АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

А. И. ИСАЧЕНКОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В СТАРШИХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель и. о. профессора, доцент И. Я. БАРКОВ

Москва - 1967

Защита диссертации состоится на заседании Ученого со вета НИИ общего и политехнического образования АПН СССР (Москва, Макаренко, 5/16) 1967 г

Автореферат разослан 1967 г.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Челябинского государственного педагогического института им Горького.

Большой задачей, стоящей сейчас перед школой, является решение ряда актуальных вопросов, связанных с осуществлением перестройки общего направления и содержания обучения. Стремительный рост современной науки и техники, проникновение математики и ее методов в самые разнообразные и подчас неожиданные области человеческой деятельности предъявляют значительно более высокие требования к объему и содержанию знаний, которые должны быть усвоены в общеобразовательной средней школе.

Возможности использования математики особенно возросли после создания электронных вычислительных машин, которые по праву относятся к числу таких крупных достижений человеческого гения, как изобретение паровой машины или использование атомной энергии. Появление быстродействующих электронно-вычислительных машин сделало доступным применение математических методов в самых различных отраслях науки и производства. «Поколение, вступающее сейчас в школу, будет жить и творить в гораздо более математизированном мире, и это должны учесть и органы народного образования. Ведь от того, что вместо человека вычисляет машина, дело пойдет лучше и быстрее только при условии большего знания математики широкими кругами работников, которым надлежит использовать новые возможности, предоставляемые наукой»1.

В современных условиях высокий уровень математической подготовки необходим каждому творчески работающему человеку. Решающее значение при этом должна сыграть общая математическая культура выпускника средней школы, умение облекать посильные для него практические задачи в математическую форму. Серьезное использование электронно-вычислительных машин в народном хозяйстве повлекло исключительно бурное развитие как вычислительной математики, так и теории алгоритмов и дальнейшее совершенствование существующих вычислительных методов. Это предъявляет совер-

1 А. Н. Несмеянов. Пути науки. «Правда» от 31.XII. 1960.

шенно определенные требования к уровню математических знаний, получаемых учащимися в средней школе.

Жизнь требует значительного повышения уровня преподавания математики в общеобразовательной средней школе, содержание которого заметно отстает от научного развития математики. Улучшение школьного курса математики должно идти по линии приближения ее преподавания к запросам практики, учитывая одновременно ее большое общеобразовательное значение. Приближению школьного курса математики к нуждам практики, раскрытию содержания математики как науки во многом способствует изучение в школе элементов вычислительной математики.

Рабочей гипотезой исследования было вооружение учащихся старших классов численными методами решения алгебраических и трансцендентных уравнений, систем уравнений и более глубокое изучение теории рядов с учетом ее вычислительных аспектов. В связи с этим был сформирован курс «Элементы вычислительной математики».

Одной из специфических особенностей диссертационного исследования было то, что сведения по вычислительной математике рассматриваются как органическая и составная часть школьного курса математики. Многие задачи практики приводят к алгебраическим уравнениям степени выше второй, а также к трансцендентным уравнениям. Вооружить выпускников средней школы методом, позволяющим им решить любое алгебраическое и трансцендентное уравнение, является задачей школы. Из достаточно большого числа методов и способов нахождения решений алгебраических и трансцендентных уравнений выделим один из итерационных методов -- метод итераций, который вследствие цикличности процесса вычисления, как и другие итерационные методы, особенно пригоден в вычислительных устройствах. Характерным преимуществом метода итераций является то, что ошибка, допущенная при вычислительной работе, не влияет на результат вычисления. Именно поэтому итерационные методы часто применяются и бывают предпочтительнее по сравнению с другими методами. Применению метода итераций предшествует знакомство учащихся с графическим методом решения уравнений и методом деления промежутка .пополам, которые используются для предварительной оценки корня.

Основными методическими критериями при выборе метода итераций, или метода последовательных приближений, являются: 1) общеобразовательное значение метода, 2) его уни-

версальность (общность), 3) практическое удобство применения (удобство вычислений, быстрота сходимости, 4) элементарность и доступность метода.

