АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

В. Ф. ГУЗНЯЕВ

ПУТИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ УЧЕНИЯ О СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. И. Левин

Москва — 1963

В связи с новыми задачами, поставленными перед школой в Законе «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР», еще больше возрастает роль математики в школьном образовании.

За последние годы проделана большая работа по перестройке преподавания школьного курса математики.

Однако постановку преподавания ряда разделов школьного курса математики все еще нельзя считать удовлетворительной. К таким разделам относится, в частности, учение о системах уравнений.

Изучение учебно-методической литературы и опыта работы учителей математики ряда школ Липецкой области, Алтайского края, г. Москвы, анализ ответов выпускников средних школ, державших вступительные экзамены на физико-математические факультеты пединститутов, показывают, что в настоящее время во многих школах учение о системах уравнений преподается на низком научно-методическом уровне.

В результате неудовлетворительной постановки преподававания учения о системах уравнений учащиеся получают недостаточные знания, умения и навыки.

Основная задача проведенного исследования — найти пути повышения эффективности преподавания в школьном курсе алгебры учения о системах уравнений.

В связи с решением указанной задачи было необходимо провести следующие исследования:

1. Дать научно-критический анализ постановки преподавания учения о системах уравнений.

2. Изучить особенности мыслительных процессов, протекающих у учащихся при решении систем уравнений и текстовых задач с несколькими неизвестными величинами.

3. Разработать основные вопросы методики преподавания учения о системах уравнений в школьном курсе алгебры.

4. Проверить возможность практической реализации и педагогическую эффективность предложенных методических рекомендаций.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Глава I. Системы линейных уравнений

В первой главе преследовались цели: 1) дать научно-критический анализ постановки преподавания учения о системах линейных уравнений; 2) исследовать математическую и психологическую структуру процесса решения системы уравнений; 3) разработать методику преподавания темы «Системы линейных уравнений» на «геометрической основе»; 4) рассмотреть основные пути повышения эффективности преподавания учения о системах линейных уравнений.

Процесс решения системы линейных уравнений сводится к следующим «шагам»: 1) приведению системы к нормальному виду, 2) замене получившейся системы «треугольной системой», 3) решению составленной «треугольной системы».

С точки зрения логики процесс решения системы уравнений представляет собой последовательность дедуктивных умозаключений. Отдельные умозаключения этой последовательности строятся по следующей схеме: 1) в каждом силлогизме большая посылка представляет собой правило, в соответствии с которым выполняется действие или преобразование; 2) содержание меньшей посылки характеризует в общем виде систему уравнений и цель выполняемого преобразования; 3) заключение указывает, какие математические действия и преобразования надо выполнить.

С точки зрения психологии процесс решения системы уравнений сводится к актуализации ряда ассоциаций, выработанных в процессе обучения учащихся приемам решения систем уравнений.

Проведенное нами исследование показывает: 1. В начале обучения учащихся приемам решения систем уравнений процесс решения носит «развернутый» характер: а) учащиеся вспоминают свойства систем уравнений, воспроизводят умозаключения, посредством которых свойства систем применяются при решении систем уравнений; б) применяя свойства уравнений и правила действий над числами и алгебраическими выражениями, учащиеся вспоминают только «оперативные» части соответствующих правил, т. е. те места формулировок, которые указывают, как надо действовать.

2. К концу изучения темы «Системы уравнений» процесс решения системы уравнений приобретает «свернутый» характер: учащиеся осознают только «оперативные» части правил, используемых в процессе решения. «Оперативные» части правил осознают посредством особых словесных формулировок, выражающих используемые части правил как некоторые общие положения.

В ходе выполнения отдельных «шагов» решения системы уравнений у учащихся актуализируются ассоциации следующего состава: первый член — осознавание типовых особенстей преобразования, второй член — воспроизведение «оперативной» части соответствующего правила.

3. Хорошо успевающие учащиеся 7 класса и выпускники средних школ в процессе решения системы уравнений не вспоминают используемых правил (при выполнении преобразований пользуются «свернутыми умозаключениями»).

В ходе выполнения отдельных «шагов» решения системы уравнений у учащихся актуализируются ассоциации следующего состава: первый член — осознавание типовых особенностей преобразования, второй член — установка на выполнение соответствующего преобразования.

