МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР

АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

А. Ю. ИБРАГИМОВ

К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель—кандидат педагогических наук доцент Б. А. АГАЕВ.

Баку — 1955

Как отмечено в объяснительной записке ныне действующей программы по математике для средней школы, одна из важнейших целей изучения геометрии в средней школе состоит в развитии пространственных представлений учащихся. Наша школа должна готовить людей с развитым творческим пространственным представлением, способных в будущем развивать и двигать вперед нашу отечественную науку, технику, промышленность и сельское хозяйство.

Особое значение приобретает вопрос о развитии пространственного представления учащихся в связи с решениями XIX съезда КПСС по вопросу о всеобщем политехническом обучении.

Следует отметить, что вопросам улучшения качества преподавания геометрии и в частности проблеме развития пространственного представления учащихся в наших школах за последние годы уделяется особенно большое внимание. В работах советских ученых и учителей, посвященных указанным вопросам, указывается в частности на все еще недостаточную степень развития пространственного представления и воображения учащихся средних школ. Наши наблюдения и опыт над пространственными представлениями и воображениями учащихся ряда средних школ и студентов некоторых вузов республики подтверждают вышеуказанный факт.

Недостаточный уровень пространственных представлений учащихся снижает качество среднего образования, препятствует многим студентам вузов и втузов в успешном усвоении изучаемых ими ряда математических и технических дисциплин.

Как известно, в деле развития пространственных представлений учащихся решение задач на построение считается хорошим средством.

Основные идеи и принципы методологии и методики геометрических построений в курсе геометрии средних школ даны в трудах русских и советских ученых и особенно в тру-

дах выдающегося советского ученого проф. Н. Ф. Четверухина. Изучая в частности его труды, посвященные решению стереометрических задач на построение, многие учителя—математики решают в школе стереометрические задачи на проекционном чертеже, которые значительно способствуют развитию пространственного представления учащихся IX и X классов.

Вместе с тем в области методики решения стереометрических задач на построение много еще не разрешенных вопросов. Прежде всего действующая ныне программа, стабильный учебник и задачник по геометрии с точки зрения задач на построение нуждаются в серьезном улучшении. Далее необходимо привести в органическую связь решение задач на построение с школьным курсом стереометрии. Важной задачей является также установить правильное сочетание двух концепций в решении стереометрических задач на построение: «воображаемые» построения и построение на проекционном чертеже, тем более, что последнее только сейчас начинает распространяться в наших школах.

Исходя из вышеизложенного и учитывая сравнительно лучшее состояние методики решения задач на построение в планиметрии, мы в данной работе считали нужным центральное место отвести методике решения задач на построение в стереометрии.

Явное неблагополучное состояние с умением учащихся в решении задач на построение объясняется главным образом следующими причинами:

а) наличие ряда недостатков в программе, учебнике и задачнике по геометрии по части задач на построение;

б) плохая подготовка многих учителей математики по вопросам геометрических построений;

в) недостаточность и разбросанность литературы (и полное их отсутствие на азербайджанском языке) по методике решения задач на построение (особенно в пространстве).

В связи с этим мы в данной работе поставили перед собой следующие цели:

1. дать анализ программ, учебников и задачников по геометрии для средней школы, а также некоторых пособий для учителей, с точки зрения задач на построение, выявить недостатки и указать пути их ликвидации;

2. дать необходимые сведения для учителей математики средних школ республики о постановке и обосновании реше-

ния задач на построение как в плоскости, так и в пространстве; излагать сущность некоторых специальных методов решения задач на построение и показать их применение к решению стереометрических задач на построение;

3. разработать один из возможных вариантов методики решения задач на построение в курсе стереометрии IX класса на основании опыта передовых учителей математики средних школ;

4. с целью оказания помощи учителям математики в деле решения задач на построение в пространстве дать определенное количество избранных задач по каждой теме стереометрии IX класса и примерное решение некоторых из них.

