АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт общего и политехнического образования

На правах рукописи

Н. Г. КИЛИНА

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ У УЧАЩИХСЯ ПОНЯТИЙ НАЧАЛЬНОЙ АЛГЕБРЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель кандидат педагогических наук Ф. Ф. НАГИБИН.

1966

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Доктор педагогических наук Б. В. Болгарский.

2. Кандидат педагогических наук Н. П. Ирошников.

Защита диссертации состоится в Научно-исследовательском институте общего и политехнического образования АПН РСФСР....... 1966 г.

Автореферат разослан

1966 года.

Алгебру, изучаемую в настоящее время в VI—VII классах, обычно называют начальной. Термин «начальная алгебра» получил широкое распространение в методической литературе благодаря известному труду В. Л, Гончарова, вышедшему под названием «Начальная алгебра».

Многолетнее изучение автором диссертации практики обучения Начальной алгебре показало, что в школах до сих пор переоценивается работа по привитию учащимся навыков путем выполнения тренировочных упражнений по определенным правилам и явно недостаточно уделяется внимания системе работы по усвоению основных алгебраических понятий и идей. Одной из причин такого состояния является отсутствие исследований, посвященных специально проблемам методики формирования у учащихся понятий начальной алгебры. Исследования В. А. Александрова сводятся в основном к отысканию возможных и необходимых путей усиления теории в преподавании алгебры в VI классе. Вопросы методики формирования понятий алгебры у учащихся VI класса рассматривались О. Я. Лихачевой в рамках действовавшей в то время (1953 год) программы и требуют своего дальнейшею развития и обобщения.

За последнее время в математической науке появились ноше обобщающие понятия й теорий, позволяющие вскрывать единое и общее в разнообразных областях знаний. В связи с этим возникают задачи пересмотра сложившегося к настоящему времени содержания школьного предмета алгебры, сближения его с «духом и буквой» современной математики. С пересмотром содержания возникают новые проблемы методики формирования понятий.

Все это, вместе взятое, обусловило выбор темы нашего исследования.

Проблема, разрабатываемая в диссертации, состояла в следующем: научно-методически исследовать возможность создания такой системы работы па формированию у учащихся понятий начальной алгебры, которая отражала бы общематематические идеи и идеи алгебраической науки в большей мере, чем это делается в школах в настоящее время.

Исследование но общей проблеме предусматривало решение следующих частных проблем:

1. Выяснение отношений между понятиями сложившегося к настоящему времени курса начальной алгебры и понятиями общей алгебры и математического анализа.

2. Выявление основных тенденций в историческом развитии методических идей начальной алгебры.

3. Раскрытие особенностей усвоения учащимися алгебраических понятий в условиях работы по сложившейся к настоящему времени методике школьного преподавания алгебры.

4. Выяснение возможностей усиления идейного содержания курса начальной алгебры и внесения в этот курс новых обобщающих понятий.

5. Разработка и экспериментальная проверка методики изучения буквенной символики, сближающей школьную арифметику и начальную алгебру на основе важной математической идеи — идеи переменной величины.

6. Разработка и проверка на практике такой методики формирования у учащихся понятий о действиях над рациональными числами, о действиях над многочленами, которая позволяла бы в содержании изучаемых понятий отразить идеи науки алгебры и, в первую очередь, сделать понятие алгебраической операции» обобщающим понятием курса начальной алгебры.

Основные методы исследования: работа по изучению теоретических трудов по математике, педагогике, психологии, методике преподавания, анализ школьных учебников и пособий по алгебре, наблюдения, беседы, эксперимент.

Автором проанализировано свыше 300 уроков алгебры в VI—VIII классах, посещенных в различных школах г. Кирова, Кировской области и Юкаменской школы Удмуртской АССР. Наблюдения за учащимися отличались значительной длительностью и систематичностью. Автору удалось, например, наблюдать за учебной работой одних и тех же коллективов учащихся в течение двух—трех лет их обучения в VI—VII, в VI—VIII классах (школа № 16 г. Кирова и Юкаменская школа Удмуртской АССР).

