МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

В. А. ГРИБУЛИН

на правах рукописи

«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗАДАЧНИК В РУССКОЙ ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ И СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ И ПОСТРОЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель доцент ПОТОЦКИЙ М. В.

КАЗАНЬ — 1965

Официальные оппоненты: Доктор педагогических наук, профессор Б. В. Болгарский Кандидат педагогических наук, доцент В. М. Беркутов Защита состоится на ученом совете Казанского государственного педагогического института ,_"_ 196 г.

Автореферат разослан......196 г.

Типография им. Смирнова Смоленского облуправления по печати, г. Смоленск, пр. им. Ю. Гагарина, 2.

НК 03811. Тираж 120 экз. Заказ № 4243.

I. Проблема задачника по математике издавна привлекала к себе постоянное внимание со стороны прогрессивных учителей и деятелей педагогической науки.

Правильная постановка упражнений в ходе изучения программного материала по математике справедливо рассматривалась при этом как одно из решающих условий обеспечения глубоких и прочных знаний учащихся и навыков применения этих знаний в практической жизни.

Еще в 1883 году И. П. Верещагин в предисловии к своему тригонометрическому задачнику писал: «Ничто так не укрепляет в теории изучаемого предмета, как непосредственно за ней следующие решения и всестороннее исследование практических вопросов и задач».

Эта же мысль впоследствии настойчиво подчеркивалась в выступлениях К. Ф. Лебединцева, В. К. Беллюстина и многих других методистов дореволюционного периода.

Весьма большое значение в деле формирования полезных и прочных знаний придавалось задачнику для средней школы в ряде докладов I и II Всероссийских съездов преподавателей математики (1911 —1914 гг.). Так, в докладе «О реальном направлении преподавания математики в связи с жизненными и научными фактами», прочитанном на I съезде Н. Н. Володкевичем, следующими словами характеризуется роль задачника в перестройке преподавания математики на новых началах: «...для достижения этой цели, содержание математических задач должно иметь отношение к жизни и к тому, что изучается в школе, а также к кругу интересов ученика, соответственно его возрасту ...составление такого задачника, материал которого взят из бесконечно-разнообразной области науки и человеческих отношений, представляет настоятельную потребность».

Особую остроту приобретает этот вопрос после победы Великой Октябрьской социалистической революции, поставившей перед советской школой ряд новых, весьма серьезных задач.

Среди других мероприятий, направленных на повышение уровня математических знаний школьников, все возрастающее внимание уделяется правильной постановке упражнений. Следует заметить при этом, что все наиболее значительные исследования в этом направлении касались главным образом арифметики, алгебры и отчасти геометрии на первых ступенях ее изучения. В частности это относится к работам М. И. Зарецкого («Основные вопросы методики умственных упражнений», Известия АПН РСФСР, вып. 20. 1949 г.), Н. А. Менчинской («Психология обучения арифметике», М., 1955 г.), А. Н. Эрастовой («Самостоятельная работа учащихся при обучении математике в V—VII классах средней школы», канд. диссертация) и некоторых других авторов. Еще большее место в исследованиях занимают вопросы методики упражнений по математике после исторических решений XX и XXII съездов КПСС и принятия «Закона об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР».

В связи с этим в выступлениях учителей и методистов в периодической печати все настойчивее подчеркивается мысль о необходимости серьезной и систематической работы над созданием полноценного математического задачника для средней школы. «Основным звеном»,— пишет профессор И. К. Андронов,—«за которое сейчас надо взяться, чтобы устранить недостатки, является «проблема задачника» («Учительская газета» № 102, 1952 г.).

Серьезная роль в деле повышения уровня математической подготовки школьников отводится задачнику и в ряде других выступлений учителей, методистов и ученых. В частности, весьма определенно высказался по этому вопросу в своем докладе на совещании-семинаре учителей-математиков профессор А. И. Маркушевич: «Необходимо практиковать упражнения и задачи, развивающие логическое мышление. Надо много работать над нашими учебниками, учебными пособиями и задачниками, которые таких упражнений и задач не дают». (Математика в школе, № 2, 1962 г.).

Следует заметить, что в последнее время была проведена некоторая работа по совершенствованию тригонометрического задачника для средней школы.