Выводы и предложения автора по перечисленным вопросам были обсуждены и одобрены на совместных заседаниях кафедр методики преподавания физики и математики, математического анализа и геометрии—высшей алгебры Азербайджанского Государственного Педагогического Института им. В. И. Ленина, а также на научных конференциях этого института. Кроме того, часть работы, посвященная методике решения задач на построение в стереометрии IX класса, была обсуждена и одобрена на заседаниях кафедры методики преподавания физики и математики с участием учителей математики средних школ г. Баку в 1953 году, а также на семинарах в институте усовершенствования учителей Азербайджанской ССР. Наконец, предложенный нами вариант методики решения стереометрических задач на построение в IX классе был поставлен на педагогический эксперимент в 4-х школах г. Баку в 1953/54 учебном году.

Работа состоит из двух частей, шести глав и трех приложений.

В первую часть входят научно-методические вопросы по геометрическим задачам на построение.

Глава 1. Состояние решения геометрических задач на построение в школе. Значение задач на построение в свете осуществления политехнического обучения.

В начале данной главы изложен анализ ныне действующих программ по геометрии с точки зрения задач на построение как на плоскости, так и в пространстве. Исследование показало наличие в программе ряда недостатков, из коих можно указать следующие:

а) в программе VI класса предусмотрено прохождение двух важных понятий: «симметрия геометрических фигур относительно оси» и «геометрическое место точек». Но программа,

включая только решения основных задач на построение и задач на построение прямоугольного и косоугольного треугольника по данным их элементам, не предусматривает решения простейших задач на построение с применением понятая симметрии и геометрического места точек, хотя такие задачи имеются в учебнике А. П. Киселева и в задачнике Н. Рыбкина. Программа только в VII классе предусматривает решение задач на построение методом геометрических мест точек. Таким образом, от введения понятия геометрических мест точек в VI классе до его применения к решению задач в VII классе проходит довольно большое время, за которое указанное понятие забывается учащимися. Применение же метода симметрии программой совсем не предусматривается;

б) по программе в VII классе дается понятие о центре симметрии параллелограмма. Ясно, что этот материал может быть лучше усвоен учащимися, если у них есть понятие о центральной симметрии. Однако введение этого понятия программой не предусматривается. Кроме того, программой не предусмотрено применение метода параллельного перенесения к решению задач, что не является нормальным, так как этот метод с большим успехом может применяться в решении задач, особенно в VII классе;

в) в программе по геометрии VIII класса требуется построение некоторых простейших формул, часто применяющихся в решении задач на алгебраический метод. Однако о применении этого метода в самой программе нет указания;

г) в программе стереометрии IX класса нет указания о решении стереометрических задач на проекционном чертеже, которые, как было сказано выше, значительно способствуют развитию пространственного представления учащихся. Программой предусматриваются только «воображаемые» построения, что по сравнению с решением задач на проекционном чертеже является абстрактным и трудным;

д) для правильного построения чертежей геометрических фигур в пространстве учащиеся IX и X классов должны обладать знанием свойств параллельного проектирования. Однако этот материал не включен в программу;

е) по программе не предусмотрено решение задач на нахождение геометрических мест точек и прямых в пространстве, тесно связанных с курсом стереометрии IX и X классов, благодаря чему, несмотря на большое значение таких задач, они в школе почти не решаются.

Далее в этой главе, учитывая то обстоятельство, что в школах Азербайджана преподавание геометрии ведется только по учебникам А. П. Киселева, излагается анализ этих учебников с точки зрения задач на построение, который привел автора к следующим выводам:

а) в учебнике (I ч.) крайне недостаточно говорится о методе параллельного перенесения, а приведенная задача, благодаря своей сложности, не является доступной учащимся. По нашему мнению задача, иллюстрирующая первое применение того или другого метода, должна быть такова, чтобы учащиеся ясно поняли сущность данного метода и его эффективность для быстрого решения задач;

б) несмотря на большое значение задач на нахождение геометрических мест точек и на специфические особенности их решений, в учебниках А. П. Киселева не приведено решение хотя бы одной такой задачи;