Большой фактический материал по усвоению учащимися алгебраических понятий дали многолетняя работа автора учителем математики в школе, беседы с учащимися после посещения уроков, дополнительные занятия по алгебре, анализ устных ответов и письменных контрольных работ учащихся различных школ г. Кирова, акты инспекторских проверок школ Кировского ОблОНО и Министерства просвещения УАССР.

Состояние знаний у учащихся по школьной алгебре выявлялось также в ходе приемных экзаменов в Кировский и Удмуртский государственные педагогические институты, в процессе работы со студентами по курсу математического анализа.

Вопросы методики формирования понятий начальной алгебры изучались путем анализа анкетных данных, полученных от учителей, бесед с

учителями школ г. Кирова и Кировексй области (во время работы курсов усовершенствования учителей, учительских конференций, во время посещения школ).

Основная экспериментальная работа ш теме исследования проводилась автором диссертации и учителями школ г. Кирова в 1956—1963 годах. В работе принимали участие студенты старших курсов Кировского государственного педагогического института.

Диссертация состоит из предисловия, пяти глав и общих выводов.

В первой главе диссертации анализируется содержание начальной алгебры с точки зрения отражения в нем ведущих идей науки математики.

Общеизвестно, что основу школьной алгебры составляют некоторые фундаментальные понятия математического анализа и науки алгебры. Но идеи математического анализа и особенно идеи алгебраической науки до сих пор не нашли широкого отражения в школьной математике. Они, несомненно, должны стать обобщающими и объединяющими идеями школьной алгебры.

Выяснение отношений между понятиями сложившегося к настоящему времени курса начальной алгебры и понятиями общей алгебры и математического анализа позволило поставить выше сформулированную общую проблему исследования, выделить наиболее важные в идейном отношении понятия начальной алгебры и поставить несколько частных методических проблем.

Одно из центральных понятий начальной алгебры — понятие переменной величины. Идея переменной величины все глубже проникает в школьный курс алгебры. В связи с тем, что понятие переменной в науке развивается, обогащается содержанием, возникает необходимость отразить в школьном курсе современный взгляд на переменную.

Как известно, в этом направлении широко проводятся ь настоящее время эксперименты в нашей стране и за рубежом. Высказываются мнения об отражении идеи переменной на более ранних ступенях обучения математике в школе.

Признавая важность указанных проблемных вопросов, автор диссертации ставит и решает задачу создания такой системы работы по изучению буквенной символики, которая сближала бы школьную арифметику и начальную алгебру на основе идеи переменной величины.

Большое место в курсе начальной алгебры занижают действия над рациональными числами, многочленами и понятия, тесно связанные с изучением действий над этими объектами. Важная идеи алгебраических структур не нашла еще своего отражения с трактовке указанных понятий в начальной алгебре.

Идея алгебраической операции положена автором в основу разработки методики формирования у учащихся понятий о действиях над рациональными числами и многочленами.

В содержании многих понятий начальной алгебры синтезируются идеи науки алгебры и математического анализа. В диссертации раскрыто своеобразие и показано значение синтезирования указанных идей при изучении таких понятий, как многочлен, действия над многочленами, уравнения и др.

Идеи алгебры и математического анализа своеобразно синтезируются, например, в понятии многочлена, изучаемом в курсе начальной алгебры: многочлен трактуется здесь как сумма одночленов, т. е. как целая рациональная функция определенного вида. Методика работы над формированием понятия многочлена должна сближать идеи алгебры и анализа, особо подчеркивая при этом идеи анализа.

В диссертации выдвинуто и осуществлено методическое требование— свести к минимуму рассмотрение в начальной алгебре многочленов с многими переменными. Многочлен одной переменной несет с собой идеи алгебры и в то же время позволяет проще и ярче отразить идеи математически) анализа.

В трактовке действий над многочленами, изучаемых в начальной алгебре, возможно также синтезирование идей алгебры и анализа, но уже другого рода, чем при раскрытии сущности многочлена. Автором предложена и экспериментально доказана возможность такого подхода к раскрытию сущности действий над многочленами, который в основе своей (в начальной и завершающей стадиях изучения) отражает идеи алгебраической операции, а в конкретной работе по выполнению действий проводит идеи математического анализа.

