МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

Е. С. КАНИН

ФОРМИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ У УЧАЩИХСЯ VI—VII КЛАССОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук доцент Ф. Ф. Нагибин

Москва — 1964

Защита диссертации состоится в Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина „_"_1965 г.

Автореферат разослан „-“--1964 г.

«Среднее образование должно обеспечивать прочное знание основ наук», — говорится в Программе, принятой XXII съездом КПСС. Усвоение основ наук немыслимо без знания математики и, в частности, начал алгебры.

Кропотливое изучение состояния алгебраических знаний, умений и навыков приводит к выводу о слабом усвоении школьниками основных алгебраических понятий, о формализме и непрочности умений и навыков, о неумении учеников рассуждать, сопоставлять факты, применять приобретенные знания в различных ситуациях. Одна из основных причин такого состояния — в несовершенстве методики обучения начальной алгебре. Все это и обусловило выбор темы исследования.

В диссертации разрабатываются методика алгебраических упражнений и методика обучения конкретным уменями и навыкам начальной алгебры, позволяющие сформировать у учащихся осознанные и прочные алгебраические умения и навыки. При рассмотрении этих вопросов определены характер и содержание алгебраических упражнений, разработана система их.

Основные методы исследования — изучение опыта преподавания алгебры, наблюдения за учащимися, многолетняя экспериментальная работа, выполненная автором и опытными учителями под его руководством в школах №№ 16 и 45 г. Кирова и №№ 1, 4, 62 г. Кемерово. Все это отражено во введении к диссертации. Кроме того, во введении вскрывается специфика алгебраических умений и навыков, рассматриваются основные проблемы, решаемые в диссертации.

Диссертация состоит из введения и 4 глав.

В главе первой анализируется литература по методике и практике упражнений.

В § 1 рассматривается дидактическая, психологическая и методическая литература по проблемам упражнений. Конста-

тируется, что дидакты большое значение придают сознательности упражнений, повторяемости их, систематичности, разнообразию, достаточной продолжительности.

Вопросы методики математических упражнений рассмотрены Ф. Ф. Нагибиным1 и В. С. Софроновым2, однако в опубликованных статьях методика алгебраических упражнений разработана недостаточно. В литературе совсем не определено содержание системы упражнений по формированию конкретных алгебраических умений и навыков.

§§ 2—5 содержат анализ основных русских, советских и некоторых зарубежных (болгарских, чехословацких, английских, французских и др.) задачников по алгебре. С анализируемыми задачниками сравнивается стабильный задачник по алгебре П. А. Ларичева. Отмечаются достоинства этого задачника, критикуются недочеты. Основные недостатки задачника П. А. Ларичева, по мнению автора диссертации, таковы: явно мало внимания уделено сознательному усвоению основных алгебраических понятий; во многом формальны упражнения по овладению буквенной символикой, тождественными преобразованиями; мало упражнений, развивающих логическое мышление учащихся; далеко не всегда соблюдена необходимая последовательность упражнений и т. д.

Проведенный анализ методической и учебной литературы позволяет утверждать, что методика алгебраических упражнений разработана слабо, используемые в школе задачники не решают проблемы формирования сознательных и прочных алгебраических умений и навыков у учащихся VI—VII классов.

Во II главе формулируются, обосновываются и иллюстрируются основные требования к методике выполнения упражнений по алгебре.

1. Сознательность выполнения алгебраических упражнений. Алгебраические умения и навыки должны формироваться на сознательной основе, а значит, при сознательном выполнении упражнений по алгебре. Ученик не только должен понимать, что, зачем и как делается при выполнении упражнения, но и сознательно усвоить те понятия и законы, на которые он опирается при выполнении упражнения. Сознательному овладению алгебраическими умениями и навыками спо-

1 Ф. Ф. Нагибин. Упражнения на уроках математики. Опыт работы по математике в средней школе. Изд-во АПН РСФСР, 1949.

