НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

На правах рукописи

Р. А. ХАБИБ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

МОСКВА — 1963

В борьбе за приближение обучения математике к жизни, к труду, к практике коммунистического строительства большое значение имеет введение в школьный курс математики темы «Приближенные вычисления», так как многие прикладные вопросы математики требуют знания и применения правил приближенных вычислений. Умение уверенно производить письменные и устные вычисления с приближенными и точными данными, умение пользоваться справочниками и таблицами, умение строить диаграммы, схемы и графики, умение пользоваться простейшими счетными приборами, навыки построений и измерений, короче говоря, все навыки и умения политехнического характера прямо или косвенно связаны с приближенными вычислениями.

Велико и общеметодическое значение приближенных вычислений, изучение которых тесно связано с такими проблемами повышения математической культуры учащихся, как использование экспериментов на уроках математики, активизация учебной деятельности школьников при выполнении практических работ, рациональное использование коллективных условий учебной работы и т. п.

Очень важная особенность приближенных вычислений заключается в том, что они должны производиться «с той степенью точности, которая необходима для практики» (А. Н. Крылов). Следовательно, систематическое проведение практических работ, умелое использование измерительного и вычислительного опыта учащихся приводят к осознанию решающей роли практики в процессе познания, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение учащихся.

Признание необходимости введения приближенных вычислений в школьный курс математики пришло в русскую методическую литературу еще в XIX веке. Так, в 1891 году в систематическом курсе арифметики А. П. Киселева (4-е издание) появляется раздел «Приближенные вычисления» (в качестве приложения для 6-го класса реальных училищ). В 1905 году профессор Киевского университета В. П. Ермаков писал: «Большой недостаток средних школ заключается в неумении производить вычисления... О приближенном вычислении в средних школах ученики не имеют никакого представления. Это можно судить по тому, что ученик берет

7t^3,14 и вычисляет окончательный результат при помощи семизначных логарифмов. Всякое дело нужно производить с толком и с разумением. Толковое вычисление в средних школах должно быть поставлено на первом плане» (Приближенное вычисление, «Вестник опытной физики и элементарной математики», 1905 год, № 388, стр. 87).

Кроме указанной статьи появляется ряд других пособий, разрабатывающих возможные пути введения приближенных вычислений в школьный курс математики (работы П. А. Долгушина, И. Н. Кавуна, Н. И. Щетинина и других).

В 20-х годах В. М. Брадис дает обоснование так называемым правилам подсчета цифр при помощи уточненного принципа акад. Крылова. В официальном документе Народного Комиссариата просвещения РСФСР «Программы и методические записки единой трудовой школы» (вып. 3, 1927 год, стр. 117—119) для 5-го класса были рекомендованы 3 правила подсчета цифр (для сложения и вычитания, для умножения и деления приближенных чисел, и правило предварительного округления более точных компонентов). Однако, начиная с 1933 года, указания на правила подсчета цифр были изъяты из программы средней школы.

Поскольку приближенные вычисления представляют собой как бы мост между «чистой» математикой и ее прикладными вопросами и без них немыслима тесная связь школьного курса математики с изучением смежных предметов, с практикой, с жизнью, то напрашивается вывод, что основной причиной, задержавшей развитие методики приближенных вычислений, являлся отрыв школы от жизни, от практики коммунистического строительства.

Можно напомнить по этому поводу удивительно глубокое замечание И. Н. Кавуна: «По мере того, как между чистой математикой и прикладными науками будут завязываться в школе частые взаимоотношения, приближенные числа и операции над ними сделаются в обиходе школьных знаний неизбежным. Ибо, если в самой математике число бывает приближенным, то в прикладных науках оно бывает таковым почти всегда» (Приближенные вычисления, ГИЗ, М., 1924, стр. 108).

В 1960 году раздел «Приближенные вычисления» был вновь включен в программу математики средней школы, что явилось естественным выражением курса на политехнизацию советской школы, курса на приближение обучения математике к жизни, к практике, курса на соединение обучения с производительным трудом учащихся. Вследствие реформы систему народного образования резко повысился интерес учителей математики и методистов к вопросам методики препода-

вания приближенных вычислений. В последние годы появилось множество статей и докладов, в которых рассматриваются различные приемы закрепления навыков приближенных вычислений, описывается опыт преподавания, рассматриваются вопросы активизации учебной деятельности учащихся при изучении понятий и правил приближенных вычислений.

Тем не менее, многие вопросы методики преподавания приближенных вычислений до сих пор не нашли своего разрешения: не исследованы достаточно полно учебные источники приближенных вычислений и недочеты учебной литературы, препятствующие закреплению правильных вычислительных навыков; не освещены должным образом внутрипредметные и межпредметные связи между приближенными вычислениями, другими разделами математики и смежными дисциплинами; не проведено критическое сопоставление различных методических рекомендаций относительно объема правил подсчета цифр, относительно способов школьного обоснования этих правил и т. д. Все это говорит о том, что необходимость обобщения накопленного методического опыта в области приближенных вычислений вполне назрела — неясности в этих вопросах могут мешать учителям математики в решении задач математического образования. С этой целью и было проведено настоящее исследование, задача которого состоит в том, чтобы разработать и обосновать методику обучения приближенным вычислениям в восьмилетней школе.