Приступая к изучению действий над многочленами, учащиеся вооружаются общим способом сопоставлять по определенному закону со всякой парой многочленов третий многочлен. Выполняя, например, сложение многочленов, учащиеся должны четко представлять, что в результате необходимо получить многочлен, числовое значение которого равно сумме числовых значений слагаемых многочленов.

Этот подход к работе по изучению действий над многочленами позволил отразить идеи алгебры и анализа при ведущей роли алгебраических идей.

Анализ содержания понятий школьной алгебры привел к выводу: чтобы привести содержание школьного курса алгебры в соответствие с требованиями современной математики и жизни, нет необходимости в радикальном изменении его основных направлений (развития понятия о числе, учения о тождественных преобразованиях, развития идей функциональной зависимости и учения об уравнениях). Важно в каждое из них внести новые обобщающие идеи, найти правильные соотношения между указанными направлениями, выявить основные пути и методы развития обобщающих идей и понятий в процессе изучения школьной алгебры. Этот

вывод имел принципиальное значение в поисках путей решения основной проблемы исследования.

Вторая глава разделяетя по содержанию на две части. В первой части дан исторический обзор развития методических идей начальной алгебры, во второй — изложены результаты наблюдений и экспериментов, раскрывающих особенности усвоения учащимися понятий начальной алгебры.

Основные тенденции в развитии методических идей алгебры выявлялись по русским и некоторым зарубежным учебникам, пособиям и методическим руководствам различных периодов времени: вторая половина XIX века, конец XIX и начало XX века, 1924—1932 годы, 1934—1956 годы и современный период.

Значительный интерес с точки зрения методики преподавания начальной алгебры представляет начало XX века. Для этого периода характерны индуктивный метод изложения материала начальной алгебры, забота о постепенном переходе от арифметики к алгебре, богатство конкретного иллюстративного материала. Например, конкретный материал для показа применения рациональных чисел и для иллюстрации правил действий, помещенный во многих учебниках рассматриваемого периода, не потерял своей методической ценности и в наши дни.

Среди учебных руководств начала XX века особое место занимают «Начала алгебры» Д. А. Граве. В них сделана важная попытка осветить вопросы школьной алгебры с точки зрения теории поля. Сам Д. А. Граве аргументировал эту попытку «громадным значением в современной науке теории абстрактных полей».

Для развития идей школьной алгебры принципиальное значение имеют работы П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, В. Л. Гончарова, А. Н. Барсукова.

В решении поставленной нами проблемы методики формирования у учащихся понятий начальной алгебры важную роль сыграли педагогические высказывания А. Я. Хинчина о том, как и какими путями изучение важнейших математических понятий в школе «может быть приведено в соответствие с их трактовкой, принятой в современной науке», о необходимости учета возрастных особенностей учащихся при мотивации вводимых математических понятий.

Активным борцом за повышение идейного уровня преподавания школьной алгебры был В. Л. Гончаров. Его «Начальная алгебра» по отражению в ней идей математического анализа, по богатству функционального содержания является в настоящее время непревзойденным образцом.

В настоящее время в нашей стране и за рубежом ведется активная работа по изменению содержания и методов преподавания школьной математики. Для большинства экспериментов, проводимых сейчас в различ-

ных странах, характерным является модернизация содержание школьной математики. Исследуются возможности формирования у школьников, начиная с младшего возраста, современных математических понятий. Большим опытом экспериментального обучения в СССР и за рубежом доказана возможность существенного расширения познавательных способностей детей младшего школьного возраста.

В целом проблема современной педагогики математики заключена в тем, чтобы значительно раньше вооружать школьников общими математическими методами.

Актуальней является в настоящее время проблма ранней «алгебраизации» школьной математики. Эта проблема ждет в настоящее время своего методического решения.

