МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н.К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Л. В. КИРИЛЮК

РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОГО ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ВООБРАЖЕНИЯ И ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У УЧАЩИХСЯ 7-9-ых КЛАССОВ, ОСУЩЕСТВЛЯЕМОЕ НА СИСТЕМАТИЧЕСКИ ПОДОБРАННЫХ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧАХ

732 - методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва - 1968

Работа выполнена в Московском областном педагогическом институте им. Н.К. Крупской

Научный руководитель - член-корреспондент АПН РСФСР, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор И.К.АНДРОНОВ

Официальные оппоненты:

доктор педагогических наук, профессор -Б.В. БОЛГАРСКИЙ

кандидат педагогических наук, и, о.доцента У.В. ЕРЕМЕЕВА

Ведущее предприятие:

Калужский педагогический институт им. К.Э. Циолковского Автореферат разослан "_5_" ноября, 1968 г.

Защита ооотоитоя в Московском областном педагогическом институте им, Н.К. Крупской иа заседании Ученого Совета физико-математического факультета

Адрес: Москва, ул.Радио, 10 а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института

Ученый секретарь Совета И.Л.Холодова

Работая в течение ряда лет учителем математики в средней школе, а затем преподавателем геометрических дисциплин на физико-математическом факультете в педагогическом институте, у нас сложилось убеждение, что ни действующие программы по математике, в особенности по геометрии, ни учебная и методическая литература не уделяют достаточно внимания вопросу развития у учащихся необходимого творческого геометрического воображения и логико-математического мышления. В частности, не обеспечивается единство развития пространственной интуиции и логики математического предмета и метода.

С другой стороны, в процессе преподавания геометрии не всегда учитываются и используются те рекомендации и методы обучения, которые излагаются в книгах Н. Извольского "Методика геометрии", к. Бескина "Методика геометрии", Н, Четверухина "Изображение фигур в курсе геометрии" и др.

В результате у многих учащихся отсутствует необходимая геометрическая культура. Перед нами встал вопрос, как осуществить в школе постановку курса геометрии, чтобы он воспитывал геометрическое мышление в двух направлениях: о одной стороны, развивал воображение в связи с решением нестандартных задач, а с другой, - совершенствовал логический вывод то или других обобщающих предложений.

В 1963 году на конференции преподавателей математических кафедр педвузов в городе Петрозаводске нами был прочитан доклад "Развитие функционального мышления учащихся на уроках геометрии", в котором отражался наш взгляд на подход к иву-

чению свойств геометрических фигур. Затем в 1964 году была издана брошюра "Упражнения и задачи но геометрии". Решение сформулированных в ней задач о учащимися, начинающими изучение геометрии, должно вырабатывать и совершенствовать навыки логического вывода на основе творческой интуиции и активности обучающихся. Это были наши первые высказывания по вопросам методики, как нам кажется, воспитывающего преподавания геометрии.

Результатом дальнейшей работы в области исследования вопроса о развитии у учащихся геометрического воображения в единстве с необходимой логикой вывода и доказательства является представленная к защите диссертация.

В процессе проводимых нами исследований, а также при написании диссертации были использованы следующие материалы:

1. Изучен передовой опыт дореволюционного преподавания математики в целом и, в особенности, геометрии в трудах I и II Всероссийских съездов преподавателей математики. В частности, было обращено внимание на работы польского дидакта математики С. Неаполитанского.

2. Изучены работы по геометрии, методике геометрии и опыт преподавания геометрии в школе авторов Н.Ф. Четверухина, С.А. Богомолова, И.К. Андронова, Н.А. Глаголева, Н.И.Бескина, Д.И. Перепелкина и ряда других.

3. Использована литература по зарубежной методике, связанная о новой постановкой преподавания геометрии. Здесь основное внимание было уделено трудам профессора Краковской июней педагогической школы С. Крыговской. Её "Геометрия. Основные свойства плоскости" получила широкое распростране-

ние среди передовых преподавателей не только Польши, но и других стран. Такие работы С. Крыговской, как "Язык математики в преподавании", "Развитие математической деятельности учащихся и роль задач в этом развитии", "Элементарная математика с точки зрения высшей", "Основы конструкции и подбор проблем программы методики преподавания математики в высших педагогических школах" представляют значительный интерес для изучения постановки преподавания математики в целом.

