Министерство высшего и среднего специального образования УзССР

Ташкентский государственный педагогический институт им. Низами

Дж. ИКРАМОВ

Устойчивые ошибки учащихся восьмилетней школы, допускаемые в процессе решения геометрических задач на доказательство, и пути преодоления этих ошибок

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель-кандидат педагогических наук, доцент Р. К. Атаджанов.

Ташкент—1967

Ташкентский государственный педагогический институт им. Низами направляет Вам для ознакомления автореферат диссертационной работы т. Икрамова Джурабая на тему: „Устойчивые ошибки учащихся восьмилетней школы, допускаемые в процессе решения геометрических задач на доказательство, и пути преодоления этих ошибок“, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики.

Работа выполнена в секторе методики преподавания математики и черчения Научно-исследовательского института педагогических наук Министерства просвещения Узбекской ССР.

Защита диссертации состоится 1967 г.

на объединенном Совете по присуждению ученых степеней по педагогическим наукам при ТашГПИ им. Низами.

Ваши замечания и отзывы просим направлять по адресу: Ташкент, 61, ул. Т. Шевченко 20, УзНИИПН, Ученому секретарю.

Афтореферат разослан 1967 г.

Ученый секретарь Совета

(доц. М. С. Саматов)

За 50 лет Советской власти школьное математическое образование достигло серьезных успехов. Однако его развитие несколько отстает от потребностей строительства коммунистического общества на его современном этапе.

Дальнейшее усовершенствование методики обучения математике и разработка нового содержания математического образования могут проводиться успешно, если мы будем достаточно хорошо знать состояние преподавания математики и состояние математической подготовки учащихся. Особый интерес при этом представляют так называемые устойчивые ошибки учащихся, т. е. ошибки, которые повторяются из года в год, несмотря на значительные усилия по их преодолению. Анализ официальных документов и различных публикаций по этому вопросу за последние 25 — 30 лет показывает, что такие ошибки существуют.

В диссертации (введение и глава I; дан анализ устойчивых ошибок, допускаемых учащимися в процессе решения геометрических задач на доказательство.

Еще в журнале „Математика и физика в школе“ (Г. Стальков, 1936, № 1, стр. 72—80) отмечалось, что учащиеся допускают большое число ошибок при выполнении чертежа по условию задачи. В статье А. М. Пышкало и А. Д. Семушина (журнал „Математика в школе“, 1961, №4, стр. 17—21) приведен статистический материал изучения состояния знаний учащихся. Перечисляя ошибки учащихся, авторы статьи указывают, что в 1961 году 36,496 учащихся VI класса допустили ошибки при построении угла, а 31% учащихся VIII класса неправильно построили чертеж по условию задачи.

Анализируя ошибки учеников 6 класса при выполнении контрольной работы, предложенной Министерством просвещения РСФСР, методист Министерства А В. Соколова пишет, что „число ошибок, допущенных в построении чертежа в 1965 году, значительно выше, чем в 1964 году, когда средний процент ошибок такого рода был 19,5“ (статья „Итоги контрольных работ за 1964/65 учебный год“, журнал „Математика в школе“, № 1, 1966, стр. 26). На ошибки

в выполнении чертежа обращают внимание ежегодные приказы но Министерству просвещения УзССР, посвященные итогам вступительных экзаменов в вузы и средние специальные учебные заведения республики.

Этот вопрос за последние годы регулярно обсуждается секцией математики Учебно-методического совета Министерства просвещения УзССР, а также на страницах журнала „Математика в школе“ (1938. № 3, стр. 68—79; 1949, № 2, стр. 30-35; 1951, № 2, стр. 43—49; 1962, № 2, стр. 12—18 и др.) и республиканского журнала „Совет мактаби“ (1953, № 5, стр. 24-29; 1960, M 5, стр. 16-31; 1963, № 12, стр. 3—9 и др.).

Диссертант посетил 1500 уроков по геометрии, изучил итоги специальных проверочных работ, проведенных автором з ряде школ Ташкентской, Андижанской, Ферганской, Кашкадарьинской, Бухарской и других областей Узбекской ССР в течение 1960—1967 гг., и также отмечает ошибки в выполнении чертежа и другие устойчивые ошибки учащихся.