Предварительные наблюдения и эксперименты, раскрывающие особенности усвоения учащимися понятий начальной алгебры, проводились автором в основном в период, когда стабильным учебником для восьмилетней школы становится «Алгебра» А. И. Барсукова.

Одна из отличительных особенностей реферируемой диссертации состоит в том, что она содержит анализ конкретного материала, показывающего положительное и в отдельных случаях отрицательное влияние содержания «Алгебры» А. Н. Барсукова на процесс усвоения учащимися понятий начальной алгебры.

Вот некоторые выводы, полученные в результате изучения практики обучения, предварительных наблюдений и экспериментов.

1. Первые шаги в изучении алгебры в школе связываются с буквенной символикой, при введении которой слабо учитывается опыт предшествующей работы учащихся.

Существующая практика обучения не обеспечивает постепенности и широты обобщений в работе над усвоением учащимися буквенной символики. За тот короткий промежуток времени, который отводится в школе специальной работе по введению буквенной символики в VI классе, невозможно с достаточной полнотой выработать у учащихся взгляд на буквенный символ как на число, взятое из данного множества чисел, и как на неременную величину, принимающую свои значения из некоторого множества чисел.

2. На изучение действий и их свойств во множестве рациональных чисел в школе смотрят в основном только с точки зрения привития учащимся навыков вычислений.

В распространенной системе работы по изучению действий над рациональными числами и понятий, с ними связанных, широко применяется конкретно-индуктивный метод, но при этом не предусматривается специальных упражнений ио усвоению конкретного материала, по обобщению изученного. Недостаточно используются имеющиеся условия для выявления свойств множества рациональных чисел.

3. В работе над усвоением понятия многочлена имеется увлечение многочленами многих переменных, что фактически затрудняет раскрытие функциональной сущности понятия й не дает возможности отразить в нем ведущие идеи алгебры многочленов.

Узким и не совсем правильным является распространенный в школе взгляд на действия над целыми выражениями только как на тождественные преобразования.

В практике обучения учащимся приходится усваивать несколько правил в сущности для одного и того же тождественного преобразования. Этим создается громоздкость в системе работы, нерационально используются силы и время учащихся.

На базе выводов, сделанных нами из предварительных исследований, была разработана методическая система формирования у учащихся понятий начальной алгебры, принципы и содержание которой раскрываются в III—V главах.

В третьей главе излагаются содержание и методика экспериментальной работы по усвоению учащимися буквенной символики, исходящей из необходимости идейного сближения школьных курсов арифметики и алгебры.

Основой разработки экспериментального материала явилось одновременное отражение взглядов на буквенный символ, как на число, взятое из данного множества чисел, и как на обозначение переменной величины. В соответствии с этим подбирались конкретный материал и приемы работы с учащимися. В качестве главного избран путь введения буквенной символики на основе обобщения решений серий однотипных арифметических задач.

Этот путь использовался и используется в практике обучения, но предлагаемая в диссертации система работы по усвоению учащимися буквенной символики является новой. В этой системе индуктивный метод выступает в своеобразном сочетании с дедуктивным, что придает всей работе простоту, доступность и вызывает живой интерес у учащихся.

Применяемая методика обеспечивает учащимся возможность свободно оперировать конкретным материалом, учит их наблюдать, делать самостоятельно выводы и обобщения.

Общая схема работы по введению буквенной символики при избранном пути такова:

1. Серия однотипных арифметических задач с изменяющимися числовыми данными, составленная самими учащимися, сравнение числовых формул решения полученной серии задач, запись буквенной формулы, числовые подстановки в буквенную формулу.

2. Дана буквенная формула, осуществляются числовые подстановки или составляются серии однотипных задач с числовыми данными.

3. Составление и решение задач с буквенными данными (задач с готовой абстракцией).

Путь от конкретного к абстрактному при таком подходе естественно дополнялся обратным путем: от абстрактного к конкретному. Умелое сочетание указанных путей — залог успешного усвоения буквенной символики.

