АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

Я. И. ГРУДЕНОВ

О ПСИХОЛОГИЧЕСКИХ ОСНОВАХ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ В VI—VII КЛАССАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — проф. В. М. Брадис

Калинин — 1965

В последние годы в связи с интенсивным развитием науки и техники во много раз возросла потребность в математических кадрах, и перед советской школой самой жизнью поставлена задача: резко улучшить преподавание математики. В этом направлении уже проделана значительная работа. В школах Ростовской, Липецкой и других областях возникают и осваиваются новые, более эффективные методы преподавания, совершенствуются формы организации уроков. Проведено большое число научных исследований, обобщающих педагогический опыт, учитывающих достижения психологии и других смежных наук.

Однако, несмотря на определенные успехи, достигнутые в методике преподавания математики, имеется целый ряд нерешенных проблем. Так, учителя часто встречаются на практике с таким досадным фактом: при изучении той или иной темы математики ученики как будто неплохо решают соответствующие задачи и примеры, а в дальнейшем, например, на итоговых контрольных работах совсем не могут решить или допускают грубые ошибки в аналогичных задачах и примерах. Мы предположили, что одна из основных причин этого нежелательного явления кроется в несовершенстве самой системы математических упражнений.

Другой до конца нерешенной проблемой является методика преподавания начального систематического курса геометрии. Известно, что до сих пор многие учащиеся VI—VII классов с большим трудом осваивают этот курс, нередко заучивают доказательства теорем, плохо решают задачи, особенно задачи на доказательство.

Основная задача проведенного исследования — наметить пути совершенствования общепринятой системы упражнений по математике, вскрыв недостатки ее, если такие имеются, и выдвинутые предложения осуществить и проверить при изучении некоторых разделов математики, в частности, при изучении курса геометрии в VI—VII классах.

Эта задача решается на основе:

1) личного педагогического опыта автора;

2) изучения и обобщения опыта передовых учителей;

3) изучения и анализа учебно-методической литературы и новейших достижений советской психологии;

4) проведения ряда экспериментов в индивидуальных занятиях с учащимися и в условиях класса;

5) составление проекта учебника-задачника геометрии для VI—VII классов, в котором осуществлены выдвигаемые в исследовании предложения;

6) опытной проверки в 1961/62 учебном году первого варианта этого учебника-задачника примерно в 200-х школах Калининской области и анализа полученных отзывов учителей;

7) опытной проверки второго варианта этого учебника в школах №№ 3, 12, 15, 17, 18 и др. г. Калинина в 1962/63 учебном году и в школах №№ 3, 4, 29, 42 и др. г. Курска, начиная с 1963 года.

Результаты проводимого исследования автор неоднократно докладывал по различным вопросам на общегородских конференциях учителей математики в г. Калинине (6 докладов) и в г. Курске (5 докладов), на секциях учителей математики некоторых школ, на организованном автором семинаре учителей математики г. Калинина, на кафедре элементарной математики и методики математики Калининского и на кафедре математики Курского пединститутов, на курсах усовершенствования учителей в г. Калинине. Все замечания и рекомендации учителей математики, преподавателей вузов, высказанные в ходе обсуждения докладов, учитывались автором в последующей работе.

Основным методом проведенного исследования является основанный на закономерностях психологии теоретический анализ системы упражнений в стабильных и других задачниках. Такой анализ, разультаты которого подтверждаются наблюдениями и некоторыми экспериментальными данными, позволяет предвидеть, к каким типичным ошибкам учащихся может приводить та или иная совокупность упражнений и в каком направлении целесообразно изменить систему упражнений, чтобы уменьшить или совсем устранить возможность появления подобных ошибок.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Каждая глава диссертации разбивается на небольшие по объему параграфы.

Глава I. «Основные идеи работ психологов, используемые в настоящей диссертации»

В первой главе рассматриваются некоторые результаты исследований ряда советских психологов, главным образом, исследований П. А. Шеварева и его учеников. Эти исследования несколько развиваются в диссертации применительно к методике преподавания математики.

В последние годы советские психологи обнаружили особый, ранее неизвестный тип ассоциаций — обобщенные ассоциации. Проявление каждой обобщенной ассоциации эквивалентно умозаключению или даже целой цепи умозаключений. Оказалось, что умственные процессы при решении математических примеров и задач (или значительная часть отдельных звеньев этих процессов) сводится в основном к актуализации целой цепи ассоциаций и притом преимущественно обобщенных ассоциаций. Найдены также некоторые закономерности формирования и актуализации обобщенных ассоциаций. Так, в монографии П. А. Шеварева формулируется следующая закономерность 1 (редакция ее нами несколько изменена):

Если в процессе обучения ученики решают примеры или задачи одинакового типа и если некоторая особенность этих примеров или задач, во-первых, неизменно повторяется и, во-вторых, ее осознание не является в данной ситуации необходимым условием получения верного ответа, то степень осознания такой особенности в большей или меньшей мере снижается.

Под влиянием закономерности 1 у учащихся могут возникнуть ошибочные обобщенные ассоциации, которые приводят их в одних случаях к верному результату, в других случаях— к ошибочному. Примеры даются в главе II.