Выделение ошибок выполнено на основе изучения ответов учащихся на систему специально составленных вопросов. Для удобства сравнения расчет правильности ответов выполнен по ответам на 5 наиболее характерных вопросов, показывающих те или иные знания и навыки учащихся по геометрии.

Устойчивость многих ошибок показывает, что существуют объективные причины, порождающие эти недостатки, их источник—несоответствие хода учебного процесса особенностям мышления школьников, которые либо не познаны нами, либо известны, но недостаточно учитываются в обучении. Тревожным является то обстоятельство, что наиболее распространенные ошибки логического характера встречаются также у воспитанников высококвалифицированных учителей математики, использующих все рекомендации научнометодической литературы (см. таблицу 1).

Исследований, посвященных анализу ошибок учащихся, причин их появления и разработке путей устранения таких ошибок, мало.

Одни из них (работы В. Г. Прочухаева, Е. В. Имерлишвили, Н. Н. Никитина, и др.) посвящены вопросам арифметики, алгебры и тригонометрии.

Таблица 1

Число опрошенных учащихся (в тысячах)

Дали правильный ответ (в процентах)

на 5 вопросов

на 4 вопроса

на 3 вопроса

на 2 и меньше вопросов

I. При определении понятий .....

18,5

3-11*)

9-30

45-36

43-23

II. В понимании доказательств

1) В понимании необходимости доказательства . .

9,5

5-12

10-31

43-33

42-24

2) В понимании связи между отдельными умозаключениями ....

9,5

6-13

10-30

44-35

40-22

3) В понимании правила вывода . .

9,5

4-12

9-32

45-33

43—23

III. В понимании умозаключения .....

7,2

7-19

11-34

43-28

39-19

IV. При выполнении чертежа......

7,2

9-24

13-37

43-22

33-17

V. Во владении математической речью . .

15,3

11—27

14-38

42-19

33-16

*) Числа, указанные в каждой колонке, показывают границы измерения количества правильных ответов в лучших и худших (по результатам проверки) классах.

В других (работы Я. С. Дубнова, А. И. Фетисова, В. М. Брадиса, В. Л. Минковского, А. К. Харчевой и др.) рассматриваются ошибки учащихся чисто математического характера, без учета особенностей усвоения изучаемого материала.

Психологи (В. И. Зыкова, Ф. Н. Гоноболин, Н. Ф. Талызина, Е. Н. Кабанова-Меллер, Л. Н. Ланда и др.) рассматривают те же вопросы, только с точки зрения мыслительной деятельности учащихся.

Более обстоятельно эти вопросы рассмотрены в кандидатской диссертации Е. Ф. Даниловой „Как помочь учащим-

ся находить путь к решению геометрических задач“ (Калинин, 1958). Однако в этой работе не выделены устойчивые ошибки учащихся, в ней целенаправленно рассматривается методика обучения решению задач, а не пути устранения таких ошибок учащихся.

Проблему настоящей диссертации составляет изучение устойчивых ошибок, допускаемых учащимися восьмилетней школы в процессе решения геометрических задач на доказательство, и разработка научно обоснованной методики, направленной на своевременное выявление и преодоление недочетов в знаниях учащихся.

В процессе намеченной исследовательской работы решались следующие частные задачи:

1. Исследовать (на материале опыта преподавания математики школ Узбекской республики) устойчивые ошибки, допускаемые учащимися при решении геометрических задач на доказательство, и причины их возникновения.

2. Изучить ошибки, проистекающие вследствие несовершенства узбекской математической терминологии.

3. Разработать систему упражнений, обеспечивающую предупреждение устойчивых ошибок при обучении решению задач на доказательство.

Настоящее исследование отличается от вышеупомянутых конкретно-статистическим подходом к изучению устойчивых ошибок учащихся и недочетов в обучении математике, характерных для школ УзССР, в частности, связанных с особенностями узбекского языка.

Структура диссертации такова:

Введение,

Глава I. Устойчивые ошибки, допускаемые учащимися восьмилетней школы в процессе решения геометрических задач на доказательство.

