АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

На правах рукописи

Л. Н. ЛАНДА

К ПСИХОЛОГИИ ФОРМИРОВАНИЯ МЕТОДОВ РАССУЖДЕНИЯ

(НА МАТЕРИАЛЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УЧАЩИМИСЯ VII—VIII КЛАССОВ)

Автореферат диссертации на соискание ученое степени кандидата педагогических наук (по психологии)

МОСКВА-1955

1. Задачи и теоретические предпосылки исследования

Введение в школах политехнического обучения с особой остротой ставит вопрос о том, что учащиеся, оканчивающие среднюю школу, должны так усвоить определенную сумму знаний, чтобы уметь эти знания творчески применять в разнообразных условиях жизни. Школа не должна и не может давать учащимся знаний и навыков, достаточных для работы в каждой конкретной области их будущей деятельности. Политехническое обучение предполагает овладение учащимися общими основами производства, «широкое общее образование» (Ленин), обеспечение достаточно высокого общего развития. Иными словами, учащиеся школы должны владеть такими обобщенными теоретическими знаниями и умениями, которые дали бы им возможность применять эти знания и умения в любой области деятельности и которые служили бы основой для овладения специальными знаниями и умениями.

Факты, однако, показывают, что не всегда учащиеся, оканчивающие школу, владеют достаточно обобщенными знаниями, а главное — не всегда эти знания умеют применять в новых условиях. Хорошо зная определенные законы, теоремы, правила и т. д., эти учащиеся плохо умеют решать новые теоретические и практические задачи, встающие перед ними. Это свидетельствует о том, что школа, давая учащимся определенную сумму, знаний, не всегда формирует у них умение пользоваться этими знаниями в любой новой обстановке, в частности, недостаточно учит их умению думать.

Между тем ясно, что знания без умения применять их к решению новых задач являются мертвым капиталом, который не может быть использован в практической деятельности.

Психологическое изучение «техники мышления», раскрытие тех операций и приемов, которые лежат в основе умения думать, в основе общих методов рассуждения является важнейшей задачей психологии, от решения которой в значительной степени зависит и дальнейшее развитие методики обучения.

В диссертации мы поставили своей задачей рассмотреть вопрос о методе рассуждения, как основе «техники мышления» на мате-

риале решения учащимися VII—VIII классов геометрических задач на доказательство.

Опыт показывает, что решение задач на доказательство, особенно средней и повышенной трудности, представляет для многих учащихся значительные трудности. Хорошо решая задачи, где применение тех или иных знаний подсказывается чертежом, эти учащиеся не умеют или слабо умеют решать задачи, где чертеж не подсказывает методов решения; справляясь с задачей, где требуется применение одних теорем, учащиеся часто не могут решить задачу, где требуется применение других теорем; правильно подходя к задаче с одним чертежом, они не могут решить ту же задачу на измененном чертеже и т. д.

Все эти недостатки в значительной степени связаны с тем, что учащиеся не владеют общими методами рассуждения при решении задач, и частные особенности формулировки условия, построения чертежа и т. п. коренным образом меняют у учащихся подход к задаче.

В работе мы поставили своей целью выяснить, какова психологическая природа метода рассуждения, как проявляется этот метод при решении учащимися задач по геометрии, в чем проявляются недостатки в овладении методом рассуждения, являющиеся причиной слабого умения учащихся решать задачи и, наконец, каковы возможные пути формирования этого метода.

Одной из проблем психологии при изучении методов мышления является вопрос о том, как знания, имеющиеся у человека, становятся для него средством получения других знаний, каковы те мыслительные операции, которые, «присоединяясь» к знанию, превращают это знание в метод.

Другой, не менее важной проблемой, является вопрос о том, как актуализируются эти общие знания, лежащие в основе методов получения новых знаний и решения задач.

Прежде чем какое-либо знание (понятие, теорема, закон и т. д.) может выступить при решении задачи в качестве основы метода решения, в качества средства анализа, оно само должно явиться результатом анализа.