В 1950 году было предпринято издание нового задачника Р. И. Позойского, составленного применительно к вышедшему в это же время учебнику тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника и предназначенного для замены значительно устаревшего уже к тому времени стабильного задачника Н. А. Рыбкина.

Отличительной чертой задачника Р. И. Позойского является принципиально новый подход в подборе и расположении задач, крутой поворот в сторону сознательного усвоения учащимися природы тригонометрических функций и их применения к решению задач из практической жизни.

Однако задачник страдает рядом серьезных методических недочетов, которые делают его мало пригодным для использования в средней школе.

В дальнейшем, вплоть до 1957 года, в школьном употреблении в основном продолжал оставаться тот же тригонометрический задачник Н. А. Рыбкина, несмотря на то, что по своему содержанию и характеру он все менее соответствовал и программным требованиям, и целям преподавания математики в свете новых задач.

Несмотря на предпринятое в этот период времени издание ряда дополнительных задачников по тригонометрии, предназначенных для оказания помощи учителю в подборе материала для упражнений (Е. С. Березанской и Ф. Ф. Нагибина, А. И. и Н. И. Худобиных, К. С. Барыбина и А. К. Исакова и др.), проблема тригонометрического задачника долгое время еще оставалась одной из серьезнейших проблем, требовавших скорейшего разрешения.

Потребность в полноценном задачнике по тригонометрии стала особенно ощутимой в связи с выходом в свет тригонометрического учебника С. И. Новоселова, принятого с 1956/57 уч. года в качестве стабильного учебника для средней школы.

Значительно продвинулось вперед решение этого вопроса с появлением тригонометрического задачника для средней школы П. В. Стратилатова, который начал входить в употребление с 1957/58 уч. года.

Сосредоточивая внимание учащихся на выяснении основных идей и методов тригонометрии, на усвоении природы тригонометрических функций и их основных свойств, новый задачник решает в то же время много важных вопросов дидактического характера, способствует развитию творческого мышления, вырабатывает сознательное отношение учащихся к употреблению формул и к преобразованиям с ними, сообщает необходимые навыки практического применения тригонометрии.

Вместе с тем внимательный просмотр и анализ задачника П. В. Стратилатова с точки зрения его содержания и структуры обнаруживает ряд содержащихся в нем пробелов (главным образом методического характера), которые свидетельствуют о необходимости дальнейшей работы в направлении совершенствования тригонометрического задачника для средней школы.

Основное содержание диссертации составляет разработка общих принципов построения системы упражнений по тригонометрии для средней школы, вытекающих из:

а) опыта построения тригонометрических задачников, начиная с задачника В. Минина (1881 г.) до задачников последнего периода;

б) содержания и целей преподавания вопросов тригонометрии в свете требований новой программы 1960 г. и задач политехнического обучения;

в) анализа наблюдений за занятиями по тригонометрии в некоторых школах г. Смоленска и Смоленской области;

г) состояния знаний выпускников средних школ по тригонометрии (на основе итогов приемных экзаменов в ВУЗ'ах страны, в частности, на физико-математическом факультете Смоленского педагогического института);

д) основных принципов дидактики и их применения к преподаванию математики, а также исследований ряда педагогов и психологов по этому вопросу;

е) обобщения опыта передовых учителей в направлении постановки упражнений по тригонометрии и некоторых данных из личного опыта преподавания математики в средней школе.

Попутно с разработкой общих принципов проводится анализ задачника П. В. Стратилатова на предмет выяснения того, в какой мере подбор задач и упражнений в

нем соответствует программным требованиям по тригонометрии, целям обучения и требованиям дидактики.

Вносятся также конкретные предложения, направленные на устранение замеченных недочетов.

II. Диссертация состоит из V глав с приложениями. Первые три главы излагают процесс постепенного зарождения и развития сборников упражнений для самостоятельной работы учащихся, а также историю выделившихся на этой основе специальных тригонометрических задачников. Главы охватывают период от «Арифметики» Л. Магницкого (1703 г.) до настоящего времени. В главе IV приводятся данные, характеризующие состояние знаний учащихся средних школ по тригонометрии; вскрываются также отдельные причины, обусловливающие те или иные пробелы в этом отношении, причем главное внимание обращено на недостатки в постановке упражнений по тригонометрии, как главный источник этих пробелов.