Изучение способов решения систем уравнений слагается: 1) из усвоения теории изучаемого способа решения, 2) из приобретения умений (навыков) применять эту теорию к решению систем уравнений.

Анализ теорем, необходимых для обоснования процесса решения системы уравнений, показывает, что в 7 классе следует отказаться от каких-либо попыток изложить строгую теорию решения систем линейных уравнений.

В диссертации предлагается следующий порядок изучения элементарных способов решения систем линейных уравнений: «табличный способ»; графический способ; решение систем, у которых одно из уравнений содержит одно неизвестное; введение понятия «равносильные системы»; 1-е свойство систем уравнений; способ подстановки; 2-е свойство систем уравнений; способ алгебраического сложения.

Изучение графического способа решения систем уравнений раньше аналитических позволяет: 1) широко использовать усвоенные учащимися сведения о построении графиков линейных уравнений; 2) подготовить учащихся к восприятию обоснований свойств систем уравнений; 3) длительное время решать системы уравнений графическим способом; 4) показать уже при изучении учебного материала практическое применение графического способа решения систем уравнений.

Введение графического способа решения систем уравнений

до изучения способов подстановки и алгебраического сложения позволяет упростить, сделать более доступным и наглядным изложение последующего материала.

В диссертации для обоснования свойств систем уравнений используется понятие «равносильные системы».

Математическая и логическая подготовка семиклассников не позволяет сформировать в сознании учащихся глубоких представлений о понятии «равносильные системы». В 7 классе нельзя показать относительный характер понятия «равносильные системы». Не имея возможности рассматривать системы с кратными решениями, нельзя вскрыть подлинный смысл слов «всякое решение одной системы является решением другой и обратно». В понимании семиклассников «равносильные системы» — это системы, имеющие одно и то же решение. Большего в 7 классе добиться не удается.

В диссертации рекомендуется следующая методика введения понятия «равносильные системы»: 1) дается несколько систем уравнений и для каждой системы графическим способом находятся все решения; 2) сравнивая найденные решения, учащиеся подмечают, что существуют системы уравнений, имеющие только одинаковые решения или не имеющие решений; 3) вводится название для таких систем; 4) обращается внимание на особенности расположения графиков уравнений равносильных систем.

В диссертации предлагается «свойства систем уравнений» (теоремы о равносильных системах) изучать также на геометрической основе. Например, первое свойство систем уравнений рекомендуется обосновывать следующим образом. Дается система уравнений. С помощью заранее вычерченного графика учащиеся находят решение данной системы. Затем составляется выводная система: 1) первое уравнение решается относительно одного из неизвестных, 2) найденное для неизвестного выражение подставляется во второе уравнение. У составленной выводной системы второе уравнение содержит одно неизвестное. Прием решения таких систем уравнений учащимся известен. Найдя решение выводной системы и сравнив его с решением исходной системы, учащиеся делают заключение о равносильности рассматриваемых систем.

Опытная проверка показала, что с помощью указанных рассуждений возможно убедить учащихся в том, что системы уравнений обладают рассматриваемыми свойствами.

В диссертации предлагается способы подстановки и алгебраического сложения обосновывать предварительно изученными «свойствами систем уравнений».

Решение системы уравнений способом подстановки или

способом алгебраического сложения — вычислительная задача. Решение всякой вычислительной задачи начинается с разработки схемы вычисления. В диссертации дается анализ различных схем записи решения систем уравнений и указываются схемы, наиболее приемлемые в школьной практике.

Экспериментально установлено, что чрезвычайно важное значение для выработки умений и навыков имеет систематическое подкрепление их знаниями. Умения и навыки, систематически подкрепляемые знаниями, приобретают большую прочность, гибкость, подвижность и при временном заторможении вновь могут быть осознаны. Систематическое подкрепление выработанных навыков знаниями предохраняет их от разрушения.

В диссертации рекомендуется проводить устное обоснование процесса решения систем уравнений в форме «комментированных упражнений».

Сущность методического приема, получившего название «комментирование упражнений», заключается в следующем: всем учащимся класса дается упражнение, которое должно выполняться без вызова учащихся к доске; во время выполнения упражнения по указанию учителя один из учащихся, не отрываясь от работы, объясняет, какие действия или преобразования нужно выполнить для решения упражнения, какие используются при этом правила или теоремы, как оформляется запись решения.