Владение определенными общими принципами подхода к задаче, общими приемами думания над задачей, ее анализа и составляет сущность метода анализа и рассуждения.

В любом процессе мышления следует четко различать две его стороны: знания и те аналитико-синтетические операции, которые ведут к актуализации знаний и являются основой применения этих знаний. Мышление представляет собой единство знаний и аналитико-синтетических операций, и выпадение одного из этих компонентов делает протекание процесса мышления невозможным.

Различение в мышлении двух его сторон: знаний и аналитико-синтетических операций дает возможность правильно подойти к решению давно обсуждавшегося в науке вопроса о единстве и различии знаний и умственных способностей, о различии между «знать» и «уметь думать».

Умение думать формируется в процессе овладения знаниями и связано с использованием этих знаний, и в то же время оно относительно независимо от содержания знаний и представляет известную общую способность. Овладение и применение конкретных знаний создает общую способность — умение думать, формирует общие методы мышления.

Связано это с тем, что формирование методов мышления представляет собой формирование операций мышления (их обобщение, систематизацию, осознание), а не формирование знаний, как определенных понятий или образов внешнего мира. Операции мышления относятся к сфере действий, являются формой деятельности, а не знаний.

Но аналитико-синтетические операции только тогда являются компонентом мышления, когда они ведут к актуализации определенных знаний и к установлению между этими знаниями новых связей. Это объясняет, почему формирование методов мышления не может осуществляться вне процесса усвоения и применения знаний. Формирование мышления поэтому не может быть сведено к процессу формирования знаний, а требует специального обучения операциям мышления.

Сказанное требует диференцированного подхода и к анализу физиологических механизмов мышления.

И. П. Павлов показал, что функционирование временных связей является универсальным механизмом психической деятельности. Это однако не снимает вопроса о специфике временных связей, лежащих в основе различных психических процессов.

Применительно к изучению физиологических механизмов мышления это означает, что надо вскрыть, что из себя представляют, с одной стороны, связи, лежащие в основе операций анализа и синтеза, с другой — связи, лежащие в основе знаний.

В работе делается попытка показать специфику этих видов связей.

Наличие в мышлении двух разных, но тесно связанных компонентов: знаний и операций — имеет важное значение для направления психологических исследований в области мышления. Оно требует не только анализа результатов мыслительной работы, которыми являются установление той или иной новой объективной связи, то или иное новое знание, но и анализа самой мыслительной деятельности, ведущей к этому знанию.

Научить думать, сформировать методы, мышления — это значит сформировать мыслительную деятельность, научить аналитико-синтетическим умственным операциям.

В литературе по методике математики большое внимание уделяется изучению так наз: «аналитического» и «синтетического» методов решения задач. Под аналитическим методом понимается такой метод рассуждения, когда идут от заключения задачи к ее условию, а под синтетическим, когда идут от условий к заключению. Ряд авторов (Китаенко, Поспелов, Репьев и др.) считает, что в «аналитическом методе» преобладают процессы анализа, а в «синтетическом» — синтеза. В диссертации делается попытка показать неправильность этого мнения.

«Аналитический» и «синтетический» методы различаются между собой не тем, какие операции преобладают в том или другом методе, а исключительно направлением рассуждения: от того, что требуется доказать, к тому, что дано, и наоборот, от того, что дано, к тому, что требуется доказать.

Направление рассуждения при обучении и самостоятельном решении многих задач имеет большое значение, затрудняя или облегчая процесс поисков доказательства, но поскольку ни обучение «аналитическому», ни обучение «синтетическому» методу не направлено непосредственно на формирование операций анализа и синтеза как таковых, обучение этим методам само по себе еще не решает проблему воспитания мыслительной деятельности учащихся, развития у них обобщенной системы аналитико-синтетических операций.

