МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Д. Ф. ИЗААК

ИЗОБРАЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент Е. С. Березанская

МОСКВА — 1961

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

профессор Гуревич Григорий Борисович

и кандидат педагогических наук

доцент Каченовский Мечислав Игнатьевич

Защита состоится.

. 1962 г.

в Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской, ул. Радио, 10-а.

Вопросу об изображении геометрических фигур в школьном курсе геометрии посвящена уже богатая литература. Тем не менее он остается все еще актуальным и злободневным. Объясняется это в основном тем, что имеющиеся по этой теме методические разработки и рекомендации трудны и малодоступны, а внедрение их в школьную практику требует так много времени и такой ломки традиционного преподавания стереометрии, что учителя не решаются это делать.

Мы в своей работе поставили перед собой задачу создать более доступную и более гибкую систему обучения учащихся построению изображений в курсе геометрии средней школы. По этой системе учащиеся знакомятся с основными понятиями теории изображений и основными способами построения изображений в ходе решения конкретных задач (на построение, на вычисление и на доказательство). Поэтому внедрение ее в школьную практику не связано с необходимостью изменения традиционного теоретического курса стереометрии, изучаемого в средней школе.

Кроме того, в зависимости от подготовленности класса, по усмотрению учителя можно увеличивать или уменьшать объем сведений, сообщаемых учащимся в связи с обучением их построению изображений.

Глава I. Обзор литературы, связанной с темой диссертации

В этой главе рассмотрено одиннадцать учебников геометрии, бывших в употреблении во второй половине XIX века и в начале XX века как в России, так и за рубежом, одиннадцать современных учебников геометрии, изданных в Советском Союзе и в зарубежных странах. Учебники рассматриваются с точки зрения качества помещенных в них чертежей и с точки зрения того, какое внимание в них уделяется изображению геометрических фигур.

Дается обзор программ и инструкций по преподаванию математики в Западной Европе, действовавших в начале XX века.

Особое внимание уделено освещению вопроса об изображении геометрических фигур в работах профессора Н. Ф. Четверухина и других советских авторов, включая основные две диссертационные работы А. Д. Семушина и В. Е. Назаретского, посвященные указанному вопросу.

Специально рассматривается методическая литература, посвященная новому направлению в методике решения задач на построение в стереометрии и введению понятия полного изображения.

Глава II. Изображение геометрических фигур в планиметрии

К чертежам, применяемым в планиметрии при доказательстве теорем и при решении задач на вычисление, нами предъявляются три требования:

1) Чертеж должен соответствовать условию теоремы или задачи.

2) Чертеж должен быть выполнен аккуратно,

3) Выполнение чертежа должно быть достаточно простым.

Соответствие чертежа условию теоремы или условию задачи означает, что он верно передает свойства той геометрической фигуры, которая задана по условию теоремы или задачи. Мы показываем, что требование соответствия чертежа условию теоремы или задачи нецелесообразно формулировать в виде некоторых необходимых и достаточных условий. Так, например, при изображении различных элементов одной и той же фигуры не всегда требуется одинаковая точность. С другой стороны, точность чертежа, обеспечивающая соответствие его условию задачи, часто зависит от характера решаемой задачи.

В диссертации даны проверенные опытом методические рекомендации, направленные на выработку у учащихся навыков в выполнении чертежей в соответствии с условием теоремы или задачи.

Чертеж имеет отношение к общности доказательства теоремы. Если при доказательстве теоремы будут использованы только те свойства чертежа, которыми обладают все фигуры, удовлетворяющие условию теоремы, то доказательство обладает общностью. Но с точки зрения методики нецелесообразно при доказательстве теоремы использовать чертеж с такими свойствами, которыми геометрическая фигура по условию теоремы не обладает и на которые учащиеся легко обратят внимание. Такие чертежи отвлекают внимание учащихся и могут увести их в сторону от правильного хода доказательства. Кроме того, в памяти учащихся теорема будет ассоциироваться с образом, не характерным для содержания ее.

С другой стороны важно, чтобы чертеж верно передавал частные свойства фигуры, которыми она обладает по условию теоремы. В противном случае чертеж не поможет учащимся удержать в памяти условие теоремы, не направит мысль, не поможет им видеть те свойства фигуры, которые связывают условие теоремы с заключением.