в) известно, что полное решение задач на построение состоит из 4-х этапов. Но в учебниках Киселева текст решения всех задач на построение состоих из двух или трех переплетенных этапов. Ясно, что в целях развития логической способности учащихся и привития им умений в решении задач на построение, необходимо дать в учебнике последовательно все логические этапы решения хотя бы нескольких задач;

г) в учебнике А. П. Киселева (особенно в I части) в конце каждой главы дано не мало задач и на построение. Известно, что такое нарушение нормального профиля учебника в свое время было вызвано тем, что в задачниках Н. Рыбкина почти не было задач на построение. Если и в будущем учебник будет иметь такие специальные разделы задач, то, по нашему мнению, правильно было бы после описания каждого метода поместить систему задач, решаемых данным методом;

д) вторая часть учебника А. П. Киселева не дает возможности в начальном периоде преподавания стереометрии решать задачи на построение, так как «воображаемые» построения в этом периоде трудны для учащихся, а о построении на проекционном чертеже в учебнике нет соответствующего материала. Помимо этого, недостаточное место отведено в учебнике геометрическим преобразованиям и не показано их применение к решению различных задач.

Несмотря на некоторое улучшение задачников Н. Рыбкина с точки зрения задачи на построения и на докозательства по сравнению с их старыми изданиями, в этих задачниках имеется ряд недостатков, из которых укажем следующие:

а) как в первой, так и во второй части задачника все же преобладающее большинство задач являются задачами на вычисления, других видов геометрических задач дано очень мало, что отрицательно влияет на качество преподавания геометрии в школе;

б) в 3-м параграфе первой части задачника среди нескольких задач на геометрическое место точек только в одной задаче применяется окружность, что крайне недостаточно. В задачах, помещенных в конце этого параграфа, требуется только построение фигуры, симметричной данной фигуре, относительно данной оси, что также является недостаточным. Задачи на построение четырехугольников, помещенные в 5-ом параграфе, слабо помотают развитию логического мышления учащихся, т. к., во—первых, они очень простые и, во—вторых, большинство из них имеют только числовые данные, что не способствует проведению исследований при решении;

в) с самого начала задачника (II ч.) во многих задачах на построение введены вычислительные требования. Опыт показывает, что при решении таких задач внимание учащихся распределяется между построением и вычислением и в большинстве случаев они увлекаются вычислением; при этом построительная часть решения остается в тени. Поэтому нам кажется, что в начальном периоде в задачи на построение не целесообразно включить вычислительные требования; эти требования будут полезными впоследствии, после приобретения учащимися определенных умений в решении задач и в их обосновании.

Далее отмечается плохая подготовка учителей математики средних школ республики в области геометрических построений, что, по нашему мнению, обусловлено следующим:

а) в длительный период в различных программах по элементарной математике для педагогических институтов не было дано достаточное место геометрическим построениям на плоскости и особенно в пространстве. Только в действующей ныне программе по специальному курсу элементарной математики геометрическим построениям дано надлежащее место;

б) малой разработанностью методики решения геометрических задач и в особенности задач на построение;

в) полное отсутствие литературы по геометрическим построениям на азербайджанском языке;

г) отсутствие должной требовательности к школам и учительству со стороны методистов органов народного образова-

ния по вопросам решения геометрических задач и в особенности задач на построение.

В диссертации выдвинут ряд предложений по искоренению этих причин.

Далее излагается значение решения задач на построение в пространстве для осуществления политехнического обучения в преподавании геометрии.

В деле развития пространственного представления и воображения учащихся большое значение имеют модели геометрических фигур и работа учащихся с моделями. Дальнейшим шагом в этом направлении являются геометрические чертежи. По своей наглядности проекционные чертежи значительно развивают пространственные представления учащихся. Решение достаточного количества стереометрических задач на проекционном чертеже дает возможность учащимся на основании чертежей вообразить геометрические образы и их различные комбинации. Здесь особое значение имеет полное соответствие между различными операциями над геометрическими фигурами и соответствующее построение на проекционном чертеже этих фигур. В результате всего этого у учащихся развивается способность на основании модели геометрических фигур построить их правильные и наглядные чертежи и, наоборот, на основании чертежей строить соответствующие модели. Очевидно, что при построении чертежей и изготовлении моделей геометрических фигур учащиеся приобретают ряд практически важных навыков, которые нужны им в повседневной жизни и в производственной деятельности.

