МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

П. Г. Казаков.

МЕТОД ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ НАГЛЯДНОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР И РЕШЕНИЯ КОНСТРУКТИВНЫХ ЗАДАЧ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Москва—1962

Официальные оппоненты:

1) Доктор физико-математических наук проф.

И. С. БРОВИКОВ

2) Кандидат педагогических наук, доцент М. И. КОЧЕНОВСКИЙ

-Защита состоится---- 1962 г.

в Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской, ул. Радио, 10-а,

Автореферат разослан

в .......... 1962 г.

Ученый секретарь.

ВВЕДЕНИЕ

Главной задачей советской школы является воспитание учащихся в духе коммунистического мировозрения, умеющих применить полученные знания на практике.

Директивы XXI съезда КПСС и Постановление Совета Министров СССР (1959 г.) «Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» указывают на перестройку системы народного образования, в направлении усиления связи школьного образования с практикой коммунистического строительства, на привитие практических навыков, на связь изучаемой теории предмета с практическими вопросами жизни.

Эти решения являются поворотным пунктом в методике преподавания математики в средней школе, и в частности, геометрии. Эти решения предполагают с одной стороны глубокое овладение основами современного производства, тесную связь преподавания основ геометрии с производственной практикой, а с другой стороны коренное изменение методики преподавания геометрии в средней школе.

Одним из средств, облегчающих достижение этой цели в курсе геометрии, является метод параллельных проекций и его применение для изображения пространственных геометрических фигур и решения конструктивных задач.

Применение метода параллельных проекций в вопросах, изучаемых стереометрией, является одним из важнейших факторов, обеспечивающих повышение теоретического уровня в преподавании геометрии и понимания многочисленных примеров ее применения в разных отраслях знаний и практической деятельности.

Геометрия изучает свойства пространственных фигур, их формы и взаимное расположение. Постановка этих вопросов, анализ взаимного расположения геометрических фигур, их движение в пространстве освещаются методом параллельных проекций.

Первые уроки стереометрии связаны с большими методическими трудностями. Переход от плоских двухмерных образов к пространственным трехмерным, требует особо напряженной работы воображения учащихся, так как приступая к изучению стереометрии они не умеют строить чертежи пространственных фигур, воспринимая их на моделировании. Поэтому программы средней школы для 9-х классов и предусматривают изучение темы «Свойства параллельной проекции» вместе с изучением стереометрии.

Тема «Свойства параллельной проекции» является фундаментальной основой для развития метода параллельных проекций при изучении курса стереометрии в 9-х и 10-х классах средней школы.

Излагая учащимся свойства параллельных проекций и на их основе развертывая метод параллельных проекций при изображении изучаемых геометрических фигур и при решении конструктивных задач эффективным способом на чертеже, мы тем самым развиваем пространственное представление и воображение. Этот метод обучения является наилучшим не только для понимания вопросов стереометрии, но и для дальнейшего практического применения изучаемой теории, в частности, в применении полученных знаний в чертежно-конструкторской практике, в умении читать готовые чертежи деталей и агрегатов. Метод параллельных проекций позволяет придать процессу анализа и установлению зависимости между отдельными геометрическими величинами конкретно наглядную форму. Поэтому метод параллельных проекций получает свое полное развитие при изучении форм геометрических фигур и их взаимного расположения, при изучении вопросов измерения геометрических величин, при установленнии взаимосвязи между искомыми геометрическими величинами и известными данными.

Значительная часть вопросов стереометрии рассматривается с наглядной стороны. Руководствуясь непосредственным созерцанием чертежа, уясняются многие геометрические факты и постановка вопросов, уясняются методы исследований и доказательств. Поэтому метод параллельных проекций, выступая как способ мышления, пронизывает собою весь курс стереометрии.

Отдельные формулы, доказательства теорем рано или поздно забываются, но то, что дает метод параллельных проекций, остается на всю жизнь, как метод анализа пространственных форм и их взаимого расположения в пространстве.

Вопросы о свойствах параллельных проекций вошли в про-

граммы средних школ с 1958—59 учебного года. Поэтому эти вопросы еще не успели занять своего места в стабильном учебнике по стереометрии, в стабильном задачнике, которыми пользуются учащиеся в настоящее время (1962 г).