Глава II. Причины появления устойчивых ошибок и пути их преодоления.

Глава III. Система упражнений по обучению решению задач на доказательство.

Общие выводы.

Библиография.

В процессе работы над диссертацией были использованы следующие методы исследования.

1. Изучение учебной, методической, психологической и математической литературы по теме исследования.

2. Анализ следующих материалов о состоянии преподавания математики в советских школах и, в частности, в школах УзССР: отчеты экзаменационных комиссий Андижанского, Наманганского, Ферганского и Ташкентского пединститутов; приказы по Министерству просвещения и Министерству высшего и среднего специального образования; статьи в периодической печати, освещающие недочеты в математической подготовке школьников; школьная документация (рабочие планы, конспекты, отчеты учителей, классные журналы, контрольные работы и тетради учащихся) и неопубликованные статьи, доклады, отчеты, рекомендации (Андижанского ОблИУУ, республиканских „Педчтений“, республиканских и областных научно-методических семинаров, совещаний, конференций и т. п.).

3. Анализ действующих программ и учебников восьмилетней школы.

4. Изучение состояния преподавания математики в ряде районов и областей УзССР, анализ передового опыта обучения матиматике, а также личного опыта преподавания автора.

5 Изучение проблемы стабилизации узбекской математической терминологии и ее методических аспектов.

6. Постановка экспериментов для определения уровня развития логического мышления учащихся и выявления устойчивых ошибок учащихся, допускаемых ими в процессе решения геометрических задач на доказательство.

7. Проведение поискового эксперимента и разработка учебных материалов.

8. Опытно-педагогическая проверка системы методических приемов и системы упражнений, способствующих развитию логического мышления учащихся в процессе обучения решению геометрических задач на доказательство.

Изложенные в диссертации методические рекомендации по преодолению устойчивых ошибок учащихся восьмилетней школы проверены личным опытом и специально организованным экспериментом в четырех школах УзССР: в базовой школе № 2 Узбекского научно-исследовательского института педнаук и в школах №№ 14, 41, 60 Янгикурганского района Андижанской области. В организации эксперимента участвовали учителя математики вышеупомянутых школ: И. Джамалов, А. Мамаджанов, А. Маматвалиев.

9. Использование основных результатов исследования в массовой практике обучения (при помощи привлечения к

проверке предлагаемой методики учителей математики школ Янгикурганского, Московского районов Андижанской области УзССР и некоторых школ Ташкента, а также путем ознакомления учителей республики с рекомендациями автора на различных совещаниях, конференциях, семинарах и в периодической печати, с последующим изучением результатов экспериментальной работы учителей).

Итоги экспериментальной работы и опытной проверки излагаются распределенно по соответствующим главам и параграфам диссертации.

Причины появления устойчивых ошибок и пути их преодоления

1. Одна из самых существенных причин появления устойчивых ошибок у учащихся школ Узбекской ССР, как показало проведенное исследование, состоит в том, что школа не дает всем учащимся знаний, которыми они осознанно бы владели, могли бы творчески их применять.

Например, после того, как ученики рассматривали на уроке определенную теорему и решали соответствующие задачи, им давалось задание составить самостоятельно задачу, требующую применения этой теоремы. Основная масса опрошенных школьников не могла удовлетворительно справиться с этим заданием.

Многие шестиклассники на вопрос: „Сколько линий можно провести через две точки“? ,отвечали: „Только одну“ (понятие „линия“ отождествляется с понятием „прямая линия“). Ученикам седьмого класса на одной из контрольных работ была дана задача: „Середины сторон параллелограмма последовательно соединены прямолинейными отрезками. Будет ли полученная фигура прямоугольником?“ Решили эту задачу, дав обоснование своему ответу, всего 12,5% (из 1100 учащихся). Остальные ученики, либо отказывались от решения, либо давали свой ответ в форме „да“ или „нет“, не приводя даже соответствующих чертежей,

Многие абитуриенты на приемных экзаменах в вуз затрудняются привести теоремы из курса арифметики и алгебры, не могут указать практических приложений геометрии. При заполнении специального опросника, составленного автором, первокурсники математического отделения ТашГПИ им. Низами на вопрос: „Какие темы школьного кур-

са вызывали у вас наибольший интерес?“ в подавляющем большинстве называли разделы алгебры, например, такие как „Квадратные уравнения“. Зато на вопрос: „Какие темы школьного курса вызывали у вас наибольшие затруднения?“, они почти все называли разделы геометрии, высказывая пожелания о значительном сокращении числа изучаемых теорем.

