КОМИТЕТ СОВЕТА МИНИСТРОВ АРМЯНСКОЙ ССР ПО ВЫСШЕМУ И СРЕДНЕМУ СПЕЦИАЛЬНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Г. Л. ГУКАСЯН

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ В КУРСАХ АРИФМЕТИКИ И АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат Диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель—Кандидат физико-математических наук, доцент М. В. Бадалян

ЕРЕВАН—1961

12 ноября 1958 года ЦК КПСС принял историческое решение „Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР“, в котором ясно указано, что в современной средней школе необходимо стремиться к дальнейшему повышению уровня политехнического образования и обратить особое внимание к преподаванию физики, математики, химии, черчения, биологии.

Новые задачи ставятся перед советской средней школой в свете этого решения в области преподавания математики. В нынешних условиях математическая подготовка учащихся должна дать им необходимые знания для будущей работы на современном производстве, и одновременно удовлетворять потребности высшей школы, особенно физико-математических факультетов университетов и высших технических учебных заведений, которые предъявляют серьезные требования к математической подготовке учащихся.

Для осуществления указанных задач актуальное значение приобретает рассмотрение проблемы о внедрении и развитии ведущего понятия функции в курсе арифметики и алгебры школьной математики, с тем чтобы придать этому курсу в целом функциональную направленность.

В настоящей диссертационной работе делается попытка дать научно-методические разработки основных тем арифметики и алгебры с точки зрения идеи функциональной зависимости, как одним из средств для удовлетворения современных требований перестройки преподавания математики в общеобразовательной школе.

Хотя проблема введения идеи функциональной зависимости в школьное преподавание математики и разрешалась ранее в кандидатских диссертациях В. И. Севбо, М. И. Добровольского, А. Виноградовой, С. М. Головиной, В. Г. Ашкинузе и имеются статьи по этому вопросу, однако, насколько нам известно, проблема развития понятия функциональной зависимости отдельно в курсе арифметики и алгебры в целом, в современных условиях перестройки преподавания математики, не рассматривалась.

Необходимость и важность внедрения идеи функциональной зависимости в процессе преподавания математики всегда подчеркивались известными советскими математиками и методистами-математиками, в частности А. Я. Хинчином, А. И. Маркушевичем, В. Л. Гончаровым, Б. М. Брадисом и др. И все же, несмотря на их ценные научно-педагогические указания, научно-методическая проблема внедрения понятия функции в школьном курсе арифметики и алгебры в свете новых задач перестройки преподавания математики в советской школе полностью не разработана.

В данной диссертационной работе автор выявляет научно-методическое и практическое значение систематического, планомерного, и целенаправленного развития центральной идеи функции в курсе арифметики и алгебры начиная с первого класса школы и освещает методику ее введения и применения в школе, и в связи с этим обосновывает актуальность включения некоторых элементов математического анализа (предел, непрерывность, производная) для более глубокого изучения функциональных зависимостей и завершения функциональной интерпретации изучаемого в школе курса математики и в частности алгебры, дает методику их преподавания в школе, раскрывает роль идеи функции в формировании диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

Ставится также задача выяснить значение развития понятия функции как в курсе арифметики, так и алгебры как

одного из основных средств возбуждения у учащихся интереса к математике, более глубокого и сознательного изучения предмета, развития логического мышления, выработки определенных навыков и умений к самостоятельной творческой и практической работе.

В процессе работы над диссертацией автор использовал материалы научно-методического и исторического характера по вопросам изучения понятия функциональной зависимости в школе, находящиеся в библиотеке им. В. И. Ленина (Москва) и в публичной библиотеке им. А. Ф. Мясникяна (Ереван), провел анализ научно-методической литературы по вопросу определения и выбора способа задания функции в средней школе, и сделал необходимые предложения и выводы. Автор провел практические наблюдения в средних школах № 2, 23 и 13 г. Ленинакана, насколько это было возможным в местных условиях, а также использовал свой тринадцатилетний опыт по руководству педагогической практикой студентов Ленинаканского пединститута им. М. Налбандяна и математическими кружками в средних школах Ленинакана. Результаты этих наблюдений и личного опыта нашли свое отражение в диссертационной работе. Описание и анализы наблюдений, которые автор нашел целесообразным выделить в отдельные протоколы экспериментальных уроков входят в приложение настоящей работы (15 уроков).

Диссертация состоит из краткого введения, пяти глав, заключения, приложения и библиографии.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ВВЕДЕНИЕ

Как известно, математика есть наука о пространственных формах и количественных отношениях действительного мира, и следовательно, каждая математическая теория, как бы ни была абстрактна её форма, возникла из объек-

тивного мира, как результат наблюдений и опыта человечества.

Известно, что математические знания стали создаваться у человека в периоде, когда он, исходя из практических нужд, вынужден был противостоять явлениям внешнего материального мира. Таким образом, вместе с экономическим и социальным прогрессом общества, наряду с другими науками, возникли и развивались и математические науки. Но предшествующая до XVII века эпоха характерна была тем, что математические дисциплины, изучая числа, величины и геометрические формы, рассматривали только отдельные моменты существования тех или других вещей, и таким образом, они только частично отображали количественные отношения и пространственные формы объективного, переменного, действительного мира, и следовательно, явились лишь их мгновенными фотографиями.