Глава II. Основные сведения о геометрических построениях на плоскости.

В отличие от других видов геометрических задач, задачи на построение требуют от учителя присущее этому участку определенное теоретическое знание. Учитывая это положение, данную главу автор начинает с изложения необходимости обоснования решений задач на построение. Дается два способа обоснования решения задач на построение при помощи циркуля и линейки, данных в трудах советских ученых, а именно:

а) на основе системы постулатов;

б) на основе понятия класса конструктивных элементов. В работе сравниваются эти способы и приводятся задачи, иллюстрирующие их применения.

Вопросы обоснования геометрических построений приводят автора и к задачам, не решаемым циркулем и линейкой.

Затем автор останавливается на инструментах построения в связи с их ролью в решении задач на построение и указывается зависимость решения той или другой задачи от инструмента построения.

Далее дается сведение об основных задачах на построение, как о типичных задачах, часто встречаемых при решении сложных задач на построение. Указывается значение этих задач и приводится сравнительно расширенный их список.

Наконец, рассматривается решение сложных задач на построение. Автор останавливается на логически последовательных этапах решения и обращает особое внимание на первый и четвертый этапы, учитывая затруднения и недостаток в школьном преподавании в этой части. Приведенные здесь задачи дают возможность рассматривать ряд частных случаев в решении и указать изменение общего решения в каждом отдельном частном случае.

Глава III. Геометрические построения в пространстве.

В этой главе рассматриваются следующие вопросы:

1. общие сведения о построении чертежей пространственных фигур;

2. построение чертежей плоских и пространственных фигур, а также вписанных и описанных тел;

3. обоснование решения геометрических задач на построение в пространстве;

4. Две концепции решения геометрических задач на построение в пространстве: «воображаемые» построения и построение на проекционном чертеже;

5. специальные методы решения задач на построение. При изложении первых четырех вопросов автор основывается на идее и методах проф. Н. Ф. Четверухина.

Излагаются следующие специальные методы решения задач на построение:

а) метод геометрических мест, б) симметрии, в) параллельного перенесения, г) вращения, д) подобия, е) алгебраический метод.

Кроме первого и последнего все эти методы рассматриваются в связи с соответствующим геометрическим преобразованием. Дается решение достаточного количества задач на применение каждого метода. Кроме того, по каждому методу дана система задач для упражнений.

Основная часть задач, приведенных в данной работе, взята из различных задачников и руководств по элементарной геометрии, указанных в списке литературы. Остальная часть задач составлена самим автором.

Вторая часть работы охватывает исследования автора по вопросу методики решения стереометрических задач на построение в IX класое.

Опыт и наблюдение подтверждают большую положительную роль решения задач на построение по разделу «прямые и плоскости», в успешном прохождении всего курса стереометрии в средней школе.

Вторая часть работы также состоит из трех глав.

Глава I. Анализ программ и учебно-методической литературы советской школы с точки зрения геометрических задач на построение.

В начале этой главы автор изучает с точки зрения исследуемого вопроса программы по геометрии, начиная от первых программ после победы Великой Октябрьской Социалистической Революции до ныне действующей программы, причем в соответствии с общепринятым в педагогике делением автор вначале исследует программы, выпущенные до исторических постановлений партии о школе от 5. IX. 31 и 25. VIII. 32 г. г. и выпущенные после этих постановлений.

Отличительные черты программ, выпущенных до исторических постановлений, следующие:

а) чрезмерная перегрузка программ учебными материалами по геометрии в школе I и II ступени и недостаточность времени, отведенного для их прохождения;

б) отсутствие систематичности в распределении и расположении учебных материалов как между классами, так и в отдельных классах;

в) антинаучность так называемых программ ГУСа, которая привела к серьезному снижению качества обучения в школе.

