АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

И. И. КАЛЮЖКА

ИДЕЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ КАК ОСНОВА СОВРЕМЕННОЙ ПОСТАНОВКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель профессор М. П. ЧЕРНЯЕВ.

МОСКВА — 1960

Настоящая диссертация является попыткой построения курса геометрии восьмилетней школы на идее геометрических преобразований. Такое построение, в отличие от традиционного, вводит в изложение геометрии движение, рассматривает преобразование одних геометрических фигур в другие и тем самым способствует установлению взаимосвязи между отдельными фигурами.

Геометрия есть наука, изучающая пространственные формы и отношения между ними, существующие в предметах и явлениях окружающей действительности.

Еще Ф. Энгельс в книге «Диалектика природы» писал о том, что формы и виды различных тел и предметов реального мира можно познать только в движении, в отношении их друг к другу. Только в движении тело показывает, что оно из себя представляет. Отсюда следует, что в геометрии особое внимание должно быть обращено на изучение «движений» на плоскости и в пространстве. Идея движения, пронизывая содержание геометрии, позволяет путем сравненения различных геометрических фигур познать их сходство и различие, связи и зависимости между ними, особенности и характерные свойства отдельных фигур и их классов.

С этой точки зрения понятие о геометрических преобразованиях, отражающее идею движения, должно стать основной частью содержания геометрии, так как только при этом условии геометрия будет наиболее точно отображать сущность окружающей реальной действительности.

Знакомство с геометрическими преобразованиями открывает возможность подчинить одной руководящей идее — идее функциональной зависимости — всю школьную геометрию, что способствует поднятию научной ценности изучаемого в школе курса математики в целом.

Целью диссертации является:

1. Обоснование необходимости перестройки курса геометрии средней школы на идее геометрических преобразований.

2. Систематическое изложение курса геометрии (планиметрии) на новой идее, в основе которой лежит известное высказывание В. И. Ленина о диалектическом познании мира «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины».

3. Экспериментальное подтверждение целесообразности построения школьного курса геометрии на указанной основе.

Этим и определяется как построение диссертации, так и круг вопросов, рассматриваемых в ней.

При осуществлении поставленных задач центральными моментами в методике нашего исследования являлись наблюдение и эксперимент. Характеризуя организацию и методику работы в целом, необходимо указать, что основные этапы ее были таковы:

1. Изучение отечественной дореволюционной и советской, а также зарубежной математической и методической литературы по вопросам о геометрических преобразованиях.

2. Изучение состояния знаний и навыков учащихся по геометрии в средней школе.

3. Экспериментальная проверка:

а) в VI классах школ № 12 и № 49 г. Ростова-на-Дону, а также в Кутейниковской средней школе и в Савоськинской семилетней Зимовниковского района Ростовской области.

б) в VIII классах школы № 12 г. Ростова-на-Дону и школ № 95 и № 5 г. Балашова и других школ.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении обосновывается выбор темы, а также излагаются задачи исследования.

В первой главе освещается вопрос о проникновении идеи геометрических преобразований в учебную и методическую литературу как зарубежную, так и русскую. В связи с этим дается обзор литературы по геометрии, в которой нашла отражение указанная идея, начиная от «Начал» Евклида до наших дней.

Изучение литературы показывает, что на идею геометрических преобразований обратили внимание ученые — математики и методисты в конце XIX века и особенно в начале XX века.

Благодаря работам С. Ли, А. Пуанкаре и Ф. Клейна, определявшим геометрию как науку, изучающую инвариантные (неизменные) свойства фигур, полученных при геометрических преобразованиях, идея эта начала проникать в учебную литературу.

Появляются учебные руководства Мерэ (1874), Э. Бореля (1905), К. Бурле (1908), Марковича (1910) и др. В них авторы излагают отдельные вопросы геометрии на идее геометрических преобразований. Задача же построения всего курса геометрии на новой идее упомянутыми авторами не ставилась.

Эти работы явились следствием так называемого «реформистского движения». Сторонниками этого движения были в России В. П. Шереметевский, в Англии — Д. Перри и в Германии — Ф. Клейн.

Они высказывались за введение в курс геометрии идеи изменяемости фигуры как по величине, так и по положению; ставили вопрос о. включении в курс геометрии средних учебных заведений учения о геометрических преобразованиях, представляющих выражение функциональной зависимости между геометрическими формами.