Выполняя комментирование упражнений, учащиеся рассуждают вслух. Это позволяет учителю следить за процессом мышления учащихся, своевременно замечать возникновение ошибок, тут же исправлять допущенные учащимися недочеты в работе, не позволяя закрепляться неверным представлениям. Использование комментированных упражнений делает учебный процесс открытым для учителя и учащихся. Это позволяет учителю активно управлять процессом обучения и формирования умений и навыков.*

В диссертации описываются приемы комментирования решений систем уравнений и методика обучения учащихся комментированию упражнений.

В учебно-методической литературе очень высоко оценивается роль устных упражнений для улучшения постановки преподавания математики. К сожалению, устные упражнения на уроках алгебры, особенно при изучении темы «Системы уравнений», все еще остаются неиспользованным резервом. В дис-

* «Комментирование упражнений» может рассматриваться как один из элементов программированного обучения, доставляющий обратную информацию о степени усвоения учащимися материала.

сертации описывается один из возможных путей использования устных и полуписьменных упражнений при изучении темы «Системы линейных уравнений».

В свете решения задач политехнического обучения особо остро встает проблема вооружения учащихся навыками самоконтроля.

К сожалению, при обучении учащихся приемам решения систем уравнений на развитие навыков самоконтроля не обращается должного внимания. В диссертации рассматривается методика обучения учащихся проверке при помощи подстановки найденных решений в уравнения исходной системы и с помощью «контрольных сумм».

Контрольной суммой уравнения ax-f-by=e называется число s=a+b+c.

Если система линейных уравнений решается способом алгебраического сложения, то проверка с помощью контрольных сумм основывается на следующей теореме:

«Если над контрольными суммами, вычисленными для уравнений системы, производить те же операции, что и над уравнениями системы, то при отсутствии вычислительных ошибок найденные числа должны совпадать со значениями контрольных сумм для преобразованных уравнений».

Пример: Решить систему уравнений:

Ответ: (3; 2).

При изучении приемов решения систем уравнений многие учителя ограничиваются решением примеров, взятых из задачника. Однообразная работа по решению в течение ряда уроков систем уравнений снижает интерес учащихся к выполнению упражнений. Одним из приемов активизации обучения является самостоятельное составление учащимися систем уравнений по заданным решениям. Выполнение упражнений на составление систем уравнений по заданным решениям требует от учащихся творческого подхода к работе. Вносит оживление в занятия и повышает интерес учащихся к выполнению

упражнений. Ученик, сам составив систему уравнений, ощущает потребность решить ее, чтобы убедиться, правилен ли результат его мыслительных усилий. В диссертации рассматривается методика обучения учащихся составлению систем уравнений по заданным решениям.

Формируя у учащихся умение решать системы уравнений, следует всемерно поощрять рационализаторскую работу учащихся. Решая систему уравнений, учащийся не должен считать, что цель достигнута, если получен верный ответ. Необходимо прививать учащимся умение (и даже потребность) отыскивать наиболее рациональные способы выполнения предложенных упражнений. В диссертации рассматриваются некоторые пути формирования у учащихся умения рационально решать системы уравнений.

Описывается методика изучения приемов, позволяющих упростить решение некоторых типов систем уравнений (предварительное уменьшение абсолютных величин коэффициентов неизвестных, исключение свободных членов, отыскание множителей, на которые умножаются уравнения системы при исключении неизвестных, без предварительного вычисления наименьшего общего кратного абсолютных величин коэффициентов исключаемого неизвестного). На примерах рассматриваются искусственные способы решения линейных систем уравнений. Рекомендуется прием сопоставления искусственных и шаблонных способов решения.

В диссертации рассматриваются вопросы использования упражнений на решение систем уравнений для развития активного математического мышления учащихся. Описан опыт использования учения о системах уравнений на занятиях математического кружка.

Глава II. Решение текстовых задач при помощи составления систем уравнений

В процессе обучения учащихся приемам решения текстовых задач можно выделить три «этапа»: 1) решение задач пропедевтического цикла, 2) решение задач основного цикла, 3) решение задач при помощи составления систем уравнений.

В настоящее время при обучении учащихся приемам решения текстовых задач «третьему этапу» отводится неоправданно скромное место.

