ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Г. Н. ХОХОЛКОВ

ВЗАИМОСВЯЗЬ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В ДЕЙСТВИЯХ С ИМЕНОВАННЫМИ ЧИСЛАМИ В 5-7-х КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

(Специальность — методика преподавания математики)

Научный руководитель — профессор Депман Иван Яковлевич

ЛЕНИНГРАД 1955

Советская средняя школа занимает почетное место в подготовке активных строителей коммунистического общества.

XIX съезд Коммунистической партии Советского Союза с целью дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и обеспечения выпускникам средней школы возможностей для свободного выбора профессии поставил задачу — в пятой пятилетке приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода ко всеобщему политехническому обучению. Проблеме политехнического обучения в настоящее время придаётся большое значение. Необходимым условием успешного выполнения задач политехнического обучения является дальнейшее укрепление систематичности и прочности усвоения учащимися основ наук, изучаемых в школе, дальнейшее повышение научного уровня преподавания.

Политехническое обучение знакомит учащихся с научными основами производства, предполагает улучшение связи теории с практикой, повышение качества усвоения теоретического материала. При переходе к политехническому обучению, указывает проф. В. М. Брадис, коренное и весьма существенное изменение должна претерпеть вся прикладная часть школьного курса математики, должен быть увеличен удельный вес жизненных задач по сравнению с задачами тренировочного характера, учащиеся должны научиться решать задачи, которые ставят другие изучаемые в школе дисциплины (физика, химия и др.).

При решении задач на уроках математики и физики, на практике почти всегда приходится иметь дело с именованными числами и действиями над ними. Поэтому, указывает проф. В. М. Брадис, при переходе к политехническому обучению особое внимание надо уделить изучению именованных чисел. Он говорит, что школьной математике необходимо мно-

roe позаимствовать из курса физики, обладающей основательно разработанной теорией размерностей; в школе необходимо изучать не только отношения однородных величин, но и разнородных, а также произведения разнородных именованных чисел.

В настоящее время в школе на уроках математики изучается умножение именованных чисел при предложении, что множитель всегда отвлеченное число, а при делении делитель — число отвлеченное, в случае, когда делитель — именованное число, оно должно быть того же рода, что и делимое, отношение двух чисел — всегда число отвлеченное.

Но наряду с этим на уроках физики, а нередко и на занятиях по математике (при вычислении площадей и объёмов), употребляется другая постановка наименований у компонентов действий, при которой множитель может быть именованным числом, наименование делителя бывает по своему роду отлично от наименования делимого и т. д.

Если в первом случае постановка наименований у компонентов действий обосновывается учащимся математическим смыслом производимых при этом операций над именованными числами, то во втором случае этого не делается, несмотря на то, что и в этом случае, как и в первом, формально продолжают обозначаться математические операции над именованными числами.

На эти обозначенные действия (5 мХЗ м=15 м2,

в начале изучения физики (6, 7 классы)

обычно смотрят не как на действия над именованными числами, а как на своего рода условные записи, в которых действия производятся только над отвлеченными числами (операций над наименованиями не производят). Но в дальнейшем (8—10 классы, да и в вузе) на занятиях по физике, особенно при вычислении более сложных выражений с обозначенными в них действиями над именованными числами, говорят, что при этом надо произвести указанные в них действия отдельно над отвлеченными числами и отдельно такие же действия над наименованиями.

Откуда это следует, почему именно так надо поступать, а не иначе, учащимся в школе этот вопрос не раскрывается.

Однако сам факт обозначения математических операций над именованными числами (физическими величинами) и последующее вычисление этих выражений описанным выше способом создает у учащихся представление о возможности умножения на именованное число, деления на именованное число, отличное по своему роду от рода делимого и т. д. Это противоречит математическим утверждениям о том, что множитель всегда число отвлеченное, делитель или же — число отвлеченное, а если именованное, то его наименование должно быть такого же рода, что и наименование делимого и т. д. и т. п. Последнее утверждается на занятиях по математике в начальной школе, 5—6, а при случае и в старших классах средней школы.