Известно, что одной из наиболее распространенных форм проявления активности учащихся является выполнение ими упражнений. Развитие метода параллельных проекций дает неисчерпаемый материал в виде конструктивных задач для самостоятельной работы учащихся.

Исследовательские работы по вопросам развития логического мышления, развития пространственного представления и воображения постоянно увязываются с задачами на построение на проекционном чертеже. Укажем некоторые из них. Н. Ф. Четверухин «Опыт исследования пространственных представлений» («Известия» АПП, 1942, в. 21), диссертационная работа А. А. Столяра «Опыт исследования пространственных представлений учащихся на уроках геометрии», (1950 г), в которой весьма большое место уделено решению конструктивных задач на проекционном чертеже. Статьи Г. А. Назаревского в журнале «М-Ш» (1951 г., № 5, 1953 г., № 3) «О развитии пространственных представлений на уроках геометрии» и др.

Воспитательная, общеобразовательная и политехническая ценность рассматриваемой темы общепризнана. Об этом говорят многочисленные работы нашей методической общественности. Эта истина доказана во многих исследовательских работах, в диссертациях Н. П. Ирошникова, А. Д. Семушина, В. Е. Назаретского и др.

Да и это не все. Сам характер темы дает не только достаточные знания и умение в построении чертежей, в решении конструктивных задач, он дает широкую перспективу в понимании методов, применяемых при изучении начертательной геометрии, аналитической геометрии и других дисциплин в высшем учебном заведении.

Проблема геометрических построений в курсе стереометрии по многим вопросам достаточно полно освещена в существующей учебно-методической литературе. Вместе с тем имеются вопросы проблемного характера, которые недостаточно разработаны.

Как известно, геометрические построения методом параллельных проекций основываются на законах паралалельных проекций.

Однако, в существующей научно-методической литературе имеются такие вопросы, теоретическое решение которых операется не на теорию параллельных проекций, а на другую теорию, например, теорию афинных преобразований. Сложилось парадоксальное положение: теория, которая создала метод построений, не может обосновать все этапы построений, проводимые этим методом. Например, теорема существования тетраэдра для изображенного на чертеже полного четырехугольника (теорема Полька-Шварца) имеет обоснование (в методической литературе), построенное на теории афинных преобразований. Этот изъян в теории параллельных проекций лишает возможности полного обоснования чертежа в школе.

В существующей учебно-методической литературе не разработаны и многие вопросы геометрических построений в доступной и хорошо воспринимаемой форме. Например, вопросы позиционной полноты чертежа, вопросы построения изображений тел вращения: цилиндра, конуса, шара и т. д.

Всеми признается, что чем раньше ввести в курс стереометрии изучение темы «Свойства параллельной проекции», тем лучше.

Однако методическая литература и программы рекомендуют их вводить после изучения вопросов параллельности прямых и плоскостей.

Эти рекомендации нельзя признать абсолютно совершенными, так как, следуя им, приходится пользоваться необоснованными чертежами при изучении пяти теорем о параллельности прямых и плоскостей и решении соответствующих им задач.

Исследования показали, что главным препятствием более раннего введения свойств параллельных проекций является второе свойство, которое обосновывается в методической литературе, способом, опирающимся на свойства параллельных прямых и плоскостей.

Поэтому, чтобы перенести изучение темы «Свойства параллельных проекций» на самое начало изучения курса стереометрии, нужно найти обоснование второго свойства параллельных проекций, построенное на знании учащимися вопросов планиметрии и основных понятий в стереометрии.

Совершенно не разработана теория фронтальной плоскости для косоугольных параллельных проекций; на практике это приводит к тому, что за фронтальную плоскость ошибочно принимается та плоскость, которая не является фронтальной.

В существующих методиках дается изображение окружности

преимущественно в ортогональной проекции и не иследован вопрос косоугольных проекций окружности.

