Московский областной педагогический институт

Научный руководитель—кандидат физико-математических наук Н. М. БЕСКИН.

А. ИСХАКОВ

РУССКАЯ УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО ТРИГОНОМЕТРИИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

1952 г.

ВВЕДЕНИЕ

Для учителей было бы весьма полезно иметь систематизированные обзоры учебной литературы по отдельным предметам.

При решении любых методических вопросов полезно знать, что сделано предшественниками. Часто тратится много времени и труда на выработку приемов изложения, которые уже давно выработаны, но лежат под спудом в старых мало известных книгах. Даже в тех случаях, когда какой-либо прием будет нами отвергнут, все же мы должны его знать: изучение его недостатков может помочь в нахождении правильного пути.

Изучение учебной литературы, кроме того, необходимо потому, что без этого изучения нельзя понять хода исторического развития методики преподавания данной дисциплины.

Учебная литература по математике в значительной части представляет мертвый капитал, хранящийся на библиотечных полках и не участвующий в жизни современной школы. А между тем она могла бы в ней участвовать. Причина указанного явления заключается не в том, что в старой учебной литературе не находится полезных и интересных для современной школы материалов, а в том, что эту литературу очень трудно использовать.

Большинство учителей, методистов и ученых знают наиболее известные руководства, оставившие в каком-либо отношении заметный след в преподавании математики. Всякий слышал об учебниках тригонометрии Н. А. Шапошникова, П. К. Шмулевича, Е. М. Пржевальского и др. Но очень мало кто (разве лишь специалисты историки) знают об учебнике К. М. Герца (1870 г.) или П. Годлевского (1876 г.). А между тем в первом из этих учебников впервые использована теория проекций для доказательства теорем сложения (что в наши дни пробивает себе дорогу в преподавании), а во втором —впервые сделана попытка операторного изложения теории тригонометрических функций.

Мы считаем чрезвычайно важным, чтобы по каждой дисциплине существовал обзор, который позволил бы включить все богатство содержания русской учебной литературы в жизнь современной советской школы.

Поскольку в этом и заключается задача настоящей диссертации, мы должны сразу ответить на три вопроса.

1) Почему мы избрали темой для обзора учебную литературу именно по тригонометрии?

2) Какими принципами мы руководствовались при определении характера этого обзора?

3) Как эта работа может быть использована в практике школьного преподавания?

ВЫБОР ТЕМЫ

Мы полагаем, что в данное время вопросы преподавания тригонометрии являются наиболее острыми, по сравнению с вопросами преподавания арифметики, алгебры и геометрии.

Тригонометрия как наука первоначально имела своим единственным предметом решение треугольников. В настоящее время развитие техники, особенно электротехники, и математической физики предъявляют к тригонометрии совсем другие требования. Однако развитие математического анализа гораздо раньше встало на новый путь, и в руках Эйлера тригонометрия уже два века назад приобрела новое направление. В учебной литературе этот процесс происходил с большим отставанием и не закончен до настоящего времени. В данное время школьный курс тригонометрии является явно устаревшим и неспособным обслуживать запросы техники.

В тригонометрии, в отличие от других математических предметов, ставятся под сомнение самые коренные вопросы ее преподавания. До сих пор в нашей школе применяется учебник Н. А. Рыбкина, впервые появившийся 63 года назад. Этот учебник чрезвычайно устарел и его применение не находит защитников в методической печати. Созданный ему на смену учебник А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника пока не привился в качестве стабильного, и трудно предсказать его дальнейшую судьбу.

Вопрос о замене одного учебника другим, разумеется, возникает не только в тригонометрии. Однако здесь идет речь не просто об улучшении методики изложения или об устранении отдельных недостатков, а о коренной реформе всего курса, о полном изменении характера этого курса.

Если основываться на учебнике А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника (а этот учебник приблизительно отражает общее мнение о характере необходимой реформы), то изменение характера курса тригонометрии должно заключаться в следующем:

а) Из науки о решении треугольников тригонометрия должна быть превращена в теорию тригонометрических функций.

б) Предполагается ввести в тригонометрию аппарат (теорию проекции), позволяющий получить все результаты во всей общности. Кажется, никто не жалеет о том, что придется рас-

статься с ужасными доказательствами теоремы сложения для углов первой четверти с последующим доказательством общности.

в) В связи с пунктом а) предполагается в основу курса положить тригонометрические функции числового аргумента и расстаться с привычным представлением, что тригонометрические функции суть обязательно функции угла.

