометрии. Если при изучении целого ряда наук, в том числе ботаники, зоологии и др., наглядными пособиями являются сами предметы, которые изучаются в их естественном виде (плоды, растения и проч.), или их изображения, весьма близкие к самим предметам, то в геометрии мы этого не имеем.

Геометрическая точка, прямая, плоскость и другие геометрические образы не могут быть показаны в их естественном виде, так как эти понятия абстрактные. Мы можем показать только весьма грубое их изображение, далекое от их действительности.

2) Следствием этого недостатка является неясность, что считать наглядными пособиями по геометрии (большинство учителей не относит чертеж к пособиям, а считает пособиями только модели, таблицы).

3) Имеющиеся наглядные пособия не приведены в систему, не определен минимум их, и нет достаточных методических указаний к использованию имеющихся наглядных пособий.

4) Не ведется настоящей работы по изучению, распространению и издательству пособий, имеющихся у некоторых передовых учителей.

За последние 15—20 лет мы не имеем работ, в которых был бы описан многолетний опыт какого-либо учителя, или группы учителей, которые применяли бы наглядные пособия систематически, целенаправленно, с должными выводами.

Мы имеем устные и письменные выступления отдельных учителей по этому вопросу, но все они говорят не о системе их работы, а лишь о наиболее удачных эпизодах. Выводов, результатов, как правило, не дается.

5) Нет проверенной на практике и подобранной литературы для учителя по организации, содержанию и использованию математического кабинета в школе.

6) Не налажена и должная продажа через Учпедгиз и учколлекторы имеющихся наглядных пособий.

Имеются и другие недостатки, перечислены лишь основные.

Таковы наши выводы по первой части диссертации.

Перейдем ко второй части диссертации. Наблюдая работу школ, мы пришли к заключению, что учителя, если и используют наглядные пособия, то чаще всего лишь при объяснении нового материала, но при повторении, на консультациях, на внеклассных занятиях и др. видах работы пособиями почти не пользуются. Это серьезный недостаток.

С целью устранения его, мы составили достаточное количество пособий (таблиц, чертежей и моделей), которые можно использовать при объяснении нового материала, при обзорном повторении, при опросе, при устном и письменном решении задач, на консультациях, на внеклассных занятиях.

Для всех видов работы мы подобрали 40 таблиц и 50 моделей, абсолютное большинство из них составлено нами, часть видоизменена, часть оставлена без изменения. Таблицы и модели мы привели в некоторую систему, изложив ее на таблице № 1 в диссертации. На ней мы показали, как наиболее рационально можно использовать предлагаемые пособия.

Часть пособий мы рекомендуем использовать на уроке, часть вне урока. На уроке некоторые пособия мы рекомендуем использовать при объяснении нового материала, некоторые при закреплении, при решении задач и т. д.

Кроме того все пособия мы разбили по темам, исходя из программ по математике на 1951—52 учебный год. Конечно, эта систематизация их не абсолютно строга. Некоторые пособия с успехом могут быть использованы в разных видах работы, в разных темпах и по-разному в разных классах, но предложенная систематизация наглядных пособий дает некоторую ориентировку на их использование.

Предлагаемые нами таблицы и модели мы рекомендуем использовать, примерно, так:

п/п

Виды работы с пособиями в 6—7 классах

Количество

таблицы

модели

1

При подготовке к новому учебному году. .

2

II (должны подготовить учащиеся 6-7 класса)

2

При объяснении нового материала . . . .

3

42

3

При закреплении, повторении, устном и письменном решении задач (на уроке) .

14

те же 42, плюс 3

4

На консультациях, самостоятельной работе (вне урока) ............

8

те же 42, плюс 2

5

На внеклассных занятиях.......

13

3

Для подготовки к новому учебному году составлены две таблицы:

1) готовься к новому учебному году по математике,

2) литература для внеклассного чтения по математике для учащихся 5—7-х классов и

3) образцы одиннадцати моделей.