Уточнение корня методом итераций требует предварительной оценки корня. Эта оценка корня производится графическим методом или методом деления промежутка пополам, что влечет за собой вычисление значения функции при некотором значении аргумента, а последнее позволяет судить о ходе изменения функции. Поэтому метод последовательных приближений способствует лучшему усвоению понятия функциональной зависимости и ее графическому изображению.

Далее. В школе учащиеся знакомятся с арифметической и геометрической прогрессиями. Прогрессии представляют частный случай числовых последовательностей, а их суммы являются простейшими арифметическими и геометрическими рядами. Понятие ряда мы встречаем уже в элементарной математике, когда операция сложения переносится на случай бесконечной последовательности чисел. С понятием ряда тесно связана идея предельного перехода, которая уже встречается в курсе математики средней школы. В. М. Брадис в своей «Методике» указывает: «...всякая прогрессия из конечного числа членов может быть бесконечно продолжена и, естественно, возникает вопрос о предельных значениях как общего члена, так и суммы членов каждой прогрессии. Изучение прогрессии является в силу этого первым шагом в деле изучения рядов, этого столь сильного, как известно из математического анализа, средства представления функций». Так, вычисление суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии сводится к вычислению суммы конечного числа (п) членов этой прогресси, а затем к предельному переходу при п —♦ оо . Нахождение суммы этой прогрессии представляет самый обычный вычислительный прием нахождения суммы числового ряда. В школе с нахождением предела подобных сумм учащиеся встречаются при нахождении длины окружности и площади круга, позже — при нахождении поверхностей и объемов тел. С понятием ряда тесно связано обращение обыкновенной дроби в десятичную и наоборот. К суммированию членов ряда приводит нас также процесс нахождения численной меры отрезка, несоизмеримого с единицей измерения. Можно привести много задач элементарной алгебры, решение которых сводится к вычислению суммы бесконечного числового ряда.

Укажем не только вычислительные аспекты рядов, но и большое их общеобразовательное значение. Так, теория рядов позволяет значительно упростить доказательство теорем геометрии на вычисление площадей и объемов тел, а также дает возможность решать задачи из других областей знаний. Знания, накопленные учащимися в процессе изучения темы «Числовые последовательности», создают благоприятные условия для введения общего понятия ряда и связанных с ним других понятий, что предоставляет в руки учащихся мощный вычислительный аппарат. Ознакомление учащихся с элементами теории рядов дает им новый метод решения задач. В частности, решение задач геометрии, связанных с нахождением площадей и объемов тел, а также многих задач по физике, химии и других областей может быть сведено к суммированию бесконечно-малых. Применение понятия ряда с одновременным использованием метода пределов к вычислению площадей и объемов, к нахождению суммарного итога действия непрерывно изменяющейся величины компенсирует в какой-то мере отсутствие в школьном курсе элементов интегрального исчисления. Таким образом, теория рядов значительно расширяет познавательные возможности учащихся и расширяет круг решаемых ими задач. Как известно, ряды являются мощным средством представления функций и составления математических таблиц. Механическое применение математических таблиц учащимися является одним из проявлений формализма в преподавании математики. Вычислительный аппарат рядов указывает методы вычислений логарифмов чисел, корней, тригонометрических функций. Вычисление значений функций с помощью рядов имеет прямое отношение к приближенным вычислениям. Оперирование с приближенными данными способствует совершенствованию вычислительных навыков учащихся. При решении задач по вычислительной математике постоянно обнаруживается потребность в правилах приближенных вычислений. Правила округления, вопрос о числе верных знаков, об определении погрешности результатов и другие получают здесь плодотворную почву. Нельзя считать нормальным, когда раздел «Приближенные вычисления» рассматриваются сейчас учителями лишь «довеском» к программе. Элементы вычислительной математики делают жизненно необходимыми сведения о приближенных вычислениях, полученные в восьмилетней школе.