В монографии П. А. Шеварева дается вывод, смысл которого кратко можно сформулировать следующим образом. В процессе решения примеров и задач одинакового типа у учащихся очень быстро образаются обобщенные ассоциации. Поэтому второй, а тем более третий пример (задачу) данного типа ученики решают обычно путем актуализации только что возникших ассоциаций. Этот вывод подтверждается последующими экспериментами психологов, многочисленными наблюдениями автора и других учителей, с которыми приходилось беседовать по данному вопросу. Поэтому в диссертации указывается, что этот вывод можно считать закономерностью II или по крайней мере весьма вероятной гипотезой. (Во второй главе показывается, что закономерность II

является частным случаем общей психологической закономерности установления в сознании человека связей между повторяющимися процессами).

Глава II. «О психологических основах построения системы упражнений»

В этой главе дается основанный на закономерностях психологии критический анализ общепринятой в задачниках по математике системы упражнений и выдвигаются рекомендации по ее усовершенствованию.

Обычно в задачниках по математике в каждом разделе дается сначала большое число упражнений одинакового типа (такую систему мы будем называть однотипной) и лишь в конце раздела или в специальных главах для повторения различные по типу упражнения чередуются между собой и с комбинированными задачами и примерами. В диссертации показывается, что такая система характерна почти для всех задачников отечественных и иностранных.

Однотипная система упражнений, как показывает многовековая практика преподавания, с одной стороны, необходима для приобретения учащимися прочных навыков. С другой стороны, она приводит к механическому, несознательному решению учащимися задач и примеров. Этот нежелательный факт неоднократно отмечался в методической литературе, но с ним как-то мирились, считая его неизбежным (см., например, методику под ред. С. Е. Ляпина) и оговариваясь, что в системе упражнений каждое последующее упражнение должно не просто повторять предыдущее, а несколько отличаться от него.

Однако в задачниках последняя оговорка выполняется далеко не всегда, а на практике многие учителя предлагают ученикам упражнения в той же последовательности, как они располагаются в стабильных задачниках. Это подтверждается рассмотрением различных планов уроков и заданий для учащихся заочных средних школ, изданных Учпедгизом, высказываниями некоторых методистов и др. фактами, документально подтверждаемыми в диссертации.

В то же время многие опытные учителя в своей практической работе отступают от однотипной системы упражнений, по это в методической литературе почти не отражено.

Поскольку стабильные и другие задачники в основном определяют применяемую учителями на практике систему упражнений, то основанный на закономерностях психологии теоретический анализ системы упражнений в задачниках по-

зволяет предвидеть типичные ошибки учащихся, недочеты и пробелы в их знаниях. Приведем примеры.

В стабильном задачнике по арифметике С. А. Пономарева, Н. И. Сырнева и в других задачниках в разделе умножение обыкновенных дробей имеется большое число однотипных примеров. Все эти примеры обладают постоянной особенностью— знаком действия. (Выполняется первое условие закономерности I). Для верного решения любого из этих примеров (кроме первого) ученику достаточно, не обращая внимания на знак действия, «не замечая его», руководствоваться лишь распространенным среди учеников правилом: «делай так, как только что делал». Следовательно, осознание данной повторяющейся особенности не является необходимым условием получения верного ответа при решении этих примеров. (Выполняется второе условие закономерности I). Значит, осознание учениками этой особенности должно в большей или меньшей мере снизиться. Отсюда в дальнейшем возможны ошибки типа:

Экспериментальные данные подтверждают этот теоретический вывод. При изучении данной темы в нескольких классах разных школ (учителя Т. В. Малинина, А. П. Зенина, В. А. Мурзина, В. Ф. Волкова) ученики решили сначала, как и обычно, только примеры на умножение дробей и разные задачи. Перед тем, как примеры на умножение дробей стали решать вперемежку с примерами на сложение и вычитание, в этих классах провели кратковременную контрольную работу. Содержание одного из вариантов контрольной работы следующее:

Как и следовало ожидать, около 25% учащихся, не осознавая знаков действий, во всех примерах выполняли только умножение.

В стабильном и в других задачниках имеется серия задач, решения которых основываются на теореме: «Если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то он является параллелограммом». В этих задачах неизменно повторяется следующая особенность: имеется в виду всегда одна и только одна пара противоположных сто-

рон четырехугольника. (Выполняется, следовательно, первое условие закономерности I). Осознание этой особенности не влияет на результат решения таких задач, ибо ученик может верно решить любую из них даже в том случае, если будет полагать, что, например, четырехугольник АВСО, в котором две противоположные стороны AB и СО параллельны, а две другие ВС и АО равны между собой, является параллелограммом. Выполняется и второе условие закономерности I. Следовательно, степень осознания учащимися указанной особенности в большей или меньшей мере снижается; у учеников возникает ошибочная обобщенная ассоциация Pi—Р2: Pi—осознание того, что в данном четырехугольнике две противоположные стороны параллельны и что какие-то две стороны равны между собой; Р2 — мысль: «данный четырехугольник — параллелограмм».

Ясно, что ошибочность ассоциации Pi—Р2 при решении указанной серии задач не обнаруживается, а выявляется лишь в дальнейшем при решении более сложных задач или, например, такой задачи: «№ 1. В четырехугольнике АВСО AB il СО и АО = ВС. Вычислить СО, если AB = 5 см».

Экспериментальная проверка подтверждает приведенные теоретические рассуждения. В нескольких VII и VIII классах разных школ почти все ученики решили, что в задаче № 1 с недостаточным числом данных СО = 5 см.