4. Было обращено внимание на теорию и практику развития математических фильмов и их внедрение в школу в связи с ускорением и улучшением математического образования (работы советских педагогов: Н.Ф. Четверухина, С.И. Архангельского, Ф.Ф. Нагибина, A.М. Гельмонта, Л.Н. Перепелкиной, А.П. Громова, Е.И- Щукина и др., а также зарубежных педагогов:

О. Кальбуса /Германия/, Т. Флетчера /Англия/, Ж.Николи /Швейцария/, Г. Шоке /Франция/, С Турнау /Польша/ ).

5. Использован опыт внедрении в преподавание геометрии фильмов, созданных нами в лаборатории учебного кино Гродненского пединститута.

6. Обращено внимание на использование и развитие наглядных пособий, в частности, стробоскопов, которые применялись с той целью, чтобы геометрическая задача приобрела характер задачи кинематической, отражающей движение, при котором выступает образование новых качеств, вырождение предшествующих, что позволяет учащимся легко обобщать и самим формулировать инварианты, соответствующие этому движению.

7. Был использован опыт проведения занятий в школе юных математиков при Гродненском педагогическом институте.

Эти занятия ставили своей целью передать учащимся геометрическую культуру, опираясь на творческую активность самих учащихся при решении подобранных нестандартных геометрических задач, развиваемых от простых, например, планиметрических и переходящих в более сложные стереометрические.

8. По-новому поставлен вопрос о геометрических местах точек, как о множествах точек, обладающих определенным свойством, рассматриваемых на соответствующей системе задач. Эта система проверялась в отдельных школах гор.Гродно, а также в Гродненском педагогическом институте. Результаты оказались вполне удовлетворительными.

Диссертация состоит из двух частей:

Первая часть - "Привитие геометрической культуры учащихся седьмых классов средней школы на подобранной системе нетрадиционных задач, переходящих в теоремы" - содержит две главы.

Первая глава посвящена изложению результатов изучения традиционной постановки задач на геометрические места точек, обладающих определенным свойством /§ I/. изучение этой проблемы проходило по материалам устного опроса, проводимого в школе, а также по итогам проведенной нами контрольной работа среди студентов I курса физмата педвуза. Результаты свидетельствует о формальной постановке интересующего нас вопроса в школе, о неполном понимании учащимися сущности понятия геометрического места точек, обладающих определенным свойством.

В связи о этим изучен опыт новой постановки вопроса о множестве точек, обладающих запасным свойством, на примере

работ методиста математики Краковской высшей педагогической школы проф. С.Крыговской /§ 2/. Нами принята новая терминология - "множество точек, обладающих определенным свойством", вместо традиционного термина "геометрическое место точек , обладающих определенным свойством", дающего название интересующему нас понятию. Такая же терминология принята в проекте программы средней школы по математике (Математика в школе, 1967, № 1).

Во второй главе первой части намечена постановка изучения с учащимися структуры множества точек, обладающих заданным свойством /§§ 1, 2/. На основе теоретического и практического исследования мы пришли к выводу о необходимости последовательного и систематического углубления и расширения вопроса о множестве точек, обладающих некоторым свойством (сокращенно м.т.с), именно:

1/ Формировать понятие м.т.с. с учетом введения определения, приведенного в книге проф. И.К. Андронова "Математика". (М.1965), т.е. определения, требующего установления системы прямой и противоположной теорем для обоснования высказывания о м.т.с.

2/ В дальнейшем, когда учащиеся овладели понятием м.т.с. установить эквивалентность теоремы, обратной прямой, и теоремы, противоположной прямой, и при решении задач на отыскание множеств точек, обладающих определенным свойством, использовать наряду о системой прямой и противоположной теорем систему прямой и обратной теорем.

3/ В целях развития логико-математического мышления учащихся при искании структуры множеств точек, обладающих заданным свойством, использовать для формулировки предложения о

м.т.с. необходимые и достаточные условия для того, чтобы данная точка принадлежала к некоторому множеству точек.