В методиках изложены вопросы решения той или иной задачи и не разработана методика решения конструктивных задач, обобщенными методами, не разработана методика применения логической схемы: анализ, построение, синтез и исследование. Не выяснены метрические свойства параллельных проекций с целью их применения к решению конструктивных задач, содержащих метрические данные; не разработана последовательность конструктивных задач, расположенных по возрастающей степени трудности. Стремление заполнить существующий пробел в методической литературе обусловило выбор настоящей диссертации.

В диссертации нами также исследуются причины вызывающие трудности при изучении курса стереометрии в школе, исследуется литература, посвященная решению проблемы геометрических построений. На основании изученнной литературы и личного опыта работы в школе решаются поставленные вопросы.

Диссертация состоит из двух частей:

часть первая «Обоснование актуальности вопроса» состоит из двух глав.

1. Вводная глава. Эта глава имеет четыре параграфа, основное содержание которых изложено во введении настоящего реферата.

II глава. Состояние преподавания вопросов изображения пространственных фигур и решения конструктивных задач состоит из четырех параграфов.

1. Среди методических проблем долгое время оставалась нерешенной проблема построения изображений пространственных фигур, особенно проблема построения изображений пространственных фигур, по условиям геометрических задач.

Неумение построить чертеж к той или иной задаче или к геометрическому вопросу неизбежно приводит к затруднению в решении, к неверному решению задачи, к неверному ответу на поставленный вопрос.

Этого вида недостатки в знаниях учащихся давно стали волновать учителей и методическую общественность. Эти вопросы ставились и обсуждались еще на втором Всероссийском съезде преподавателей математики (1913—1914 г. г.).

В начальный период построения единой трудовой советской школы снова поднимается вопрос методистами А. Р. Кулишер, И. Л. Сиговым и др. о недостатках в знаниях учащихся, связанных с построениями геометрических фигур.

1935 г. на совещании преподавателей математики средних школ проф. П. С. Александров указывал: «Преподавание стереометриии в средней школе сплошь и рядом ограничивается одним бесконечным вычислением поверхностей объемов, готовым применением формул».1.

Недостатки в знаниях учащихся в области геометрических построений подчеркивались в работах:2 Е. Краевского, Г. А. Владимирского, И. С. Бернштейна, проф. Н. Ф. Четверухина и многих других.

Анализ недостатков в знаниях учащихся, который проводили диссертанты Н. А. Дроздова, Н. П. Ирошников и многие другие, показывает, что основная трудность в изучении стереометрии есть трудность построения чертежей и решения конструктивных задач.

Недостатки в знаниях учащихся, связанные с построением чертежей, широко обсуждались на страницах методического журнала «Математика в школе» в связи с анализом ошибок в письменных работах учащихся на аттестат зрелости.

2. Собственные исследования и наблюдения за возникающими трудностями при изучении стереометрии показали, что учащиеся

а) не умеют построить правильный чертеж, соответствующий условиям теоремы или задачи;

б) не могут выделить на чертеже данные и искомые величины;

в) при решении задач допускают грубые ошибки из-за неверно построенного чертежа.

В диссертации рассмотрено двенадцать задач с указанием ошибок, приведших к неверному решению;

Приведены результаты контрольных работ, составленных из этих задач и проводимых в разных классах и в разные годы обучения.

3. Причины, порождающие недочеты в знаниях учащихся, кроются в общей постановке преподавания основ стереометрии, зависящей от программы, учебника, задачника и руководящих методических пособий.

1) Материалы совещания преподавателей математики 1935 г. стр. 5. 2) В журнале «Математика в школе».

Тема «Свойства параллельных проекций» введена в программу только с 1958—59 уч. года.

Такое позднее появление в программе вопросов параллельных проекций оказало свое влияние и на остальные виды методической литературы.

Содержание стабильного сборника задач (Н. Рыбкина, ч. II) не ставит вопросы решения конструктиных задач эффективными построениями, а вычислительные задачи слабо освещают и обобщают геометрические факты темы: «Взаимное положение прямых и плоскостей».

В стабильном учебнике геометрии (ч. II) А. П. Киселева не рассматриваются вопросы параллельных проекций, вопросы построения изображений и решения конструктивных задач эффективным способом.

