МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

И. И. ИВАНОВ

ст. преподаватель Псковского Государственного Педагогического института им. С. М. Кирова

ПОДГОТОВИТЕЛЬНАЯ РАБОТА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ И ВЛИЯНИЕ ЕЕ НА УЛУЧШЕНИЕ ЭТОГО ПРОЦЕССА (на материале курса алгебры VIII класса)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель профессор И. Я. ДЕПМАН

ЛЕНИНГРАД 1956

Официальные оппоненты

Доктор философских наук, профессор педагогики П. Н. ПИПУНЫРОВ

Кандидат физико-математических наук, доцент Е. В. МАХОВЕР

Кандидат педагогических наук Б. А. ФЕЛЬДБЛЮМ

Защита состоится в Ленинградском Государственном Педагогическом институте, Ленинград, М. Посадская, 26. г- в

Автореферат разослан 56 г.

Директивы XX съезда КПСС по шестому пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1956—1960 годы придают большое значение задаче осуществления всеобщего среднего образования и развития политехнического обучения в общеобразовательной школе путем ознакомления учащихся с важнейшими отраслями современного производства. Эта задача становится все более актуальной вследствие того, что народное хозяйство СССР, базирующееся на высокой и все усложняющейся технике, предъявляет к школе новые требования.

В отчетном докладе ЦК КПСС XX съезду Н. С. Хрущев указывал на необходимость улучшения общеобразовательной подготовки учащихся средних школ. Вместе с этим он отмечал наличие серьезного недостатка в обучении в общеобразовательной школе, состоящего в отрыве обучения от жизни, в недостаточной подготовленности оканчивающих среднюю школу к практической деятельности.

Дальнейшее развитие политехнического обучения остается основной задачей средней школы. Однако политехнизация обучения должна осуществляться не за счет снижения требований к изучению вопросов теории. Политехническое обучение включает в себя как основу поднятие общеобразовательного уровня учащихся. Без достаточной теоретической подготовки оканчивающие среднюю школу не могут быть ознакомлены с основами современного производства, без этого они не могут продолжить образование в высшей школе. Президент АПН РСФСР И. А. Каиров в речи на XX съезде КПСС отмечал, что политехническое обучение может быть осуществлено тем успешнее, чем выше уровень и качество общего образования, на базе которого оно строится. Следовательно, улучшение общенаучной подготовки учащихся средних школ является весьма актуальной задачей.

Алгебра, как и математика вообще, относится к основным предметам школьного преподавания. Алгебраические знания необходимы как непосредственно для жизни, так и для других

школьных предметов. Это обязывает среднюю школу заботиться о том, чтобы теоретические положения курса алгебры не были обеднены.

Политехнизация курса алгебры требует прежде всего создания хорошей теоретической базы. Подготовка учащихся к применению выводов алгебры в жизни заключается, главным образом, в выработке у них вычислительных и графических навыков, а также в развитии навыка в решении и исследовании практических задач.

Благодаря постепенному совершенствованию преподавания алгебры в средней школе знания учащихся по алгебре из года в год улучшаются. Об этом говорят, в частности, итоги испытаний на аттестат зрелости и итоги приемных испытаний в высшие учебные заведения. Однако преподавание алгебры в средней школе еще не соответствует полностью требованиям современной жизни.

Одной из существенных и актуальных задач улучшения преподавания алгебры в средней школе является углубление знаний учащихся о числах вообще и в особенности о действительных числах. В последние годы вопросу об углубленном изучении теории действительных чисел посвящен ряд работ, но на наш взгляд решение этой проблемы еще далеко от завершения. Вполне актуальной является наша попытка создать один из возможных вариантов методики изучения действительных чисел. В этом состоит первая цель нашего исследования.

