МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

А. КАДЫРОВ

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РАЗДЕЛА НАСЛЕДСТВА, КАК ОДИН ИЗ ИСТОЧНИКОВ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА СРЕДНЕМ И БЛИЖНЕМ ВОСТОКЕ

732—методика преподавания математики

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Душанбе—1968

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры, элементарной математики и истории математики Московского областного пединститута им. Н. К. Крупской.

Научный руководитель.

Член-корреспондент АПН, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор И. К. Андронов.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор Розенфельд Борис Абрамович.

2. Кандидат физико-математических наук, доцент Собиров Гадойбой Собирович.

Ведущее предприятие (высшее учебное заведение,, научно-исследовательские учреждения) высшее учебное заведение—Научно-исследовательский институт педнаук Таджикской ССР.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской (г. Москва, ул. Радио, 10-а).

с...» — — — — — — 196 г.

Автореферат разослан «...» — — — — — — 1968 г.

Секретарь Ученого Совета;

Эпоха средневековья народов Средней Азии, столь богатая политическими событиями и выдающимися успехами в области науки и культуры, издавна привлекает к себе внимание ученых: математиков, астрономов, философов и других.

В последние годы, благодаря исследованиям целого ряда отечественных и зарубежных ученых, основанным на изучении подлинных рукописей в хранилищах Советского Союза и библиотеках Европы и Азии, заново освещены «многие существенные вопросы истории математики и математического образования. В центре внимания исследователей—изучение жизни и творчества отдельных ученых-математиков и астрономов, анализ их научных трудов, история создания математико-астрономических школ, научные связи ученых Средней Азии с учеными других стран и др.

Исследования последних лет раскрыли перед нами блестящие образцы самостоятельного научного творчества ученых Среднего и Ближнего Востока. Тем не менее законченного исследования о научном наследии математиков Средней Азии до сих пор нет. Еще далеко не полностью изучены математические рукописи ученых Средней Азии, хранящиеся в библиотеках Советского Союза и зарубежных стран.

Жизнь и творчество средневековых среднеазиатских ученых еще не получили должного освещения в историко-математической литературе.

Причина этого в основном состоит прежде всего в трудной доступности материала: изучение математики средневековья связано с предварительной расшифровкой арабских, персидских, иногда латинских текстов рукописей, что требует от исследователя огромной работы.

Мы поставили себе целью изучить вклад в математику, внесенный Сирадж ад-Дина Мухаммад ибн Мухаммад ибн Абд-ар-Рашид ас-Саджаванди, жившего в XII веке и его учениками в ХII—XIII веках, систематизировать и изучить дошедшие до нас неопубликованные рукописи и тем самым несколько восполнить тот пробел, который существует в иссле-

довании научного наследия среднеазиатских народов в области математических наук и математического образования. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения В 1 главе («Развитие науки и культуры в эпоху ас-Саджаванди») помимо опубликованных и переведенных источников на языках Советского Союза и Европы, мы использовали неопубликованные рукописи ас-Саджаванди, ан-Насафи, ал-Фараби, ал-Байхаки и других последователей этих ученых.

§ I этой главы посвящен общей характеристике развития науки и культуры Средней Азии в IX—XIII веках. Приводится также краткий обзор основных сведений о ряде среднеазиатских математиков и астрономов IX—XIII вв. Показано, что на развитие математики и математического образования сильно влияли труды греческих ученых и математиков багдадской школы.