Данные исследований, изложенные в I—IV главах, служат основой при разработке общих принципов построения системы упражнений по тригонометрии, которым посвящена заключительная глава. К последней приложены примерные сборники задач и упражнений по наиболее важным, на наш взгляд, тригонометрическим разделам курса математики средней школы.

ГЛАВА I

«Тригонометрические задачи в первых русских учебниках математики XVIII и начала XIX века»

Впервые в русской учебной литературе по математике некоторые отрывочные сведения по тригонометрии встречаются в «Арифметике» Л. Магницкого, сыгравшей выдающуюся роль в распространении математических знаний в России.

Однако, если сведения по арифметике, алгебре и геометрии преподнесены в ней в виде разбора ряда конкретных практических задач, то вопросы тригонометрии изложены в виде 7 «проблем» весьма отвлеченного характера.

Вскоре после «Арифметики» Магницкого появился целый ряд книг, содержащих решение большого числа практических задач с применением тригонометрии. Из

наиболее ранних руководств по математике, в которых впервые при решении геометрических задач применяется тригонометрический метод, можно указать на «Геометрию практику» (год издания не обозначен, предположительно 1720) и «Сокращение математическое ко употреблению его величества императора всея России» Я. Германа и О. Делиля (1728 г.).

Оба эти руководства не содержали каких-либо теоретических выводов о свойствах тригонометрических линий, при решении задач без каких-либо специальных пояснений просто вводили их в пропорции.

Серьезным шагом по пути совершенствования учебной литературы по тригонометрии следует считать появление учебников со значительно более высоким научным уровнем изложения, в которых все большее внимание уделяется вопросам теории, обоснования высказываемых положений путем рассуждений и доказательства.

Из них заслуживает в первую очередь быть упомянутым «Введение в анализ бесконечно малых» Л. Эйлера, содержащее специальный раздел о тригонометрических функциях, затем учебники А. Фархварсона (1739 г.), С. Румовского (1760 г.), Д. Аничкова (1780 г.), Е. Войтяховского (1787 г.), М. Головина (1789 г., Т. Осиповского (1801 г.), Н. Фусса (1812 г.), а также некоторые другие учебники второй половины XVIII и начала XIX века.

Наряду с достаточно строгим изложением теоретических основ предмета большинство авторов тригонометрических учебников рассматриваемого периода довольно серьезное внимание продолжало уделять применению тригонометрии к решению различного рода практических задач. Особенно много задач разработано в учебниках С. Румовского, Д. Аничкова, Е. Войтяховского.

В работе приводится подробное описание и анализ всех упомянутых учебников (а также многих других) и, в первую очередь, тех их разделов, которые содержат разбор задач.

В начале XIX века появляются тригонометрические учебники, содержащие помимо разбора задач также задачи неразобранные, предлагаемые учащимся для самостоятельных упражнений. К числу первых из них относятся «Курс математики» Беллавена (перевод с французского Ф. Чумакова, 1819 г.) и «Начертание тригонометрии» Навроцкого (1821 г.).

ГЛАВА II

«Возникновение и развитие тригонометрического задачника в России (1820—1916 гг.)»

Первые начинания в разработке самостоятельных упражнений для учащихся, отмеченные нами в некоторых учебниках начала XIX в., впоследствии, в течение сравнительно долгого времени, не находили дальнейшего развития.

Те немногочисленные задачи, которые можно было встретить в учебниках Беллавена и Навроцкого, в дальнейшем или вновь повторялись в более поздних руководствах (например, в «Курсе чистой математики» А. Я. Кушакевича и А. С. Киндерева, Спб. 1840) или пополнялись весьма незначительно.

Многие же учебники, вплоть до 2-й половины XIX века, вообще не помещали задач для самостоятельного решения, несмотря на то, что задачники по тригонометрии как самостоятельные учебные пособия появились лишь в 80-х годах, значительно позднее задачников по арифметике, алгебре и геометрии. Из учебников такого рода можно назвать, например, «Прямолинейную тригонометрию и аналитическую геометрию» А. Лесневского (1841 г.), «Элементарную теорию тригонометрических линий и прямолинейную тригонометрию» И. Соколова (1853 г.), «Плоскую тригонометрию» М. Байера (1865 г.) и ряд других.