В § 3 второй главы на основе опыта проведения кружковых занятий с учащимися 7-ых классов школы сформулированы системы задач на м.т.с, которые систематически переходят от планиметрических в органически связанные с ними стереометрические задачи. Эти системы следующие:

1. Множество точек, удаленных от данной точки на данное расстояние.

2. Множество точек, удаленных от прямой на данное расстояние.

3. Сечения в образах, полученных во второй системе задач. Эллипс.

4. Множество точек, удаленных от луча на данное расстояние.

5. Множество точек, удаленных от отрезка на данное расстояние.

6. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. Задача Потенота.

7. Множество точек, удаленных от окружности на данное расстояние.

Системы задач разработаны с учетом и опорой на творческую активность учащихся, приводящую к открытиям (в педагогической смысле). В ряде случаев для более четкого восприятия учащимися конструируемого пространственного образа используются созданные нами стробоскопические фильмы-книжечки.

Вторая часть настоящей диссертации посвящена вопросу совершенствования у учащихся 8-9-ых классов геометрического мышления на единстве числовой и геометрической культуры.

В первой главе вопрос возникновения проблеми геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, рассматривается исторически. Показано, что толчком появления новых кривых, являющихся геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством (в этой главе мы использовали термин, принятый ранее), послужили знаменитые задачи древности: удвоение куба, полисекция (в частности, трисекция) угла, квадратура круга и спрямление (ректификация) окружности. Показано решение этих задач с помощью некоторых кривых: квадратрисы, двух парабол, спирали Архимеда /§ I/. Изучение кривых, точки которых удовлетворяют одному и тому же условию, единым методом стало осуществляться в связи с возникновением в Европе в XVII веке объединенной геометрии-алгебры, т.е. аналитической геометрии, методы которой разработаны Р.Декартом и П. Ферма. В качестве примеров осуществления аналитико-функциональной характеристики геометрических мест точек, обладающих определенным свойством, в § 2 рассмотрены задачи:

1. Найти геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний которых от двух данных точек есть постоянная величина^ > О ( X + 1 )

2. Найти геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки и данной окружности.

Первое из этих двух геометрических мест точек определяет окружность Аполлония. Второе также приводит и уравнению второй степени относительно текущих координат, но вид кривой зависит от заданных величин R и 2а, где R - радиус окружности, 2а - расстояние данной точки от центра данной окружности. Если R > 2а, т.е. точка лежит внутри данной окружности, кривая является эллипсом, в частности, если 2а-0,

т.е. точка совладает с центром окружности, эллипс вырождается в окружность. Если R < 2а, т.е. данная точка расположена вне данной окружности, получается гипербола. При R * 2а точка располагается на окружности, н искомое геометрическое место точек представляется лучом, выходящим из центра данной окружности н проходящим через данную точку. В случае вырождения окружности в прямую, может быть следующее: 1/ точка лежит вне прямой, тогда ищется г.м.т. равноудаленных от точки и прямой, которым, как известно, является парабола, 2/ точка лежит на прямой, здесь получается прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой. В случае же вырождения окружности в точку, получаем известное геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, -прямую линию, являющуюся симметралью этих двух точек.

Вторая глава содержит задачи на множества точек, связанных с различными семействами треугольников, здесь же передается методика решения этих задач на основе опыта рассмотрения их о учащимися школы юных математиков.

В S I рассматривается семейство треугольников с постоянным основанием AB, переменной вершиной С, постоянным углом А при основании. В этом семействе сначала отыскиваются постоянные и переменные величины, а затем следующие множества точен:

1. множество вершин С треугольников семейства;

2. множество середин переменной стороны ВС;

3. множество оснований переменной высоты, проведенной ив вершины А;

4. множество точек пересечения переменной стороны ВС с биссектрисами внутреннего угла А и угла ему смежного;

5. множество точек пересечения медиан треугольников семейства;

6. множество центров описанных окружностей;

7. множество ортоцентров;

8. множество центров вписанных и вневписанных окружностей треугольников семейства.

Каждая из задач на отыскание соответствующего множества точек решается для плоского семейства треугольников, а затем обобщается и рассматривается в пространстве.

