МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра элементарной математики

Э. Ф. ГРУДАНОВА

ФОРМИРОВАНИЕ У УЧАЩИХСЯ III—IV КЛАССОВ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (методика преподавания математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук доцент И. В. БАРАНОВА

ЛЕНИНГРАД 1968

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор Арешкин Г. Я., кандидат педагогических наук доцент Бантова М. А.

Внешний отзыв учреждения—Армавирский государственный педагогический институт.

Защита состоится на заседании Совета математического факультета Ленинградского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института им. А. И. Герцена (Ленинград, наб. р. Мойки, 48). « . . ».......1968 года.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан « . . »....... 1968 года.

М-36976 3/IX-68 г. Тип. № 7 УПЛ зак. 2820 т. 150

Широкое применение математики в различных областях науки и техники повлекло за собой развитие и самой математической науки, что в свою очередь не могло не сказаться на взглядах на преподавание математики.

Материалы многих международных конгрессов, конференций, симпозиумов свидетельствуют о том большом интересе, который проявляется к реформе преподавания математики. В ряде стран делаются различные попытки изменения школьного курса математики, составляются новые экспериментальные программы, проводятся разного рода эксперименты с целью по возможности приблизить школьную математику к современной математике, к потребностям техники и производства.

Совершенно естественно, что реформа математического образования должна начинаться с младших классов. Исследования последних 10—15 лет и эксперименты, проводимые многими исследователями и коллективами (А. М. Леушиной, В. В. Давыдовым, К. И. Нешковым, М. Ф. Мартыновой, Н. А. Менчинской и М. И. Моро, кафедрой педагогики начальной школы ЛГПИ им. А. И. Герцена, кафедрой элементарной математики ЛГПИ имени А. И. Герцена и др.) убедительно показывают, что возможности младших школьников значительно шире, чем мы привыкли считать, и что эти возможности в школе используются недостаточно.

Реформа математического образования затрагивает различные аспекты. В частности, в последние годы многие исследователи работают над вопросом проникновения элементов алгебры в арифметику. Математики, методисты и психологи отмечают, что введение элементов алгебры при решении задач способствует экономии сил учащихся, развитию

абстрактного мышления, поднимает общий уровень математического развития

Приступая к своему исследованию, мы предположили, что при условии проведения в III классе пропедевтической работы по обучению учащихся решению задач с помощью составления уравнений и при условии знакомства учащихся III класса с отрицательными числами и простейшими действиями над ними, в IV классе возникают условия для начала обучения детей умению решать задачи алгебраическим способом. Такая работа в свою очередь подготавливает школьников к решению в V классе более сложных задач с использованием свойств уравнений.

Для проверки этой гипотезы нами было проведено исследование, нашедшее отражение в представленной диссертации.

Диссертация состоит из трех глав, заключения, библиографии и приложений.

В I главе дается обоснование выбора темы диссертации, формулируются цели и задачи исследования, а также излагается методика исследования.

Мы поставили перед собой следующие цели:

1. Установить возможность и целесообразность формирования у учащихся III — IV классов умения решать задачи с помощью уравнений.

2. Разработать систему расположения задач в курсе арифметики III—IV классов, способствующую выработке умения решать задачи алгебраическим методом.

Для осуществления этих целей были намечены следующие пути исследования:

1. Проанализировать наиболее известные классификации задач, а также наиболее распространенные системы расположения задач, встречающихся в задачниках, и на основе этого анализа выделить те виды задач, при решении которых целесообразно использовать алгебраический метод, что позволяет в дальнейшем наметить систему расположения задач.

2. Определить минимум сведений из теории отрицательных чисел и теории уравнений, необходимый для обучения учащихся умению решать уравнения на основании их свойств; наметить систему подготовительных упражнений для обучения учащихся умению составлять уравнения по условиям задач и решать уравнения на основании свойств уравнений.

3. Экспериментально проверить возможность формирования у учащихся III—IV классов алгоритма решения задач алгебраическим способом.

В процессе работы использовались принятые методы дидактических исследований.