Начиная с 50-х годов, все чаще появляются учебники тригонометрии, в которых разработке самостоятельных упражнений уделяется весьма серьезное внимание. К их числу относятся: «Математика. Ч. IV. Тригонометрия» Ф. Симашко (Спб., 1852), «Прямолинейная и сферическая тригонометрия» С. Зеленого (Спб., 1848), «Начальные основания прямолинейной тригонометрии» А. Дмитриева (Спб., 1862) и ряд других.

Некоторые из задач упомянутых учебников отличаются оригинальностью, стремлением авторов связать теоретический материал с его практическим применением.

Весьма обширная и в методическом отношении глубоко продуманная система задач и упражнений впервые разработана в учебнике А. Ф. Малинина «Руководство

прямолинейной тригонометрии для гимназий», вышедшем в 1864 году.

Учебник был в числе ряда других математических руководств, получивших одобрение в результате конкурса на составление учебных руководств по арифметике, алгебре, геометрии, тригонометрии и космографии, впоследствии неоднократно переиздавался и был принят как основной учебник по тригонометрии для гимназий (а начиная с 1875 года — и для реальных училищ).

В 1-м издании книги помещено около 160 задач и упражнений, размещенных по главам. В подборе задач и упражнений соблюдается целый ряд дидактических требований— активизация мышления учащихся, систематичность, постепенное нарастание трудности, обеспечение прочности знаний и навыков на основе повторения пройденного и др.

Основным недостатком в подборе задач является слабо выраженная практическая направленность, что характерно и для учебника в целом. С каждым новым изданием учебника число задач и упражнений для самостоятельной работы быстро возрастало. Так, в 7-м издании, относящемся к 1875 году, их насчитывалось уже свыше 400.

В главе дан подробный анализ сборников упражнений, размещенных по главам учебника А. Ф. Малинина, а также других учебников 60—70-х годов, в числе которых: «Руководство к самостоятельному изучению прямолинейной тригонометрии...» П. Ранчковского (Спб., 1869), «Курс плоской тригонометрии» Ф. Пикеля (М., 1870), «Прямолинейная тригонометрия для гимназии» И. Борткевича (Спб., 1870), «Прямолинейная тригонометрия и сборник тригонометрических задач» Е. Пржевальского (М., 1873), «Учебник прямолинейной тригонометрии» И. Макаревича (Казань, 1876), а также тригонометрические учебники В. Попова, Я. Блюмберга, А. Давидова.

Отмечается, что с появлением учебников А. Малинина, Е. Пржевальского и ряда других авторов задачи и упражнения стали появляться не только в конце соответствующих глав и параграфов, излагающих теорию, но и в довольно обширных специальных отделах. Кроме отвлеченных задач и упражнений тренировочного характера, во многих учебниках этого периода можно встретить

также большое число практических задач, подчас весьма оригинальных и интересных. Особенно выделяются с этой стороны учебники А. Дмитриева, И. Макаревича, В. Попова, Я. Блюмберга. Серьезное внимание самостоятельным упражнениям учащихся, которое отличает многие учебники периода 60—70-х годов, отнюдь не случайно.

Требования развивающегося капитализма в России нашли свое отражение и в ряде правительственных мероприятий в области народного образования, среди которых в первую очередь следует отметить утверждение в ноябре 1864 года нового устава гимназий и прогимназий. Согласно этому уставу гимназии разделялись на классические и реальные, причем в реальных гимназиях по новому учебному плану значительно большее внимание, по сравнению с классическими, уделялось преподаванию естественных наук, в первую очередь математики и физики.

Необходимость систематических упражнений в процессе преподавания подчеркивалась как в уставе, так и в объявленном в 1865 году конкурсе на составление учебников.

Чрезвычайно быстрый рост количества самостоятельных задач и упражнений внутри тригонометрических учебников (например, в учебнике Е. Пржевальского их было уже свыше 750!), потребность тщательного их подбора и систематизации — все это постепенно привело к выделению тригонометрического задачника в качестве самостоятельного учебного пособия для средней школы.

Первый такой задачник был издан в 1881 году. Это — «Сборник тригонометрических задач» преподавателя 3-й Московской гимназии В. Минина, составленный применительно к курсам гимназий, реальных училищ и других средних учебных заведений. Задачник содержит в общей сложности свыше 800 задач и упражнений, которые распределены по 17 отделам.