В связи с развитием производительных сил и общественных отношений начался бурный подъем естественных наук. „Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, зачатки которого вскоре были заложены и которое было в целом завершено, а не открыто, Ньютоном и Лейбницем,, (Энгельс „Диалектика природы“). Таким образом начиная с XVII века объектом изучения математических наук стали зависимости, существующие между переменными величинами. Этот прогресс начался с XVII века, продолжался вплоть до первой половины XIX века и завершился полной победой нового направления.

При помощи изучения функциональных зависимостей математика приобрела возможность с наибольшей полнотой осветить закономерности количественных отношений и пространст-

венных форм действительного мира и тем самым расширить возможности прикладной математики.

Вводимые в математику новые понятия, ставшие в теории доминирующими принципами, повлияли также на школьное преподавание, и в начале XX века началось широкое международное движение за перестройку математики в соответствии с этими новыми принципами.

В диссертации подчеркивается, что еще задолго до возникновения движения за проведение коренной реформы преподавания в Западной Европе (Маранская программа отечественная педагогическая мысль была в первых рядах при чем наши отечественные ученые и отдельные педагоги (Перевощиков, Тихомандрицкий, В. Шкларевич, С. Шохор-Троцкий, П. Шифф, В, Сердобинский, В, Шереметевский и др.) в поисках средств для обновления преподавания школьной математики на функциональных началах выступали на страницах научно-педагогических журналов („Педагогический сборник“, „Педагогический музей“, „Русская мысль“), намного лет раньше, чем западные (Ф. Клейн, Э. Борель, Ж. Таннери). В диссертации рассматриваются также и работы советских математиков-методистов, занимавшихся проблемой развития понятия функиональной зависимости в преподавании математики и особенно подчеркивается роль проф. А. Я. Хинчина, одним из первых горячо выступавших за перестройку курса математики на функциональных началах.

Устанавливается, что и в Армении, в середине XIX века прогрессивные математики-педагоги составили стабильные учебники по математике для средних национальных учебных заведений, в которые были введены элементы высшей математики, как например, понятие о числовом ряде, об остаточном члене такого ряда, о его обратимости и сходимости, понятие бесконечно-малых и бесконечно больших и т. д. Из этих авторов укажем, например, Амаяка Папикяна, издавшего в 1858 году учебник по математике под

заглавием: „Книга по математике для национальных школ. Часть I алгебра“, в предисловии которого автор дает определения элементарной и высшей математики, а в дальнейшем излагаются некоторые элементы высшей математики.

В конце введения обосновывается выбор темы, соответствующей общей направленности перестройки системы математического образования в средней школе.

Глава I. Понятие функции в средней школе

В первой главе излагюатся три определения функциональной зависимости, освещается современная концепция понятия функции, а затем приводится обоснование выбора определения понятия и способа задания функции в средней школе.

В § 1 рассматриваются краткая история развития идеи функциональной зависимости и определение функции в смысле Лобачевского-Дирихле („табличное определение“), как соответствия между переменными величинами, и указывается ее преимущество перед „оперативным“ определением.

В § 2 этой главы проанализируется вопрос о том, какое из существующих определений понятия функциональной зависимости целесообразно принять в основу школьного преподавания математики, имея в виду существующие до сих пор расхождения во мнениях у различных советских математиков-методистов, обосновывается возражение автора акад. С. Н. Бернштейну по вопросу об определении понятия функции в школе (принятие в основу преподавания „оперативного“ определения). В результате проведенного анализа учебной литературы и работ различных советских математиков-методистов и их критики (В. Севбо, В. Томашевич, А. Сухорослов, Г. Карпенко и др.), автор утверждает, что целесообразно в средней школе (VIII класс) дать определение понятия функциональной зависимости в

смысле Лобачевского-Дирихле, как соответствия между множествами значений переменных величин, и в связи с этим указываются недостатки в определении, функциональной зависимости, данное в стабильном учебнике А. П. Киселева по алгебре (Ч. II.)

Обосновывается, что такая ориентировка в средней школе имеет ряд преимуществ. Во-первых, опыт нашей советской средней школы показал, что определение функции на такой основе легко воспринимается учащимися; во-вторых идея переменной не лишена подвижности,. динамичности Учащиеся получат возможность наблюдать изменения одного явления в зависимости от изменения других явлений имеющее весьма существенное значение для формирования диалектическо-материалистического мышления учащихся. В третьих, определение функции на базе переменной величины не находится в противоречии с пониманием наиболее широкой концепции функции, так как в этом определении говорится о самом важном —о соответствии между множествами значений двух переменных величин и, следовательно, в высшей школе имеется полная возможность доразвить понятие функции в наиболее общей форме,-основанное на теоретико-множественной базе.

В данном определении функциональной зависимости констатируется еще второй важный факт—требование однозначности. Такое требование вытекает из современного понятия функции, оно вносит полную ясность. и определенность в изучения свойств таких функций действительного переменного, с которыми встречаемся в курсе школьной математики.

