НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ ГРУЗИНСКОЙ ССР

Сектор методики математики и физики

На правах рукописи

Е. В. ИМЕРЛИШВИЛИ

ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ УЧАЩИХСЯ ПО АЛГЕБРЕ, ИХ АНАЛИЗ И ПУТИ ИСКОРЕНЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель—кандидат педагогических наук доцент М. Г. Кониашвили

ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНСТИТУТА ТБИЛИСИ 1952

Изучение ошибок учащихся с целью выявления причин возникновения и на основе этого выработка методов их искоренения—вопрос принципиально важный.

Качество успеваемости учащихся средней школы по математике с каждым годом улучшается. Анализ итогов школьных экзаменов по математике на аттестат зрелости доказывает, что основная масса учащихся прочно усваивает курс математики средней школы. Несмотря на возросшие требования, которые предъявляются к оканчивающим курс средней школы, учащиеся как на устных, так и на письменных экзаменах заслуживают высоких оценок. В своих письменных работах учащиеся проявляют умение дать логически обоснованное решение задачи, рациональные преобразования алгебраических выражений и тем самым обнаруживают достаточную математическую подготовку.

Но наряду с успехами имеются и недостатки. Об этих недостатках, прежде всего, можно судить по ошибкам, допущенным учащимися.

Наблюдения показывают, что одни и те же ошибки, допускаемые учащимися по алгебре, распространены в ряде школ. По своей природе эти ошибки носят упорный, устойчивый характер. Такого рода ошибки были обнаружены нами во всех школах, где велись наблюдения. По данным методической литературы можно судить об их распространённости не только в школах Грузинской ССР, но и в школах других Союзных Республик.

Такие ошибки называем типичными ошибками.

Анализ типичных ошибок показывает, что появление их нельзя объяснить индивидуальными особенностями учащегося. Причины таких ошибок должны лежать в самом преподавании математики, в организации и методах этого преподавания. Поэтому, искоренение типичных ошибок учащихся, которое является актуальной задачей школы, преж-

де всего коренным образом ставит вопрос об улучшении методов преподавания математики, в частности, алгебры в средней школе.

Целью настоящей работы является: классификация типичных ошибок учащихся средней школы по алгебре, установление их непосредственного источника, причин возникновения и изыскание конкретных путей искоренения их в практике средней школы.

Для изучения ученических ошибок велись наблюдения в основном в 6-ти школах гор. Тбилиси (из них 3 мужские, 3 женские школы) преимущественно за последние 3 учебных года (1948—49, 1949—50 и 1950—51). Было прослушано 419 уроков алгебры и изучено свыше 4000 контрольных и классно-домашних тетрадей. Был использован и личный опыт (преподаю математику во 2-ой муж. школе гор. Тбилиси). Кроме этого, часто велись беседы с передовыми учителями математики с целью обмена опытом.

Содержание диссертационной работы:

Введение—1-18 стр.

Глава I. Типичные ошибки по алгебре—19-94 стр.

1. Ошибки в действиях и преобразованиях целых одночленов и многочленов.

2. Ошибки в применении формул сокращённого умножения.

3. Ошибки в действиях и преобразованиях дробных алгебраических выражений.

4. Ошибки в действиях над радикалами.

5. Ошибки при решений уравнений и задач с составлением уравнений.

Глава II. Анализ типичных ошибок—95-146 стр.

Глава III. К методике искоренения типичных ошибок— 147-193 стр.

Литература (свыше 100 названий) —194-202 стр.

* * *

В вводной части диссертационной работы приводится общий обзор методической литературы, тесно связанной с вопросом данной темы.

Отдельные сведения об ошибках учащихся по математике встречаются и в дореволюционной педагогической литературе—большей частью в официальных документах. Так, например, в циркулярах Управления Кавказского Учебного округа за 1882 год находим предложение попечителя Кавказского учебного округа о преподавании отдельных предметов, где несколько слов сказано и об ошибках допущенных по математике.

В журнале Министерства народного просвещения за 1888 год находим заметки об экзаменах на аттестат зрелости в 1879—1885 годах. Подводятся итоги письменных экзаменов по математике, приводятся статистические данные об ошибках; слабым местом в знании учащихся считают решение задач.

Следует отметить, что в дореволюционной педагогической литературе конкретные примеры ошибок и их характеристика отсутствуют. Если и касаются ошибок, допущенных учащимися, то приводят лишь количественные данные об их распространении.