При выполнении чертежа в соответствии с условием теоремы важен не только конечный результат, но и построение само по себе. Это значит, что при выполнении чертежа по возможности следует исходить непосредственно из условия теоремы, а не из заключения. Смысл и значение этого тезиса нами раскрываются на конкретных примерах.

Рассмотрена роль чертежа при создании в умах учащихся устойчивого геометрического образа в связи с изучением новой теоремы.

К чертежу, иллюстрирующему задачу на вычисление, следует предъявлять требование соответствия его условию задачи по следующим соображениям.

1) Педагогически важно, чтобы требования, которым должен удовлетворять чертеж, были вполне определенные, конкретные и понятные для учащихся.

2) Чертеж, выполненный в соответствии с условием задачи, дает действительное представление о форме рассматриваемой фигуры.

3) Когда чертеж выполняется в соответствии с условием задачи, учащиеся убеждаются в существовании фигуры, данной в задаче, или вынуждены вскрыть те условия, при которых фигура существует. При этом не важно, с помощью каких инструментов выполняется чертеж, можно даже обойтись без чертежных инструментов. Важно, чтобы каждое промежуточное построение было установлено и в принципе было выполнимо в геометрии.

4) Анализ чертежа и выполнение его проливают свет на зависимости между данными и искомыми величинами и, таким образом, во многом облегчают вычислительную часть.

5) При выполнении чертежа по условию задачи учащиеся решают некоторую конструктивную задачу, тем самым между задачами на вычисление и задачами на построение будет создана преемственность.

В работе отмечаются те трудности, которые встречают учащиеся при выполнении чертежа, и указаны пути их преодоления.

Мы нашли целесообразным делить задачи на вычисление на группы в зависимости от того, как выполняется чертеж к ним.

I. Задачи решаются без чертежа, часто устно.

II. Чертеж выполняется в соответствии с условием задачи без предварительного анализа. Промежуточные построения и последовательность их выполнения легко усматриваются из условия задачи.

III. Чертеж выполняется после предварительного анализа, проводимого с помощью чертежа-наброска.

IV. К этой группе мы относим такие задачи, для которых чертеж может быть выполнен в соответствии с условием задачи только после того, как задача фактически будет решена.

В этих случаях для решения задачи достаточно выполнить чертеж-набросок, по возможности в соответствии с условием задачи.

В работе показано, почему такая своеобразная классификация задач может быть полезной для учителя.

По третьему требованию чертеж должен быть достаточно простым для выполнения. Это значит, что выполнение чертежа не должно быть связано с использованием таких вспомогательных линий, которые не имеют прямого отношения к доказательству теоремы или решению задачи на вычисление. Практически это означает, что при доказательстве теоремы или при решении задачи на вычисление многие промежуточные построения, а то и весь чертеж, следует выполнять на глаз. Чтобы упростить выполнение чертежей в соответствии с условием теоремы или задачи на вычисление целесообразно сочетать строгие построения с построениями на глаз и выполнять в определенной последовательности промежуточные построения, на которые разбивается весь чертеж. В диссертации на многих примерах показано практическое осуществление этого принципа.

В шестом параграфе разработан новый вид упражнений по геометрии: решение задач, в которых полностью не определена форма геометрической фигуры, связывается с исследованием различных свойств этой фигуры. Нами рассмотрено тридцать задач, в которых полностью не определена форма геометрической фигуры, и каждая из них снабжена одним или несколькими специальными заданиями. Выполняя эти задания, учащиеся естественно находят различные геометрические места точек, знакомятся с интересными задачами на максимум и минимум, с такими свойствами геометрической фигуры, которые остаются неизменными при определенном преобразовании ее. Связующим звеном между самим решением задачи и указанными исследованиями является чертеж, который выполняется в соответствии с условием задачи.

Глава III. Основные вопросы теории изображений и методики обучения учащихся построению изображений при изучении стереометрии

В начале главы по новому излагается теория полных изображений. Наше изложение отличается от существующих тем, что в основе его лежат понятия изображенных элементов (точки, прямой, плоскости), которые позволили сделать изложение всей теории более простым и ясным.