В § 2 проводится анализ и характеристика рукописных источников, используемых в работе. Материалом, на котором построено исследование, послужили прежде всего оригинальные математические рукописи на арабском и персидском языках, сочинения среднеазиатского ученого XII в. Сиродж ад-Дина Мухаммад ибн Мухаммад ибн Абд-ар-Рашид ас-Саджаванди: 1. Наследственное право Сиродж ад-Дина (фараиз-и Сираджийя) (рукописи библиотеки отдела Востоковедения и письменного наследия АН Таджикской ССР, № 2638 и библиотеки проф. И. К. Андронова). 2. Трактат по арифметике (Рисала-ий хисаб) (Рукопись отдела Востоковедения и письменного наследия АН Таджикской ССР, № 2128(3). 3. Приведение к общему знаменателю (Ат-таджнис фи-л-хисаб) (рукопись библиотеки Ленинградского отделения Института народов Азии № С 1216. С 1330/13, С 1417/25 и библиотеки отдела Востоковедения и письменного наследия АН Таджикской ССР, № 2136). 4. Трактат по алгебре (Рисала ал-джабр ва-л-мукабала) (Рукопись библиотеки проф. И. К. Андронова). 5. Книга измерения (Китаб ал-масах.а) (Рукопись библиотеки проф. И. К. Андронова). 6 Комментарии к измерению площадей параллелограмма (Шарх масахат шубху-муин) (Рукопись библиотеки проф. И. К. Андронова). Кроме работ ас-Саджаванди в работе даны характеристики трудов его учеников: ал-Байхаки, ал-Фараби, ан-Насафи.

В § 3 дан обзор жизни и творчества ас-Саджаванди на основе разных рукописных источников.

В результате нашего исследования жизни и творчества ас-Саджаванди мы пришли к следующим заключениям;

1. Вслед за ал-Хорезми ас-Саджаванди занимался вопросами теории раздела наследства и стал основоположником

общей математической теории, а также практики решения задач на раздел имущества.

2. Он написал учебные пособия по математике для медресе Средней Азии, которые сыграли значительную роль в истории математики и математического образования.

3. Заслуга ас-Саджаванди еще и в том, что он обосновал и комментировал труды ал-Хорезми и других своих предшественников, способствуя тем самым их сохранению до настоящего времени.

В § 4 дан анализ жизни и творчества учеников ас-Саджаванди Мухаммада ибн Абу Бакра ибн Али ан-Насафи, Асада ибн Ахмада ал-Байхаки, Ахмада ибн Омара ибн Юсуфа ал-Фараби, продолживших после его смерти разработку математической теории раздела наследства и создание учебных пособий для школ.

Кроме произведений, посвященных комментариям трудов ас-Саджаванди, они создали ряд оригинальных научных трудов.

Во II главе («Анализ математических работ ас-Саджаванди») изложены основные результаты наших исследований, подробно проанализировано содержание ряда арабских рукописей ас-Саджаванди и его учеников, до настоящего времени не использовавшихся историками науки.

В § 1 этой главы рассмотрены арифметические работы ас-Саджаванди Трактат по арифметике (Рисала-ий Хисаб) и Приведение к общему знаменателю (Ат-Таджнис фи-л-Хисаб), служившие основным учебным пособием по математике в медресе.

Среди средневековых сочинений по практической арифметике наибольшее влияние на развитие математики и математического образования в Средней Азии ХII—XIV вв. оказали работы ас-Саджаванди.

При анализе его арифметических работ выясняется, что ас-Саджаванди излагает способ исчисления в десятичной системе с помощью девяти цифр—«букв» и говорит, что это позволяет легко и коротко выразить любое число и производить арифметические действия. Ас-Саджаванди, объяснив способ записи чисел в позиционной десятичной системе, учит, как надо произносить большие числа, пользуясь только названиями единиц, десятков, сотен и тысяч. Подобные наименования сохранялись в работах ученых XIV—XVF1 веков ал-Каши, ал-Кушчи и Баха ад-Дина Амули, а в европейской литературе— очень долгое время.

Далее следует тщательное описание арифметических действий по индийским образцам, причем ас-Саджаванди учит

начинать действия с низших разрядов. В его работах рассматриваются действия сложения, вычитания, умножения и деления чисел, излагаются действия удвоения и раздвоения. Правила сложения и вычитания у ас-Саджаванди совпадают с методами ал-Хорезми, но при действиях умножения и деления он пользуется сеткой, которая ранее была известна в Индии. Правила умножения целых чисел ас-Саджаванди производится по схеме:

Ас-Саджаванди при извлечении квадратного и кубического корней использовал прием, равносильный формулам:

Правильность произведенной операции контролируется «правилом девятки». Например, в случае умножения числа M на N, это правило состоит в следующем:

Если

Если при этом окажется, что S¥=SaS2 , то действия произведены неправильно. Недостаточность проверки по «правилу девятки» ас-Саджаванди не отмечал (это было сделано только Н. Шюке и Л. Пачоли).