Эти пособия желательно поместить в уголке, оборудованном школой для учеников и родителей, под заголовком: «Учащиеся и родители! Готовьтесь к новому учебному году!» В этом уголке поместить и рекомендуемый нами материал по математике.

Приведем предлагаемые нами наглядные пособия для подготовки к новому учебному году (рис. 1 и 2).

Рис. 1.

Целевая установка таблицы-плаката (рис. 1) — своевременное акцентирование внимания учащихся и родителей на приобретение необходимых учебников и дидактического материала для более успешного .изучения математики.

Целесообразно вывесить и список рекомендательной литературы для внеклассного чтения по математике (рис. 2).

К этой таблице-плакату хорошо вывесить и дополнительный список некоторых задачников и учебников для внеклассной работы. Эти пособия предназначаются для учащихся, наиболее интересующихся математикой. Из предлагаемой таблицы-плаката для внеклассного чтения и списка рекомендательной литературы родители и учащиеся видят, что можно купить по математике сверх стабильных учебников и задачников для более глубокого изучения математики.

Чтобы иметь больший успех в подготовке к новому учебному году, преподавателю математики необходимо выступить перед учащимися и их родителями на последнем классном

собрании перед уходом их на каникулы. На этом собрании объяснить детям, как за лето они должны готовиться к новому учебному году.

Рис 2.

Показать, как нужно сделать ту или иную модель, продемонстрировав отдельные места при ее изготовлении. Если подобную работу провести по всем предметам, то польза от этого будет несомненна. Очевидна она для более успешного изучения и геометрии. Известно, что такая работа мало где проводится. В лучшем случае ведется разговор об учебниках, задачниках, но об изготовлении моделей и приобретении других пособий и учебных принадлежностей в течение лета, почти не ведется. Чаще всего эта работа проводится учителем математики в начале учебного года. И вот только тогда учащиеся начинают искать транспортиры, циркули и др., причем не всегда находят то, что им нужно. Нервничают учитель, дети и родители. Если своевременно это предусмотреть, то недоразумения отпадут. Предложенные таблицы («готовься к новому учебному году по математике» и другие наглядные

пособия) помогут ученику и родителю в более успешной подготовке к новому учебному году.

На первый взгляд это может показаться мало существенным и ценным. Мы придерживаемся другого мнения. Мы считаем, что, если от какого-нибудь предложения есть польза, хотя бы и небольшая, то это предложение следует сделать достоянием всех школ и учителей.

Слишком много школ и учащихся, слишком велико применение пособий, поэтому значителен и общий результат.

Мы подобную работу проводили по школе № 22 в гор. Коломне, причем родители давали положительный отзыв. Как правило, большинство учащихся выполняло все, что предлагалось.

Помогало это и созданию математического кабинета, лучшие пособия дети охотно отдавали школе. На этих пособиях мы наклеивали этикетки с указанием фамилии учащегося, родителей, класса, школы и даты изготовления.

Таковы наши краткие методические указания к использованию предложенных наглядных пособий, предназначенных для подготовки к новому учебному году.

Перейдем к рассмотрению пособий, предлагаемых нами по темам. Примерно они распределены следующим образом:

Темы

Таблицы

Модели

1. «Введение»

1. Основные геометрические понятия

2. Окружность и круг

3. Углы

4. Образцы записей задач на построение по теме «введение»

5. Образцы записей доказательства пер вых теорем

6. Теоремы (виды их).

Геометрические тела и набор планочек и углов

2. Треугольники.

7. Треугольники

8. Линии в треугольнике

9. Геометрическое место точек (две таблицы)

10. Некоторые из задач, ответом на которые является одно и то же Г. M. Т (две таблицы).

11. Признаки равенства треугольников.

12. Различные способы доказательства третьего признака равенства треугольников.

Набор планиметрических моделей для демонстрации разного вида, треугольников, главных линий в них.