В работе приводятся убедительные факты, иллюстрирующие наличие вышеуказанных недостатков в программах, вышедших до исторических постановлений Партии.

Изучение автором программ от 1932 по 1954 г. г. убедительно показывает постепенное улучшение программы по геометрии как с точки зрения задачи на построение, так и в целом, на основании исторических постановлений Партии о шко-

ле. Отмечается большая положительная роль перехода в 1933 г. в школах Азерб. ССР к унифицированным программам школ РСФСР, который способствовал значительному улучшению преподавания геометрии в средних школах нашей Республики.

Приложенная к диссертации сравнительная таблица отражает все изменения относительно задач на построение в программах. Одновременно вскрываются недостатки этих программ с точки зрения задачи на построение, а также приводятся несколько фактов из многочисленных ошибок в переводе программ с русского на азербайджанский язык.

Анализ программ завершается предложениями автора по улучшению программ по геометрии IX и X классов по вопросу задачи на построение. Эти предложения следующие:

а) ввести в праграмму основные сведения, связанные с решением стереометрических задач на проекционном чертеже:

б) ввести в программу основные свойства параллельного проектирования и применение их к построению чертежей reo метрических фигур и к решению задач;

в) ввести требование о решении задач на нахождение геометрических мест точек и прямых в пространстве, тесно связанных с курсом стереометрии IX и X классов;

г) ввести в программу понятие о центральном проектировании и применении его к решению задач.

В настоящее время имеется на русском языке значительное количество различной учебно-методической литературы по вопросам преподавания геометрии и в частности по решению задач на построение, часть которой унаследована от старой русской школы, но в основной массе созданной на основании опыта советской школы. Учитывая это, автор нашел необходимым дать обзор основной части этой литературы с интересующей его точки зрения.

Не останавливаясь здесь на результатах исследования старых, ныне не применяемых учебников и учебных пособий, надо сказать, что учебник А. П. Киселева и задачник Н. Рыбкина мало способствуют приобретению знаний и навыков в решении задач на построение в пространстве. Учебник Н. А. Глаголева, несмотря на ряд известных преимуществ перед учебником А. П. Киселева, в частности с интересующей нас точки зрения имеет также недостатки. В нем количество задач на построение, решенных в тексте, недостаточно, и решение этих задач в большинстве случаев неполное. Изложенные в

книге геометрические преобразования не применены к решению задач на построение и т. д.

С точки зрения решения задач на построение в пространстве весьма важными и полезными являются книги проф. Н. Ф. Четверухина «Стереометрические задачи на проекционном чертеже» (части I и II). Эти книги дают не только основные идеи и методы геометрических построений на проекционном чертеже, но и также ценный материал как учебного, так и методического характера.

Полезным является также и задачник Л. М. Лоповока «Сборник стереометрических задач на построение», несмотря на ряд его недостатков, которые приводятся в нашей работе. Этот задачник содержит значительное количество хороших задач, решаемых на проекционном чертеже, и некоторые важные методические указания, относящиеся к решению задач на построение в пространстве.

В заключение отмечаются почетные задачи, стоящие перед советскими учеными математиками и советским учительством в деле создания отвечающих требованиям советской школы учебников и задачников по геометрии.

Глава II. Методика решения задач на построение в стереометрии IX класса.

Эта глава является применением в стереометрии IX класса тех методических положений и выводов, которые разработаны и получены автором в предыдущих главах диссертации. Таким образом, получена цельная методическая разработка важнейшего раздела стереометрии, построенная на принципах советской дидактики и характеризующаяся следующими особенностями:

Составлен план прохождения курса стереометрии в IX классе с разбивкой программного материала по часам в соответствии с числом часов, установленным в программе, но с включением необходимых материалов, указанных нами в предыдущей главе. В плане отведено достаточное количество часов на упражнения, а также специальные часы для письменных контрольных работ.

