ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА

А. Г. ХИКМАТОВ

ИЗУЧЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

ТАШКЕНТ 1966

Ташкентский Государственный университет им. В. И. Ленина направляет Вам для ознакомления автореферат диссертации тов. Хикматова Азима Гулямовича на тему «Изучение экстремальных задач в средней школе», представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики, защита которой состоится 1966 г. на Объединенном ученом совете по присуждению ученых степеней по педагогическим наукам при Ташкентском Государственном университете им. В. И. Ленина.

Работа выполнена на кафедре математического анализа Таш ГПИ имени Низами и в секторе методики физики и математики Узбекского научно-исследовательского института педагогических наук.

Отзывы просим направлять по адресу: г. Ташкент, ул. Т. Шевченко, 20. УзНИИПН.

Реферат разослан 1966 г.

Ученый секретарть совета:

доц. ХЕГАЙ М. А.

При изучении окружающего нас мира большой практический и теоретический интерес приобретают способы определения наибольших и наименьших значений функций.

В математике задачи такого рода называются экстремальными или задачами на определение максимума и минимума. Значение экстремальных задач для математического образования школьников велико. Задачи на максимум и мунимум дают возможность раскрыть значение математики в повседневной жизни человека.

Великий русский математик П. Л. Чебышев писал: «Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения, по возможности, наибольшей выгоды»*.

В современных условиях еще сильнее чувствуется потребность в решении таких задач. Об исключительной важности экстремальных задач также свидетельствует требование, выдвинутое в Программе КПСС, принятой на XXII съезде КПСС, что следует производить максимум продукции при минимальных затратах труда.

О важности и необходимости решения таких задач, их жизненно-практической направленности говорит известный математик и педагог Д. Пойа. Он отмечает, что каждый из нас имеет свои личные задачи, они являются своего рода задачами на максимум и минимум. Он пишет: «Мы хотим получить определенный предмет за наиболее низкую возможную цену,

* П. Л. Чебышев. Полное собрание сочинений. Том V. М.—Л., 1951, стр. 150

или наибольший возможный эффект при определенном усилии, или максимальную работу, произведенную за данное время, и, конечно, хотим как можно меньше рисковать. Математические задачи на максимум и минимум привлекают нас потому, что они идеализируют наши повседневные задачи»*).

В современной математике имеются специальные дисциплины, занимающиеся вопросами отыскания оптимальных решений, т. е. в сущности экстремальных решений. Можно сказать, что ни одно значительное математическое направление не обходится без решения экстремальных задач. Это естественно, так как жизнь, как и сама математика, неустанно выдвигает требования «наилучшего», «наискорейшего», «наивыгоднейшего» решения различных вопросов.

Возникновение специальной математической дисциплины «линейное программирование» доказывает сказанное.

Академик Л. В. Канторович в статье «Математика и экономика» (Правда, № 236, 24. VIII. 65) отмечает, что «характерная особенность линейного программирования состоит в том, что оно, учитывая одновременно во взаимной связи многие предприятия и различные отрасли, позволяет найти решение, которое дает общую выгоду, наименьшие суммарные затраты, т. е. наибольший народнохозяйственный эффект».

Естественно, что задачи на максимум и минимум находят свое место и в школьной математике.

Существуют две возможности введения задач на максимум и минимум в школьный курс математики. Одна из них состоит в концентрации всех таких задач в одном месте курса, скажем, в теме «Производная функция». Другая возможность изложена профессором В. М. Брадисом в статье «Разыскание наивыгоднейших значений»**.

Он, отмечая важность задач на максимум и мунимум в школе, считает, что их следует разбрасывать по всему курсу элементарной математики, начиная с того времени, когда учащиеся будут уметь оперировать с десятичными дробями и вычислять поверхности фигур и объемы тел в простейших случаях.

В работе мы придерживаемся мнения, что второе направление более целесообразно.

Ознакомление учащихся V—X классов с методами решения задач на максимум и минимум, начиная с простейших и кончая достаточно общими, не только будет способствовать осуществлению более тесной связи обучения математике с

* Д. Пойа. Математика и правдоподобие расссуждения. М. 1957. стр. 148.

** Математика в школе. Сборник II (VI) под редакцией И. И. Грацианского. М—Л. 1926, стр. 20.

жизнью, но и ознакомит учащихся с некоторыми направлениями развития современной математики.

Изучение экстремумов в школе может помочь решить и ряд других педагогических и методических задач. Расширяются возможности в изучении задач, развивающих творческие способности школьников, насыщенных логическими рассуждениями, решаемых при помощи нестандартных приемов.

