АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

А. Г. ГРЕКУЛОВА

СОДЕРЖАНИЕ УПРАЖНЕНИЙ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И МЕТОДИКА ИХ РЕШЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

Научный руководитель — старший научный сотрудник Института методов обучения АПН РСФСР И. А. ГИБШ

МОСКВА — 1955

ВВЕДЕНИЕ

Одной из основных проблем, стоящих перед школой в связи с осуществлением директив XIX съезда партии, является проблема всемерного улучшения качества знаний и прочности навыков учащихся по основам наук, предусмотренных учебным планом школы.

Известно, что успешное изучение математики и выработка навыков использования этой науки при решении прикладных вопросов в большой степени определяется системой и содержанием упражнений и задач, предлагаемых учащимся в связи с изложением теоретического материала. Это объясняется тем, что в результате работы, выполняемой в процессе нахождения обоснованных и полных ответов на поставленные вопросы и решения прикладных задач, приобретенные учащимися знания глубже осознаются и закрепляются в памяти, становятся подлинным их достоянием.

Однако в современной методической литературе проблеме выбора упражнений и задач по математике и, в особенности, по тригонометрии и рассмотрению наиболее целесообразных приемов решения их уделяется недостаточное внимание.

«Сборник задач по тригонометрии» Н. Рыбкина, являющийся в наших школах стабильным, несмотря на сделанные в нем исправления и дополнения, по выражению проф. А. И. Маркушевича, «следует канонам XIX века и лишен идейной насыщенности»*.

Содержащееся в нем собрание упражнений в весьма недостаточной мере соответствует современным задачам преподавания тригонометрии в школе.

Глубоко сознавая всю важность выбора упражнений, которые содействовали бы закреплению и углублению изучаемого теоретического материала, автор настоящей работы поставил перед собой следующие цели:

а) вскрыть основные недостатки в знаниях и навыках учащихся по тригонометрии;

б) дать анализ существующих учебных пособий и рассмотреть основные виды упражнений, связанные с изучением гониометрии, и способы их решения;

* А. И. Маркушевич, «Математика в школе», 1950, № 1, стр. 1.

в) разработать методику выполнения учащимися исследования тригонометрических функций и решения тригонометрических уравнений в связи с изучением курса гониометрии IX класса.

Автор работы стремился показать, как посредством целесообразно выбранной системы упражнений можно расширить и углубить функциональное содержание курса в условиях работы школы по существующим программам.

Требуя, чтобы система упражнений:

а) содействовала сознательному и глубокому усвоению курса;

б) обладала содержательностью и целеустремленностью;

в) основывалась на идее функции;

г) по возможности, отличалась разнообразием содержащихся в ней вопросов и средств их решения;

д) знакомила учащихся с примерами применения теории к решению задач из смежных дисциплин и техники,

— автор в настоящей работе предлагает систему упражнений по наиболее важным вопросам программы.

В соответствии с этим настоящая диссертационная работа состоит из следующих четырех глав:

Глава I. Постановка преподавания учения о тригонометрических функциях в средней школе.

Глава II. Изучение свойств тригонометрических функций.

Глава III. Тождественные преобразования тригонометрических выражений.

Глава IV. Тригонометрические уравнения.

В заключении к работе приведены результаты выполненного эксперимента и сформулированы выводы.

Основными методами исследования при работе над диссертацией явились:

а) изучение научно-методической литературы по тригонометрии дореволюционной и советской школы;

б) личный опыт автора и ознакомление с работой ряда учителей школ Москвы, Куйбышева и Куйбышевской области;

в) проведение эксперимента в IX и X классах по отдельным темам с целью проверки эффективности системы упражнений, предлагаемой в диссертации;

г) обсуждение основных выводов диссертации на методических объединениях учителей Москвы и Куйбышева.

ГЛАВА I

ПОСТАНОВКА ПРЕПОДАВАНИЯ УЧЕНИЯ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

§ 1. Анализ русских и советских учебников по тригонометрии

До Эйлера в учебниках по математике тригонометрические сведения излагались догматически в виде правил решения отдельных задач (в том числе геодезических и астрономических).

