МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР

АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

А. А. КАРТАШЯН

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ „ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ" В ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТАХ В СВЕТЕ ЗАДАЧ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель—доктор физико-математических наук профессор И. И. ИБРАГИМОВ

Баку — 1954

Решениями XIX съезда КПСС перед советской средней школой поставлены новые и чрезвычайно ответственные задачи.

«В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

В деле осуществления политехнического обучения учащейся молодежи существенную роль должна играть математика, ибо в преподавании самой математики можно дать многие политехнические умения и навыки. С другой стороны, успех политехнического обучения по некоторым другим предметам—физике, химии, географии и др.—существенным образом зависит от математической подготовки учащихся средней школы.

Одним из основных путей осуществления политехнического обучения в преподавании математики является повышение вычислительной культуры выпускников средней школы. Однако изучение научно-педагогической литературы, изданной за последние двадцать лет, и наши личные наблюдения показывают, что в математической подготовке учащихся и преподавателей математики средней школы наряду с другими недостатками всегда наблюдается недостаточно высокая вычислительная культура, т. е. недостаточно прочные знания и навыки приемов устного счета, рациональных приемов письменных вычислений, неглубокое знание значения и использования математических таблиц для рационализации разнообразных вычислений, неумение работать на канцелярских счетах и т. д.

Помимо того, в настоящее время все более настойчивым становится требование о необходимости изучения в средней школе логарифмической линейки, арифмометра, элементов приближенных вычислений и номографии, имеющих огромное значение для политехнической подготовки учащихся.

Изучением причин, порождающих недостатки в вычислительной культуре учащихся и преподавателей математики средней школы, и разработкой мер по их устранению мы занимаемся с 1951 года.

Невысокий уровень вычислительной культуры учащихся и преподавателей математики средней школы является результатом ряда причин, из которых, по нашему мнению, основными являются следующие:

1) недостаточное отражение вопросов вычислительной культуры в программе математики средней школы;

2) наличие существенных недостатков с точки зрения вычислительной культуры в стабильных учебниках и задачниках по математике средней школы;

3) недостатки вузовской подготовки преподавателей математики по вопросам вычислительной культуры.

В нашей диссертационной работе мы поставили перед собой следующие задачи:

1. Дать краткий обзор двух первых причин недостаточно высокой вычислительной культуры учащихся и преподавателей математики средней школы.

2. Подробно проанализировать третью причину и указать меры к повышению вычислительной культуры преподавателей математики, т. е. дать один из возможных вариантов методики лекций и упражнений по «Теории и практике вычислений» на первом семестре педагогических институтов.

Теоретическая сторона вопросов теории и практики вычислений в основном разработаны советскими учеными, из которых особо следует отметить широко известного професссора В. М. Брадиса, который продолжительное время занимается но только разработкой, но и пропагандой этих вопросов. Эта пропаганда и послужила причиной изучения вопросов, затронутых в работе, ибо по части методики вузовского преподавания не сделано почти ничего.

Разрабатывая методику преподавания курса «Теории и практики вычислений» мы систематически на практике проверяли все основные положения, приводимые в работе.

Проверка производилась автором совместно с группой преподавателей кафедры методики математики АПИ им. В. И.

Ленина. Результаты экспериментов тщательно изучались, сравнивались с результатами других групп, где преподавание велось не по нашей методике, выявлялись неудовлетворительные стороны в вычислительной культуре студентов, вносились изменения и исправления в методику лекций и упражнений и т. д. Эта работа велась в течение двух лот.

После окончательного оформления методика проверялась автором и другими преподавателями кафедры методики математики азербайджанского и армянского секторов в разных учебных группах Азербайджанского Государственного педагогического института им. В. И. Ленина. Основные положения нашей работы в течение ряда лет проверялись и в Азербайджанском институте усовершенствования учителей, а также в Азербайджанском Государственном заочном педагогическом институте. Все эти эксперименты полностью подтвердили наши выводы и эффективность предложенной нами методики преподавания «Теории и практики вычислений».

Диссертация состоит из 8 глав.

Глава 1. Вычислительная культура преподавателей математики средней школы и ее значение в деле осуществления политехнического обучения.

В этой главе мы излагаем результаты наших исследований о состоянии вычислительной культуры выпускников и преподавателей математики средней школы.

Исследование этих вопросов мы вели по следующим направлениям.

1. Проверка вычислительной культуры студентов-первокурсников педагогического института и абитуриентов на вступительных экзаменах, имея в виду, что состояние вычислительной культуры выпускников средних школ отражает подготовленность самих преподавателей математики в этой области.