В настоящее время в распоряжении учителя имеются две книги по методике преподаваия математики в средней школе.

Первая книга, вышедшая в 1947 году Н. М. Бескина «Методика геометрии», и вторая книга В. М. Брадиса «Методика преподавания математики в средней школе» (1949 г.).

Обе указанные книги не рассматривают методические вопросы построения геометрических фигур и решения конструктивных задач; в них имеются лишь некоторые общие указания по этим вопросам.

4. Что сделано в учебно-методической литературе по вопросам изображения пространственных фигур и решению конструктивных задач, показывает проведенный анализ всей существующей литературы по вопросам геометрических построений:

а) в более ранний период (вторая половина 19 века и начало 20-го века) методика построения изображений в курсе стереометрии характеризовалась тем, что она находилась в плену методов начертательной геометрии и механически применяла эти метода при изучении стереометрии. Об этом говорит работа П. А. Маркова «Геометрическое рисование или решение геометрических задач черчением» Спб. 1874 и др.

На втором Всероссийском съезде преподавателей математики обсуждался вопрос о геометрических построениях с постановкой доклада М. Воскресенского «О развитии представлений и соотношениях в пространстве»- В докладе был изложен опыт применения как ортогональной, так и аксонометрических проекций в курсе стереометриии. Таким образом и здесь мы имеем постановку вопросов начертательной геометрии.

б) в 1918 году Советская трудовая школа ввела в програм-

му геометрии вопрос «Элементы проекционной геометрии и технического черчения».

Программы, учебники и методические пособия периода 1918—1936 г г. показывают, что вопросы построения чертежей геометрических фигур в стереометрии решались также с позиций аксонометрических проекций, в частности ортогональной или кабинетной проекций.

Опыт советской школы показал, что изучение указанных программных вопросов не решает проблему преодоления трудностей в коструктивных вопросах стереометрии, а поэтому в 1936 году эти вопросы были изъяты из программ средних школ. Таким образом, применение метода параллельных проекций в виде аксонометрических проекций не дало ожидаемого эффекта. Начались дальнейшие искания путей в решении проблемы построений.

С другой стороны общеизвестно, что все учебники геометрии, включая и «Начала» Эвклида, имеют чертежи геометрических тел, выполненные в так называемой произвольной проекции. Свыше двух тысяч лет человечество пользуется этим видом проекций. Производственная практика требовала в первую очередь, построения таких чертежей, по которым можно было бы восстановить оригинал со всеми его метрическими характеристиками. Обслуживая практические вопросы, метод параллельных проекций получил свое развитие в виде аксонометрических проекций. В этой форме применения метода параллельных проекций четко разработаны принципы изображения пространственных фигур. Механическое перенесение этих принципов в стереометрию не дало ожидаемых результатов из-за того, что они не отвечали основному педагогическому требованию —простоте изображения.

Произвольные параллельные проекции, не удовлетворяющие техническим требованиям изображения деталей, оставались слабо разработанными и применялись большей частью подсознательно, лишь с соблюдением основных свойств параллельных проекций; не было четко сформулированных принципов построения изображений этим методом.

После 1936 года были предприняты новые попытки решения проблемы построения чертежей методистами Г. А. Владимирским и М. Л. Франком.

Они ввели обоснование чертежа в произвольной проекции, опираясь на свойства параллельных проекций и дальше этого не пошли. При построении изображений геометрических фигур,

стали применять один из самых простых видов аксонометрических проекций, кабинетную проекцию.

Кабинетная проекция явилась последним звеном, за которое держались сторонники аксонометрических проекций.

В первый послевоенный год (1946 г.) начался окончательный штурм неразрешенной проблемы чертежа в курсе стереометрии. Ведущую роль в решении проблемы занимает проф. Н. Ф. Четверухин. Он дает полное обоснование произвольной параллельной проекции и показывает ее преимущества в педагогическом процессе.

За 1946—1948 гг. вышло в свет восемь его работ, определивших направление в решении проблемы геометрических построений. Метод параллельных проекций в форме произвольного параллельного проектирования стал плодотворно развиваться.

После работ Н. Ф. Четверухина начался обильный поток методической литературы по вопросам геометрических построений.