Первыми учебниками по тригонометрии нового направления, написанными под влиянием научных и методических трудов Эйлера, были книги С. Я. Румовского (1760) и М. Е. Головина (СПБ, 1789); они отличаются не только своим содержанием, но и введением отдельных аналитических исследований, пришедших на смену узко-рецептурным решениям вопросов.

Это аналитическое направление в построении учебного курса тригонометрии особенно усиливается в учебной литературе XIX века. В ней сохраняется прежнее понимание предмета тригонометрии, но выделяется отдел гониометрии с целью самостоятельного изучения тригонометрических величин.

Первыми сборниками задач по тригонометрии, поставившими своей целью полнее и систематичнее раскрыть основные свойства тригонометрических величин, явились:

1) «Сборник тригонометрических задач» В. П. Минина (М., 1881);

2) «Сборник вопросов и задач прямолинейной тригонометрии» И. Верещагина (СПБ, 1883);

3) «Собрание тригонометрических задач для средних учебных заведений» Н. Рыбкина (М., 1895).

В каждой из этих книг приведено достаточно большое число примеров и задач; однако они имеют целью, главным образом, развитие формальных навыков у учащихся. Основными видами упражнений, содержащихся в разделе гониометрии, являются тождественные преобразования тригонометрических выражений, часто излишне усложненных и искусственных. Идея же функциональной зависимости, изучение свойств тригонометрических функций как особого класса функций, аналитические и графические средства исследования их — это не находило своего места в указанных книгах.

«Сборник задач по тригонометрии» Н. Рыбкина выгодно отличается от других сборников тем, что он содержит большое число целесообразно подобранных и систематически расположенных задач, имеющих целью содействовать более прочному и глубокому усвоению учащимися материала курса. Упражнения, помещенные в этой книге, были приведены автором в соответствие с действовавшими в то время программой и учебником и распределены с учетом доступности их и в порядке постепенного усложнения.

В виду этого сборник задач Н. Рыбкина сделался не только учебником, но и методическим руководством, влиявшим на преподавание тригонометрии и определявшим порядок и содержание практических занятий по тригонометрии в течение нескольких десятков лет.

По мере того, как все с большей определенностью устанавливался взгляд на тригонометрию как на учение о тригонометрических функциях, начали появляться пособия, имевшиие целью усиление функционального содержания курса тригонометрии.

К таким относятся учебники Н. Шапошникова (М., 1904), Н. Шмулевича (М., 1911), С. Виноградова (М., 1912), А. Лямина (М., 1913), Н. Слетова (П.-К., 1914) и сборники задач — П. Злотчанского (изд. 2-ое, Одесса, 1904), А. Лямина (М., 1912), Н. Слетова (П.-К., 1914).

Из книг, появившихся после Октябрьской революции, должны быть отмечены учебники В. Крогиуса (М., 1923) и Б. Пиотровского (М.-Л., 1925), построивших курс тригонометрии на новых, более современных началах.

Значительным вкладом в учебную литературу по тригонометрии явились книги: «Тригонометрия» А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника (1-ое изд. в 1940 г., 2-е — в 1947 г., 3-тье — в 1950 г.) и составленный применительно к ней «Сборник задач по тригонометрии» Р. И. Позойского (М., 1950).

Передовое учительство хорошо отнеслось к этим книгам и справедливо усмотрело в них успешную попытку приведения содержания преподавания тригонометрии в соответствие с задачей построения курса тригонометрии как учения о тригонометрических функциях, возможно большего привлечения графических средств и рассмотрения различных приложений тригонометрии к решению практических вопросов.

Вышедший в 1954 году «Сборник задач по тригонометрии» А. И. Худобина и Н. И. Худобина является результатом плодотворной работы авторов в том же направлении.