Для достижения этой цели требовалось решить ряд частных задач:

1) Выявить факторы, противодействующие закреплению навыков приближенных вычислений, в частности, отметить нерациональную организацию учебной деятельности учащихся и недостатки учебной и методической литературы по- приближенным вычислениям.

2) Исследовать условия, которые обеспечивают наилучшее сочетание точных и приближенных вычислений на уроках арифметики.

3) Выявить факторы, способствующие закреплению навыков приближенных вычислений, т. е. исследовать учебные источники приближенных вычислений.

4) Дать рекомендации относительно объема правил приближенных вычислений в школьном курсе математики 8-летней школы.

5) Придти к наиболее целесообразным формулировкам этих правил.

6) Рассмотреть вопросы взаимосвязи курсов математики, физики и химии с точки зрения повышения вычислительной культуры учащихся.

7) Дать обоснование всем разработанным рекомендациям, учитывая исследования в области методики математики, педагогики и педагогической психологии.

На основании анализа методической и научной литературы по приближенным вычислениям, анализа учебников и задачников по математике и смежным предметам, изучения передового опыта учителей математики, изучения достижений педагогики и педагогической психологии, на основании моего опыта преподавания в техникуме и университете, наконец, на основании личного опыта преподавания элементов приближенных вычислений в течение 5 лет работы учителем физики и математики школы № 36 г. Самарканда и была написана реферируемая диссертация, состоящая из введения и следующих глав:

Глава 1. Некоторые общие вопросы построения методики преподавания приближенных вычислений в восьмилетней школе.

Глава II. Приближенные вычисления в курсах алгебры и геометрии.

Глава III. Связь приближенных вычислений с изучением смежных предметов.

Глава IV. К методике проведения практических работ.

Глава V. Описание экспериментов.

Во введении вкратце освещаются значение приближенных вычислений для изучения математики, успехи, а также некоторые спорные и нерешенные вопросы методики приближенных вычислений, проводится анализ зарубежного опыта в области преподавания приближенных вычислений. С целью использования в последующем изложении основных положений вычислительной математики во введении излагается также теория приближенных вычислений (§ 2, стр. 17—66) и обосновывается необходимость вероятностных способов учета погрешностей, которые нашли свое выражение в правилах подсчета цифр.

Некоторые общие вопросы построения методики преподавания приближенных вычислений

Рассматривая достижения отечественной методики преподавания математики, опыт мастеров педагогического труда, можно усмотреть главный прием решения самых ответственных методических задач в использовании активной познавательной деятельности учащихся как основной движущей силы учебного процесса. Например, от С. И. Шохор-Троцкого идет чрезвычайно плодотворный «метод целесообразных за-

Дач», который он сам охарактеризовал словами: «...Ставить ребенка в условия, при которых ум человеческий начал изобретать арифметику» (Методика арифметики, СПБ, 1903, стр. 44).

Вопросы активизации учебной деятельности учащихся находятся в центре внимания методистов и учителей математики и в последние годы. Обратимся к работам в области методики приближенных вычислений. В них также подчеркивается значение учебной практики учащихся. «Изучение приближенных вычислений не должно ограничиваться небольшой специальной темой, предусмотренной программой VI класса. Без повседневного применения приближенных вычислений постановка этой темы не достигнет цели» (С. И. Новоселов, «Математика в школе», 1959, № 6). Изучение и закрепление правил приближенных вычислений рекомендуется проводить на основе измерительного и вычислительного опыта учащихся. Эта идея нашла наиболее последовательное осуществление в статьях К. И. Нешкова, разработавшего систему специальных упражнений, которые служат «не только для закрепления правил, но и для подведения учащихся к пониманию вывода этих правил» («Математика в школе», № 4 за 1959 год, № 4 за 1960 год). Многие методисты и учителя указывают на необходимость тесной связи уроков математики и смежных предметов как в отношении изучения элементов теории приближенных вычислений, так и в отношении закрепления навыков приближенных вычислений (см., например, журнал «Математика в школе», 1961, № 4).

Однако далеко не во всех методических работах познавательная направленность учебной деятельности учащихся освещается достаточно полным образом. Например, описки предлагаемых практических работ на уроках математики чаще всего предусматривают только применение знаний учащихся. Опыт показывает, что их можно дополнить работами, подводящими учеников к новым фактам, работами проверочного характера. Это приведет к оживлению практической деятельности учащихся на уроках математики, расширит сферу учебных приложений знаний, навыков и умений учащихся. Кроме того, такой подход дает учителю средство систематического контроля усвоения текущего материала. К примеру, после доказательства теоремы Пифагора учитель ставит задание проверить (подтвердить) ее на частном примере. Каждый ученик строит произвольный прямоугольный треугольник, измеряет его стороны и производит необходимые расчеты. Если кто-нибудь из учеников «опровергает» теорему, то это служит для учителя сигналом наличия ошибок: или в понимании данного свойства, или при построении, или при из-

мерении, или при вычислении (например, ученик неправильно пользуется таблицами квадратов и квадратных корней).

Можно было бы так сформулировать требования к рациональной и эффективной организации учебного процесса.

1. Учебная практика — основа изучения теории.

2. Учебная практика — критерий ценности изучаемых свойств.

3. Учебная практика — область применения теории, область закрепления необходимых навыков и умений.