В параграфе дается методика введения определения понятий функции. Рассматриваются ряд. упражнений и задач, как общего, так и практического характера, иллюстрирование которых, безусловно, существенно поможет усвоению и закреплению общего определения понятия функции.

В § 3 анализируется вопрос, какой способ задания функции целесообразно выдвигать на первое место? На основе изучения учебной и методической литературы, опыта советской школы, автор находит, что в школьной практике необходимо рассматривать в первую очередь табличный способ задания функции. С одной стороны при определении понятия функции в смысле Лобанчевского-Дирихле учащиеся сталкиваются с табличным способом задания функции. С другой стороны, в табличном способе задания функции явно виден факт соответствия между соответствующими значениями независимой переменной и функции. Наконец, указанный способ задания функции имеет широкие применения как в школьной практике, так и при различных исследованиях (построение графиков, использование готовых математических таблиц, распределение температуры воздуха, соответствующее различным высотам местности, подъем (уклон) пути на железных дорогах и т. д ).

Однако, сказанное выше не означает, что умаляется значение аналитически заданных функций. Они представляют тот частный класс функций, которые являются основными в средней школе.

Что касается графического способа задания функции, исходя из педагогических соображений автор считает, что в средней школе должны обратить внимание не на графический способ задания функции, а на самый график функции в качестве её наглядной геометрической иллюстрации, что имеет важное значение в процессе изучения функций в средней школе.

Глава II. Функциональная пропедевтика в курсе арифметики I, II, III и IV классов средней школы

В этой главе дается изложение основных вопросов методики преподавания пропедевтики понятия функции в начальных классах школы, указывается её значение как

одного из средств более глубокого и сознательного изучения арифметики на уроках по классам:

§ 1. Функциональная пропедевтика в курсе арифметики в I и II классах.

§ 2. Функциональная пропедевтика в курсе арифметики III и IV классов.

§ 3. Геометрический материал.

В. этих параграфах диссертации автор устанавливает, что для овладения математическим понятием функции необходима систематическая, планомерная, целеустремленная длительная подготовительная работа еще с первого класса школы, так называемая функциональная пропедевтика.

Без употребления термина „функция“ и без каких-либо абстрактных понятий, следует, где представляется возможность, рассматривать вопросы, способствующие развитию „функционального мышления“ учащихся. Рассмотрение такого рода вопросов научит учащихся наблюдать явления изменения одних величин в зависимости от изменения других величин. Учащиеся постепенно приобретут соответствующую математическую подготовку, определенный круг математических сведений, дальнейшее обобщение которых приведет их к овладению определением понятия функции.

Автор считает, что методика преподавания арифметики в области пропедевтики понятия функции в начальных классах средней школы должна ограничиваться тем, чтобы в органической связи с программой указаны такие упражнения и задачи, целью которых является систематически приучать детей постепенно, естественным путем подмечать изменение одной величины при изменении другой, связь между этими величинами, и таким путем способствовать развитию „функционального мышления“ учащихся и тем самым подготовить их к восприятию в дальнейшем общего понятия функции, к изучению элементарных свойств этих функций.

В главе рассматриваются такие примеры и упражнения,

которые имеют некоторое наглядное содержание в зависимости от возраста детей и направленные к развитию их „функционального мышления“.

Рассматривая арифметические задачи, решаемые одним действием автор считает полезным предлагать учащимся составлять задачи того же содержания, но с другими вариациями данных, которые можно называть задачами-разновидностями. Затем составляются различные простые задачи, образующие продолжение одна другой и таким образом, естественным путем можно притти к понятию сложной арифметической задачи.

В главе детально рассматривается методика решения арифметических задач в I — IV классах школы с точки зрения функциональной пропедевтики, показывается какому изменению подвергается искомая или искомые величины задачи, при изменении сначала одной, затем другой и, наконец, этих двух или многих данных и таким путем выявляется содержание и функциональная природа каждой задачи.

В главе утверждается, что решение арифметических задач путем логического анализа, составление соответствующих задач с измененными данными с последующим составлением таблиц, является эффективным средством для развития „функционального мышления“ учащихся, создания благоприятных условий для сознательного подхода к решению арифметических задач и тем самым станет возможным вести решительную борьбу против формализма в математических знаниях учащихся.

Глава заканчивается рассмотрением материала геометрического характера, направленное опять-таки к развитию „функциональных навыков“ учащихся.

Глава III. Функциональная пропедевтика в курсе арифметики V и VI классов средней школы

В этой главе диссертации автор стремился изложить основные темы арифметики. V и VI классов с тем, чтобы

они были пронизаны понятием функциональной зависимости между переменными величинами.

Подробно изложены из теории-обыкновенных и десятичных дробей вопросы, дающие широкие возможности для функциональной пропедевтики, рассмотрение которых вместе с тем весьма способствует для преодоления ряда трудных вопросов в теории арифметических дробей в V классе.

Вопрос решения арифметических задач и задач с измененными данными опять считается одним из основных средств в осуществлении задачи дальнейшего развития идеи функциональной зависимости в школе, и таким путем ученик может подмечать функциональное содержание данной арифметической задачи.