Формирование метода анализа и рассуждения при решении геометрических задач на доказательство предполагает, по нашему мнению:

1) формирование самих аналитико-синтетических операций (например, умения вычленять элементы фигур и включать их в новые связи, отделять условие задачи от ее заключения, сопоставлять признаки понятий и т. д.);

2) формирование связей между операциями, т. е. определенной системы их;

3) осознание отдельных операций, а также системы операций в целом в понятиях, т. е. формирование знания действий, системы второсигнальных сигналов этих действий, дающих возможность их произвольно вызывать;

4) обобщение этих операций (действий) и всей системы в целом;

5) понимание сущности и логической структуры доказательства, а также знание общих принципов подхода к задаче, общих принципов и схемы ее анализа, правил доказательства (например, что надо производить всесторонний анализ свойств геометри-

ческих фигур и элементов, что надо воспроизводить систему признаков фигур, существование которых надо доказать, а не брать первый попавшийся и т. д.).

Надо полагать, что каждая из указанных черт является лишь необходимым условием формирования метода рассуждения, его компонентом и что только совокупность всех указанных признаков дает возможность говорить, что определенные операции и приемы анализа, которыми владеет человек, превратились в метод анализа, метод рассуждения.

II. Методика и результаты констатирующего эксперимента

Задачей констатирующего эксперимента являлось выяснение особенностей решения задач учащимися с точки зрения метода их решения, с точки зрения анализа ими задачи, тех аналитико-синтетических операций, которые лежат в основе решения. Иными словами, в констатирующем эксперименте надо было выяснить особенности самого процесса думания над задачей при наличии соответствующих знаний с тем, чтобы вскрыв недостатки в методе рассуждения, попытаться эти недостатки в обучающем эксперименте устранить.

Задачи эксперимента определили и отбор испытуемых.

В качестве испытуемых мы брали учащихся VII и, в основном, VIII класса, которые хорошо знали все теоремы по курсу геометрии VI и VII класса и умели более или менее хорошо решать несложные задачи, где чертеж «наталкивал» на применение (актуализацию) тех или иных теорем, и в то же время не умели или умели слабо решать задачи, где чертеж на теоремы не «наталкивал». Для решения последних задач необходимо было самостоятельно находить теоремы на основе определенного метода анализа и рассуждения.

Мы брали для эксперимента учащихся, которые, обладая необходимыми для решения задач знаниями, плохо умели думать над задачами, требовавшими глубокого анализа, не владели правильным методом анализа и рассуждения.

Было исследовано 8 учащихся VII классов и 18 учащихся VIII классов. В диссертации приводится экспериментальный материал главным образом по решению задач восьмиклассниками.

Каждый из учеников VIII класса решал 20 задач: 10 задач средней и несколько повышенной трудности, требовавших для своего решения проведения дополнительных построений, и 10 задач сравнительно легких и простых, в которых чертеж «наталкивал» на актуализацию нужных теорем.

Решение всех задач основано на применении теорем, изучаемых в школе в VI и VII классах и испытуемым известных (знание теорем специально проверялось).

Простые задачи требовали для своего решения применения тех же теорем, что и задачи первой группы.

Две группы задач были использованы в эксперименте для того, чтобы, во-первых, выяснить, как влияет характер условий задачи на актуализацию известных учащимся теорем, и, во-вторых, чтобы показать, что учащиеся не могут решить задачи 1-й группы не потому, что они не знают нужных теорем или не умеют их применять ни в каких условиях, а потому, что не владеют методом анализа и рассуждения, который дал бы возможность актуализировать эти теоремы в условиях, где они на основе восприятия чертежа не актуализируются.

Эксперименты проводились в индивидуальном порядке во внеурочное время. На решение каждой задачи испытуемому давалось неограниченное время. Так как нам необходимо было исключить возможность нерешения задач из-за незнания теорем, мы особое внимание обращали на своеобразное «уравнивание» всех испытуемых в знаниях.