Процесс обучения — это процесс познания, направляемый учителем. Усвоение и запоминание нового материала зависят не только от объяснений учителя, но, главным образом, от активности и самостоятельности учащихся на всех этапах урока, от того, насколько часто применяют учащиеся свои знания в своей учебной деятельности. Требования к правильной организации учебного процесса заключаются в том, чтобы учитель создавал условия, в которых математика предстает перед учащимися живой, развивающейся системой, в которых ученики могли бы самостоятельно улавливать существующие закономерности, тренироваться в попытках доказательств, учиться опровергать неправильные суждения, формулировать свои выводы, искать возможные практические приложения, систематически закреплять навыки и умения политехнического характера.

Особенность предлагаемой организации учебного процесса заключается в том, что она отражает коренное положение диалектической логики о решающей роли практики в процессе познания. Такая организация учебного процесса позволит учителю показать значение эксперимента на уроках математики как средства научного исследования. В настоящее время в методической литературе роль эксперимента, как средства логического развития учащихся, принижается. Нередко 1—2 примера служат основанием для высказывания общего правила, а правило деления приближенных чисел рекомендуется даже не выводить, а использовать правило, полученное при умножении приближенных чисел (см., например, журнал «Математика в школе», 1961, №4).

Использование экспериментов при изучении нового материала (для обоснования и проверки изучаемых свойств), повышение убедительности результатов эксперимента при помощи увеличения числа экспериментальных данных, полученных в условиях коллективной учебной работы — все это приведет к повышению математической культуры учащихся. В самом деле, воспитание логического мышления и здравого смысла, борьба с формализмом в математических знаниях учащихся тесно связаны с проблемой включения эксперимен-

тальных способов в процесс изучения математики 8-летней школы. Решение этой проблемы приобретает особое значение в связи с предложениями ведущих советских ученых-математиков о введении материала современной математики в программы средней школы.

Так как правильная организация учебного процесса имеет большое значение для закрепления навыков приближенных вычислений, в § 4 реферируемой диссертации рассмотрены конкретные примеры из опыта преподавания математики, а в § 5 анализируются некоторые недочеты учебной и методической литературы по приближенным вычислениям. Вот самые главные из них: несогласованность с правилами подсчета цифр, искусственный подбор данных для условий задач, отсутствие упражнений, выявляющих преимущества приближенных вычислений, несогласованность вычислительных моментов курсов арифметики, алгебры и геометрии, снижение требований к уровню логической строгости обоснования правил подсчета цифр.

Приведу примеры.

1) В. У. Грибанов (Приближенные вычисления в средней школе, Учпедгиз, 1958) рекомендует вводить определение значащих цифр до изучения правила записи приближенных чисел. Такой порядок изложения вызывает серьезные возражения. Во-первых, если называть значащими и неверные цифры, то это плохо вяжется со смыслом этих слов. Значащие цифры характеризуют точность числа, поэтому нельзя называть значащими неверные цифры, которые не определяют точности числа. Во-вторых, само правило записи приближенных числе получается не совсем определенным: оно говорит о записи значащих цифр, но умалчивает о записи верных незначащих цифр, т. е. о нулях слева. Правило записи приближенных чисел рассматривается В. У. Грибановым даже после правил действий с целыми приближенными числами; отсюда понятен дефект правила умножения и деления (стр. 50): слова «значащие цифры» употреблены в смысле «значащие цифры, оставленные по правилу записи приближенных чисел», которого ученики еще не знают. Наконец, определение значащих цифр получается громоздким и неудобным для запоминания (определение значащих цифр, приведенное В. У. Грибановым на стр. 96, вместе с двумя примечаниями содержит 15 строчек и состоит из 8 десятков слов).

2) Недостатки задачников по математике уже отмечались в методической литературе, главным образом, в работах проф. В. М. Брадиса и В. У. Грибанова: противоречащая правилу запись приближенных чисел как в условии, так и в ответе, искусственный подбор данных, неправильные указания

о точности вычислений. Например, в стабильном задачнике по алгебре (издание 1961 года) из всех задач на составление уравнений первой и второй степени только два ответа даны со знаком приближенного равенства. Определенный подбор данных имеется и в стабильных задачниках по арифметике и геометрии (издания 1961 года). Систематическое облегчение решения означает, что для учащихся остаются в тени такие естественные источники получения приближенных чисел, как деление десятичных дробей и извлечение корней, а пренебрежение вычислительной стороной решения приводит к тому, что учащиеся не видят оснований для применения правил подсчета цифр.

В задачниках по математике нет упражнений, которые показали бы преимущества правил подсчета цифр. Например, выражение 5,7+9,ЗХ0,5Х,0043, где все данные числа являются приближенными, вычисляется при помощи правил приближенных вычислений в уме, если при помощи прикидки определить примерную величину произведения. Ученик, который не воспользуется правилами подсчета цифр, будет считать во много раз дольше, возрастает вероятность сделать ошибку в вычислениях, а полученный ответ даст ложное представление о точности результата.

Примером несогласованности вычислительных моментов уроков арифметики и геометрии является различный подход к данным, полученным путем измерения. На уроках арифметики учитель говорит, что любое измерение дает приближенные числа, а в стабильном задачнике по геометрии значения длин, площадей, объемов почти всегда считаются точными. Следовательно, ученик, который будет применять правила подсчета цифр, получит не такой ответ, какой указан задачником. Этот сильный психологический фактор действует опять-таки не в пользу усвоения правил подсчета цифр.