2 В. С. Софронов. Тождественные преобразования. Элементарная математика в средней школе. Сборник статей под редакцией С. Е. Ляпина, вып. II. Учпедгиз, 1936.

собствуют специально подобранные упражнения в исследовании простейших алгебраических выражений, в выявлении возможности выполнения преобразования, в доказательстве различных предложений алгебры (задачи на доказательство) и т. п. Вот несколько примеров таких упражнений. 1) При каких значениях букв а и b а—Ь>0, а—Ь = 0, а—Ь<0? 2) Какие из данных двучленов можно разложить на множители: m2—-п2; X2—у; 2т—4т2; 2х2—z2? 3) Доказать, опираясь на правило сложения рациональных чисел и переместительный закон для положительных чисел, что a+b=b+a для любых рациональных а и Ь.

Лишь при сознательном подходе к выполнению упражнений учащиеся смогут находить наиболее рациональные способы выполнения упражнений. Надо обучать рациональным способам решения, а для этого сравнивать различные варианты и выделять из них наиболее удачные в некоторых отношениях.

Исходя из принципа сознательности, предлагается такой порядок выполнения упражнений по алгебре:

1) Усвоение предложенного задания.

2) Определение вида и особенностей данных в задании алгебраических выражений.

3) Выбор преобразований, необходимых для выполнения упражнения.

4) Выполнение преобразований на базе законов действий и свойств данных выражений.

5) Проверка полученного результата.

Не все этапы соблюдаются при выполнении каждого упражнения. В простейших случаях 2 и 3 этапы могут быть опущены.

2. Активизация мышления учащихся в процессе алгебраических упражнений. Мыслительная деятельность учащихся активизируется при выполнении следующих видов упражнений:

1) Нестандартных упражнений, развивающих логическое мышление учащихся (упражнений в исследовании, задач на доказательство, упражнений — вопросов и т. д.).

2) Упражнений, при выполнении которых ученики «открывают» законы и положения алгебры. Пример. Сравнить корни уравнений х—3 = 5; х—3 + 2 = 5 + 2; каким преобразованием из первого уравнения получаем второе?

3) Практических задач и упр»ажнений.

4) Лабораторных и практических работ на уроках алгебры.

5) Занимательных упражнений.

6) В составлении упражнений учащимися (составление алгебраических выражений, задач по данным формулам и уравнениям, уравнений по заданным корням и т. д.). Пример. Даны 4 одночлена: a2; 2a2b; a4b; а4Ь; составить из них (с помощью знаков действий) алгебраическое выражение, являющееся квадратом одночлена.

Творческая активность учащихся зависит и от методики проведения алгебраических упражнений. Очень важны в этом отношении правильная постановка проблемы при изучении нового материала, сознательность при выполнении упражнений, показ применения изучаемого в практике и, наконец, своевременно предложенные учителем общие советы учащимся для выполнения упражнений. Такие ненавязчивые советы учащимся сформулированы и обоснованы в диссертации (§ 2, гл. II).

3. Самостоятельность выполнения упражнений по алгебре. В диссертации показываются недостатки чрезмерного увлечения одновременным выполнением упражнения учеником у доски и всем классом, приведены доводы в пользу самостоятельных упражнений учащихся при овладении умениями и навыками. Полезна также самостоятельная работа учеников по устранению пробелов в своих знаниях. Эти заключения основаны на экспериментальных исследованиях. Далее указывается, что самостоятельность учащихся следует постепенно доводить до творчества. Примерами такого творчества в VI—VII классах можно считать самостоятельное составление упражнений учащимся, отыскание различных методов решения задач.

Самостоятельная работа учеников над упражнениями позволяет индивидуализировать как сами упражнения по алгебре, так и организацию самостоятельных упражнений. Подбор упражнений по силам и возможностям учеников порождает у слабых учеников веру в свои силы. Сильные же учащиеся, выполняя более содержательные и интересные упражнения, глубже познают алгебру. Экспериментальная работа подтверждает эти выводы.

