АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

И. С. КЛИМОВ

ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ И ИХ ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доцент В. В. Репьев.

1962 г.

Задачи школы эпохи развернутого строительства коммунизма в нашей стране с исчерпывающей полнотой сформулированы в «Законе об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР». В основном они состоят: 1) в подготовке учащихся к жизни, общественно полезному труду; 2) в дальнейшем повышении уровня общего и политехнического образования, подготовке образованных людей, хорошо знающих основы наук; 3) в воспитании молодежи в духе глубокого уважения к принципам социалистического общества, в духе идей коммунизма. Решение этих задач должно осуществляться на основе тесной связи обучения с трудом, с практикой коммунистического строительства.

Выпускник нашей школы должен быть подготовлен не только к выполнению определенных производственных операций — как токарь, слесарь, литейщик, тракторист и т. д., но и быть способным творчески подходить к технологическому процессу в целом и к выполняемой операции в отдельности. А для этого необходимы различные знания и умения и среди них — умение производить различные измерения и соответствующие расчеты. Как показывает практика, многие из них связаны с измерением длин, площадей и объемов различных фигур.

Но, занимаясь измерением различных величин, ученик должен знать, что он измеряет и как нужно измерять.

Основное затруднение при изучении этого вопроса заключается в отсутствии в учебной и методической литературе единой точки зрения на понятие длины, площади, объема.

Одни авторы определяют длину отрезка, площадь и объем фигуры как число;1 другие—площадью многоугольника

1 Н. А. Глаголев, Элементарная геометрия, Учпедгиз, 1954; Ж- Адамар, Элементарная геометрия, ч. I, II, Учпедгиз, 1948; Б. В. Кутузов, Геометрия, пособие для учительских и педагогических институтов, Учпедгиз, 1950; В. И. Костин, Основания геометрии, Учпедгиз, 1946; Д. Гильберт. Основания геометрии, М.—Л., 1948; Г. Лебег, Об измерении величин, Учпедгиз, М., 1938; В. М. Брадис, Методика преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, М., 1949; А. Н. Перепелкина и С. И. Новоселов, Геометрия и тригонометрия для учительских институтов, Учпедгиз, М., 1947; Н. Н. Никитин, М. И. Фетисов, Геометрия, Учпедгиз, М., 1956; Филипс и Фишер, Элементарная геометрия, Издательство товарищества «Просвещение», С.-Петербург, 1913; А. Бос и М. Ребьер, Полный курс элементарной геометрии, С.-Петербург, 1885 и др.

называют величину части плоскости, заключенной внутри многоугольника, а объемом тела—величину части пространства, занимаемого геометрическим телом;1 третьи—площадью фигуры называют часть плоскости, занимаемой фигурой, а объемом тела — часть пространства, занимаемого телом;2 четвертые, следуя Евклиду, никак не определяют понятие площади, объема, считая эти понятия первоначальными;3 пятые—длину, площадь, объем определяют как величину;4 шестые держатся разных точек зрения на понятия площади и объема: площадь считают первоначальным понятием, а потому и неопределимым, а объем определяют как число.5 Первая группа авторов, понимая под площадью и объемом число, по-разному подходят к определению этого числа.

Нет единой точки зрения на этот вопрос и в научной литературе. Так, например, Г. Лебег площадью плоской фигуры (объемом тела) называет число, определяемое двумя неограниченно-сближающимися последовательностями чисел, отнесенных к определенным образом построенным квадратам (кубам); Д. Гильберт площадью многоугольника называет число, являющееся общим значением двух величин: S и 2, отнесенных к соответствующим образом построенным треугольникам, и удовлетворяющее условиям инвариантности и аддитивности.

Теории Гильберта и Лебега являются строго научными, но большие возможности для реализации з школе представляет теория Лебега.

Разнобой и неудовлетворительность некоторых определений основных понятий метрической части геометрии в школьной учебной и методической литературе резко чувствовались ранее и особенно в советский период развития школы, когда от выпускников требуется повышенный уровень знаний ос-

1 А. П. Киселев, Геометрия под редакцией А. Н. Глаголева, Учпедгиз, М., 1956; А. Н. Глаголев, Элементарная геометрия, М., 1903.

2 А. Давидов, Элементарная геометрия, М., 1908; К. Гехель, Планиметрия по системе Лежандра, Дерпт—Рига, 1880; Н. Извольский, Геометрия па плоскости, Геометрия в пространстве, ГИЗ, Л., .1924.

3 К. Н. Рашевский, Элементарная геометрия, М., 1917; Н. И. Козлов, Геометрия для сельской школы, ГИЗ, 1924; С. А. Богомолов, Геометрия, Систематический курс, Учпедгиз, М.—Л., 1949; Н. Фусс, Начальные основания чистой математики, Издание Главного управления училищ, Санкт-Петербург, 1823.

4 Е. Рихтер, Элементарная геометрия, С.-Петербург, 1895; В. Н. Шишлянникова, Измерения площадей фигур при изучении геометрии в средней школе, кандидатская диссертация, М., 1954.

5 Ю. О. Гурвиц и Р. Б. Гангнус, Систематический курс геометрии, ч. I, II, Учпедгиз, М., 1933; П. Поляков, Начальная геометрия, опыт методического руководства для средних учебных заведений, М., 1872.