При рассмотрении арифметических задач с измененными данными неизвестная величина (или величины) задачи фактически является функцией, зависящей, вообще говоря, от нескольких переменных величин, а при различных конкретных числовых данных задачи устанавливается конкретное числовое значение функции. Разумеется подобные задачи составляются не произвольно, а исходя из внутреннего содержания задачи. Как полагает автор, подобный подход к решению арифметических задач развивает логическое мышление учащихся, способное к обобщениям.

Проведенные наблюдения и эксперименты в школах показали, что решение задач с измененными данными помогает учащимся в процессе логического анализа арифметических задач.

В конце главы остановились на вопросах политехнизации в курсе арифметики V и VI классов в свете темы данной диссертации, а именно:

1. Развитие навыков в устных и приближенных вычислениях. Округление результатов арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление), и в связи с этим решение различных задач практического характера, где необходимо вычислить приближенные значе-

ния функции (готовые формулы) при различных приближенных значениях аргумента, или аргументов, и при решении которых необходимы некоторые определенные навыки в приближённых вычислениях.

2. Вычерчивание различных диаграмм и простейших графиков на основании наблюдений (колебаний температуры воздуха, больного, графики, изображающие рост производительности труда, сельского хозяйства, различных отраслей социалистического строительства и т. д.).

По нашему мнению, выполнение подобных работ имеет существенное значение не только для целей „функциональной пропедевтики“, но и для политехнического образования учащихся.

Глава IV. Функциональная пропедевтика в курсе алгебры VI и VII классов средней школы

В двух параграфах этой главы автор стремился показать, как можно развертывать курс алгебры в VI и VII классах на основе идеи функциональной зависимости, способствующей не только глубже, лучше и сознательнее усвоить программные материалы курса алгебры в этих классах, но и дальнейшему развитию функциональных навыков учащихся.

С этой целью рассматриваются некоторые центральные вопросы курса алгебры в VI—VII классах.

На функциональных началах рассматривается введение буквенных алгебраических выражений, так называемые обобщенные числа, как например, выражения

и т. д., рассматриваются затем задачи, приводящие к разным степеням и линейным комбинациям одной и той же буквы, и таким образом, каждое алгебраическое выражение рассматривается как функция от входящих в него букв, на множестве допустимых значений этих букв.

Далее показывается, как с введением понятия отрица тельного числа рассматриваются такие алгебраические выражения, исследование которых связано с отрицательными значениями букв, входящих в данное алгебраическое выражение. Выполнение подобных упражнений, несомненно, с одной стороны способствует закреплению понятия отрицательного числа и вместе с этим рационального, а с другой стороны—развития как функциональных навыков, так и повышению математической культуры учащихся.

Рассматривается изучение алгебраических дробей и их тождественных преобразований в VII классе на основе идеи функциональной зависимости, останавливаясь в частности на основе данной идеи, на вопросе элементарного исследования алгебраических дробей для тех или иных допустимых значений букв, входящих в данную алгебраическую дробь. Рассматриваются различные задачи и упражнения с функциональным содержанием, выполнение которых весьма способствует развитию функциональных навыков учащихся и усвоению соотвествующего программного материала в VII классе.

Далее рассматриваются два вида важнейших функциональных зависимостей—прямо и обратно пропорциональные зависимости, которые в VII классе должны получить свою дальнейшую функциональную интерпретацию. Как полагает автор, сущность прямо-пропорциональных и обратно-пропорциональных зависимостей для учащихся раскрывается лишь тогда, когда их сравнивают с зависимостями хотя и возрастающимися (убывающимися), но не являющимися прямо-пропорциональными или обратно-пропорциональными. С этой точки зрения и рассматривается вопрос в данной главе.

Показывается, как рассматривая таблицы, содержащие прямо-пропорциональную или обратно-пропорциональную зависимость переменных величин, получаются для них соответствующие аналитические выражения и их графики.

Вводится понятие углового коэффициента прямой («наклон прямой»), характеризующего «скорость» изменения прямо-пропорциональной зависимости.

В конце главы рассматриваются уравнения и системы уравнении первой степени 'на функциональных; началах. По нашему убеждению, только в этом случае для учащихся выясняется почему равенство f(x) = f2(x) имеет место вообще не для всех, а только для некоторых допустимых значений аргумента и с методической точки зрения представляется целесообразным сперва составить таблицы, выражающие изменения функций у =f i(x) и y2-f2(x), затем по точкам построить их графики, и наконец, перейти к алгебраическому решению. То же самое относится и к системе уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Глава V. Изучение функциональной зависимости в курсе алгебры VIII, X и XI классов

В этой главе диссертации рассматривается, как на основе опыта, приобретенного учащимися в результате проведенной длительной функциональной пропедевтики в младших и средних классах средней школы, развивать изучение функциональной зависимости в курсе алгебры старших классов. В первом параграфе главы дается изучение функциональной зависимости в курсе алгебры VIII класса.