2. Многогранная проверка подготовленности преподавателей математики по интересующим нас вопросам на летних курсах при Азербайджанском институте усовершенствования учителей, где с этой целью были проведены специальные эксперименты.

3. Проверка подготовленности по этим вопросам студентов ряда групп Азербайджанского заочного педагогического института.

4. Продолжительные наблюдения за работой учителей математики ряда бакинских школ и неоднократное общение с учителями на различных методических совещаниях и объединениях.

Результаты этих исследований показали, что вычислительная культура выпускников и преподавателей математики средней школы отстает от современных требований.

Невысокий уровень вычислительной культуры учащихся средних школ сказывается весьма отрицательно на разрешении чрезвычайно важной задачи школы по подготовке учащихся к •практической деятельности.

Для подготовки учащихся к практической, деятельности важное значение имеет решение таких задач, которые показывают, как применять математику в практической деятельности людей. Однако таким задачам в школах уделяют недостаточно внимания.

Школьные математические вычислительные задачи по содержанию и числовым данным можно разделить на четыре основные группы задач:

1) с отвлеченным содержанием и точными данными;

2) с отвлеченным содержанием и приближенными данными;

3) с жизненным содержанием и условно точными данными;

4) с жизненным содержанием и приближенными данными. Не умаляя роли и значения задач трех первых групп, а в особенности первой, для получения систематических и глубоких знаний по математике необходимо подчеркнуть, что для политехнического обучения и подготовки учащихся к практический деятельности существенное значение имеет решение задач четвертой группы. Но именно подобные задачи на уроках математики решаются в недостаточном количестве. Основные причины этого ненормального положения, на наш взгляд, заключаются в следующем.

Во-первых, решение таких задач связано для учащихся со многими неопределенностями, зависящими от округления промежуточных и окончательных результатов, так как в средних школах не изучаются элементы приближенных вычислителей.

Во-вторых, при существующей вычислительной культуре учащихся на решение таких задач уходит сравнительно много времени, в течение которого можно решить больше задач других типов, в частности первого типа.

В-третьих, на весенних экзаменах такие задачи Министерством просвещения никогда не предлагались, а, как известно, учителя преподавание предмета до некоторой степени согласуют и с экзаменационными требованиями.

Современная постановка вопроса политехнического обуче-

иия требует устранения причин, порождающих указанный недостаток в преподавании математики.

Глава II. Разбор программ, учебников и задачников по математике средней школы с точки зрения вычислительной культуры.

В этой главе мы показываем, что в невысокой вычислительной культуре учащихся средних школ повинны как программы, так и учебники и задачники по математике средней школы.

Недостатки программы состоят в следующем:

недостаточно развиваются вопросы устного счета и рациональных приемов письменных вычислений;

отсутствуют в программе русские счеты, логарифмическая линейка, элементы приближенных вычислений, арифмометр и элементарные графические способы вычислений.

Наиболее существенные недостатки учебников по математике по интересующим нас вопросам следующие:

в учебниках не изложены основные приемы устного счета;

не показываются рациональные приемы письменных вычислений и действий над приближенными числами;

почти ничего не говорится о вопросах точности вычислений.

Недостатки задачников:

малое количество примеров и задач для устных вычислений;

имеющиеся примеры и задачи для устных вычислений не охватывают доступные школьникам основные приемы устного счета;

мало задач с жизненным содержанием и с приближенными данными;

ответы многих задач даны без учета точности данных;

точность одних данных задачи значительно отличаются от других данных той же задачи;

ответы некоторых задач даны с нереальной точностью.

Для полного осуществления политехнического обучения в преподавании математики необходимо устранить указанные недостатки в программе, в учебниках и задачниках средней школы по математике.

Глава III. Общие вопросы методики преподавания «Теории и практики вычислений» в педагогических институтах.

В этой главе мы рассматриваем два вопроса:

1) программы по «Теории и практике вычислений»;

2) общие вопросы методики преподавания «Теории и практики вычислений» в педагогическом институте.

Дается краткий обзор вопросов вычислительной культуры в программах по специальному курсу элементарной математики, указываются недостатки существующей программы и предлагается видоизмененный вариант ее, отличающийся от действующего варианта в основном лишь последовательностью прохождения программного материала — на одно из первых мест выдвинуто изучение тем: логарифмическая линейка, обработка результатов измерения и важнейшие приближенные формулы. При этом мы руководствовались следующими соображениями/ Для приобретения достаточных навыков в работе на линейке необходимо много упражняться. В действующей программе изучение линейки отнесено на конец курса, что не позволяет выработать у студентов необходимые навыки в работе с линейкой.