Из приведенных примеров видно, что хотя учащиеся изучали теоремы, приведенные в учебнике, решили большое число задач, многие из них фактически не владеют знаниями и потому не могут их применить даже в более простых условиях, чем это делается на уроках при ответах по текущему материалу.

Происходит это прежде всего потому, что учитель не ведет целенаправленной и систематической работы по формированию навыков логического мышления. Учащимся не раскрываются общность и специфика определения понятий, приемов умозаключений, доказательства теорем. Плохо устанавливаются связи в логической структуре вновь изучаемого материала с ранее изученным. Не используются для этого в полной мере даже уроки геометрии.

На уроках геометрии учитель чаще всего занимается разучиванием (даже не изучением) программных теорем, мало решает с учениками задач и особенно задач на доказательство, решение которых в наибольшей степени способствует глубокой осознанности изучаемой теории Во время устного опроса от учащихся больше всего требуется повторение заученных определений, теорем, нередко дословное воспроизведение части изучаемого материала, но при этом мало обращается внимания на усвоение сущности данной темы. Вопросы, которые ставятся учащимся, требуют механического воспроизведения изучаемого: „Сформулируйте теорему“, „Вспомните, какую теорему мы изучали на прошлом уроке!“, „Кто повторит её“? и т. п.

Наличие устойчивых ошибок учащихся в диссертации объясняется также увлечением учителей обучением решению задач на вычисление в ущерб обучению решению задач на доказательство.

Существенным недочетом в обучении решению геометрических задач служат объективные трудности оформления записи решений учащимися. Учителя либо не обращают должного внимания на формирование навыка краткой

записи решения, либо пользуются такими записями, которые не дают учащимся возможности наглядно представить себе все этапы рассуждений. В последнем случае учитель практикует громоздкие записи, неоправданно избегая математической символики, или же эта символика применяется настолько формально, что запись не отражает расчленения доказательства на отдельные звенья.

В диссертации обращается внимание на отрицательную роль недочетов стабильных учебников, из года в год повторяющих одни и те же ошибки в тексте. В действующем учебнике существуют отдельные неточные утверждения, недостатки в проведении доказательств, нечеткие формулировки теорем и определений. Например, в § 32 употребляется термин „противоположная теорема“, хотя ученики не знакомы с этим понятием; в § 13 говорится: „Докажем обратную теорему“, хотя этот термин еще неизвестен ученикам.

Нами выполнен анализ содержания учебников и задачников по геометрии, выявлены их отдельные недочеты, которые служат причиной ошибок, допускаемых даже сильными учащимися. К примеру, решение задач №№ 214 (1, 2), 215 стабильного задачника основано на обратной теореме о связи между параллельностью прямых и равенством соответственных углов, с которой ученики еще не знакомы (это, судя по оглавлению задачника, следующий параграф).

К этим недочетам русской учебно-методической литературы прибавляются и специфические для узбекской учебно-методической литературы недочеты, связанные с несовершенством узбекской математической терминологии и плохим качеством перевода учебников по математике. Например, в § 26 (стр. 57) стабильного учебника геометрии говорится, что в результате описанного построения угол ВСД разделяется на две части. В учебнике на узбекском языке эта мысль, ввиду особенностей языка, воспринимается так, что угол ВСД разделится на две равные части.

Можно указать следующие недостатки переводной математической литературы:

1) Переводятся на узбекский язык международные термины. Например: „Русско-узбекский терминологический словарь по математике“ (Учпедгиз, Ташкент, 1952) рекомендует переводить термин „локальный“ словом „махаллий“, в школьных учебниках термин „фигура“ переводится словом „шакл“.

2) Одновременно с международным термином употребляется переводной. Например: линейка и чизгич.