Испытуемым предлагалось решать задачи, рассуждая «вслух». По ходу решения мы задавали вопросы, направленные на выяснение особенностей процесса рассуждения.

Общие количественные результаты решения задач таковы:*)

1) учащиеся, имеющие плохие и посредственные оценки (2 испытуемых): задач I группы решено 10%, задач II группы — 80%;

2) учащиеся, имеющие посредственные и хорошие оценки (3 испытуемых): задач I группы решено 17%, задач II группы — 83%;

3) учащиеся, имеющие хорошие и отличные оценки (9 испытуемых): задач I группы решено 19%, задач II группы — 99%;

4) отличники — сильные математики в классе (4 испытуемых) : задач I группы решено 45%, задач II группы—100%.

Анализ экспериментальных данных показал, что аналитико-синтетическая деятельность при решении задач имеет несколько уровней.

Наиболее низкий из них проявляется в том, что задача не актуализирует у учащегося основных аналитико-синтетических операций и поэтому ученик не может решить задачу, так как «не знает, что делать».

Более высокий уровень проявляется в том, что учащийся осуществляет активный зрительный анализ чертежа, ищет и строит фигуры, которые бы могли натолкнуть на нужную теорему. Для этого уровня характерно отсутствие системы аналитико-синтетических операций. Анализ задачи носит бессистемный, хаотический

*) Т. к. многие учащиеся имели в четвертях по геометрии оценки не постоянны в одной „плохо", в другой „посредственно", или в одной „посредственно" в другой „хорошо" и т. д., то мы и разбили их на группы, исходя из того, в каких пределах колеблются их оценки.

характер. Зрительный анализ чертежа не направляется требованиями, вытекающими из анализа словесного компонента условия.

Испытуемые не применяют ряда важнейших аналитико-синтетических операций, в частности, операций воспроизведения системы признаков и поиска достаточных оснований. Актуализация теорем происходит главным образом «от чертежа». Решение учеником задачи представляет собой вычленение и перебирание фигур на чертеже с целью «наткнуться» на фигуру, которая могла бы актуализировать нужную теорему.

Для данного уровня аналитико-синтетической деятельности характерно, что в решении применяется большое количество проб рассматривания и проб дополнительных построений, при этом пробы эти обычно не мотивированы, учащиеся не знают, что они должны получить в результате этих проб. Проводя пробы, учащиеся исходят из того, что это «может быть что-нибудь даст».

Пробы эти представляют собой пробы слепые, пробы — угадывание и отличаются от проб, характерных для творческого поиска решения, основанного на знании того, что надо получить в результате поисков.

В ряде случаев пробы приводят к наталкиванию на фигуру, актуализирующую нужную теорему, и задача решается.

Данный уровень аналитико-синтетической деятельности достаточен для решения легких задач с «подсказывающим» чертежом (задач II группы), но не достаточен для решения задач, в которых чертеж на теоремы не наталкивает (задач I группы).

Будучи сформирован при решении задач с «подсказывающим» чертежом, этот «метод проб» из-за недостатков в методике обучения у учащихся не перестраивается, что приводит к тому, что задачи II группы учащиеся решать умеют, а задачи I группы не решают или решают слабо.

Значительная часть испытуемых осознает свой метод решения как метод проб, начиная решение задачи со слов: «Попробуем» (рассмотреть, провести и т. д.).

Третий, более высокий уровень решения задач проявляется в том, что начинают осуществляться поиски достаточных признаков, аналитико-синтетические операции складываются в систему, производится анализ словесного компонента условия задачи.

Зрительный анализ чертежа начинает направляться требованиями, вытекающими из анализа словесного компонента условия задачи.

Учащиеся в решении начинают сознательно искать признаки понятий, в связи с чем дополнительные построения становятся мотивированными и направленными на получение тех признаков, которые вытекают из анализа словесного компонента условия задачи.