Существенными особенностями разработанной нами методики являются: 1) изучение возможно полной по охвату вопросов теории действительных чисел (введение иррациональных чисел, свойства множества действительных чисел и действия над ними) ; 2) соединение изучаемой теории действительных чисел со способами приближенных вычислений (способ границ, правила подсчета верных цифр); 3) стремление указывать не только материал, подлежащий изучению, но и практический способ его изучения. Это особенно касается тех весьма важных вопросов, преподавание которых вызывает большие трудности и которые не нашли еще достаточного методического освещения. Наша разработка, построенная на опыте преподавания, стремится заполнить имеющийся в методической литературе пробел.

Углубленное изучение теории действительных чисел и внедрение в преподавание на этой основе методов приближенных вычислений способствует перестройке курса алгебры средней школы в направлении политехнизации его. Отсюда вытекает практическая значимость нашей методики.

Углубленное изучение теории действительных чисел требует затраты дополнительного времени. Мы считаем, что такое время может быть найдено посредством улучшения методов обучения. В диссертации рассматривается одна из таких возможностей. Она заключается в акцентировании внимания на проведении подготовительной работы в процессе преподавания математики.

Проблема проведения подготовительной работы в процессе обучения математике имеет весьма важное методическое значение. Анализ литературы и опыта преподавания математики в средней школе показывает, что актуальность этой проблемы в последние годы все больше и больше возрастает.

В диссертации исследуются некоторые основные вопросы, касающиеся проведения подготовительной работы в процессе обучения математике, и реализуется попытка показать, что проведение этой работы является весьма существенным средством рационализации процесса обучения математике, позволяющим достичь значительных улучшений в знаниях учащихся. Этот показ осуществляется на примере проработки курса алгебры VIII класса. Нами показывается, что лучшая организация подготовительной работы приводит к достижению существенных улучшений в этом курсе. Основным из них является осуществление углубленного изучения теорий действительных чисел. Вместе с изучением этой теории (и других вопросов) нами проводились подготовительные упражнения к следующим темам этого курса. Этим достигалось, с одной стороны, то, что проведение подготовительной работы к следующим темам сделало возможным некоторое уменьшение времени, затрачиваемого на изучение самих этих тем, а с другой стороны, создавалась возможность перемежать изучение темы, богатой теоретическим материалом, с подготовительными упражнениями, что приводило к более равномерной нагрузке учащихся теоретическим материалом.

Проведение подготовительной работы позволило получить некоторые улучшения и в ряде других случаев: в отработке навыка в построении графиков функций, в решении задач с помощью квадратных уравнений и в исследовании их и т. д.

Источниками для выводов, полученных в диссертации, послужили разнообразные мероприятия, проведенные ее автором.

К ним относятся:

1. Изучение теоретической, методической, учебной и т. п. литературы по математике.

2. Преподавание различных математических курсов в Педвузе, в том числе элементарной математики и методики математики; прием экзаменов по математике от поступающих на

Физико-математический факультет; руководство педагогической практикой в средней школе студентов педагогического института.

3. Многолетнее изучение опыта преподавания математики в средней школе; систематическое общение с учителями и другими работниками народного образования.

4. Личный опыт работы в средней школе в качестве учителя математики. Сюда же относится экспериментальное преподавание в 1952—1953 учебном году (г. Псков, средняя школа № 1), и проведение окончательного эксперимента в 1954—1955 учебном году (г. Новгород, средняя школа № 8). В последнем случае эксперимент был организован в трех восьмых классах в течение всего учебного года. Активное участие в проведении экспериментальной работы принимали учителя А. И. Яковлева, О. И. Редькина, В. И. Деменкова и др. Живое наблюдение за экспериментом осуществлял доцент И. С. Соминский.

Автор диссертации выполнял обязанности учителя алгебры в одном из классов. Протоколы его уроков вела систематически учительница математики этого класса А. И. Яковлева. Учительница математики двух других восьмых классов О. И. Редькина, посещая наши уроки, строила соответствующим образом уроки алгебры в своих классах.

Эксперимент носил комплексный характер. Его основу составляла опытная проверка вопросов преподавания действительных чисел и проведения подготовительной работы в курсе алгебры VIII класса.