В следующем параграфе рассмотрены доводы в пользу способа вариации сомнительной цифры. Этот способ школьного обоснования правил подсчета цифр почти не применяется сейчас в школьной практике, поэтому в работе подробно разбираются его преимущества перед другими способами обоснования. Заключается способ вариации сомнительной цифры в следующем. Предположим, исследуется вопрос о точности произведения чисел 46,7 и 2,637. Если бы было известно, что данные значения сомножителей отличаются от неизвестных истинных значений не более, чем на одну единицу последнего разряда, то можно было бы найти точные границы искомого произведения, которое заключалось бы между значениями 46,6×2,636 и 46,8×2,638. Если же последние цифры являются сомнительными и границы погрешности неизвестны,

то приходится находить ряд возможных значений сомножителей, изменяя значение сомнительной цифры, вычислять возможные произведения и сравнением этих значений друг с другом определять точность искомого результата. Наиболее вероятный интервал значений сомнительной цифры компонентов позволяет найти наиболее вероятный интервал значений искомого произведения.

Укажу некоторые преимущества способа вариации сомнительной цифры.

1. Способ вариации сомнительной цифры возникает естественно в процессе учебной деятельности учащихся при измерительных работах. Измеряя один и тот же объект, ученики получают различные результаты. Можно подобрать такой объект, чтобы эти данные отличались друг от друга последними цифрами — к понятию сомнительной цифры приводит сравнение результатов измерения. Между прочим, это обстоятельство в научной литературе указывается как признак того, что результаты всяких измерений содержат погрешности.

2. Способ вариации сомнительной цифры позволяет сочетать самостоятельность учащихся с коллективными формами работы — для определения точности результата приходится сравнивать отдельные результаты вычислений.

3. Способ вариации сближает изучение правил приближенных вычислений с использованием навыков точных вычислений — это позволяет сразу же включить работу над правилами подсчета цифр в русло привычных представлений и привычных для учащихся операций.

4. Использование наблюдений учащихся позволит развивать их функциональное мышление — вычислительная работа учащихся направлена на то, чтобы, изучая зависимость между погрешностями компонентов вычисления и результата вычисления, высказать определенную догадку о формах этой зависимости и проверять ее в процессе дальнейших вычислений.

5. Функциональный подход к изучению зависимости между точностью данных и точностью результата допускает возможность пропедевтической работы, которая связана с закреплением навыков самоконтроля. Целесообразно составленные упражнения помогут учащимся заметить зависимость между погрешностью округления исходных данных и точностью прикидки.

6. Материал, полученный при помощи коллективных вычислений, доступен графической обработке. Графические иллюстрации и вычислительная практика естественно приводят учащихся к способу границ.

7. Способ вариации в сочетании с элементами способа границ — средство общего подхода к правилам приближенных вычислений. Эта универсальность способа вариации позволяет делать заключение о точности значения функции от приближенного значения аргумента, причем графическое или табличное задание функции настолько облегчают его применение, что во многих случаях даже нецелесообразно высказывать общие правила.

В заключительном параграфе главы «К методике изучения и закрепления правил приближенных вычислений рассматривается, главным образом, арифметический материал, так как менее разработанные вопросы методики приближенных вычислений, связанные с изучением алгебры, геометрии и смежных предметов, освещены более детально в последующих главах.

Рассматриваются учебные источники приближенных вычислений: глазомерные оценки, прикидка, графическая запись условия задачи, диаграммы, табличные вычисления, измерения и практические работы.

Каковы особенности предлагаемых формулировок правил подсчета цифр? Определение сомнительной цифры дано с учетом наиболее вероятных колебаний сомнительной цифры, оставляемой в результатах вычислений по правилам подсчета цифр (1—2 единицы ее разряда). Правило предварительного округления объединено с правилами действий над приближенными числами (1-ой и 2-ой ступени). Правило запасной цифры предусматривает оставление лишней цифры и при предварительном округлении, и при округлении промежуточных результатов, и при записи табличных чисел, благодаря чему формулируемые правила выражают тот же смысл, что и правила подсчета цифр в формулировках проф. В. М. Брадиса (см., например, его «Четырехзначные математические таблицы»).

Чтобы подчеркнуть вероятностный характер правил подсчета цифр, используется термин «надежные цифры» (термин «верные цифры» используется при строгом учете погрешностей, когда известны границы погрешностей приближенных чисел).

Для того, чтобы активизировать логическую работу учащихся при выводе правил подсчета цифр, для того, чтобы они могли установить отношения сходства и различия отдельных правил, формулировки основных правил давались при помощи двух понятий точности: точности до определенного разряда (определяется разрядом сомнительной цифры) и точности по числу значащих цифр (определяется числом значащих цифр). Эти понятия дают возможность ввести общую форму-

лировку правил подсчета цифр — она вводится не как средство ознакомления учащихся с правилами подсчета цифр, а как свидетельство усвоения этих правил. Привожу общую формулировку. При действиях с приближенными числами 1) определяется наименьшая заданная точность (при действиях 1-ой ступени — точность до определенного разряда, при действиях 2-ой и 3-ей ступени — точность по числу значащих цифр), 2) все числа записываются с этой точностью. Вычисления вести с запасной цифрой, отбрасывая ее в окончательном ответе.