При отборе материала мы исходим из критерия связи обучения математике с жизнью, требования жизни о повышении

уровня математической подготовки выпускников средних школ, из развития науки и самого учебного предмета. Изучение элементов вычислительной математики преследует следующие цели: 1) придать курсу алгебры известную цельность и завершенность, что способствует получению учащимися более полных и осознанных знаний; 2) познакомить учащихся с математической теорией вычисления таблиц; 3) вооружить учащихся методами, позволяющими решать задали из самых разнообразных областей человеческой практики и подготавливающими к овладению высшей математикой; 4) повысить уровень вычислительной культуры учащихся, обеспечив ортаническое единство теории и практики приближенных вычислений со всем курсом школьной математики.

Большая часть методических работ, освещающих вопросы вычислительной математики, посвящена вопросам теории и практики приближенных вычислений в средней школе. Это диссертации И. Б. Лобанова, Н. И. Сырнева, М. С. Гребенюк, А. А. Бобылева и др. В этих диссертациях и других работах дается правильный вывод о том, что учащиеся средней школы имеют довольно скромные познания в приближенных вычислениях и предлагается более длительное изучение теории и практики этого вопроса. В диссертации Н. П. Бибиковой «Метод последовательных приближений в математике и его использование в средней школе» делается положительный вывод относительно рассмотрения метода последовательных приближений в школе, но на методике вопроса автор подробно не останавливается, конкретная разработка вопроса применительно к школе отсутствует. Главное внимание автора сосредоточено на применении метода последовательных приближений в различных разделах математики.

В ряде диссертаций, посвященных изучению в школе элементов высшей математики, рассматриваются преимущественно вопросы анализа беконечно малых — дифференциальное и интегральное исчисление. Это диссертации Г. А. Ососкова, Л. Н. Миловановой, О. И. Смирновой, Н. А. Столярова, А. С. Шумова и др. В научно-методической литературе рассматриваемые нами вопросы изложены специфично и, большей частью, рассчитаны на лиц, имеющих законченное высшее образование. Некоторые, более доступные пособия, адресованные учащимся старших классов, рассчитаны на внеклассные занятия, не дают необходимой увязки материала с изучаемыми учащимися в школе вопросами в урочное время. Небольшие высказывания некоторых педагогов-математиков

в пользу изучения вопросов вычислительной математики в средней школе, а также известный положительный опыт отдельных учителей пока не оказали заметного влияния на изучение их в школе. Отсутствие удовлетворительных методических исследований удерживает учителей математики от внедрения их в школу.

Некоторый опыт изучения элементов вычислительной математики накоплен в школах с математической специализацией. Отдельные вопросы изучения элементов вычислительной математики в этих школах нашли отражение в диссертационных работах С. И. Шварцбурда и В. М. Монахова. Но это ни в какой степени не должно умалять значимости рассмотрения этих вопросов применительно к массовой школе, так как специфика и особенности математических школ не допускают механического переноса многих вопросов в массовую общеобразовательную школу с тем же объемом, содержанием и методами преподавания. Поэтому проблема рассмотрения вопросов вычислительной математики применительно к общеобразовательной средней школе не теряет своей актуальности. Вопросы объема и содержания знаний, методики изложения материала, указание места его изучения и органическая увязка с другими вопросами школьной математики все это требует специального исследования.

Задачи исследования. Проблема диссертационного исследования состоит в отборе материала по вычислительной математике и оценке его применимости для общеобразовательной средней школы в органическом единстве с другими традиционными вопросами.

Из проблемы вытекает необходимость решения в диссертации следующих задач: 1) дать анализ учебно-методической литературы по теме диссертации и рассмотреть отражение в ней элементов вычислительной математики, 2) определить объем и содержание материала по вычислительной математике для изучения в старших классах общеобразовательной средней школы, 3) выяснить условия для органического включения элементов вычислительной математики в школьный курс, 4) привести примеры решения задач и упражнений с помощью приведенного в диссертации материала, 5) определить роль и место изучаемого материала в совершенствовании знаний учащихся по приближенным вычислениям, 6) дать методические рекомендации по изучению элементов вычислительной математики в старших классах.

Исследования, послужившие основой; для данной работы, проводились в течение трех лет в 32 и 121 школах г. Челябинска.