I

Первая часть диссертации, состоящая из двух глав, освещает некоторые основные вопросы проведения подготовительной работы в процессе обучения математике.

Процесс обучения в школе, имеющий основной задачей овладение знаниями, может мыслиться только на основе диалектико-материалистического метода познания объективной реальности. Закономерности процесса познания служат основой для организации процесса обучения.

Процесс обучения, как и процесс познания, должен в своей основе иметь следующие три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого заключается в накоплении опыта путем создания представлений.

2. Теоретическое обоснование накопленного опыта.

3. Закрепление теоретических выводов путем показа применения их в практике.

Работу, проводимую на подготовительном этапе в процессе

обучения, мы называем подготовительной работой. Таким образом, подготовительная работа имеет целью накопить представления, материал, опыт, на основе которых в дальнейшем, в результате работы мышления, образуются обобщения в виде понятий и теоретических выводов.

При обосновании необходимости проведения подготовительной работы в процессе обучения в диссертации используются труды К. Д. Ушинского, И. П. Павлова и др.

Подготовительная работа имеет некоторую связь с пропедевтикой. Однако между этими видами работы имеется существенное отличие, которое состоит в том, что в процессе подготовительной работы проводится лишь подготовка к сообщению новых знаний, пропедевтические же курсы в той или иной мере связаны с введением новых понятий и навыков. Пропедевтика не только подготавливает к более обстоятельному и глубокому изучению той или иной отрасли знаний, но имеет и самостоятельную цель — сообщение некоторой системы первоначальных знаний, необходимых для применения их в практике.

В процессе обучения учащиеся усваивают уже известные и подтвержденные человеческой практикой знания. Процесс усвоения есть планомерный процесс, проводимый с помощью учебных пособий и направляемый учителем, т. е. лицом, уже овладевшим основами науки. Эта особенность обусловливает формы проведения подготовительной работы. Подготовительная работа проводится не только с помощью непосредственного восприятия предметов и явлений реального мира, но и опосредствованно, т. е. с использованием слова в его устной и письменной формах.

Соотношение между непосредственными и опосредствованными источниками представлений бывает различное. Чем больше отвлечен школьный предмет от конкретных объектов мира, тем шире в нем используются опосредствованные источники представлений. То же самое относится к отдельным разделам предмета.

Предмет математики, изучающей общие количественные отношения и пространственные формы реального мира, отличается от других школьных предметов отвлеченностью и общностью понятий. Поэтому в нем особенно важное значение имеют опосредствованные источники представлений: речь учителя, использование учебников, решение примеров и задач и т. д.

В практике преподавания математики в средней школе подготовительная работа в той или иной мере проводится. Знакомство с литературой и опытом преподавания математики убеждает в том, что вопрос о необходимости проведения подготовительной работы в процессе обучения математике получил значительное

заострение в последние годы. Этот факт объясняется тем, что в проведении этой работы начинают видеть один из основных способов борьбы с формализмом в преподавании, одну из возможностей улучшения знаний учащихся по математике.

Однако в проведении этой работы наблюдается отсутствие систематичности, целенаправленности, плановости. Этот вид работы не получил еще достаточного методического освещения. Но уже из того, что имеется в методической литературе, вытекают некоторые выводы. В диссертации устанавливается следующее:

1. К признанию необходимости проведения подготовительной работы пришли и приходят многие учителя-практики в результате длительного опыта преподавания. Это показывает, что лучшая организация подготовительной работы является необходимым условием мастерства учителя.

2. Проведение подготовительной работы особенно рекомендуется при овладении учащимися наиболее трудными этапами усвоения программного материала; таковы первые теоремы геометрии, понятие иррационального числа и др.

3. Проведение подготовительной работы особенно рекомендуется также при образовании сложных математических навыков: решения и исследования задач на составление уравнений и т. д.

В диссертации устанавливается классификация основных видов подготовительной работы, проводимой в курсе алгебры средней школы. При этом имеется в виду, главным образом, работа при использовании опосредствованных источников представлений. Непосредственные источники представлений, (в том числе и наглядность), используются в алгебре мало, что является следствием отвлеченности понятий, изучаемых в ней: числа, функции и т. д.