Изложив действия над целыми числами, ас-Саджаванди переходит к дробям. Он обосновывает понятие дроби через понятие отношения меньшего к большему и подразделяет все дроби на «выразимые» (ментег и «невыразимые» (асамм).

К первой группе он относит доли единицы -ç-, -g-,----, —

и называет их «главными дробями», а остальные дроби он относит к «невыразимым». Ас-Саджаванди в своем трактате «Приведение к общему знаменателю» производит действие над дробями методом приведения к общему знаменателю.

В § 2 рассматривается теория отношений в работе ас-Саджаванди. Ас-Саджаванди в своей работе уделяет большое внимание теории отношений и в особенности теории составных и их частных случаев—двойного и тройного отношения.

В § 3 дан анализ алгебраических работ ас-Саджаванди. Основной целью ас-Саджаванди при составлении трактата по алгебре было составление руководства для решения задач о завещаниях и наследствах. Алгебра ас-Санджаванди—это наука о решении числовых линейных и квадратных уравнений. Он учит, что для того, чтобы другие уравнения привести к нормальным формам, надо опираться на двенадцать основных правил.

Ас-Саджаванди в своей алгебраической работе излагает решение шести типов линейных и квадратных уравнений, кото-

рые можно записать в виде

с—положительные величины ), Ас-Саджаванди подробно излагает методы решение этих уравнений.

Изложив решение канонических типов уравнений, ас-Саджаванди дает правила и поясняет на примерах основные правила действия над алгебраическими выражениями.

Особый интерес здесь представляет рассматриваемый им вопрос о прибавляемых и вычитаемых величинах.

В § 4 изложен метод решения неопределенных уравнений в работах ас-Саджаванди.

В Средней Азии решением неопределеных уравнений занимались ряд ученых, однако они не давали никаких общих методов решения уравнения вида ах + Ьу=-с и предлагали без всякого правила одно или несколько его решений. Однако в работе ас-Саджаванди «Наследственное право Сирадж ад-Дина» мы обнаружили метод решения двух уравнений с тремя неизвестными и одно уравнение с двумя неизвестными. Вид задач и метод их решения отличаются от решений математиков Греции, Индии и Китая.

Он в упомянутой работе дает несколько задач на неопределенные уравнения и излагает особый метод.

Задача ас-Саджаванди: «Старики, подростки и дети в количестве 200 человек вошли в баню. Каждый из стариков дал баньщику семь дирхемов, каждый подросток—три дирхема и каждый из детей—одну восьмую дирхема. У баньщика оказалось всего двести дирхемов. Определить, сколько было человек в каждой группе».

Ас-Саджаванди сначала составляет систему уравнений:

Затем отсюда получает уравнение

Прежде всего ас-Саджаванди находит частное решение следующим образом:

Из текста решения задач видно, что его метод совпадает с решением неопределенных уравнений методом конгруэнта. При этом он показал, что данная задача в целых положительных числах имеет одно единственное решение,

В § 5 дан анализ геометрических работ ас-Саджаванди. Труд ас-Саджаванди «Китаб ас-масаха» состоит из четырех глав и решения геометрических задач. Здесь собраны правила измерения фигур и показаны простейшие применения алгебры к задачам с треугольниками. Некоторые правила сопровождаются определениями, доказательствами и краткими пояснениями.

Во введении к своей работе ас-Саджаванди дает определение понятий, начиная от определения точки до частей шара включительно, аналогично тому, как это изложено в «Началах» Евклида.

Далее ас-Саджаванди называет «измеряемой величиной» (Микдар масахи) непрерывную геометрическую величину, т. е. такую, как линию, площадь и тело, в отличие от дискретного натурального числа. Во второй и третьей главах он излагает методы определения длины окружности площадь круга и площадь сегмента.