Диссертационная работа состоит из введения, четырем глав, заключения, приложения и библиографии. Главы диссертации озаглавлены так:

1. История вопроса и принципы системы изучения элементов вычислительной математики в старших классах средней школы.

2. Методика формирования понятия метода последовательных приближений в курсе математики средней школы,

3. Некоторые сведения из теории рядов и методика их изложения учащимся старших классов.

4. Вопросы педагогического эксперимента.

Введение посвящено обоснованию выбора темы и изложению целей данной диссертации.

Первая глава диссертации посвящена обзору и методическому анализу учебников и учебно-методической литературы, по теме «Элементы вычислительной математики в средних общеобразовательных учебных заведениях». Здесь рассматривается учебно-методическая литература по алгебре средних учебных заведений XIX и XX веков. В конце XIX и начале XX вв. методы математики все глубже проникают в курс алгебры средней школы. Уже во второй половине XIX в. ряд авторов учебников по алгебре для средних учебных заведений, (Тихомандрицкий, Цветков, Воленс, Давидов, Маракуев, Фридман, Граве) признают целесообразным дать уже оканчивающим среднее учебное заведение некоторые сведения о рядах, как имеющие широкое практическое приложение. Однако авторы указанных учебников, подчеркивая значимость теории рядов в приложениях, не приводят задач на приложимость этой теории из различных областей знания. Даваемые ими на закрепление примеры носят искусственный и тренировочный характер. Изложение теории рядов носит в большинстве книг формальный характер, отсутствует приложение рядов к вычислениям значений трансцендентных функций. В учебниках нет тесной связи излагаемой теории рядов с остальным курсом алгебры. Наличие указанных недостатков в значительной мере снижает интерес к этому разделу.

Что касаемся методов приближенного решения уравнений, то здесь поиски еще скромнее. Среди русских учебников только у авторов (Пржевальский, Долгушин) рассмотрен метод приближенного решения квадратного ууравнения. Вопрос о

приближенном решении уравнений степени выше второй в учебниках не рассматривается. Задачи из жизненной практики на использование метода приближенного решения уравнений отсутствуют. В учебниках по алгебре советского периода рассматриваемые нами вопросы или совсем отсутствуют, или нашли в них очень скромное отражение. Так, в учебнике «Алгебры» А. П. Киселева этот материал отсутствует. Положительным явлением следует считать включение в учебник «Алгебры» для старших классов учения о производной, что сделано в пособиях по алгебре А. Н. Барсукова и коллектива авторов В. М. Брадиса и др. под редакцией А. И. Маркушевича. Дана классификация рассмотренной учебно-методической литературы и подведен итог ее научно-методического анализа с точки зрения возможности критического использования ее положительных сторон в нашей школе.

§ 4 первой главы посвящен изложению принципов системы изучения элементов вычислительной математики в старших классах. Одним из принципов успешного усвоения материала является установление внутренней связи вновь приобретаемых знаний со знаниями уже имеющимися у учащихся, обеспечение плавного перехода с одной ступени абстракции на другую. Так, о подъеме знаний учащихся на новую ступень абстракции можно говорить, например, тогда, когда графический метод нахождения действительных корней квадратного уравнения они распространяют на любое алгебраическое уравнение. Переход с одной ступени абстракции на другую сопряжен с некоторыми трудностями. Успешность этого пере хода обеспечивается предшествующей подготовкой учащихся и рассмотрением достаточного числа подготовительных упражнений, устанавливающих связи между различными понятиями курса алгебры. Важное значение для успешного усвоения материала имеет активизация процесса обучения и познавательной деятельности учащихся. Для осуществления этого принципа имеется ряд средств, среди которых отметим наиболее действенные, а) Проблемное изложение учебного материала. Изложение каждого раздела и темы по возможности должно начинаться с постановки проблемы, вопроса. Это оправдывает введение учащихся в круг новых понятий, служит подготовкой для наиболее естественного восприятия нового материала. Так, вводя учащихся в тему «Методы приближенного решения уравнений», мы поставили перед ними некоторые задачи, решение которых обязывало их получить определенные сведения из указанной темы. Изучению же теории рядов предше-