Приближенные вычисления в курсах алгебры и геометрии

В этой главе рассматриваются вопросы применения изученных правил подсчета цифр, а также расширяется сфера приложения этих правил, включая сюда и новые вычислительные операции, которые изучаются на уроках алгебры и геометрии: возведение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корней. На конкретных примерах разобраны такие вопросы, как вычисление приближенных значений алгебраических выражений, применение правил подсчета цифр при решении уравнений 1-ой и 2-ой степени с приближенными коэффициентами, приближенные формулы, графики, пропедевтика изучения устройства и действия логарифмической линейки, методика закрепления навыков работы с таблицами и т. п.

Заинтересует учащихся применение правил подсчета цифр для определения точности примерного результата, в некоторых случаях резко уменьшающее объем вычислительной работы. Возьмем, к примеру, уравнение с точными коэффициентами

Подсчитываем в уме, какую точность будет иметь подкоренное выражение, если отбросить 20437:

т. е. получаем точность в 5 верных значащих цифр. Итак, находим с 5-ю верными цифрами

Другой корень также можно вычислить с 5-ю значащими цифрами, используя теорему Виета (вычитание дает потерю точности):

Приближенные вычисления на уроках геометрии не ограничиваются применением правил подсчета цифр при решении вычислительных задач. Понимание недостаточности практических работ для изучения геометрических свойств, понимание приближенности операций построения и измерения составляют необходимый элемент изучения начальной геометрии. Известно, например, что объясняя приемы различных построений с помощью линейки, циркуля, угольника и двусторонней линейки, учитель наталкивается на внутреннее сопротивление учащихся, которое объясняется тем, что ученики не видят необходимости овладевать новыми приемами построений (до этого они ознакомились с приближенными способами деления угла и отрезка на равные части). Показывая значение погрешностей построения и измерения, можно обосновать введение новых приемов тем, что приближенные способы фактически используют измерение, т. е. к погрешностям построений прибавляют еще и погрешности измерения.

В данной главе рассмотрена методика ознакомления учащихся с погрешностями построений и измерений; излагаются и другие вопросы вычислительной и измерительной практики учащихся на уроках геометрии: введение коэффициента простоты геометрического построения, использование геометрических свойств для конструирования некоторых самодельных измерительных и вычислительных приборов, приближенные способы измерения длин и площадей, использование построений, как средства борьбы с формализмом в знаниях учащихся, использование производственного опыта учащихся как стимула изучения начальной геометрии и т. п.

В основу методических рекомендаций, разработанных в этой главе, положена идея всестороннего использования внутрипредметных связей, идея разыскивания возможных приложений изучаемых свойств к измерительной и вычислительной практике. Например, рекомендуется результаты практической работы «Измерение объема пирамид» использовать для последующей графической обработки и получения приближенной формулы объема пирамиды; к приближенным формулам для вычислений следует приходить от формул сокращенного умножения, к «считающим чертежам» (номограммам) — от изучаемых геометрических свойств и т. д.

В этой же главе рассматриваются применения способа границ, позволяющего во многих случаях повысить логическую строгость выводов, полученных опытным путем (в том числе и правил подсчета цифр). Предположим, требуется проверить справедливость формулы объема шара, которая вводится в 8-летней школе без доказательства. Берется модель полушара, измеряются ее размеры (находят ВГ и НГ радиу-

са.) и вычисляются границы для теоретического значения объема полушара. Остается убедиться опытным путем,,соответствует ли теоретическая оценка настоящему положению дел, т. е. действительно ли значение объема песка, насыпанного в модель полушара, находится внутри заранее предсказанного числового промежутка.

Способ границ (точнее, способ наиболее вероятных границ) дает в руки учащимся способ определения точности табличных данных по точности аргумента (для непрерывной функции, заданной в интервале монотонности), который может найти дальнейшее развитие при изучении курса математики и смежных предметов в трехлетней школе (например, для определения точности мантиссы логарифма приближенного числа и т. п.). Действительно, этот способ развивает уже применявшийся при обосновании правил подсчета цифр принципиальный подход: нахождение наиболее вероятных крайних значений функции данного аргумента, сравнение их и выявление сомнительной цифры окончательного результата.

Связь приближенных вычислений с изучением смежных предметов

Эта глава рассматривает вычислительные моменты на уроках смежных дисциплин, в основном, физики и химии. Проанализированы некоторые недочеты учебной литературы по физике и химии, (устранение которых поможет преодолеть разрым между обучением математике и изучением смежных предметов.

Материал смежных предметов может быть использован на уроках математики для обоснования необходимости введения правил приближенных вычислений, а также для показа приложений этих правил. С другой стороны, изучение смежных предметов также много дает для повышения вычислительной культуры учащихся, если учителя смежных предметов 1) анализируют причины появления новых приближенных числовых характеристик, 2) при ознакомлении со шкалами приборов совершенствуют глазомерные навыки учащихся, 3) знакомят учащихся с различными приближенными методами, 4) знакомят учащихся с применением графиков, 5) правильно применяют при вычислениях правила подсчета цифр и т. д.