Какое отражение находят затронутые вопросы в школьном курсе математики?

Программа математики в средней школе до последнего времени не включила вопросов, связанных с решением экстремальных задач. В настоящее же время в программе VIII-го класса имеются темы: «Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена» и в X классе «Максимум и минимум функции», «Нахождение максимума и минимума с помощью производной». Но в школьных задачниках этим темам не уделено должного внимания.

Огромное теоретическое и практическое значение, которое имеют экстремальные задачи, настоятельно требует пересмотра отношения к этим задачам, их систематизацию в связи с изучением различных разделов математики в школе.

Основной целью настоящей диссертации является разработка содержания учебных занятий и лабораторно-практических работ в V—X классах, связанных с задачами на экстремум, исследование методики решения таких задач в классной и во внеклассной обстановке.

Для выполнения этих целей требовалось изучить значение экстремальных задач для развития математического мышления школьников, для формирования их диалектико-материалистических представлений, место этих задач в математической подготовке, которую дает современная школа.

Поставленная проблема решалась в направлении развития функционального мышления учащихся, приближения школьного преподавания к научному изложению с сохранением его доступности для учащихся.

На основании критического анализа учебно-методической литературы и учебных программ по математике (как настоящих, так и ранее действовавших) была построена система упражнений и задач на нахождение экстремумов, начиная с V по X классы, которая послужила основой для проведения экспериментальной работы.

В настоящем исследовании автор руководствовался работами известных математиков и методистов как прошлого так и настоящего (Евклид, П. Ферма, И. Ньютон, Л. Эйлер, П. Л. Чебышев, А. Н. Колмогоров, Л. В. Канторович, Л. А. Лю-

стерник, И. К. Андронов, В. М. Брадис, Б. В. Гнеденко, Д. Крижановский, А. П. Кисилев и др.), затрагивающих в том или ином плане вопросы экстремальных значений функций.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложений и библиографии.

Глава первая

КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ И ПРОНИКНОВЕНИЕ ИХ В СРЕДНЮЮ ШКОЛУ

Первая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена краткому историческому обзору. Изучение экстремальных задач в историческом аспекте дает возможность установить связь между задачами на экстремум и другими вопросами математики, проливает свет на историю возникновения дифференциального и вариационного исчислений, геометрической оптики, методов линейного программирования и других разделов современной математики.

В этой главе анализируются работы, древнегреческих математиков (Евклид, Архимед, Аполлоний Пергский, Зенодор, Герон, Папп), упоминаются работы среднеазиатских ученых (Абу'р-Райхан Мухаммад ибн Ахмед ал-Бируни, Насир-ад-Дин ат-Туси), обращается внимание на работу Кеплера «Новая стереометрия винных бочек» и др. Второй параграф первой главы посвящен анализу работы П. Ферма «Метод отыскания наибольших и наименьших значений». Здесь же вкратце рассматриваются работы И. Ньютона и Г. Лейбница. Третий параграф посвящается дальнейшему развитию общих методов и возникновению новых разделов математики в XVIII— XIX веках.

Здесь дается краткий анализ работ, начиная с труда «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона, работ Л. Эйлера, П. Л. Чебышева.

В четвертом параграфе изучается дальнейшее развитие методов решения экстремальных задач и возникновение новых разделов современной математики: теории аппроксимации, линейного программирования, теории планирования экстремальных экспериментов, теории статистических решений, теории игр и др.

В пятом параграфе излагается краткая история проникновения методов решения экстремальных задач в среднюю

школу. Здесь отмечается, что в связи с повышением интереса к решению экстремальных задач и наличием элементарных способов их решения возникает возможность включения этих методов в курс математики средних школ. Тенденция включения таких задач в школьную программу наметилась еще с XIX столетия. В качестве первой попытки в 1874 году, при введении в действие устава реальных училищ, в программе математики дополнительного класса появилась тема «Приложение свойств тричлена 2-ой степени к разысканию максимума и минимума». В 1918 году создаются «Примерные программы по математике», в которых предлагалась тема: «Простейшие задачи на разыскание наибольших и наименьших значений».

Наряду с программами анализируются учебники, задачники и учебные пособия различных лет, начиная с книги А. Беляева (1881 г.), кончая различными пособиями, изданными в последнее время, а также исследованиями диссертационного характера.