Ошибочная ассоциация Pi—Р2 у одних учеников в дальнейшем обнаруживается и исправляется, у других сохраняется долгие годы. Так, некоторые студенты физико-математического факультета пединститута утверждали, что в задаче № 1 АВСО — параллелограмм, так как две противоположные стороны этого четырехугольника параллельны, а две другие равны между собой. (Формулировку теоремы они, конечно, знали).

Исходя из подобных примеров и общего вывода на основе закономерностей I и II, в диссертации выдвигается гипотеза, что однотипная система упражнений создает часто лишь видимость успеха. При этом отрицательное влияние однотипной системы упражнений выявляется в двух направлениях.

Во-первых, при решении задач и примеров определенного типа у учащихся возникают обычно ошибочные ассоциации, так как почти всегда однотипные упражнения обладают постоянной особенностью, осознание которой не обязательно для получения верного ответа. Ошибочность этих ассоциаций обнаруживается лишь в дальнейшем, когда ученики, решая примеры и задачи других типов, допускают ошибки. Ошибки

обнаруживаются и анализируются, что ведет к постепенному превращению ошибочных ассоциаций в верные. Значит, процесс обучения во многих случаях сводится к переучиванию.

Во-вторых, ученики постепенно приучаются к тому, что заголовок раздела задачника обычно полностью определяет способ решения имеющихся в нем задач и примеров. Аналогично, тема урока определяет способ решения всех или почти всех задач и примеров, решаемых на этом уроке. А это приводит к совершенно нежелательным явлениям.

Если в классе изучается, например, деление одночленов, то ученик еще до того, как увидит условие очередного примера, допустим, а7 : а5, знает, что надо будет вычитать показатели степеней. Более того, он уверен, что на этом уроке надо будет вычитать показатели степеней при решении всех примеров. Выполняя домашнее задание, он, даже не открывая задачника, знает, что решать все примеры надо будет путем вычитания показателей степеней и деления коэффициентов. И эта уверенность ученика подкрепляется тем, что в классе действительно решают, по крайней мере на первых порах, примеры только на деление одночленов, а соответствующий раздел задачника называется «деление одночленов», и в нем имеются примеры, требующие для правильного решения только деления коэффициентов, вычитания показателей степеней и никаких других действий.

Если старшекласснику или студенту предложить не очень легкую для него задачу, например, на построение из стабильного задачника, то обычно после первой неудачной попытки решить задачу он начинает перелистывать страницы задачника. Почему он это делает? Да потому, что, узнав название раздела задачника, он сразу вспоминает, каким способом можно ее решить. Это неплохо, если такое перелистывание ускоряет процесс решения задачи, но очень плохо, если без этого ученик не может решить задачу. К сожалению, последнее наблюдается сплошь и рядом.

Обучение по однотипной системе упражнений приводит к тому, что для решения какой-нибудь задачи (примера) ученикам в большинстве случаев нет никакой необходимости догадываться о способе ее решения, о том, какие именно теоремы следует применять. Об этом они обычно знают еще до полного осознания условия задачи, иногда даже до чтения ее условия. Ученикам приходится тренироваться, главным образом, только в применении тех или иных теорем, в проведении различных преобразований, т. е. в выполнении менее трудной части процесса решения задачи (примера). Естественно, что при таком обучении математике слабо развивается

мышление многих учащихся, не укрепляется, а скорее ослабляется их внимание и воля.

Итак, некоторые закономерности психологии при определенных условиях могут приводить к нежелательным результатам, а существующая однотипная система упражнений как раз и создает такие условия.

Частично нейтрализовать отрицательное влияние этих закономерностей можно путем широкого использования принципа перемежающегося противопоставления. Сущность его заключается в том, что сходные и взаимно обратные понятия изучаются не последовательно, как это принято сейчас, а одновременно путем сравнения между собой, установления их сходства и различия, и соответствующие задачи все время решаются вперемежку. Приведем два примера.

Каждый учитель, работавший в VI классах, знаком со следующими типичными ошбками учащихся: а* а - а = Ъа, b + b + b + b = b\ которые ученики допускают нередко и в старших классах.

Какова причина таких ошибок? Сначала учителя по традиции и в соответствии с системой упражнений, данной в задачниках, предлагают ученикам однотипные примеры вида (1):

(1)

которые имеют постоянную особенность (одинаковые буквы суммируются). Осознание данной особенности не является необходимым условием для верного решения этих примеров. Действительно, ученику достаточно подсчитать число одинаковых букв и записать соответствующий коэффициент. Выполняются оба условия закономерности I, и, следовательно, степень осознания учеником этой особенности снижается.

Тоже самое имеет место и при решении в дальнейшем однотипных примеров вида (2):

(2)

Когда же примеры вида (1) и (2) начинают решать вперемежку, то ученики, не отличая в них знак умножения от знаков сложения или вычитания, не осознавая их, допускают вышеуказанные ошибки.

Наши наблюдения показали, что использование принципа перемежающегося противопоставления значительно уменьшает число таких ошибок.

Каждому учителю математики, работавшему в V классах, известны большие затруднения учащихся при решении задач на нахождение дроби от данного числа и числа по данной величине его дроби. Эти два вида задач ученики обычно смешивают. Во избежание такой путаницы одни методисты рекомендуют раздельное изучение задач этих видов, другие, наоборот, считают целесообразным совместное изучение задач этих видов. На основе рассмотрения большого числа литературных источников в диссертации показывается, что подавляющее большинство учителей по традиции применяют раздельное изучение этих задач.