3) Один узбекский термин заменяет несколько международных. Например: нур (луч, полупрямая); туплам (множество, совокупность, сборник, коллекция, класс); улчов (мера, размер, размерность, измерение).

4) Один международный термин заменяется несколькими узбекскими. Например: знак (ишора, белги); наклонный (огма, кия).

5) Употребляемый термин плохо отражает смысл понятия. Например: юмалок жисм, айланма жисм, доиравий жисм (круглые тела); чизикли (линейный).

6) Разные переводчики используют разные термины: моделлаштириш, модель ясаш, модель тайёрлаш (моделирование). Имеет место разнонаписание: ноэвклид, ноевклид, гайри эвклид, гайри евклид (неевклидовый).

Изучая ошибки учащихся, диссертант пришел к выводу, что языковые трудности являются причиной многих трудно искоренимых ошибок учащихся. Узбекская математическая терминология до сих пор меняется, совершенствуется—процесс вполне закономерный. В диссертации защищается мысль о том, что в настоящее время вполне назрела проблема упорядочения терминов, используемых в курсе математики.

2. Исследование причин появления устойчивых ошибок позволило определить пути их преодоления.

а) Методика обучения и система упражнений, разработанные в диссертации, строятся так, чтобы обеспечить доступность изучаемого материала для учащихся на всех этапах обучения. Понимание учебного материала учащимися рассматривается в диссертации как необходимое условие достижения осознанных знаний учащихся. В эксперименте, на первых его этапах, мы преднамеренно отказывались от изучения в процессе коллективной работы трудных и недоступных для некоторых учащихся вопросов, усилив внимание к изучению основного содержания курса. Это довольно скоро позволило значительно поднять общий уровень знаний учащихся экспериментальных классов. Индивидуальный подход к более сильным ученикам достигался с помощью раздаточных дидактических материалов.

б) Достижению осознанного усвоения программного материала значительно содействует работа по формирова-

нию у учащихся научно достоверных знаний, вооружение учащихся современными научными концепциями. В диссертации защищается необходимость преодоления сложившегося разрыва между математикой, как наукой, и математикой, как учебным предметом; экспериментально доказана необходимость широкого привлечения теоретико-множественных идей при изложении школьного курса математики вообще и геометрии в частности.

В эксперименте теоретико-множественные понятия учащимся VI, VII и VIII классов сообщались в порядке дополнительных занятий (4—6 учебных часов), а применение их рассматривалось на каждом уроке математике, когда возникала в этом потребность. От всех учащихся мы добивались усвоения следующих теоретико-множественных понятий: множество, элемент множества, принадлежность элемента множеству, пересечение и объединение множеств. Для интересующихся математикой учащихся эта программа расширялась.

в) Введение теоретико-множественных понятий создало благоприятные условия для формирования системы геометрических понятий. Фигура стала рассматриваться как множество точек. Точка, отрезок, линия и подобные им геометрические объекты после этого стали восприниматься учащимися как геометрические фигуры. Учащимся стали понятны рассуждения о том, что множества двух любых точек отрезков равночисленны.

Важное внимание уделялось подведению учащихся к самостоятельному определению понятий. В VI классе это делается на интуитивной основе, с привлечением аналогии с ранее изученными понятиями и опровержением примерами ошибочно сформулированного определения. В VII классе явно рассматривается логическая структура определений, раскрывается их роль при доказательстве теорем и при решении задач на доказательство. Полезными дидактическими приемами, например, оказались составление полного списка понятий, использованных в процессе решения того или иного доказательства и выявление места, когда при доказательстве было использовано то или иное определение.

Решение задач на доказательство открывает возможность творческого использования этих приемов, исключает механическое заучивание и тем самым позволяет в корне устранить причины появления так называемых устойчивых ошибок в этом вопросе.

г) Основной вывод, сделанный в диссертации по вопросу об устойчивых логических ошибках учащихся состоит в следующем: нельзя надеяться, что учащиеся только в процессе изучения программного материала самостоятельно овладеют правильным построением умозаключений, освоят логическую структуру доказательств, все то, что мы обычно связываем с хорошим развитием логического мышления. Для преодоления логических ошибок этого рода недостаточно интуитивного владения логическими категориями, необходимо явное введение элементов логики.