В диссертации приводится их подробное описание, которое приводит к следующим выводам.

Большинство задач и упражнений имеет формально-тренировочный характер с расчетом либо на непосредственное применение тригонометрических формул, либо на преобразование выражений по заранее приведенному образцу. Функциональная сущность тригонометрических величин выявляется в весьма слабой степени, совершен-

но отсутствуют задачи, связанные с исследованием тригонометрических величин как функций угла. Автор поместил ряд задач практического направления (измерения на местности); некоторые из них, особенно из числа заимствованных из материалов письменных испытаний по математике в различных округах России, представляют определенный интерес. Однако, в целом практическим задачам автор все же уделяет недостаточно внимания. Их мало и почти все они приведены вместе с подробными решениями.

Задачник весьма удачно разработан в методическом отношении, что создало ему большую популярность и сравнительно продолжительное существование. В первые годы советской власти он довольно широко применялся в советской школе.

Далее приведено довольно подробное описание задачника И. Верещагина, вышедшего в 1883 году под названием «Собрание вопросов и задач прямолинейной тригонометрии для гимназий и реальных училищ» (Спб., 1883 г.). В отличие от предыдущего задачник И. Верещагина чрезвычайно много места отводит практическим задачам из геодезии, физики, астрономии и т. п.; большое внимание уделено также упражнениям на усвоение основных понятий и фактов тригонометрического курса (в частности функциональных свойств тригонометрических величин).

Однако в педагогическом отношении страдает рядом существенных недостатков (чрезвычайная трудность некоторых задач, почти полное отсутствие иллюстраций, наличие «шитых» задач с искусственно притянутыми данными и некоторые другие). Наряду с задачником В. Минина тригонометрический задачник И. Верещагина был также одним из наиболее популярных тригонометрических задачников дореволюционного периода.

Дано также краткое описание вышедшего примерно в это же время задачника П. Преображенского, охватывающего лишь некоторые избранные разделы курса.

Из задачников периода 90-х годов подробно описаны «Собрание тригонометрических задач для средних учебных заведений» Н. Рыбкина (М., 1895 г.) и «Сборник упражнений и задач прямолинейной тригонометрии для средних учебных заведений» П. Злотчанского (Одесса, 1898 г.), а также некоторых специальных сборников

(«Сборник геометрически-тригонометрических задач» Я. Блюмберга, «Сборник тем и задач, предложенных для письменных испытаний зрелости в различных учебных округах» И. Фомилианта и Ф. Сахарова). Из школьных задачников 90-х годов особенно удачно составленным следует признать задачник П. Злотчанского, отличительными особенностями которого являются чрезвычайно серьезное внимание развитию навыков творческого мышления и идее функциональной зависимости, а также весьма удачное построение системы упражнений в методическом отношении. Несмотря на отдельные недочеты задачника, его можно рассматривать как лучший тригонометрический задачник периода 80-х—90-х годов.

Период 900-х годов не отличался появлением сколько-нибудь новых оригинальных задачников по тригонометрии. В употреблении продолжали оставаться известные уже нам задачники В. Минина, Н. Рыбкина, П. Злотчанского и других авторов.

Из новых задачников рассматриваемого периода дается лишь краткое описание «Собрания вопросов и задач прямолинейной тригонометрии» (в трех томах) С. Войтинского (1909—1911 гг.). Для использования в средних учебных заведениях в целом задачник мало пригоден в силу ряда причин. Некоторый заслуживающий внимания материал содержится лишь в I томе.

В главе рассматривается ряд наиболее интересных задач этого тома.

Приведены также некоторые задачи из сборника задач, предлагавшихся на конкурсных испытаниях в институтах (Вл. Вроблевского, К. Крживицкого).

Весьма серьезное положительное влияние на учебную литературу по математике оказали состоявшиеся в 1911 —1914 гг. I и II Всероссийские съезды преподавателей математики. Большая работа была проведена и в области совершенствования тригонометрического задачника, в результате которой в последние годы предреволюционного периода средняя школа имела в распоряжении более десятка сборников тригонометрических задач. В числе новых задачников периода 1911 —1917 гг. были: «Математический сборник задач прямолинейной тригонометрии» А. Лямина (1912), тригонометрические задачники П. Курилко (1912), Н. Слетова (1914). Т. Сваричовского (1916) и И. Тер-Степанова (1915).