В нашем варианте программы изучение логарифмической линейки начинается на первых занятиях. Поэтому становится возможным применение логарифмической линейки во всех вычислениях при изучении курса «Теории и практики вычислений», что помогает студентам приобрести соответствующий навык работы на линейке и рационализировать процессы вычислений.

То же самое можно сказать и о применении важнейших приближенных формул.

По сравнению с действующей программой, более раннее изучение темы «Обработка результатов измерений» вызывается тем, что с этими вопросами студентам первого курса физико-математического факультета приходится сталкиваться в первые же дни учебы в институте. Изучение этой темы в указанном нами месте, с одной стороны, дает возможность студентам обрабатывать результаты своих лабораторных измерений сознательно и обоснованно, а, с другой стороны, эти данные используются в качестве материала для решения задач по «Теории и практике вычислений». Решение задач, данные которых получены студентами при непосредственном измерении, выгодно отличаются от решения задач с готовыми данными, имеющихся в пособиях по данному предмету.

Далее нами излагаются те основные положения, на которых, по нашему мнению, должна строиться методика преподавания «Теории и практики вычислений» на первом семестре физико-математического факультета педагогических институтов.

Методика изложений каждого предмета на каждом курсе педагогического вуза должна исходить из особенностей этого

предмета и из той цели, которая ставится преподаванием его.

Раздел специального курса элементарной математики «Теория и практика вычислений», на наш взгляд, характеризуется следующими особенностями.

1. Материал в основном не труден для усвоения, т. е. требуется сильного напряжения мышления студентов для понимания основных положений этого курса.

2. Для создания прочных навыков по многим темам этого курса необходимы сравнительно длительное время и многократные упражнения, в особенности когда речь идет о применении логарифмической линейки, приемов устного счета, приближенных формул, математических таблиц и правил подсчета цифр.

3. Всякую изученную тему этого курса можно без отлагательства широко применять при изучении последующих тем и некоторых других математических и физических предметов (сказанное мы конкретизируем в нашей работе).

4. Сообщается сравнительно много фактов без их строгого доказательства. Например, проверка арифметических действий с помощью 9 и 11; сокращенные способы умножения и деления; правила подсчета цифр; условия допустимости обратной линейной интерполяции при использовании математических таблиц и т. д., что усиливает практическую сторону этого курса.

5. Отсутствует учебник по этому предмету для первого семестра физико-математических факультетов педагогических институтов, а на азербайджанском и армянском языках вовсе нет литературы.

При разработке методики преподавания этого курса мы руководствовались принципами (сознательность, наглядность, систематичность, доступность и прочность), выработанными советской педагогикой, на которых строится обучение любому предмету, изучаемому в школе, ибо они целиком относятся и к преподаванию нашего курса. Вместе с тем, учитывая цели преподавания (о чем сказано в программе) и особенности курса, мы в нашей работе исходили из следующих основных положений:

1) самостоятельная работа студентов первого семестра над усвоением данного курса;

2) практическое применение приобретенных навыков для рационализации вычислительных работ по другим предметам, изучаемым в институте;

3) применение приобретенных навыков для решения задач m школьных задачников;

4) оформление студенческих тетрадей образцами аккуратно записанных, целесообразно и максимально экономно расположенных и рационально выполненных вычислений.

Приучение студентов к самостоятельной работе достигается следующими двумя основными путями:

а) самостоятельной работой над книгой с целью углубленного усвоения материала лекции;

б) самостоятельной доработкой вопросов, поставленных з лекции.

Для достижения этого студенты систематически получают задания, причем эти задания постепенно увеличиваются как по объему, так и по степени сложности и трудности. Эти задания заключаются как в вопросах, требующих самостоятельной работы с книгой, так и в практической работе с логарифмической линейкой и другими вычислительными приборами, а также в элементарном выводе правил подсчета цифр.

При обдуманной и правильной организации этого рода самостоятельной работы студенты даже в национальных вузах, где первоначально значительное большинство не может пользоваться литературой на русском языке, привыкают к книгам и постепенно перестают удовлетворяться одними лишь источниками, указанными преподавателями на лекциях, изыскивают дополнительные источники, внимательно следят за новинками в этой области и нередко создают свою скромную библиотечку, важность которой для дальнейшей педагогической работы бесспорна.

Эти задания помогают студентам в деле овладения русским языком, о чем не должен забывать каждый преподаватель национального вуза.