Была изучена психолого-педагогическая, методическая и математическая литература по проблеме исследования.

Изучался и обобщался опыт передовых учителей, изложенный на страницах печати, а также опыт учителей, которые проводят экспериментальную работу по перестройке преподавания математики в начальной и средней школах и уроки которых нам удалось наблюдать.

Данные, полученные в результате изучения литературы и обобщения опыта передовых учителей, использовались на ми при проведении обучающего эксперимента В процессе эксперимента проверялась составленная нами экспериментальная программа, которая предполагала усвоение учениками всех знаний и умений, предусмотренных общепринятой школьной программой и в то же время содержала в себе разделы, необходимые для изучения алгебраического способа решения задач. Проводились наблюдения за процессом усвоения учащимися новых понятий и новых способов решения задач.

Экспериментальное обучение проводилось с 1962 по 1965 годы в III—IV классах 140-й школы Калининского района города Ленинграда.

Во время эксперимента проведено и запротоколировано около 500 уроков. Более половины из них было проведено самим экспериментатором. Регулярно проводились работы проверочного характера. Всего проанализировано свыше 2000 работ учащихся. Некоторые данные, полученные по экспериментальным классам, сравнивались с данными контрольных классов.

Во II главе дается характеристика видов задач, рассматриваемых в школьном курсе арифметики и проводится анализ способов их решения. Приводится классификация задач, составленная на основе анализа существующих классификаций. Эта классификация послужила в дальнейшем основой системы введения задач при обучении учащихся алгебраическому методу решения задач.

При анализе способов решения задач мы исходили из нашей цели: составить систему расположения задач в курсе

математики III—IV классов, способствующих формированию умения решать задачи алгебраическим методом.

При разработке системы задач мы учитывали и математические и психологические трудности, с которыми будет сталкиваться ребенок при решении каждого нового вида задач. При выборе нами способа решения задач каждого вида учитывалось постепенное увеличение роли абстракции при решении задач новым способом. Не малую роль в выборе способа играли и цели математического образования.

Для того, чтобы в дальнейшем был понятен смысл терминологии, которой мы будем пользоваться, приведем ниже те условные названия способов решения задач, которые были введены в диссертации.

Арифметический способ — способ, при котором все логические операции при решении задач производятся над конкретными значениями величин, основой рассуждения при этом являются знания смысла арифметических действий.

Переходный способ — способ, который включает в себя как элементы арифметики, так и элементы алгебры. При решении задач этим способом составляется уравнение, но дальнейшее решение его осуществляется лишь средствами арифметики. Этот способ имеет три разновидности:

I разновидность: Решение задач с помощью уравнений вида: x=f(a, b, с, . ., d), где х — неизвестная величина; а, Ь, с, . . ., d — данные величины.

II разновидность: Решение задач с помощью уравнений вида: t(x)=a. Уравнение решается учениками на основе операций с конкретными значениями величин.

III разновидность: Решение задач с помощью уравнений вида: f(x)=a. Уравнение решается учениками на основании свойств арифметических действий и зависимости между результатами и компонентами арифметических действий.

Алгебраический способ — способ, при котором задача решается с помощью уравнения вида f(x)=a или системы уравнений, решение которых происходит на основании свойств уравнений.

Анализ всех рассмотренных видов задач и способов их решения позволил нам сделать следующие выводы.

Все простые и составные задачи, не требующие особых приемов решения, — это такие задачи, с которыми ребенок впервые сталкивается как в своей жизни, так и при обучении арифметике. Именно при решении этих задач арифме-

тическим способом ребенок впервые познает смысл арифметических действий, учится переводить жизненные ситуации на язык математической символики. Это является фундаментом всего дальнейшего изучения курса математики. Однако эти же самые умения можно выработать у детей, если решать задачи на простое вычисление с использованием переходного способа (I разновидности). При этом в дополнение к перечисленным умениям у учащихся будет вырабатываться новое умение обозначать неизвестное в задаче определенными символами. Это несомненно поднимает мышление ученика на более высокую ступень абстракции. Имеющее место в настояеще время общее направление в сторону ранней алгебраизации курса потребует и более ранней подготовки учащихся к овладению элементами алгебры, а следовательно наиболее целесообразным будет переходный способ, как первый этап в решении задач алгебраическим способом.