Новые идеи в преподавании математики находили отражение в

довольно обширной учебной литературе. По количеству и разнообразию этой литературы по геометрии период со второй половины XIX века и до 1917 года является сравнительно весьма богатым. Было издано свыше 60 учебников геометрии. В их числе учебники А. Ю. Давидова, А. II. Глаголева, К. Н. Рашевского, H.A. Извольского, А. П. Киселева и др.

Известно, что эти идеи обсуждались на I и II Всероссийских съездах математиков.

Так, на II съезде в своей вступительной речи председатель оргкомитета профессор Б. К. Млодзеевский подчеркнул огромную роль идеи преобразований в науке, он указал на то, что она проникла не только в математику, но и в другие науки и сделалась важным основанием систематизации их.

На этом съезде с интересным докладом «Идея движения в современной геометрии и область ея применимости в курсе средней школы» выступил А. Р. Кулишер. Этот доклад был насыщен богатым фактическим материалом и методическими взглядами.

К сожалению, идеи, высказанные А. Р. Кулишером на съезде, не были им последовательно изложены в его подготовительном курсе геометрии, вышедшем в 1917 году.

В советский период вышло много учебников и учебных пособий по геометрии, в которых в той или иной мере нашла отражение идея преобразования. Это «Курс элементарной геометрии» II. Душина (1923), «Курс элементарной геометрии» Д. И. Перепелкина (1948), «Элементарная геометрия» Н. А. Глаголева, «Геометрия» Б. В. Кутузова (1950), «Геометрия» А. И. Фетисова (1957), «Геометрические преобразования» И. М. Яглома (1955) и др.

В диссертационной работе дан анализ указанных пособий, а также намечен путь изложения элементарного курса геометрии для средней школы на основе идеи геометрических преобразований.

Все изданные учебники и учебные пособия как дореволюционного периода, так и советского, а также зарубежные можно разделить на три группы.

К первой группе относятся учебники, построенные по схеме Евклида. В них при изложении соответствующего раздела курса говорится о геометрических преобразованиях вскользь. Так, например, говоря о параллельных прямых, упоминается о параллельном переносе. В этой группе учебников отсутствует общее определение преобразования фигур. Авторы данной группы излагают геометрические преобразования лишь для того, чтобы ознакомить учащихся с новыми методами решения задач на построение. Поэтому идея преобразования фигур четко не выступает и учащиеся, окончившие среднюю школу, обычно не знают, что в геометрии изучаются инвариантные (неизменные) свойства фигур, полученных при преобразованиях. Следствием этого является и то, что учащиеся средней школы слабо, зачастую формально, усваивают методы решения задач на построение.

К этой группе можно отнести учебники К. Н. Рашевского, А. Н. Глаголева, А. П. Киселева и др.

Ко второй группе учебников и пособий относятся те, в которых в основу кладется изложение свойств фигур, рассматриваемых вне зависимости от каких-либо преобразований. Наряду с этим в учебниках отводятся специальные параграфы, посвященные изложению некоторых элементарных преобразований. К этой группе можно отнести учебники Д. И. Перепелкина, Б. А. Кутузова, Н. А. Глаголева, Ж. Адамара и др.

Положительной стороной такого изложения является то, что геометрические преобразования излагаются в виде стройной системы и используются для решения задач на построение. Если изучение геометрии проводить по учебникам этой группы, то учащиеся получают представление о преобразованиях, а также усваивают новые методы решения задач на построения.

Отрицательной же стороной такого изложения является потеря целостности построения всего курса, получается раздвоение общей системы по двум направлениям: свойства фигур излагаются независимо от преобразований, а учение о преобразованиях представляется совершенно самостоятельной системой, мало связанной с предыдущим материалом.

К третьей группе учебных пособий относятся те, в которых весь систематический курс строится на основе идеи преобразования фигур. Все геометрические предложения рассматриваются в связи с тем или иным видом преобразования фигур, то есть теоремы доказываются на основании того или иного преобразования. Примером такого изложения курса геометрии являются работы ученых-методистов А. И. Фетисова и В. Б. Зельцмана.