Вопросам геометрических построений стали уделять внимание почти все работы, посвященные начальному периоду изучения стереометрии в 9-м классе средней школы. В диссертации дается подробный критический анализ всей последующей литературы.

Часть вторая. Предлагаемая системы решения вопросов диссертации состоит из четырех глав.

I глава. Решение вопрсов теоретического обоснования построений в пространстве методом параллельных проекций. Начинается с изложения методики введения понятия параллельных проекций и их основных свойств.

1. Обоснование свойств параллельных проекций проводится на основе того запаса знаний учащихся, которые они имеют, изучив в стереометрии основные понятия: точка, прямая плоскость; понятие параллельных, пересекающихся прямых и плоскостей; понятие скрещивающихся прямых.

Приведем схему доказательства второго свойства: параллельные прямые имеют параллельные проекции.

Методом от противного допустим, что проекции параллельных прямых пересекаются; через точку пересечения проведем проектирующую прямую, которая пересечет плоскость, определяемую параллельными прямыми. На основании того, что все проектирующие прямые лежат в проектирующей плоскости, следует, что параллельные прямые пересекаются. Это и доказывает данное свойство.

2. Для построения более наглядных изображений в начальный период изучения стереометрии вводится принцип двойного проектирования, согласно которому чертеж содержит внутреннее проектирование на основную плоскость и внешнее проектирование ка плоскость чертежа. Этот принцип является методическим приемом изложения практических вопросов построения изображений. Одновременно он является хорошим принципом мышления при изучении вопросов взаимного положения прямых и плоскостей в пространстве, изображенных на чертеже.

На понятии внутреннего проектирования базируется определение понятия «заданные элементы» (точки, прямые и т. д.) на чертеже.

Кроме того, принцип двойного проектирования естественным путем подводит учащихся к понятию позиционной полноты чертежа: чертеж называется полным, если на нем определена внутренняя проекция всех элементов оригинала на основную плоскость.

Методика изложения понятие полноты чертежа приобретает большую доходчивость, а сам излагаемый вопрос приобретает органическую связь с теорией параллельных проекций, он является следствием, вытекающим из этой теории.

На примере доказательства полноты изображения пирамиды показан способ доказательства полноты изображения многогранников, изучаемых в школе.

Приводится шесть конструктивных задач, демонстрирующих использование полного чертежа при решении их эффективными построениями, например, построить прямую, пересекающую две скрещивающиеся прямые а и / и параллельную третей прямой d.

Дано указание номеров задач на вычисление из стабильного сборника задач Н. Рыбкина, при решении которых целесообразно применение полного чертежа.

3. Тема «Взаимное положение прямых и плоскостей» требует не только построения чертежей, сопровождающих рассуждения при доказательстве теорем, но и многочисленных упражнений в решении конструктивных задач. Конструктивные задачи легче всего создаются и решаются с большим интересом, если взаимное положение прямых и плоскостей рассматриваются в комбинации с многогранниками. Изложению системы этих задач посвящена II-я глава диссертации, а в рассматриваемой 1-й главе дана методик построения изображений многогранников. Тема «Многогранники» изучается в X классе средней школы, одно изучение общих свойств многогранников и построение

их изображений в 9 классе оправдывается методикой изложения темы взаимного положения прямых и плоскостей. Учащиеся на конкретном материале, моделей многогранников, лучше усваивают вопросы стереометрии.

С другой стороны, ознакомление учащихся с различными видами многогранников, построение их изображений и т. д. является пропедевтическим курсом для изучения темы «Поверхности и объемы многогранников». Поэтому в диссертации рассматривается для 9-го класса методика введения общего понятия простого многогранника и его изображения на чертеже.

Дается определение грани, ребра, вершины, основания, высоты и т. д.

Изображение многогранников, относящихся к классу призм, рекомендуется начинать с изображения куба, показывая при этом модель проектирования куба на плоскость. Исследуются различные положения куба, направление проектирующих лучей и т. д. После этого переходят к изображению параллелепипедов, призм пирамид.