В советской методической литературе, наряду со статистическими данными, приводится характеристика ошибок, конкретный вид каждой ошибки; часто дают и её анализ. Сведения об ошибках большей частью находим в отчётах приёмных экзаменов в различные техникумы и вузы, которые публикуются в разное время (1934—1950 г.г.) в журналах „Математика в школе", „Народное образование", „Педагогическое образование", „Советская педагогика", „Известия АПН РСФСР".

В названных отчётах накоплен большой и ценный материал для лиц, изучающих ошибки учащихся. Сопоставив отдельные отчёты, читателю даётся возможность судить о масштабе распространения какой либо определённой ошибки, установить её типичность.

Специальное исследование, посвященное изучению ошибок по математике, изложено в некоторых работах. Из них укажем статью проф. С. В. Воронина: „Алгебраические ошибки учащихся в семилетней трудовой школе" (научные записки Смоленского Государственного педагогического института, вып. I, 1932 г.). Автор пишет: „Особенно

важно отметить, что ошибки одного и того же вида постоянно повторяются; в них наблюдается определённая закономерность, вызываемая действием одних и тех же причин. Это обстоятельство делает их изучение особенно плодотворным и способствует движению методики вперёд по пути усовершенствования". Придавая такое большое методическое значение изучению ученических ошибок, автор приводит их анализ и причины возникновения видит в неправильном преподавании. Но автор касается только некоторого круга вопросов, не охватывая целого ряда отделов алгебры.

Ошибки учащихся по математике специально изучены также В. Г. Прочухаевым. („Анализ ошибок учащихся средней школы по математике", Учёные записки Московского Государственного педагогического института имени Ленина, том XVII, вып. I, 1948 г.). Автором проделана большая работа, собрано много типичных ошибок, дана их классификация, приведены причины их возникновения, которые достаточно убедительны. Методы искоренения типичных ошибок часто носят общий характер. Поэтому практическое применение их затруднительно.

На грузинском языке заметки о типичных ошибках находим у доц. А. Харабадзе в книге „Курс частных методик математики".

Доцент М. Г. Кониашвили в книге „О повышении качества знаний учащихся по математике" (на грузинском языке) приводит конкретные способы и приёмы, удобные для применения на практике в борьбе с недостатками преподавания математики. В книге рассматривается ряд характерных ошибок по математике, допускаемых учащимися средней школы. Установлены причины, которые мешают успеваемости учащихся и выработаны мероприятия для повышения качества знаний. Автор большое значение придаёт изучению ученических ошибок: „Анализ ошибок, допущенных учащимися, является самой ответственной из обязанностей учителя. В результате такого анализа он сможет выяснить причины ошибок и заметить, что, зачастую, причиной является сам".

В первой главе устанавливается типичность некоторых ошибок (свыше 40 видов), выбранных из материала личных наблюдений. Приводится их классификация. С каждой ошибкой даётся перечень методической литературы, где фиксируется та-же ошибка. Затем демонстрируется несколько характерных примеров этой ошибки, взятых из практики, и приводятся статистические данные распространения в школах, где велись наблюдения. Всё это подтверждает типичность выбранной ошибки.

Таким образом установлено, что наиболее типичными, ввиду их стойкого характера и частой повторяемости, являются ошибки:

1. При приведении подобных членов

2. При употреблении скобок:

а) пишут скобки там, где они лишние, например:

б) не пишут скобок, где необходимо требуется их употребление

Во время вычитания

4. При заключении части алгебраической суммы в скобки и при раскрытии скобок, когда перед скобками стоит знак минус.

5. При разложении многочлена на множители:

а) во время группировки членов многочлена в скобки

6. При выполнении сокращённого умножения при помощи формулы

которая особенно распространена при m = 2

б) в вычислениях члена 2ab: 1) умножают первое число на второе—без удвоения, т. е. фактически берут ab вместо 2 ab. 2) Произведение первого числа на второе возводят в квадрат вместо удвоения.

7. При сокращённом умножении с помощью формулы

а) Произведения квадрата первого числа на второе и квадрата второго на первое берут без утроения, т. е. a'ô и аб', вместо За*6 и Зай1.

б) формулу

искажают в такой вид:

в) вместо утроения произведения возводят в куб, т. е. вместо За*Ь и ЗагЬ берут (af6)8 и (aô2)3 8. отмечается, что употребление формулы:

сопровождается ошибкой, если в примере даётся:

9. Во время сокращения дробей:

10. При сложении и вычитании дробных алгебраических выражений.