Особый интерес представляет здесь метод определения площади сегмента. Ас-Саджаванди для вычисления площади сегмента дает правило, которое приводит к следующей формуле:

Как известно, современная формула площади сегмента имеет вид:

Если формулу ас-Саджаванди сравнить с этой, то ошибка составит не более 2%. Употребляемые здесь ас-Саджаванди термины индийского происхождения: дугу он называет, подобно индийуам, луком (кавс), высоту сегмента—стрелой (сахм), а хорду сегмента—тетива (ватар).

Далее он последовательно излагает методы определения площади треугольника, четырехугольника и многоугольника. Все это сопровождается примерами. При определении площади криволинейных фигур он делит их на треугольники и сегменты, после чего определяет площадь рассматриваемой фигура. Правила вычисления объемов ас-Саджаванди дал для прямой призмы, конуса, цилиндра, пирамиды, усеченной

пирамиды и шара. Методы ас-Саджаванди по вычислению площадей и объемов данных фигур (кроме шара) совпадают с методами ал-Хорезми. В отличие от ал-Хорезми ас-Саджаванди дает правила вычисления поверхности и объема шара.

Ас-Саджаванди в конце своей геометрической работы приводит решение задач с применением теоремы Пифагора и алгебры. Анализ геометрических работ ас-Саджаванди показывает, что большинство методов вычисления площадей геометрических фигур отличается от методов других среднеазиатских ученых.

Третья глава, составляющая основную часть диссертации посвящена истории учения о возникновении общей математической теории раздела наследства в Средней Азии изучаемой в медресе и состоит из трех параграфов.

В § 1 содержатся общие сведения по возникновению мусульманского законодательства о разделе наследства. Надо отметить, что в опубликованых за последние годы работах по вопросам истории преподавания математики на Среднем и Ближнем Востоке на конкретных фактах показано, что математическое образование в эпоху средневековья было здесь на более высоком уровне по сравнению с математическим образованием европейских стран того времени. Однако в них не проанализированы причины такого развития математиеческого образования.

На развитие математики и математического образования на мусульманском Востоке оказали влияние различные факторы. Одним из важнейших является теория и практика раздела имущества между наследниками. При исследовании нами отдельных рукописей таких видных ученых как ал-Хорезми, ас-Саджаванди, ан-Насафи, Бабакалана и других, связанных с теорией и практикой распределения наследства, выясняется, что они стали одним из источников развития математических наук и ее образования.

В IX веке в Багдаде было организовано высшее учебное заведение (медресе), основная задача которого состояла в подготовке юристов, государственных чиновников, купцов и некоторых других категорий работников. Специфика работы этих специалистов часто требовала определенных знаний по теории раздела имущества. Поэтому вопросы раздела наследства были включены в программу медресе, как один из основных предметов. Это потребовало от ученых создания специального учебного пособия. Математические вычисления здесь производились при помощи десятичной системы счисления. Создание общей математической теории и практики раздела наследства требовала в основном развития арифметики

целых и дробных чисел в десятичной системе счисления, а также развития основных понятий алгебры.

В § 2 дан обзор истории изучения наследственного права ислама в других странах. В обзорном параграфе использованы результаты исследований Н. А. Смирнова, А. Казембека, И. Н. Березина, И. Е. Тарнау, В. Ф. Гиргаса, К. К. Пален и др.

В § 3 дан перевод и подробные комментарии основного труда ас-Саджаванди «Фараиз и сираджийя», написанного на арабском языке. Наиболее трудные части текста поясняются прямо на полях в современных математических обозначениях. Остальные пояснения приведены в конце книги.

Работа ас-Саджаванди «Фараиз-и Сираждийя» состоит из трех книг: «Арифметика и алгебра», «О теории задач о завещаниях» и «О задачах о кругооборотах». Анализ «Арифметики и алгебры», которая является первой книгой работы ас-Саджаванди, дан во второй главе нашей работы.