нов наук. Исканию положительного решения этих вопросов посвящены отдельные статьи и диссертации.1

В одних диссертациях все внимание сосредоточивается на разработке методики изучения измерений геометрических величин и не затрагиваются вопросы определения понятий длины-, площади, объема. В других — делается попытка разработать методику изучения понятия площади фигуры как геометрической величины. Но предлагаемая ими методика мало способствует формированию у учащихся представлений о площади фигуры, как о геометрической величине, а рекомендуемые определения страдают неточностью и громоздкостью.

Исходя из отмеченных недостатков в изучении основных понятий метрической части геометрии и требований современности о повышении знаний учащихся основ наук, ставится задача — разработать приемлемую для школы методику изучения длин, площадей и объемов, как величин (геометрических), которая помогла бы учащимся осмыслить их основные свойства и сознательно пользоваться ими в различных случаях практики. Методика изложения учебного материала строится с учетом особенностей применения теории познания к процессу обучения.

Выбранная тема позволила провести намеченное исследование по всем годам обучения в средней школе; решение поставленных задач осуществляется концентрически. 1) начальная школа, 2) V—VIII классы, 3) IX—XI классы.

В начальной школе учащиеся знакомятся с отдельными геометрическими фигурами и получают первые предметные представления об основных свойствах длины, площади, объема.

Более обстоятельно и на большем геометрическом материале эта работа проводится в V—VIII классах. Непосредственные операции по сравнению и сложению фигур позволяют в V—VIII классах определить понятие длины отрезка прямой, площади многоугольника и объема призмы как величины (геометрической).

Естественно, что в школьный период обучения, тем более в восьмилетней школе, нельзя дать полного определения понятия величины; это дело последующих лет обучения. Такое постепенное раскрытие содержания понятия величины

1 М. С. Мацкин, Методика преподавания учения о геометрических величинах в средней школе, кандидатская диссертация, 1949; В. Н. Шишлянникова, Измерение площадей фигур при изучении геометрии в средней школе, кандидатская диссертация, 1954; А. Ф. Спасский, Измерение геометрических величин на разных ступенях обучения в политехнической школе, кандидатская диссертации и др.

согласуется с марксистско-ленинским учением о развитии по нятий.

Особое внимание уделяется построению системы упражнений с геометрическими объектами, помогающими уяснению понятия геометрической величины.

В IX—XI классах к определению понятий длины, площади, объема учащиеся подходят с более общей, абстрактной точки зрения.

Каждое значение величины может быть охарактеризовано числом. Для таких величин, как длина, площадь, объем, числовые характеристики употребляются в количественном смысле, потому что в этом случае они характеризуют свойства самой величины. К понятию скалярной величины (в IX—XI классах) можно подойти также с количественной стороны. В. Н. Молодший пишет, что «...понятие скалярной величины является чистейшим количественным определением».1

Переход от объектов величины к их численным характеристикам можно рассматривать как переход к более общему и абстрактному пониманию величины (скалярной). Всякая же новая абстракция, являясь ступенью в познании, позволяет значительно расширить объем понятия, в данном случае это позволяет рассмотреть вопрос о длине, площади, объеме криволинейных фигур.

Таким образом, сообразуясь с различными уровнями развития учащихся, рассматриваются два различных подхода к одному и тому же пониманию длины, площади, объема как величины: в восьмилетней школе — наглядный, предметный, геометрический, в IX—XI классах — более общий, отвлеченный. Здесь налицо одно из обычных положений в математике—определение абстракции через абстракцию, при соответствующем расширении объема понятия.

Концентрическое изучение понятий длины, площади, объема необходимо предполагает также концентрическое изучение измерения их.

В восьмилетней школе, где преимуществуют элементы непосредственных наблюдений процесса измерения, особенно в начальной школе и в V—VI классах, задача измерения данного значения величины (длины отрезка, площади многоугольника, объема призмы) сводится к определению числа единиц меры или некоторой се доли, целиком содержащейся (полностью укладывающейся, покрывающей, вмещающейся) во всём данном значении величины.

1 В. Н. Молодший, Очерки по вопросам обосновании математики, изд. 1958 г., стр. 44.

Измерение площадей и объемов криволинейных фигур в восьмилетней школе строится преимущественно на интуиции и опытных данных.

Задача изучения измерения геометрических величин в IX—XI классах заключается прежде всего в логическом обосновании накопленных геометрических фактов, т. е. в обосновании возможности соотнесения каждому значению данной величины единственного действительного числа, его меры. Это обоснование осуществляется с помощью аксиомы Архимеда.

Для решения обратной задачи измерения вводится аксиома Кантора.

Второй задачей нашего исследования является — разработка содержания и методики проведения практических работ и расчетов при изучении измерения геометрических величин.

Из многих найденных школой мероприятий и видов работ, способствующих осуществлению связи обучения с жизнью, с практикой, наиболее активными и действенными являются практические работы и расчеты на производственном материале.

Проведение такого рода практических работ имеет целью — научить учащихся применять знания математики в процессе труда (в мастерских, на учебно-опытных участках, в заводах, колхозах и т. д.), помочь воспитанию у них умения подходить к различным производственным операциям, технологическим процессам, экономике предприятия с точки зрения количественного анализа.