3. Параллельные прямые

13. Таблица для устного решения геометрических задач.

14. Различные способы доказательства тео ремы о сумме внутренних углов треугольника

Модель для доказательства теорем об углах с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Продолжение

Темы

Таблицы

Модели

4. Четырехугольники

15. Четырехугольники

16. Свойства четырехугольников

17. Симметрия геометрических фигур относительно оси

18. Центральная симметрия

19. Схема решения задач на построение

20. Различные способы доказательства теоремы о средней линии треугольника

21. Математические газеты (две) и бюллетеней по началам Евклида (два)

Набор планиметрических моделей для демонстрации разного вида четырехугольников.

5. Окружность

22. К двум окружностям провести общие касательные

23. На данном отрезке прямой построить сегмент, вмещающий данный угол (две таблицы)

24. Решение задач на построение методом Г. М. Т.

Модели для демонстраций задач по Г. М. Т.

6. Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники.

25. Вписанные и описанные треугольники и четырехугольники (две таблицы)

26. Четыре замечательные точки в тре угольнике.

Моделей нет

ФОТОМОНТАЖИ: 1) Лауреаты Сталинских премий по математике и 2) Бюллетень, посвященный Н. И. Лобачевскому— создателю неевклидовой геометрии.

Выше было указано, как эти таблицы и модели целесообразнее использовать при разных видах работы.

Следует сказать, что на некоторых таблицах мы давали не только определение той или иной фигуры и ее чертеж, но и соответствующие фигуры монтировали на таблицах еще в виде модели (чаще всего подвижной). Это сделано для того, чтобы учащийся, работая (самостоятельно или с учителем), по той или иной таблице, мог бы видеть нужную фигуру не только в виде чертежа, но и в виде подвижной модели, которая дополняет его восприятие большим количеством образов этой фигуры, что обеспечивает лучшее понимание, запоминание и большую глубину знаний.

Рассмотрим некоторые из пособий.

Модель № 40 предназначена для демонстрации решения задачи: построить треугольник по основанию и боковой стороне. К листу фанеры или картона прикрепляется основание (AB). При точке А прикрепляется боковая сторона АС, которая вращается при точке А. Чертится окружность, радиус

которой АС, центр ее в точке А. К точке С прикрепляется цветная нитка, которая пропускается в отверстие при точке В. С обратной стороны фанеры или картона прикрепляется к ней груз. Вращая АС, сторона СВ будет менять свою величину. Получаем бесчисленное множество треугольников, удовлетворяющих условиям нашей задачи (AB — основание, АС — боковая сторона—остаются постоянными при вращении АС около точки А).

Учащиеся видят, что третья искомая вершина С (две определены основанием AB) перемещается по окружности, центр которой находится в точке А, а радиус равен боковой стороне АС. Следовательно, решений будет бесчисленное множество, и ответом на задачу будет Г.М.Т. — окружность с центром в точке А, радиусом АС.

Мы рекомендуем эту модель иметь каждому учащемуся. По этому же принципу мы составили еще несколько моделей на решение других неопределенных задач (построить треугольник по основанию и медиане, проведенной к этому основанию, и др.).

Решение задач методом Г. М. Т. уже не вызовет затруднения, если ученики хорошо усвоят решение неопределенных задач.

Предлагаемые модели помогут учащимся в этом, для них трудном, вопросе, в чем мы убеждались уже не раз.

Составляя наглядные пособия, мы стремились сконструировать их так, чтобы они будили мысль ученика, заставляли его все 45 минут работать более интенсивно, с интересом и справляться с предлагаемой работой на уроке. Предлагаемые пособия дают возможность разнообразить методы работы как на уроке, так и вне урока.

Наряду с пособиями, предназначаемыми для самостоятельной работы, мы предлагаем пособия — чертежи для устного решения геометрических задач. Чертежи должны быть

Модель № 40.

выполнены так, чтобы они были хорошо видны всем учащимся.