Психологический анализ процессов мышления учащихся показывает, что раздельное изучение задач этих видов приводит к возникновению у учащихся прочной ошибочной ассоциации, являющейся основной причиной последующей путаницы, а совместное изучение устраняет возможность возникновения ошибочной ассоциации. Опыт работы нескольких учителей г. Калинина подтвердил, что совместное изучение задач этих видов, действительно, уменьшает их смешение учащимися. О подобном эксперименте писал также П. М. Эрдниев.

К выводу о целесообразности использования принципа перемежающегося противопоставления пришли целый ряд психологов и методистов, например, М. Н. Шардаков, П. М. Эрдниев и др. В диссертации дается психологическое обоснование этому выводу и показывается, что он является прямым следствием психологических закономерностей. Вывод подтвержден опытом работы нескольких учителей г. Калинина. О соответствующих экспериментах писали и другие авторы.

Во многих случаях уменьшить отрицательное влияние психологических закономерностей I и II можно при широком использовании задач, не имеющих решений, т. е. задач с неполными или противоречивыми данными, и различных контрпримеров. Решение этих задач состоит в том, что учащиеся самостоятельно обнаруживают неполноту или противоречивость условия и указывают, как следует изменить условие задачи, чтобы она имела решение. Подобные задачи рекомендуют использовать некоторые методисты, но в подавляющем большинстве задачников таких задач нет совсем. В диссертации показывается, что вывод о целесообразности широкого использования задач, не имеющих решений, и различных контрпримеров, также является прямым следствием психологических закономерностей. Приведем два примера.

В разделе разложение многочленов на множители по формуле a2±2ab + b2 = (a±b)2 стабильного задачника П. А. Ларичева (№№ 911—915, 928—932) даны примеры такого типа:

Эти примеры вида a2 + Kab + b2 имеют одну и ту же постоянную особенность, а именно: в каждом из них К = 2. Осознание этой особенности не является необходимым условием получения верного ответа при решении этих примеров. Действительно, ученику достаточно обратить внимание лишь на крайние члены трехчлена и на знак, стоящий перед К, чтобы верно решить любой пример. Следовательно, в соответствии с закономерностью I степень осознания учениками данной особенности снижается. Несмотря на это, ученики могут верно решить любой из указанных примеров или им подобный. Следовательно, создается лишь видимость успеха, а впоследствии при изучении других разделов алгебры, например сокращении алгебраических дробей, ученики будут допускать и на практике действительно допускают такие грубые ошибки: 4а2—6а& + 9Ь2= (2а—ЗЬ)2.

Для нейтрализации отрицательного влияния закономерности I в этом случае достаточно в систему упражнений ввести некоторое количество контрпримеров вида: а2±К#6 + 62, где К ¥=2, которые нельзя разложить на множители.

Учительница 3. Н. Лебедева в трех седьмых классах провела следующий эксперимент. При изучении данной темы в двух классах ученики решили почти все примеры из задачника П. А. Ларичева и им подобные. Учащиеся третьего из этих классов такие примеры решали в чередовании с указанными контрпримерами. Все три класса по своему составу были примерно одинаковы. В итоговой контрольной работе наряду с обычными примерами имелись контрпримеры. Около 80% учащихся первых двух классов на контрольной работе допустили ошибки вида: 9п2—5лг-ь 1 = (Злг—I)2. В третьем, контрольном классе подобные типичные ошибки допустили лишь несколько самых слабых учеников (около 9%).

Этот эксперимент, полностью совпадающий с теоретическими выводами, был повторен и в других школах.

Психологический анализ указанной совокупности примеров из стабильного задачника позволяет предвидеть еще одну ошибку учащихся вида: 25а2+10ах—*2=(5а—х)2. Наблюдения показывают, что такие ошибки действительно имеют место.

Во всех задачах, решаемых обычно при изучении теоремы о свойстве биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника, имеется постоянная особенность: речь идет всегда только о биссектрисе угла при вершине равнобедренного треугольника. Ученик может верно решить любую из этих задач, если даже не будет осознавать данную особенность. Значит, согласно закономерности I многие ученики перестают осознавать ее при решении задач. Это действительно подтвердилось наблюдениями в нескольких классах, в которых предлагалась следующая задача с недостающими данными.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6 см. На какие части делит боковую сторону биссектриса угла при основании?

Учащиеся этих классов дали ошибочный ответ: «На отрезки по 3 см». При этом они все ссылались на то, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно его медианой.

Опыт работы группы учителей в городах Калинине и Курске показал, что задачи, не имеющие решений, устраняя отрицательное влияние закономерностей I и II, приводят и к другим очень важным положительным результатам. Решение этих задач обычно вызывает в классе оживление, смех. Ученики становятся более осмотрительными, внимательными, начинают критически подходить к условию каждой задачи, быстрее замечают отсутствие необходимых данных для строгого доказательства и т. д. Причем в старших классах эти положительные явления наступают во много раз быстрее, чем в V—VII классах.

Чтобы систематически и, следовательно, в более полной мере уменьшить отрицательное влияние психологических закономерностей в диссертации взамен общепринятой системе однотипных упражнений выдвигается принцип непрерывного повторения. Сущность его заключается в том, что задачи и примеры новой темы с первого же момента ее изучения чередуются с упражнениями из предшествующих разделов. При этом удается одновременно осуществить систематическое, непрерывное повторение уже изученного материала, связанного и не связанного с новой темой. Отсюда и название: принцип непрерывного повторения.