Содержание практических работ и вычислений, способы, время и место их выполнения определяются программами по математике, труду и производственному обучению. Учитываются также знания по смежным общеобразовательным дисциплинам.

Как показывает практика, при выборе отраслей техники и отборе производственного материала для практических работ полезно руководствоваться следующими соображениями: 1) выбираемая отрасль техники должна иметь определенное хозяйственное и культурное значение для данного экономического района; 2) необходимо, чтобы в числе рабочих специальностей данного предприятия были такие, по которым школа готовит своих учащихся; 3) возможность прохождения производственного обучения на предприятии; 4) возможность непосредственного знакомства с производственными цехами и техническими отделами предприятия; 5) доступность пониманию учащихся рассматриваемой области техники или производственного процесса.

Учитывая большую тягу молодежи к получению рабочих специальностей промышленного и сельскохозяйственного производства, практические работы и расчеты строятся на материале следующих отраслей техники: 1) обработка металлов литьем, ковкой, резаньем, прокаткой, штамповкой; 2) строительное дело; 3) земляные работы; 4) горнорудное дело; 5) сельсхозяйственное производство и др.

В начальной школе практические работы строятся на материале уроков ручного труда, работ на пришкольном участке, на местности, по материалам экскурсий на сельскохозяйственные и промышленные объекты с несложной технологией.

В V—VIII классах практические работы организуются на материале работ учащихся в школьной мастерской, на местности, по материалам экскурсий на предприятия промышленного и сельскохозяйственного производства.

Для учащихся IX—XI классов рекомендуются специальные задания по выполнению несложных технологических расчетов по материалам их работ в различных производствах с учетом осваиваемой рабочей специальности.

Многолетняя работа автора по изучению поставленной проблемы, выразившаяся в неоднократной постановке педагогического эксперимента по теме исследования в школах г. Пензы и области и специальная работа с учителями математики и со студентами Пензенского пединститута, позволили автору разработать соответствующую методику изучения измерения геометрических величин и построить систему лабораторно-практических работ на производственном материале.

Основные результаты работы по осуществлению идеи связи преподавания математики с жизнью изложены в представленной диссертации.1

ЧАСТЬ I

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СОВРЕМЕННОЙ ШКОЛЕ

Глава I

В главе рассматриваются некоторые общие теоретические и методические вопросы, относящиеся к теме диссертации (прямая и обратная задача измерения величин, соотнесение значению величины действительного числа в качестве меры

1 В диссертацию не включены: 1) сборник задач с производственным содержанием и 2) работы по приближенному определению площадей и объемов фигур любой формы, написанные в результате поисков путей решения поставленной проблемы.

его, условия квадрируемости, кубируемости, явление Шварца и ряд других вопросов); проводится разбор учебной и методической литературы по теме работы. Высказываются соображения в пользу применения формулы Симпсона для вычисления объемов фигур в средней школе.

ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Глава II

Изучение измерения геометрических величин в начальной школе, в соответствии с особенностями развития детей этого возраста, строится на жизненном опыте и интуиции учащихся.

На конкретных примерах учащиеся знакомятся с отрезками, с понятиями: «равны», «не равны», «больше», «меньше». Кладется начало длительным наблюдениям и упражнениям по выяснению свойств длины, формированию у учащихся понятия длины и ее численного значения.

Ознакомление учащихся с прямой, отрезком и измерением длины отрезка проходит на протяжении первых 3 лет обучения. В результате соответствующих упражнений и практических работ учащиеся узнают, что измерить длину какого-либо предмета — это значит узнать, сколько раз метр, или дециметр, или сантиметр укладывается целиком во всей длине предмета. Если при откладывании метра, дециметра и т.д. остается часть измеряемого предмета, в которой метр, дециметр и т. д. не укладывается целиком, то в этом случае длина предмета определяется приближенно — с недостатком или с избытком.

В IV классе, в связи с изучением составных именованных чисел, проводится дальнейшее уточнение задачи измерения отрезка. Измерить длину какого-либо предмета — это значит узнать, какое число раз метр целиком укладывается во всей длине предмета, какое число раз во всей длине остатка укладывается дециметр, какое число раз во всей длине нового остатка укладывается целиком сантиметр.

При выполнении практических работ обращается внимание на следующие очевидные для учащихся свойства длины отрезка: 1) равные отрезки имеют равную длину; 2) если отрезок разделен на несколько частей, то длина всего отрезка равна сумме длин отрезков, на которые он разделен.

Отчетливое осознание этих свойств длины приходит, конечно, не сразу.

Для закрепления знаний по измерению отрезков, свойств длины и развития умений в практических измерениях,

рекомендуется ряд практических работ на материале уроков ручного труда, различные работы на местности по провешиванию и измерению отрезков, экскурсии; рекомендуются упражнения в развитии глазомера.

Ознакомление учащихся начальной школы (IV класс) с измерением площади квадрата и прямоугольника представляет значительно большие методические трудности, нежели ознакомление с измерением отрезков прямой.