Практическая проверка разработанной методики изучения буквенной символики прошла две стадии. Первая стадия включала в себя работу с учащимися шестых классов на первых уроках алгебры. Эксперимент показал, что учащиеся хорошо усвоили основные идеи и понятия, связанные с введением буквенной символики. Учащиеся проявили большой интерес и активность в работе.

Так как конкретным материалом для обобщений явились арифметические задачи, а работа требовала постепенности, то естественно было перенести ее на уроки арифметики. Так появилась гипотеза: систематическое изучение буквенной символики должно проходить на уроках арифметики и органически связываться с изучаемым арифметическим материалом.

Проверка указанной гипотезы составляла вторую, наиболее важную стадию практического претворения разработанной методики изучения буквенной символики.

Общий путь и схема введения буквенной символики на уроках арифметики остаются в основном теми же, которые применялись нами на первых уроках алгебры, но работа становится более конкретной, непосредственно связанной с изучаемым арифметическим материалом, распределенной на значительно больший период времени.

Одно из достоинств разработанной методики изучения буквенной символики на уроках арифметики — систематическое использование элементов алгебры для более глубокого усвоения арифметического материала.

Например, первая, вторая и третья группы заданий связаны с изучением натуральных чисел и действий над ними. Буквенные символы рассматриваются здесь как переменные, значения которых принадлежат множеству, состоящему из натуральных чисел и нуля.

В четвертой и пятой группах заданий буква выступает как переменная величина, значения которой — числа, принадлежащие множеству всех неотрицательных рациональных чисел. Буквенная символика широко используется здесь для усвоения понятия дроби.

Например, учащимся предлагается установить:

1. При каких значениях а дробь

является правильной, неправильной?

2. При каких значениях в дробь

является правильной, неправильной?

3. При каком значении Л“ дробь

соответственно равна

4. При каком условии

Буквенная символика используется также в упражнениях по изучению некоторых свойств множеств натуральных чисел, неотрицательных рациональных чисел, целых чисел и всех рациональных чисел. В ходе выполнения этих упражнений устанавливаются, например, упорядоченность, плотность или неплотность каждого из рассматриваемых множеств.

Экспериментальная работа показала естественность и целесообразность органической связи элементов алгебры с изучением арифметики. Выбранный путь введения и использования буквенной символики активизирует процесс усвоения арифметики. Простота и доступность разработанной диссертантом системы изучения буквенной символики открывает возможности для применения ее на более ранних ступенях обучения учащихся.

В четвертой главе изложены содержание и методика экспериментальной работы по формированию у учащихся операций над рациональными числами и связанных с ними понятий.

Взгляд на множество рациональных чисел, например, с точки зрения группы по сложению вносит определенность и идейную направленность в работу по усвоению сущности сложения над рациональными числами и понятий, связанных с этим действием.

Исходными при определении содержания работы по изучению действий явились следующие положения:

1. Основными операциями во множестве рациональных чисел являются сложение и умножение, которые вводятся по определению.

2. Из определения сущности сложения и умножения вытекает их выполнимость во множестве рациональных чисел.

3. Вычитание и деление определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению, и расматриваются в непосредственной связи с ними. Выполнимость вычитания и деления устанавливаются после вывода правил этих действий.

4. Для каждой из основных операций должны быть установлены свойства. Например, для сложения необходимо установить свойства: ассоциативность и коммутативность, существование такого рационального числа 0, что а+0=0+а=а, где а любое рациональное число; существование для каждого рационального числа а такого рационального числа —а, что а+(—-а)=?(—а)+а=0.

Аналогичные свойтва необходимо рассмотреть и для умножения во множестве всех рациональных чисел, за исключением нуля.

В виду абстрактности формальных теорий рациональных чисел приходится в курсе начальной алгебры опираться на конкретные интерпретации.

Примеры направленных величин, изменяющихся в двух взаимно противоположных направлениях, на которых разъясняется целесообразность введения и применения отрицательных чисел, подобраны с перспективой их дальнейшего использования при изучении операций. Предусмотрена также конкретная работа, показывающая необходимость введения отрицательных чисел для нужд самой алгебры. В связи с этим включены упражнения на выяснение выполнимости изученных ранее четырех арифметических действий^ а) во множестве натуральных чисел, б) во множестве неотрицательных рациональных чисел.