Мы не можем утверждать, что все эти предложения следует считать бесспорными и общепризнанными. Возможно, что многое здесь дискуссионно, но самый масштаб этих реформаторских предложений показывает, что самые основы школьного курса тригонометрии попадают под удары критики. Это показывает, что в преподавании тригонометрии назревают перемены. Поэтому, когда назрел вопрос о реформе тригонометрии важно проследить историю этого вопроса в учебной литературе. Вопросы, волнующие сегодня учителей математики, ставились в нашей литературе уже очень давно, поэтому и в старых книгах мы найдем много полезного.

Именно поэтому мы остановились на тригонометрии как на предмете, по которому в первую очередь следует провести намеченную выше работу по рассмотрению учебной литературы. Эту работу желательно провести и по другим предметам школьного преподавания.

В настоящей диссертации нам пришлось установить методологию подобного обзора учебной литературы. Если эта методология будет одобрена, то можно будет распрастранить этот опыт на геометрию, а затем — на алгебру.

Изучение русской учебной литературы по тригонометрии позволило показать приоритет русской науки в оформлении тригонометрии как науки в современном смысле.

Тригонометрия как глава анализа возникла в Петербурге в 30 — 40-х годах XVIII столетия. С древних времен и вплоть до Эйлера тригонометрия являлась разделом геометрии. Деятельность Эйлера в области тригонометрии громадна. Она не может быть подробно проанализирована в настоящей диссертации, так как это — большая тема для отдельного исследования. Факты, открытые Эйлером (например, формулы, связывающие тригонометрические функции с показательной, выражения тригонометрических функций в виде бесконечных произведений и многие другие), широко известны всем математикам. Менее известны некоторые нововведения методологического характера. Например, Эйлер впервые стал рассматривать тригонометрические функции как отвлеченные величины (до него они рассматривались как отрезки, да и после него новая точка зрения не сразу привилась). В настоящее время эта точка зре-

ния является для нас настолько привычной, что трудно даже оценить все значение этого шага Эйлера. Эйлер первый ввел обычай полагать sin 90° (так называемый «sinus totus» или «полный синус») равным единице. Эйлеру принадлежат обозначения тригонометрических функций, которыми мы пользуемся в настоящее время.

Идеи Эйлера постепенно проникли в учебную литературу на всех языках, в результате чего сложился школьный курс тригонометрии современного типа. Русская учебная литература, находившиеся под непосредственным личным влиянием Эйлера, раньше всех других литератур отразила новые идеи. Первым русским учебником нового направления был учебник С. Я. Румовского (1760 г.).

МЕТОДОЛОГИЯ.

Русская учебная литература по тригонометрии гораздо обширнее, чем это может полагать человек не занимавшийся специально ее изучением. При составлении настоящего обзора мы прежде всего столкнулись с трудностью разыскания всех изданных учебников. Испытанные нами трудности привели нас к мысли, что было бы желательно избавить других исследователей от этих трудностей, сделавши наш обзор полным. Таким образом мы поставили себе целью дать не выборочное описание отдельных учебников, нужных нам для иллюстрации некоторых положений, а охватить все без исключения русские учебники тригонометрии.

Далее мы приняли за правило давать характеристику каждого учебника по возможности полнее, а не только в связи с необходимостью сделать определенные выводы. Положим, мы хотим проследить борьбу двух тенденций: либо выводить все свойства тригонометрических функций, исходя из круга, либо из треугольника (последняя тенденция ведет свое начало от М. В. Остроградского и Ф. И. Симашко). Можно было бы посвятить некоторый раздел этому вопросу и сравнить различные учебники с этой точки зрения. Однако, возможно, что некоторые читатели нашей работы заинтересуется каким-либо другим вопросом. Поскольку мы хотели сделать эту работу полезной для школьного преподавания, необходимо было построить ее так, чтобы читатель мог самостоятельно делать из нее выводы и сопоставлять различные учебники по вопросам, которых мы могли и не предвидеть. В этом построении заключалась понятная трудность. С одной стороны,—мы использовали излагаемый материал для собственных выводов и сопоставлений, с другой стороны, — мы хотели дать возможность каждому учителю самостоятельно исследовать вопросы, связанные с

русской учебной литературой по тригонометрии, пользуясь этой работой и не обращаясь непосредственно к оригиналам. Последнее требование весьма важно, так как оно чрезвычайно расширяет круг лиц, могущих использовать эту работу. Оригиналы часто весьма мало доступны даже в Москве и Ленинграде, а для учителей, живущих на периферии, многие из них совершенно недоступны.