Эксперимент показал, что введению элементов логики должна предшествовать хорошая логическая пропедевтика. В диссертации разработана система таких упражнений для V—VI классов.

В V классе нами вводились в курс арифметики логические упражнения, в том числе упражнения, в процессе которых учащимся раскрывалась роль условия задачи для получения заключения. Учащиеся на доступных примерах, и не только математических, убеждались как от изменения условия зависит правильность заключения.

В VI и последующих классах важное внимание уделялось выделению посылок и заключения из текста задачи. С этой целью учащимся предлагалось достаточное число текстовых задач с готовым чертежом и кратко выделенным условием задачи и частично готовым чертежом с частично выделенным условием задачи. К этим задачам рекомендуется обращаться во всех случаях, когда полностью самостоятельное решение новой задачи может представить для учащихся известные трудности.

Эксперимент показал, что после такой работы уже в VI классе можно учащихся явно знакомить с элементами логики. В эксперименте это было сделано на дополнительных занятиях: учащимся было рассказано о понятиях, суждениях, умозаключениях и доказательствах, было рассмотрено достаточное число логических упражнений. В процессе же урочных занятий на программном материале учащимся выделялись уже с общих позиций изученные логические элементы, подчеркивалась их особенность. Это позволило, например, уже в VIII классе на уроках геометрии включить элементы математической логики.

Важное внимание во всей этой работе было уделено установлению правильного соотношения дедуктивных и ин-

дуктивных методов. Эксперимент убедительно показал, что раннее введение дедуктивного изложения материала (до того как учащиеся осознают его необходимость) не содействует успеху в работе по развитию логического мышления.

д) В процессе эксперимента выявилось, что усвоение учебного материала может быть охарактеризовано по крайней мере тремя чертами: понимать материал, уметь изложить его устно, уметь записать изученное. Требования, изложенные в пунктах а, б, в и г, призваны обеспечить понимание программного материала. В умении излагать изученное важную роль играет обучение математическому языку.

На основе критического разбора сложившейся узбекской математической терминологии приведен отбор понятий, которые целесообразно не переводить на узбекский язык. Например: термин „фигура“ переведен словом „шакл“, означающим также форму (предметов), что приводит к смешению различных понятий. Составлен словарь наиболее распространенной узбекской школьной математической терминологии и высказаны предложения по его дальнейшему усовершенствованию.

В диссертации разработана система освоения учениками математической терминологии. Для этого рекомендуется использовать плакаты—таблицы правильного произношения и написания разучиваемых терминов. Эти плакаты вывешиваются в классе по мере изучения того или иного понятия.

Эксперимент показал также целесообразность установления связи в обучении математике и в обучении узбекскому языку. В диссертации отстаивается необходимость того, чтобы на уроках родного языка с учащимися разбиралась структура трудно усваиваемых оборотов математической речи. Приводятся примеры таких текстов.

е) В диссертации, наконец, отстаивается необходимость обучения владению математической и логической символикой при оформлении записи решений. В случае, если учитель добился понимания изучаемого материала, научил учащихся излагать его устно, использование математической символики уже не вызывает у учащихся принципиальных трудностей.

В организованном нами эксперименте успешно прошло ознакомление учащихся со следующей математической символикой: со знаками импликации и равносильности, со знаками принадлежности (элемента множеству) и включения

(множества в множество), а также с символикой, относящейся к теории геометрических преобразований и др.

Усвоение этой символики было обеспечено благодаря стремлению повысить ее значение для изучения геометрии: ученики в ходе выполнения упражнений убеждались сами, что символические записи сокращают время оформления решения, позволяют сделать запись сжатой, удобообозримой, и наглядно представляют ход рассуждений, что в некоторых случаях символические записи позволяют вести доказательство, не обращаясь к чертежу.

ж) Цель преодоления устойчивых логических ошибок должна иметься в виду, когда ученики выполняют многообразные упражнения по данной теме. Между тем в учебниках и задачниках мало доступных упражнений логического характера. Особенно страдает этим курс арифметики. Существенно может быть улучшено также содержание занятий по геометрии. Для эффективного осуществления рекомендаций автора в диссертации приводится система упражнений, способствующих развитию логического мышления учащихся и предупреждающих появление устойчивых ошибок учащихся.