а) Если перед дробью стоит знак минус, при приведении к общему знаменателю ошибаются в знаках:

б) Во время приведения к общему знаменателю иногда приходится менять знак знаменателя, что требует соответствующих изменений. Последнее забывают провести. Например:

в) Меняют знак знаменателя, чтобы не изменилась величина дроби пытаются изменить знак числителя:

11. При умножении целого числа на дробь:

12. При извлечении корня из одночленов, например:

13. В извлечении корня

14. В подведении множителей под знак корня:

15. В освобождении подкоренного выражения от знаменателя

16. При извлечении корня из корня

17. В освобождении знаменателя дроби от радикалов

т. е. умножают числитель и знаменатель на выражение,

которое находится в знаменателе Vbm, вместо того, чтоб и _ умножить на УЬ""т >

18. При сложении радикалов

19. При приведении корней к одному показателю, коэфициент подкореного выражения умножают на то же число, на которое умножают показатель.

20. Часто допускают также ошибку Vа* = а.

21. При решений уравнений:

а) во время перенесений членов уравнения из одной части в другую;

б) В уравнении с дробными членами:

в) Или же забывают умножить на общий множитель некоторые члены уравнения; например:

г) при решении квадратного уравнения не вычисляют х3у считая, что xâ представляет собой противоположное число л^-го. Так, например, если получили хг = а, пишут х2 = — а.

22. При решении задач составлением уравнений:

а) Ввиду бессодержательного, логически необоснованного рассуждения не могут составить правильного уравнения.

б) учащиеся, путём цепи логических рассуждений, получают алгебраические выражения, между которыми нужно установить в условиях задачи данное соответствие, т. е. получить окончательно уравнение; этот последний шаг в составлении уравнений часто затрудняет учащихся, в особенности если между полученными выражениями существует кратное или разностное отношение. Они неправильно устанавливают связь между выражениями.

в) Часто уравнение составлено и решено правильно, получены корни; но при выборе корней отбрасывается отрицательный корень, как непригодный, не делая при этом никаких исследований.

II

Во второй главе даётся анализ в первой главе установленных типичных ошибок. Мы постарались детально изучить их каждый вид и на этом основании установить непосредственный источник, конкретные причины возникновения каждого из них.

Проведённый анализ даёт возможность сделать следующие выводы:

1. Причиной возникновения каждой типичной ошибки является определенный недостаток в преподавании математики.

2. Многие ошибки в алгебре порождаются неперспективным преподаванием арифметики. Например, ошибки № 3, № 9, отчасти и № 2.

3. Ошибка № 1 имеет различные нюансы на разных этапах обучения. До прохождения умножения эта ошибка сопровождается ошибкой в вычислениях коэфициента при приведении подобных членов—вместо алгебраической суммы коэфициентов подобных членов, берут их арифметическую сумму. После прохождения умножения и деления положение меняется -учащиеся берут алгебраическую сумму коэфициентов, а показатели степеней при буквах складывают при коэфициентах с одинаковыми знаками, и вычитывают при коэфициентах с разными знаками. Причина этой ошибки лежит в неправильно построенных первых уроках алгебры за буквенными выражениями учащиеся не видят чисел.

Кроме этого в стабильном учебнике алгебры (А. Киселев, Алгебра, часть I) правило приведения подобных членов отсутствует. В § 38 дается следующее: „Соединение всех подобных между собой членов многочлена в один член называется приведением подобных членов многочлена". По этому вопросу в учебнике ничего больше не сказано и каждый преподаватель вынужден поступать по своему усмотрению.

4. Больным местом в знаниях учащихся математики является заключение части алгебраической суммы в скобки и раскрытие скобок, когда перед скобками стоит знак минус. Этот недостаток в знании учащихся проявляется при всяком „благоприятном" случае: вычитание многочленов (ошибка № 3), разложение многочлена на множители (№ 5а), вычитание дробей (№ 10а, в) и также решение уравнений (№ 21 в).

Все эти ошибки являются в основном следствием одной и той же причины.

Рассмотрим ошибку при вычитании многочленов. Изучение вычитания в алгебре сопряжено со многими трудностями. Арифметика вырабатывает у учащихся навыки: вычитание есть действие обратное сложению; из одного числа вычесть второе -значит найти число, которое в сумме со вторым даёт первое; действие вычитания не всегда выполнимо.

Алгебра дает более широкую возможность для выполнения действия вычитания. Действие вычитания всегда выполнимо—первая трудность и заключается в этом. Но эта трудность легко преодолевается. Определение вычитания — из числа а вычесть Ъ значит найти число, которое в сумме с.Ъ даёт а — сравнительно нетрудно прививается. Также нетрудно понять им, что вместо вычитания числа, можно прибавить число, противоположное первому. Но, замена вычитания алгебраической суммы сложением ее отдельных членов, взятых с противоположными знаками, очень трудно даётся учащимся. Термин „алгебраическая сумма" тяжело укладывается в их сознании. Сумму представляют они в виде одного числа, но если a-f-ô окончательный результат сложения а и о—долго остается сомнительным. Часто учащиеся не понимают, что действие вычитания заканчивается тогда, когда к уменьшаемому многочлену приписаны все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками. Напротив, процесс вычитания они видят во время приведения подобных членов, которым чаще всего сопровождается вычитание многочленов.