При решении задач учащиеся сначала строят точки плоскости, удовлетворяющие поставленному условию. Это позволяет возбудить интуицию учащихся, заставляющую работать логическое мышление, и обосновать догадку об образе - носителе искомых точек.

После этого осуществляется поиск уравнения найденной кривой. Затем задача обобщается для пространства. Учащиеся конструируют пространственный образ, являющийся множеством точек, удовлетворяющих соответствующему условию, в частности, путем вращения плоского образа вокруг прямой, проходящей черев общее основание треугольников семейства.

Для рассматриваемого семейства треугольников характерным является тот факт, что все плоские множества точек, кроме множества точек 3, состоят из прямых линий и их частей. Соответственно в пространстве получаются поверхности, образованные вращением прямолинейных плоских образов.

Это приводит, главным образом, к коническим поверхностям (или их частям). Сначала получается одна ионическая поверхность (множество вершин С), а далее образы несколько усложняются, приводя постепенно к сочетанию конических поверхностей и их частей. В частности, множество центров вписанных и вневписанных окружностей дает на плоскости замечательную систему отрезков и лучей (черт.1), а в пространстве - совокупность конических поверхностей и их частей (черт.2).

Лишь в случае множества точек 3 получается окружность или дуга окружности, а в пространстве - сфера или ее часть (поверхность шарового сегмента).

Параграф 2 посвящен рассмотрению семейства треугольников с постоянным основанием AB, переменной вершиной С и постоянным углом -f при вершине С.

Исследование множеств точек, указанных в предыдущей параграфе, относительно рассматриваемого семейства треугольников приводит к открытию учащимися весьма интересных образов, которые в большинстве задач (кроме множества точек 4) приводят на плоскости к окружностям шли дугам окружностей, различным образом расположенным относительно прямой AB, а в пространстве - к поверхностям, получающимся при вращении этих плоских образов вокруг прямой AB.

В качестве примеров укажем:

Множество вершин дает две симметричные относительно примой AB дуги сегментов, построенных на отрезке AB и вмещающих данный угол ^ • Уравнения дуг имеют вид:

При вращении вокруг прямой AB эти дуги дают "яблоко" Кеплера. ( О < / <>%), "лимон" Кеплера / <7fl либо сферу (/•%).

Плоское множество ортоцентров этого семейотва треугольников состоит из дуг, равных рассмотренным выше, параллельно смещенным в направлении, перпендикулярном прямой AB, на вектор, модуль которого равен 2 //?а - а? • где/^-а? - есть расстояние центра дуги, на которой лежат вершины треугольни-

ков семейства, от основания AB (черт.3).

Так, для треугольников с вершинами на дуге AHB ортоцентры расположены на дуге AfAfßBf (вектор смещения -HF ); если вершины треугольников лежат на дуге АН* В, то соответствующие ортоцентры треугольников лежат на дуге А| AiÇ ВВ? (в этом случае вектор смещения равен

Для пространственного семейства треугольников получается поверхность, изображенная на чертеже 4.

Множество точек 4 пересечения стороны ВС е биссектрисами углов при вершине А определяет кривуш 4-ой степени, которая вырождается в кривуш третьей степени (строфоиду) при / = & , т.е. при Л m а.

Вращение полученных кривых вокруг прямой AB дает соответствующее пространственное множество точек.

В § 3 рассматривается семейство равновеликих треугольников с постоянным основанием AB и переменной вершиной С. В этом семействе, как и в предыдущих, сначала отыскиваются переменные и постоянные элементы треугольников, затем в этой связи ставятся задачи на отыскание множеств переменно точек, связанных о этим семейством (ставится 8 задач, аналогичных перечисленным выше). Здесь образами искомых множеств точек выступают как прямые линии или лучи (множества точек 1, 2, 5, 6), окружности (множество точек 3), так и другие кривые: конические сечения (множества точек 4 и 7) и совокупность двух кривых, симметричных относительно прямой AB, каждая на которых определяется уравнением третьей степени (множество точек 8).