Этот вывод также является прямым следствием психологических закономерностей и подтверждается соответствующими наблюдениями и экспериментами, выполненными под руководством автора большой группой учителей и студентов.

В задачнике, составленном по принципу непрерывного по вторения, задачи и примеры одинакового типа располагаются небольшими группами и рассредоточиваются на несколько параграфов. В каждом разделе задачника имеются упражнения из предшествующих разделов, связанные и не связанные с материалом данного параграфа. Следовательно, заголовок раздела не определяет способ решения задач (примеров), не будет являться, как это часто наблюдается в настоящее время, чуть ли не единственной причиной догадки ученика о способе решения задачи (примера).

Ученики не смогут исходить только из того, что очередная задача (пример) решается аналогично предыдущим и, следовательно, не смогут получать верный ответ без полного осознания условия задачи.

Какие соображения целесообразно учитывать в первую очередь при введении упражнений из пройденных разделов?

Во-первых, желательно, чтобы некоторые их особенности были сходны с особенностями упражнений новой темы, ибо ученики должны научиться не только выполнять упражнения, но и быстро «узнавать» их, отличия от сходных. С этой целью используется также, где это возможно, принцип перемежающегося противопоставления и задачи, не имеющие решений, контрпримеры.

Во-вторых, обязательно включаются такие задачи и примеры из предшествующих разделов, способы решения которых учащиеся окончательно еще не закрепили.

В-третьих, целесообразно включать упражнения подготовительного характера, в которых рассматриваются отдельные моменты последующих задач и примеров либо теоретических вопросов, как это делают опытные учителя. Отсюда ясно, что использование принципа непрерывного повторения дает возможность полнее и легче осуществлять известное дидактическое требование расположения задач по степени возрастающей трудности.

В тех случаях, когда задачи и примеры новой темы насыщены разнообразным материалом из предшествующих разделов, принцип непрерывного повторения осуществляется как бы сам собой. Число задач и примеров, не связанных с новой темой, приходится значительно сократить. Наоборот, количество упражнений из предшествующих разделов целесообразно увеличить в тех случаях, когда задачи и примеры носят однообразный, тренировочный характер. Однообразные упражнения сильно утомляют учащихся, и следовательно, снижают их внимание и интерес к математике. Принцип непрерывного повторения дает возможность на несколько уро-

ков рассредоточить однообразные упражнения, предлагая их небольшими группами в чередовании с другими видами упражнений.

Целесообразность использования принципа непрерывного повторения подтверждается следующими данными.

В 1957—1960 гг. в 49-й школе г. Горловки автор часто проводил устные упражнения по алгебре с помощью стабильного задачника. Перед каждым учеником лежал раскрытый на определенной странице задачник. Учитель называл номер очередного примера. После небольшой паузы вызывался ученик, который, не вставая с места, называл ответ и давал необходимые пояснения. Аналогично решались другие примеры в той же последовательности, как они расположены в задачнике.

Этот прием позволял проводить устные упражнения в очень быстром темпе. Причем все ученики вплоть до самых слабых свободно решали устно примеры данного типа, а в последующих контрольных работах многие не могли решить подобные примеры. Тем самым работа, внешне эффективная и нравившаяся и ученикам, и учителю, фактически оказывалась бесполезной.

Собственно говоря, подобные недоразумения бывают у каждого учителя, когда после внешне благополучного письменного решения однотипных примеров, учащиеся плохо выполняют итоговую контрольную работу. Такие факты иногда объясняют тем, что за прошедшее до контрольной работы время ученики теряют некоторые навыки. Но при описанной форме работы получался слишком разительный контраст между успешными устными ответами многих учащихся и плохими результатами на контрольной работе. Этот контраст нельзя было объяснить ссылкой на время, забывание и т. д.

После целого ряда неудачных попыток учитель интуитивно пришел к выводу о необходимости чередовать все время примеры разных типов. Это стало давать более положительные результаты и привело к ликвидации указанного контраста.

Студенты Л. М. Шелковникова и Н. Е. Концедалова в 1962 г. проводили методико-психологический эксперимент с двумя шестиклассниками. В течение нескольких уроков два средних ученика забирались с уроков и под наблюдением студентов в индивидуальном порядке изучали ту самую тему, что и их одноклассники. Обоим шестиклассникам объяснили новую тему «Умножение одночленов». Затем один ученик, оказавшийся более сильным, решил самостоятельно и почти без ошибок подряд все примеры по этой теме из стабильного

задачника. Второй ученик решал примеры в такой последовательности:

Из выписанных ответов второго ученика (см. третий и восьмой примеры) видно, что он механически выполнял только умножение во всех примерах, не обращая внимания на их условия. Ученик очень смущался, когда студентка указывала ему ошибки, тут же самостоятельно и быстро исправлял их и постепенно становился более внимательным.

Через несколько уроков оба ученика выполняли одну и ту же контрольную работу, в которой примеры на умножение одночленов чередовались с примерами на сложение, вычитание и т. д. Теперь уже первый ученик допустил в контрольной работе такие ошибки: 4а2й2—(+ А/2 а2Ь2) =2а4&4.

Второй ученик, решивший на тренировочных занятиях гораздо меньшее количество примеров, чем первый, ибо часто ошибался и был вынужден исправлять свои ошибки, стал более осмотрительным и такие ошибки в контрольной работе уже не допускал.