Однако в обоих сборниках задач (Позойского и Худобиных) имеется тот существенный недостаток, что такие вопросы, как исследование хода изменений функций, построение графиков и решение прикладных задач с исследованием, обособлены от остальных частей курса, с которыми они должны были бы

находиться в органической связи; вместе с тем в этих задачниках несколько преувеличенное внимание оказано отвлеченным формальным преобразованиям.

§ 2. Состояние преподавания и качество знаний учащихся по тригонометрии в советской школе

Несмотря на наличие ряда существенных достижений в постановке преподавания математики и, в частности, тригонометрии, идейно-теоретический уровень преподавания школьного курса тригонометрии еще сравнительно невысок и содержание его еще в недостаточной мере соответствует определившимся в настоящее время задачам преподавания тригонометрии в школе.

Работая по учебнику и сборнику задач Н. Рыбкина, большинство учителей математики не сосредоточивает внимания учащихся на основных понятиях и идеях курса. Богатое идейное содержание гониометрии, составляющее основную ценность этого предмета в образовательном отношении, остается мало раскрытым перед учащимися; она представляется им как совокупность отдельных групп формул и связанных с ними формальных упражнений; изучение функций подменено изучением тригонометрических операций.

В результате учащиеся слабо знают основные свойства функций, недостаточно знакомы с их графическим представлением, не в состоянии решать практические вопросы, требующие приложения теории тригонометрии.

При изучении раздела о тригонометрических уравнениях учащиеся почти не уделяют внимания вопросу о равносильности уравнений, не знакомы с графическими приемами нахождения приближенных корней и вовсе не занимаются решением текстовых задач политехнического характера.

§ 3. Постановка преподавания тригонометрии в общеобразовательных школах стран народной демократии

В результате рассмотрения учебных планов и учебников по тригонометрии, принятых в Германской демократической республике, Польше и Болгарии, можно установить следующее:

1) Курс тригонометрии в школах этих стран изучается в основном на последних двух годах обучения.

2) Как при построении теоретического курса, так и при отборе упражнений существенное место занимают прикладные вопросы. В частности, в Германской демократической республике курс тригонометрии, в основном, посвящен решению задач на прямоугольные и косоугольные треугольники и изучению гармонических колебаний.

3) В курсах тригонометрии значительно большее внимание, чем у нас, обращено на построение графиков и практическое использование их.

4) В системе упражнений тождественные преобразования тригонометрических выражений занимают сравнительно незначительное место.

ГЛАВА II

ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 1. Функции и графики в науке и технике

В этом параграфе кратко рассмотрены роль и значение понятия функции и ее графического представления при изучении явлений окружающей действительности, в аналитических исследованиях и при решении технических вопросов.

§ 2. Тригонометрические функции и их преподавание в школе

В этом параграфе на основе анализа научного содержания предмета тригонометрии и его значения в теоретических и прикладных науках раскрыты задачи, стоящие перед преподаванием тригонометрии в школе.

Указано, что, поскольку в настоящее время трудно найти такой вопрос анализа, физики, механики, геодезии, гидротехники, баллистики и многих других наук, разрешение которого не было бы в той или иной степени связано с использованием теории тригонометрических функций, предмет и содержание школьного курса тригонометрии не может определяться лишь прежними соображениями — исключительно геометрического характера.

В условиях осуществления политехнического обучения в школе, предусматривающего такую подготовку, при которой учащиеся могли бы в своей дальнейшей деятельности быстро и сознательно овладеть основами производства и получить соответствующее профессиональное образование, приобретает особое значение построение предмета и его приложений на идее функции.

Следовательно, гониометрия должна быть положена в основу при изучении тригонометрии и иметь самостоятельное значение в системе обучения учащихся математике, расширяя и углубляя их сведения о функциях, о видах функциональной зависимости и средствах ее исследования.

В связи с этим в диссертации формулируются основные положения, определяющие содержание курса тригонометрии в средней школе.

§ 3. Виды и содержание упражнений, связанных с изучением свойств тригонометрических функций

Принимая во внимание, что изучение тригонометрии должно сопровождаться решением достаточного числа разнообразных видов упражнений, которые содействовали бы всестороннему осмысливанию основных понятий, в диссертации дается обзор видов упражнений и методов их решения к следующим программным вопросам:

1. Определение тригонометрических функций.