Например, множество ортоцентров треугольников семейства дает два симметричные относительно прямой AB параболы, уравнение каждой из которых, если в качестве осей координат принять прямую AB (ось абсцисс) и прямую, проходящую через середину отрезка AB, перпендикулярную к нему, имеет

В пространстве это множество точек дает поверхность, образованную вращением одной из парабол вокруг прямой АВ. Множество точек пересечения переменной стороны ВС с бис-

сектрисами внутреннего и внешнего углов при вершине 1 для части семейства треугольников, для которых h > 0 (или h < О дает кривую, определяемую уравнением

где a • 4 AB» А - высота треугольников семейства (ось абсцисс - прямая AB, ооь ординат - симметраль отрезка AB). Исследование этого уравнения приводит к выводу:

1. если fi m 2а, кривая: представляет параболу;

2. если А- > 2а, кривая являетоя эллипсом;

3« сош h < 2а, получается гипербола (черт.5).

Рассматриваются поверхности, являющиеся пространственным множеством точек пересечения стороны ВС о биссектрисами углов А (черт.6).

В § 4 перечисленные ранее множества точек изучаются в семействе треугольников с общим основанием AB ■ 2а, переменной вершиной С и одинаковой медианой тс * tn .

В этом семействе множества точек 1, 2, 3, 5 являются на плоскости окружностями, а ж пространстве - сферами.

Множество точек 6 есть совокупность двух лучей, принадлежащих симметрали отрезка AB (если а »л»| , оно состоит из одной точки - середины отрезка AB). В пространстве это

множество точек определяет плоскость без внутренних точек круга (mfa) или является точкой ( m » а).

множество ортоцентров этого семейства треугольников (множество 7) определяет две симметричные относительно прямой AB кривые, определенные в интервале {-т , m ). Уравнение каждой кривой имеет вид

что для совокупности обеих кривых приводит к уравнению 4-го порядка (черт.7). Если м « а, получается окружность

Соответствующее пространственное множество точек получается при вращении рассмотренных кривых вокруг прямой AB.

На чертеже 8 представлены поверхности для случая tn + cl . Если tyi » а, получается сфера.

В заключение в этом параграфе рассматривается вопрос о вырождении данного семейства треугольников при m = а и переходе его в семейство, рассмотренное в § 2 при / = &

Глава II заканчивается обзором всех рассмотренных плоских множеств точек, связанных с четырьмя семействами треугольников и отысканием в них определенных закономерностей. То, в каждом семействе множества точек 2 ж 5 дают фигуру, гомотетичную фигуре, являющейся множеством точек I.

Множество точек 3 в каждом семействе представляет окружность, диаметром которой служит общее основание AB, или дугу этой окружности. Множество точек 6 в общем случае определяет два луча, а в семействе 2 - две точки (сливающиеся ж одну, когда f = %L ).

Вопросу кинематографического воплощения движения, связанного с рассмотрением задач, сформулированных как в первой, так и во второй частях настоящей работы, посвящена глава третья.

В § I этой главы производится описание созданных диссертантом и использованных в школе четырех стробоскопов (книжечек-фильмов): "Образование круговой цилиндрической поверхности при вращении прямой вокруг оси", "Сечение круговой цилиндрической поверхности плоскостью, параллельной оси "Множество точек, из которых данный в пространстве отрезок виден над данным (острым) углом", "Множество точек, удаленных от окружности на данное расстояние". Указывается роль и место использования этих стробоскопов при конструировании учащимися соответствующих пространственных фигур.

Параграф 2 посвящается результатам изучения роли кинематографа как средства пробуждения творческой активности и пространственного воображения, способствующего развитию у учащихся математического мышления.

Изучение данного вопроса осуществлялось на основе опыта создания и использования фильмов по математике советскими педагогами математики (Н.Ф, Четверухиным, С.И. Архангельским, А.П. Громовым, Е, И. Щукиным и др.), на основе аналогичного опыта зарубежных педагогов (Ж. Николи, Т. Флетчера, Г. Шоке, С. Турнау), а также на основе собственного опыта создания и использования учебных фильмов по математике. В специальной лаборатории при Гродненском пединституте создано 14 учебных фильмов по математике, из них 7 - под руководством и при участии автора работы.