На конкретных примерах выясняются понятия: «равны», «не равны» — для квадратов и прямоугольников в смысле конгруентности. О совместившихся квадратах говорят, что они имеют равные площади. Делается вывод: «Равные квадраты имеют равные площади». Рассматривается сравнение по площади неравных квадратов. Аналогичная работа проводится и с прямоугольниками. Проводится прямое и косвенное измерение площади прямоугольника.

При измерении площадей фигур, составленных из нескольких прямоугольников, учащиеся приходят к выводу: если фигура составлена из нескольких прямоугольников, то площадь ее равна сумме площадей прямоугольников, из которых она составлена.

Проводится работа по приближенному определению площади прямоугольника.

Выполнение практических измерений сопровождается работой по выяснению задачи измерения площади прямоугольника.

В начальной школе эта задача может быть определена так: измерить площадь прямоугольника (предмета, имеющего форму прямоугольника) —это значит узнать, сколькими квадратами со стороной, равной одному метру, или дециметру, или сантиметру, можно его покрыть целиком, или на сколько таких квадратов он может быть разрезан, или из скольких таких квадратов он может быть составлен.

Рекомендуются практические работы, связанные с уроками труда, работы на местности по ознакомлению с единицами мер площади (ар, гектар), по планировке сада; практические работы по материалам экскурсий; упражнения в приближенных измерениях.

При ознакомлении учащихся с измерением объема куба, прямоугольного параллелепипеда и свойствами объема учитывается невозможность непосредственного наложения пространственных фигур друг на друга. Проводится прямое и косвенное измерение объема. На соответствующих упражнениях подмечаются свойства объема: 1) равные кубы, параллелепипеды имеют равные объемы, 2) если куб или параллелепипед разделен на несколько кубов или параллелепипедов, то

объем его равен сумме, объемов кубов или параллелепипедов, на которые он разделен.

Задача измерения объема параллелепипеда для учащихся начальной школы определяется так: измерить объем какого-либо предмета, имеющего форму параллелепипеда (ящик, комната, штабель кирпичей и т. п.), — значит узнать, сколькими кубами с ребром, равным одному метру, или одному дециметру, или одному сантиметру, можно его заполнить целиком (ящик, комнату), или же — на сколько таких кубов он может быть разрезан, или из скольких таких кубов он может быть составлен.

Рекомендуются экскурсии на животноводческую ферму колхоза, к строящемуся дому, па кирпичный завод.

По каждой экскурсии даются примерные практические задания, вопросы, приводятся соответствующие вычисления. При проведении практических работ обращается внимание на использование свойств объема.

При разработке методики изучения измерения длин, площадей и объемов в начальной школе автор исходил из опыта работы начальных школ гор. Пензы, своего прошлого опыта и изысканий в соответствии с задачами перестройки преподавания основ наук.

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КУРСЕ АРИФМЕТИКИ V—VI КЛАССОВ

Глава III

В V классе продолжается работа по накоплению знаний об отдельных геометрических фигурах, свойствах длины, площади, объема определенных фигур и использованию их свойств в практике. Работа проходит в условиях возрастающего привлечения жизненного опыта учащихся и применения знаний математики в труде.

Знание десятичных дробей позволяет задачу измерения отрезка сформулировать так: измерить длину отрезка (какого-либо предмета) — это значит узнать, сколько раз в отрезке укладывается метр, сколько раз в остатке укладывается десятая часть метра, сколько раз в новом остатке укладывается сотая часть метра и т. д.

По внешнему виду записи длины отрезка десятичной дробью определяется, сколько и каких единиц меры длины и ее десятичных долей укладывается в протяженности данного предмета.

Проводятся работы по сравнению площадей квадратов и прямоугольников; уточняются свойства площади; обращается

внимание на использование их при выполнении прямых измерений и различных практических работ.

Задача измерения площади поверхности прямоугольника определяется аналогично задаче измерения отрезка. Проводятся приближенные измерения площади прямоугольника.

При изучении в курсе арифметики геометрического материала по измерению отрезков и площадей прямоугольников и треугольников рекомендуются работы на местности, работа с картой (используются знания географии), упражнения в приближенных измерениях отрезков, лабораторные работы по определению площадей прямоугольников в случае дробных измерений, работы по вычислению площадей земельных участков по их планам, работы, связанные с трудом учащихся на пришкольном участке, в школьной мастерской, работы на местности.

При изучении измерения объема куба и прямоугольного параллелепипеда проводятся работы по сравнению кубов и параллелепипедов; выясняются свойства объема куба и параллелепипеда (инвариантность, аддитивность).

Задача измерения объема прямоугольного параллелепипеда определяется аналогично задаче измерения отрезка.

Умение измерять объем позволяет расширить содержание и круг практических работ и экскурсий.

Рекомендуются экскурсии на животноводческую ферму, лесной склад, кирпичный завод с последующими практическими работами по материалам экскурсий; проводится составление смет на различный строительный материал (в объемных единицах).

Обращается внимание на практическое пользование свойствами площади и объема. Приводятся примерные выполнения намеченных практических работ.

В работе над методикой изучения измерения геометрических величин в V классе автор в основном исходил из критического анализа и обобщений опыта работы учителей V классов восьмилетних школ, школ рабочей молодежи и личных изысканий по этому вопросу.