Учитель, показывая тот или иной чертеж, предлагает решить устно задачу, условие которой передано чертежом, на котором отмечены равные отрезки черточками, углы—дугами (т. е. так, как условно принято в школах).

Например:

Данные отмечены на чертеже. Найти углы треугольника вдс.

Найти ДЕ, если СЕ = AB, а ВС = 100 см

и другие.

Решая устные задачи по отдельным чертежам, можно потом вывесить таблицу и предложить учащимся устно решить (вне урока) задачи, условие которых передано на таблице, приведенной в диссертации.

Кроме этого целесообразно предложить учащимся самим составить задачи на ту или иную тему. Эту работу следует проводить и в классе, и в порядке домашнего задания.

В диссертации даны задачи для устного решения и по теме симметрия.

Известно, что целесообразно решать одну и ту же задачу несколькими способами. Мы даем поэтому несколько таблиц на доказательство одной и той же теоремы разными, способами. Они предназначены для классной и внеклассной работы. Методика работы с ними может быть разнообразной. Но во всех случаях имеется ввиду, что ученик будет работать с ними самостоятельно, нужный ему материал перепишет себе в тетрадь. (См. в приложении табл. 29).

Мы в своей работе остановились на создании математического кабинета и на некоторых других вопросах, связанных с наглядностью в преподавании математики.

В заключение мы остановимся на вопросе метода нашей работы над диссертацией. Мы использовали опыт школ г. Коломны.

I. Посещали уроки, главным образом, по геометрии, у учителей разной квалификации, стажа и в разных школах. При этом мы ставили перед собой задачу выяснить, какие же основные недостатки мешают более успешному усвоению геометрии в 6—7 классах? Какие разделы геометрии особенно затрудняют учащихся и причины этих затруднений?

II. В связи с этим мы провели три контрольных работы в 18 классах (702 учащихся). Одну контрольную работу мы провели в 8-х классах (за курс геометрии 6—7 классов), вторую контрольную работу в 6-х классах и третью контрольную работу провели по 7-м классам (в третьей четверти). Тексты контрольных работ были написаны на отдельных листочках для каждого учащегося. При составлении контрольной работы мы стремились выяснить на сколько осмысленно учащиеся знают доказательство теорем (в частном случае^ доказательство признаков равенства треугольников).

Дано: AB = EF; АС = ДЕ; /_ А ■= / Е.

Требуется доказать: Д ABC = ДЕР.

С целью проверки этого вопроса мы каждый признак равенства треугольников подали учащимся по-разному:

а) изменили принятое расположение и обозначение чертежей, причем в одном случае мы писали, что дано и что требуется доказать; эти данные отмечали еще и на чертежах: (см. чертеж на 11 стр),

б) в другом случае мы только писали, что дано и что требуется доказать, но на чертежах наши данные не отмечали,

в) в третьем случае мы начертили тупоугольные треугольники, отметили на них данные черточками и попросили доказать равенство треугольников, приложив AB к AiBb

(см. черт. ABC, AiBiCi).

Если учащийся знает доказательство так, как положено ему знать, то эти небольшие трудности, которые мы поставили перед ним, легко им устранимы. Если же учащийся «разучил» доказательство по учебнику, при определенном расположении и обозначении треугольников, не поняв существа вопроса, то наш подход поставит его в затруднительное положение, что было и обнаружено при выполнении им работы.

При составлении контрольной работы мы также хотели уточнить: с какой глубиной отрабатываются вопросы о главных линиях в треугольнике, понимают ли учащиеся разницу между аксиомой, теоремой, как увязывается арифметика с геометрией, насколько понимают вопрос о Г. М. Т. и некоторые другие задачи.

Вопросы в связи с этим предлагались следующие:

1. При пересечении двух прямых оказалось, что один из углов равен 30% суммы их. Найдите эти углы.

2. Проведите все высоты в тупоугольном треугольнике.

3. Дайте определение развернутого угла и постройте его.