Система упражнений по обучению решению задач на доказательство

Разработанная система упражнений представляет набор вопросов и задач, имеющих целью формирование основных геометрических понятий, усвоение учащимися вида и структуры геометрических предложений, а также вида доказательств и их составных частей.

Упражнения составлены по всем разделам программы. Внутри разделов они объединены группами в соответствии с изучаемым понятием или свойством.

Предлагаемая система упражнений основана на следующих принципах, эффективность которых объясняется как психолого-педагогическими закономерностями, подтверждаемыми практикой обучения (см., например, Р. А. Хабиб, „Из опыта обучения планиметрии“, изд-во „Учитель“, Ташкент, 1967), так и новыми требованиями к содержанию школьного курса математики.

1. Обеспечение логической пропедевтики.

Эти упражнения рекомендуется вводить в курсе арифметики, Их решение служит целям подведения учащихся к

пониманию дедуктивного доказательства. Решая арифметические задачи с требованием „доказать, что...“, вводя упражнения со структурой „дано...—доказать.. .“, повышая теоретический уровень обучения арифметике, мы не только добиваемся сознательного усвоения арифметического материала, но и подготавливаем учеников к усвоению дедуктивных рассуждений, которые служат основным источником трудностей при изучении геометрии.

2. Подведение учащихся к самостоятельному определению понятий.

Эти упражнения обеспечивают подготовку учащихся к формальному ознакомлению с понятием „определение“. Например, учитель соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны и говорит, что получили медиану. После этого он предлагает ученикам дать словесное определение медианы. Проводится коллективный анализ правильных и неправильных формулировок.

3. Использование естественно-научного подхода при изучении основных понятий геометрии.

Введение нового понятия состоит в основном из следующих моментов: а) рассмотрение и наблюдение учащимися достаточного числа объектов, служащих образами определяемого понятия; б) выделение общих существенных признаков, из которых складывается содержание понятия; в) ознакомление с термином, обозначающим данное понятие; г) сообщение точного логического определения рассматриваемого понятия; д) введение символического обозначения, если такое имеется; е) применение термина, символа понятия при рассмотрении различных объектов.

Проведение этого принципа вместе с тем позволяет раскрывать учащимся связи обучения геометрии с жизнью, практикой.

4. Равномерное распределение изучаемых понятий по всему курсу геометрии.

Осуществление этого принципа призвано преодолеть один из основных недочетов традиционного курса геометрии.

5. Формирование убеждения учащихся о необходимости доказательств.

Эти упражнения на хорошо знакомом учащимся материале раскрывают им общие особенности логического аппарата, который применяется не только в геометрии, но и в других науках.

6. Разделение трудностей усвоения процесса доказательств.

Этот принцип позволяет подготовить учащихся к выделению условия и заключения теоремы, к нахождению собственного доказательства.

Упражнения, вычленяющие эти моменты обучения решению задач на доказательство, обеспечивают переход учащихся к самостоятельному решению текстовых задач.

7. Объединение упражнений в серии, группы, циклы по признаку логических связей.

8. Обеспечение достаточного числа задач для поиска разнообразных методов их решения.

9. Обеспечение условий для формирования навыков употребления математической символики.

10. Органическое сочетание в задачах изучения теоретических сведений и приложении геометрии.

Этот принцип позволяет строить доказательства новых предложений, создавать гипотезы после рассмотрения ряда задач с практическим содержанием, формировать у учащихся навыки применения теорем к решению практических задач.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Проведенные теоретические исследования и результаты экспериментальной работы позволяют сделать следующие выводы.

Предлагаемая система обучения решению геометрических задач на доказательство:

1) доступна для учащихся восьмилетней школы, позволяет преодолевать выявленные устойчивые ошибки учащихся;

2) обеспечивает достаточную логическую подготовку учащихся: вырабатывает у учащихся потребность в проведении доказательств, обеспечивает сочетание индуктивных и дедуктивных методов при обучении геометрии;

3) позволяет преодолеть языковые трудности при изучении геометрии в школах УзССР;

4) обеспечивает повышение математической культуры учащихся;

5) содействует правильному пониманию связи обучения геометрии с жизнью;

6) способствует успешному продолжению математического образования учащихся в старших классах.