Полное изображение определяется как такое, на котором можно построить инциденции всех изображенных элементов.

Основные свойства полного изображения раскрываются в следующих теоремах:

Теорема 1. Если изображение полное, то для каждой изображенной точки на нем имеется или может быть построено изображение параллельной проекции этой точки на некоторую изображенную плоскость, которую можно выбрать произвольно.

Теорема 2. Для того, чтобы изображение было полным, достаточно для каждой изображенной точки иметь еще изображение параллельной проекции этой точки на некоторую изображенную плоскость.

Теорема 3. Если изображение F полное, то на нем можно построить все точки и линии пересечения прямых и плоскостей как изображенных на F, так и тех, изображения которых могут быть построены.

На полное изображение можно налагать различные условия. Если эти условия таковы, что изображению соответствует единственный по форме оригинал, то оно называется метрически определенным. Нами рассмотрены не только основные вопросы теории метрически определенных изображений, но и различные способы обращения полного изображения в метрически определенное, а также вопрос о построении изображения по данному конкретному оригиналу.

Далее в третьей главе излагается наша точка зрения на то, как понимать решение задач на построение в стереометрии.

Мы предлагаем все задачи на построение в стереометрии разделить на два класса в зависимости от того, нужно ли по условию задачи построить какую-либо пространственную геометрическую фигуру или нужно только построить изображение заданной по условию задачи фигуры. В первом случае мы будем говорить о задаче на построение в стереометрии в широком смысле, во втором случае — о задаче на построение изображения (или в узком смысле).

Под решением задачи на построение в широком смысле мы будем понимать мысленное (воображаемое) построение указанной в условии задачи фигуры в пространстве и построение изображения ее на плоскости чертежа.

Под построением изображения некоторой геометрической фигуры мы будем понимать построение параллельной проекции этой фигуры на плоскости чертежа в определенном масштабе.

В третьей главе обосновывается рекомендуемый нами подход к использованию параллельной проекции при построении изображений геометрических фигур в процессе изучения стереометрии в средней школе. Сущность этого подхода состоит в том, что мы выполняем изображение при определенном положении оригинала относительно плоскости чертежа. Такой подход имеет ряд преимуществ.

1) Занимаясь черчением, учащиеся вынуждены представлять себе оригинал, расположенный вполне определенно относительно плоскостей проекций, приобретают соответствующие навыки и умения. При изучении стереометрии целесообразно воспользоваться этими навыками учащихся и развивать их дальше.

2) Изучаемые в стереометрии фигуры мы вместе с учащимися представляем себе обычно расположенными в пространстве вполне определенным образом.

3) Учащиеся вначале при изучении стереометрии испытывают большие затруднения, когда им нужно представлять себе пространственную фигуру. Особое значение при этом имеет первоначальное представление. Помогая учащимся расположить фигуру-оригинал определенным образом в пространстве, вырабатывая у них навыки в этом направлении, мы тем самым помогаем им в создании первоначального образа, даем им как бы точку опоры, на которую они могут опираться в дальнейшей работе над выработкой представления.

4) Выполнение изображения при определенном положении оригинала относительно плоскости чертежа вынуждает учащихся глубже вникнуть в свойства оригинала и, таким образом, постоянно поддерживать связь между оригиналом и изображением.

5) Удачный выбор положения оригинала относительно плоскости чертежа может в значительной степени обеспечить наглядность изображения.

Особенно важно, что указанный выше подход к построению изображений позволяет обосновывать эти построения с помощью специальной теоремы, заменяющей мало доступную

для учащихся теорему Польке-Шварца. Мы назвали ее теоремой к .

Теорема я. Если в пространстве дана фигура F1, образованная тремя отрезками S!A\ S^1, SlC\ исходящими из одной точки S1, и треугольник А^В1 изображен на плоскости чертежа равным ему треугольником ASB, то отрезок SlC* можно изобразить на чертеже произвольным отрезком SC, исходящим из точки S.

Эта теорема легко доказывается и находит широкое применение при решении задач, заменяя теорему Польке-Шварца. В диссертации это показано на многих примерах.