ствовало решение некоторых задач, сводящихся к суммированию членов ряда. Осознание поставленной проблемы учениками определяет ход их мышления, придает процессу усвоения целенаправленный характер и определяет последовательность его ступеней. Возникшая на основе осознанной проблемы познавательная задача, принимается учеником не как требования учителя, а как требование изучаемого объекта. Понимание учащимися сущности проблемы является важным мотивирующим фактором, который направляет учащихся на интенсивные поиски решения. Путь формирования и раскрытия проблемной ситуации зависит от конкретного содержания изучаемого материала. В своей методике, переходя к новому методу решения уравнений, к новому разделу, или понятию вы всегда ставили задачи, вопросы, которые бы оправдывали дальнейшее изучение материала. Например, уточняя корни уравнения методом проб, учащиеся убеждались, что этот метод требует большой вычислительной работы. Желание быстрее достигнуть цели ставило перед ними вопрос: не существуют ли методы, пользуясь которыми можно значительно ускорить процесс вычисления корня. Положительный ответ на этот вопрос ставил перед необходимостью изучения самого универсального и вместе с тем легко запоминающегося метода — метода итераций, б) Одним из мощных рычагов к изучению новых методов является их применимость на практике. Как бы совершенно не было поставлено изучение отдельных вопросов вычислительной математики, отсутствие показа их применимости заслоняет смысл их изучения. Применение знаний является также лучшим критерием сознательного их усвоения. Переход от теории к практике, решение задач и упражнений, иллюстрирующих каждое новое понятие, каждую новую теорему было органической и составной частью каждого занятия.

Помимо изложенного, факторами, способствующими успешности усвоения учащимися элементов вычислительной математики, являются: 1) заинтересованность учащихся предметом и ясность цели работы, 2) внутренняя логика предмета, 3) целенаправленность учащихся, их желание самим достигнуть умения и навыков белее высокого уровня, 4) создание ситуации затруднений, преодолевая которые учащиеся активно мыслят, используют имеющиеся знания и приобретают новые, 5) вопросы учителя, побуждающие учащихся к размышлению, к проявлению сообразительности, к высказыванию четких и обоснованных суждений

Изложенные здесь условия обеспечивают успешное изучение учащимися материала. Эти условия обеспечивают реальную возможность органического включения элементов вычислительной математики в школьный курс. Вычислительная работа, проводимая учащимися, способствует овладению ими приемами рациональных вычислений. В связи с развитием теории приближенных вычислений и усилением их роли в технических расчетах внимание к ним все время будет возрастать. Поэтому приучение еще со школьной скамьи к правилам вычислений без излишних цифр весьма важно. Для школьников наиболее устойчив следующий вид ошибок: при выполнении ряда последовательных действий над приближенными значениями величин не округляются результаты промежуточных действий. Наибольшее число ошибок приходится на вычисление погрешности, применение правила округления результате промежуточных действий, применение правил подсчета, цифр при решении текстовой задачи. Объяснительная записка к программе указывает на дальнейшее совершенствование навыков приближенных вычислений при изучении математики и смежных дисциплин. Однако эти рекомендации программы в практике не реализуются. Причина этого в том, что программа не обеспечивает плановости в работе по совершенствованию навыков вычислений с приближенными значениями величин в тех разделах школьного курса, которые следуют за темой «Приближенные вычисления». Исходя из сказанного, диссертант приходит к выводу, что выход из этого состоит в изучении теории и практики приближенных вычислений в старших классах средней школы. Дело в том, что понятия из теории приближенных вычислений, которыми ученик овладевает в процессе обучения, не усваиваются сразу в законченном виде, а требуют длительного пути развития и активного самостоятельного труда ученика. В настоящее время изучение теории приближенных вычислений поставлено так, что за короткое время ученик обязан заучить около десятка новых определений и правил, не имеющих логической связи с основным математическим материалом. Для повышения вычислительной культуры учащихся известный учащимся аппарат теории приближенных вычислений должен постоянно работать, т. е. реализация его возможна только в органической, связи с общим курсом математики. Вычисления, связанные, с нахождением приближенных решений уравнений, а также вычисления значений элементарных функций, с помощью рядов дают для этого богатейший материал. В процессе реше-

ния конкретных задач, требующих навыков рациональных вычислений, постоянно совершенствуются и закрепляются навыки приближенных вычислений. Так элементы вычислительной математики в школе способствуют хотя бы в первом приближении решить проблему повышения вычислительной культуры учащихся.