Этот эксперимент при изучении иных разделов математики был повторен другими студентами, а также некоторыми учителями в условиях класса.

Вышеуказанный проект учебника-задачника по геометрии для VI—VII классов составлен автором в соответствии с принципом непрерывного повторения. Все учителя, работавшие по этому учебнику, на основании своего опыта единогласно отмечают, что решение различных задач связанных и не связанных с изучаемой темой, приводит к положительным результатам.

Принцип непрерывного повторения ранее не выдвигался в методической литературе. Некоторые методисты высказывали лишь отдельные элементы этого принципа, не развивая свои мысли до конца. В то же время опытные учителя частично используют в своей работе принцип непрерывного повторения. Это выражается, например, в том, что наряду с решением задач по новой теме учителя предлагают ученикам вопросы, задают на дом и решают иногда на уроках задачи, касающиеся пройденного материала. Остальные учителя, как уже указано, руководствуются, в основном, однотипной системой упражнений, данной в задачниках.

Глава III. «О психологических основах методики преподавания геометрии в VI—VII классах»

В этой главе, прежде всего, критически анализируется традиционная методика преподавания начального систематического курса геометрии, которая сводится, главным образом, к изучению теорем в ущерб решению задач. В диссертации приводятся факты, когда даже в методической литературе пропагандируются, как образцы, такие уроки, во время которых учащиеся по 4—5 раз повторяют докательство одной и той же теоремы и не решают ни одной задачи.

В противоположность этой методике в диссертации выдвигается такая методика обучения, основная цель которой сводится не к изучению доказательств отдельных теорем, а к обучению учащихся решению задач. В ходе самостоятельного решения различных задач и в первую очередь задач на доказательство учащиеся в совершенстве овладевают и теоретическими знаниями. Более того, многие теоремы они «открывают» и доказывают самостоятельно, как задачи на доказательство. В учебнике, составленном в соответствии с этой идеей, максимальное число теоретических вопросов должно быть переведено на язык многочисленных задач, в ходе решения которых учащиеся неоднократно и с разных точек зрения могут возвращаться к важным теоретическим положениям.

Опыт работы нескольких учителей показал, что если на каждом уроке значительно сократить время, отводимое на изучение теорем, и за счет освободившегося учебного времени резко увеличить число решаемых задач, то уровень теоретической подготовки учащихся не снижается, а повышается, конечно, при условии, что учитель не снижает требований к знанию доказательств теорем, к точности их формулировки и т. д.

В § 4 третьей главы анализируются на основе теории обобщенных ассоциаций причины плохого усвоения учащимися геометрических понятий, причины их многочисленных ошибок и заблуждений. Исходя из опыта работы передовых учителей и психологического анализа процессов мышления учащихся при обучении, в диссертации выдвигается более совершенный метод усвоения геометрических понятий. Сущность его заключается в том, что запоминание учениками определения геометрического понятия происходит в процессе выполнения специальных упражнений, в которых чертежи, соответствующие данному определению, чередуются с контр-

примерами. Рассматриваются, конечно, и другие виды упражнений.

Человек, умеющий решать геометрические задачи, обладает целой системой ассоциаций, которые соответствуют отдельным этапам решения задачи (выполнению чертежа, краткой записи данных и т. д.). Эти ассоциации позволяют ему без каких-либо затруднений выполнять все этапы решения, обращая внимание лишь на самые основные. Ученик, не обладающий подобными ассоциациями, в ходе самостоятельного решения задачи должен обращать внимание на множество второстепенных деталей, которые затемняют ему конечную цель решения и не дают возможности довести его до конца. Ясно, что для формирования у учащихся таких ассоциаций лучше всего обучать выполнению каждого этапа решения задачи отдельно. Отсюда делается вывод, что на первой стадии обучения целесообразно в гораздо большей мере, чем это делают сейчас, использовать задачи по готовым чертежам и другие специальные упражнения, приучающие учеников самостоятельно выполнять отдельные этапы решения текстовых задач. В дальнейшем можно переходить к решению текстовых задач, разбивая вначале решение каждой задачи на несколько этапов и рассматривая эти этапы, как отдельные задания. (Организационные вопросы такой методики рассматриваются в четвертой главе).

Как уже отмечено, на основе выдвигаемых общих принципов построения системы упражнений и частных вопросов методики геометрии, рассмотренных в третьей главе, автором диссертации составлен проект учебника-задачника геометрии для VI—VII классов. (Некоторые особенности этого учебника рассматриваются в конце третьей главы. Там же приведены отдельные параграфы из учебника). Работа восьми учителей г. Калинина в девятнадцати VI и VII классах в течение всего 1962/63 учебного года по рукописи этого учебника экспериментально подтвердила теоретические вопросы, рассмотренные в диссертации, в том числе и общие принципы построения системы упражнений. А диссертация в свою очередь, является как бы теоретическим обоснованием этого проекта учебника и всей проведенной учителями практической работы. С 1963 года по этому учебнику работают некоторые учителя г. Курска, размножая рукопись учебника на печатной машинке.

Глава IV. «Вопросы организации уроков»

Большое внимание в этой главе уделяется устному решению геометрических задач. (Этот вопрос недостаточно раз-

работай в методической литературе). Отмечаются типичные методические ошибки учителей при проведении устных упражнений. Приведем один пример.