Впоследствии теорема я обобщается до теоремы Польке-Шварца без доказательства.

В этой же главе подробно излагается методика ознакомления учащихся со свойствами параллельного проектирования и с принципом изображения пространственных фигур на плоскости. С основными свойствами параллельной проекции учащиеся знакомятся сперва практически, наблюдая за тенью на доске от проволочной модели куба и от моделей других геометрических фигур при облучении их солнечным светом или другим источником света. Потом эти свойства параллельной проекции доказываются.

После изучения с учащимися свойств параллельной проекции перед ними специально ставится вопрос об изображении геометрических фигур на плоскости чертежа. Изображение определяется как параллельная проекция оригинала, выполненная в определенном масштабе на плоскости чертежа.

В соответствии с изложенной выше точкой зрения на толкование задач на построение в стереометрии дается методика решения задач на построение (гл. III, § 5).

На первых уроках стереометрии учащиеся решают позиционные задачи на построение на основании сообщенных им основных свойств изображений; при этом используются изображения многогранников.

После того, как учащиеся познакомятся со свойствами параллельной проекции, поупражняются в построении простейших изображений, перед ними специально ставится вопрос о решении задач на построение в стереометрии. На конкретных примерах учащиеся знакомятся с задачами на построение в широком смысле и с задачами на построение изображения.

В § 5 гл. III приведен набор упражнений: даются десять позиционных задач и шестьдесят метрических задач на построение, многие из которых снабжены решениями и указаниями. Методика ознакомления учащихся с этими задачами изложена в специальных «Методических замечаниях» к ним.

В нашей работе особое внимание уделяется менее разработанной методике решения метрических задач на построение. Основные положения этой методики сводятся к следующему.

1. Чтобы подготовить учащихся к решению метрических задач на построение, повторяют те свойства геометрических фигур, на которые часто приходится ссылаться при решении таких задач, а именно:

а) теорема об углах с параллельными сторонами; в) свойства вписанной в треугольник и описанный около треугольника окружностей;

с) свойство биссектрисы угла треугольника;

д) зависимость между катетами и проекциями катетов на гипотенузу в прямоугольном треугольнике;

е) свойство диаметра окружности, проведенного через середину хорды, и др.

2. Существует, в основном, два метода решения метрических задач на построение. Первый метод основан на использовании оригинала: искомые точки и линии на изображении получаются непосредственным проектированием соответствующих точек и линий оригинала. Второй метод основан на использовании свойств параллельной проекции.

На первых порах чаще применяется первый метод, так как он более доступен и к тому же помогает учащимся лучше видеть связь между оригиналом и изображением. По мере того, как учащиеся приобретают навыки в решении задач первым методом, следует переходить ко второму методу, который обычно дает менее громоздкое решение. Учащимся разъясняется суть второго метода.

3. Чтобы сделать метрические задачи на построение более доступными для учащихся, они решаются в определенной последовательности:

а) задачи на построение изображения в кабинетной проекции;

б) задачи на построение изображения прямой, перпендикулярной к другой прямой;

в) задачи на построение изображения биссектрисы угла;

г) задачи на нахождение ошибок на изображении;

д) задачи, связанные с изображением окружности;

е) задачи на построение оригинала по данному изображению.

Не исключена, конечно, возможность некоторого изменения намеченного порядка решения указанных задач, но всегда следует соблюдать меру при решении этих задач, особенно до изучения темы «Перпендикулярность прямой и плоскости»,

Решение таких задач можно практиковать на всем протяжении изучения курса стереометрии.

4. На протяжении длительного времени позиционные задачи на построение решаются на полном изображении, а метрические задачи на метрически определенном изображении.

К задачам на построение, при решении которых некоторые элементы изображения свободно выбираются на плоскости чертежа, мы рекомендуем переходить после того, как учащиеся приобретут достаточно хорошие навыки в решении задач на полном и метрически определенном изображениях и, кроме того, познакомятся с теоремой Польке-Шварца. Суть рекомендуемой нами методики перехода к таким задачам состоит в следующем:

Внимание учащихся обращается на то, что до сих пор при решении задач на построение каждая точка оригинала изображалась единственной точкой на плоскости чертежа, каждому воображаемому построению на оригинале соответствовало единственное построение на изображении этого оригинала. Учащиеся таким образом знакомятся с понятием полного изображения, которое теперь удобно ввести.