Не останавливаясь подробно на достоинствах и отдельных недочетах этих работ, отметим, что в них содержится целый ряд полезных учителю рекомендаций по изучению вопросов геометрии на идее геометрических преобразований. Данные работы встретили серьезные возражения со стороны учителей и некоторой части методистов, и в первую очередь потому, что в них геометрия излагается на указанной основе для учащихся VIII—X классов, которые до этого почти не знакомились с геометрическими преобразованиями.

Опыт нашего исследования показал, что если же преобразования использовать для изложения геометрии с VI класса, то усвоение учащимися этого курса проходит успешно.

В своей работе мы сделали попытку такого подхода к построению систематического курса геометрии, начиная с первых дней изучения его в VI классе, так как в большинстве пособий, в том числе и в работе А. И. Фетисова, разрабатывается теория геометрических преобразований и дается соответствующее изложение ее применения в VIII—X классах. Однако в настоящее время требуется посо-

бие, которое помогло бы учителю излагать весь курс элементарной геометрии на новой идее, начиная с VI класса. Отсутствие таких пособий заметно ощущается в практической работе учителя.

Во второй главе предлагается один из возможных вариантов построения систематического курса геометрии (планиметрии) на идее преобразований. При его изложении мы использовали преобразования группы движения, подобия и осевой симметрии. Они применяются как для доказательства теорем, так и для решения задач на построение. В качестве основного преобразования взяли осевую симметрию, потому что все преобразования группы движения можно определить через нее, хотя совокупность осевых симметрий че образует группы.

На осевой симметрии мы остановились и по следующим причинам:

во-первых, само учение о симметрии имеет большое практическое значение, в частности, на нем основаны законы отражения света, учение о кристаллах1;

во-вторых, понятие осевой симметрии является наглядным и доступным для понимания школьника;

в-третьих, столь же проста и доступна для школьника и сама техника преобразования: складывание листа бумаги, зеркальное отражение, очень простые построения осевой симметрии циркулем и линейкой.

В указанном курсе важное место занимает идея функциональной зависимости, вместе с тем он строится в наглядно-интуитивной форме, что соответствует возрастной психологии школьника.

В интересах лучшего развития пространственных представлений учащихся изучение геометрии мы проводим на началах фузионизма, то есть слияния планиметрии и стереометрии. Необходимость такого отступления диктуется интересами политехнического обучения. Ведь очень многие даже простейшие задачи с техническим содержанием являются «задачами в пространстве». Их решение будет более эффективным в том случае, если оно опирается на развитую пространственную интуицию учащихся2. Предлагаемые стереометрические отступления как раз и призваны совершенствовать пространственные представления учащихся.

Геометрические преобразования в восьмилетней школе мы рекомендуем излагать следующим образом.

1. Преобразование осевой симметрии в VI классе необходимо начинать с определения симметрии двух точек относительно оси, показать учащимся, что любая прямая плоскости разделяет ее на

1 Учение, обоснованное академиком Е. С. Федоровым, великим русским кристаллографом и геометром, доказавшим существование 230 видов правильных систем фигур, которые позднее были найдены эмпирическим путем.

2 Имеется в виду диалектико-материалистическое понимание интуиции, при котором она есть результат имеющегося у ребенка жизненного опыта (знаний, умений и навыков), приобретенного им в процессе своего развития.

две полуплоскости, которые можно совместить одну с другой перегибанием плоскости по взятой на ней прямой; при этом каждая точка одной полуплоскости совместится с одной из точек другой. Затем дать следующее определение. Две точки называются симметричными относительно некоторой прямой, если при перегибании плоскости чертежа по этой прямой до совпадения одной части чертежа с другой эти точки совмещаются.

Для лучшего уяснения понятия симметрии точек можно познакомить учащихся с методом перегибания (складывания) листка бумаги, разработанного индийским математиком Роу Сундара. После этого можно рассмотреть свойства симметричных точек: 1) они расположены по разные стороны от оси, так как лежат в разных полуплоскостях; 2) они лежат на одном перпендикуляре к оси и находятся на равных расстояниях от нее. Эти свойства доказываются перегибанием плоскости чертежа по оси симметрии.

Далее доказываются два предложения, выражающие свойства точек, лежащих на оси симметрии двух точек. Затем решается задача на построение биссектрисы угла, устанавливается, что всякий угол определяет единственную прямую, которая является осью симметрии его сторон и что две различные точки плоскости определяют единственную прямую, которая для них является осью симметрии.