4. Систематичность алгебраических упражнений означает последовательность упражнений, постепенное нарастание трудностей (лестница трудностей), доступность упражнений для учащихся, разнообразие упражнений по содержанию и по форме. Разнообразие приучает школьников ориентиро-

ваться в различных ситуациях, воспитывает у них пластичные алгебраические умения и навыки.

В системе алгебраических упражнений должно содержаться все необходимое для раскрытия основных идей курса начальной алгебры, развития математического мышления учащихся, формирования у них алгебраических умений и навыков. Нужно, чтобы в общей системе разумно сочетались упражнения, развивающие логическое мышление и тренировочные упражнения.

В § 5 «Об устных алгебраических упражнениях» рассматривается методика таких упражнений, детально разработана методика проведения устных контрольных работ на уроках алгебры, приведены примеры таких работ. Автор подчеркивает необходимость устного выполнения всех возможных промежуточных преобразований и вычислений.

§ 6 «О домашних упражнениях по алгебре». В методической литературе много разногласий в методике домашних заданий по математике. В диссертации утверждается, что цель домашнего задания — не только закрепление изучаемого на уроке. Подготовка к изучению нового материала, выяснение степени изученного, устранение пробелов в знаниях учеников, самостоятельное изучение несложного материала и т. д. могут быть целью домашнего задания. Можно задавать для домашней работы упражнения, аналогичные выполненным в классе, но ограничиваться таким заданием вредно. Полезно приучать школьников к домашнему чтению учебника алгебры, к выполнению новых упражнений.

В диссертации проводится мысль об индивидуализации домашних заданий в соответствии с силами и возможностями учеников, рассматриваются различные приемы проверки домашнего задания, не требующие большой затраты учебного времени.

В III главе рассматривается методика формирования умений и навыков в употреблении алгебраической символики, в выполнении тождественных преобразований, в решении уравнений и задач с их помощью, а также начальных функциональных умений и вычислительных навыков.

1. Употребление алгебраической символики. Без овладения символикой нельзя научиться решать различные математические задачи, значит, многие практические задачи. Поэтому автор предлагает простейшие буквенные обозначения и знаки неравенства ввести еще в начальной школе. На первых уроках алгебры следует указать, что действия над буквами не выполняются, а лишь обозначаются.

В диссертации разрабатывается система упражнений по овладению буквенной символикой. Большое внимание уделено предупреждению распространенных ошибок учащихся.

Усвоению буквенной символики способствуют геометрические иллюстрации.

В отличие от арифметики, в алгебре предлагается умножение обозначать точкой (часто она опускается), а деление только дробной чертой. Это поможет избежать недоразумений в определении порядка действий. Под терминами «сумма», «разность», «произведение» и «частное» рекомендуется понимать не только результат действия, но и обозначение его. Для усвоения этих положений следует проводить упражнения в чтении и записи арифметических и алгебраических выражений.

Автор рассматривает также методику обучения правильному употреблению скобок, знаков равенства и неравенства. Большое внимание уделяется изучению законов действий на базе усвоенной символики и некоторых свойств равенств.

2. Тождественные преобразования. Автор стоит на позиции изучения в VI—VII классах тождественных преобразований одночленов, многочленов и алгебраических дробей, а не действий над ними. Диссертантом экспериментально установлено, что в VI классе удачен следующий план изучения тождественных преобразований.

1. Приведение одночленов к простейшему виду на базе определения степени, ее основания и показателя, коммутативного закона умножения и теорем

2. Приведение многочленов к простейшему виду применением коммутативного, ассоциативного и дистрибутивного законов.

3. Раскрытие скобок в произведении одночлена и многочлена, в сумме и разности многочленов (±1 — частный случай одночлена), — по дистрибутивному закону.

4. Раскрытие скобок в произведении многочленов применением теоремы (а + Ь + с) (m + n) =am + bm + cm + an + bn + cn.