После этого знакомят учащихся с такими задачами на построение, при решении которых многие элементы изображения фактически не строятся, а произвольно выбираются на плоскости чертежа. При этом следует воспользоваться тем, что такие изображения встречались учащимся уже при решении задач на вычисление.

Знание теоремы Польке-Шварца или заменяющей ее теоремы я позволяет учащимся сознательно решать задачи на построение, в которых многие точки и линии на изображении выбираются произвольно.

Отметим, что такой переход от задач, решаемых эффективными построениями на плоскости чертежа, к задачам, в которых построения по существу выполняются в воображении, а на плоскости чертежа эти воображаемые построения изображаются со свободным выбором многих точек и линий, не связан с нарушением сложившихся у учащихся представлений о задачах на построение в стереометрии.

Решение метрических задач на построение, в которых заданы плоские геометрические фигуры, имеет целый ряд достоинств, а именно:

1) На примерах конкретных задач можно учащимся показать общие приемы построения изображения плоской фигуры по данному оригиналу, можно познакомить учащихся с различными способами обращения изображения плоскости в метрически определенное.

2) Учащиеся на первых порах не обладают еще хорошо развитыми пространственными представлениями и поэтому целесообразно решать с ними задачи, в которых они должны представлять себе знакомые плоские фигуры, но расположенные в трехмерном пространстве.

3) Учащиеся повторяют метрические и другие свойства плоских фигур, что само по себе полезно и подготавливает их к решению стереометрических задач на вычисление.

Специально в третьей главе рассматривается вопрос об особенностях чертежей, применяемых при доказательстве теорем и вопрос о выполнении чертежей при решении задач на вычисление.

Сущность рекомендуемого нами подхода к выполнению чертежей при решении задач на вычисление состоит в том, что геометрическая фигура, заданная по условию задачи, обычно не строится, а строится только изображение этой фигуры, причем учащиеся не описывают построения чертежа в тетрадях. Но при этом не исключено, что некоторые элементы заданной геометрической фигуры целесообразно будет построить. Так, например, часто целесообразно построить сечение многогранника, хотя по условию задачи оно считается уже построенным.

Наконец, в той же главе рассматривается одиннадцать конкретных примеров, иллюстрирующих основные положения рекомендуемой нами методики выполнения чертежей при решении задач на вычисление.

Глава IV. Изображение тел вращения

В этой главе изложен вопрос об изображении тел вращения: цилиндра, конуса, шара и некоторых комбинаций тел.

Цилиндр и конус мы рекомендуем изображать так, чтобы отрезок, изображающий высоту конуса (цилиндра), лежал на одной прямой с малой осью эллипса основания, что дает более наглядное представление о прямом круговом конусе (цилиндре). Нами найдены все способы получения такого изображения конуса (цилиндра), т. е. в зависимости от условий, наложенных на оригинал, указывается тот проектирующий аппарат (положение оригинала относительно плоскости проекции и направление проектирования), при котором получается данное изображение конуса (цилиндра). При этом дается прямое конструктивное доказательство теоремы:

«Данное изображение конуса можно рассматривать как параллельную проекцию прямого кругового конуса с любым наперед заданным отношением высоты к радиусу основания».

Конструирование соответствующего проектирующего аппарата по заданному изображению и заданному отношению высоты конуса H к радиусу его основания R существенно зависит от того, будет ли отношение 8=Н : R меньше или больше отношения h : с, где h — отрезок, изображающий высоту конуса, а и b — полуоси эллипса, изображающего основание конуса.

Если

то проектирующая плоскость, проходящая через высоту конуса, перпендикулярна к плоскости проекций и a=R. Мы такую проекцию назвали специальной косоугольной проекцией. Значение 3=h:c соответствует ортогональному проектированию.

Если

то проектирующий аппарат имеет несколько более сложную конструкцию. В частности, проектирующая плоскость, проходящая через высоту конуса, не перпендикулярна к плоскости проекций и a>R.