Для того, чтобы читатель мог делать выводы из этой работы, нам пришлось давать довольно подробное описание учебников. Было бы совершенно неприемлемым описание библиографического типа, где о каждом издании даются однотипные сведения то определенному образцу. Мы старались показать, как каждая книга излагает узловые вопросы, какие в ней имеются оригинальные доказательства теорем (либо, наоборот, констатировать, что доказательства-обычные), отмечать оригинальные нововведения, а также делать сопоставления с обычными в то время приемами. Кроме того, мы почти всюду даем критические оценки рассматриваемых книг. Так как при этом желательно было избежать чрезмерного разбухания этой работы, то мы приняли следующее правило: не уделять всем книгам одинаковое место, а возможно короче характеризовать книгк, не представляющие интереса, но зато не жалеть места для книг, которые этого заслуживают.

Оценки и сопоставления делаются тут же, при рассмотрении каждой книги. Кроме того, есть оценки, вынесенные за скобку, т. е. касающиеся целого исторического периода или большой группы учебников.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе рассматриваются старые доэйлеровские учебники. К ним относятся:

1. «Арифметика» Л. Ф. Магницкого (1703). Эта книга содержит изложение тригонометрии в форме задач (семь задач).

2. «Геометрия-практика» неизвестного автора.

3. «Сокращение математическое» Я. Германа (1728).

4. «Книжица о сочинении и описании сектора» А. Фархварсона (1739).

5. «Книги полного собрания о навигации» С. Мордвинова (1748).

Последние три книги изданы уже при Эйлере, однако мы относим их к доэйлеровским учебникам, так как в них еще не сказалась его реформаторская деятельность. Эти книги представляют высокий исторический интерес. Мы даем их описание, с тем чтобы характеризовать манеру изложения тригонометрии в первые десятилетия XVJII века.

Особо подробно мы останавливаемся на книге Фархварсона. А. Фархварсон является предшественником номографии. В своей книге он пользуется логарифмическими шкалами для решения треугольников. Его прием близок к идее логарифмической линейки. Разница лишь в том, что Фархварсон не двигает шкалы одну вдоль другой, а снимает циркулем отрезки и переносит их в другое место той же шкалы.

Изложение Фархварсона является совершенно оригинальным. Примененные им логарифмические приемы не встречаются ни в одном другом учебнике ни до, ни после него. Эти приёмы представляют не только исторический интерес. Несомненно, что использование шкал вместо таблицы может иметь значение и для современной школы.

Во второй главе исследуются учебники от С. Я. Румовского до Н. И. Фусса. Учебник С. Я. Румовского (1760 )—первый учебник нового направления, и в этом его историческая роль. Учебник Н. И. Фусса (1804) — последний учебник, написанный личным учеником Эйлера. Рассматриваемый период насыщен важными событиями. Вышедшие за это время учебники (числом девять) обозначают большую эволюцию. От примитивных задач на решение треугольников, составлявших единственное содержание учебников доэйлеровского периода, эти учебники восходят к более глубоким аналитическим вопросам. Например, в учебнике Т. Ф. Осиповского (1801) впервые в школьной учебной литературе рассматриваются степенные ряды для синуса и косинуса. Эти ряды выводятся элементарным способом (без использования дифференциального исчисления) и поэтому изложение Осиповского представляет интерес для учителей в настоящее время. Даётся также разложение в ряд арксинуса и арктангенса, рассматриваются комплексные числа и выводится формула Моавра.

Н. И. Фусс завершает целый период развития: первоначальное внедрение в учебную литературу эйлеровских идей.

В учебнике Н. В. Верещагина (1820) снова дается элементарный вывод степенных рядов для синуса, косинуса, арксинуса и арктангенса. Его приемы весьма остроумны, хотя и основаны на наивном обращении с бесконечно-малыми, что впрочем вполне соответствовало духу времени. Вообще Н. В. Верещагин продолжает линию, намеченную Т. Ф. Осиповским, на перенесение центра тяжести курса тригонометрии в гониометрию и на развитие аналитической стороны предмета. Борьба этой тенденции со старой точки зрения («тригонометрия —наука о решении треугольников») продолжалась в учебной литературе очень долго. Ее нельзя считать законченной даже в наши дни.