Разумное использование при решении задач систем уравнений — один из основных путей улучшения постановки обучения учащихся приемам решения текстовых задач.

Во второй главе предпринята попытка: 1) дать научно-критический анализ постановки преподавания «третьего этапа»

обучения учащихся приемам решения текстовых задач; 2) исследовать математическую и психологическую структуру процесса решения текстовой задачи; 3) разработать методику обучения учащихся решению задач при помощи составления систем уравнений; 4) рассмотреть основные пути повышения эффективности обучения учащихся приемам решения текстовых задач.

Процесс решения текстовой задачи с помощью составления системы уравнений состоит из следующих «шагов»: 1) составления по условию задачи системы уравнений; 2) решения составленной системы; 3) отбора решений задачи из множества решений системы уравнений.

Последовательность рассуждений при составлении уравнения или системы уравнений определяется условием задали и допущением о значении букв, вводимых для обозначения главных неизвестных.

Приступая к составлению уравнения или системы уравнений, можно предполагать, что буквы, вводимые для обозначения числовых значений искомых величин, обозначают: 1) решение задачи, 2) произвольные числа из множества допустимых значений искомых величин.

Если под буквами, введенными для обозначения главных неизвестных, понимать решение задачи, то процесс составления системы уравнений распадается на две части:

1) обозначение главных неизвестных; выражение числовых значений вспомогательных неизвестных величин через обозначения главных неизвестных и данные задачи; символическая запись основных соотношений;

2) введение системы уравнений, позволяющей найти искомые значения главных неизвестных.

Решения задачи составляют подмножество множества решений системы уравнений, составленной по условию задачи. Чтобы из множества решений системы, составленной по условию задачи, отобрать решения задачи, достаточно: 1) для каждого решения системы вычислить значения неизвестных величин, рассматриваемых в задаче; 2) проверить, удовлетворяют ли найденные значения неизвестных величин основным и дополнительным соотношениям, указанным в задаче.

Для школьных текстовых задач каждое решение системы, составленной по условию задачи, порождает совокупность значений неизвестных величин, удовлетворяющую основным соотношениям. Следовательно, решениями задачи будут только те решения системы уравнений, которые порождают совокупности числовых значений неизвестных величин, удовлетворяю-

щие дополнительным соотношениям, при которых решается задача.

В диссертации предпринята попытка исследовать психологическую структуру процесса решения текстовых задач с несколькими искомыми величинами. Проведенное нами исследование показывает:

1. При составлении по условию задачи системы уравнений существуют следующие типы последовательностей мыслительных процессов:

а) Выделение основных соотношений. Анализ основных соотношений и вопроса задачи. Осознавание компонентов и схемы уравнений системы.

б) Анализ вопроса задачи. Выделение и анализ основных соотношений. Осознавание компонентов и схемы уравнений системы.

в) Анализ вопроса задачи. Выделение вспомогательных неизвестных величин. Выделение основных соотношений. Осознавание компонентов и схемы уравнений системы.

Есть основания предполагать, что при составлении по условию задачи системы уравнений существуют и другие типы мыслительных процессов.

Наиболее распространенными являются типы мыслительных процессов а) и б).

2. Тип мыслительных процессов при составлении по условию задачи системы уравнений зависит от имеющегося опыта решения задач с помощью составления систем уравнений, от успеваемости учащегося, от метода, которым пользовался учитель при обучении учащихся приемам решения задач.

3. Существуют следующие типы умозаключений при выражении компонентов уравнений: а) полное дедуктивное умозаключение; б) полное дедуктивное умозаключение, но большая посылка воспроизводится неполностью; в) большая посылка не воспроизводится, но после обозначения компонента уравнения привлекается для контроля преобразования; г) большая посылка не воспроизводится (используются «свернутые умозаключения»).

Наиболее распространенным является четвертый тип умозаключений.

Тип умозаключения при выражении компонентов уравнения зависит от имеющегося опыта решения задач, успеваемости учащихся, характера основной зависимости.

В настоящее время в школьной практике применяются следующие приемы составления по условиям задач систем уравнений: 1) «метод обратных задач», 2) «способ последо-

вательного обозначения величин», 3) «способ выделения основных соотношений».