Учитывая, что знания учащихся в области приближенных вычислений непрерывно углубляются и совершенствуются, целесообразно искать особые формы межпредметных связей, которые позволяли бы учителю математики следить за качеством выполнения числовых расчетов на уроках смежных дисциплин. Например, эксперимент проводится на уроке физики или химии,

а график исследуемой зависимости составляется на уроке алгебры. Или проводится особый урок вычислений на материале смежных предметов (например, подсчет молекулярных весов различных веществ). Или организована «межпредметная» практическая работа (к примеру, учителя математики и географии организуют работу по измерению скорости течения реки, при выполнении которой ученики должны применить правила обработки средних результатов и правила подсчета цифр).

К методике проведения практических работ

Активизация методов обучения математике побуждает учителя искать такие формы учебного процесса, в которых индивидуальная работа учащихся разумно сочеталась бы с работой всего коллектива. Необходимо также подумать над тем, чтобы предоставление самостоятельности учащимся не замедлило процесс обучения, а наоборот, ускорило его темп. Какое значение для постановки преподавания математики имеет проблема сочетания индивидуальной и коллективной работы учащихся, показывают факты неумелой организации практических работ на местности.

Между тем, условия коллективной учебной работы весьма плодотворны для изучения математики. Прежде всего здесь значительны воспитательные цели. Кроме того, для закрепления навыков политехнического характера коллективность учебной работы имеет, по-видимому, принципиальное значение. Например, без коллективной работы учащиеся не вычисляют средних результатов измерений — в условиях коллективной работы задачи обработки средних результатов возникают естественно, без особых затрат учебного времени. Далее, также совершенно естественно решается в условиях коллективной работы задача приучить учащихся к контролю вычислительной работы, задача воспитания критичности мышления.

Классификация и описание коллективных работ даются в соответствии с тремя особенностями учебной практики (коллективный опыт-наведение, коллективный опыт-проверка, коллективное применение знаний).

Что дает раздельное выполнение какого-либо учебного задания? Либо учащиеся быстро отличают случайность от закономерности (опыт-наведение и опыт-проверка), либо выполняют трудоемкое практическое задание (предположим, измеряют площадь пришкольного участка). Коллективные работы на материале приближенных вычислений особенно ярко подчеркивают идею экономии учебного времени — сравнение полученных результатов измерений друг с другом дает возможность сразу же определить точность среднего результата, На-

пример, если определяется площадь какой-либо фигуры при помощи палетки, то точность результата обычно неизвестна. Коллективный подход (один и тот же объект ученики измеряют порознь, а результаты измерения сравнивают) показывает точность полученного среднего результата. Более того, такой подход даст возможность найти отдельные ошибки при подсчете клеток. Известно, что при обработке результатов наблюдений крайние результаты, наиболее отличающиеся от результатов остальных измерений, отбрасывают. Этот же прием можно внедрить и в учебную практику — это заставит учеников более ответственно относиться к порученным им измерениям.

Коллективные учебные работы позволяют установить взаимоконтроль при выполнении учебного задания учащимися — это повышает их педагогическое значение. Педагогическая психология учит, что такие условия особенно благоприятны для развития логического мышления учащихся. Кроме того, организация коллективных работ облегчает учителю текущий контроль за ходом учебного процесса, так как случаи неправильного построения, измерения или вычисления выявляются самими учащимися.

Необходимо также заметить, что коллективные формы работы оживляют учебный процесс, вносят элемент спортивности в занятия математикой.

Описание экспериментов

Наблюдения за процессом усвоения элементов приближенных вычислений были начаты автором диссертации в 1951—1954 гг. в период работы в механическом техникуме (г. Глазов, Удм. АССР). В течение ряда лет, начиная с 1956 года, автор диссертации работает на заочном отделении Самаркандского университета с учителями-заочниками, что дало ему возможность ознакомиться с постановкой вычислительной работы во многих школах Самаркандской, области. Наконец, 5 лет работы учителем математики и физики школы № 36 г. Самарканда дали возможность проверить рекомендации диссертации в практике преподавания.

В ходе экспериментальной проверки мне оказали помощь самаркандские учителя: А. Н. Мавашев (школа № 8), Э. Я. Ранькова (школа № 37), Б. Р. Махкамбаев (школа № 5), И. С. Назарова (школа № 67), С. И. Билетина (школа № 36).

Наблюдения показывают, что в вычислительной подготовке студентов механико-математического факультета Самаркандского университета имеется много недостатков: неумение контролировать вычисление, незнание рациональных способов

вычислений, наличие грубых вычислительных ошибок и т. п. Подавляющее большинство таких недостатков — плоды плохой постановки вычислительной работы в школе. Так. после опроса студентов III курса (группа математиков) выяснилось, что ни один из них, будучи школьником, не использовал при изучении тригонометрии таблицы радианной меры углов; ясно поэтому, что при решении задачи нахождения длины дуги по заданному радиусу и углу и других подобных задач использовались крайне нерациональные способы вычислений.

Ознакомление с состоянием преподавания математики в школах №№ 1, 2, 19, 25, 60 Булунгурского района Самаркандской области показало, что причиной формальных знаний учащихся в области приближенных вычислений является порочная система изучения раздела «Приближенные вычисления»: этот раздел изучается изолированно от других разделов школьного курса математики, не показывается роль приближенных вычислений в решении практических задач, не вскрываются преимущества приближенных вычислений, а правила подсчета цифр не применяются учащимися ни при решении задач, ни при выполнении практических работ.