Таким образом на уроках физики производятся операции незаконные с точки зрения ученика, точнее, необъяснимые на основании правил известной ученику математики. Это дезорганизует и путает логическое мышление учащихся. При существующем порядке вещей то, чему учит учитель математики, отменяется учителем физики и наоборот. Этим наносится разносторонний вред обучению учащихся.

Вопрос о наименованиях не является новым, а имеет обширную литературу, рассматриваемую нами в диссертации. Но до настоящего времени ни к какому единому мнению, несмотря на многие попытки, методисты не пришли.

Поэтому мы и избрали темою нашего исследования вопрос о взаимосвязи математики и физики в действиях над именованными числами. Целью нашего исследования мы ставим:

1 ) устранение ряда противоречий в процессе обучения между математикой и физикой в действиях над именованными числами; 2) согласование математической теории действий над именованными числами с практикой.

При написании диссертации были использованы следующие материалы:

1) труды классиков марксизма-ленинизма;

2) постановления партии и правительства о школе;

3) труды великих физиологов И. М. Сеченова и И. П. Павлова;

4) были проанализированы по поставленному вопросу методическая литература, стабильные учебники, учебные программы по математике и физике, а также изучена основная литература по теории групп и теории размерностей;

5) опыт школ и отдельных учителей, а именно:

а) материалы организованного нами обсуждения вопроса о наименованиях на городских и районных предметных комис-

сиях преподавателей математики и физики Ленинградской области в связи с докладами на тему: «О влиянии качества математических знаний учащихся на усвоение ими физики»;

б) опыт работы Ленинградских Городского и Областного институтов усовершенствования учителей;

в) результаты посещения уроков, бесед с учащимися и учителями, анализа записей в тетрадях учащихся 83 и 85-й средних школ г. Ленинграда;

6) данные проведенного нами педагогического эксперимента в 83 и 85-й средних школах г. Ленинграда.

7) собственный 7-летний опыт педагогической деятельности.

В выполнении данной работы существенная помощь была оказана диссертанту Ленинградским ОблОНО и Областным институтом усовершенствования учителей в проведении обсуждения докладов, упомянутых нами в рубрике а) пятого пункта и в собирании необходимых материалов о «проделанной работе.

Автор с докладами по теме диссертации и педагогическому эксперименту выступал перед учителями на объединенных заседаниях предметных комиссий по физике и математике в тех школах, где проводился педагогический эксперимент (в 83 и 85-й средних школах г. Ленинграда. Протоколы заседаний приложены к диссертации).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений.

Во введении даётся обоснование темы, указываются цели работы, методы исследования.

Глава I

О необходимости связи математики с физикой в процессе обучения

В этой главе, исходя из задач политехнического обучения в средней школе, показывается необходимость исследования вопроса о действиях с именованными числами во взаимосвязи математики и физики. Раскрывается связь в понятиях именованного числа и физической величины.

Понятие именованного числа является более общим по сравнению с понятием физической величины, которое входит в понятие именованного числа, но не исчерпывает его пол-

ностью. На ряде примеров решения задач показывается, что при одном и том же их содержании, формы, в которых протекает их решение на уроках математики и физики, различны.

На уроках физики, как указывает А. П. Рымкевич, появляется новая форма, которая проявляется в новых терминах, буквенных обозначениях, новых наименованиях, в формулах, совершенно новой форме записи и решения задачи.

В диссертации конкретизируется то особенное, что связано с появлением этой новой формы. В частности показывается, что причиною появления новых наименований (-—g-и т. д.) при решении задач на занятиях по физике следует считать использование для умножения и деления величин правил, отличных от тех, которые применяются на занятиях по математике.

Необходимым условием для облегчения восприятия этой новой формы, в которой протекает решение задач на уроках физики, по сравнению с той, в которой оно выполняется на уроках математики, является раскрытие взаимосвязи в смысловом содержании прежних и новых действий умножения и деления именованных чисел (физических величин).