2. Изменение тригонометрических функций.

3. Исследование свойств функций и построение графиков.

4. Тригонометрические функции числового аргумента.

Особенностью этих упражнений является то, что в них выдвинуто на первый план функциональное начало. Достаточное число задач посвящено графическим и аналитическим исследованиям функций, причем рекомендуется проводить решение их не эпизодически, а на протяжении всего курса, каждый раз связывая их с содержанием программного материала.

В основу изучения свойств тригонометрических функций в диссертации рекомендуется положить упражнения, в которых разнообразно ставится вопрос на нахождение значений тригонометрических функций по значению аргумента и обратный вопрос, а также элементарные вопросы на установление отдельных свойств функций посредством геометрического построения.

В конце раздела «Определения тригонометрических функций» рассмотрено применение тригонометрии к решению геометрических задач на построение, которое, по существу, представляет собой распространение алгебраического метода решения задач на построение на те случаи, когда среди данных элементов имеются и угловые; кроме того, там же приведено описание вспомогательных средств, служащих для нахождения значений тригонометрических функций (графические таблицы синусов и косинусов, тангенсов; синусный и косинусный кривошипно-шатунный механизм).

Умение исследовать ход изменения одной величины в зависимости от изменения другой и находить наибольшие и наименьшие из принимаемых ею значений является особенно необходимым при решении той или иной практической задачи. Поэтому приобретение учащимися навыка в выполнении исследования не только основных, но и некоторых сложных функций имеет большое значение для их практической подготовки.

В связи с этим упражнения и задачи этого раздела посвящены:

1) установлению области допустимых значений аргумента;

2) установлению области возможных значений функции и хода ее изменения;

3) нахождению наибольшего и наименьшего значения функции.

Решения задач этого раздела, в отличие от решений предыдущих упражнений, имеют в большей мере аналитический характер, основанный на использовании сведений об изменении основных тригонометрических функций.

В заключении раздела об изменении тригонометрических функций приведены отдельные упражнения на соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла и на формулы приведения.

После изучения свойств периодичности и четности и нечетности тригонометрических функций учащиеся должны проводить более полное исследование некоторых сложных функций, пользуясь при этом как аналитическими, так и графическими средствами.

Упражнения такого рода рассмотрены в следующем порядке: исследование функций, линейных относительно основных тригонометрических, трехчлена второй степени и дробно-линейных относительно синуса и косинуса.

Раздел «Тригонометрические функции числового аргумента» посвящен дальнейшему развитию понятия о тригонометрических функциях. Необходимость его вызвана тем обстоятельством, что аргумент тригонометрической функции может представлять собою числовое значение не только геометрической величины (угла или дуги), но и других величин, подобно тому, как это имеет место в случае алгебраических функций.

В диссертации приведены упражнения, содействующие усвоению понятия о тригонометрических функциях числового аргумента, и задачи по вопросу о гармонических колебаниях.

В конце параграфа помещены задачи прикладного содержания, для решения которых требуется проведение некоторого исследования функций; они относятся к разделам:

1. Определения тригонометрических функций.

2. Теорема сложения и ее следствия.

3. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и обратное преобразование.

ГЛАВА III

ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

§ 1. Понятие о тождественном преобразовании тригонометрического выражения

В этом параграфе устанавливается понятие о тождественности тригонометрических выражений.

§ 2. Некоторые замечания о постановке преподавания тождественных преобразований в школе

Тождественные преобразования в школьном курсе математики занимают значительное место.

В этой области, наиболее ярко проявляется формализм усвоения учащимися математики: они выполняют преобразования, следуя определенным, нередко механически заученным, мало осознанным правилам, не стремятся найти наиболее целесообразный ход действий, часто не учитывают множества допустимых значений входящих в выражение букв.

Отсюда ясно, что выполнение преобразований, требующих осмысливания их хода и сопровождающихся некоторыми исследованиями, должно найти свое место в школе.