В подходе учащихся к задаче появляется определенная правильная система, которая выражается, с одной стороны, в последовательности переходов от признака к признаку в процессе доказательства, с другой стороны, в образовании внутренних связей между самими аналитико-синтетическими действиями, упрочивающимися в ряде случаев до степени образования навыка в решении отдельных частичных задач.

У наиболее сильных учащихся система операций отличается подвижностью, в некоторых случаях ученики прибегают к вариированию операций, вариированию приемов анализа.

Актуализация операций в ряде случаев начинает опосредоваться постановкой вопросов, которые начинают регулировать аналитико-синтетическую деятельность. Вопросы ставятся только в том случае, когда задача не может быть решена посредством сложившегося стереотипа операций (навыка) и требуется сознательный выбор операций.

Операции, актуализируемые вопросами, лучше осознаются, чем операции, актуализирующиеся без посредства вопроса, прямо от условий задачи.

Несмотря на эти положительные черты в решении задач, свидетельствующие о достаточно развитой аналитико-синтетической деятельности учащихся, значительная часть задач I группы не была решена даже самыми сильными испытуемыми. Причина этого— в недостаточной степени обобщенности, осознанности и системности аналитико-синтетической деятельности.

Недостатки в обобщенности проявляются в отсутствии единых общих принципов подхода к задаче.

Слабо обобщены не только отдельные аналитико-синтетические операции, но и их система. В одних условиях операции актуализируются, в других — нет, по отношению к одному конкретному содержанию применяются, по отношению к другому — не применяются. Операции анализа и синтеза не стали общими операциями. Их актуализация зависит от конкретных ограниченных условий задачи.

Зависимость актуализации операций от ограниченного конкретного содержания задачи приводит к тому, что в условиях необычной для испытуемого задачи, операции часто вообще не актуализируются и испытуемый «не знает, что делать» или начинает решать методом проб, «опускаясь» тем самым на более низкий уровень решения задач.

Надо отметить, что говоря о различных уровнях аналитико-синтетической деятельности, мы имеем в виду не то, что один ученик стоит на одном уровне, а другой — на другом. Анализ экспериментального материала показывает, что одни задачи решаются учеником так, что это характерно для одного уровня, другие

так, что это характерно для другого. Уровень — понятие относительное. Давая качественный анализ процесса рассуждения, следует рассматривать уровни с точки зрения того, как они относятся к методу рассуждения, какой ступенькой в овладении методом является каждый тип (уровень) аналитико-синтетической деятельности, как и в чем каждый более высокий уровень решения приближается к правильному методу рассуждения.

И хотя для каждого отдельного ученика характерен, в основном, тот или иной уровень аналитико-синтетической деятельности (уровень владения методом) этот уровень не является чем-то независимым от конкретных условий задачи (какая задача: легкая, трудная; на какой материал задача и т. д.) и поэтому не характеризует мышления ученика в целом.

Отмеченные недостатки во владении методом связаны, в свою очередь, с тем, что у учащихся нет обобщенного знания системы операций, которые необходимо производить при доказательстве, испытуемые также слабо осознают логическую структуру доказательства.

Серьезным недостатком в обобщенности и системности аналитико-синтетических операций является то, что учащиеся либо вообще не осуществляют всестороннего анализа задачи, либо проводят его только в определенных условиях по отношению к ограниченному геометрическому содержанию.

Это приводит к тому, что испытуемые «не видят» нужных фигур и отношений на чертеже, а при анализе понятий воспроизводят только наиболее часто употребляемые или первые пришедшие в голову признаки, не используя системы признаков.

Все эти недостатки и являются причиной того, что аналитико-синтетическая деятельность учащихся не поднята до уровня овладения методом анализа и рассуждения, а это в свою очередь объясняет, почему учащиеся одни задачи умеют решать, другие — не умеют, хотя все необходимые для решения задач знания у них есть.

III. Методика и результаты обучающего эксперимента

Основная задача обучающего эксперимента состояла в том, чтобы научить испытуемых методу рассуждения, устранить те недостатки в методе, которые были вскрыты в констатирующем эксперименте.