Наши исследования позволяли сделать следующие выводы:

1. При ведении урока о применением фильма наблюдается большой интерес со стороны учащихся к дальнейшей работе, проводимой после просмотра фильма. Фильм стимулирует мышление учащихся, направляя его на поиски логического обоснова-

ния интуитивно (с помощью киноленты) открытого факта, в справедливости которого у учащихся нет сомнений.

2. Использование на уроке кинематографа создает экономию времени при изложении материала, а также при проведении работы, связанной с созданием проблемной ситуации.

3. Учащиеся лучше запоминают математические факты, сообщаемые км с помощью экранных средств, нежели при использовании исключительно вербальных средств.

В § 3 дается описание фильма "Множество точек плоскости в семействе равновеликих треугольников с общим основанием", созданного автором работы в лаборатории учебного фильма при Гродненском пединституте (оператор В.Р.Чигашков).

Фильм состоит из семи фрагментов:

1. множество вершин С плоского семейства равновеликих треугольников с общим основанием AB;

2. Множество середин одной из подвижных сторон (ВС) треугольников, рассмотренных в первом кинофрагменте;

3. Множество оснований переменной высоты, проведенной из вершины А на противоположную подвижную сторону ВС;

4. Центр тяжести однородных прямоугольных и треугольных пластинок;

5. Множество центров тяжести равновеликих однородных треугольных пластинок с общим основанием;

6. Множество центров окружностей, описанных вокруг треугольников, рассмотренных в первом фрагменте;

7. Множество ортоцентров этих треугольников.

В первом фрагменте переменная вершина С деформирующихся треугольников АБС с постоянным основанием AB и заданной высотой h при перемещении оставляет точки, располагающиеся

на двух прямых, параллельных прямой AB м отстоящих от нее на расстоянии h . В последующих фрагментах при перемещении вершины С по каждой из прямых, полученных в первом фрагменте точки - главные действующие элементы каждого из отдельных следующих фрагментов, располагаются соответственно на линии являющихся искомым в данном фрагменте множеством точек (во втором фрагменте - на двух прямых, в третьей - на окружности в пятом - на двух прямых, в шестой - на двух лучах, в седьмом - на двух параболах). В четвертом фрагменте на основе опытных механических соображений ставится вопрос о положении центра тяжести в однородной прямоугольной и треугольной пластинках.

Кинофильм является немым, продолжительность фрагментов 2, 0 - 2, 5 минуты. Кинофильм использовался в школах и вузе. Комментирование его осуществлялось преподавателями, ведущими занятие.

Цель каждого фрагмента - создать проблемную ситуацию, поставить проблему, из правдоподобного кинорешения которой выкристаллизовывается задача - теорема. Этой задаче учащиеся сами должны дать соответствующую геометрическую формулировку и отыскать ее логико-математическое решение.

Четвертая глава второй части посвящена описанию опыта по развитию геометрического мышления учащихся на образах сферической геометрии. В § I приводятся обстоятельства, приведшие автора к рассмотрению некоторых вопросов к задач на поверхности, отличной от плоскости, а именно - на сфере.

В § 2 показывается, как осуществляется переход от плоских основных образов (точка, прямая) к их аналогам на сфере (точка, окружность большого круга). Рассматривается свойство

дуги большого круга, на основании которого эту окружность на сфере, как и пряную линию на плоскости, называют геодезической линией.

После введения основных образов на сфере решаются вопросы построения на сфере геодезической линии, а также построения и изучения свойств фигур, аналогичных фигурам на плоскости. Это осуществляется путем решения система задач.

Параграф 2« содержит II задач. Среди них задачи: на построение геодезической линии из заданной точки Р (эта задача приводит к необходимости отыскания радиуса индивидуальной модели сферы, имеющейся у каждого учащегося); на построение геодезической линии, проходящей через две данные точки; на исследование образов на плоскости и сфере, получающихся при пересечении двух геодезических линий, трех геодезических линий. Рассмотрение этих задач приводит к новым фигурам: сферическому двуугольнику, сферическому углу (и решению вопроса об его измерении), сферическому треугольнику и его элементам. Осуществляется связь между элементами сферического треугольника и соответствующего ему трехгранного угла с вершиной в центре сферы. Сравниваются зависимости между элементами плоского и сферического треугольников.