При экспериментальном обучении предлагались многие нестандартные упражнения, например:

а) поставить знаки равенства или неравенства

б) поставить вместо звездочек нужные числа

в) не раскрывая скобок, найти коэффициент при высшей степени х, при х2 и свободный член в произведении

В VI классе изучались лишь 3 формулы для раскрытия скобок: в произведении суммы и разности двух чисел, в квадрате и кубе двучлена.

В VII классе изучение тождественных преобразований начиналось с алгебраических дробей. Ученики обучались преобразованиям сначала дробей с одночленными числителями и знаменателям на основе теорем

Задача сокращения алгебраических дробей поставила школьников перед необходимостью изучать разложение на множители. Разложение на множители вынесением за скобки и группировкой выполнялось с помощью законов действий, при этом особое внимание уделялось применению дистрибутивного закона. Параллельно изучалось преобразование суммы дробей (вынесением — за скобки) и обратное преобразование.

Разложение на множители по формулам (разность квадратов, сумма кубов, квадрат и куб суммы) сразу же иллюстрировалось приложениями к преобразованиям алгебраических дробей.

Предлагаемая методика позволила при достаточно строгом обосновании тождественных преобразований сформировать осознанные, пластичные и прочные умения и навыки у учащихся, избавить их от заучивания непонятных правил, сократить число предложений, на которых основывается выполнение преобразований.

3. Решение уравнений и задач полезно начинать в начальной школе, а систематическое изучение уравнений — в VI классе, опираясь на свойства равенств. Большое значение имеет четкое усвоение понятия корня уравнения. С этой целью предлагались упражнения в составлении уравнений по заданынм корням, в нахождении (подбором) корней нелинейных уравнений и т. д. Ученики экспериментальных классов решали в VI классе простейшие уравнения с неизвестным в знаменателе, буквенные уравнения, уравнения с абсолютными значениями, исследовали решение простейших уравнений: х + а = 0, ах+Ь = 0.

Изучаемые тождественные преобразования сразу же применялись к решению уравнений. Для лучшего обучения решению задач с помощью уравнений в диссертации предлагаются различные подготовительные упражнения. Развитию умения решать задачи помогают самостоятельное составление задач, решение практических задач.

4. Функциональные умения и навыки. Автор считает, что кроме умений, предусмотренных школьной программой, следует формировать у учащихся VII класса умение «читать» графики, проводить простейшее исследование функций у = ах + Ь и У^“^ » применять изученные графики для решения конкретных практических задач. В диссертации детально разработана система упражнений по формированию функциональных умений и навыков учащихся VII класса.

Большое значение придается выяснению конкретного (по условию задачи) и геометрического смысла коэффициентов в изучаемых зависимостях, что позволяет по данным графикам разыскивать их уравнения. В процессе упражнений ученики устанавливают связь между коэффициентами а и b в уравнении у = ах + Ь, положением его графика на координатной плоскости и монотонностью линейной функции. Предлагаются упражнения в отыскании промежутков знакопостоянства изучаемых функций, рассматриваются частные случаи линейной функции.

Черт. 1

Пример: Записать уравнений всех прямых, изображенных на черт. 1 (включая оси координат). Для лучшего усвоения связи между аналитическим и графическим заданием зависимости автор предлагает упражнения следующего вида:

1) Привести пример уравнения линейной зависимости, вычертить ее график. Определить (построением и вычислением), принадлежит ли точка А (0,2; —3) этому графику.

2) На графике заданной прямой выберите произвольную точку. Убедитесь вычислением, что координаты точки являются решением уравнения прямой.

Далее предлагаются некоторые задачи для графического решения.

5) Совершенствование вычислительных навыков учащихся одна из задач обучения алгебре в VI—VII классах. В этих целях полезны числовые подстановки, «проверка» правильности преобразования вычислением при выбранных значениях букв и т. д. Автор подчеркивает, что у школьников VI класса необходимо выработать привычку умело применять законы действий для упрощения вычислений.