Основные выводы диссертации применимы не только к обучению решению задач на доказательство, но и к обучению математике в целом.

Содержание диссертации с достаточной полнотой отражено в следующих работах автора:

1. Методика решения геометрических задач на доказательство в восьмилетней школе, Сборник „Преподавание математики в школе“, вып. II, изд-во „Учитель“, Ташкент, 1966 (2,1 печ. л.).

2. Методы решения геометрических задач на доказательство в восьмом классе, Сборник „Вопросы методики преподавания математики“, изд-во „Наука“, Ташкент, 1966 (2,3 печ. л.).

3. Устойчивые логические ошибки учащихся по геометрии и причины их возникновения, „Тезисы докладов XXIX научной конференции ТашГПИ им. Низами“, Ташкент, 1967.

4. Виды геометрических доказательств в восьмилетней школе, Журнал „Совет мактаби“, Ташкент, 1967, № 4 (0,5 иеч. л.).

5. Результаты опыта, Журнал „Совет мактаби“, Ташкент, 1965, № 3 (0,3 печ л.).

6. Метрические соотношения в треугольнике и круге, „Укитувчилар газетаси“, Ташкент, 1965, № 18 (0,3 печ. л.).

7. Система логических упражнений по геометрии в восьмилетней школе, „^китувчилар газетаси“, Ташкент, 1967, № 25 (0,3 печ. л ).

8. О решении геометрических задач на доказательство в шестом классе, Сборник „Преподавание математики в школе“, вып. III, изд-во „Учитель“, Ташкент, находится в типографии (1,7 печ. л.).

9. Вопросы улучшения узбекской математической терминологии, Сборник „Преподавание математики в школе“, вып IV, Ташкент, изд-во „Учитель“, принята к печати (0,5 печ. л.).

10. Обучение владению геометрическими понятиями, Сборник „Активизация познавательной деятельности школьников в процессе обучения математики, изд-во „Учитель“, принята к печати (1 печ. л.)

11. Обучение методам доказательства по геометрии, Сборник „Вопросы методики преподавания математики“, изд-во „Наука“, Ташкент, принята к печати (2,1 печ. л.).

12. К вопросу о принципах составления геометрических упражнений, Сборник „Активизация познавательной деятельности школьников в процессе обучения математике“, изд-во „Учитель“, Ташкент, принята к печати (0,4 печ. л.).

Наряду с публикацией статей на страницах республиканских учебно-методических изданий автор выступал по материалам диссертации со следующими докладами и лекциями:

на „Педагогических чтениях“ в Андижанской области в 1962 году;

на IV, V, VI республиканских „Педагогических чтениниях“ в городах: Ташкенте, Самарканде, Фергане соответственно в 1963, 1965, 1967 гг.;

на научно-теоретической конференции учителей математики Андижанской области в городе Андижане в 1966 году;

на научно-методическом семинаре учителей математики Андижанской области в городе Намангане в 1967 году;

на научно-методическом совещании учителей математики Ташкентской области в городе Чирчике в 1967 году;

на городских и районных семинарах учителей математики в городах: Андижане, Намангане, Кагане, Шахрисябзе, Фергане, и в поселках: Янгикургане, Вабкенте, Орджоникидзе в 1963—1967 гг.

Учителя и другие работники народного образования, перед которыми автор выступал с докладами и лекциями, отмечали целесообразность рекомендаций автора настоящей диссертации (см. также публичные отзывы в республиканской учительской газете „Уцитувчилар газетаси“ от 23 января 1966, статья „Методическая помощь учителям“, в газете „Янги хаёт“ (Андижанская область Московский район) от 15 декабря 1966 г., статья „За прочные знания по точным наукам“ и др.

P-03868 22-IX.67 Формат 60x92. Печ. л. 1,25. Тираж 250. Зак. 585

г. Ташкент, ул. 2-ая Выборгская, 5 Типография Ташкентского текстильного института