Мы различаем кратковременные и долговременные виды подготовительной работы.

1. Кратковременная подготовительная работа, расчитанная на проведение ее в течение одного или нескольких уроков, проводится при изучении несложных по логической структуре теоретических выводов. К числу основных способов проведения кратковременной подготовительной работы относятся:

а) повторение ранее изученного;

б) решение задач, приводящих к осознанию необходимости введения того или иного понятия;

в) предварительное решение примеров и задач, постепенно знакомящих учащихся с теми особенностями и трудностями, с которыми им придется встретиться в общих рассуждениях.

2. Долговременная подготовительная работа, расчитанная на

проведение ее в течение нескольких недель или месяцев, обычно проводится в форме системы упражнений. Долговременная система упражнений может быть осуществлена двумя способами: путем тесной связи подготовительных упражнений с изучаемым текущим материалом (1-й способ) и путем проведения упражнений, не связанных или мало связанных с изучаемым текущим материалом (2-й способ). Во втором случае для проведения упражнений отводится на отдельных уроках несколько минут. В диссертации показывается возможность и целесообразность применения обоих способов подготовительных упражнений и указываются некоторые основные особенности в их проведении.

Вторая глава первой части диссертации касается вопросов организации подготовительной работы. В ней рассматривается опыт организации такой работы в курсе алгебры VIII класса.

Вопрос о планировании подготовительной работы должен решаться в связи с общим планированием учебной работы. Различные виды подготовительной работы должны по разному учитываться в планах учебной работы. Долговременные виды подготовительной работы требуется предусмотреть в годичном планировании, кратковременные — в планировании отдельных тем и в особенности в планах отдельных уроков.

В диссертации дается описание приемов планирования подготовительной работы и способов проведения ее в процессе обучения. При этом особое внимание уделяется способам проведения долговременной подготовительной работы, т. к. они являются менее укоренившимися в преподавании и подвергшимися меньшему описанию в методической литературе.

Учитывая цели курса алгебры VIII класса и его особенности, мы пришли к необходимости предусмотреть в годичном планировании этого курса несколько линий долговременной подготовительной работы.

1. Подготовительная работа к теме «Действительные числа». Эта работа успела войти в практику преподавания и в последнее время получила достаточно детальное описание в литературе. Поэтому мы сочли излишним давать подробное описание ее, хотя самую работу проводили.

2. Подготовительная работа к теме «Квадратные уравнения». Эта работа преследует следующие цели:

а) создание возможности решать на протяжении всего учебного года задачи на составление квадратных уравнений;

б) сохранение систематичности в изучении теории квадратных уравнений;

в) подготовку учащихся к сознательному усвоению формул-

корней квадратного уравнения и к выводу этих формул с одновременным исследованием их.

Для реализации этих целей нами намечена и практически проведена система подготовительных упражнений по решению уравнений (без применения формул) и задач, проводимая с начала учебного года до момента систематического изучения темы. Описание этой системы дано в рассматриваемой главе диссертации.

3. Система подготовительных упражнений к теме «Функции и их графики». Главная цель этой системы упражнений состоит в создании прочного навыка в использовании метода координат для графического выражения функциональной зависимости. Основная тяжесть работы по овладению графическим методом была отнесена на момент непосредственного изучения темы «Функции и их графики». Эта работа была продолжена и после изучения темы. Но чтобы навык в построении графиков отрабатывался систематически и чтобы подготовить этим самым учеников к более сознательному усвоению темы, нами была проведена система подготовительных упражнений. Эти упражнения сначала были связаны с повторением изученного в VII классе, а затем они, по мере возможности, связывались с изучаемым основным материалом. Проведение этих упражнений позволило связать изучение алгебраического способа решения квадратных уравнений («по формуле») с графическим решением их.

4. Система упражнений по решению задач на составление квадратных уравнений и их исследованию. Достигнутая нами систематичность в решении задач на составление квадратных уравнений в течение всего учебного года привела к созданию прочного навыка в решении этих задач.