После рассмотрения вопроса о симметричности точек дается понятие о симметрии фигур. Так, чтобы получить фигуру, симметричную данной относительно заданной оси, мы строим каждой точке данной фигуры симметричную ей точку; совокупность построенных таким способом точек образует новую фигуру, симметричную данной относительно заданной оси.

Установив свойство, что две фигуры, симметричные друг другу относительно некоторой оси, равны, как совмещающиеся при перегибании по этой оси, мы приходим к выводу, что прямая при симметрии относительно некоторой оси переходит в новую прямую, окружность — в равную ей окружность, угол — в равный угол, треугольник в равный треугольник и т. д.

Затем решаются задачи на построение прямых (отрезков), симметричных относительно заданной оси, а также задачи на построение оси симметрии двух прямых. Решение последней задачи сводится к построению биссектрисы угла, когда вершина не дана на чертеже.

Решив задачу на построение прямых, симметричных двум пересекающимся прямым относительно некоторой оси, мы устанавливаем, что две пары взаимно симметричных прямых определяют пару симметричных точек. Это необходимо для доказательства свойств равнобедренного треугольника и признаков равенства треугольников. В связи с этим основные признаки равенства треугольников доказываются единообразно, а именно: 1) прикладывают треугольники равными сторонами и соответственными вершинами, причем

выбор сторон вообще безразличен; 2) доказывают, что общая сторона есть ось симметрии полученной фигуры.

После доказательства теорем о соотношении между сторонами и углами треугольника нами введено понятие о теореме и аксиоме так, как это изложено в учебнике Н. Н. Никитина «Геометрия». Все теоремы об окружности доказываются на основании осевой симметрии.

Таким образом, приведенный материал дает исчерпывающее изложение первых глав геометрии (до параллельности). Это изложение сопровождается решением большего числа задач на построение и доказательство, а также выполняются практические работы по измерению на местности.

2. Мы считаем, что при изучении центральной симметрии необходимо установить взаимную связь центральной и осевой симметрий. Это даст возможность перенести свойства фигур, симметричных относительно оси, на центрально-симметричные фигуры (равенство, прямолинейность при преобразовании и др).

Доказав теорему о параллельности центрально-симметричных прямых, легко получаем признаки параллельности двух прямых, так как это доказательство сводится к доказательству того, что две точки одной прямой центрально-симметричны двум точкам другой, а такие прямые центрально-симметричны и, следовательно, параллельны.

Центральную симметрию можно использовать при доказательстве теорем об углах, образованных параллельными прямыми с секущей, о сумме внутренних углов треугольника, о средней линии треугольника и трапеции, а также теорем о четырехугольниках (квадрате, параллелограмме, ромбе и прямоугольнике), обладающих центральной симметрией и др.

3. Мы считаем, что учение о параллельном переносе должно быть включено в стабильный учебник.

При этом необходимо сначала определить параллельное перенесение на плоскости как такое перемещение точек данной фигуры, при котором каждая точка ее перемещается на одинаковые расстояния в определенном направлении по параллельным между собой прямым.

В качестве примера следует показать движение угольника одним своим катетом вдоль неподвижной линейки. Необходимо разъяснить учащимся, что при параллельном переносе каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении на одинаковые расстояния.

Это предложение выражает основное свойство параллельного перенесения.

Мы считаем, что целесообразно установить взаимную связь параллельного переноса с осевой симметрией с тем, чтобы перенести ряд свойств последней на параллельное перенесение.

В дальнейшем построении курса геометрии параллельное пере-

несение используется в доказательствах теорем, а также в решении задач на построение.

Это преобразование с успехом применяется при доказательстве теорем об измерении вписанного угла, угла, составленного касательной и хордой, и измерении углов внутри и вне круга. Доказательства эти наглядны и понятны для учащихся. Следует подчеркнуть, что соблюдается полное единство в доказательстве теорем и в решении задач методом параллельного перенесения. Идея этого метода выясняется в основном на задачах о построении трапеции.

4. Представляется целесообразным включение в систематический курс геометрии вопроса о вращении около точки на плоскости и его применение к решению геометрических задач на построение.