И, наконец, последний параграф первой главы посвящен анализу опыта изучения экстремальных задач в средней школе некоторых зарубежных стран. Наиболее подробно анализируется состояние рассматриваемого вопроса в средних школах. Франции: Ш. Брио «Лекции по алгебре» (1881), К. Бурлэ «Лекции по элементарной алгебре» (1911) и «Элементы алгебры» (1912), Бенуа «Алгебра» (1951), а также книги К. Бреара «Математика» (1962).

Анализ учебников французских школ показывает, что знакомство учащихся средних школ Франции с задачами на максимум и минимум происходит задолго до введения понятия производной функции.

Рассмотрено несколько учебных пособий для средних школ Турции. Это книги Х. Халита «Алгебра» (1929), А. Хикмета «Алгебра» (1933), «Алгебра» III» (1940), «Геометрия» Арифа Этикана. В них задачи на максимум и минимум также рассматриваются до начала прохождения производной. Такое изучение не принесет пользы, так как оно не является систематическим. Кроме того, в них не рассматриваются задачи с практическим содержанием.

В заключение для сравнения рассматриваются две книги Дюреля по математике для английских средних учебных заведений.

Материал первой главы диссертации позволяет сделать вывод, что состояние изучения задач экстремального характера в нашей средней школе еще не соответствует требованиям времени.

Глава вторая

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЭКСТРЕМУМ И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В главе изложен полезный для математического развития школьников материал. Он систематизирован и рассматривается поклассно. Указываются разделы школьного курса, в которых этот материал может быть изучен. Даются соответствующие рекомендации. Подробно разбираются задачи и примеры.

В первом параграфе рассматриваются отдельные темы из курса арифметики и алгебры, при изучении которых целесообразно ознакомить учащихся с понятиями наибольшего и наименьшего значения. К таким темам относятся; вычисление объема и поверхности прямоугольного параллелепипеда (арифметика), числовые значения алгебраического выражения; график температуры; формула (а + b) (а—b) =а2—b2; теорема о наибольшем произведении и наименьшей сумме; функции у = х2; у = ах2; y = ax2 + b; y = x2 + px + q; у = ax2+bx+c.

Во втором параграфе дан соответствующий геометрический и тригонометрический материал.

В третьем параграфе излагается методика организации лабораторно-практических работ на задачах экстремального характера. Большая часть заданий не описывалась в учебно-методической литературе.

Четвертый параграф посвящен решению оптимальных задач на внеклассных занятиях. Здесь же рассматривается пропедевтика изучения производной функции в процессе рассмотрения задач экстремального характера.

Глава третья

РЕШЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНОЙ И МЕТОДИКА ИХ ИЗУЧЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Рассматривается методика ознакомления учащихся с общим методом решения задач на экстремум. Обосновывается целесообразность изучения вопроса о максимуме и минимуме функции с помощью производной в IX классе. Такое рассмотрение даст возможность в средней же школе показать приложение построенной теории. Механический перевод методики изучения и решения экстремальных задач из X— XI классов в IX класс, нельзя считать рациональным. Изучение вопроса о максимуме и минимуме функции должно в основном опираться на наглядность преподавания, с постепенным переходом к более глубокому развитию абстрактного и функционального мышления учащихся.

Поэтому первый параграф третьей главы посвящен изучению экстремума функции, заданной графически. Здесь на конкретных примерах (график температуры и др.) постепенно вводятся следующие понятия: участок монотонности, максимум и минимум в соответствии с последними предложениями А. Н. Колмогорова,* наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Далее показывается необходимость рассмотрения этого вопроса для функции, заданной аналитически, чему посвящен второй параграф этой главы. Здесь вводится правило нахождения экстремума функции, прилагается решение некоторых задач, в частности, исследуется на экстремум функция, не имеющая производной в точке экстремума.

Третий параграф главы посвящен методике решения задач на экстремум. В целях облегчения процесса исследования задач на экстремум, предлагается пользоваться следующими положениями:

1 Если функция на некотором отрезке непрерывна и имеет только один экстремум, и если это максимум, то это значение будет наибольшим, если это минимум, то это значение будет наименьшим значением функции на данном отрезке.

2. Если функция на некотором отрезке непрерывна и не имеет экстремума, то наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на концевых точках отрезка.

3. Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, в] и удовлетворяет условиям:

а) при a<x<b, f(x)>0 (или f(x)<0),

б) f(a)=f(b),

в) существует единственная стационарная точка х0, а<х0<b, то f(x0) будет наибольшим (наименьшим) значением функции на отрезке.