Д. M. Перевощиков (1837) пошел еще дальше в развитии аналитической стороны тригонометрии. Он впервые ввел в учебник выражения синуса и косинуса в виде бесконечных произведений, открытых Эйлером.

Как мы уже упомянули, аналитическое направление в тригонометрии не привилось. В тот же период вышли учебники H. Н. Навроцкого (1821) и Г. Мягкова (1837) старого направления. В учебнике А. Лесневского (1841) эта старая точка зрения выражена очень четко: «В тригонометрии решается только три вопроса, именно: определить части треугольника когда между данными находится одна сторона, или две, или три».

В 1852 г. вышел учебник Ф. И. Симашко, которому суждено было сыграть заметную роль в истории нашей школы. Этот учебник, весьма консервативный по содержанию, был написан с большим педагогическим чутьем, и этим отличался, например, от учебника Д. М. Перевощикова, который при всех своих достоинствах, был совершенно не пригоден для школьного преподавания.

Учебник Ф. И. Симашко написан под сильнейшим влиянием М. В. Остроградского. Он по содержанию точно воспроизводит «Программу» и «Конспект» М. В. Остроградского. Имело место также и личное сотрудничество в процессе написания. Симашко часто работал даже на квартире Остроградского. Знание школы сочеталось с простым доходчивым языком. Все эти причины привели к тому, что учебник тригонометрии Симашко стал первым в России массовым учебником. 40—50 лет он был господствующим, одно время разделяя это господствующее положение с учебником А. Ф. Малинина. Он выдержал шесть изданий (последнее — в 1907 году), но в конце концов уступил место учебнику Н. А. Рыбкина. Из громадного множества учебников, вышедших за это время, ни один не мог прочно привиться.

В настоящей работе учебник Симашко подвергнут подробному разбору и прослежена его эволюция от одного издания к другому. Между прочим, в учебнике Ф. И. Симашко мы имеем зародыш системы, при которой тригонометрия излагается двумя концентрами. У него введены определения тригонометрических функций при помощи отношений сторон в прямоугольном треугольнике. Этот способ потом получил очень широкое распространение.

В учебнике К. М. Герца (1870), как мы уже упоминали, впервые используется теория проекций для доказательства теоремы сложения.

Учебник Е. М. Пржевальского (1879) характеризуется более широким, чем раньше, взглядом на тригонометрию. Автор

говорит: «Первоначально предмет тригонометрии состоял в определении (вычислении) неизвестных частей треугольника... Но предмет плоской или прямолинейной тригонометрии имеет более обширное значение... Предмет тригонометрии состоит в исследовании свойств и отношений между тригонометрическими величинами». Эти слова, сказанные более семидесяти лет назад, актуальны и в настоящее время. Важно, чтобы каждый учитель понял, что тут налицо две существенно различные точки зрения на предмет тригонометрии.

Учебник Е. М. Пржевальского отличается своей капитальностью. Ни один из предшествующих учебников не может даже приблизительно сравниться с ним по объему рассмотренного материала. Цитированная выше точка зрения на предмет тригонометрии не оставалась только декларацией: в книге глубоко разработана аналитическая сторона тригонометрии.

Для этого учебника характерно, что он уделяет очень большое внимание вычислительной стороне, возрождая, таким образом, традиции XVIII века. Этот вопрос для современной школы является весьма насущным, так как у нас вычислениям отводится недостаточная роль.

В 1876 году вышла книга П. Годлевского «Теория реклинаций, ее приложение к геометрии и курс прямолинейной тригонометрии, основанный на началах теорий реклинаций». Мы. уже упоминали, что в этой книге сделана попытка операторного изложения теории тригонометрических функций. В нашей работе весь ход рассуждений Годлевского воспроизводится подробно.

Многие оригинальные аналитические доказательства имеются в учебнике Макаревича (1876).

Весьма важен учебник Н. А. Шапошникова. Необходимо отметить, что Н. А. Шапошникову принадлежит два существенно различных учебника: 1) Курс прямолинейной тригонометрии и собрание тригонометрических задач. Москва, 1880, 2) Новый курс (алгебраический) прямолинейной тригонометрии. С дополнительными (важнейшими) статьями алгебры и собранием тригонометрических задач. Москва, 1904.

Уже в первой книге автор пишет: «Теория тригонометрических функций есть теория чисто аналитическая. Для нее геометрическое представление служит лишь вспомогательным средством».