Основной вывод, к которому приводят проведенные исследования, заключается в том, что изучение и закрепление правил приближенных вычислений должно осуществляться в тесной связи с измерениями, вычислениями и построениями, которые проводятся учащимися на уроках математики и смежных предметов, а все доводы, которые приводятся учителем в пользу применения этих правил, должны закрепляться учебной практикой.

В 1957—1858 и в 1958—1959 учебных годах испытывалось методическое предложение В. У. Грибанова, рекомендовавшего изучать правила подсчета цифр в 5-м классе при изучении раздела «Целые числа». Опыт показал, что слабые учащиеся, которые затрудняются в проведении точных вычислений, не овладевают и материалом приближенных вычислений. Одной из причин этого факта является то обстоятельство, что учитель не имеет возможности провести подготовительные мероприятия, в частности, не имеет возможности тренировать учащихся в прикидке, которая при большом объеме вычислительной работы учащихся приводит к правилам подсчета цифр и является одним из важнейших учебных источников приближенных вычислений. Сыграла свою роль и невозможность использовать для изучения правил подсчета цифр те практические работы, которые предусматриваются программой при изучении других разделов курса арифметики.

Впоследствии изучение правил подсчета цифр проводилось также в 5-м классе, но уже при изучении раздела «Десятич-

ные дроби». Наблюдения показывают, что при таком построении изучения учащиеся овладевают основными правилами подсчета цифр.

Наблюдения за способностью учащихся к совершенствованию глазомерных оценок были проведены в школе № 5 — они показали возможность использования на уроках математики материала измерительной практики учащихся, полученного на уроках труда. Так как при непродолжительной тренировке учащиеся при оценке на глаз долей миллиметра допускают ошибки, редко превышающие 1—2 десятых доли миллиметра, то это обстоятельство можно использовать как удачную учебную аналогию для закрепления понятия сомнительной цифры приближенного значения.

Чтобы подтвердить значение учебной деятельности учащихся для изучения правил приближенных вычислений, использовался не только анализ ошибок учащихся, то и степень понимания учащимися причин и мотивов изучения этих правил. Известно, что эффективность усвоения и запоминания зависит от мотивации, которой сопровождается процесс обучения. Следовательно, по тому, насколько ясно ученики представляют цели и причины изучения данного раздела, можно судить об эффективности методических средств, применяемых в обучении.

В ходе эксперимента материал приближенных вычислений 5-го класса вводился чисто теоретически: приложения правил приближенных вычислений при измерениях использовались лишь в качестве отдельных примеров. Больше внимания уделялось прикидке для определения примерного результата перед решением примера и для нахождения грубых ошибок (после решения примера); закреплялись такие мотивы как облегчение решения примеров с приближенными данными, экономия времени и др. (решались специальные упражнения, которые убеждали в этом учащихся). Опрос учащихся 5-ло класса школы № 36, проведенный в мае 1961 года, показал, что эти мотивы были усвоены по-разному: на мотив применения прикидки для контроля вычислений указало 54% учащихся, на мотив облегчения решения — 86%, а на мотив измерения не указал ни один человек. Аналогичный опрос был проведен среди учеников 6-го и 7-го классов. Интересно отметить, что мотив экономии времени не был указан ни одним учеником 6-го и 7-го классов (36% — для 5-го класса). Эти результаты отражают то обстоятельство, что ученикам 6-го и 7-го классов этот мотив в свое время сообщался словесно и этим дело ограничивалось.

В последние месяцы учебного года пятиклассники провели ряд практических работ на местности (определение средней

длины шага, измерение расстояний с помощью рулетки, полевого циркуля, шагов и др.) Проведенный опрос (ответы давались в письменном виде) показал, что на этот раз мотив применения приближенных вычислений при измерениях был указан 71% учащихся. Третий опрос, проведенный 1 сентября 1961 года, подтвердил прочность этого мотива: его указали 64% учащихся.

Эффективность использования практических работ показали и другие эксперименты, проведенные в школе № 8. Проверялась доступность понятий абсолютной и относительной погрешностей для учащихся 5-го класса. Сравнение экспериментального класса с контрольным показало, что эти понятия легко усваиваются пятиклассниками, если при проведении различных измерений характеризовать качество измерений с помощью погрешности. Таким образом, эксперименты подтвердили, что понятие погрешности является первичным, что понимание приближенности результата измерения, подсчета и т. д. основано на понятии погрешности.

Интересно заметить, что задача сравнения результатов глазомерных оценок естественно приводит к понятию погрешности — даже ученикам 3-го класса школы № 67 не пришлось объяснять правило нахождения погрешностей, свои погрешности они находили сами (эксперименты в начальной школе ставили целью проверить идею закрепления глазомерных навыков в связи с изучением программного материала и идею коллективной работы над усвоением понятия дроби).