В предложенной системе работы выясняется роль ассоциативного закона для распространения операции сложения (умножения), определенной вначале только для двух рациональных чисел, на случай, когда чисел больше двух. При таком подходе отпадает всякая необходимость давать в школе правило сложения (а также умножения) нескольких рациональных чисел. Упражнения на сложение (умножение) нескольких рациональных чисел подобраны так, что учащиеся, не скованные рамками специального правила, с самого начала ищут рациональные дуги для вычисления суммы (произведения) нескольких чисел на основе изученных законов.

Все содержание работы по формированию понятия операции во множестве рациональных чисел дано в форме заданий для учащихся. Постепенно от задания к заданию посредством конкретной работы накапливаются факты для обобщений, для отражения идей алгебры. Разработаны задания, упражнения в которых носят обзорный характер. Так в задании № 15 предлагается сравнить свойства операций в двух множествах: множестве натуральных и множестве всех целых чисел. Учащимся предлагается, например, относительно каждого из данных множеств ответить на вопросы:

1. Какие свойства всегда выполнимы в каждом из данных множеств?

2. Существует ли в данном множестве число, противоположное любому числу из данного множества?

3. Записать в буквенной Форме основные законы сложения и умножении в данном множестве чисел.

Сравнение позволяет выделить то общее, что имеется у операций в каждом из рассматриваемых множеств.

Аналогичным образом предлагается сравнять свойства операций сложения и умножения во множествах неотрицательных рациональных чисел и всех рациональных чисел.

Предусмотрены упражнения по чтению готовых схем соотношений между различными множествами чисел и упражнения по составлению схем (диаграмм Венна) самими учащимися на основе известных свойств числовых множеств.

В пятой главе изложена система работы по формированию у учащихся понятий об операциях над целыми выражениями (одночленами и многочленами) и понятий, с ними связанных.

Методическая разработка указанной системы была сопряжена с трудностями различного характера. Например, оказалось трудным отразить чисто алгебраический подход к операциям над многочленами и провести идею кольца многочленов над полем рациональных чисел из-за отсутствия достаточной базы. Разработка осложнялась также и тем, что процесс формирования у учащихся понятия об операциях над одночленами и многочленами необходимо было тесно связать с работой над многими другими важными понятиями.

Созданная в диссертации методическая система, отражая в основном те же алгебраические идеи, что и при изучении операций во множестве рациональных чисел, отличается от традиционной общим идейным подходом ко всем вопросам, связанным с операциями во множестве целых рациональных выражений.

Одно из основных отличий предлагаемой системы заключено в том, что она предусматривает работу по раскрытию общего смысла операций над целыми выражениями с самого начала их изучения.

Определить операцию во множестве целых выражений — это значит найти способ сопоставлять по определенному закону со всякой парой целых выражений некоторое третье, целое выражение. Способ этот довольно простой. Например, при определении сложения многочлена первый шаг его — составление выражения путем соединения двух данных многочленов знаком сложения при предварительном заключении каждого из них в скобки. Нетрудно показать, что полученное при этом выражение имеет числовое значение, равное сумме числовых значений двух данных многочленов. Второй шаг состоит в замене полученного при выполнении первого шага выражения, тождественно равным ему многочленом.

Наличие общего подхода к операциям над целыми выражениями создает перспективу их изучения, делает более компактной и экономной всю систему работы, избавляет учащихся от заучивания большого числа правил действий и правил тождественных преобразований, помещенных в учебниках и пособиях по начальной алгебре.

Усвоение учащимися общего смысла операций обеспечивает базу для одновременного изучения прямой и обратной операций путем их сопоставления и противопоставления.

В диссертации, например, дана методика одновременного изучения сложения и вычитания многочленов. Сопоставление этих понятий с момента их введения осуществляется по известной схеме П. М. Эрдниева.