В результате построения изображений многогранников перед учащимися возникает вопрос: является ли построенное изображение многогранника одной из проекций оригинала. Этот вопрос особенн ярко возникает перед учащимися 10 классов, когда они строят по условиям задачи изображение многогранника, имеющего размеры сторон, высот, углов и т. д., т. с. содержащего метрические данные.

На этот вопрос дает ответ теорема существования для тетраэдра (теорема Полька-Шварца).

Найденный способ доказательства этой теоремы доступен для понимания учащимися X классов средней школы. Теорема доказывается на основании предварительно доказанной леммы: в любой треугольной призме существует сечение в виде треугольника какой угодно наперед заданной формы.

Доказательство этой леммы сводится к доказательству более простого предложения о том, что в любую треугольную призму можно поместить заданный треугольник так, чтобы его вершина лежала на ребре призмы, а противоположная сторона была параллельна ее грани при условии, что две другие стороны лежат на гранях призмы.

Свойства фронтальной плоскости широко используются при решении многих конструктивных задач курса стереометрии. Они также используются в чертежно-конструкторской практике. Поэтому в диссертации дается полное исследование понятия фронтальной плоскости при ортогональных и косоугольных па-

раллельных проекциях; дается определение и исследуются свойства фронтальной плоскости.

Приводятся необходимые (но не достаточные) признаки фронтальной плоскости. На конкретных примерах показывается, как пользоваться этими необходимыми признаками фронтальной плоскости.

Таким образом, косоугольные параллельные проекции, которыми мы постоянно пользуемся в школе, получили новый объект—фронтальную плоскость.

Теория фронтальной плоскости расширили свойства параллельных проекций. При сводном выборе положения оригинала положение фронтальной плоскости относительно избраженной фигуры на чертеже может быть выбрано так, что дальнейшие построения на таком чертеже значительно упрощаются. Примеры использования фронтальной плоскости в геометрических построениях изложены в III главе (часть II).

В научно-методической литературе существует положение о том, что высота конуса и цилиндра может быть проведена на изображении этих тел в любом направлении, но в целях наглядности она строится вертикально.

Проведенное исследование ортогональных и косоугольных проектий окружности и полученные результаты этих исследований показывают, что это не совсем так.

При изображении прямого кургового конуса, усеченного конуса и цилиндра пользуются не только ортогональной, но и косоугольной проекцией.

Так как один и тот же эллипс может быть принят за ортогональную или за косоугольную проекцию окружности, то поэтому изображение оснований цилиндра и конуса в той или другой проекциях ничем не отличаютя друг от друга и имеют форму эллипса.

Нужно, чтобы и изображение всего круглого тела соответствовало одновременно косоугольной и ортогональной проекциям. Поэтому, чтобы получить такое изображение, нужно высоту провести из центра основания не в любом направлении, а перпендикулярно большой или малой оси эллипса, изображающего основание тела. Так, построенная высота тела изображает перпендикуляр к плоскости окружности в ортогональной и косоугольной проекциях. При ином направлении высоты это соответствие нарушается.

Результаты исследования показывают и то, что контурные образующие конуса могут проходить через диаметрально противоположные точки эллипса, изображающего основание.

Исследования изображения шара образовали собой методическую обработку известного материала о метрической полноте и полюсах изображения шара. Ракомендации по этим вопросам неоднократно проверялись в школьной практике и давали положительные результаты.

II глава. Вопросы применения метода параллельных проекций в геометрических построениях содержит в основном конструктивные задачи и методы их решения в последовательности, расположенной по возрастающей степени трудности.

Сначала рассматриваются задачи на определение точки встречи прямой и плоскости. Затем излагается последовательность задач на определение сечений многогранников. Закономерность в этой последовательности легко уловить по оглавлению параграфов. Поэтому мы приведем их.

§ 2. Построение сечений многогранников плоскостью, заданной следом и точкой, принадлежащей многограннику.

§ 3. Построение сечений плоскостью, проходящей через сторону основания многогранника и заданную точку.

§ 4. Построение сечений многогранников плоскостью, заданной следом, пересекающим стороны основания многогранника, и точкой.

§ 5. Построение сечений по трем данным точкам методом построения следа секущей плоскости.