В процессе работы по решению задач на составление квадратных уравнений мы большое внимание уделяли исследованию их. Центр работы по исследованию квадратных уравнений и задач по действующей программе относится к курсу X класса. Однако уже в VII—IX классах надо провести подготовительную к этому работу, ибо образование навыка в исследовании задач вызывает у учащихся большие трудности. В диссертации дается описание системы подготовительной работы по исследованию задач в курсе алгебры VIII класса. При построении этой системы мы считали, что в VIII классе следует научить лишь исследованию задач с «числовыми» данными и простейших задач, содержащих один буквенный параметр.

Проведение системы подготовительных упражнений по исследованию задач в VIII классе может быть разбито на два этапа. Первый этап касается решения задач с «числовыми» данными.

На этом этапе решаются задачи, охватывающие все частные случаи, с которыми можно встретиться при общем их исследовании. Нами дана классификация таких частных случаев, в основу которой положено число действительных корней квадратного уравнения, составленного по условию задачи, удовлетворяющих условию этой задачи. Второй этап касается исследования простейших задач с буквенным параметром.

Работа на первом этапе не требует специального времени. Она связывается с работой по созданию навыка в решении задач. Но при этом в качестве упражнений подбираются такие задачи, что их решение уже учитывает элементы исследования.

Работа на втором этапе требует выделения специальных уроков и последующего закрепления с помощью упражнений.

Стабильный задачник П. А. Ларичева не удовлетворяет полностью потребностей разработанной нами системы упражнений. В нем имеются задачи только двух типов из 6 возможных по нашей классификации, т. е. задачи, при решении которых получается квадратное уравнение, имеющее два различных действительных корня, при чем или один из них, или же они оба удовлетворяют условию задачи. В приложении к диссертации помещен сборник задач (85 задач) в помощь проведению системы упражнений по исследованию задач в VIII классе.

II

Разработке методики преподавания действительных чисел в курсе VIII класса посвящены последние главы диссертации. В первой из них рассматриваются некоторые общие вопросы преподавания иррациональных чисел в средних учебных заведениях и цели изучения этих чисел в школе.

1. Научно-познавательная цель изучения действительных чисел состоит в том, что введением иррациональных чисел завершается ознакомление учащихся с основным числовым множеством — действительными числами, очень широко используемыми в человеческой деятельности.

2. Глубокое знание действительных чисел требуется для сознательного понимания многих узловых вопросов математики, изучаемых в старших классах средней школы. К вопросам, базой для понимания которых являются действительные числа, относятся: учение о функциях и пределах, учение о длинах, площадях и объемах и др.

3. Отчетливое знание действительных чисел необходимо для изучения других школьных предметов (физика, астрономия и пр.).

Действительные числа используются всюду, где требуется установление количественных отношений между величинами.

4. Изучение действительных чисел создает те предпосылки, на основе которых в математике и в других школьных предметах могут быть выработаны научные приемы применения знаний в жизни: к изучению вопросов измерения величин, к изучению функциональных зависимостей, к созданию графических и вычислительных навыков и т. д.

В диссертации на основании изучения состояния преподавания действительных чисел в средней школе констатируется неудовлетворительность преподавания их в VIII классах и указывается, что на их изучение затрачивается очень мало времени, которого достаточно лишь для поверхностного изучения этих чисел, не соответствующего требованиям нашего времени.

Неудовлетворительность знаний о действительных числах у оканчивающих среднюю школу подтверждается в диссертации данными, собранными автором как во время проведения им приемных испытаний по математике в Псковском пединституте им. С. М. Кирова, так и при проведении специальной письменной работы, которую выполняли студенты, только что зачисленные на первый курс физико-математического факультета.

В этой же главе дается анализ литературы, касающейся преподавания иррациональных чисел в русских и советских средних учебных заведениях. Процесс внедрения этих чисел в школьное преподавание может быть разбит на два основных периода.