Предложив классу очередную задачу, учителя часто торопятся вызвать ученика, как только поднимется несколько рук. Тем самым остальные ученики лишаются возможности обдумать решение задачи. Более опытные учителя основным моментом устного решения задачи считают паузу. Во время паузы каждый ученик, ожидая вызова, не может думать ни о чем другом, кроме как о поставленной задаче. В классе наступает при этом напряженная тишина. Ответ вызванного ученика после такой паузы все слушают с полным пониманием и удовлетворением.

В каждом классе имеются ученики с различными способностями и различным уровнем математического развития. Следовательно, чтобы обеспечить интенсивную работу каждого ученика в течение всего урока и при выполнении домашних заданий, необходимо давать учащимся дифференцированные задания. Исходя из этого соображения в диссертации рассматривается соответствующая методика устного решения задач, проведения самостоятельных и контрольных работ, проверки домашних заданий и т. д.

Приведем один пример. При проведении в 1962/63 учебном году эксперимента в одиннадцати VII классах г. Калинина учителя обратили внимание на такой факт, которому раньше никто из нас не придавал особого значения. В начале учебного года во всех классах решали задачи на доказательство и на вычисление, главным образом, по готовым чертежам. Ученики стали более или менее свободно решать такие задачи и сравнительно неплохо усваивали изучаемый материал. Поэтому уроки у большинства учителей проходили организованно, четко и эффективно. Но когда в этих классах начали переходить к преимущественному решению текстовых задач, картина резко изменилась. Чертежи к текстовым задачам и запись условий в краткой форме ученики выполняли с трудом, очень медленно и только при постоянной помощи учителя. Темп и качество уроков из-за этого резко снизились. Тогда учителя стали разделять решение каждой задачи на два отдельных задания:

а) выполнить чертеж к задаче и записать в краткой математической форме ее условие и заключение (или вопрос задачи);

б) решить полученную таким образом задачу по готовому чертежу.

Первое из этих заданий один из учеников выполнял у доски, остальные в своих тетрадях. Затем этот ученик садился на место и класс решал полученную таким образом задачу по готовому чертежу. Такая методика позволила сразу выявить, что на первых порах и притом довольно продолжительное время в каждом из этих одиннадцати классов не более третьей части учащихся могли самостоятельно выполнить первое задание.

Разумеется, не может быть и речи о самостоятельном решении задачи, если ученик не может начертить соответствующий чертеж и хорошо уяснить себе условие задачи, записав его в краткой математической форме. В то же время, как показали последующие наблюдения уроков в других школах и специальные эксперименты, многие учителя недооценивают этих моментов решения. Значит, включая текстовую задачу, например, в домашнее задание, эти учителя дают заведомо непосильное для многих учащихся задание. Отсюда списывание и пр. нежелательные явления.

Расчленение решения каждой задачи на два отдельных задания дает возможность более слабым ученикам постепенно переходить к решению текстовых задач, научившись сначала решать задачи по готовым чертежам. Учитель постоянно знает, кто умеет выполнять первое из указанных заданий, а кто нет. А это в свою очередь позволяет значительно упростить устную проверку домашних заданий.

Ученики перед уроком подготавливают на классной доске чертежи к теоремам и задачам, заданным на дом, и записывают в краткой форме данные. Учителю уже нет необходимости заранее вызывать одного-двух учеников для подготовки к ответу. Он предлагает пояснить решение одной из задач или доказать теорему. Дается краткая пауза. К ответу теперь готовится не один заранее вызванный ученик, а весь класс. Проверка домашнего задания проходит гораздо быстрее и при более активном участии всего класса.

Глава V. «Эксперимент»

Описание и результаты наблюдений и экспериментов распределены по всем главам диссертации и помещены непосредственно в тех местах, где это было необходимо. В пятой главе приводится лишь перечень выполненных работ и описываются только два эксперимента.

Любой методист, проводящий экспериментальную проверку предлагаемого им самим метода, заинтересован в успехе этого эксперимента и, следовательно, склонен к преувеличе-

нию его положительных результатов, к тому чтобы выдать желаемое за действительное. Поэтому лучше, если эксперимент проводят другие лица. Автором диссертации проделана большая экспериментальная работа, которую под его руководством выполняли в большинстве случаев другие лица.

Первый вариант указанного пробного учебника для VI класса был напечатан в 1961 г. Калининским институтом усовершенствования учителей на ротаторе и разослан для экспериментальной проверки учителям области. В эксперименте приняло участие около 200 учителей. Получено около 70 отзывов. В этом пособии автор еще не решился использовать принцип непрерывного повторения. Причины? Его, например, труднее осуществить в курсе геометрии, чем алгебры или арифметики, так как на уроках геометрии решают значительно меньше задач. Однако, несколько учителей, применяя по рекомендации автора принцип непрерывного повторения на уроках алгебры, стали использовать его и на уроках геометрии, и решили, что это приводит к лучшим результатам. Далее, в некоторых отзывах учителя отмечали, что на уроках они успевают решать очень мало задач, что было учтено в последующих экспериментах.

К 1962/1963 учебному году был подготовлен второй вариант пробного учебника для VI—VII классов, составленный уже по принципу непрерывного повторения. По рукописи этого учебника работали в течение всего учебного года учителя г. Калинина и района: Н. В. Генералова (с ш № 3), В. Л. Болобонов (с ш № 12), 3. Н. Лебедева и Н. А. Петрова (с ш № 15), Е. И. Ковалева (с ш № 17), Н. П. Коробова (с ш № 18), Т. 3. Груденова (Горютинская школа), В. И. Панова (Новооршанская школа).