На каждую тему даны методические указания, где отмечаются некоторые характерные трудности, встречаемые при прохождении этих тем, и главные моменты, связанные с решением задач на построение. Кроме этого, на каждую тему даются подробные поурочные планы. В этих планах в частности указаны проведение повторений и выполнение учащимися домашних заданий, связанных с решением задач на построение.

Особое внимание обращено на наглядность при решений задач на построение. Даны описание и способ использования ряда моделей; при этом автор исходит из того несомненно правильного положения, что модели необходимы только как средство, облегчающее понимание, а не самоцель. Таким образом, остается широкий простор для развития пространственного представления и воображения учащихся.

При выборе задач обращено внимание на постепенное нарастание их трудности. Вначале решаются простейшие задачи на проекционном чертеже. Далее, постепенно усложняясь, эти задачи сочетаются с другими видами геометрических задач. После того, как учащиеся приобретают достаточное умение в решении конструктивных задач на проекционном чертеже, постепенно вводятся и «воображаемые» построения.

В данной главе автор целиком основывается на обобщенном им опыте учителей и на лучших указаниях, имеющихся в методической литературе, а также на своем долголетнем опыте работы в средней школе.

Глава III. Педагогический эксперимент и его результаты.

Цепь педагогического эксперимента заключалась в том, чтобы разработанную нами методику решения задач на построение провести через проверку в школе и уточнить ее на основе этой проверки. Работа была организована в следующих школах г. Баку:

школа № 132 Ворошиловского района, в 1ХГ классе учителя Садыхова С,

школа № 190 Джапаридзевского района, в IX4 классе учителя Мамедова С,

школа № 44 Городского района, в IX классе учителя Алимурадова Ш.,

школа № 20 Шаумяновского района, в IX классе учителя Абдуллабекова Н.

До начала эксперимента был проведен инструктаж указанных учителей с обсуждением предложенной нами методики, после чего каждому учителю был представлен полный текст работы. В ходе эксперимента автор вел систематические наблюдения над прохождением теоретического материала и решением задач, демонстрацией наглядных пособий, предусмотренных в работе, выполнением учащимися контрольных работ и т. д. В каждом классе, где проводился педагогический эксперимент, несколько уроков по вновь введенным в программу материалам вел сам автор.

Следует отметить, что педагогический эксперимент в основном подтвердил на практике правильность и большую пользу разработанной автором методики. Изучение материалов педагогического эксперимента и обсуждение всей работы на совещании, созванном кафедрой методики физики и математики совместно с учителями-экспериментаторами, показали, что отведение надлежащего места задачам на построение (особенно решение их на проекционном чертеже) и приведение их в органическую связь с курсом стереометрии значительно повышает интерес и активность учащихся к предмету, что обеспечивает хорошее и прочное усвоение проходимого материала. Выполнение чертежей учащимися в специально отведенных для этой цели тетрадях и изготовление ими моделей к многим задачам, с одной стороны, способствуют более глубокому усвоению всего курса стереометрии, с другой стороны, развивают ряд важных практических навыков учащихся.

Во всем этом мы особенно убедились на экзаменах по геометрии в вышеуказанных IX классах. Преобладающее большинство учащихся этих классов на экзамене дали хорошие и отличные ответы как на билетные, так и на дополнительные вопросы и без особого труда сумели решать предложенные на билетах задачи.

В результате педагогического эксперимента, в целях обеспечения большей последовательности и доступности, в работу были внесены некоторые изменения, заключающиеся в сокращении объема материала некоторых уроков, в перестановке или снятии некоторых задач и т. д.

В конце работы помещены три приложения.

Первое приложение охватывает некоторые методические предложения автора, направленные на улучшение качества решения планиметрических задач на построение в VI—VIII классах.

Второе приложение состоит из небольшого сборника избранных задач на построение по каждой теме курса стереометрии IX класса. В целях оказания помощи учителям к многим задачам даны примерные решения.

В третьем приложении собраны отзывы учителей о результатах педагогического эксперимента.

В конце работы приведен список использованной литературы.

ФГ 05210 Заказ № 638 Тираж 100

Типография № 3, Баку

Бесплатно