Из поля зрения не выпускалось и привитие навыков элементарно исследовательского характера, а именно: вывод формул, доказательство теорем и т. д. Опыт покызывает, что интерес студентов к таким видам заданий огромен.

Широкое применение изученных средств и способов вычислений в процессе всей учебы студента в институте способствует выработке у него прочных умений и навыков по пройденным темам (ибо вопросы, изученные теоретически, находя г свое практическое применение), позволяет рационализировать выполнение различных вычислений при изучении других предметов, приучает их делать то же и в дальнейшем в процессе работы в школе.

Преподавание нашего предмета наиболее тесно связано с обработкой студентами лабораторных измерений по физике:.

Поэтому в нашей работе мы особое внимание уделяли этому вопросу, установив тесную связь с руководителями лабораторных работ по физике.

Мы добивались того, чтобы руководитель лабораторных работ был в курсе тех средств и способов вычислений, которые студентами изучены по нашему предмету и требовал от студентов в целях рационализации вычислений применения этих способов и средств по мере их прохождения.

Преподаватель математики, в свою очередь, контролировал вычислительную часть обработки студентами лабораторных измерений, причем часть результатов этих измерений обрабатывалась в часы упражнений по нашему предмету.

Такая связь плодотворно сказывается как на усвоении «Теории и практики вычислений», так и на усвоении физики.

В высшем учебном заведении преподаватель, читающий тот или иной курс, должен излагать его под углом зрения будущей специальности студентов. Исходя из этого, преподавание «Теории и практики вычислений» сначала до конца организовано нами так, чтобы будущие преподаватели математики одновременно до некоторой степени изучили школьные математические задачники в той части, которая до сих пор, как это показано в нашей работе, в школьном преподавании остается в тени.

Мы имеем в виду, главным образом, задачи с жизненным содержанием и приближенными данными. Эти задачи по качеству не уступают аналогичным задачам, приводимым в пособиях по настоящему курсу. Решая их, студенты изучают тем самым школьные учебники) по математике.

Исходя из того бесспорного факта, что в подготовке учащихся средних школ имеют место серьезные пробелы в знании и применении рациональных приемов вычислений и в умении максимально выгодно записать эти вычисления, в нашей работе мы уделяем большое внимание вопросу подготовки будущих преподавателей математики в этом направлении. При этом особое значение приобретает оформление записей в студенческих тетрадях и записей, производимых на доске. В связи с этим на первом же занятии студентам предъявляются следующие требования.

1. Цифры писать так, чтобы их характерные особенности ясно выступали. При арифметических действиях аккуратно писать цифры соответствующих разрядов друг под другом.

2. Вычисления на бумаге располагать так, чтобы страница бумаги была рационально использована; чтобы в любое время

сам вычислитель (или другое лицо) мог бы их проверить, причем это требование относится как к черновикам, так и к чистовой записи.

3. Всякие вычисления, где бы они не производились, на уроках нашего предмета или на уроках других математических и физических предметов, в стенах института или вне института, производить при возможности устно или полуписьменно. Если это невозможно вследствие громоздкости числовых выкладок, производить их письменно, но наиболее рациональными путями, не записав ни одной лишней цифры, не произведя ни одного лишнего действия, соблюдая определенную последовательность и аккуратность.

4. Если вычисления содержат ряд действий (или производятся согласно формулам), то следует их производить по определенным схемам, а на отдельном листке или рядом произвести вспомогательные вычисления.

5. Во всех вычислениях, по мере возможности, использовать вспомогательные средства вычислений: русские счеты, разнообразные математические таблицы, арифмометр, логарифмическую линейку и номограммы.

6. Всякое вычисление следует тщательно проверить, зная, что вычисление не считается законченным, если оно внимательно не проверено.

Систематическое соблюдение этих правил дает вполне положительные результаты.

В последующих IV—VIII главах излагается частная методика преподавания «Теории и практики вычислений».

Глава IV. Точные вычисления.

В этой главе рассмотрены вопросы устных и письменных, вычислений. Вопросы устного счета, в частности устного умножения, рассматриваются в двух множествах чисел: во множестве двузначных чисел, где от студентов трубуется производить все арифметические действия устно, и во множестве многозначных чисел, где ими должны быть усвоены отдельные приемы.

Во множестве двузначных чисел все частные случаи устного умножения выводятся из общей формулы произведения, что, с одной стороны, помогает их лучшему усвоению и, с другой стороны, способствует развитию у студентов умения самостоятельно выводить различные частные приемы преобразованием общей формулы.