Из заголовка последнего параграфа видно, что построение в нем сечений проводится сведением задачи к построению следа.

В заключение этого параграфа дается обобщение: всегда можно найти точку пересечения плоскости ABC с произвольной проектирующей Р\Р, если построить след плоскости ABC на основной плоскости Р. При этом рассматривается параллельное и центральное проектирование.

В этой главе показан принцип составления различных конструктивных задач, доступный не только для преподавателя математики но и для учащихся. Приведенные задачи в подавляющем своем большинстве не заимствованы из существующих сборников задач и отличаются от них тем, что без предварительного проведения анализа их условий решение невозможно. Большинство из этих задач имеют не одно, а множество решений; часто это множество определяется точками, которые заполняют определенный отрезок. Поэтому проведение исследований является необходимым этапом в решении задачи для того, чтобы указать множество допустимых решений, удовлетво-

ряющих условиям задачи, и особые случаи, которые при этом могут представиться.

В конце главы рассмотрен и второй метод построения сечений многогранников, заимствованный в работах Н. Ф. Четверухина: «Построение сечений методом внутренних проекций». Приведены примеры решения задач этим методом. В главе дано применение различных способов в решении некоторых задач с целью показать наиболее рациональные способы. Показано образовательное и воспитательное значение рассматриваемых типов задач.

III глава. Метрические свойства параллельных проекций и их применение при решении конструктивных задач метрического содержания имеет методику решения задач, содержащих метрические данные: величину заданного угла, образуемого прямыми и плоскостями между собой.

Метрические данные слабо отражены в свойствах параллельных проекций, в так называемых инвариантах параллельных проекций.

Среди инвариантов параллельных проекций мы имеем следующие инварианты метрического характера:

а) параллельные прямые проектируются в параллельные;

б) отношение отрезков на одной прямой или на параллельных прямых при параллельном проектировании остается неизменным:

в) отрезок, параллельный картинной плоскости, проектируется на нее без искажения;

г) во фронтальной плоскости построения плоских геометрических фигур проводятся по законам планиметрии без искажения.

Реализация всех этих свойств параллельных проекций в практике решения конструктивных задач и составляет основное содержание настоящей главы.

§ I. Построение прямой, параллельной заданной прямой или плоскости.

§ 2. Построение прямой, перпендикулярной прямой или плоскости.

§ 3. Метрические задачи.

§ 4. Построение сечений, параллельных заданной плоскости или прямой.

§ 5. Построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей.

В учебно-методической литературе разработана методика решения главным образом метрических задач, содержащих вопросы перпендикулярности прямых и плоскостей.

Как показывает приведенное содержание главы, в ней развита методика решения метрических задач, содержащих не только вопросы перпедикулярности, но и вопросы параллельности прямых и плоскостей, вопросы построения прямых и плоскостей под заданным углом друг к другу.

Содержание главы расширяет понятие метрических задач, существующее в учебно-методической литературе, а именно: методическая литература рассматривает метрические задачи, условия которых содержат «заданный чертеж», тогда как в данной главе приводится методика решения и таких метрических задач, в условиях которых не входит «заданный чертеж».

При решении этого вида задач можно пользоваться свободой выбора чертежа и широко использовать свойства фронтальной плоскости для проведения в ней метрических построений.

Приведенные задачи в главе и их последовательность являются одним из примеров, показывающим, с чего можно начать решение конструктивных задач метрического содержания, постоянно повышая степень их трудности при обучении учащихся.

На примерах решения конструктивных задач, содержащих метрические данные, показана методика применения логической схемы: анализ, построение, синтез, исследование.

В главе содержатся и указания к составлению метрических задач.

Итак, в рассмотренных трех главах решены следующие основные .вопросы:

I. Вопросы теоретического обоснования метода параллельных проекций:

1. Обосновано второе свойство параллельных проекций без привлечения свойств параллельных плоскостей.

2. Найдено обоснование теоремы существования для тетраэдра (теорема Полька-Шварца) без привлечения теории афинных преобразований.