Таким образом, если изображение конуса рассматривать как специальную косоугольную проекцию оригинала, то

Исследование изображения конуса заканчивается практическими выводами: на конкретных примерах показано, как практически при построении изображения конуса в комбинации с другими телами пользоваться результатами, полученными при вышеуказанном исследовании.

В этой же главе также конструктивно доказываются основные свойства изображения конуса:

1) Контурные образующие конуса изображаются касательными к эллипсу, изображающему основание конуса.

2) Видимая часть боковой поверхности конуса больше ее невидимой части.

Там же излагается методика ознакомления учащихся с этими свойствами изображения конуса.

При этом существенную роль играет созданный нами диафильм: «Изображение цилиндра и конуса» (см. приложение).

Как в самом исследовании изображения конуса, когда в зависимости от условий, наложенных на оригинал, ищется соответствующий проектирующий аппарат, так и при доказательстве основных свойств изображения конуса, устанавливается непосредственная связь между оригиналом и изображением. При этом оказался плодотворным метод использования

промежуточной проекции. Сущность этого метода состоит в том, что сперва конус проектируется на вспомогательную плоскость, а потом уже вспомогательное изображение проектируется на настоящую плоскость чертежа. Вспомогательная плоскость проекции выбирается с таким расчетом, чтобы упростить как связь между элементами промежуточного изображения и соответствующими элементами оригинала, так и связь между промежуточным изображением и окончательным изображением на плоскости чертежа.

В случае, когда по данному изображению и известной форме конуса-оригинала ищется соответствующий проектирующий аппарат, такой вспомогательной плоскостью проекций является плоскость, перпендикулярная к направлению основного проектирования.

В случае, когда доказываются основные свойства изображения конуса, такой вспомогательной плоскостью является плоскость основания конуса.

В этой главе подробно рассматриваются различные способы построения изображений комбинации тел, а также методика обучения учащихся выполнению чертежей при решении задач на комбинации тел. При этом обращается особое внимание на то, какое место должен занимать чертеж и его описание как в самом процессе решения задачи, так и при обосновании решения.

Глава V. Основные результаты экспериментальной работы

В пятой главе излагаются основные результаты экспериментальной работы по материалам диссертации.

Изложенные в диссертации методические рекомендации проверены личным опытом и специально организованным экспериментом в трех средних школах города Орска и в одной семилетней школе Переволоцкого района Оренбургской области. Предложенные рекомендации обсуждались на конференциях учителей математики средних школ.

Проведенная экспериментальная работа, личный опыт автора и неоднократное обсуждение материалов диссертации на учительских конференциях позволяют считать диссертацию полезной для учителей математики средней школы: изложенный в диссертации материал может помочь учителям в повышении их квалификации, может помочь им сделать обучение учащихся стереометрии более доступным и эффективным.

ПРИЛОЖЕНИЯ

В первом приложении приводится элементарное доказательство теоремы Польке-Шварца. В этом доказательстве центральное место занимает лемма:

«Произвольно взятый треугольник ABC можно рассматривать как ортогональную проекцию другого произвольного по форме треугольника А^С1».

Мы нашли элементарное конструктивное вполне доступное учащимся средней школы доказательство леммы, не основанное на существовании главных направлений двух аффинных полей. Приведенное в диссертации доказательство теоремы Польке-Шварца может быть исплоьзовано во внеклассной работе с учащимися средней школы.

Во втором приложении даны два диафильма:

1) Изображение вписанных и описанных многоугольников.

2) Изображение цилиндра и конуса.

Первый диафильм может быть использован для ознакомления учащихся со свойствами изображения окружности, вписанных в нее и описанных около нее многоугольников.

С помощью второго диафильма учитель может в простой и наглядной форме познакомить учащихся с основными свойствами изображений цилиндра и конуса.

Основное содержание диссертации изложено в статьях:

1) Об изображении пространственных фигур. Математика в школе, 1956, № 6.

2) К вопросу об изображении пространственных фигур в средней школе. Ученые записки Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина, выпуск 4, 1960, 60 стр.

3) Выяснение формы геометрической фигуры при решении задач по геометрии. Математика в школе. 1961, № 2.

Л 78302 13/XII 1961 г.

Лпи. Госкомитета по судостроению, зак. 2412