Рациональные приемы письменных вычислений изложены так, чтобы студенты усвоили значение широкого применения

законов арифметических действий и свойств чисел при разнообразных вычислениях (показывается это на отдельных конкретных примерах).

Глава V. Инструментальные вычисления. Излагаются значение машинной математики в деле рационализации вычислительных процессов и роль отечественных и, в особенности, советских ученых в деле ее развития.

Дается краткое описание арифмометра и более подробное описание логарифмической линейки: излагаются ее устройство, принцип работы, дается описание шкалы, цена деления на различных шкалах, а также излагаются приемы возвышения чисел в квадрат, куб, извлечения квадратных и кубических корней иг чисел на линейке.

Необходимые навыки в работе на русских счетах и на арифмометре студенты получают в часы упражнений по другим темам данного предмета, в лабораториях физики во время обработки результатов своих лабораторных измерений и в математическом кабинете при разнообразных вычислениях.

Способы вычислений на логарифмической линейке показывают в согласовании с нуждами соответствующей темы. В результате такого метода студенты работают на логарифмической линейке на протяжении всего курса «Теории и практики вычислений» и поэтому приобретают твердые навыки в работе над ней.

Глава VI. В этой главе мы рассматриваем два вопроса:

1) приближенные вычисления со строгим учетом погрешностей;

2) приближенные вычисления без строгого учета погрешностей.

По первому вопросу дается конспект лекции на тему: «Приближенные вычисления по способу границ; понятие о простейших способах обработки результатов измерения; приближенные вычисления по способу границ погрешностей», а также методика проведения лекций и упражнений по этой теме.

На лекции о приближенных вычислениях по способу границ студентам указывается на, правила подсчета цифр В. М. Брадиса и рекомендуется руководствоваться этими правилами во всех вычислениях, ознакомившись с элементарным выводом их по книге «Средства и способы элементарных вычислений» В. М. Брадиса.

Это дает студентам возможность при решении задач по пройденным темам производить необходимые округления не наугад, а руководствуясь определенными правилами. С другой стороны, становится возможным сравнительно длительное время тренироваться в применении этих правил, благодаря чему применение их превращается в привычку.

Наш опыт показывает, что студенты таким путем приобретают вполне удовлетворительные навыки в применении этих правил в вычислениях.

Однако над работой студентов по вычислениям необходимы систематический контроль со стороны преподавателя, руководящего упражнениями.

По второму вопросу дается понятие о приближенных вычислениях без строгого учета погрешностей и вывод правил подсчета цифр.

В результате такого метода преподавания этих вопросов студенты достаточно глубоко осмысливают суть этих правил, и у них вырабатывается необходимая привычка в их применении.

Глава VII. Математические таблицы.

В нашей работе математические таблицы широко применяются во всех вычислениях с начала курса. Поэтому до изучения этой темы студенты приобретают достаточный навык в использовании таблиц умножения О'Рурка, «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса и «Пятизначных таблиц» Пржевальского.

В настоящей главе рассматриваются виды, устройство, различные способы составления и сознательного использования математических таблиц и дается элементарный вывод условия допустимости линейной интерполяции.

В порядке самостоятельной работы студенты изучают школьные математические таблицы, определяют, какие из них допускают линейную интерполяцию, какие не допускают, и как последние изменить так, чтобы можно было произвести линейную интерполяцию; получают задание при помощи известных формул составить математические таблицы, соблюдая известный принцип составления их.

Глава VIII. Знакомство с графическими способами вычислений.

В этой главе приводится конспект лекций, в котором дается понятие о графических способах решения вычислительных задач, а также решение трех видов задач о номограммах: 1) использование номограмм для вычислений; 2) доказательство того, что построенная номограмма именно служит для

указанных вычислений; 3) построение элементарных номограмм, а также методика проведения этой лекции и упражнений по этой теме.

Часы, отведенные для упражнения по этой теме, в основном используются для решения указанных выше видов задач, причем материал для этих задач берется из школьного курса математики и физики.

В результате студенты получают представление о графических способах вычислений, в том числе и о номограммах, применительно к школьному курсу математики и физики.

Каждый студент для себя составляет альбом номограмм и получает необходимые знания и навыки для того, чтобы при желании самостоятельно пополнять его.

В конце работы даются краткие выводы и приводится список литературы.

Подписано к печати 26/Х-54 года. Формат бумаги 60X847i6=0,5

бум. листов, 0,91 печ. листов. ФГ 65598 Заказ- № 3139 Тираж 100

Типография. Объединенного издательства, Баку, проспект Сталина, 137.