Вторая глава посвящена изложению методики формирования понятия метода последовательных приближений в 8, 9, 10 классах. Глава начинается с показа применения метода последовательных приближений в школьном курсе математики в настоящее время. Деление чисел, извлечение корней из чисел, деление отрезка прямой, окружности, дуги окружности на любое число равных частей — все эти действия, если они выполняются последовательно и не в один прием, представляют собой итерационный процесс. Более глубокому ознакомлению учащихся с методом последовательных приближений предшествуют пропедевтические упражнения по извлечению квадратных корней с определенной степенью точности. Выводится формула извлечения квадратных корней

Рассмотренный алгоритм извлечения квадратного корня вводится в процессе изучения раздела «Квадратный корень и квадратные уравнения». В 10 классе этот алгоритм обобщается па корни любой натуральной степени при повторении материала и выводится формула извлечения корней с любым натуральным показателем

При нахождении корней ставятся вопросы об округлении полученного результата и оценке погрешности округления. Знакомство учащихся с методом итераций решения уравнений мы рекомендуем применять во всех старших классах, начиная с 8-го. Эту работу удобно проводить в связи с решением квадратных (8 класс), трансцендентных уравнений и уравнений высших степеней (9-10 классы). Решению уравнений методом итераций предшествуют подготовительные упражнения.

Отделение корней уравнений сопровождается рассмотрением графиков функций. В основе отделения корней лежит известная из математического анализа теорема: если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка [а, Ь], т. е. f(a)-f(b)<0, то внутри этого промежутка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(x) = 0, т. е. найдется хотя бы одно число с (а, Ь) такое, что f(с) —0. В школьных условиях эта теорема принимается

без доказательства, суть теоремы легко усваивается учащимися при рассмотрении конкретных примеров.

Экспериментальная работа показала, что учащиеся успешно овладевают этим методом и получают большое внутреннее удовлетворение от возможности самостоятельного решения ими любого уравнения. В конце главы дан набор практических задач, решаемых с помощью метода последовательных приближений. Приведенные задачи показывают, что метод последовательных приближений, расширяя возможности приложения учащимися своих знаний к познанию реальной действительности, является незаменимым для нахождения численного решения задач прикладного характера.

В третьей главе дается методика изложения учащимся сведений из теории рядов. В начале главы приводятся примеры рядов, которые уже встречаются в курсе элементарной математики. Здесь же приводятся примеры задач из элементарной алгебры, решение которых сводится к нахождению суммы бесконечного числового ряда. Эти задачи показывают, что ряды с успехом могут быть использованы при решении многих задач уже в школьных условиях. Знания, накопленные учащимися в процессе изучения темы «Числовые последовательности» дают возможность для введения общего понятия ряда и связанных с ним других понятий. Это создает условия для более глубокого изучения математики и ее многочисленных приложений. Формирование понятия ряда начинается рассмотрением задачи, решение которой сводится к суммированию членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Изложение теории рядов включает такие вопросы: Методика формирования у учащихся основных понятий ряда. Признаки сходимости рядов (из достаточных признаков излагаются признаки сравнения и Даламбера). Знакочередующийся ряд. Абсолютная и условная сходимость. Вычисление суммы ряда и оценки погрешности вычисления суммы числовых рядов. Степенной ряд. Разложение функций в степенные ряды. Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям. Задачи, решаемые суммированием членов ряда.