В связи с введением понятия квадратного корня из данного числа в параграфе фается методика введения понятия функции, обратной функции у = х2 (х>0) В связи с этим дается сначала понятие функции обратной, например; функции у = кх+Ьпосле чего и функции обратной функции у=ха(х^6

Дается методическая разработка для построения рациональных приближений квадратных корней, в частности, скажем для Y% или уг7.“ Как нам кажется, это явится некоторой пропедевтикой для усвоения понятия иррационального числа в дальнейшем, в IX классе. С другой стороны, рассмотрение

данного вопроса имеет определенное функциональное содержание, а именно: учащиеся убеждаются, что для определения рационального числа достаточно задать конечную группу цифр, а для определения квадратного корня этих цифр необходимо задать бесконечное множество.

Рассматриваются ряд задач и упражнений функционального содержания, которые одновременно направлены на развитие политехнических знаний учащихся. Например, использование различных готовых приближенных формул для подсчета приближенных значений—скажем, квадратных или кубических корней, вычисление этих же корней способом линейной интерполяций.

В доступной форме дается графическое объяснение смысла линейной интерполяции, основанное на подобии треугольников. Решаются задачи технического содержания, связанные с допускаемыми напряжениями металлов и т- д., которые связываются с изучением различных функциональных зависимостей.

Подробно дается методика изучения трехчлена второй степени. По убеждению автора изучение квадратных уравнений в VIII классе нельзя провести без основательного изучения функции второй степени.

Вычерчивая графики функций

(1)

(2) (3)

необходимо их как средство (а не как самоцель) использовать для выяснения поведения функциональных зависимостей (1), (2) и (3) при х>0 и х<0, и таким путем притти к понятию экстремума этих функций. Представив произвольный трехчлен второй степени в виде

можно исследовать вопрос существования экстремума функции.

Как считает автор, для более основательного изучения поведения трехчлена второй степени весьма ценно выяснить с какой скоростью изменяются значения трехчлена второй степени для различных числовых значений аргумента. С этой целью необходимо в различных частях области определения функции брать последовательные значения аргумента и проследить с какой скоростью изменяются значения функции, рассматривая для этой цели изменение отношения:

в различных подобластях области определения квадратичной функции. Можно воспользоваться хотя бы функцией:

в подобластях O^x^l и х>1, особенно изучая характер изменения этой функции в окрестности точек О и :х=1.

Подобное изучение является одновременно ценной пропедевтикой понятия производной. В противном случае изучение указанного вопроса превращается в самоцель и таким образом совершенно искажается настоящая методологическая ситуация, из которой выхолощено все идейное содержание.

Далее рассматриваются ряд задач на наибольшие и наименьшие значения, основанные на свойстве квадратного трехчлена, а также ряд упражнений на построение графиков различных дробнолинейных функций, для которых проводятся как точечные построения, так и построения путем различных модификаций уже известных графиков. В таких случаях, когда в уравнении неизвестное участвует в знаменательных, привлечение графического аппарата особенно ценно.

Подобные графические работы ценны также в целях политехнического обучения-

В главе, исходя из основной функции

рассматриваются также графики функций:

построение которых, как нам кажется, посильно учащимся VIII класса.

Когда же имеется довольно широкий ассортимент функциональных зависимостей заданных едиными аналитическими выражениями, необходимо рассматривать такие задачи и упражнения, которые решительно направлены к точному восприятию учащимися VIII класса определения понятия функций, не противоречащее ее математическому содержанию, как соответствия между множествами значений двух переменных величин. Нет нужды доказывать, что достижение этой цели имеет большое научно-методическое значение. Чем быстрее освободить учащихся от «ярма» аналитического выражения, тем лучше можем внедрить идею важного математического понятия функции у них.

С этой целью в главе с методической строгой последовательностью приводятся ряд задач и упражнений из области математики и физики с их последующими подробными решениями и объяснениями, которые одновременно направлены к развитию политехнических навыков учащихся.

Разумеется, что рассмотрение подобных задач и упражнений не нужно исчерпывать в VIII классе. Несомненно, что начиная эту тенденцию с VIII класса, необходимо ее постепенно развивать в старших классах и достичь того, чтобы учащиеся, оканчивающие среднюю школу, твердо и сознательно усвоили, что разнообразны примеры таких функциональных зависимостей, которые невозможно представить аналитически, но их существование реальное явление и следовательно их необходимо изучать.

В параграфе втором диссертации, согласно новой программе по математике, подробно излагается методика развития понятия функциональной зависимости в теории пределов и логарифмов в X классе.

Известно, что в литературе существуют две точки зрения для определения числовых последовательностей:

1. «Числовая последовательность есть множество значений функции целочисленного аргумента, упорядоченное в порядке возрастания значений аргумента».

2. «Числовой последовательностью называется множество чисел:

элементы которого пронумерованы по натуральным числам и расположены в порядке возрастания их номеров».

Понятно, что оба эти определения эквивалентны с тачки зрения научного смысла. В самом деле, когда говорим, что числовой последовательностью называется множество чисел а!г а2, а3..., ап...,которые пронумерованы натуральными числами и расположены в порядке возрастания их номеров, то это означает, что на множестве натуральных чисел или на его некотором подмножестве задана функция, определенная некоторым законам соответствия, значениями которой являются заданные числа. В работе показывается, как обратно, имея второе определение числовой последовательности, мы можем перейти к ее первому определению, рассматривая, например, функции

Хотя и выдвигается необходимость элементарного изложения понятия предела, надо признать, что с методической точки зрения оно гораздо труднее, чем понятие предела числовой последовательности (функции целочисленного аргументу).