Ученица VI класса, правильно решив пример—(5а— 3ô-f-+ 6с — Id) - (За - 80+Зс - 2d) = 5а - 3&+6с Id -—- За + 8 Ъ — Зс -f- 2d— 2а + 56 -|- Зс 5d — не смогла правильно ответить на вопрос: где результат вычитания? Она ответила, что из 5а вычла За и также из 80 — ЗЬ. Подобные рассуждения можно услышать и в VIII классе.

Причина этой ошибки может лежать еще и в том, что у учащихся выработан навык решения арифметических примеров только одним путем: Например, 12 -(7— 3) вычисляют обычно так:

1) 7 — 3 = 4 и 2) 12 — 4 = 8. Но следующего вила решения не показывают:

12 — (7 — 3) = 12 — 7 4- 3. Все эти причины вызывают ошибку.

Что здесь происходит? Происходит нарушение правила—все члены обоих многочленов фактически приписаны друг к другу без изменения знаков. Исключение составляет, как-будто, первый член вычитаемого многочлена—с. Может быть ученик в данном случае действовал по правилу и изменил знак на обратный? Но наблюдения подтверждают следующее: знак действия вычитания приписан первому члену вычитаемого многочлена механически, не производя самого действия вычитания.

о. Ошибку часто, вызывают неясности в действиях, например, ошибки № 6, № 7. Учащийся путает удвоение с возвышением в квадрат или утроение с возвышением в куб. Почему? При прохождении формул квадрата и куба двух чисел, наглядно не показали ему как получить „2aô% „3a2ô", „3aô>".

6. Ошибка № 10 происходит отчасти потому, что вопрос не разработан в учебнике (А. Киселев, Алгебра, часть I) с достаточной полнотой и, что в сборнике задач Н. Шапошникова и Н. Вальцева отсутствуют соответствующие упражнения.

7. В преподавании преобразований иррациональных выражений часто не принимается во внимание, что для полного усвоения этого раздела требуется более высокая ступень развития абстрактного мышления. Поднимаясь на эту ступень абстракции учащиеся не должны терять конкретных представлений. Проф. Арнольд говорит: „Переход от простых численных формул к довольно громоздким алгебраическим преобразованиям отрывает формальные правила от привычного конкретного содержания и лишает учащихся той интуитивной уверенности в правильности произведенных преобразований, которая в арифметике основывается на богатом опыте на более низких ступенях абстракций и на возможности в случае сомнения вернуться к этому опыту".1 Некоторые ошибки порождаются и тем, что учащиеся не имеют навыка проверки своих ответов (Ошибка № 14), или же, стремясь быстро решить заданный

1 И. В. Арнольд, Показатели степени и логарифмы в курсе элементарной алгебры, 1949, стр. 33.

пример, делают „скачки", пропуская промежуточные звенья в действии (Ошибка № 14, 15).

8. Больным местом является также решение задач методом составления уравнений. Причины в основном такие:

1. Решать задачи этим методом систематически начинают только в 8-м классе. 2. Не упражняют учащихся с самого начала изучения алгебры и дальше, в словесном чтении алгебраических выражений и обратно, 3. Не подвергают анализу условия задачи и 4. Не рассматривают параллельно разные решения одной и той же задачи.

III

В третьей главе дается попытка дать конкретные пути искоренения этих ошибок. Для каждой типичной ошибки приводим метод искоренения, который построен в основном так, чтобы предотвратить причины возникновения этих ошибок. Меры искоренения выработаны с учётом, что формирование новых понятий должно закреплять в памяти учащихся их существенные признаки. Для этого необходимо глубоко вникнуть в содержание понятий и раскрыть его в разных связях и отношениях. Приводим примеры упражнений и так же уроки целиком, дающие возможность правильно привить понятие.

1. Для искоренения ошибки № 1, в приведении подобных членов предполагается: 1) установить правило приведения подобных членов: „Каждую группу подобных между собой членов суммы можно заменить одним подобным им членом, у которого коэфициент равен алгебраической сумме коэфициентов всех членов группы".1 2). Первые уроки алгебры надо построить так, чтобы учащиеся ясно видели в буквах числа,, чтобы они убедились в обширности алгебраической символики, ее преимуществе перед цифровым изображением чисел. 3) До прохождения приведения подобных членов провести подготовительную

1 П. С. Александров и А. Н. Колмогоров, Алгебра, часть I, 1939, стр. 70.