Эта программа обеспечивает тот минимум материала, который необходим для разложения функций в ряд. Большую ценность представляют приложения рядов к вычислению логарифмов чисел и тригонометрических функций. Вычислительная работа, проводимая по правилам приближенных вычислений, формирует у учащихся навыки рациональных вы-

числений. В конце главы приводятся задачи из геометрии, физики, химии, решаемые при помощи суммирования членов ряда. Решение этих задач методом суммирования бесконечно-малых повышает роль метода пределов и является залогом его не формального усвоения. Вместе с тем, при решении задач предметы реальной действительности познаются в процессе движения, непрерывного изменения, что способствует формированию диалектического мышления учащихся.

Четвертая глава посвящена описанию педагогического эксперимента, заключающегося в определении путей введения элементов вычислительной математики в среднюю школу. Здесь указаны задачи эксперимента и его организация, план экспериментальных занятий по теме диссертации. Задачи эксперимента были следующие: 1) проверить в старших классах средней школы доступность отобранного материала и разработанной методики его изучения, 2) установить наиболее эффективные методы изучения материала с учащимися, 3) определить объем и содержание материала для изучения его в курсе алгебры 8—10 классов, 4) выявить недостатки разработанной методики с целью ее дальнейшего усовершенствования, 5) выявить целесообразность изучения элементов вычислительной математики в старших классах.

Указанные задачи эксперимента были реализованы в результате трехкратного экспериментального обучения с применением на втором и третьем этапах более усовершенствованной методики и организации опытного обучения на основе разработанной методики учителями ряда школ г. Челябинска. Дается подробное описание системы контроля знаний учащихся, методов обучения и изучения эффективности усвоения знаний учащихся. В конце главы приведены примеры самостоятельных работ учащихся и анализ результатов их выполнения.

В приложении к диссертации приводится ряд других материалов и примеры выполнения самостоятельных работ учащимися. В заключении сформулированы выводы по диссертации:

1. Разработанный в диссертационном исследовании вариант введения элементов вычислительной математики в среднюю школу имеет право на существование.

2. Как показал эксперимент, разработанные материалы по вычислительной математике полностью усваиваются учащимися.

3. Концентрирование нашего внимания только на итерационном методе оказалось оправданным. Учащиеся получают прочные навыки использования этого метода при решении практических задач, что имеет немало важное значение в подготовке учащихся к жизни и труду.

4. Столь большое место уделенное в эксперименте теории рядов оказало заметное влияние на повышение вычислительных навыков и резкое повышение общей математической культуры учащихся.

5. Диссертационные исследования позволили высказать ряд практических рекомендаций к усовершенствованию школьных программ по математике и представляют интерес для практических работников школы.

Мы считаем, что ознакомление учащихся старших классов (8—10 кл.) с элементами вычислительной математики должно быть связано с изменением программы соответствующих разделов, именно в программу должны быть включены: 1) методы приближенного решения уравнений (методы проб и итераций), 2) задачи, сводящиеся к уравнениям, решаемым с использованием методов приближенного решения. В соответствии с этим должны быть внесены дополнения в учебники и сборники задач по алгебре. Методические разработки по теории рядов могут быть использованы во внеклассной работе или факультативно как учебный материал без каких-либо изменений. Основные положения диссертации опубликованны:

1. Вычислительные методы при нахождении приближенных значений действительных корней алгебраических уравнений. Труды ЧГПИ, т. 2. Челябинск, 1964.

2. Опыт преподавания курса «Элементы вычислительной математики» в старших классах средней школы. Сообщение 1. Обоснование программы курса. Сб. «Новые исследования в педагогических науках», Изд-во «Просвещение», вып. VI, 1966.

3. Опыт преподавания курса «Элементы вычислительной математики» в старших классах средней школы. Сообщение II. Общие вопросы методики и организации занятий. Сб. «Новые исследования», Из-во «Просвещение», вып. VII, 1966.

4. О преподавании элементов вычислительной математики в старших классах средней школы. Сообщение III. Методы изучения эффективности усвоения знаний учащимися. Выводы. Сб. «Новые исследования», Изд-во «Просвещение», вып. VIII, 1966.

5. Задачи, решаемые с помощью метода последовательных приближений. Сб. «В помощь учителю математики», Челябинск, 1966.

6. Ряды и их приложение к приближенным вычислениям Сб. «В помощь учителю математики». Челябинск, 1966