На самом деле, из самого определения числовой последовательности ясно, что она представляет некоторое множество значений функции от натурального аргумента, следовательно областью ее определения является множество чисел натурального ряда. Рассматривая предел числовой последовательности как предел последовательности значений функции. целочисленного аргумента раз навсегда ясно, как изменяется ее аргумент, который пробегает только натуральный, ряд чисел и, следовательно отыскивается всегда предела f(n) при п-т^оо где „п“ пробегат лишь целые положительные значения 1, 2, 3, 4, 5 .. ...., п,... . Но иначе обстоит дело, когда

аргумент функции представляет некоторая непрерывная переменная величина, изменение которой может происходить при различных условиях различными способами и, следовательно, к различным пределам будет стремиться и функция y=f(x), лр>и стремлении аргумента х* различным пределам“ , При одних условиях функция может стремиться к одному пределу, при^других условиях—к другому.

Например, если мы возьмем функцию

то, когда ее аргумент неограниченно убывает, значения функции неограниченно возрастают, когда аргумент неограниченно возрастает, значения функции стремятся к единице, когда х стремится, скажем, к 1/2, значения функции стремятся к 3, а когда X стремится к—1, значения функции неограниченно убывают. А если рядом с этим примером взять пример функции целочисленного аргумента то здесь уже ясно, что „п“ может стремиться только к бесконечности и, следовательно, значения функции стремятся к единице. Как полагает автор, для преодоления указанного затруднения лучше всего с самого начала обратиться к геометрическому примеру, где легко сосредоточить мысль учащихся на поведении одних непрерывных переменных величин в зависимости от других переменных величин в одном и том же процессе.

Большую пользу в усвоении понятия предела может оказать, составление таблиц значений заданной переменной. По составленной таблице можно проследить ход приближения значений переменной к тому или иному числовому значению. Рассмотрение таких примеров нужно непременно сопровождать графической иллюстрацией. На графике учащиеся наглядно могут проследить за ходом изменения переменной.

Автор считает преждевременным сообщить учащимся X

* В X классе акцентируем внимание учащихся на характер изменения величины как переменной.

класса определение понятия предела функций*) ввиду его сложности, но его уже с успехом можно (и необходимо) сформулировать в XI классе. Достаточно, чтобы на конкретных примерах дать общее понятие о пределе переменной величины, а затем развивать некоторые практические навыки для решения упражнений, где используются все известные учащимся теоремы о пределах. Уже в XI классе упражнения на нахождение пределов функций необходимо брать по своему содержанию более разнообразными и более сложными (включая и тригонометрические функции). В Х же классе примеры необходимо брать по постепенно возрастающей трудности, рассматривая сначала упражнения на нахождение пределов функций целочисленного аргумента, а затем элементарных алгебраических функций-

В главе в связи с изучением показательных и логарифмических функций рассматриваются показательные функции и с помощью графиков, вычерченных на одном и том же листе клетчатой (или миллиметровой) бумаги, на основе составленных таблиц сравниваются скорости изменения степенных и показательных функций и различных подобластях определения

этих функций, как например, для функции]

а также изучаются для последовательностей равноудаленных точек

изменения отношений

где f(x) представляет например показательную функцию

Аналогичным путем можно рассматривать вопрос о сравнении скоростей изменения логарифмической и линейной функции, например, функций: f(x) = lgx и ç(x) —kx при 0<к<1 и 1 <к< ос.

Для развития политехнических навыков учащихся рассматривается графическое решение показательных и логарифмических уравнений не решаемых элементарными приемами. Очень ценно после вычерчивания соответствующих графиков, скажем, для функций f(x)^2x и ф(х).=.4х, заключение о чис-

* В собственном смысле этого выражения.

ле корней и отдельно иррационального корня (или корней) сделать на основе некоторых теоретических соображений (исходя из выпуклости или вогнутости показательной или логарифмической функции на основании чертежа, интиутивно воспользоваться свойством непрерывной на промежутке функции: если непрерывная на промежутке функция на концах промежутка принимает значения разных знаков, то, по крайней мере, в одной внутренней точке этого промежутка она обращается в нуль; затем найти приближенные значения иррационального корня способом последовательного деления пополам промежутка, содержащего этот корень).

В заключении параграфа для целей развития понятия функциональной зависимости, а также политехнических навыков учащихся рассматриваются в теории логарифмов ряд задач прикладного характера, для решения которых используются так называемые логарифмические номограммы, как например, для соотношения

где п — число оборотов вращающегося предмета в 1 минуту, V—линейная скорость предмета.