В настоящее время в школе при существующей методике и объёме изложения этих вопросов не только эта взаимосвязь не раскрывается, но даже ряд утверждений математики, как это уже было нами ранее отмечено, противоречит тому, что делается на уроках физики и наоборот.

В некоторых случаях то, что изучается на уроках математики, может не совпадать во времени с изучением аналогичного материала на занятиях по физике. В силу этого, в зависимости от промежутка времени, протекающего между изучением этого материала на занятиях по математике и физике, может меняться степень проявления противоречивости некоторых утверждений математики и физики в сознании учащихся. При значительном расхождении во времени изучения аналогичных вопросов на уроках математики и физики, пройденное на уроках одного из предметов в той или иной мере забывается учащимися, и в зависимости от этого противоречивость утверждений может выступать в сознании учащихся с меньшей силой, может даже и совсем иногда не проявляться, когда первые знания по тем или иным причинам (забывание, недостаточность признаков аналогии и т. д.) не связываются с материалом, изучаемым позднее. Наоборот, противоречивость некото-

рых утверждений, даваемых на уроках математики и физики, ясно замечается учащимися в тех случаях, когда изучение материала на этих уроках совпадает во времени, чему содействует явная аналогия вопросов по существу. Например, при решении задач на вычисление площадей и объёмов в 6-м классе учащиеся задают вопросы о том, почему при изучении математики мы можем умножать только на отвлеченное число (5 м2 X 3 = 15 м2), а на уроках физики умножаем и на именованное число (5 м X 3 м = 15 м2). В этой главе делается попытка объяснения затруднений учащихся в этом вопросе с точки зрения психологии и учения И. П. Павлова о высшей нервной деятельности; с этих же точек зрения обосновывается необходимость единой трактовки действий над именованными числами на уроках математики и физики.

На необходимость согласованности в изложении операций с наименованиями физических величин при изучении математики и физики прямо или косвенно указывалось методической литературой, главным образом физической (В. Фриденберг, Н. Кувыркин, А. В. Павша, проф. П. А. Знаменский, проф. И. И. Соколов и др.), а в 1953 году на этот же вопрос указывала лаборатория методики физики Института Методов Обучения Академии педагогических наук РСФСР.

Однако, практическое осуществление необходимой согласованности в изложении этих вопросов между преподавателями математики и физики встречает ряд трудностей, тормозящих, а порою и делающих невозможным при существующей методике такое согласование.

Так, например, нами показывается, что преподавателям математики и физики при существующей методике изложения действий с именованными числами невозможно согласиться на одном из существующих способов постановки наименований при решении задач без известного ущерба для физики или же не вступая в противоречие с рядом утверждений математики относительно действий с именованными числами.

Для установления единой трактовки вопроса о постановке наименований при решении задач на уроках математики и физики необходимо дать единую методику преподавания действий с именованными числами.

В следующих главах нами делается попытка решить эту задачу.

Глава 2

Анализ способов изложения действий над именованными числами на уроках математики и физики

В данной главе анализируются различные способы изложения действий с именованными числами на занятиях по математике и физике. С этой целью изучается учебная и методическая литература, проводится анализ знаний учащихся путем постановки педагогического эксперимента в 85-й и 83-й средних школах г. Ленинграда, первая часть которого и излагается в этой главе.

В методической литературе, особенно математической, вопрос о действиях с именованными' числами встает главным образом в связи с рассмотрением постановки наименований у компонентов действий при решении задач.

Из рассмотрения методической литературы по математике видно, что постановка наименований при решении задач до настоящего времени рассматривалась в ней, исходя в основном из решения только арифметических задач, без учета в этом потребностей физики, без надлежащего с нею взаимного согласования.