Решение задач с обратным ходом действий и задач, требующих особых приемов решения, естественно возможно всеми тремя способами. При решении этих задач переходными и алгебраическим способами у учащихся по сравнению с арифметическим способом формируется еще ряд весьма ценных умений, которые являются важным фактором для выработки у учащихся способностей к абстрагированию и обобщениям.

Использование II разновидности переходного способа для решения задач должно быть весьма кратковременным, так как после знакомства учащихся с зависимостью между результатами и компонентами арифметических действий надобность в нем отпадет и учащиеся вполне смогут пользоваться при решении уравнений этой зависимостью (III разновидность переходного способа), а впоследствии и свойствами уравнений (алгебраический способ).

Наиболее широкое применение в младших классах может найти III разновидность переходного способа. При этом порядок расположения задач целесообразен следующий: 1) простые задачи с обратным ходом действий, 2) составные задачи с обратным ходом действий, 3) задачи на пропорциональное деление и метод остатков, 4) задачи на метод исключения неизвестных путем замены одного неизвестного другим. При выборе такого порядка мы руководствовались постепенным нарастанием трудностей как при со-

ставлении уравнений, так и при решении составленных уравнений.

При этом нарастание трудности при составлении уравнений происходит за счет увеличения количества действий, которое надо произвести с неизвестной величиной; при решении уравнений — за счет применения большего количества правил, законов и свойств арифметических действий, необходимых для решения уравнений.

Действительно при решении простых задач с обратным ходом действий (т. е. задач на нахождение неизвестных компонентов арифметических действий; вид уравнений: xwa=b или а^х=Ь, где о» — знак какого-либо арифметического действия) с неизвестным приходится производить лишь одно действие, а при решении уравнений, составленных по условиям этих задач нужно лишь знание зависимости между компонентами и результатами одного какого-либо конкретного действия. Именно поэтому и целесообразно начинать обучение III разновидности переходного способа с задач на нахождение неизвестных компонентов арифметических действий. При составлении уравнений по условиям составных задач с обратным ходом действий с неизвестным приходится производить уже не одно, а несколько действий и решение составленного уравнения требует от учащихся знания зависимости между компонентами и результатами в более сложном выражении. При переходе к следующему виду задач — к задачам на пропорциональное деление и метод остатков (вид уравнения: ах±Ьх=с) опять нарастает трудность и в составлении и в решении уравнений. Здесь уже неизвестное дважды участвует в уравнении и для решения этого уравнения кроме перечисленных выше умений требуется знание распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания. Аналогично и для задач на метод исключения неизвестных путем замены одного неизвестного другим (вид уравнения: ax+(bx)c=d, ах+ (Ь—a)x=d). Здесь от учащихся требуется знание и других свойств арифметических действий, в частности умножение произведения на число.

После изучения учащимися свойств уравнений все перечисленные выше виды задач могут быть решены алгебраическим способом.

Анализ способов решения задач и учебных программ показал, что имеет смысл изучать возможности младших

школьников в усвоении ими алгебраического метода решения задач. С целью проверки возможности эффективного обучения учащихся III—IV классов решать задачи с помощью уравнений на основе составленной нами системы задач был организован эксперимент.

В III главе излагается система работы по экспериментальной программе.

На основе анализа программы по математике III—IV классов была составлена экспериментальная программа. Эта пограмма включала в себя весь материал действующей программы и сведения, необходимые для подготовки учащихся к овладению умением составлять уравнения по условиям задач и решать уравнения на основании свойств уравнений.

Алгебраическое решение задач в большей мере чем арифметическое требует отвлечения от конкретных количеств и сюжеткой стороны задачи. В связи с этим усвоение буквенной символики является важным шагом по пути выработки этой способности отвлекаться от несущественных сторон условия задачи, каковыми, в частности, являются количественные характеристики данных величин, и осознать существенные стороны — зависимость между величиной задачи, структуру задачи в целом.