§ 3. Виды и содержание упражнений на тождественные преобразования тригонометрических выражений

В школе основным видом упражнений на тождественные преобразования являются отвлеченные примеры на доказательство тождеств.

Между тем этим упражнениям можно придать и конкретное содержание, если их связать с решением ряда прикладных вопросов — с решением геометрических задач, задач на исследование свойств функций и построение их графиков, а также с решением тригонометрических уравнений.

В диссертации приведены геометрические задачи, при решении которых, на основе использования небольшого числа геометрических фактов, почти не отвлекающих от темы занятий, убедительно показывается учащимся целесообразность выполнения тех или иных преобразований, а также задачи на нахождение наибольших и наименьших значений тригонометрических функций.

§ 4. Некоторые методы обучения выполнению тождественных преобразований

Значительные трудности при выполнении упражнений на тождественные преобразования представляет выбор целесообразного приема. Для этого от учащегося требуется знание основных формул и умение пользоваться ими в различных вариантах, умение предвидеть результаты преобразований на два-три звена вперед, ясное понимание цели преобразований, умение заметить и учесть особенности выполняемого задания.

В связи с этим большое значение приобретает методика обучения учащихся устному выполнению преобразований и выполнению предварительного анализа для выбора приема преобразования.

В диссертации приведены отдельные виды примеров на устные преобразования и на решение задач с предварительным анализом.

§ 5. Некоторые способы тождественных преобразований тригонометрических выражений

В существующей методической литературе нельзя найти систематического изложения приемов выполнения преобразований тригонометрических выражений. Между тем обзор основных способов выполнения тождественных преобразований, наиболее распространенных в школьной практике, мог бы оказать определенную помощь учителю.

В диссертации дана некоторая сводка приемов преобразований и рассмотрены случаи, в которых эти приемы применяются.

ГЛАВА IV ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

§ 1. Понятие уравнения

Устанавливается понятие о тригонометрическом уравнении и множестве допустимых значений неизвестного этого уравнения.

§ 2. Основные сведения из теории равносильности уравнений

Систематизируются основные сведения из теории равносильности уравнений, необходимые для решения тригонометрических уравнений.

§ 3. Приемы решения отдельных видов тригонометрических уравнений

Рассматриваются основные приемы решения тригонометрических уравнений с точки зрения применения теории равносильности уравнений. В конце параграфа приведены решения уравнений, представляющих особый интерес.

§ 4. Решение параметрических тригонометрических уравнений

Показываются примеры исследования тригонометрических уравнений с параметрическими данными в следующем порядке: исследование простейших уравнений, затем линейных и, наконец, квадратных относительно одной из основных тригонометрических функций.

§ 5. Способы проверки корней

Среди различных способов решения тригонометрических уравнений имеются и такие, при применении которых проверка корней составляет органическую, обязательную часть решения, в виду чего требование, чтобы учащиеся владели основными способами проверки корней, должно обязательно предъявляться к их знаниям по тригонометрии.

В диссертации критически излагается сущность 3 способов проверки корней:

1-й способ. Проверка серии корней с помощью выделения из ее общего вида числа, кратного периоду.

2-й способ. Проверка серии корней посредством подчинения формул решения ограничивающим условиям.

3-й способ. Проверка корней на основе использования понятия периода уравнения.

§ 6. Цель и место изучения тригонометрических уравнений

Каждое тригонометрическое уравнение представляет собой требование найти значение аргумента по данному значению функции, и это требование предъявляется в большом числе как теоретических, так и практических задач.

Вместе с тем изучение раздела «Тригонометрические уравнения» имеет и немалое образовательное значение, так как в нем ставится и решается ряд принципиальных вопросов, имеющих общий характер, а также сосредоточивается большой материал из гониометрии. Поэтому раздел о решении тригонометрических уравнений заслуживает того, чтобы быть одним из разделов курса тригонометрии.