Учебник Н. А. Шапошникова (первый) во всех отношениях представлял значительный" шаг вперед. Он обладал следующими достоинствами: 1) аналитическое направление, 2) тщательные и точные определения основных понятий, 3) педагогичность и ясность изложения.

Аналитическое направление встречалось и во многих дру-

гих учебниках, но они не обладали комплексом этих достоинств. В отношении глубины и объема научного материала учебник Шапошникова значительно уступал учебникам Пржевальского, Макаревича и некоторым другим, но, в отличие от них, он был «реальным учебником», т. е. он был действительно применим в средней школе. Эти достоинства были оценены многими учителями, и учебник выдержал 25 изданий (последнее — в 1923 году), однако он не привился в качестве основного учебника. Это место занял учебник Н. А. Рыбкина, который во всех отношениях слабее Шапошникова.

Второй учебник Н. А. Шапошникова основан на операторах (комплексных числах). Он изложен тяжеловесно и громоздко и успеха не имел (издавался только один раз). В данной работе он также подробно рассмотрен.

В учебнике П. В. Преображенского (1886) в самом начале курса дан оригинальный и очень простой вывод (основанный на рассмотрении прямоугольных треугольников) формулы сложения арктангенсов. Этот прием полезно извлечь для сведения современных учителей.

При разграничении XVIII и XIX веков естественным рубежом является учебник Н. И. Фусса. В дальнейшем такого рубежа указать не удается. Налицо длительная эволюция, но нельзя указать никакой книги, которая являлась переломной. Поэтому мы вынуждены были несколько условно провести границу по учебнику Н. А. Рыбкина, имея в виду, что он 1) хронологически знаменует переход из XIX века в XX (первое печатное издание — в 1894 г.), 2) сыграл существенную роль, как самый массовый живучий учебник тригонометрии из всех когда, либо существовавших.

Учебник Н. А. Рыбкина достаточно хорошо известен, чтобы о нем следовало рассказывать в автореферате. В работе прослежена эволюция этой книги, начиная от зародыша — литографираванного издания 1889 года и до издания 1950 года.

Учебник К. А. Торопова (1894) в целом не был учебником, пригодным для школы, но он содержит одну чрезвычайно ценную идею, названную автором «магическим рядом». Для пропаганды этой идеи автор выпустил отдельную брошюру «Магический ряд и применение его к решению задач» (1-е издание— Таганрог, 1908, 2-е издание — Оренбург, 1911). Эта идея заключается в том, что в основу решения треугольников кладутся равенства 2r=^br = IHS- = ISc"' Эта цепь равенств может быть неограниченно продолжена и в нее может быть включен любой элемент треугольника, при чем даются автоматически действующие указания, как следует включать любой элемент. Эти указания основываются почти исключительно на

рассмотрении размерности данного элемента. Надо сказать, что «магический ряд» Торопова вносит полное единство в теорию решения треугольников, в которрй раньше господствовала множественность приемов.

Некоторые авторы возвращались к этой идее, иногда упоминая Торопова, а иногда—нет (идея эта является весьма естественной, и вполне возможно, что некоторые авторы приходили к ней самостоятельно, не зная о Торопове). С. О Шатуновский в книге «Методы решения задач прямолинейной тригонометрии», (1929) идет тем же путем, что и Торопов. С. О. Шатуновский при первоначальной публикации своей работы (в «Вестнике опытной физики и элементарной математики», 1900 г.) не знал, что эта идея принадлежит Торопову, но в том же году он (Шатуновский) в том же журнале специально отметил приоритет Торопова.

Б. Б. Пиотровский в своем учебнике (1925) указывает на большую ценность работы К. А. Торопова и использует ее. В учебнике А. Н. Перепелкиной и С. И. Новоселова (1947) в точности проводится та же теория, но без ссылки на Торопова.

Идея «магического ряда», упорядочивающая и упрощающая теорию решения треугольников, должна войти в курс средней школы. При этом должна быть восстановлена справедливость в отношении ее изобретателя К. А. Торопова.

Учебник С. Булаевского (1895) вводит в курс общее понятие о функциях. Теорему сложения он доказывает во всей общности при помощи теории проекций. В. Шидловский в рецензии, напечатанной в «Педагогическом Сборнике» (1896 г., № 6) подчеркивает эти отличительные особенности учебника С. Булаевского, повидимому, не зная, что автор не является пионером ни в том, ни в другом. Тем не менее указанные особенности, несомненно, представляют большую заслугу Булаевского.