Введение буквенной символики мы начали в самые первые дни учебного года в III классе, так как без этого невозможно было дальнейшее обучение по экспериментальной программе. Введение букв было осуществлено при составлении общих формул решения арифметических задач.

С самого начала обучения в III классе была организована работа по обобщению всех изученных ранее видов простых задач. При этом мы формировали у учащихся следующие умения.

На первом этапе:

а) умение определить вид данной простой задачи (как с числовыми, так и с буквенными данными);

б) умение составить простую задачу данного вида (как с числовыми, так и с буквенными данными).

На втором этапе:

а) умение определить виды простых задач, входящих в составную;

б) умение составлять составные задачи из указанных простых.

В процессе обобщения изученных видов простых задач и на основе этой работы было осуществлено ознакомление учащихся с составлением алгебраических выражений по условиям задач. Умение составлять алгебраические выражения является важным условием усвоения алгебраического способа решения задач, так как процесс составления уравнения заключается в приравнивании двух алгебраических выражений, полученных при выражении зависимости между величинами задачи с помощью математической символики.

Умение составлять алгебраические выражения по условиям задач является известным показателем осознанного восприятия задачи учениками, глубокого понимания смысла арифметических действий, показывает насколько хорошо ученики овладели умением выражать с помощью математической символики зависимость между величинами, данными в задаче, и скрытыми в условии в словесных формулировках. Вид составляемых алгебраических выражений зависел от тех задач, к решению которых приступали учащиеся. Прежде чем дать решение какой-либо текстовой задачи с помощью уравнений вида ах+Ьх=с мы давали учащимся упражнения в составлении выражения такого вида, какой потребуется для будущих задач. С усложнением видов задач, алгебраические выражения составляемые школьниками, становились все более сложными.

Умения составлять алгебраические выражения еще недостаточно для решения задач алгебраическим способом. Необходимым является также умение увидеть в задаче величины, которые можно приравнять и суметь записать соответствующее равенство. В основе составления первых уравнений по условиям задач лежит умение записывать в виде равенства три основные зависимости между величинами: равенства, больше или меньше на несколько единиц, больше или меньше в несколько раз. Поэтому выработке умений в составлении равенств, отражающих указанные зависимости, мы уделили большое внимание. При этом каждый раз начинали с числовых примеров и постепенно переходили к записи зависимости между величинами, значение которых задано буквами.

Обучение учащихся решению уравнений проходит как бы две стадии: первая — обучение решению уравнений на основе знания зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, вторая — обучение решению уравнений на основе свойств уравнений и их следствий.

Для обучения решению уравнений на первой стадии большую роль играет знание зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, а также знаний законов арифметических действий.

Анализ программы и учебников начальных классов показал, что учащиеся к третьему классу должны иметь определенные представления о зависимости между компонентами и результатами арифметических действий. Поэтому нашей задачей было систематизировать и углубить эти знания учащихся.

Вначале у учащихся формировалось умение находить компоненты арифметических действий в простых (содержащих одно действие) и сложных выражениях (содержащих несколько действий). Особое внимание было уделено усвоению понятий суммы, разности, произведения, частного как выражений.

Система работы по раскрытию зависимости между компонентами и результатами арифметических действий и использованию учащимися полученных знаний при решении простейших уравнений предусматривала наблюдение зависимости между компонентами и результатами сложения и вычитания на конкретных примерах, обобщение замеченной закономерности (на примерах с буквенными данными), применение зависимости между компонентами и результатами сложения и вычитания к решению простейших уравнений вида: a±x=b, х±Ь=а, наблюдение зависимости между компонентами и результатами умножения и деления на конкретных примерах, обобщение замеченной закономерности (на примерах с буквенными данными), применение зависимости между компонентами и результатами умножения и деления к решению простейших уравнений вида: а • х=Ь, X • a=b, а : х=Ь, х : а=Ь, применение зависимости между компонентами и результатами действий к решению уравнений, содержащих более одного действия.