Решение тригонометрических уравнений и задач на составление их необходимо включить уже в первые главы курса тригонометрии, постепенно усложняя материал по мере того, как будут изучаться дальнейшие главы.

В X классе при повторении и систематизации основных разделов школьного курса математики необходимо выделить тему «Тригонометрические уравнения», имеющую цель:

а) повторить основные способы решения тригонометрических уравнений;

б) на материале решения тригонометрических уравнений расширить сведения о равносильности уравнений;

в) рассмотреть составление и решение уравнений по условиям отдельных задач с прикладным содержанием.

§ 7. Методика решения тригонометрических уравнений в IX классе

В связи с наличием ряда методических трудностей обучения учащихся решению тригонометрических уравнений в диссертации разработано содержание трех основных концентров:

1-й концентр. Решение задач на построение углов по значению одной из тригонометрических функций.

2-й концентр. Установление понятия тригонометрического уравнения и решение уравнений, приводящихся к алгебраическим относительно одной из основных тригонометрических функций аргумента х.

3-й концентр. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к уравнениям, алгебраическим относительно одной из основных тригонометрических функций аргумента ах-\-Ь.

§ 8. Изучение темы «Тригонометрические уравнения» в X классе

Дается примерное поурочное распределение материала темы «Тригонометрические уравнения» с указанием текстов контрольных работ.

§ 9. Задачи на составление тригонометрических уравнений

Приводятся задачи на составление тригонометрических уравнений с прикладным содержанием из области геометрии, физики, геодезии, а также указана методика их решения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

§ 1. Итоги экспериментальной проверки

Экспериментальные исследования проводились:

1) в 1953-54 уч. году в школе № 29 гор. Куйбышева (учительница И. Н. Дятлова) и в железнодорожной школе № 38 гор. Куйбышева (учительница А. Н. Сакулина);

2) в 1954-55 уч. году в школе № 314 гор. Москвы (учитель К. И. Нешков) и в школе № 125 гор. Москвы (учительница Г. В. Козлова).

Эксперимент имел целью проверить целесообразность и степень доступности учащимся разработанного в настоящей диссертации содержания упражнений в связи с изучением тригонометрических функций.

Это дало возможность сделать следующие выводы:

1. Несмотря на то, что в процессе изучения программного материала выполнению учащимися примеров на доказательство тождеств уделялось сравнительно меньшее внимание, чем обычно, они достаточно прочно усвоили основные тригонометрические формулы и приобрели необходимые навыки в пользовании ими при выполнении преобразований.

2. Вопросы исследования функций оказались вполне доступными учащимся и вызвали у них большой интерес.

3. Выполнение решений тригонометрических уравнений, проводимое параллельно с изучением функций, также полностью оправдало себя; однако такое построение курса потребовало особенно вдумчивой работы учителя.

§ 2. Выводы

На основе анализа научно-методической литературы и в результате изучения состояния преподавания тригонометрии и знаний учащихся по этому предмету, а также специально проведенной опытной проверки в диссертации формулируется следующий основной вывод.

Содержание упражнений по гониометрии должно быть подчинено единой общей идее — идее изучения тригонометрических функций, их свойств и приложений к решению содержательных конкретных вопросов.

Такое решение этой проблемы вполне целесообразно, так как изучение свойств функций должно быть рассредоточено и распределено по всему школьному курсу математики, служа для него средством идейного обогащения материала.

Автор настоящей работы стремился разработать виды и содержание систем упражнений, а также и способы их решения, которые содействовали бы повышению идейно-теоретического и практического уровня преподавания гониометрии.

Решение этой проблемы оказалось весьма трудным, и, конечно, настоящая диссертация не может рассматриваться как работа, полностью исчерпывающая проблему.

Вместе с тем автор считает, что настоящая его работа может быть использована при составлении сборников упражнений и задач по тригонометрии, а также может оказать помощь учителю в установлении содержания упражнений и способов их решения по основным вопросам программы.

Предлагаемая система упражнений и обзор различных способов их решения могут быть также использованы в работе со студентами педагогических институтов на занятиях по специальному курсу тригонометрии.