3. Изложен принцип двойного проектирования в построении чертежей и на его основе дано определение позиционной полноты чертежа и доказательство полноты изображения многогранников.

4. Изложена теория фронтальной плоскости для косоугольных параллельных проекций.

5. Проведено исследование косоугольных проекций окружности и дано применение полученных результатов для обоснования изображения тел вращения: цилиндра, конуса и усеченного конуса.

6. Изложена методика построения полюсов на изображении шара и метрической полноты этого изображения.

II. Вопросы применения метода параллельных проекций в геометрических построениях:

1. Изложены обобщенные методы решения конструктивных задач.

2. На примерах решения конструктивных задач дана методика применения логической схемы: анализ, построение, синтез и исследование.

3. Разработана последовательность конструктивных задач, расположенных по возрастающей степени трудности.

4. Изложены метрические свойства параллельных проекций и методика их применения при решении конструктивных задач метрического содержания.

IV глава. Экспериментальная проверка результатов диссертации.

Перед экспериментальной проверкой ставилась задача выяснить:

1. Доступность пониманию учащихся полученных результатов диссертации.

2. Эффективность применения в методике преподавания стереометрии этих результатов.

Основной формой проводимых исследований являлся урок.

Для сравнения результатов велись параллельные классы, в одном из которых излагалась предлагаемая системы геометрических вопросов, а в другом обычная традиционная системы вопросов.

Для проведения исследования был разработан план изложения результатов диссертации, содержание которого дано в этой главе.

Собственные исследования проводились в течение ряда лет работы в школе с 1948 по 1953 год. В диссертации подробно излагается система собственных исследований и результаты этих исследований, показывающие несомненные преимущества перед традиционной системой изложения вопросов стереометрии.

С 1958 года многие вопросы результатов диссертации переросли из эксперимента в практическую деятельность учите-

ля. Например, методика изложения свойства параллельных проекций, методика решения конструктивных задач, изложенных во 11-й главе и пр.

Этому способствовало введение в программы средних школ по математике темы «Свойства параллельной проекции».

В этих новых условиях, в 1960—61 уч. годах эксперименты проводили учителя.

1. Г. И. Рагозин, преподаватель математики Ашукинской средней школы, Московской области.

2. В. Ф. Дементьев, учитель математики школы рабочей молодежи № 175 (г. Москва).

В ходе проведения эксперимента учителя пользовались печатными работами автора по вопросам диссертации (книгой и статьей). План проведения эксперимента изложен в этой главе и был выдан учителям экспериментаторам.

За ходом эксперимента автор вел систематическое наблюдение, выяснял затруднения и разрабатывал совместно с экспериментаторами пути преодоления этих затруднений.

В проверке проводимых контрольных работ, в анализе ошибок допускаемых учащимися, принимал участие сам автор. В диссертации дается подробное изложение проводимых экспериментов каждым учителем.

Критерием эффективности применения разработанных вопросов в диссертации служило повышение качества усвоения учащимися курса стереометрии. Оно определялось путем анализа устных ответов и письменных работ учащихся.

Итоги успеваемости, экзаменационные оценки, обстоятельное изложение учащимися на экзаменах вопросов стереометрии с хорошим пониманием их геометрической сущности всегда свидетельствовали о преимуществах предлагаемой методики. Все излагаемые вопросы доступны пониманию учащихся, а потенциальная сила этих вопросов оказывает большое влияние на повышение уровня математической подготовки и политехнического развития учащихся средних школ.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Конструктивные задачи на построение, как один из способов преодоления трудностей при изучении стереометрии в 9-м классе (Сборник статей, по вопросам преподавания геометрии в средней школе, Учпедгиз, 1958 г.).

2. Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач (Учпедгиз, 1960 г.).

3. К вопросу изображения круглых тел (Сборник статей по вопросам преподавания математики в средней школе, Учпедгиз, 1961 г.).

Диссертация имеет 245 страниц машинописного текста, содержит 129 чертежей, которые помещены в тексте в виде фотокопий, и состоит из двух частей и библиографии.

Л. 86833 под. к печ. 17. 5. 62. Зак. 645. Тир. 200

Типография МАТИ, Ульяновская, 13.