В процессе обучения учащихся III класса решению уравнений на основании зависимости между компонентами и результатами арифметических действий мы систематически наблюдали за процессом усвоения.

В нашем эксперименте законы и свойства арифметических действий нашли более широкое применение, чем в практике традиционного обучения, где они используются в основном для рационализации процесса вычислений.

Во-первых, запись законов и свойств арифметических действий в общем виде помогала выработке у учащихся умений составлять уравнения.

Во-вторых, часть уравнений невозможно решить лишь на основании зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, важное значение приобретало знание законов и свойств арифметических действий.

В-третьих, часть уравнений допускала решение как только на основании зависимости между результатами и компонентами арифметических действий, так и с помощью применения законов и свойств арифметических действий, что позволяло увеличить число способов решения уравнений, а следовательно давало возможность выбрать наиболее рациональный из них.

При экспериментальном обучении мы сочли целесообразным ознакомить учащихся III класса с распределительным законом умножения и деления по отношению к сложению и вычитанию, со свойствами ряда сложений и вычитаний и со свойствами ряда умножений и делений. Изучение с учащимися этих свойств арифметических действий способствовало впоследствии усвоению детьми простейших преобразований многочленов и одночленов.

Научить учеников решать уравнения на основании свойств уравнений можно, лишь дав им сначала понятие об отрицательных числах и действиях над ними и уже после этого переходить к изучению свойств уравнений и решению уравнений на основании этих свойств.

При более раннем введении отрицательных чисел не создается такого положения, что умения в составлении уравнений по условиям задач опережают умения в решении уравнений. Более раннее введение отрицательных чисел позволило также при решении задач составлять и решать более разнообразные уравнения, что раньше было невозможно из-за отсутствия умения решать эти уравнения. При изучении отрицательных чисел во втором полугодии III класса мы познакомили учащихся с понятием отрицательного числа, числовой оси, абсолютной величины целого числа, формировали у учащихся умения сравнивать целые числа по величине и производить простейшие арифметические действия над ними. Наблюдения за процессом усвоения и результаты проверочных работ, неоднократно проводимых во время изучения темы, показали доступность учащимся III класса изучаемого материала.

Овладение учащимися III класса умением производить действия над отрицательными числами позволило нам с первых дней учебного года в IV классе познакомить учащихся со свойствами уравнений и применением этих свойств при решении уравнений.

Обучение учащихся III класса решению задач мы начали с обучения решению задач путем составления уравнений вида: x=f(a, b, с, . . ., d), где а, Ь, с, . . ., d — данные в условии числа, так как уравнения данного вида есть не что иное, как формула решения задачи, а составление формул -это необходимая часть работы при составлении уравнений.

Ввиду того, что учащиеся нашего экспериментального третьего класса два года учились по обычной программе, они уже привыкли оперировать с числами и производить действия с числовыми значениями величин. Поэтому мы считали целесообразным начать с составления числовых формул по условиям простых задач и уже затем перейти к составлению буквенных формул.

Запись решения задач в несколько действий числовой формулой обычно вызывает определенное затруднение у учащихся, так как ученику, который уже осознал зависимость между величинами задачи и последовательностью действий, необходимых для ее решения, трудно отвлечься от конкретных вычислений. Он стремится получить результат каждого действия и оперировать дальше уже с полученными числами, а не с величинами задачи, которые скрываются под этими числами. В связи с этим мы считали целесообразным работу по составлению формул к составным задачам начать с задач с буквенными данными.

Заключительная проверочная работа по решению задач с помощью уравнений вида: x=f(a, b, с, . . ., d) показала, что свыше 84% учащихся справляются с решением данных задач без ошибок.