работу, примерно, такого характера: вычислить значения выражений: — ab-\-ab и 2аЬ для различных числовых значений а и Ъ\ также для а2 + а2 и 2а2, а26 + 2а2о и За26 и других.

2. Для искоренения ошибки № 3 предлагается добыться того, чтобы уже с IV—V классов примеры не решались всегда одним путем. Решение примера 12—(7—3) можно объяснить и так: из 12 надо вычесть разность 7f—3. Если вычесть 7, то тем самым вычитываем на 3 больше,, чем нужно было; для исправления надо еще прибавить 3.

Получим: 12 —(7 — 3)=12 — 7 + 3

Некоторые примеры сами требуют этого приема: 47 —(27 --12), здесь лучше сперва произвести вычитание 47-27 = 20 и потом 20+12 = 32, т. е. 47 —(27 —12) = = 47 — 27+12 = 32. В сборнике алгебраических задач П. А. Ларичева имеется упражнение: „Произведите действие простейшим путем: 374— 179 = 374 — (174 + 5) = = 374— 174 — 5=195" (ч. I, стр. 191, 1951 г.) Подобные примеры необходимо дать учащимся и напомнить этот способ их решения перед прохождением вычитания многочленов: В допущении ошибки № 10 определенную роль играет так же то обстоятельство, что примеры для упражнения не бывают распределены в правильной методической последовательности.

По этому в диссертационной работе дается разработка последовательности упражнений, какой рекомендуется вести обучение вычитания дробей; приведены отдельные уроки, посвященные преподаванию вычитания дробей.

4. По поводу искоренения ошибки № 7 дается подготовительная работа в виде урока, где проведены: подробное объяснение выражений аг, 2ab, Ь2, (а+6)*, выводи анализ формулы (а + Ъу = а?-\-2аЪ + &*. Дальше приводятся также конкретные приемы, посредством которых учащиеся наглядно могут увидеть свою ошибку. Так, например, возьмем (5 -f 2)2.

Ученик, допускающий вышеуказанную ошибку, напишет: (5 4- 2)1 = 25 + 4 = 29 с другой стороны (5+2)1 = 72=49. Или же если ученик допустил ошибку в решении примера (5*7+1,2)*, то заставим его решить этот пример умножением : (5*7 + 1,2) (5хт +1,2) = 25хи + 6х7 + 6х7 + 1,44 = = 25*t4 + 2.6x7 + l,44

Сравнивая с формулой (а &)• = а2+ 2аЪ + о1

наглядно увидит ошибку и характер этой ошибки. Необходимо дать геометрическую интерпретацию этой формулы; кстати сказать соответствующая задача в сборнике задач. Н. Шапошникова и Н. Вальцева, не на месте находится (приведена она в упражнениях на приведении подобных членов).

Весьма полезно решать задачи простого вида с применением формул сокращенного умножения. (В диссертационной работе приводится на стр. 171).

5. Для изучения действий над радикалами мы попытались дать такое изложение преподавания этого раздела, которое даст учащимся конкретные представления. С этой целью воспользовались, с одной стороны, заменой в буквенных выражениях отдельных букв, числовыми значениями, с другой стороны, методом операторного истолкования числа.

6. Изучение решения уравнений основано на совместном изучении теории уравнений с решением уравнений, вопреки существующей установке, в школьной практике изучения теории уравнений вне решений уравнений. Приведены уроки.

7. Решение задач методом составления уравнений должно начинаться с первых уроков алгебры решением простейших задач и должно носить систематический характер. Хорошим пособием для этого служит сборник алгебраических задач. П. Ларичева.

В диссертационной работе даются примеры анализа условий задач и схемы разнообразных решений одной и той же задачи.

Работая с параллельными кассами, мы имели возможность проверить эти новые приёмы на практике одного класса и сравнивать результаты с положением в другом классе. Поэтому пути и методы искоренения ошибок не выдвигаются в настоящей работе как предложения теоретически выведенные из анализа этих ошибок —они проверялись в течении трёх лет на практике и дали хорошие результаты.

Подписано к печати 30/V-52 г. Количество печатных листов 1V4. Размер набора 6x10. Формат бумаги 60 x 92. Тираж 100. УЭ 02677.

Заказ № 489.

Типография издательства газеты ЗакВО „Ленинское знамя"