Мысль некоторых методистов и математиков уже давно билась над тем, чтобы определить, какие действия надо производить над условиями для решения задачи на доказательство. Анализируя

эти действия, методисты формулировали их в виде определенных правил доказательства.

Так, ряд правил доказательства сформулировали крупный французский математик Ж. Адамар, дореволюционный русский методист Осинский (на 2-м Всероссийском съезде преподавателей математики), советский методист Сонцов.

Нам представляется, что основное значение правил доказательства состоит в том, что они, во-первых, дают возможность осознать все те операции, которые надо производить при доказательстве, и тем самым создают возможность сознательной, второсигнальной регулировки этих операций; во-вторых, правила дают возможность осознать систему этих операций и, в-третьих, они способствуют обобщению операций и дают возможность осознать некоторые общие принципы подхода к задаче. Иными словами, овладение правилами представляет собой важнейшее условие овладения методом рассуждения. Правила дают знание тех общих ходов мысли, которые и составляют сущность метода рассуждения.

Значение правил доказательства состоит не в том, что они формируют аналитико-синтетические операции, а в том, что они эти операций регулируют, являясь системой обобщенных сигналов аналитико-синтетической деятельности, включая сюда и самую деятельность постановки вопросов.

Ясно поэтому, что правила могут осуществлять свою сигнальную и регулирующую функцию только при наличии у учащихся определенной степени готовности к овладению методом, т. е. при условии уже сформированных аналитико-синтетических операций.

Для обучающего эксперимента из 18 испытуемых — восьмиклассников были отобраны 10. У всех испытуемых была сравнительно высокая степень готовности к овладению методом рассуждения, (знание теорем, владение отдельными операциями и т. д.). Все они не решили значительную часть трудных задач только потому, что не владели правильным методом рассуждения.

Так как наши испытуемые владели отдельными операциями, а часть из них и системой операций (хотя и плохо обобщенной и осознанной), то у нас не было необходимости обучать их всем правилам, регулирующим все действия, применяемые в доказательстве, а надо было отобрать такие основные правила, которые бы создали у учащихся представление о схеме рассуждения, об общем, методе подхода к задаче.

Наряду с введением правил, мы пытались раскрыть испытуемым логическую сущность доказательства, показывали, какое значение имеет всесторонний анализ словесного компонента условия задачи и чертежа, использование при доказательстве системы признаков фигур и геометрических отношений и т. д. Все объяснения

и правила иллюстрировались на примерах решения задач. Количество задач, использованных для иллюстрации было 13.

Все эти объяснения и правила должны были, по нашему предположению, дать испытуемым возможность:

1) понять логическую сущность и структуру процесса доказательства;

2) получить обобщенное знание об основных аналитико-синтетических операциях, применяемых при доказательствах;

3) осознать систему этих операций, представить себе основную схему рассуждения, понять, что в решении задач нельзя идти методом слепых проб;

4) осознать значение подвижности этой системы, необходимость вариирования приемов анализа, необходимость перехода от одной аналитико-синтетической операции к другой;

5) понять, что принципы, методы подхода к задачам различного конкретного содержания — общие;

6) осознать необходимость при доказательстве сближения условия и заключения задачи, необходимость движения «с двух сторон»;

7) осознать необходимость всестороннего анализа словесного компонента условия задачи и чертежа;

8) понять, что при необходимости доказать другим способом, надо переходить к другим признакам и использовать эти другие признаки в качестве оснований доказательства;

9) осознать пути выхода из тупиков, в которые может завести решение: переход к другому признаку или к другой аналитико-синтетической операции (другому правилу).

Таким образом, все объяснения и правила должны были создать у учащихся представление о методе рассуждения, о методе подхода к любой задаче, независимо от ее конкретного содержания.

После окончания «объяснительной» части обучающего эксперимента испытуемые приступали к решению тренировочных задач.