Для овладения умением составлять впоследствии любые уравнения необходимо было познакомить школьников и с такими уравнениями, где неизвестное предстанет в неявном виде. Мы считали, что наиболее целесообразно начать знакомство учащихся с такими уравнениями, с задач на нахождение неизвестных компонентов действий, так как, во-первых, для составления уравнений для задач этого вида с неизвестными приходится производить лишь одно действие, во-вторых, учащиеся уже были знакомы с решением этих задач, но только арифметическим способом, с другой сторо-

ны, ученики уже во II классе решали примеры вида: а^х=Ь, которые по существу являются уравнениями, поэтому именно на таких задачах и было лучше всего показать связь между решением задач на нахождение неизвестных компонентов действий и решением уравнений вида: awx=b.

В процессе обучения учащихся решению задач на нахождение неизвестных компонентов действий с помощью уравнений было проведено 6 контрольных работ, целью которых было проверить уровень умений учащихся составлять и решать уравнения по условиям задач данного вада. Свыше 89% учащихся не допускали ошибок в составлении уравнений и свыше 87% учащихся безошибочно решали уравнения.

В IV классе эти уравнения решались алгебраическим способом.

Решение составных задач с обрытным ходом действий было следующим этапом в обучении третьеклассников решению задач с помощью уравнений. Работа над этими задачами проводилась по следующему плану:

1. Решение нетекстовых задач.

2. Решение и составление задач, заданных схемой или чертежом.

3. Решение текстовых задач.

В основе этого плана лежало постепенное нарастание трудностей в составлении уравнений.

Обучение в экспериментальных классах решению задач на нахождение 4-й пропорциональной величины отличалось от обучения решению задач этого вида по обычной программе тем, что учащиеся составляли уравнения вида: X f(a, b, с).

Разработанная методическая система предусматривала в третьем классе одновременное решение задач на пропорциональное деление трех видов:

1. Две ученические бригады собрали 115 мешков картофеля. При этом первая бригада собрала 2880 кг, вторая — 2640 кг. Сколько мешков картофеля собрала каждая бригада?

2. Две ученические бригады собрали 5520 кг картофеля. Первая бригада собрала 60 мешков, вторая — 55 мешков Сколько килограммов картофеля собрала каждая бригада, если вес картофеля в каждом мешке одинаков?

3. Две бригады собрали по одинаковому количеству мешков картофеля. Всего 5220 кг. Но в первой бригаде мешок

весил 40 кг, а во второй — 50 кг. Сколько килограммов картофеля собрала каждая бригада?

Обучение решению таких задач имело смысл потому, что для их решения составляются аналогичные уравнения. В IV классе при решении этих задач мы учили школьников обозначать буквой не искомое задачи, а какое-либо промежуточное неизвестное. Для этого в III классе была проделана большая подготовительная работа по решению задач на пропорциональное деление с двумя вопросами. В IV классе решались также с помощью уравнений задачи на нахождение неизвестных по их сумме и отношению.

Как показали проверочные работы по решению задач на пропорциональное деление как в III, так и в IV классах свыше 85% учащихся справлялись с этими работами безошибочно.

Одновременно с началом обучения решению задач на пропорциональное деление мы начали работу по обучению учащихся решению задач на метод остатков, так как задачи обоих этих видов имеют между собой много общего. Например, рассмотрим 2 такие задачи:

1. Два шофера доставили на стройку 15 000 кирпичей. Первый сделал 9 поездок, а второй—11. Сколько кирпичей перевез каждый, если на каждой машине перевозили одинаковое количество кирпичей? (на пропорциональное деление).

2. Второй шофер доставил на стройку на 1500 кирпичей больше, чем первый. Первый сделал 9 поездок, а второй — 11. Сколько кирпичей перевез каждый шофер, если на каждой машине перевозили одинаковое количество кирпичей?

Для решения этих задач можно составить такие уравнения: для первой 9х-11 х= 15 000; для второй — 11х—9х=1500. Параллельное изучение данных задач позволит в должной мере использовать прием сравнения. Обучение решению задач на метод остатков проходило в той же системе, что и задач на пропорциональное деление

С решением задач на метод остатков как более простых, так и более сложных учащиеся III—IV классов справлялись хорошо. Об этом свидетельствовали наблюдения за процессом усвоения и результаты проверочных работ.