Первый период охватывает время от зарождения средних учебных заведений до II половины XIX века, т. е. до появления научных теорий действительных чисел. В это время иррациональные числа, благодаря работам Ньютона и др., хотя и получили полное признание, но за отсутствием обоснования теории этих чисел попытки поставить в средних учебных заведениях изучение их не имели успеха.

Анализом учебных пособий по алгебре С. Ф. Лакруа, А. Тихомандрицкого и др. показывается, что в этот период в средних учебных заведениях лишь упоминалось о существовании иррациональных чисел. Авторы учебных пособий ограничивались лишь заявлением, что операция извлечения корня из целых положительных чисел выводит за пределы рациональных чисел.

Исключение в этом вопросе составляют взгляды Н. И. Лобачевского. В его «Алгебре», первый вариант которой писался в качестве учебного пособия для гимназий, понятие числа нашло углубленное и расширенное изложение по сравнению с тем, что имело место в других учебных пособиях. В основу определения

иррационального числа H. И. Лобачевский положил задачу измерения величин. Множество иррациональных чисел он не ограничивал «неизвлекомыми числами», как это имело место у Эйлера. Он рассматривал, в частности, степени с показателями, равными «неизмеримому» числу. Н. И. Лобачевский близко подошел к построению арифметчиеской теории действительных чисел, которое было осуществлено примерно 40 годами позднее.

Если бы сочинения Н. И. Лобачевского были достаточно распространенными, то они значительно повлияли бы на улучшение преподавания иррациональных чисел в средних учебных заведениях.

Второй период начинается с последней четверти XIX века. В этот период преподавание действительных чисел стало строиться на научной основе. Однако внедрение в средние учебные заведения научной теории действительных чисел столкнулось с очень большими методическими трудностями. Научное преподавание действительных чисел очень медленно проникало в средние учебные заведения, в чем можно убедиться из анализа наиболее распространенных в средних учебных заведениях учебников алгебры А. Давидова, А. Малинина и К. Буренина, А. Киселева и др. Это же относится и к советской средней школе. Стабилизация учебника алгебры А. П. Киселева, сыгравшая, вообще говоря, положительную роль в преподавании алгебры в советской средней школе, явилась в то же время причиной неудовлетворительной постановки изучения действительных чисел. Теория действительных чисел в нем не нашла должного освещения.

Характерной чертой для русской учебной литературы XX века является существование многочисленных попыток улучшить преподавание действительных чисел внедрением в школьное преподавание научных теорий действительных чисел. В учебниках алгебры для средних учебных заведений нашли место: теория Дедекинда — у А. Н. Глаголева, Г. Бархова и др.; теория Кантора —у Н. Вульфа и Д. Цинзерлинга и др.; теория Вейерштрасса —у В. Маркова, Д. Граве и др.

Советская методика математики продолжила решение проблемы улучшения преподавания действительных чисел в средней школе и достигла в этом многого. Из высказываний видных советских методистов математики (А. Я. Хинчин, П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Г. М. Фихтенгольц, И. Я. Депман, В. М. Брадис, Д. К. Фаддеев и И. С. Соминский и др.) вытекают важные выводы, касающиеся принципов, на которых следует строить изучение действительных чисел в VIII классе.

На основе проведенного анализа состояния преподавания дей-

ствительных чисел и анализа литературы, в конце первой главы устанавливаются требования, которые необходимо предъявить к построению темы «Действительные числа» в VIII классе. Эти требования следующие:

1. Надо изучить возможно целостную теорию действительных чисел, а не отдельные отрывки ее. Все, что посильно для учеников, следует логически обосновать.

2. Учение об основных понятиях теории действительных чисел надо предельно упростить, стремясь при этом к систематичности и научности построения.

3. Введение понятия иррационального числа требует тщательной предварительной подготовки, которую следует связать с изучением, главным бразом, вопросов измерения величин и извлечения корня.

4. В процессе изучения действительных чисел требуется широко использовать наглядность, в первую очередь числовую ось.