4. Сформулируйте одну какую-либо известную вам аксиому.

5. Г. M. Т., из которых данный отрезок виден под прямым углом есть... (закончить фразу), и другие вопросы.

Остановимся на некоторых недостатках, которые обнаружены при выполнении контрольной работы.

Справиться с доказательством теоремы при другом обозначении и расположении чертежей, большинство учащихся не могло.

Провести все высоты в прямоугольном и тупоугольном треугольниках затруднились.

Построить все внешние углы у треугольника не смогли.

Задачи на вычисление с применением процентов решали неуверенно, вычисления делали излишние.

Большинство учащихся 8 классов не справились с вопросами Г. М. Т. (эти вопросы давались ученикам только 8 классов).

Решения приводили часто не рационально и др.

Приведем некоторые ответы учащихся.

Ученица X. 6—Д класс: «Аксиомой называют истины, которые применяются для доказательств».

Ученица Р. 6 класс, в своей работе пишет: Дано: АС = ДЕ; AB = EF; /А=/Е Требуется доказать: ДАВС = ДДЬР

«Мы наложим А ABC на Д ERF так, чтобы сторона AB совместилась со стороной EF, точка А совместилась с точкой Е, а вследствии сторон AB и EF так как они равны точка С совпадет с точкой Д. Сторона АС пойдет по стороне ЕД так как они равны. Точка В совместится с точкой F и поэтому сторона ВС пойдет по стороне ДР, так как между двумя точками можно провести прямую и притом только одну.

В каком треугольнике внешний угол равен внутреннему с ним смежному?

В прямом треугольнике внешний угол равен внутреннему смежным с другим углом прямоугольника.

Проведите все высоты в треугольнике тупоугольном...

В треугольнике АОЕ будут три высоты.

1) ЕС высота, 2) высота ON, 3) высота AM“.

В комментариях работа не нуждается.

Результаты контрольных работ нас не удивили, а они были неудовлетворительные. Мы в своей работе старались разделы, которые наиболее затрудняют учащихся, полнее осветить и составить наглядные пособия к ним, которые способствовали бы устранению этих недостатков.

Проводили мы устные беседы и с учащимися этих школ как на уроке, так и вне урока. Интересовались замечаниями по вопросу использования ими наглядных пособий — на уроке, дома.

III. Присутствуя на выпускных экзаменах по геометрии в 7-х классах в школах Коломны и школах Воскресенского района, на приемных экзаменах в сельскохозяйственном техникуме в городе Коломне и на вступительных экзаменах в Коломенском учительском институте на физико-математическом отделении, мы задавали учащимся вопросы. Приведем некоторые из них:

1) Постройте все высоты в прямоугольном треугольнике.

2) Один из смежных углов составляет 40% суммы их. Найдите углы.

3) Можно-ли построить треугольник по основанию и медине, проведенной к основанию?

4) В каком треугольнике все внешние углы равны между собой?

Дано: АВ=ЛС; /1 = /2 = 90° Равны ли ВД и ДС?

6) Дайте определение Г. М. Т. и приведите примеры.

7) Дано: АО = ОЕ; / А = / Е

Будут ли равны треугольники АВО и ОДЕ?

И эти устные беседы приводили к выводу, что недостатки, отмеченные выше, имели место.

Некоторые из учащихся отвечали: «А мы такие задачи не решали». Ответ, конечно, свидетельствует о формальных знаниях курса геометрии за 6 — 7 классы некоторой частью учащихся.

IV. Познакомились мы и с вопросом использования наглядных пособий в институтах и школах Москвы: в Городском и Областном институтах усовершенствования учителей, в школах № 422, № 622 и некоторых др.

V. Прочитали мы и несколько докладов с демонстрацией наглядных пособий, нами составленных.

В декабре 1950 г. прочитан доклад руководителям секций математиков Московской области при МОИУУ.