В третьем параграфе главы излагается методика изучения функций в XI классе средней школы. Известно, что по новой программе по математике, по сравнению со старой, исключаются из курса математики вопросы, не имеющие в настоящее время первостепенного значения. По алгебре исключаются из программы «Теория соединений», «Уравнения высших степеней», по тригонометрии «Обратные тригонометрические функции»; кроме того, значительно сокращается материал, относящийся к изучению тригонометрических уравнений и решению косоугольных треугольников (в IX и X классах). Подобные .изменения дали возможность предусмотреть в новой программе бол ее основательное изучение вопросов функциональной зависимости, включая понятие о производной и ее применениях и тем самым повысить научно-теоретический, одновремен-

но и практический уровень курса математики в средней школе

Исходя из указанных изменений автор предлагает следующий примерный план изучения функций в курсе алгебры XI класса.

1. Повторение определения функции (с соответствующими примерами).

2- Обзор ранее изученных элементарных функций и их графиков.

3. Область определения функции.

4. Понятие непрерывности функции.

5. Дальнейшее развитие понятия предела (предел функций).

6. Построение графиков функций, путем как простейших преобразований уже известных графиков, так и исследования свойств данной функции с применением производной, и на основании установленных свойств вычерчивание графиков.

7. Решение уравнений графическим способом.

8. Неравенства второй степени-

9. Задача на нахождение наибольших и наименьших значений функции с помощью производной. По указанному плану и развивается § 3 пятой главы, где дается методическая разработка каждого вышеуказанного пункта, с соответствующими упражнениями и задачами. Укажем, например, краткое содержание пунктов 4 и 5.

4. В традиционном курсе школьной математики неявно используется факт непрерывности функции: например логарифмической, тригонометрической, причем в первом случае близким числам соответствуют и близкие логарифмы. При арифметических вычислениях, возведения в степень, извлечения корня, мы числовые данные заменяем их приближенными значениями, и полученное приближенное значение весьма близко к истинному результату, если только для данных чисел их приближенные значения весьма близки к этим числам. При построении графика функции мы сначала строим отдельные точ-

ки, и затем «на—глаз; приводим сплошную кривую, без отрыва острия карандаша от бумаги-

Во всех этих подобных вопросах используется факт непрерывности функции.

В настоящей главе дается методическая разработка данного вопроса, общая идея которой заключается в том, чтобы ориентировать учащихся для восприятия понятия непрерывности в смысле Гейне. Подобную ориентировку «на последовательности» автор считает более доступной для понимания учащихся, сводящую трудное для их понимания понятие непрерывности к более легкому и притом уже знакомому понятию предела числовой последовательности- Указывается удобство определения непрерывности в смысле Гейне, для выяснения разрывности заданной функции и доказывается непрерывность функций, часто встречающихся в школе.

5. Известно нам определение непрерывности функции в смысле Гейне:

Последнее соотношение показывает, что вычисляется предел функции f(x), для любой последовательности значений аргумента {хп} имеющей предел х0, или же при х—>х0. Таким образом, о пределе функции можно говорить, когда дополнительно указан предел,к которому стремится ее аргумент х; в противном случае бессмысленно говорить о нем. Отсюда следует, что для нахождения предела функции непрерывной в точке х0, когда ее аргумент х—>х0% необходимо просто вычислить значение функции при х=х0. Полученное значение f(x0) называется пределом функции (непрерывной). Значит можем, например, найти, что:

и т. д. Во всех примерах функции были непрерывными и нахождение их пределов сводится к простой постановке значения х = х0 в выражении Цх). Указанный

способ во многих частных случаях позволяет вычислить пределы функций, которые имеют разрыв в данной точке, и требуется найти „истинное“ значение такой функции в точ«е разрыва*. С этой целью рассматривается вопрос о нахождении предела функции:

(1)

когда аргумент х имеет предел

Указывается, что, в этом случае, как в предыдущих примерах , мы не можем в выражении !(х) заменить х просто через

так как знаменатель выражения (1) обратится в нуль, и следовательно (1) лишается смысла; точка

точка разрыва. Заменив до перехода к пределу

выражение (1) тождественным выражением 4sln2x, которая функция непрерывная, доказывается, что для любой последовательности значений аргумента ,ха, имеющим предел

непрерывная функция имеет всегда тот же самый предел 4, и равная ей функция

тоже будет иметь всегда тот же самый предел 4.

Нам кажется, что после рассмотрения подобных примеров, можно сформулировать определение понятия предела функции в следующих двух формах:

1. «Число L называется пределом функции f(x) при х> стремящемся к „а“ если для любой последовательности допустимых значений аргумент:! х:

* Точнее „относительно точки разрыва“, но эту тонкость в школе целесообразно опускать.

имеющий предел «а» (при хп=^а, п = 1, 2, 3,...), соответствующая последовательность значений функции f(x):

всегда имеет один и тот же предел L. Выражая эту мысль пишут:

2. «Если при любом процессе изменения аргумента, если только аргумент имеет предел «а», предел функции будет одно и то же число L, то L называется пределом функции при X—>а; пишут:

В процессе преподавания можно воспользоваться как первым, так и вторым определением. Далее рассматривается ряд упражнений на нахождение пределов функции, в том числе и замечательные пределы.

По методическим соображениям не считаем целесообразным рассматривать следующие пределы:

а также упражнения «приводящие к основанию натуральных логарифмов е».