Обучение учащихся III—IV классов по экспериментальной программе привело к осознанному применению детьми алгебраического способа решения задач, научило школьников правильно ориентироваться в применении этого способа для решения новых для них задач. В одной из проверочных

работ мы предлагали учащимся решить задачу незнакомого для них вида (задачу на исключение неизвестной величины путем замены). 86,5% учащихся верно решили задачу неизвестного вида. В контрольном классе лишь отдельные учащиеся справились с незнакомой для них задачей.

В заключении диссертации сформулированы выводы, сделанные на основании исследования.

В процессе исследования возможностей обучения учащихся III—IV классов решению задач алгебраическим способом было установлено, что в курсе арифметики III—IV классов имеется большое количество задач, которые возможно и целесообразно решать алгебраическим способом.

В результате анализа задач с точки зрения целесообразности их решения тем или иным методом было установлено, что алгебраический спсособ позволяет выработать у учащихся общий подход к решению задач и что начинать обучать решению задач с помощью уравнений возможно и полезно в младших классах.

Экспериментальная программа, составленная на основе анализа ныне действующей программы по арифметике з III—IV классах, а также на основании анализа условий, необходимых для обучения учащихся решению задач алгебраическим способом нацеливали на большее обобщение и углубление арифметических знаний. Это способствовало овладению учащимися знанием зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, свойств арифметических действий, создавало условия для обобщения видов простых задач и применения всех полученных знаний для решения задач.

Овладение этими знаниями, а также пользование буквенной символикой, кроме повышения теоретического уровня обучения арифметике, закладывало некоторые основы алгебраических знаний. Экспериментальная программа предусматривала также постепенное ознакомление учащихся III—IV классов с дополнительными сведениями из алгебры: с уравнениями, отрицательными числами и действиями над ними, свойствами уравнений и решением уравнений на основании свойств.

Разработанная в процессе исследования система задач основывалась на постепенном нарастании трудностей и выявлении зависимости между величинами задач в составлении и решении уравнений.

На первом этапе использовались задачи, для решения которых учащимся необходимо было установить зависимость между величинами задачи и выразить неизвестное в явном виде через известные.

На втором этапе решались задачи, в которых учащимся необходимо было установить зависимость между величинами задачи, но неизвестное выражалось через известное в неявном виде.

Ученики должны были овладевать все новыми знаниями и умениями для решения составляемых уравнений.

На третьем этапе (в IV классе) приступили к работе над решением задач алгебраическим способом.

Экспериментальное обучение показало доступность разработанной программы, а также эффективность методической системы обучения. Учащиеся экспериментальных классов успешно и с большим интересом овладевали всеми необходимыми знаниями: теми, которые предусмотрены действующей программой и дополнительными, которые предусмотрены экспериментом. В процессе обучения решению задач алгебраическим способом у учащихся III—IV классов в определенной мере выработался общий подход к решению задач, в результате чего они более успешно справлялись с решением разнообразных задач, чем учащиеся контрольных классов, в которых учащиеся не знакомились с алгебраическим методом решения задач.

Проведенное исследование показало целесообразность дальнейших методических поисков в вопросе реформы математического образования в школе.

Опубликованные работы по теме диссертации:

-1. Домбровска Е. Ф. За модернизирането на курса по аритметика в началните класове. «Математика и физика», № 5, София, 1965.

2. Домбровская Э. Ф. О соотношении алгебраического и арифметического методов решения задач в курсе арифметики. XVIII Герценовские чтения, математика, программа и тезисы докладов, ЛГПИ им. А. И. Герцена, Л., 1965.

3. Домбровская Э. Ф. О подготовительном этапе к решению задач с помощью уравнении в курсе арифметики 5-го класса. «Математика в школе», № 1, 1966 г.

4. Домбровская Э. Ф. Отрицательные числа в курсе арифметики начальных классов. «Ученые записки Ленинградского государственного педагогического института им. А. И. Герцена, т. 301, Л., 1657 г.