Анализ указанных способов составления систем уравнений и специально организованная опытная проверка показывают, что на «третьем этапе» обучения учащихся приемам решения текстовых задач следует возможно более широко использовать «способ выделения основных соотношений». За указанную рекомендацию говорят следующие положения: 1) приступая к решению задач с помощью составления систем, учащиеся уже располагают некоторым опытом решения задач методом уравнений; 2) последовательность рассуждений при составлении уравнений на основании выделения и анализа основных соотношений совпадает с последовательностью мыслительных процессов, протекающих у учащихся при самостоятельном решении текстовых задач; 3) использование «способа выделения основных соотношений» позволяет наиболее экономным путем составлять системы уравнений. Кроме того, рассматриваемый способ позволяет придать процессу составления системы уравнений целенаправленный характер и обосновать необходимость всех «шагов», выполняемых для составления системы.

В диссертации рассматривается методика обучения учащихся выделению и анализу основных соотношений, выражению компонентов уравнений через обозначения главных неизвестных и данные задачи, символической записи основных соотношений.

Наблюдения на уроках, анализ записей в классных тетрадях, изучение контрольных и экзаменационных работ показывают, что для оформления решения текстовых задач учащиеся применяют, как правило, слишком громоздкие схемы. При решении задач в теме «Уравнения первой степени с одним неизвестным» подробные записи решений задач еще могут быть оправданы. Но при изучении приемов решения задач с помощью составления систем уравнений подробные записи становятся тормозом в работе.

В диссертации описана методика обучения учащихся составлению систем уравнений без предварительного обозначения вспомогательных неизвестных величин.

Обычно при решении задач основное внимание обращается на формирование у учащихся умения рационально использовать основные соотношения.

В диссертации рассматриваются основные вопросы, связанные с использованием при решении текстовых задач дополнительных соотношений: 1) подготовительные упражнения к использованию дополнительных соотношений, 2) использо-

вание дополнительных соотношений при отборе решений задачи, 3) решение текстовых задач при помощи составления смешанных систем, 4) использование тренировочных текстовых задач для целей политехнического обучения.

Для закрепления изученных приемов решения текстовых задач учителя обычно решают с учащимися все новые и новые задачи. Принято считать, что лишь большое число упражнений обеспечивает успешное усвоение учащимися приемов решения задач. Однако плохо осознанная задача, как известно, мало помогает решению следующих. Поэтому решение даже большого числа задач порой не приводит к ожидаемым результатам.

В большинстве случаев, решая с учащимися задачу, не следует ограничиваться лишь получением ответа. Желательно поработать над задачей и после решения, иначе след, оставленный задачей в сознании ученика, будет очень неглубоким. К сожалению, дополнительная работа над решенными задачами в курсе алгебры 7—10 классов проводится очень редко.

Дополнительная работа над решенными задачами позволяет разнообразить упражнения, способствует лучшему усвоению учащимися приемов решения задач, оказывает положительное влияние на развитие активного математического мышления учащихся.

В диссертации рассматривается методика следующих видов дополнительной работы над решенными задачами: 1) составление задачи, аналогичной данной, с наперед заданным ответом; 2) составление задачи с наперед заданным ответом при указанном изменении основных соотношений, 3) составление задачи, обратной данной, 4) решение «усложненных» задач.

Глава III. Системы уравнений второй степени

Программа по математике для 8—9 классов явно недооценивает общеобразовательное и практическое значение темы «Системы уравнений второй степени». Практика показывает, что ряд вопросов, связанных с изучением приемов решения систем уравнений высших степеней, представляет интересный материал для занятий математического кружка.

В диссертации приводится методическая разработка некоторых вопросов, связанных с решением систем уравнений второй степени с двумя неизвестными на занятиях математического кружка.

Системы, у которых одно уравнение второй степени, а другое первой, образуют один из важнейших классов систем,

разрешимых средствами элементарной алгебры. В диссертации рассматривается методика изучения систем уравнений этого типа. Особенности предложенной методики: 1) способы решения обосновываются предварительно изученными свойствами систем уравнений, 2) уделяется большое внимание использованию графических способов решения систем, 3) подчеркивается отличие приемов решения рассматриваемых систем от приемов решения линейных систем.