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ В VI КЛАССЕ

Глава IV

В VI классе проводится более детальное изучение свойств длины отрезка, операций над отрезками и измерения их. Основную часть этой работы рекомендуется проводить на местности.

Организуются работы по выполнению операций над отрезками, по определению расстояний на глаз, шагомерно, по

времени, по карте, измерению отрезков с заданной точностью. При выполнении работ используются свойства длины.

Описывается экскурсия в заводскую измерительную лабораторию с выполнением несложных технических измерительных работ.

Задача измерения отрезков определяется так: измерить длину отрезка — это значит узнать, какое наибольшее число раз в данном отрезке целиком укладывается метр, какое наибольшее число раз в остатке целиком укладывается десятая доля метра, какое наибольшее число раз в новом остатке укладывается сотая часть метра и т. д.

В работе над методикой изучения отрезков в основном использован опыт автора, его изыскания по вопросу связи обучения математики с жизнью, с практикой и критические замечания учителей-практиков.

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ ФИГУР В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Глава V

В VII классе проводится более обстоятельное изучение свойств площади и измерения площади многоугольника. Основой этого является равносоставленность.

В связи с этим проводятся работы по перекраиванию одной фигуры в другую; вводится операция сложения фигур; устанавливаются свойства равносоставленности; вводится понятие равновеликости.

Работы по равносоставленности помогают сформулировать свойства площади.

Накопленные факты о площади и ее свойствах позволяют определить понятие площади многоугольника как геометрическую величину, обладающую определенными свойствами (инвариантность, аддитивность). В объем понятия «площадь многоугольника» входят все простые многоугольники. А каждый конкретный многоугольник есть только частное значение величины «площадь многоугольника».

Для закрепления новых понятий и приобретения практических умений по измерению площадей многоугольников рекомендуются работы по сравнению фигур по площади (не обращаясь к измерениям), по построению фигуры равновеликой данной, по определению площади многоугольника по чертежу, делению площади фигуры (в классных условиях и на местности), по определению нужного поделочного мате-

риала (в квадратных единицах) для школьной мастерской, по составлению смет-расчетов по материалам экскурсии.

Необходимые вычисления проводятся с соблюдением правил приближенных вычислений.

В VIII классе оканчивается изучение площади многоугольника; в связи с этим проводится обобщение предшествующей работы (понятие площади многоугольника, ее свойств, свойств меры площади), определяется задача построения системы измерения площадей многоугольников.

Развитие и знания учащихся VIII класса позволяют расширить область применения знаний по измерению площадей фигур и ближе подойти к жизни, к практике. В связи с этим рекомендуются работы по исправлению границ земельных участков на плане и в натуре, делению земельных участков на части заданной площади, отсечению от участка части заданной площади и положения, проекты выносятся в натуру.

Рекомендуются вычисления площади треугольника и четырехугольника по координатам вершин; проводятся соответствующие практические работы.

Из-за отсутствия необходимого математического аппарата (пределы), изучение измерения длины окружности, площади поверхности круга, цилиндра, конуса, шара в VIII классе возможно только опытным путем, используя интуицию учащихся.

Для развития умений в практических измерениях длин кривых линий и площадей поверхностей пространственных фигур рекомендуются практические расчеты по материалам экскурсий на машинный двор колхоза или в ремонтную мастерскую; расчеты разверток различных призм, работы по разметке пустотелых цилиндрических деталей по материалам экскурсии на завод химического оборудования, по расчетам и разметке разверток пирамиды, конуса и др.

Основными материалами при работе над методикой изучения измерения площадей фигур в VII—VIII классах явились исследования автора по связи изучения измерения площадей фигур с практикой, с жизнью. По материалам этих изысканий автором прочитано четыре лекции на курсах повышения квалификации учителей Пензенской области в 1958/59 учебном году и четыре лекции на семинаре учителей математики гор. Пензы в 1959/60 учебном году. В последующей работе над этим вопросом учтены критические замечания по лекциям и опыт работы некоторых учителей и студентов V курса Пензенского пединститута по материалам автора.

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ОБЪЕМОВ ФИГУР В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Глава VI

Основой измерения объемов призм в VII классе является понятие равносоставленности. В связи с этим рекомендуются работы по превращению одной призмы в другую, ей равносоставленную; вводится операция сложения призм, показываются свойства сложения и равносоставленности. Более обстоятельно изучаются свойства объема призмы.

Все это позволяет дать понятие объему призмы как геометрической величины, обладающей определенными свойствами (инвариантность, аддитивность).

Объем цилиндра в VII классе определяется опытным путем.

Для закрепления знаний по измерениям объемов призм рекомендуется работы по построению равновеликих призм и измерению объемов их моделей.

В связи с определением объема призмы рекомендуется вернуться к отрезкам и определить понятие длины отрезка как геометрической величины.

Знания учащихся VII класса по измерению объемов позволяют ближе подойти к решению вопроса о связи обучения с трудом, с практикой. В этих целях рекомендуются экскурсии в цехи по обработке металлов литьем, ковкой, резаньем, давлением с последующими практическими работами по материалам экскурсий.

Объемы пирамиды, цилиндра, конуса и шара в VIII классе определяются опытным путем. Причина—та же, что и при определении площадей кривых поверхностей.