В апреле 1951 г. прочитаны доклады в секторе методики математики АПН для учителей г. Москвы, Ленинского района и учителям г. Коломны и района и других.

Это делалось с целью проверки возможности использования составленных пособий в школах. Как они отвечают возрастным особенностям учащихся, доступна ли их конструкция для школ, и отвечают ли они тем требованиям, которые предъявляются к пособиям. Слушатели знали причину постановки этих докладов, и их положительный отзыв давал возможность более уверенно рекомендовать эти пособия.

VI. Использован в этой работе и свой личный 28-летний педагогический стаж, особенно за последние 15 лет, когда нами уделялось этому вопросу достаточное внимание и в школах, где мы работали преподавателем, и в институте, где мы вели, кроме методики математики и геометрии, еще и факультативный курс изготовления наглядных пособий по математике.

Такой разнообразный характер работы над диссертацией дал нам возможность широкого общения со школами и учителями разной квалификации, разного стажа работы. В итоге такого общения отбрасывалось менее удачное и обрабатывалось более удачное.

В итоге работы над диссертацией мы пришли к выводу, что нужно дать по-возможности исчерпывающий перечень пособий, снабдив их относительно подробными методическими указаниями. Мы сочли необходимым не только перечислить пособия, но все их изготовить и описать изготовление.

Мы считаем, что если ограничиться только некоторыми методическими указаниями по этим вопросам, привести для примера только некоторые из пособий, то этот вопрос при таком решении дальше не продвинется.

Памятуя, что учителя затрудняет вопрос не тот, что он должен делать, а другой — как он может достичь нужных результатов, на этот вопрос мы и искали ответ, обратив в своей работе достаточное внимание на методические указания.

Если принять во внимание задачи, которые стоят сейчас перед школой, то мы должны сделать вывод, что вопрос наглядности при изучении геометрии приобретает должное значение.

В самом деле, министр просвещения И. А. Каиров в своем докладе «О путях повышения качества учебно-воспитательной работы школ в 1952/53 учебном году» пишет: «Устные экзамены по геометрии в 7-х классах показали, что некоторые учащиеся заучивают доказательство теорем наизусть, без должного понимания их смысла и взаимной связи, не всегда

умеют применять теоретические сведения к решению задач, особенно задач на построение и доказательство. Как существенный недостаток в постановке преподавания геометрии следует отметить, что во многих школах не выполняются практические работы по непосредственному измерению учащимися поверхностей и объемов; особенно плохо поставлена работа по измерению на местности».

Успешное преодоление перечисленных недостатков немыслимо без умелого применения наглядных пособий.

Серьезные задачи поставлены перед школой и директивами XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР. В них сказано: «В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

Наглядность при обучении безусловно будет помогать осуществлению этой задачи — политехническому обучению — и этот факт говорит о необходимости быстрейшего разрешения вопроса наглядности.

Итак, наглядность при обучении геометрии в Советской школе должна базироваться на марксистско-ленинской теории познания, на данных советской психологии, педагогики. Наглядность имеет весьма большое значение при обучении геометрии в 6—7 классах, но все должно быть в меру и к месту.

Учитывая все вышесказанное, мы своей работой пытались дать конкретное разрешение этого вопроса в применении к изучению геометрии 6—7 классов и старались показать, что этот вопрос нельзя решать формально, что и правильный принцип дидактики — принцип наглядности — может дать отрицательные результаты при неумелом использовании пособий.

Приводя в диссертации подробные методические указания, мы стремились найти меру наглядности и добиться такого положения, чтобы она — наглядность — не превращалась из средства обучения в цель, что уже пагубно может отразиться на правильном развитии учащихся. Этого никогда нельзя забывать, старались не забыть это и мы в своей работе.

Л-172588 Сдано в наб. 13/Х-52 г. Подп. к печ. 1/XII-52 г.

Объем 1,25 п. л. с вклейкой. Бесплатно. Тир. 100. Зак. № 2494

Типография «Красная звезда», ул. Чехова, 1С.