В § 3, насчитывающем 9 задач, рассматривается сферический треугольник с его свойствами, аналогичными и антианалогичными свойствам плоского треугольника. Среди них: симметричные треугольники; условия равенства и симметричности треугольников; полярные сферические треугольники; площадь сферических двуугольника и треугольника; построение и свойства основных линий в треугольнике (свойство пересечения в одной точке биссектрис углов, геодезических линий, проходящих через середины

сторон треугольника и перпендикулярных этим сторонам, медиан и высот треугольника). Рассмотрены четыре признака равенства треугольников: три признака, аналогичных признакам равенства плоских треугольников, и один, не имеющий себе аналогичного ореди признаков равенства плоских треугольников (равенство двух сферических треугольников по равенству соответствующих углов этих треугольников).

Параграф 4 посвящен наложению задач на основные множества точек, обладающих заданным свойством, взятых на сфере. Рассмотрены задачи на нахождение множеств точек: удаленных от данной точки, от данной геодезической линии, от данной окружности на заданное расстояние; равноудаленных от двух данных точек, от трех данных точек (не лежащих на одной геодезической линии), от двух пересекающихся геодезических линий, от трех попарно пересекающихся геодезических линий и др. На основе найденных множеств точек решаются задачи на построение.

Все вопросы сферической геометрии рассматриваются параллельно с рассмотрением аналогичных и антианалогичных вопросов на плоскости. В работе (как и в записях учащихся), это отражено таким образом, что изложение аналогичных вопросов с соответствующими чертежами дается в параллельных колонках друг против друга.

В заключение говорится о существовании трех геометрий (геометрии Евклида, сферической геометрии и геометрии Лобачевского), наиболее характерных особенностях каждой из этих геометрий. Делается вывод о целесообразности рассмотрения вопросов сферичеокой геометрии для развития воображения учащихся, углублении знаний в области стереометрии, для развития геометрического мышления учащихся. Доступность материала

и интерес учащихся к избранным вопросам сферической геометрии свидетельствуют о возможности их изучения с целью проложения пути к творчески активному восприятию весьма абстрактных элементов другой геометрии - геометрии Лобачевского.

Б одном из приложений к работе приводятся общие итоги педагогического эксперимента по проверке методических рекомендаций, предложенных в диссертации.

Диссертационная тема практически внедрялось в школах города Гродно:

I/ В математическом кружке учащихся седьмых классов школы № 12, где ставились задачи на множества точек, обладающих заданным свойством, рассмотренные во второй главе первой части диссертации. Эксперимент проводился в 1967-1968 учебном году преподавателем этой школы, отличником просвещения БССР В.А.Церебей.

К работе приложен анализ занятий, сделанный В.А.Церебей, а также анализ контрольной работы, проведенной со всеми учащимися седьмых классов для сравнения результативности занятий кружка.

Проведенный эксперимент показал, что рассмотренные задачи вполне посильны для учащихся 7-х классов, их ранение вызывает у учащихся большой интерес.

2/ В восьмых классах школы № 14 проведены занятия с использованием фрагментов кинофильма "Множества точек плоскости в семействе равновеликих треугольников с общим основанием", а также с использованием других фильмов. Занятия проводились преподавателем А.А.Захаренковой (1966-67, 1967-68 уч.годы).

Эксперимент дал положительные результаты, показав, что

фильмы оживляют работу, пробуждают творческую инициативу у учащихся.

3/ В 9-10-ых классах с математическим уклоном школы № I эксперимент проводил преподаватель И.П.Мартынов.

Анализ занятий и задач, приведенный И.Н.Мартыновым и приложенный к работе, подтверждает целесообразность решения задач, сформулированных в диссертации для развития математического мышления учащихся, для развития их творческого воображения.

4/ В Гродненском педагогическом институте на 4-ом курссе математического отделения также решалась система задач , разработанных в настоящей диссертации. Занятия проводил И.П. Мартынов. Занятия посещались членами кафедры элементарной математики и методики математики и обсуждались на заседании кафедры. К работе прилагается выписка из протокола заседания кафедры.