В школьном курсе алгебры можно рассмотреть лишь частные приемы решения систем двух уравнений второй степени. В диссертации предлагается следующий порядок изучения систем уравнений второй степени: а) системы, допускающие доступные для учащихся геометрические интерпретации; б) системы, у которых по крайней мере в одном из уравнений нет квадрата одного из неизвестных; в) системы, уравнения которых содержат квадраты обоих неизвестных. При решении систем уравнений второй степени широко используются геометрические интерпретации и графические способы решения.

В диссертации рассматриваются возможные пути обоснования приемов решения систем второй степени, у которых хотя бы в одном из уравнений нет квадрата одного из неизвестных, приводятся примеры для упражнений и описывается методика их решения.

В связи с решением систем, уравнения которых содержат квадраты обоих неизвестных, рассматривается вопрос о разрешимости систем уравнений элементарными средствами. Излагается прием решения уравнения четвертой степени, основанный на представлении левой части уравнения в виде разности квадратов двух многочленов с последующей заменой исходного уравнения совокупностью уравнений. Описывается прием исключения из уравнений системы одного из неизвестных при помощи деления.

При решении систем уравнений высших степеней способом подстановки в большинстве случаев приходится выполнять громоздкие преобразования и сложные вычисления. Поэтому системы уравнений высших степеней очень часто выгоднее решать искуственными способами.

Изучение искуственных приемов решения систем уравнений высших степеней имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Обычно для решения системы можно применить несколько искусственных способов. Учащимся приходится сравнивать их, выбирать наиболее простой и изящный способ. Это способствует развитию инициативы и активного математического мышления учащихся.

В диссертации рассмотрены искусственные приемы решения систем уравнений второй степени, наиболее широко представленных в школьных задачниках по алгебре.

В диссертации рассмотрены приемы решения следующих видов систем уравнений: 1) симметричные системы и приводящиеся к симметричным; 2) системы однородных уравнений и приводящиеся к однородным; 3) системы, у которых левая часть хотя бы одного из уравнений разлагается на множители.

Рассмотрены следующие приемы решения систем уравнений: 1) решение систем уравнений при помощи «обобщенной» постановки; 2) решение систем уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных, 3) приемы решения систем, основанные на умножении и делении уравнений.

В диссертации рассматриваются приемы решения систем дробно-рациональных уравнений. При решении систем дробно-рациональных уравнений используются смешанные системы.

Содержание диссертации:

Глава I. Системы линейных уравнений.

§ 1. Определение понятия «система уравнений».

§ 2. Определение понятия «равносильные системы».

§ 3. Теоремы о равносильности систем уравнений.

§ 4. Элементарные способы решения систем линейных уравнений.

§ 5. Запись и обоснование процесса решения системы уравнений.

§ 6. Устное и полуписьменное решение систем уравнений.

§ 7. Проверка решения систем линейных уравнений.

§ 8. Составление систем уравнений по заданным решениям.

§ 9. Использование упражнений на решение систем уравнений для развития активного математического мышления учащихся.

§ 10. «Системы линейных уравнений» на занятиях математического кружка учащихся 7—8 классов.

Глава II. Решение текстовых задач при помощи составления систем уравнений.

§ 1. Задачи с несколькими искомыми величинами в школьном курсе алгебры.

§ 2. Анализ процесса решения текстовой задачи.

§ 3. Составление по условию задачи системы уравнений.

§ 4. Составление систем уравнений без предварительного

обозначения вспомогательных неизвестных величин.

§ 5. Использование при решении задач дополнительных соотношений.

§ 6. Дополнительная работа над решенными задачами.

Глава III. Системы уравнений второй степени.

§ 1. Системы уравнений с двумя неизвестными, из которых одно второй степени, а другое первой.

§ 2. Системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными.

§ 3. Искусственные способы решения систем уравнений высших степеней.

Список использованной литературы.

* * *

Основные положения диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. О системах уравнений в школьном курсе алгебры. Сборник «Из опыта работы учителей математики» (ред. И. А. Гибш), издательство АПН РСФСР, Москва, 1959.

2. Комментированные упражнения на уроках математики. «Ученые записки» Елецкого пединститута, выпуск 6, Елец, 1962.

3. Использование упражнений на решение систем уравнений для развития активного математического мышления учащихся. «Ученые записки» Елецкого пединститута, выпуск 7, Елец, 1962.

Л 61276 25/111 1963 г. Тип. Госкомитета по судостроению, зак. 480, тир. 200