Подводятся итоги изучения объемов в восьмилетней школе, уточняется понятие объема, определяется задача измерения объемов.

Знания учащихся VIII класса по измерению объемов фигур и их общее развитие позволяют в большей мере сблизить изу чение этого раздела геометрии с производительным трудом, с решением конкретных задач различных производств.

В этих целях рекомендуются экскурсии на машиностроительные заводы, на строительства, связанные с земляными работами и др. Практические работы, которые проводятся по материалам экскурсий, являются несложными технологическими расчетами, связанными с вычислением объемов фигур.

Содержание работы по изучению измерения объемов фигур в VII—VIII классах в основном создавалось в процессе соответствующего эксперимента с учащимися средних школ № 4 и № 5 гор. Пензы в течение двух лет (1955/56 и 1956/57

уч. годы). По обобщенным материалам эксперимента прочитано пять лекций на семинаре учителей математики гор. Пензы в 1959/60 учебном году и две лекции для учителей математики школ рабочей и сельской молодежи. Критические замечания учителей и опыт работы некоторых из них по материалам автора были учтены в дальнейшей работе над методикой этого вопроса.

ЧАСТЬ II.

ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ (IX—XI КЛАССЫ)

ИЗМЕРЕНИЯ ДЛИН ОТРЕЗКОВ И ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР В IX КЛАССЕ

Глава VII

Если в восьмилетней школе преимуществует непосредственное созерцание геометрических образов, идет накопление фактов о свойствах геометрических величин и делаются первые обобщения и определения понятий основных величин геометрии, то в IX—XI классах на первый план выступают элементы логики, обобщений, обоснований. Появляется необходимость приведения в логическую систему накопленного материала.

В IX классе для обоснования измерения длин отрезков вводится аксиома Архимеда, показывается, что каждому отрезку, соизмеримому с единицей длины, соответствует в_ качестве меры его длины единственное рациональное число. За меру длины отрезка, несоизмеримого с единичным, принимается общий предел последовательностей рациональных приближений длины отрезка по недостатку и по избытку; показывается единственность этого предела. Определяется задача построения системы измерения отрезков применительно к школе. Подводятся итоги изучения измерений отрезков; с более общих позиций подходится к определению понятия длины отрезка.

Рекомендуются практические работы по карте и на местности, связанные с измерением отрезков: определение длины кривой по карте, горизонтальной проекции линии, проложенной на поверхности, горизонтального расстояния между двумя точками, находящимися на разных уровнях.

Для определения меры площади прямоугольника в случае иррациональных измерений используется аксиома Архимеда и теория пределов.

При изучении измерения геометрических величин в IX— XI классах происходит еще большее сближение преподавания с практикой, с производством. Теперь речь идет больше не о привлечении жизненного материала к изучению измерения геометрических величин, а о применении этих знаний к решению конкретных производственно-технических задач данного вида производства. Практические работы рекомендуется выполнять так и в таких условиях, как это делаетсп в жизни.

В намеченных для IX класса практических работах по делению площадей и выделению части участка заданной площади, в отличие от подобных работ в VII—VIII классах, учитываются способы съемки и инструменты, с помощью которых произведена съемка плана участка, а в зависимости от этого выбирается способ решения задачи: аналитический, графический или механический; используются формула Герона, теоремы синусов и косинусов, которые изучаются в IX классе; проводятся работы по вычислению площади четырехугольника методом координат.

При разработке вопросов по измерению отрезков и площадей фигур, особенно в практической части, в основном использованы результаты работы автора со студенческим спецсеминаром (Пензенский пединститут) по разработке вопросов связи преподавания геометрии с жизнью, с практикой при изучении измерения площадей фигур в старших классах средней школы.

Отзывы и замечания бывших участников спецсеминара, ныне — учителей средней школы, о реализации разработок семинара в школе, использованы в последующей работе над вопросом.

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В X КЛАССЕ

Глава VIII

При определении площади поверхности призмы, пирамиды используются свойства площади.

Длина окружности определяется с помощью двух последовательностей длин вписанных и описанных многоугольников; показывается единственность действительного числа, соотнесенного окружности в качестве меры ее длины; приводятся элементарные доказательства инвариантности и аддитивности длины дуги окружности; приводятся примеры неспрямляемых кривых.

Описывается механическое определение длины кривой с помощью курвиметра. Рекомендуется ознакомление учащихся с винтовой линией и вычисление длины ее, что нужно для некоторых рабочих специальностей.

Мера площади поверхности круга, цилиндра, конуса и шара определяется также с помощью двух последовательностей рациональных приближений по недостатку и по избытку. Попутно учащиеся знакомятся с явлением Шварца. Разъясняется, что площади кривых поверхностей обладают теми же свойствами, что и площади плоских фигур.

Изучение измерения площадей поверхностей позволяет провести некоторые работы с учетом будущей специальности выпускников. Например, рекомендуются работы по разметке и. изготовлению разверток фигур и наиболее выгодной их раскладке. Разметка разверток производится с учетом требований специальности разметчика.

Приводится работа по расчетам моделей деталей машин, уменьшенных в заданное число раз (берутся детали, имеющие форму изучаемых фигур).