В этой главе показывается, что при решении» задач постановка наименований у компонентов действий является желательной в тех случаях, когда при решении задач наименования результатов действий получаются путем операций над наименованиями компонентов. В случае большого числа компонентов действий такая постановка наименований необходима. В остальных же случаях такой потребности нет (в том числе и при решении арифметических задач). В том случае, когда необходимо при решении задач записывать наименования у компонентов действий, т. е. в случае употребления действий с именованными числами, вопрос о постановке наименований имеет важное, принципиальное значение для развития логического мышления учащихся и заслуживает серьезного внимания педагогов, поскольку в связи со- способом постановки наименований у компонентов действий, применяемом в физике, мы встаем в противоречие с рядом утверждений математики относительно постановки наименований при решении задач и действий с именованными числами при их умножении и делении.

Здесь также показывается, что в действиях над именованными числами нет необходимого согласования не только между их изучением на уроках математики и физики, в стабильных учебниках арифметики и физики, но его нет также и между стабильным учебником арифметики и методикой преподавания математики, предназначенной для работы по этому учебнику.

Вопрос о целесообразном взаимном согласовании в этом математики с физикой упирается в разработку новой теории общих действий над именованными числами.

Глава 3

Некоторые вопросы теории и методика постановки наименований при решении задач и действий с именованными числами

В этой главе делается попытка теоретического обоснования единой методики действий с именованными числами при изучении математики и физики в средней школе, раскрывается математический смысл обозначаемых в физике операций над именованными числами (физическими величинами) с точки зрения теории групп. Даются определения операций сложения, вычитания, умножения и деления именованных чисел. Показывается, что:

1) именованные числа как однородные, так и разнородные образуют абелеву группу относительно принятой нами операции умножения (понимаемой в расширенном смысле). Отсюда делается вывод, что именованные числа, как однородные, а также и разнородные, можно умножать и делить;

2) однородные именованные числа образуют абелеву группу относительно определенной нами операции сложения. Из этого следует, что все однородные именованные числа можно складывать и вычитать;

3) умножение именованных чисел как однородных, так и разнородных связано со сложением только однородных чисел дистрибутивным законом умножения относительно сложения.

Первый результат позволяет нам рассматривать и вычислять любые рациональные дроби именованных чисел вида

где Nj — действительные числа,

Е? — наименования, к, р — натуральные числа.

При вычислении таких дробей, в зависимости от удобства, мы можем вычислять сначала произведение числителя, применяя любые сочетания сомножителей и произведений отдельно, как численных значений величин, так и наименований. Вычислив аналогичным образом произведение, стоящее в знаменателе, делим первый результат на второй.

Однако это не единственный способ вычисления таких дробей.

Можно, например, отделить действия над отвлеченными числами от действий над наименованиями; тогда первые приведут к получению численного значения искомой величины, а вторые — к ее наименованию.

На Nj и Ei мы должны смотреть в процессе действий как на равноправные множители, имеющие одинаково важное значение в получении результатов действий.

Второй результат позволяет такие дроби, в том случае, когда они представляют собою однородные именованные числа (величины), складывать и вычитать.

При этом целесообразно сначала произвести вычисление таких дробей, а затем производить их сложение или вычитание:

4. Действия над действительными числами и действия над наименованиями, как над алгебраическими дробями, используемые в физике, как и действия над именованными числами в том виде, в каком они сейчас изучаются на уроках математики в средней школе, являются частными и более простыми случаями принятых нами общих действий над именованными числами.

Последние действия удовлетворяют требованиям принципа перманентности, что позволяет с именованными числами действовать по тем законам, которые установлены для действительных чисел.

Эти действия над именованными числами имеют несравненно большую применимость на практике, в частности в физике, чем действия, которые изучаются в настоящее время на уроках математики.

5. Поскольку физические величины являются разновидностью (частным случаем) именованных чисел, то, применяя эти выводы к ним, мы приходим к следующим заключениям:

а) Способ оперирования с физическими величинами в физике и на уроках физики следует с научной точки зрения считать правильным; он может быть теоретически обоснован; один из путей для этого указан нами в настоящей главе.