При решении задач показывается, что в выборе параметра, который полагают независимой переменной, следует дать предпочтение тому параметру, который дает наиболее простую исследуемую функцию.

Четвертый параграф третьей главы посвящен внеклассной работе. Показывается в частности, как элементарные методы отыскания экстремумов выводятся при помощи производной.

Второй раздел посвящен решению задач двумя способами: элементарным и с применением производной. Сравнение хода решения указывает на эффективность второго метода.

* М. Ш. № 3. 1966 г., стр. 93 пр.

Глава четвертая

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ И ЕГО РЕЗУЛЬТАТЫ

Эта глава посвящена изложению и обсуждению эксперимента, который был проведен в различных школах Узбекистана.

Разработке системы и методики решения задач на нахождение экстремальных значений функции, изложенных в диссертации, предшествовал длительный период изучения состояния преподавания математики в школах Узбекской ССР. В 1960—1961 г.г. была проведена целевая проверка постановки преподавания математики в средних школах №№ 13, 20, 40, 45, 95 города Ташкента, в школе им, Тельмана Гиждуванского района Бухарской области и др. Проверка показала, что преподавание разделов математики, связанных с понятием экстремальных значений функций, а также вопросы изучения свойств функций находятся на низком уровне. В большинстве обследованных школ учителя не уделяют должного внимания развитию функционального мышления учащихся, ученики не умеют решать задачи на определение наибольших и наименьших значений величин.

Примерно с того же времени автор настоящей работы совместно с опытными учителями приступил к проверке экспериментальной методики и ее уточнению сначала в школе № 160 г. Ташкента, затем, с 1963 по 1965 г.г., в Ташкентской средней школе № 20. В проведении экспериментальной работы принимали участие опытные учителя Д. Мухитдинова (V— VI классы узб. гр.), Р. А. Акилов (V—VII классы русск. гр.), Ю. Латипов (VII—VIII классы), Ф. Раупова (IX—X классы) и др.

Некоторые элементы эксперимента, в порядке уточнения методических рекомендаций, были дублированы в школе № 33 Калининского района Ташкентской области (учитель тов. Туляганов) и др.

Весь экспериментальный период был разбит на два этапа: констатирующий и обучающий.

Констатирующий эксперимент был направлен на выявление уровня развития геометрического восприятия и функционального мышления учащихся.

С этой целью всем учащимся экспериментальных групп было предложено ответить на ряд вопросов. Ответы позволили установить уровень развития функционального мышления учащихся каждого класса на различных этапах обучения.

Обучающий эксперимент имел целью:

а) воспитание устойчивого интереса к экстремальным задачам и связанной с ними теории;

б) привитие навыков в решении экстремальных задач;

в) развитие пространственного воображения и функционального мышления учащихся;

г) развитие навыков самостоятельной работы учащихся.

Экспериментальная работа показала, что разработанные нами методы обучения учащихся решению экстремальных задач позволяют правильно решить поставленные перед нами задачи и дают положительные результаты.

Степень усвоения материала учащимися выявлялась на основании анализа устных ответов учащихся, контрольных и лабораторно-практических работ.

Каковы результаты педагогического эксперимента? Результаты педагогического эксперимента показали, что решение экстремальных задач на классных и внеклассных занятиях в течение трех лет, при использовании разработанных нами форм и методов организации и проведения уроков и внеклассных занятий являются вполне доступными и обеспечивают заметный рост уровня математического развития учащихся экспериментальных классов.

В диссертации даются следующие приложения:

а) Задачи на экстремум. 100 задач с практическим содержанием распределены по классам (V—IX классы), причем, многие из них снабжены указаниями для решения, а некоторые самими решениями.

б) Задачи для самостоятельной работы. 30 задач предназначены для внеклассных занятий. Сюда включены задачи по линейному и нелинейному программированию, а также несколько задач на определение геодезических линий.

в) в качестве третьего приложения указываются темы, когда могут быть изложены задачи на максимум и минимум.

В целях внедрения разработанной в диссертации методики изучения экстремальных задач в школьную практику, наряду с публикациями статей на страницах республиканских учебно-методических изданий, автор выступал с докладами и лекциями по материалам диссертации:

1) На XXV научной конференции профессорско-преподавательского состава и аспирантов Ташкентского государственного педагогического института им. Низами (март 1963 год).

2) На IV Педагогических чтениях УзССР (март 1963 год).

3) На III научно-теоретической конференции по педагогическим наукам УзССР (сентябрь 1963 г.).