Выбранная нами последовательность изучения операций во множестве целых выражений обеспечивает постепенность и целенаправленность в работе по усвоению различных видов тождественных преобразований.

Вначале изучаются операции над одночленами. Традиционный порядок их изучения изменен. На первом плане выступают умножение и деление одночленов, на втором — сложение и вычитание. Такой порядок обусловлен, во-первых, тем, что умножение одночленов — единственная всегда выполнимая операция во множестве одночленов. Во-вторых, процесс умножения одночленов включает в себя тождественные преобразования — приведение одночленов к простейшему (каноническому) виду. Этим создаются условия для усвоения понятия одночленов и его простейшего вида непосредственно в ходе выполнения умножения.

Затем изучаются операции над многочленами. (Главным образом берутся многочлены одного переменного).

В работе по изучению сложения многочленов одного переменного принципиальное значение имеют вопросы:

1. Выяснение сущности операции сложения многочленов.

2. Установление выполнимости сложения и вычитания во множестве многочленов.

3. Введение понятия многочлена, противоположного данному. Установление свойства: А+(—А)—0, где А и —А — противоположные многочлены.

4. Установление свойства: А-|—0=А.

5. Проверка справедливости ассоциативного и коммутативного законов сложения во множестве многочленов.

6. Применение ассоциативного закона для сложения трех и большего числа многочленов.

При одновременном введении сложения и вычитания многочленов создаются условия для сравнения тождественных преобразований в ходе выполнения указанных операций. Экспериментально установлено, что сравнения такого рода способствуют снижению числа ошибок учащихся в знаках при раскрытии скобок.

Для конкретизации общих положений, с одной стороны, и для получения индуктивным путем выводов и обобщений, с другой стороны, используются числовые подстановки

В упражнениях обзорного характера предусматривается, например, сопоставление свойств сложения во множестве многочленов с соответствующими свойствами сложения во множестве рациональных чисел. Проводится работа по построению схем соотношений между множествами одночленов, многочленов, целых выражений.

Все основные положения диссертации проверены экспериментально. Сам автор вел трехлетнее экспериментальное обучение (школа № 16 г. Кирова). В 1958—1961 годах под руководством автора экспериментальную работу проводила А. П. Криницина (школа № 35). В 1959—1963 годах в проверке разработанной методики принимали активное участие А, В. Соколова, О. А. Симонова (школа № 16), Л. С. Савиных (школа № 35),

Большая продолжительность экспериментального исследования (1956-1963 годы) позволила внести изменения в разработанную методику и вновь проверить ее отдельные положения.

Экспериментальная проверка показала доступность и перспективность применения разработанной методики.

Созданная автором методическая система работы по формированию у учащихся понятий начальной алгебры может быть успешно использована как база для изучения в курсе алгебры старших классов некоторых алгебраических структур.

Содержание и выводы диссертации были отражены в докладах на XV, XVI, XVIII, XX и XXI конференциях математических кафедр педвузов зоны Урала, на V и VII конференциях математических кафедр педвузов Поволжья. По теме диссертации читались доклады и лекции для учителей школ г. Кирова и Кировской области, для студентов Кировского педагогического института.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих статьях:

1. Основные понятия начальной алгебры в учебниках русской школы II половины XIX века. Ученые записки Кировского государственного педагогического института, вып. 15, 1958.

2. Методика введения понятий коэффициента и степени в VI классе. Вопросы преподавания физики и математики в средней школе. Методический сборник. Киров, 1959.

3. Основы методики формирования начальных алгебраических понятий у учащихся VI класса. Вопросы преподавания математики в средней школе. Учпедгиз, М., 1960.

4. Некоторые вопросы методики изучения алгебры в VI классе. Вопросы обучения математике в школе , Киров, 1962.

5. Изучение понятий коэффициента и степени в VI классе. Там же.

6. О некоторых вопросах методики начальной алгебры. «Математика в школе», 1963, № 4. (Совместно с Ф. Ф. Нагибиным).

ФЕ 06587 Слободская типография областного управления по печати. Заказ 4253, 205. Тираж 200. 21 сентября 1966 года.