Эксперименты, проведенные в 5-ых классах школы № 37, показали, что обучение навыкам самоконтроля является необходимым элементом вычислительной работы на уроках арифметики, что «здравый смысл» при вычислениях прививается при помощи введения элементов приближенных вычислений в точные вычисления. При помощи специальных примеров было выявлено, что учащиеся не контролируют своих вычислений, что некоторые ошибки являются случайными. Учащиеся экспериментального класса в течение 3-х уроков тренировались в определении примерного результата, находили при помощи прикидки грубые ошибки. Несмотря на то, что в качестве экспериментального был взят более слабый класс, контрольные работы, проведенные до и после эксперимента, дали следующие результаты. (См. таблицу).

В данных контрольных работах были использованы специально составленные примеры на случаи, дающие наибольшее число ошибок учащихся.

В ходе описанного эксперимента выявилось значение прикидки как средства подведения к правилам подсчета цифр. Ученики экспериментального класса заметили, что точность

примерного результата зависит от той погрешности, которую они допускают при замене компонентов.

Ряд экспериментов ставил своей целью проверить и уточнить отдельные методические рекомендации (например, выбор наилучшей формулировки для правила, сравнение способов

обоснования правил подсчета цифр, сравнение способов прикидки комбинированного примера при вычислениях с логарифмической линейкой и т. п.).

Большую пользу принесло также обсуждение отдельных положений дисертации на заседаниях секции учителей математики г. Самарканда, где описываемый опыт получил одобрение, на Республиканских «Педагогических чтениях» 1960 и 1961 годов (г. Ташкент), на Центральных «Педагогических чтениях» 1961 года при АПН РСФСР.

До эксперимента

После эксперимента

Экспериментальный класс

Контрольный класс

Экспериментальный класс

Контрольный класс

Число учащихся, допустивших 1 грубую ошибку.........

13 (38%)

14 (37%)

9 (29%)

12 (31%)

Число учащихся, допустивших 2 грубых ошибки.........

11 (32%)

9 (23%)

6 (19%)

6 (23%)

Число учащихся, допустивших 3 и более грубых ошибок.....

5 (15%)

5 (13%)

(0%)

9 (23%)

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Главная идея, которой руководствовался автор — дать решение проблем методики приближенных вычислений в целях приближения обучения математике к жизни, к практике, в целях развития логического мышления учащихся и повышения их общей математической культуры.

Вот основные методические рекомендации, осуществление которых поможет, по мнению автора диссертации, повысить уровень вычислительной культуры учащихся:

1) Изпользовать изучение разделов «Целые числа», «Обыкновенные дроби», «Десятичные дроби» для изучения понятий и правил приближенных вычислений.

2) Использовать практические работы в курсе арифметики как средство изучения правил приближенных вычислений.

3) Изучать понятия абсолютной и относительной погрешности не в 6 м классе, как это предусмотрено действующей ныне программой, а в 5-м классе — в связи с работами на глазомерные оценки длин, площадей, промежутков времени и т. п.

4) Использовать эксперимент на уроках математики как средство логического развития учащихся, средство осознания связи теории с практикой.

5) Использовать коллективные учебные работы на уроках математики как средство рационального решения учебных задач.

6) Распространить правила подсчета цифр на все вычислительные операции, изучаемые в восьмилетней школе.

7) Ввести в курс математики восьмилетней школы элементы способа границ, в частности, использовать его для определения точности табличных данных (в 8-летней школе для таблиц тригонометрических функций острого угла, а в последующем и для таблиц логарифмов, антилогарифмов и т. п.).

8) Использовать для закрепления и углубления правил приближенных вычислений внутрипредметные и межпредметные связи, в частности, при изучении тех разделов, которые рекомендуется изучать опытным путем, использовать для обоснования изучаемых свойств те практические приемы, которые уже знакомы учащимся (применение палетки, графиков и т. д.).

9) Согласовать с требованиями правил приближенных вычислений все вычислительные моменты учебной литературы по математике и смежным предметам.

10) Ввести в практику обучения математике такие вопросы, которые, будучи тесно связаны с текущим материалом, требуют введения элементов приближенных вычислений (приближенные методы ,самодельные измерительные и вычислительные приборы, приближенные формулы и т. п.), т. е. реализовать в обучении математике учебные источники приближенных вычислений.

Реферуемая диссертация рассматривает конкретные пути осуществления намеченных рекомендаций.

* * *

Материалы диссертации опубликованы в следующих статьях автора:

1. К обсуждению проекта программ, журнал «Математика в школе», 1960, № 1.

2. О развитии логического мышления учащихся на уроках математики, журнал «Совет мэктэбе» (Казань), 1960, № 10.

3. Использование подвижных моделей на (уроках геометрии, журнал «Совет мактаби», (Ташкент), 1961, № 3.

4. Еще о математических диктантах, журнал «Математика в школе», 1961, № 4.

5. О приближенных вычислениях (из обзора статей), журнал «Математика в школе», 1961, № 5.

6. Приближенные вычисления на уроках арифметики, журнал «Казахстан мектеби» (Алма-Ата), 1961, № 9.

7. Приближенные вычисления в курсе физики 8-летней школы, журнал «Физика в школе», 1961, № 5.

8. Приближенные вычисления в курсах алгебры и геометрии восьмилетней школы, журнал «Математика в школе», 1962, № 3.

9. Производственный опыт учащихся — стимул изучения начальной геометрии, журнал «Казакстан мектеби» (Алма-Ата), 1962, № 9.

г. Самарканд, тип. им. Морозова — 654—РЧ36309—200.