Вторая книга «О теории задач о завещениях» состоит из двадцати семи глав, а книга «О задачах о кругооборотах» состоит из десяти глав. Эта работа интересна тем, что он дает в ней общую математическую теорию и практику раздела наследства. Кроме того, здесь приводится более 150 задач и различные методы их решения, опирающиеся на основные понятия арифметики и алгебры.

Еще в IX веке в трудах ал-Ьорезми появились некоторые предпосылки к возникновению математических методов раздела имущества и связанных с ними простейших математических расчетов.

В XI—XII веках в результате большой практической деятельности по резделу наследства появляются предпосылки для создания их общей математической теории. Таким образом, практика раздела имущества повлияла на ход развития математических наук и математического образования вообще.

В результате исследования данной рукописи выясняется, что ас-Саджаванди был основоположником создания общей математическкой теории раздела наследства в странах ислама. Труд ас-Саджаванди являлся на Среднем и Ближнем Востоке основным руководством по вопросам наследства и был очень популярен и изучаем в медресе. За 7 веков можно насчитать более 50 комментаторов труда ас-Саджаванди. Это связано с тем, что вопросы раздела наследства входили в мусульманское законодательство и в программу, преподавание в медресе, в частности как один из предметов математики.

Поэтому ас-Саджаванди при составлении своих руководств по вопросам раздела наследства сначала излагал те мате-

матические понятия, которые ему необходимы были при решении той или иной задачи. Поэтому его труд значительно способствовал развитию математики и математического образования в Средней Азии.

* * *

Мы рассмотрели некоторые источники развития математики и математического образования в Средней Азии в период XI—XIII веков. Отметим, что важным источником развития математики и математического образования в Средней Азии было также развитие астрономии. Благодаря заслугам ученых Средней Азии математическое образование здесь достигло своего высшего расцвета. Не менее существенное значение имела деятельность представителей этого периода в развитии математики и астрономии. Исследование математических и астрономических рукописей ученых XI—XIII вв. показывает, что они не только развивали далее идеи своих предшественников, но, благодаря их трудам, коренным образом изменилась постановка математического образования и методика изложения материала в учебных пособиях на Среднем и Ближнем Востоке. В долгом и сложном процессе формирования методики изложения математики, работы среднеазиатских ученых сыграли очень большую роль, знаменуя собой начало нового периода истории математического образования.

Результаты настоящей работы были доложены:

1. На семинаре «Вопросы истории и методики элементарной математики» при Душанбинском госпединституте, май 1967 г. и апрель 1968 г.

2. На конференции преподавателей и аспирантов в Душанбинском пединституте, май 1966 г. и сентябрь 1967 г.

3. На первой среднеазиатской конференции по истории естествознания и техники при АН Таджикской ССР, май 1967 г.

4. На симпозиуме «Авиценновые чтения» при АН Таджикской ССР, май 1968 г.

5. На кафедре высшей алгебры и элементарной математики и истории математики Московского областного педагогического института, сентябрь 1968 г.

II. Материалы диссерации опубликованы в следующих работах;

1. Теория и практика раздела наследства, как один из источников развития математического образования на Среднем и Ближнем Востоке, в сб. «Вопросы истории и методики элементарной математики», вып. III (Ученые записки Душанбинского госпединститута, том 56). Душанбе, 1967, стр. 33—40.

2. Дар бораи арифметикаи ас-Саджаванди (об арифметике ас-Саджаванди) «Маориф ва маданият» (на тадж. яз.), 1968.

3. О математических работах ас-Саджаванди. Доклады на Авиценновые чтения, Душанбе, 1968 (находится в печати).

4. Халли муодилахои номуайяни ас-Садживанди (решение неопределенного уравнения ас-Саджаванди) Мактаби Совети № 11, 1968 г. («Советская школа», на таджикском языке).

Подписано к печати 3I/X-68 г. Объем 1 п. л. Зак. 2094. Тир. 150. К Л 04743

Типография Министерства народного образования

Таджикской ССР