В. Шифф (1916). Основное, что отличает большинство из них —это тщательная продуманность как содержания задач, так и методических сторон построения задачника. В отношении практической направленности выделяются задачники Н. Слётова и И. Тер-Степанова. Что касается остальных, особенно задачников А. Лямина и Т. Сваричовского, то в них практическим приложением тригонометрии почти совершенно не уделяется внимания.

Глава содержит подробный анализ задачников Н. Слетова и А. Лямина. Приводятся наиболее оригинальные задачи и упражнения, представляющие интерес как сточки зрения содержания, так и в методическом отношении.

При этом с особым вниманием рассмотрены задачи, связанные с практическим применением тригонометрии, из задачника Н. Слётова. Отмечено также, что многие учебники и в этот период продолжали помещать, несмотря на наличие большого числа задачников, сборники задач по ходу изложения теории. Приводится их подробный перечень.

ГЛАВА III

«Современный задачник по тригонометрии, его возникновение и развитие»

Характерной особенностью работы школ в первые годы советской власти было отсутствие сколько-нибудь постоянных, единых для всех школ программ и учебных планов, что наложило определенный отпечаток на учебную литературу этого периода.

Вплоть до 1933 года наша школа не имела единого стабильного учебника по тригонометрии (равно как и по другим школьным предметам). Одной из существенных причин сложившегося в этом деле положения являлась ошибочная позиция некоторых руководителей Наркомпроса, отвергавших необходимость таких учебников и рекомендовавших вместо них «рабочие книги», «рассыпные учебники» и т. п.

В первый период становления советской власти (1918—1922 гг.) в основном использовались старые дореволюционные тригонометрические руководства известных нам уже авторов, переизданные и в отдельных случаях незначительно дополненные и исправленные (П. Злотчанского, Н. Слётова и др.).

Начиная с 1923 года в дополнение к существующей учебной литературе по тригонометрии издается ряд новых учебников и задачников, в том числе переводных (А. Гесса, Фр. Гейланда и др.).

В главе дается подробный анализ первых тригонометрических учебников и задачников периода 1923— 1933 гг. (до введения учебника П. Рыбкина и задачника того же автора в качестве стабильных для средней школы). Рассмотрены учебники Н. М. Гюнтера (с приложением задач и упражнений, Пг., 1923), К. А. Торопова (без задач для самостоятельных упражнений, Оренбург, 1922), С. С. Державина (без задач, Л., 1924), К. Б. Пенионжкевича (с приложением большого числа задач и упражнений, М., 1924), М. Карминского (с изложением курса по лабораторно-индивидуальному методу, к книге приложен небольшой сборник задач, М.—Л., 1925), Б. Б. Пиотровского (без задач для самостоятельных упражнений, М.—Л., 1925), Я. И. Перельмана (учебник предназначен для самообразования рабочей молодежи, Л., 1926), П. К. Шмулевича (М.—Л., 1928), К. Н. Рашевского, Г. Н. Попова (учебное пособие, ставящее целью расширение представлений учащихся о практическом применении тригонометрии, написано в весьма популярной форме). Подробно описаны также задачники Гебеля (М.—Л., 1925) и Гейланда (перевод с немецкого, М., 1928).

Большинство новых учебников этого периода попрежнему уделяет серьезное внимание изучению свойств тригонометрических функций и практическим приложениям тригонометрии; особенно выделяются с этой стороны учебники Гюнтера, Пенионжкевича, Шмулевича и переводной учебник А. Гасса, уделяющий очень много внимания применению тригонометрии в технике.

В целом же изданная в рассматриваемый период учебная литература по тригонометрии отличалась невероятной пестротой, разнохарактерностью стиля, содержания, методики изложения.

Одним из важнейших мероприятий по претворению в жизнь исторических решений ЦК ВКП (б) о школе от 5 сентября 1931 года и 25 августа 1932 г. является переход советской школы на новые стабильные учебники. В качестве стабильного задачника по тригонометрии

был принят «Сборник задач по тригонометрии» Н. Рыбкина, в значительной степени переработанный и дополненный В. А. Ефремовым. Однако в нем сохранились еще многие существенные недочеты. Вопросам идейного содержания курса по-прежнему уделялось слишком мало внимания, основной упор делался на задачи и упражнения формально-тренировочного характера.