5/ Основной педагогический эксперимент проходил в школе юных математиков при Гродненском педагогическом институте. Занятия о учащимися девятых классов в этой школе по решению задач, сформулированных во второй и четвертой главах второй части диссертации, проводила диссертант в течение трех лет. Опыт проведения этих занятий описан во II и IV главах второй части настоящей диссертации. В основу решения задач положен метод открытий, идеи развития понятий, перехода от более простых понятий, носящих частный характер, к более общим понятиям, идея перехода от фигур на плоскости к пространственным образам.

С докладами по теме диссертации автор выступила:

I. В Петрозаводском педагогическом институте на межву-

зовской конференций преподавателей математических кафедр педагогических институтов в июне месяце 1963 года, где прочитан доклад "Развитие функционального мышления учащихся на уроках геометрии", отражающий общее направление настоящей работы.

2.В гор.Минске на научно-практической конференции по вопросам повышения качества знаний учащихся по математике в ноябре месяце 1966 года передавался опыт изготовления и использования любительских фильмов по геометрии, созданных в лаборатории Гродненского пединститута.

3. В Белорусском университете им. В.И.Ленина на Второй Республиканской конференции математиков Белоруссии в июне 1967 года. В выступлении отражались вопросы, рассмотренные в § 2 второй главы второй части диссертации.

4. В Тульском пединституте на межвузовской научной конференции преподавателей математических кафедр педагогических институтов центральной зоны РСФСР в мае месяце 1968 года, где излагались вопросы второй части диссертации и демонстрировался фильм "Множества точек плоскости в семействе равновеликих треугольников о общим основанием".

Выступления, отражающие опыт работы, ставили своей целью проверить, насколько жизненны и целесообразны взятые темы, удачно ли выбраны приемы решения задач. Они ставили также целью получить критические замечание, касающиеся тех или иных моментов.

Научные работники в области математики и методики математики и учителя средних школ, участвовавши в работе конференции, отмечали теоретико-научную и педагогическую ценность постановки новых задач, а также педагогическую ценность сов-

денных фильмов.

Основные результаты наших исследований опубликованы в следующих работах:

1. Развитие функционального мышлении учащихся на уроках геометрии. Тезисы докладов I научно-методической конференции математических кафедр педагогических институтов северо-западной зоны РСФСР, Петрозаводск, 1963 (0, 12 печатн.листа).

2. Упражнения и задачи по геометрии, "Народная асвета", Минск, 1964 (3, 15 печатн.листа).

3. Из опыта применения кинофильмов на уроках геометрии. Тезисы докладов научной сессии, посвященной 25-летию Гродненского педагогического института, Минск, 1965 (0, 24 лечат, листа).

4. Применение подвижных наглядных пособий в курсе геометрии, там же (0, 18 печалн. листа).

5. Геометрические задачи по формированию функциональных понятий. Исследования по математике, Гродно, 1966 (2 печатн, листа).

6. Об экранизации некоторых вопросов элементарной геометрии. Тезисы докладов 2 республиканской конференции математиков Белоруссии, Минск, 1967 (0, 12 печатн, листа).

7. Задачи, возникающие при рассмотрении семейств треугольников, определяемых двумя параметрами, и вопросы их экранизации. Тезисы докладов межвузовской научной конференции преподавателей математических кафедр педагогических институтов центральной зоны РСФСР, Тула, 1968 (0, 12 печатн.листов).

8. К вопросу об отборе материала по школьному курсу

геометрии для целей экранизации. Научная сессия института, материалы докладов, Гродно, 1967 (0, 5 печати, листа).

Приложениями к работе (кроме указанных выше "Итогов эксперимента по теме диссертации") являются:

I. Стробоскопические фильмы-книжечки, посвященные образованию стереометрических фигур (4 альбома).

2. Учебный фильм (7 фрагментов) -"множества точек плоскости в семействе равновеликих треугольников о общим основанием".

АИ 38058 Подписано к печати 25.X-I968 г. Объем I печ. лист Тираж 200 экз. Заказ № 140

Отпечатано на ротапринте ГПИ им. Я.Купалы,

гор. Гродно, ул. Ожешко, 22.