Тождественные преобразования часто значительно облегчают вычисления, что следует учесть в преподавании алгебры (особенно при обучении формулам умножения и разложению на множители). Полезны такие упражнения: 55. 56 = 552 + + 55 = 2500 + 500 + 25 + 55 = 3080. Интересно применить формулу

к вычислениям

В диссертации приводятся и другие примеры применения алгебры к упрощению вычислений.

Рассматривая решение арифметических примеров «на все действия», автор рекомендует практиковать записи решения «цепочкой»: так ученики получают возможность применять законы и свойства действий для упрощения вычислений.

Предлагаемая в главе III методика формирования алгебраических умений и навыков 1) стимулирует сознательное изучение курса алгебры VI—VII классов; 2) облегчает усвоение школьного курса алгебры; 3) позволяет значительно полезней использовать время при обучении началам алгебры; 4) обеспечивает формирование достаточно прочных и пластичных умений и навыков у учащихся VI—VII классов.

В III главе определяется характер и содержание упражнений, необходимых для выработки у учащихся сознательных, прочных, стойких, и пластичных алгебраических умений и навыков.

В главе IV представлен сборник упражнений по алгебре для VI класса, являющийся реализацией идей, изоложенных в главах II и III. Основное направление упражнений сборника — сознательное усвоение учениками начал алгебры. В сборнике большое место отведено упраженениям, которые учат рассуждать, мыслить, делать обобщение. Например, № 178. Справедливость равенства a+b+c= a + c-f-b доказывается так:

Следуя этому примеру, доказать справедливость равенств:

Такие упражнения рекомендуются при изучении рациональных чисел, а не на первых уроках алгебры.

В сборнике много упражнений-вопросов, задач на доказательство, других упражнений, развивающих логическое мышление учеников, помогающих усвоению теории алгебры VI класса. Например, № 268. При каких значениях букв abc>0, abc<0?

В разделе II «Рациональные числа и действия над ними» продолжается работа по формированию умений учащихся в употреблении буквенной символики. Одновременно изучаются новые понятия: абсолютное значение числа, сравнение чисел по величине и т. д. Например, № 155. При каких значениях с возможны следующие соотношения: — с<|—cl; —с= = |-с|?

В этом разделе много внимания уделяется усвоению законов арифметических действий: эти законы применяются при вычислениях и для решения задач на доказательство. Предлагаются упражнения в проверке выполненных операций выполнением обратных операций. Во всех параграфах предлагаются упражнения на рассуждение: № 302.

Изменится ли частное, если а заменить на — a? b заменить на — Ь? Одновременно заменить а и b противоположными числами?

Уравнения предлагается решать, опираясь на свойства равенства. Автор стремится показать шестиклассникам, каким мощным математическим аппаратом они овладевают. Кроме решения текстовых задач, уравнения применяются для эле-

ментарного исследования некоторых дробей. Примером служит упражнение № 416. При каких значениях х обращаются в 0 дроби:

Показано применение уравнений к выяснению зависимостей между различными геометрическими и физическими величинами. Так, требуется разрешить уравнения, принимая одну из букв за неизвестное и считая другие буквы отличными от 0: № 453.

Ученикам предлагаются простейшие уравнения с абсолютными значениями: № 457. 1) |х| = 3, 2) х= № 458.

В задачнике достаточное внимание уделено формированию умений и навыков тождественных преобразований, развитию вычислительных навыков учащихся. Обучение тождественным преобразованиям предусмотрено в соответствии с §§ 1—2 главы III. Особенность задачника и в том, что, выполняя помещенные в нем упражнения, ученики осваивают тождественные преобразования не только в стандартных случаях: включены упражнения на соображение, на применение преобразований для упрощения вычислений; например:

Следуя этому примеру, вычислить

№ 611. Найти А, если после раскрытия скобок в произведении

свободный член должен быть равен — zö.

В упражнениях на раскрытие скобок предусматривается перестановка в формулах слагаемых и множителей, предлагаются упражнения в выяснении возможности применения формулы. В № 642, например, предлагается раскрыть скобки, применяя, где возможно, формулу произведения суммы двух чисел на их разность:

Выполняя эти упражнения, ученики глубже познают тождественные преобразования.