Тренировочные задачи, которые решались испытуемыми, были специально подобраны так, чтобы не быть похожими на контрольные задачи ни по общей формулировке, ни по чертежу. Это было сделано для того, чтобы исключить возможность решения контрольных задач по аналогии с тренировочными.

Приступая к решению тренировочных задач, мы указали учащимся, что задачи будут решаться различные по своему содержанию, но метод их решения, способ рассуждения должен быть для всех задач общим и определяться правилами, которые применимы для всех задач на доказательство независимо от того, о каких фигурах там идет речь.

Первые несколько задач экспериментатор решал сам, вслух, обосновывая испытуемым каждое звено своих рассуждений ссылкой на соответствующее правило (так сказать, «показывал», как надо думать). После этого испытуемым предлагалось начать решать задачи самостоятельно, исходя из указаний, данных в правилах.

Начиная с момента, когда ученик начинал решать задачи самостоятельно, наше руководство решением заключалось в том, что мы давали ученику указания: «Забыл выполнить такое то правило», «опять сбился на старый путь решения, посмотри, что надо делать по правилам» и т. д. Если же испытуемый строил процесс рассуждения правильно, то мы говорили: «Хорошо», «правильно», «верно».

Таким образом, наше руководство решением тренировочных задач состояло, в основном, в том чтобы стимулировать учащихся обращаться к правилам и исходить из них при анализе условий. Неправильные действия учащихся тормозились указанием на то, что не выполнено такое-то правило, правильные — подкреплялись нашим словесным одобрением: «правильно».

Для тренировки испытуемым было предложено 15 задач, различных по содержанию.

Решение тренировочных задач происходило до тех пор, пока мы не убеждались, что ученик более или менее хорошо усвоил новый метод рассуждения, и что он уже не забывает выполнять нужные правила.

Если же решение 15 тренировочных задач было для некоторых учащихся недостаточным для овладения методом, то мы на этом тренировку все равно прерывали и выясняли, какая перестройка в методе решения успела у испытуемого произойти и что вызывает наибольшие затруднения при овладении методом.

После того, как решение тренировочных задач заканчивалось, начинался контрольный эксперимент.

В контрольном эксперименте испытуемым предлагались для решения те же задачи, которые были использованы в констатирующем эксперименте и которые в констатирующем эксперименте не были ими решены. Сделано это было затем, чтобы сравнить, как шел процесс рассуждения до обучения и после. Это сравнение и должно было показать те изменения в аналитико-синтетической деятельности учащихся, которые явились результатом овладения методом.

Общие количественные результаты решения испытуемыми задач до обучения и после обучения таковы:

Количество решенных задач до обучения (из 10-ти)

В %

Количество задач, решенных после обучения, включая задачи решенные ранее (из 10-ти)

В %

1. Александр Б.

2

20

10

100

2. Толя Г. . . .

1

10

8

80

3. Вера М. . . .

2

20

4

40

4. Валерий М. .

1

10

7

70

5. Андрей С. . .

3

30

10

100

6. Толя С. . . .

4

40

10

100

7. Юра С. . . .

3

30

10

100

8. Таня Ф. . . .

5

50

10

100

9. Ира X.....

0

0

8

80

10. Геннадий Ш. .

4

40

10

100

Итого в среднем В %,.,

25

87

Прежде всего следует указать на те трудности, с которыми встретились учащиеся при овладении методом рассуждения.

Метод проб, который применялся значительной частью учащихся при решении задач до обучения, есть тоже определенный метод, так как во-первых, учащиеся пользовались пробами сознательно (говорили, «попробуем...»), во-вторых, эти пробы были обобщенной реакцией на условия задачи, так как они применялись по отношению к различным по содержанию задачам.

Испытуемые, для которых метод проб не был основным, но которые не владели правильным методом рассужденя, также имели в своем подходе к задаче ряд сложившихся устойчивых особенностей (например, брали за основу доказательства первый попавшийся признак, по отношению к одним фигурам применяли определенные операции, по отношению к другим не применяли и т. д.).