Вращение около точки можно определить как такое перемещение точек данной фигуры, при котором каждая точка этой фигуры перемещается в одном и том же направлении на равные углы по окружностям с центром, совпадающим с центром вращения.

Наглядным примером, иллюстрирующим вращение около точки, может служить движение в плоскости доски листа бумаги, приколотого к доске.

Следует установить взаимную связь вращения с осевой симметрией, а также показать учащимся, что центральная симметрия есть вращение около центра симметрии на угол в 180°.

Вращение вокруг точки можно использовать при доказательстве теорем, выражающих зависимость между дугами, хордами и расстоянием хорд от центра, а также при решении задач на построение.

5. «Гомотетия и подобие фигур» начинается рассмотрением гомотетичного расположения точек. Переход к гомотетичным точкам можно осуществить от центрально-симметричного расположения их.

Определив гомотетичные точки, мы устанавливаем затем способ построения их при различных заданиях гомотетии (имеется в виду случай, когда гомотетия задана центром и коэффициентом, центром и парой соответственных точек и двумя парами соответственных точек). На этом мы останавливаемся потому, что фигуру рассматриваем как совокупность точек и, следовательно, построение фигуры, гомотетичной данной, сводим к построению точек, гомотетичных точкам данной фигуры относительно указанного центра и с заданным коэффициентом гомотетии.

Решив задачу на построение фигуры, гомотетичной отрезку, а также доказав теорему о том, что фигура, гомотетичная отрезку, есть отрезок, параллельный данному, и их отношение равно коэффициенту гомотетии, мы решаем важный вопрос не только с научной точки зрения, — как устанавливающий коллинеарность при преобразовании гомотетии, но и с практической, — как позволяющей производить преобразование прямолинейных фигур (треугольников и многоугольников) по нескольким точкам.

В работе приведены примеры практического применения гомоте-

тии при землемерных работах (мензульная съемка) и при копировании географических карт, чертежей с помощью пантографа. Сформулированы свойства двух гомотетичных фигур, а именно:

1) между их точками существует взаимно-однозначное соответствие;

2) прямые, проходящие через попарно соответственные точки двух фигур, пересекаются в одной точке, называемой центром гомотетии;

3) соответственные отрезки параллельны;

4) их отношение равно коэффициенту гомотетии;

5) углы, образуемые соответственными отрезками, равны.

Если нарушим взаимное расположение двух гомотетичных фигур так, что одну из них переместим в этой же плоскости, но в другое положение, не изменяя ни величины, ни формы ее, то нарушим второе и третье свойства этих фигур. Полученные фигуры будут называться подобными. Таким образом мы приходим к определению подобных фигур, как фигур, между точками которых установлено взаимно-однозначное соответствие, обладающее тем свойством, что соответственные отрезки пропорциональны и углы, образуемые ими, равны.

После решения ряда задач на построение гомотетичных фигур, в частности — треугольников, доказываются признаки подобия треугольников в следующем плане: на стороне большего треугольника откладывают отрезок, равный соответственной стороне меньшего, и затем проводят прямую, параллельную другой стороне. Эта прямая отсекает от данного треугольника гомотетичный ему треугольник с центром гомотетии в общей вершине. Далее доказывают, что вспомогательный треугольник равен меньшему из двух данных, и, наконец, устанавливают подобие двух данных треугольников.

В нашем случае подобие фигур излагается после полного и систематического рассмотрения гомотетии. Такой порядок прохождения темы отличается логической последовательностью и находит непосредственное применение при решении задач на построение с помощью циркуля и линейки, а также при выполнении практических работ. Учащиеся убеждаются в том, что новое преобразование находит практическое применение при увеличении или уменьшении данного плана или карты, то есть изучение его вызвано жизнью. Если при этом учащиеся выполняют копирование карт или планов при помощи самодельных пантографов, то это еще в большей степени возбуждает их интерес к изучению этой темы и тем самым преодолевается формализм в знаниях учащихся. Кроме того, идя этим путем, мы намного упрощаем решение некоторых вопросов и одновременно доказываем существование подобных фигур.

В третьей главе описан педагогический эксперимент в связи с развитием школьной геометрии на основе идеи преобразований.

Эффективность рекомендуемой методики проверялась:

1. в VI классах при изучении темы «Треугольники» на основании

преобразования осевой симметрии; 2) в VIII классах при изучении «Пропорциональности отрезков и подобия фигур»; 3) в VII классах при доказательстве отдельных теорем на основании преобразования параллельного перенесения.