За счет широкого использования устных упражнений и усовершенствования некоторых методов на уроках большинства из этих учителей учащиеся успевали решать большое число задач. Все учителя отмечали положительное влияние на процесс обучения задач, не имеющих решений, принципа непрерывного повторения и т. д. Эксперимент показал также, что для работы учителя удобнее, если теоретический материал каждого параграфа не концентрируется в начале параграфа, а разбивается на небольшие части, чередующиеся с упражнениями. Эта идея была осуществлена в третьем варианте пробного учебника, подготовленного с учетом накопленного опыта к началу 1963/64 года. По этому учебнику работают учителя г. Курска: Н. Ф. Кобзева (с ш № 29), Б. Д. Басе (с ш № 4), Р. В. Гориводская (с ш № 42), Э. В. Сычева (с ш № 3) и др.

ВЫВОДЫ

1. В исследованиях по методике математики до последнего времени фактически не использовались закономерности умственной деятельности учащихся в процессе изучения ими математики. В настоящей работе делается попытка применить эти закономерности к разрешению некоторых вопросов методики математики.

2. В последние годы советские психологи обнаружили особый, новый тип ассоциаций — обобщенные ассоциации. Проявление каждой такой ассоциации эквивалентно умозаключению или даже целой цепи умозаключений. Найдены также некоторые закономерности формирования и проявления обобщенных ассоциаций. Эти закономерности могут быть положены в основу разработки некоторых принципов построения системы упражнений по математике.

3. При определенных условиях указанные закономерности могут приводить к нежелательным последствиям, в частности, к образованию ошибочных ассоциаций. Однотипная система упражнений в задачниках по математике как раз и создает во многих случаях такие условия.

Психологический анализ позволяет предвидеть, к каким типичным ошибкам учащихся может приводить та или иная совокупность упражнений в задачнике, и какие меры могут уменьшить или совсем устранить возможность появления подобных ошибок. Такой психологический анализ в работах по методике математики ранее не использовался.

4. Нейтрализовать отрицательное влияние этих закономерностей можно путем замены общепринятой в задачниках однотипной системы упражнений системой, построенной по принципу непрерывного повторения.

В задачнике, составленном по этому принципу, задачи и примеры новой темы с первого же момента ее изучения чередуются с упражнениями из предшествующих разделов. Упражнения одинакового типа располагаются небольшими группами и рассредоточиваются на несколько параграфов. В каждом разделе задачника имеются упражнения из предшествующих разделов, связанные и не связанные с материалом данного параграфа.

Принцип непрерывного повторения ранее не выдвигался в методической литературе, но на практике частично применяется опытными учителями.

5. Нейтрализовать отрицательное влияние указанных закономерностей можно также при использовании, где это возможно, принципа перемежающегося противопоставления,

когда сходные темы изучаются одновременно и соответствующие задачи и примеры все время чередуются между собой. С этой же целью желательно широко использовать задачи, не имеющие решений, т. е. задачи с неполными или противоречивыми данными и различные контрпримеры.

Вывод о целесообразности использования принципа перемежающегося противопоставления и задач, не имеющих решений, а также различных контрпримеров уже высказывался некоторыми психологами и методистами. В настоящей диссертации дается психологическое обоснование этому выводу.

6. Общие идеи относительно построения системы упражнений, а также рассмотренные в диссертации вопросы методики преподавания геометрии осуществлены автором в проекте учебника-задачника по геометрии для VI—VII классов. Теоретический материал в нем разбивается на небольшие части, чередующиеся с задачами на закрепление изученного и упражнениями подготовительного характера, позволяющие ученикам самостоятельно формулировать и доказывать многие теоремы.

Этот учебник на протяжении нескольких лет проверялся в повседневной практической работе большой группы учителей математики в городах Калинине и Курске и получил их положительную оценку.

Все выводы в диссертации подтверждаются большим числом различных экспериментов, наблюдениями, выполненными многими учителями, лично автором и студентами.

Содержание диссертации отражено в следующих работах автора.

1. Метод решения стереометрических задач на вычисление по моделям, «Математика в школе», № 2, 1958.

2. Устное решение систем уравнений высших степеней, сборник «Из опыта преподавания алгебры», под ред. П. В. Стратилатова, Учпедгиз, 1958.

3. О систематическом использовании устных упражнений при изучении математики в средней школе, «Математика в школе», № 2, 1959.

4. Zur systematischen Anwendung mündlicher Übungen im Mathematikunterricht, „Mathematik und Phusik in der Schule", 1960, N 6.

5. Одна из основных причин слабой успеваемости учащихся VI класса по геометрии, «Доклады АПН РСФСР», № 5, 1962.

6. Устные упражнения при изучении и повторении дробей, «Доклады АПН РСФСР» № 6, 1962.

7. О принципе непрерывного повторения, «Народное образование», № 11, 1963.

8. Психологическое обоснование целесообразности широкого использования задач, не имеющих решений, «Новые исследования в педагогических науках», 1964, выпуск II.

9. Психологическое обоснование методики совместного изучения задач на нахождение дроби от данного числа и числа по данной величине его дроби, «Новые исследования в педагогических науках», 1965, вып. III.

Подписано в печать Л 27083 30/1 1965 г. Объем 1,5 п. л., тир. 200 экз., зак. 233. тип. ГКС