б) Операции над физическими величинами являются более общими по сравнению с теми действиями над именованными числами, которые изучаются на уроках математики.

Этим устанавливается связь действий над именованными числами, фактически применяемыми в физике и на уроках физики, но не изучаемыми ни на уроках математики, ни на уроках физики, — с теми действиями, которые изучаются на уроках математики в школе. Последние при существующей в настоящее время методике изучения их в ряде случаев вступают в логическое противоречие с операциями над физическими величинами.

После изложения этой теории описывается единая методика общих действий над именованными числами, для чего предварительно, в соответствии с требованиями принципа доступности, производится анализ знаний, умений и навыков учащихся в действиях с именованными числами, которые они имеют к моменту изучения в 7-м классе общих действий с именованными числами.

Далее, исходя из учета этих знаний, умений и навыков и в соответствии с требованиями дидактических принципов (систематичности, сознательности и др.) излагается методика преподавания общих действий с именованными числами.

В четырех седьмых классах (83 и 85-й средних школ г. Ленинграда) нами было проведено экспериментальное преподавание этих действий с именованными числами (вторая часть педагогического эксперимента). Это преподавание, а также анализ знаний учащихся, проведенный после него (третья часть педагогического эксперимента), показывают, что объем и характер изложения этого материала соответствует возрастным особенностям учащихся, имеющемуся у них запасу знаний и представлений. Приобретенные учащимися знания составляют определенную систему без тех противоречий, которые возникали ори прежней (существующей и в настояшее время) методике и объеме изложения этого материала в школе на занятиях по математике и физике.

**

*

Выводы

В заключении диссертации сформулированы следующие выводы:

1. В начальной школе методику изложения действий с именованными числами следует оставить без изменения.

2. В 5 и 6-м классах, как на уроках математики, так и физики, наряду с повторением и систематизацией знаний учащихся о действиях с именованными числами, которые они изучили в начальной школе, необходимо ознакомить и время от времени применять запись общих действий над именованными числами. Например: 5 мХЗ м = 15 м1'; 5 Г/см3 X 3 см = = 15Г/см2; 15 м/Зсек. = 5м/сек.; 5 м/сек. X Зсек. = 15 м и т. д.

Поскольку учащиеся здесь еще не знают действий над алгебраическими дробями, мы, исходя из требований дидактических принципов доступности и систематичности, в этих классах рекомендуем не раскрывать полностью математический смысл обозначенных при этом действий, не производить действий над наименованиями. Целесообразно смотреть на эти записи, как на записи, где действия производятся только над отвлеченными числами. Наименования результатов действий в каждом отдельном случае находятся особым рассуждением, исходя из самой сущности рассматриваемой задачи.

3. В 7-м классе после изучения темы «Алгебраические дроби» желательно наряду с раскрытием физического смысла раскрыть учащимся и математический смысл записей (обозначенных действий над именованными числами), которыми они в дальнейшем будут пользоваться на уроках физики. Для этого необходимо изучить общие действия над именованными числами в соответствии с предлагаемой нами методикой. Этим устраняется ряд противоречий между существующими методиками изложения этих вопросов на уроках математики и физики, создаются необходимые условия для единой трактовки вопроса о записи наименований при решении задач на уроках математики и физики, что делает процесс обучения более осмысленным и рациональным.

4. Желательно производство действий над наименованиями практиковать и на уроках математики. Так, например, в старших классах при решении задач на вычисление объемов тел вращения можно с успехом применять для контроля правильности получаемых формул объемов прием операций над наименованиями.

5. Взгляд на наименования как на множители и проведение над ними операций подготавливает учащихся к изучению вопросов теории размерности.

6. Придавая важное значение действиям над именованными числами, мы не считаем, что при решении задач всегда необходимо ставить наименования у компонентов действий. Наоборот, начиная с 5-го класса и далее, в тех случаях, а их

M437I9 l/VHï-55 г. Тип. «Сталинец» зак. 3316 т. 100