Экспериментальная работа в VI классах проводилась в 1956—57 учебном году в школах № 49 и № 12 г. Ростова-на-Дону (учителями Терентьевой 3. А. и Максимовой Н. И.), а также в школах Зимовниковского района Ростовской области (учителями Волковой Е. Г. и Юнда А. А.).

Педагогический эксперимент позволил:

1. установить доступность изложения темы «Треугольники», доказательства теорем которой построены на преобразовании осевой симметрии;

2. проверить правильность тех выводов, к которым пришел автор в результате изучения учебно-методической литературы, а также детально выяснить те изменения и дополнения, которые следует внести в изложение, основываясь на итогах проведенного эксперимента;

3. убедиться в том, что при решении задач на построение методом осевой симметрии каждый шаг этого решения выполняется учащимися на основании свойств этого преобразования более сознательно, чем при обычном решении задач;

4. установить, что доказательства теорем, основанные на использовании преобразования осевой симметрии, способствуют развитию у учащихся интуиции, так необходимой при изучении математических дисциплин;

5. выяснить, что метод доказательства теорем, с помощью осевой симметрии воспринимается учащимися глубже, чем при обычном изложении.

Эксперимент убедил нас в том, что такое изложение указанной темы, способствует поднятию интереса у учащихся к изучению геометрии. Это выражается в продуманных и глубоких ответах, в конструировании различных моделей для доказательства теорем и решения задач, в улучшении ведения тетрадей и, наконец, в повышении общей успеваемости по предмету. Например, в экспериментальных VI классах школ № 12 и № 49 г. Ростова-на-Дону в III четверти 1956—57 учебного года успеваемость повысилась соответственно на 11% и 8% в сравнении со II четвертью; в контрольном же классе школы № 12 она снизилась на 7%, а в школе № 49 повысилась на 4%. В Кутейниковской средней школе в экспериментальном классе успеваемость в III четверти в сравнении со II повысилась на 9,5%, в контрольном — на 2,7%.

Предлагаемая нами методика содействует привитию учащимся логических навыков в доказательстве теорем, так как при этом достигается единство в способах доказательства теорем и решении

задач на построение. Поэтому указанные рекомендации способствуют глубокому овладению методами решений задач на построение. Чтобы убедиться в этом, на следующий год в седьмых классах с теми же учащимися, с которыми проводился эксперимент в VI классе, была проведена контрольная работа. Она проводилась в I четверти. Работа давалась в двух вариантах и была рассчитана на 1 урок. Она состояла из одной задачи на построение прямоугольного треугольника по сумме катетов и гипотенузе, а также по сумме катетов и острому углу. Тексты этих задач были взяты из учебника А. П. Киселева. Как видно, задачи вполне посильны для решения учащимися 7-го класса.

В предложенной работе из 54 учеников экспериментальных классов плохие оценки получили только 3 ученика (5,8%), в контрольных классах плохих оценок почти в 4 раза было больше: из 51 учащегося 11 написали на неудовлетворительные оценки, т. е. 21,5%.

Анализ контрольных работ показывает, что из 54 учащихся экспериментальных классов 17 нарушили логическую последовательность. В контрольных классах таких нарушений оказалось 36 из 51.

Положительные результаты в 7-х классах получили учителя школ Зимовниковского района Ростовской области В. Г. Изварин (школа 18-го овцесовхоза), К. К. Жарков (Серебряковская семилетняя школа), Л. Ф. Сумарока (Гашунская средняя школа). Е. Г. Волкова (Кутейниковская средняя школа), то есть именно те, которые отдельные вопросы школьного курса излагали на идее преобразований. Так, не нарушая общей системы прохождения материала по учебнику «Геометрия» Н. Н. Никитина, они при доказательстве теорем об измерении вписанного угла и угла, составленного касательной и хордой, а также об измерении углов вне и внутри круга—использовали преобразование параллельного перенесения, а это в свою очередь способствовало лучшему усвоению метода параллельного перенесения, применяемого при решении задач на построение.