А. Н. Воробьев (1908) явился пионером координатного определения тригонометрических функций.

В учебнике С. С. Чемолосова (1897) вся тригонометрия строится на базе рассмотрения углов от 0 до 180° (углы любой величины рассматриваются лишь в приложении). Впоследствии иногда встречались попытки делить тригонометрию на три концентра: углы от 0 до 90°, углы от 0 до 180° и любые углы. Эти попытки совершенно не привились.

Книга В. Я. Гебеля (1898) — весьма удачный вариант очень краткого курса тригонометрии.

В учебнике П. Н. Анощенко (1906) разработан вопрос о наибольших и наименьших значениях тригонометрических выражений. Это нововведение заслуживает пристального внимания. Вопрос этот решается элементарно и является полезной

пропедевтикой, имея в виду, что многие учащиеся впоследствии будут изучать его совсем другими методами в дифференциальном исчислении. Кроме того, это — полезное и содержательное применение формул приведения к логарифмическому виду, позволяющее оживить этот слишком формальный раздел.

Учебник А. И. Жилинского (1907) пытается возродить традицию Остроградского—Симашко выводить всю тригонометрию из рассмотрения треугольника.

Учебник П. К. Шмулевича, названный автором «Энциклопедией тригонометрии» (1-е издание — 1907 г., 2-е издание— 1911 г.), не отличаясь глубиной рассмотрения, выделяется чрезвычайной полнотой сведений и систематичностью изложения, подкрепленного большим числом тщательно подобранных примеров. Начиная с 1928 г. издавался сокращенный вариант этой книги (последний раз — в 1937 г.).

Учебник Б. Б. Пиотровского (1925) представляет значительную веху в истории преподавания тригонометрии. Автор сделал попытку коренным образом перестроить курс тригонометрии. Во всех отношениях автор занимает правильную прогрессивную позицию. Основное внимание уделяется изучению свойств тригонометрических функций, причем рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента. С исчерпывающей полнотой построен аппарат тригонометрии (теория проекций), все формулы сразу получаются во всей общности. Одним словом, Пиотровский дал то построении курса, которое является идеалом для нашей школы. К сожалению, он не сумел изложить его достаточно педагогично. Книга растянута и перегружена тонкостями. В школе такая книга применяться не может. Однако ни один учитель или методист, работающий над построением курса тригонометрии, не должен пройти мимо книги Пиотровского. Это — программа того, как следует построить курс тригонометрии. Следует только суметь найти доходчивое и приемлемое для учеников изложение.

Учебник А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника (1-е изд. — 1940, 2-е изд. — 1947, 3-е изд. — 1950) делает большой шаг в этом направлении. Он идет по пути, проложенному Пиотровским. Сейчас не время подводить какие-либо итоги, так как роль этого учебника еще не определилась. В многочисленных обсуждениях, нашедших отражение в печати, были высказаны весьма различные мнения. В большинстве они сводятся к тому, что книга далека от педагогического совершенства (указывались многие локальные методические дефекты), но стоит на правильном пути.

Раздел тригонометрии в книге А. Н. Перепелкиной и С. И. Новоселова «Геометрия и тригонометрия», написанный С. И. Новоселовым, отличается полной корректностью изложе-

ния. В этом отношении книга представляет большой интерес для каждого учителя средней школы.

Книга не предназначена служить школьным учебником (это — учебник для учительских институтов), изложение рассчитано на взрослых учащихся.

В учебнике принято координатное определение тригонометрических функций.

Возможное использование данной работы.

В заключении нашей работы даются примеры того, как она может быть использована учителем.

Положим, что читателя заинтересует вопрос, как различные авторы доказывали теорему сложения. Мы приводим сводку, показывающую распределение всех способов. Видно, в какие годы, какие способы преобладают, как одни сменяются другими. Можно установить, кто первый ввел то или иное доказательство. Все это можно сделать, пользуясь настоящей работой и не обращаясь к оригиналам.

Таким же образом исследовано, как различные авторы подходят к определению тригонометрических функций.

Рассмотрены также отдельные нововведения или оригинальные моменты, имеющиеся у того или иного автора.

Особенно подчеркивается, что эти сводки носят характер примеров использования данной работы. Читатель может проводить, пользуясь данной работой сопоставления различных учебников в любых разрезах, которые мы не пытаемся заранее предусмотреть.

Д-02758

Заказ. 2265

г. Фрунзе, типография № 2

Тираж 100