Предлагаются практические работы по определению длины кривой по карте, винтовой линии, передаточного ремня (проволоки), свернутого в моток; работы на местности по разбивке закругления железнодорожного или автомобильного пути по дуге окружности (используется метод координат).

Рекомендуются практические работы по определению площадей кривых поверхностей моделей конуса, цилиндра, шара; экскурсия в цех по обработке металла штамповкой (холодной), расчеты заготовок деталей, изготовляемых штамповкой.

Рекомендуются более сложные практические работы по делению площадей полигонов, учитывается вид геодезического инструмента и способ съемки; вводится понятие азимута, вычисляются координаты вершин полигона.

При работе над вопросами измерения геометрических величин в X классе использованы материалы изучения этих вопросов в ранее названном студенческом семинаре. Существенное значение имели также разработанные автором специальные задания для студентов, проходивших производственную заводскую практику. Работа над заданиями заключалась в выполнении несложных технологических расчетов, связанных с вычислением площадей поверхностей, длин различных кривых линий. Использование студентами этих материалов во время педагогической практики позволило внести ряд поправок как в содержание работы над учебным материалом, так и в практические работы.

ИЗУЧЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ ОБЪЕМОВ В XI КЛАССЕ

Глава IX

В главе рассматривается определение объема прямоугольного параллелепипеда в случае иррациональных измерений. Показывается, что и в этом случае объем параллелепипеда и его численное значение обладают теми же свойствами, что и в случае рациональных измерений, и что в качестве меры объема ему соответствует единственное действительное число при данной единице измерения.

Подводятся итоги изучения объемов призм, уточняются свойства объема; формулируется задача построения системы измерения прямоугольных параллелепипедов, а следовательно, и всех выпуклых призм.

Приводится элементарный вывод формулы Симпсона в случае, когда площадь сечения фигуры является функцией вида: S = ÄX2. Этому случаю соответствует большинство изучаемых в школе фигур. Случаи, когда сечение является функцией вида: S = АХ2+'ВХ+С, или S = AX3 + BX2+CX + D-ничего принципиально нового, кроме громоздких записей при выводе формулы, не вносят, они могут быть рассмотрены на кружковых занятиях.

Пользуясь формулой Симпсона, проводятся вычисления объемов всех пространственных фигур, изучаемых в школе. Единство метода и экономия во времени говорят о целесообразности пользования ею в школе. Кроме того, формула Симпсона позволяет находить приближенные значения объемов фигур произвольной формы.

В целях приближения преподавания математики непосредственно к нуждам будущей рабочей специальности выпускника, рекомендуется ряд практических работ и расчетов на различном производственном материале.

Содержание их охватывает больший комплекс производственных вопросов, нежели это было в восьмилетней школе, а их выполнение непосредственно связывается с работой учащихся на заводе.

Необходимый минимум сведений по некоторым видам обработки металлов известен учащимся из курса основ производства и из рекомендуемой популярной технической литературы. Математическое содержание всех работ связано в основном с вычислением объемов фигур.

Практические работы и расчеты строятся на материале работ учащихся в цехах по обработке металлов литьем, ковкой, резаньем, штамповкой, прокаткой.

Каждое из заданий состоит из нескольких практических работ и расчетов. Например, задание по обработке металлов

литьем состоит из следующих 7 отдельных практических расчетов, относящихся к отдельным этапам литейного процесса: I) составление чертежа модели отливки; 2) вычисление веса чугуна, необходимого для изготовления определенного числа отливок; 3) расчет подачи смесителей формовочном земли; 4) расчет рабочей топливной и металлической колош вагранки; 5) вычисления величины давления металла на верхнюю часть литейной формы и расчет дополнительной нагрузки на опоку; 6) расчет литейных ковшей; 7) расчет отливок на прочность.

Содержание работы по изучению измерения объемов фигур в старших классах является результатом эксперимента автора с учащимися средней школы № 4 г. Пензы, проходившими производственную практику на заводе «Пензмаш». Для учащихся были разработаны специальные задания по выполнению несложных технологических расчетов по месту работы, связанные с вычислением объемов фигур. По обработанным и обобщенным материалам эксперимента автор в 1960/61 уч. году выступил с докладами на конференции учителей математики г. Пензы и областном семинаре учителей математики школ рабочей и сельской молодежи. Критические замечания учителей учтены при окончательном редактировании работы.

ОПИСАНИЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И РАБОТЫ ПО ВНЕДРЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ В ШКОЛЬНУЮ ПРАКТИКУ

По материалам исследования в 1959/60 учебном году был проведен эксперимент в средней школе № 11 и в вечерней сменной школе № 1 города Пензы. В той и в другой школе использован материал по изучению площадей фигур: в 11-й школе — в VII классе, а в 1-й сменной — в V классе.

По отзывам учителей (Л. П. Березина и Л. М. Репникова), выполнение практических работ на производственном материале является одним из наиболее эффективных путей решения проблемы связи изучения математики с практикой, с жизнью.

Выполнение рекомендуемых в диссертации практических работ помогает учащимся осмыслить свойства площади, сознательно пользоваться вычислительными формулами, помогает увидеть практическую необходимость и ценность знаний по измерениям геометрических величин в жизни, в труде, содействует развитию умений по применению знаний к решению различных задач практики.