Педагогический эксперимент по теме «Пропорциональность отрезков, гомотетия и подобие фигур» в VIII классе проводился в 1957—58 учебном году в школе № 12 г. Ростова-на-Дону (учителем Романовым Н. П.) и в средних школах № 2, № 3, № 4 Зимовниковского района Ростовской области (учителями Н. Ф. Пеньковым, Е. Г. Волковой, Л. Ф.-Сумарока) ; в 1958—59 учебном году в школах № 5 и №95 города Балашова (учителями А. А. Краснощековым и Б. О. Генинг); в 1959—60 учебном году в школах № 5, 95, 8 и 14 г. Балашова (учителями В. А. Гаврилиным, С. В. Петровым, П. П. Никоновым, А. А. Зюбенко); во 2, 3 и 4 школах Зимовниковского района Ростовской области (учителями В. П. Трегубовой Л. Довженко, Е. Д. Кутыгиной).

Эксперимент подтвердил:

1. доступность изложения темы «Подобия фигур», когда изучение ее начинается с гомотетичного преобразования фигур;

2. правильность выводов, изложенных в диссертации в результате изучения учебно-методической литературы, обобщения опыта значительного количества учителей-практиков, в том числе и 15-летнего личного опыта работы в школе;

3. целесообразность предлагаемой методики, при которой учащиеся усваивают одно из основных понятий современной геометрии — понятие геометрического преобразования, узнают законы, по которым из данной фигуры получают ей гомотетичную и тем самым прочнее усваивают теоретический материал и лучше решают задачи методом подобия, чем при обычном изложении по учебнику геометрии А. П. Киселева.

Это подтверждается результатами ряда контрольных работ, которые мы проводили в экспериментальных и контрольных классах. Например, после изучения признаков подобия треугольников и ознакомления с сущностью метода подобия, применяемого при решении задач, мы провели контрольную работу, состоящую из двух задач на построение. Анализ показал, что ее результаты гораздо лучше в экспериментальных классах, чем в контрольных. Так, в VIII«A» (экспериментальном) классе школы № 12 г. Ростова учащиеся из 60 возможных ошибок в выполнении чертежа допустили только 2; в то же время учащиеся в VIII«Б» (контрольном) классе из 58 ошибок допустили 16. Объяснения решений задач в работах учащихся экспериментального класса значительно логичнее, чем в контрольном, не говоря уже о том, что они и аккуратнее оформлены. Такие же результаты мы имели в VIII классах других школ, в которых проводился эксперимент.

Лучшие результаты контрольной работы в экспериментальных классах объясняются прежде всего тем, что материал учащиеся усваивают глубже, чем при традиционном изложении этой темы: определения подобия фигур и признаки подобия треугольников возникли в сознании учащихся как логическое продолжение ранее рассматриваемого материала.

Так, определяя гомотетичные точки, строя их и решая задачи на построение гомотетичных фигур, учащиеся тем самым оказываются более подготовленными к рассмотрению подобных фигур и решению задач на построение методом подобия, сущность которого после этого усваивается ими осмысленно.

Мы пронаблюдали и за устными ответами учащихся этих классов Они хорошо усвоили всю тему «Гомотетия и подобие фигур» и применяли полученные знания к решению задач на построение, доказательство и вычисление.

Предложенная нами методика способствовала улучшению знаний учащихся. Это выражалось в том, что учащиеся:

1. более четко формулировали определения геометрических понятий и теорем, чем учащиеся контрольных классов;

2. меньше допускали логических ошибок при доказательстве теорем и решении задач;

3. умели оформить доказательство теорем и решение задачи символически, то есть геометрические рассуждения и объяснения перевести на язык символики.

Такая методика содействовала поднятию успеваемости учащихся экспериментальных классов. Так, в VIII«A» классе школы № 12 г. Ростова успеваемость за IV четверть 1957—58 учебного года повысилась не только в процентном отношении, но значительно улучшилось и ее качество в сравнении с успеваемостью VIII«B» класса. В VIII«A» классе учебный год на «4» и «5» закончили 21 ученик, а в VIII«B» — только — 8, несмотря на то, что в начале года в VIII«A» классе было больше второгодников и учащихся, которым математика давалась с трудом.