Таблица № 29

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА.

1-й СПОСОБ (учебник Киселева).

Дано: ДАВС, ДЕ—средняя линия его (т. е. АД = ДВ и СЕ = ВЕ). требуется доказать: ДЕ || АС и ДЕ = '£ АС

Доказательство:

1 ш. Для доказательства вообразим, что через середину Д стороны AB мы провели прямую, параллельную АС.

2 ш. На основании следствия: «прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам», мы заключаем, что наша воображаемая прямая, проведенная параллельно АС, сольется с прямой ДЕ, соединяющей середины сторон AB и ВС. Следовательно ДЕ || АС.

3 ш. Проведем EF || AB, получим AF = CF (на основании того же следствия).

4 ш. Четырехугольник АДЕР — параллелограм, следовательно ДЕ = AF. Таким образом мы получили ДЕ == AF = FC откуда следует: ДЕ == = £ АС.

Что и требовалось доказать.

II-й СПОСОБ.

Доказательство:

I ш. Допустим, что ДЕ не параллельна АС, тогда через точку Д проведем прямую ДК || АС.

2 ш. На основании следствия: «Прямая, проведенная через середину стороны треугольника параллельно другой его стороне, делит третью сторону пополам», получили ВК = КС.

3 ш. Но по условию BE = ЕС, таким образом имеем противоречие с условием теоремы; отрезок ВС не может иметь двух точек (Е и К), каждая из которых делила бы его пополам. Следовательно наше допущение не верно, а верно то, что ДЕ I) ACi т. е. ДК сольется с ДЕ,

4 ш. ДЕ = ААС (см. доказательство 1-го способа в 3 т. и 4 ш.).

Что и требовалось доказать.

III-й СПОСОБ (Рашевский К. Н. и др.)

Доказательство:

1 ш. Продолжим ДЕ на расстояние ЕК=ДЕ и соединим К с С.

2 ш. ДДВЕ = ДЕКС (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует: ДВ = КС и / 3 = / 4.

3 ш. Если / 3 = / 4, то ДВ || КС, следовательно четырехугольник АДКС —- параллелограм, (т. к. ДА = КС ДА H КС). Таким образом ДЕЦАС и ДЕ = \ АС.

Что и требовалось доказать.

Примечание: В «началах» Евклида этой теоремы нет.

IV-Й СПОСОБ

Доказательство:

1 ш. Продолжим ДЕ на расстояние ЕК = ДЕ и соединим К с В и С, а точку С с точкой Д.

2 ш. Четырехугольник ДВКС — параллелограм (т. к. диагонали его, точкой их пересечения, разделены пополам). Отсюда следует, что ДВ = CK, а так как ДВ = АД, то и АД - CK и АД ||СК.

3 ш. Четырехугольник АДКС — параллелограм, (т. к. АД—CK и АД H CK), а потому ДЕ || АС.

4 ш. Так как ДК — АС и ДК = 2ДЕ, значит и АС = 2ДЕ, откуда ДЕ = \ АС.

Что и требовалось доказать.

V-й СПОСОБ

Доказательство:

1 ш. Проведем через точку С прямую CM i| AB, отложим на ней CK = АД и соединим Е с К.

(Будут ли точки Д, Е и К лежать на одной прямой, утверждать пока не можем).

2 ш. Л ДВЕ = Д ЕКС; (т. к. Z 3 = Z 4, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых КС и ДВ и секущей ВС, BE = ЕС по условию; АД = КС по построению,АД = ДВ (по условию), следовательно ДВ = КС.)

3 ш. Из равенства треугольников следует ДЕ = ЕК', Z 1 = Z 2, а значит точки Д, Е и К лежат на одной прямой,

4 ш. Четырехугольник АДКС — параллелограм (т. к. АД=^КС и АД H КС). Отсюда следует ДЕЦАС и ДЕ = *АС.

Что и требовалось доказать.