В сборнике большое место отведено упражнениям для усвоения основных алгебраических понятий. Для лучшего усвоения их в упражнениях часто предлагаются противопоставления сходных некоторым образом понятий.

При составлении упражнений учитывались следующие соображения. По мере возможности в систему включаются практические упражнения, геометрические иллюстрации, вычислительные упражнения и т. д. Не забыты и занимательные упражнения. Но занимательность не носит характера развлечния: для выполнеия занимательных упражнений, помещенных в сборнике, требуется сознательное усвоение начал алгебры. Указанный подход к подбору и составлению упражнений позволил добиться достаточного разнообразия упражнений как по содержанию, так и по форме. Так школьники учатся применять полученные знания в обстановке, отличной от привычной.

Особенность задачника — систематичность упражнений. Расположение упражнений подчинено требованию дидактики «от простого к сложному». Упражнения в сборнике взаимосвязаны: многие упражнения базируются на помещенных ранее или готовят выполнение последующих. Таковы и перспективные упражнения, готовящие учеников к изучению алгебры в последующих классах.

В качестве приложений даны анализы ошибок учеников в контрольных и экзаменационных работах по алгебре и отзывы учителей, проводивших экспериментальную работу по теме диссертации.

При работе над диссертацией автор изучил работу многих учителей математики гор. Кирова и гор. Кемерово. Экспериментальная работа проводилась в школах в различное время с января 1958 года т. е. в течение 6 лет. Экспериментально проверены все основные положения диссертации. Методика эксперимента, проводимого по теме диссертации, выбиралась в соответствии с задачами эксперимента. Применялись и индивидуальный эксперимент, и экспериментальные уроки, и экспериментальное обучение в классе в течение длительного времени (до 2 лет), и параллельное обучение учеников двух классов, один из которых являлся экспериментальным, другой контрольным. Результаты экспериментов приведены в диссертации.

Содержание и выводы диссертации были сообщены в докладах на XVII, XVIII, XIX, XX, XXI и XXII конференциях математических кафедр педвузов зоны Урала, на III и IV конференциях математических кафедр педвузов Поволжья, на II Сибирской конференции по математике в г. Томске. Доклады и лекции по теме диссертации читались для учителей школ г. Кемерово и Кемеровской области,, идеи диссертации внедрялись в практику работы школ.

По теме диссертации опубликованы следующие работы автора:

1. О системе упражнений по алгебре в VI классе. Журнал «Математика в школе» № 1, 1960.

2. Zum System der Übungen in Algebra in der Klasse 6. Mathematike und Physik in der Schule. Heft 5, 1962.

3. К вопросу об изучении действий над одночленами и многочленами в VI классе. Журнал «Математика в школе» № 5, 1960.

4. Разложение многочленов на множители. Журнал «Математика в школе» № 6, 1961 (сообщение о статье помещено в «Matematika ve skole», с. 8. Praha, 1961 — 1962).

5. Алгебраическая сумма и раскрытие скобок. В помощь учителю математики, г. Кемерово, 1963.

6. Система упражнений в разложении многочленов на множители. Там же.

7. Об упражнениях и задачах практического характера на уроках алгебры в VII классе. Вопросы обучения математике в школе, г. Киров, 1962.

8. О терминологии и понятиях начальной алгебры. Журнал «Математика в школе» № 6 за 1963 г.

9. Замечания к статье М. В. Гельфанда. Журнал «Математика в школе» № 3, за 1964 г.

10. Определение рациональных алгебраических выражений в VI—VII классах. Доклады третьей сибирской конференции по математике и механике. Томск, 1964 г.

11. Основные требования к методике алгебраических упражнений. Там же.

Подписано в печать Л 74492 19/XI 1964 г. Объем i п. л., тир. 200 экз., зак. 1963, тип. ГКС