В целях внедрения результатов работы в практику и привлечения учителей к разработке вопросов связи преподавания

математики с жизнью, с производительным трудом, автором проведена следующая работа с учителями математики гор. Пензы.

В 1955/56 учебном году автор руководит семинаром учителей математики г. Пензы по разработке некоторых вопросов связи преподавания математики с практикой. На его занятиях автор выступил в тремя докладами: 1) о способах определения приближенных значений площадей фигур криволинейной формы; 2) об инструментах для механического определения приближенных значений площадей фигур (палетка, планиметр-топорик, полярный планиметр); 3) о способах определения приближенных значений объемов фигур произвольной формы.

На областных педагогических чтениях в том же году был поставлен доклад о способах и средствах определения приближенных значений площадей фигур.

В 1956/57 учебном году с участниками семинара было проведено две экскурсии на пензенские машиностроительные заводы: «Дезхимоборудования» и «Пензмаш». По материалам экскурсий учителя составили примерную методическую разработку производственных экскурсий на эти заводы.

На августовской конференции 1957/58 учебного года автор выступил с докладом о применении знаний по измерению геометрических величин в процессе производственной практики учащихся.

В 1958/59 учебном году на областных курсах повышения квалификации учителей было прочитано 4 лекции о проведении практических работ при изучении измерений площадей фигур в восьмилетней школе.

По материалам педагогического исследования в 1959/60 учебном году на занятиях семинара учителей математики г. Пензы автором прочитано 10 лекций о практических работах при изучении измерения геометрических величин в восьмилетней школе.

В 1960/61 учебном году на августовской конференции учителей математики гор. Пензы сделан доклад о производственных экскурсиях и математической обработке их результатов; в январе 1961 года на областном семинаре учителей математики школ рабочей и сельской молодежи сделан доклад о связи изучения измерения объемов фигур с производительным трудом учащихся.

В целях подготовки молодых учителей математики к практическому осуществлению идеи связи преподавания математики с практикой, с жизнью, в Пензенском педагогическом институте с 1955/1956 учебного года под руководством автора работает студенческий семинар по изучению способов

и средств приближенного определения площадей и объемов фигур в средней школе.

С 1959/60 учебного года по материалам автора работает второй студенческий семинар по разработке содержания и проведения производственных экскурсий и практических работ при изучении измерения геометрических величин в восьмилетней школе.

Для заводской практики студентов автором разработаны специальные задания по математике на производственно-техническом материале. Выполняя их, будущий учитель-математик учится применять свои знания по измерению геометрических величин к решению конкретных производственно-технических задач. Это поможет ему организовать подобную работу в школе.

По материалам семинаров и заданий по заводской практике написаны коллективные студенческие работы, доложенные на конференциях научного студенческого общества Пензенского пединститута.

Студенческие семинары помогли автору организовать через его участников — студентов IV—V курсов — во время их предпрактики более широкий эксперимент с учащимися сельских и городских школ. Экспериментировалось проведение лабораторно-практических работ и изучение формулы Симпсона. Работа студентов-практикантов проходила под руководством автора. Непосредственные наблюдения и изучение материалов этого эксперимента значительно обогатили и расширили область исследования.

Изучение формулы Симпсона было, своего рода, опережающим экспериментом, т. к. старшие классы школы работают по старой программе.

Проведенная опытная работа говорит, что пользование формулой Симпсона значительно сокращает время на изучение объемов фигур, позволяет соблюсти единство метода и, что важно в практическом отношении, позволяет находить (приближенно) объемы фигур произвольной формы. Такие задачи, как вычисление приближенных значений объемов различных водоемов, рудных тел, котлованов и др. вызывают только недоумение и растерянность учащихся, незнакомых с формулой Симпсона, тогда как учащиеся, знакомые с этой формулой, без особых затруднений выполняют нужные вычисления.

Опыт, наблюдения и отзывы учителей говорят, что лабораторно-практические работы на производственном материале являются одним из наиболее действенных видов работ, помогающих осуществлению связи преподавания математики с жизнью, с практикой; выполнение подобных работ оказы-

влет реальную помощь учащимся в овладении умением применять знания математики в условиях производства, что позволяет более глубоко понять технологический процесс в целом и выполняемую операцию в отдельности. А это, в свою очередь, вызывает повышенный интерес к изучению математики.

В диссертации помещено 100 различных практических работ и расчетов.

По материалам диссертации опубликованы:

1) книга «Способы и средства приближенных определении площадей и объемов в средней школе». Изд. Пензенского обл. ИУУ, 1959 г.;

2) статья «Изучение измерения отрезков в VI классе средней школы», помещенная в сборнике «Вопросы преподавания математики в школе», изд. Пензенского обл. ИУУ, 1961 г.;

3) статья «Изучение измерения геометрических величин в курсе арифметики V—VI классов», Ученые записки Пензенского пединститута, физико-математический факультет и кафедра педагогики, вып. VII, Пенза, 1962 г.

И. КЛИМОВ.

25/V-62 г. ФЛ08625. Тип. изд-ва газеты «Пензенская правда». Тираж 150. Заказ 6151.