4) На XXVI научной конференции профессорско-препода-

вательского состава Ташкентского государственного педагогического института им. Низами, посвященной 40-летию Узбекской ССР и Компартии Узбекистана (март 1964 г.).

5) На семинаре учителей математики Чиланзарского района г. Ташкента (сентябрь 1964 г.).

6) На курсах усовершенствования и повышения квалификации учителей имени К. Д. Ушинского (1964—1965 г.).

7) На V педагогических чтениях УзССР в городе Самарканде (март 1965 г.).

Учителя и другие работники народного образования, перед которыми выступал автор с докладами, отмечали целесообразность тематики и системы обучения решению экстремальных задач. Смотрите, например, газету «Укитувчилар газетаси» № 26 от 4/IV-63 г. редакционная статья «IV республиканские педагогические чтения»; газету «Укитувчилар газетаси» № 78 от 3/Х—63 г., статья «Ближе к жизни»; газету «Правда Востока» № 77 от 2/IV—65 г., статья «Читаю мысли».

Краткие выводы:

1. Задачи на максимум и минимум актуальны, так как они тесно связаны с практическими задачами самой жизни и заслуживают всемерного использования в процессе преподавания математики в средней школе.

2. Педагогический эксперимент подтвердил целесообразность, разработанных в диссертации, форм и методов ознакомления учащихся V—X классов с задачами экстремального содержания, а именно:

а) Решение простейших задач на экстремум в V—VI классах подготовит учащихся к рассмотрению некоторых элементарных методов.

б) Знакомство учащихся в VII—VIII классах с элементарными методами решения задач на максимум и минимум показывает необходимость введения понятия производной, а вместе с ней более общего метода решения экстремальных задач.

в) Изучение вопросов исследования функций на экстремум в IX классе, сначала на геометрической основе, затем для функций, заданных аналитически, позволяет в X классе пользоваться плодами этой теории при решении различных задач геометрического и физического содержания.

3. Разработанная в диссертации методическая система изучения вопросов теории и практики максимума и минимума в средней школе доступно учащимся, не требует дополнительной затраты классного времени, способствует более полному

и глубокому изучению математики, содействует повышению уровня математической культуры учащихся, развитию их творческих способностей, помогает развитию постоянного интереса к математике у учащихся, раскрывая связи математики с жизнью, диалектику ее развития.

4. Предложенная система обладает широкими возможностями в развитии пространственного воображения и функционального мышления у учащихся; предоставляет большие пропедевтические возможности изучения производной функции; дает возможность учащимся осознать силу и важность математических обобщений; развивает у учащихся умение применять полученные знания на практике.

5. Методика решения экстремальных задач, изложенная в диссертации, как показал эксперимент, оказалась полезной для более широкого ознакомления учащихся средних школ с экстремальными задачами.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ АВТОРА:

1. Рассмотрение в средней школе элементарных методов решения задач на максимум и минимум в историческом аспекте.

Ученые записки Ташкентского государственного педагогического института имени Низами, т. XXXVII, вып. I, Ташкент, 1963. 0,5 п. л.

2. Решение задач на максимум и минимум.

Журнал «Совет мактаби» № 12,

1963, 0,5 п. л.

3. Задачи на максимум и минимум и вопросы линейного программирования в средней школе.

Тезисы докладов XXVII научной конференции ТашГПИ им. Низами,т., 1964, стр.87—88.

4. О лабораторных работах по математике.

Журнал «Совет мактаби» № 12,

1964, 0,5 п. л.

5. К нахождению экстремума функции.

Журнал «Совет мактаби» № 11, 1965 г., 0,5 п. л.

6. Задачи на максимум и минимум во внеклассной работе.

Сборник «Преподавание математики в школе», вып. 2, изд. «Учитель», УзССР, т., 1966, 0,7 п. л.

7. Решение экстремальных задач с физическим содержанием.

Журнал «Совет мактаби». 1966, 0,5 п. л.

8. Наибольшие и наименьшие значения величин в восьмилетней школе.

Ученые записки Ташгоспединститута им. Низами. Вопросы методики преподавания математики в школе, т. 62, изд. «Наука», Ташкент, 1966, 0,5 п. л.

9. Вывод элементарных методов решения экстремальных задач.

Ученые записки Ташгоспединститута им. Низами, т. 68, изд. «Наука», Ташкент 1966,

10. Экстремальные задачи и лабораторные работы по математике.

Сборник «Педагогические чтения», УзССР, 1 п. л. (подготавливается к печати).