В качестве стабильного задачника для средней школы задачник Н. Рыбкина просуществовал до 1957 года. Вошедший в употребление с 1957/58 уч. года новый тригонометрический задачник И. В. Стратилатова являлся существенным шагом вперед по пути перестройки преподавания тригонометрии в средней школе в свете задач политехнического обучения. В то же время он имеет ряд недостатков в подборе задач и упражнений как с точки зрения содержания, так и методического характера. Их подробный анализ дается в V главе, в связи с разработкой основных принципов построения упражнений по тригонометрии для средней школы.

ГЛАВА IV

«О недочетах в постановке преподавания тригонометрии и определяющей их роли тригонометрических задачников»

Глава начинается с обзора статей о результатах приемных экзаменов, опубликованных в журнале «Математика в школе» в период с 1949 г. по настоящее время. Сообщены также некоторые данные о приемных экзаменах по математике в Смоленском педагогическом институте. Выявлены следующие, наиболее характерные пробелы в знаниях учащихся по тригонометрии, имеющие место и до настоящего времени:

1. Отсутствие достаточно четкого представления о свойствах тригонометрических функций и неумение использовать их при решении элементарных задач исследовательского характера.

2. Ошибки при решении тригонометрических уравнений:

а) безоговорочное употребление преобразований, приводящих к неравносильным уравнениям (с потерей и приобретением корней);

б) слабые навыки в составлении формулы общего

вида углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции;

в) неумение производить проверку (или хотя бы прикидку) полученных корней.

3. Слабые навыки построения графиков и неумение использовать их для иллюстрации результатов исследования.

Далее приводятся высказывания учителей и методистов об основных причинах слабых знаний учащихся по тригонометрии, в числе которых — неудачная постановка системы упражнений, а также их подбор в задачнике Н. Рыбкина.

Глава заканчивается подробным исследованием вопроса о том, в какой мере недостатки в постановке упражнений по тригонометрии определяют постановку преподавания вопросов тригонометрии в средней школе и качество знаний учащихся. При этом использованы личные наблюдения автора в направлении постановки преподавания тригонометрии в некоторых школах г. Смоленска и Смоленской области.

ГЛАВА V

«Содержание и структура системы упражнений по тригонометрии с точки зрения требований современной общеобразовательной школы с политехническим обучением»

Заключительная, V глава диссертации, представляет собой разработку некоторых принципов построения упражнений по тригонометрии для средней школы. Наиболее серьезное внимание уделяется при этом рассмотрению двух основных проблем:

1) объем и содержание материала, охватываемого задачами и упражнениями.

2) подбор задач и примеров, а также структура системы упражнений, с точки зрения требований советской дидактики.

С точки зрения содержания рассматриваются задачи прикладного направления, а также из разделов «Тождественные преобразования тригонометрических выражений», «Тригонометрические уравнения», «Графики тригонометрических функций». Кроме того, дана разработка специальных упражнений, имеющих целью:

а) сообщение навыков самостоятельного вывода формул и доказательства теорем;

б) предупреждение наиболее распространенных ошибок учащихся.

В отношении практических задач выдвигаются следующие требования: 1) условие задачи не должно строиться на материале, требующем каких-либо специальных разъяснений, которые уводили бы в сторону от изучения вопросов курса; 2) постановка вопроса, так же как и условие задачи, должны быть вполне реальны, должны отражать в себе действительные нужды практической деятельности; 3) данные, приводимые в условиях задач, и ответы должны соответствовать существующим техническим нормам, закономерностям физических явлений и табличным данным. Высказывается также ряд соображений по поводу приближенных вычислений в связи с решением практических задач; 4) следует систематически вводить задачи, в которых учащийся должен самостоятельно продумать, какие данные следует ввести в условие, как их получить, и уже затем по этим данным составить план решения.

В связи с рассмотрением вопроса о тождественных преобразованиях, высказывается мысль о целесообразности введения в широком масштабе специальных задач и упражнений, требующих, помимо выполнения соответствующих преобразований, элементарного исследования тригонометрических выражений, способствующего внедрению творческих навыков и сознательного отношения учащихся к выполняемым преобразованиям.