Как полагает автор, включение понятия производной функции вместе с понятиями непрерывности и предела в курс алгебры средней школы, является решающим шагом на пути к преодолению разрыва, существующего ныне между школьной

и высшей математикой, и тем самым открывается широкая возможность для сближения школьной математики с математикой высшей и одновременно для более основательного изучения вопросов функциональной зависимости. Поразительные темпы развития математической науки и техники в настоящее время настоятельно требуют некоторой перестройки курса школьной математики, стоящего на уровне, уже не соответствующем развитию современной математики, и поэтому возникает необходимость введения элементов математического анализа в курсе математики средней школы, а это весьма способствует для более основательного изучения понятия функциональной зависимости.

В приложении диссертации приведены образцы протоколов экспериментальных уроков с их последующими анализами, а также методическая разработка по теме: «Понятие производной функции в средней школе»- Краткая схема указанной разработки.

Приращение функции ( примеры физического и механического характера), геометрическая иллюстрация, примеры. Скорость равномерного движения, неравномерного движения составление соответствующих таблиц. Средняя скорость, истинная скорость. Задача Лейбница о проведении касательной к кривой в данной точке. Выясняется, почему именно ставится подобная задача? (угловой коэффициент касательной характеризует ход изменения кривой (функции) ее подъем, крутизну, «изменчивость» в каждой точке кривой). На одной и той же миллиметровой бумаге вычерчиваются графики функций:

и выясняется, чем характеризовать подъемы этих кривых в начале координат (в точке „о“ вычерчиваются касательные к этим кривым и сравниваются между собой). Решение задачи Лейбница. Другие примеры физического, химического характера, приводящиеся к отысканию предела отношения Ду:Дх, при

Ax—>0. Определение „скорости“ изменения функции для данного значения аргумента. Рассматривается пример и вычисляется Лу и Лу:Лх (составляется таблица). При Ах—►(), вывод: когда Ах—>0, Ау в данном процессе тоже стремится к нулю, но при этом отношение —— стремится к некоторой вполне определенной величине. Это самый важный момент в понятии производной, который должны довести до сознания учащихся. Определение производной. Упражнения, физический и геометрический смысл производной. Основные формулы. Задачи и упражнения. Прибор для иллюстрации геометрического смысла производной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Преподавание математики и в частности арифметики и алгебры в средней школе с точки зрения понятия функциональной зависимости имеет как идейное, так и научно-педагогическое значение. Бесспорно, темы арифметики и алгебры в этом случае станут более содержательными и таким образом будут значительно способствовать как организации и развитию логического мышления учащихся, приобретению прочных знаний, так и обеспечению воспитания практических политехнических навыков.

Автор данной диссертации находит, что вопрос вовсе не относится к преподаванию темы «функции и их графики» ныне действующей программы, а тому, что возможно и необходимо, чтобы понятие функциональной зависимости постепенно, систематически и планомерно развивать начиная с первого же класса школы.

Автор считает, что только этим путем возможно предоставить понятию функции подобающее место в школе, как с научной, так и с образовательной и воспитательной точки зрения, а

не превращать ее только в придаток некоторых тем, вследствие чего усвоение этого важного понятия часто теряется в результате чисто формально-алгебраического подхода.

Автор находит, что исходя из современных требований жизни, пора вводить в курс алгебры средней школы элементарное изучение понятия предела функции непрерывного аргумента, ее непрерывности, и производной и в связи с этим делает попытку дать их методику. Как полагает автор, это яви г ся решающим этапом для устранения ныне существующего разрыва между школьной и высшей математикой-

Нам кажется, что приведенные в главах диссертации соображения и методические обработки отдельных важных тем в основном намечают пути к улучшению преподавания арифметики и алгебры с точки зрения функциональной зависимости и к преодолению важнейших недостатков на этом пути.

* * *

Диссертация изложена на 449 страницах машинописи (из которых 73 страницы приложений). В конце ее указывается список использованной автором литературы (83 отечественных и иностранных источников, не считая научно-методические журналы).

Основные положения диссертаций опубликованы в статьях и работах автора:

1. «Некоторые вопросы функциональной пропедевтики в курсе арифметики», журн. «Советский педагог» (на армянском языке), орган Министерства просвещения Арм. ССР. № 7, 1957 г. стр. 29—34.

2. «Понятие функции в курсе алгебры 8-го класса», журнал «Советский педагог» № 4, 1958 г. стр. 44—49.

3. «Некоторые вопросы развития понятия, функциональной зависимости в курсе алгебры IX класса», «Доклады АПН РСФСР», № 4, 1957 г. стр. 29—32.

4. «Изучение функций в курсе алгебры XI класса», журнал «Советский педагог» № 1, 1960 г. стр. 46—52.

5. «Приближенные вычисления в курсе арифметики и алгебры» журн. «Советский педагог» № 6. 1960 г. стр. 34—39.

6. «Функции и графики в курсе алгебры», Ученые записки Ереванского Армянского Гос. пед. института им. X. Абовяна (резюме на русском языке), № 1, 1960 г- стр. 223—242.

ВФ 02336 Заказ 1099 Тираж 200

Типография № 3 Главного управления издательств и полиграфической промышленности Министерства культуры Армянской ССР, Ереван, ул. Налбандяна 32