Эта же закономерность более высокого темпа роста успеваемости по геометрии проявилась и во втором круге экспериментальных работ в VIII классах школ №5 и №12 г. Балашова и других. Сравнительный анализ успеваемости учащихся в одних и тех же классах ряда школ по алгебре и геометрии до эксперимента показывает, что успеваемость по алгебре, как правило, была выше. Применение нашей методики вызвало более высокий темп роста успеваемости по геометрии и изменило уровень успеваемости и качество знаний в пользу геометрии (см. таблицу 8).

В третьей главе описана также методика проведения практических работ, выполненных с учащимися при изучении указанной темы. Это:

1. методика изготовления самодельных пантографов;

2. опыт проведения экскурсии в проектное бюро;

3. о проведении измерительной работы на местности. Мензульная съемка.

Опыт показал, что проведение этих работ способствует более глубокому усвоению учащимися гомотетичного преобразования фигур, а также устанавливает связь геометрии с другими школьными предметами, в частности с географией. Учащиеся, даже слабо успевающие по геометрии, с интересом относятся к выполнению практических работ.

ВЫВОДЫ

Результаты исследования позволяют рекомендовать учителям восьмилетней школы изложение курса геометрии проводить на основе идеи геометрических преобразований, начиная с VI класса,

причем преобразования должны использоваться не только для решения задач, но и для доказательства теорем. Предлагаемая система изложения геометрии обеспечивает при экономном расходовании времени и наименьшей затрате энергии учащихся (более быструю актуализацию соответствующих связей) более глубокое понимание сути математических знаний; приучает учащихся мыслить диалектически, воспитывая у них качества доказательности и обоснованности мышления.

Поднимает научно-теоретический и дидактический уровень преподавания на новую более высокую ступень, соответствующую современному состоянию научных знаний:

При таком изложении доказательство многих теорем оказывается более наглядным, так как учащиеся наблюдают процесс образования фигуры, выделяя ее из множества фигур данного класса. Это подводит учащихся к понятию группы преобразований, на важное значение которого указывал академик П. С. Александров.

Открывает возможность подчинить одной руководящей идее — идеи функциональной зависимости, всю школьную геометрию, что будет способствовать поднятию научного уровня изучаемого в школе курса математики в целом. Методика его преподавания упрощается: наблюдается единообразие в доказательствах многих теорем и в решениях задач на построение, доказательство и вычисление.

Практическая ценность такого изложения геометрии проверена на работе ряда школ. Эксперимент показывает, что при этом:

а) повышается качество знаний учащихся, которое выражается в том, что они четко формулируют математические предложения,

б) значительно увеличивается темп роста успеваемости по геометрии в течение одной четверти от 5 до 11% в экспериментальном классе, а в контрольном — от 2 до 4%,

в) развиваются конструктивные навыки учащихся, потому что изучение элементарных преобразований дает учащимся способы (методы) решения задач на построение, которые в свою очередь являются важным средством для развития логического мышления учащихся.

Работа представляет собой лишь попытку построения части курса геометрии планиметрии) на идее геометрических преобразований. Полное же до конца выдержанное развитие курса геометрии на новой основе затрудняется тем обстоятельством, что учителя привыкли к традиционному курсу геометрии, представляющему собрание теорем, причем главное внимание обращается на их доказательство, а не на причину возникновения фигуры, рассматриваемой в теореме.

Предлагаемое изложение не нарушает логической стройности остального курса геометрии, так как в нем рассматриваются тео-

ремы систематического курса, но доказательства их основаны на идее преобразований.

Результаты исследования и рекомендации обсуждались на заседании секции математиков Зимовниковского района Ростовской области в 1956—57 учебном году, учителями школ г. Балашова— в 1958—59 учебном году во время августовских учительских конференций, на научно-методической конференции педагогических институтов центральной части РСФСР в феврале 1958—59 учебного года в г. Воронеже, а также на XVIII конференции математических кафедр педвузов Уральской зоны, которая состоялась с 1 по 5 февраля 1960 года в г. Перми.

Наши рекомендации получили одобрение.

Основное содержание диссертации опубликовано в двух Статьях и в брошюре (общим объемом 5,5 п. л.). Статьи:

а) «Геометрические преобразования в курсе геометрии VI и VII классов средней школы» (Ученые записки Балашовского пединститута, том III, 1958).

б) Опыт проведения экскурсии в проектное бюро (Журнал «Математика в школе» № 5, 1959).

Брошюра «Пропорциональность отрезков и подобие фигур» г. Балашов, 1959-