В связи с этим в обучающем эксперименте происходило не просто усвоение нового метода решения задач, но и ломка старого. И как показал эксперимент, успешность усвоения нового метода находилась в прямой зависимости от того, как происходила ломка старого метода, старого стереотипа решения.

Несмотря на подчас существенные индивидуальные различия в скорости и прочности усвоения нового метода, 6 испытуемых из

10-ти (в результате наблюдения за решением нами 13 задач при объяснении и самостоятельного решения 10—15 задач в тренировочных упражнениях) сравнительно хорошо усвоили новый метод и решили самостоятельно после обучения нерешенные ранее задачи, «срываясь» на старый стереотип решения только в отдельных случаях.

Для 4-х же испытуемых решение данного количества задач оказалось недостаточным для окончательной ломки старого стереотипа и, хотя они тоже усвоили новый метод рассуждения, требовалось сравнительно частое вмешательство экспериментатора в процесс решения, чтобы затормозить действие старого стереотипа и тем самым создать условия для переключения связей на новый для испытуемых метод решения.

Изменения, которые произошли в методе решения испытуемыми задач можно сформулировать в виде следующих выводов:

1) учащиеся поняли логическую сущность процесса доказательства и в доказательстве стали исходить из воспроизведения и поисков достаточных оснований (признаков).

2) Учащиеся начали применять при решении аналитико-синтетические операции, которые они раньше не применяли.

3) Действия над условиями задачи перестали носить характер случайных и хаотичных проб — угадываний, а сложились в определенную систему операций. Испытуемые в решении исходили из определенной схемы рассуждения, имели определенный план доказательства.

4) Система операций, как и входящие в эту систему отдельные операции, стали осознанными, и испытуемые получили возможность произвольно их актуализировать.

5) Система операций, как и отдельные операции, предстали перед учащимися как общая система действий, применяемая при решении задач с любым конкретным содержанием. Испытуемые стали переносить ее на все решаемые ими задачи, система стала обобщенной.

6) Система операций стала рассматриваться испытуемыми как подвижная система операций, причем испытуемые стали сознательно осуществлять вариирование приемов, переходя от одной операции к другой.

7) В решении задач испытуемые стали осуществлять всесторонний анализ как. словесного компонента условия задачи, так и чертежа. Это выразилось в воспроизведении и использовании систем признаков, доказываемых фигур и геометрических отношений, а также во включении элементов фигур во всевозможные связи при зрительном анализе чертежа.

Всесторонний анализ геометрических явлений предстал перед испытуемыми как общий принцип подхода к задаче, как общий прием анализа.

Признаки (теоремы) теперь актуализировались не только «от чертежа», но — когда нужно — и от системы признаков в результате применения операции воспроизведения систем признаков.

8) В решении задачи испытуемые не шли ни чисто «аналитическим», ни чисто «синтетическим» методом, а сближали условие задачи и ее заключение, подыскивали достаточные основания к тому, что требуется доказать, и делая выводы из того, что дано.

9) Испытуемые научились самостоятельно выходить из затруднений и тупиков, в которые попадали в процессе решения.

10) Зрительный анализ чертежа перестал играть определяющую роль в решении и сам стал направляться теми требованиями, которые вытекали из анализа словесного компонента условия задачи. В результате этого осуществлялось более полное «видение» чертежа.

11) Дополнительные построения стали проводиться мотивированно и вытекать из необходимости получить заранее известные свойства.

12) Воспроизведение систем признаков (теорем) дало возможность решать задачи различными способами.

13) Сознательный выбор и сопоставление признаков (теорем) с> условиями дали возможность выбирать наиболее подходящие из них, что обеспечивало выбор наиболее рационального пути решения.

Л 40558 10.5.55. Тир. 130 экз. Зак. 5861

Центр, типография МО СССР им. К. Е. Ворошилова