5. Безусловно целесообразным следует считать привлечение аппарата десятичных дробей.

6. Изучение действительных чисел требуется связать с ознакомлением учащихся со способами приближенных вычислений.

7. При изучении действительных чисел следует учесть, что это изучение во многом должно обобщить знания учащихся о рациональных числах.

8. Изучение действительных чисел следует связать с ознакомлением учащихся с основными фактами из истории этих чисел.

9. Тождественные преобразования радикалов следует изучать, исходя из того, что радикалы представляют собой один из классов действительных чисел.

Вторая глава второй части диссертации содержит изложение материала, который целесообразно изучить в VIII классе. Этот материал составлен в соответствии с выработанными в первой главе требованиями и оформлен в виде главы для учебника средней школы.

Третья глава — «Методика изучения действительных чисел» — освещает опыт преподавания этой темы. Экспериментальное преподавание темы проводилось нами дважды: предварительное — в 1952 г., окончательное — в 1954 г. Второй раз преподавание строилось на том учебном материале, который изложен во II главе.

Изложение методики преподавания действительных чисел начинается с планирования темы. Особенностью этого планирования является растяжение изучения темы на более длительное время (17 уроков). Такое растяжение вызвано стремлением вводить

в уроки теоретический материал небольшими дозами и необходимостью проведения подготовительной работы, о которой было сказано подробнее в первой части.

По нашему плану первые два урока посвящены введению понятия иррационального числа. Под иррациональными числами понимаются числа, которые служат для измерения величин, несоизмеримых с единицей измерения.

Следующие 6 уроков отведены на изучение свойств множества действительных чисел. Здесь устанавливается наличие взаимнооднозначного соответствия между действительными числами и точками числовой оси, что наглядно убеждает учащихся в свойстве сплошности, присущем множеству действительных чисел. Затем устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей и вводится понятие приближений к действительным числам.

Половина учебного времени (8 уроков) отводится на изучение действий над действительными числами, включая действия возвышения в степень и извлечения корня.

Изучение каждого действия проводится по следующему плану: понятие о действии, основные свойства его, правила нахождения нижней и верхней границ для результата действия над числами, заданными бесконечными десятичными дробями; правила действий над положительными и отрицательными числами и нулем.

Последний урок назначается на подведение итогов работы по теме проведением письменной работы.

Изложение опыта преподавания темы заканчивается анализом итогов этого опыта и письменной работы по теме. Из этого анализа следует, что материал, предлагавшийся в преподавании, доступен для учеников VIII класса. Он был усвоен в разных классах одинаково прочно, хотя уроки в них проводили разные учителя. Это дает основание считать, что предлагаемую методику изучения темы с нормальным успехом могут проводить другие учителя. Этот анализ позволил также выяснить недостатки, имевшиеся в изложении материала. Они были учтены при окончательном редактировании материала (гл. II).

Для того, чтобы можно было составить представление о знаниях, которые получили учащиеся в результате изучения темы, в приложениях к диссертации помещено несколько экземпляров, письменных работ учащихся экспериментальных классов.

Выводы диссертации подвергались публичному обсуждению. Итоги этих обсуждений говорят о том, что наше исследование может оказать помощь в улучшении процесса обучения математике в средней школе. Главные направления этой помощи сводятся к следующему:

1. Диссертация акцентирует внимание учителя на вопросах проведения подготовительной работы в процессе обучения математике и указывает возможные пути проведения этой работы в курсе алгебры VIII класса.

2. Она намечает систему работы в VIII классе по решению и исследованию задач на составление квадратных уравнений и дает средства к проведению этой работы.

3. В ней разработан приемлемый вариант методики углубленного изучения темы «Действительные числа», особенность которой состоит в охвате преподаванием всех основных вопросов теории действительных чисел, притом в связи с изучением способов приближенных вычислений.

М-23370 от 23/VJ56 г. Объем 1 п. л. Формат бумаги 60 X 84Л*. Тир. 100

Тип. им. Котлякова. Зак. 778.