Рекомендуется также с самого начала связывать тождественные преобразования с графиками тригонометрических функций, с геометрической интерпретацией получаемых соотношений (в связи с чем предлагается ввести построение графиков как один из первых разделов тригонометрии).

Подробно рассматривается вопрос о наиболее целесообразном построении системы упражнений и задач по теме «Тригонометрические уравнения». Отмечаются некоторые недостатки в этом отношении, в частности, тригонометрического задачника П. В. Стратилатова. При подборе упражнений по данной теме, по мнению автора, надлежит руководствоваться следующими принципами:

а) систематическое изучение темы должно быть отражено в специальном параграфе, который бы способствовал усвоению учащимися не только навыков решения, но и основных вопросов теории, в частности следует вводить специальные задачи и упражнения, сосредоточивающие внимание учащихся на возможности потери и приобретения корней;

б) обязательное введение задач на составление уравнений в числе первых задач и упражнений как по отдельным разделам, так и специального параграфа, посвященного тригонометрическим уравнениям.

Отмечая, что построению графиков в новом задачнике уделено довольно серьезное внимание, следует вместе с тем считать весьма целесообразным внести в этот отдел следующие изменения и дополнения:

а) дополнить упражнениями, связывающими имеющиеся у учащихся навыки построения графиков ранее изученных функций с изучением вопроса о графиках тригонометрических функций;

б) ввести упражнения на построение эскиза графика функции по заранее заданным ее свойствам, а также предусматривающих решение обратной задачи («чтение» графиков);

в) ввести специальные упражнения, требующие умения различать свойства функций по их графикам;

г) увеличить число задач на применение графических приемов иллюстрации и исследования;

д) исключить ряд задач на построение графиков излишне сложных по структуре функций, в отношении которых учащиеся не могут произвести предварительное аналитическое исследование.

Весьма большое место отводится в главе выяснению вопроса об основных педагогических требованиях, которые должны учитываться при разработке системы упражнений по тригонометрии, о методических основах построения упражнений.

Эти требования, по мнению автора, должны исходить прежде всего из общих принципов обучения, выработанных советской педагогикой, с учетом специфики их применения в процессе преподавания математики. Подробно разбирается вопрос о том, в какой мере соответствует этим принципам тригонометрический задачник для средней школы П. В. Стратилатова и вносится ряд пред-

ложений, направленных на его усовершенствование.

1. Принцип сознательности и активности учащихся в усвоении знаний: а) задачи, раскрывающие смысл и значение тех или иных понятий, формул, преобразований по возможности следует помещать в самом начале соответствующих разделов; б) ввести дополнительно к существующим ряд новых типов задач и упражнений, способствующих повышению активности и развитию творческой самодеятельности учащихся (приведено описание и примеры такого рода задач).

2. Принцип наглядности обучения: а) исходя из требования педагогической целесообразности, определить, какие задачи необходимо иллюстрировать и какого вида иллюстрацию применить (схема, технический чертеж, рисунок); б) в упражнениях, связанных с аналитическими преобразованиями и исследованием, систематически предлагать учащимся графическую иллюстрацию и проверку; в) ввести в задачник систематическую иллюстрацию применения формул и способов решения наиболее трудных типовых задач с показом оформления соответствующих записей.

3. Связь теории с практикой. В дополнение к соображениям, высказанным по поводу этих задач в начале главы, предлагается в начале раздела о решении задач с приближенными данными (в том числе углами) дать некоторые разъяснения по поводу соответствующих вычислений.

4. Систематичность и последовательность обучения: а) задачи на исследование функций вводить сразу же после изучения первоначальных разделов курса и в дальнейшем повторять их систематически; б) в целях систематизации сведений о функциях включить в задачник некоторые задачи, построенные на материале алгебры; в) перенести некоторые задачи в другие разделы, приведя их расположение в соответствие с последовательностью изложения курса в учебнике.

Вносится также ряд предложений по осуществлению принципов доступности обучения и прочности знаний. В частности, ставится вопрос о дифференцированном подходе в разработке заданий для учащихся, предусматривая при этом задания трех степеней трудности.

К диссертации приложены примерные варианты сборников упражнений по темам: «Тригонометрические уравнения» и «Графики тригонометрических функций».