Министерство просвещения РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

ГОТМАН Э. Г.

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И МЕТОДОВ ИХ РЕШЕНИЯ, КАК СРЕДСТВО ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ЗНАНИИ УЧАЩИХСЯ ПО МАТЕМАТИКЕ

(732. Методика преподавания математики)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва — 1968

Работа выполнена в Арзамасском государственном педагогическом институте имени А. П. Гайдара.

Научный руководитель — Доктор физико-математических наук, профессор З. А. Скопец.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор И. М. Яглом.

Кандидат физико-математических наук, доцент Н. М. Бескин.

Ведущее высшее учебное заведение: Горьковский государственный педагогический институт.

Автореферат разослан « » 1968 г.

Защита диссертации состоится « » 1968 г.

на заседании совета по присуждению ученых степеней по математике и методике преподавания математики Московского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института имени В. И. Ленина, Давыдовский пер., дом. 4.

(Отзывы направлять по адресу: Москва Г-435, Малая Пироговская ул., дом 1, МГПИ имени В. И. Ленина, научная часть).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке.

Ученый секретарь совета:

Развитие науки, высокий технический уровень современного производства предъявляют к математической подготовке учащихся повышенные требования. Поэтому одна из важнейших задач школы состоит в том, чтобы поднять общую математическую культуру учащихся и добиться сознательного владения знаниями.

В процессе обучения математике большое практическое, общеобразовательное и воспитательное значение имеет решение задач, органически связанных с изучаемым в школе теоретическим материалом. Решение геометрических задач имеет своей целью закрепить изученный материал, показать его практическое применение, развить конструктивные и вычислительные навыки учащихся. Оно способствует развитию логического мышления и пространственного воображения учащихся.

Глубокие и прочные навыки в решении задач необходимы прежде всего тем учащимся, которые в дальнейшем будут продолжать свое математическое образование в высших учебных заведениях. Между тем, результаты экзаменов по математике свидетельствуют о серьезных недостатках в геометрической подготовке выпускников средних школ.

Большие трудности у абитуриентов вызывают задачи по геометрии, требующие умения анализировать задачу, применить нестандартный прием или метод решения. Серьезные недочеты наблюдаются в оформлении решений геометрических задач. Часто отсутствуют обоснование решения, ссылки на соответствующие теоремы.

При решении стереометрических задач значительные трудности у учащихся вызывают построение и обоснование чертежа. Допускаемые ими ошибки свидетельствуют о слабом развитии пространственных представлений.

Недостатком в геометрической подготовке учащихся является неумение устанавливать допустимые значения параметров при решении вычислительных задач с параметрическими данными. Значения для параметров или не устанавливаются вообще, или берутся неправильно, или исследования проводятся неполностью.

«Среди абитуриентов широко распространен взгляд на алгебру, геометрию и тригонометрию как на совершенно разные науки. Поэтому редкостью является применение, скажем, алгебраических методов при решении тригонометрических уравнений и т. п. Разобщение различных разделов элементарной математики, отсутствие взаимосвязи между ними очень ограничивает возможности абитуриента»*.

Многие недостатки в геометрической подготовке учащихся объясняются тем, что существующие учебные пособия не удовлетворяют потребностям школы, а учителя недостаточно хорошо владеют методикой обучения учащихся решению задач по геометрии. В школьном курсе геометрии преимущественное внимание уделяется несложным задачам на вычисление в ущерб задачам других видов. Большинство геометрических задач ставится в связи с определенной темой курса, подсказывающей и способ решения, а при повторении изученного материала на решение задач повышенной трудности и применение различных методов решения не обращается достаточного внимания. Учителя слабо используют связи между математическими дисциплинами при решении задач. В частности, применение тригонометрических функций в геометрии сводится почти исключительно к решению треугольников и вычислениям площадей и объемов геометрических фигур.

Анализ недостатков в геометрической подготовке учащихся, а также анализ наиболее распространенных геометрических задачников показывают, что в настоящее время проблема совершенствования содержаний геометрических задач и методов их решения приобретает большое значение.

В своей работе мы поставили перед собой следующие цели:

1) показать применение важнейших методов и приемов решения геометрических задач в средней школе; указать методы и приемы, описания которых не встречаются в методической литературе;

2) обосновать целесообразность использования алгебры и тригонометрии при решении разнообразных геометрических задач; показать возможность установления более глубокой связи между математическими дисциплинами в старших классах средней школы;

3) изложить методику решения геометрических задач на вычисление с параметрическими данными;

* Н. Н. Кузнецов, П. Л. Ульянов. О приемных экзаменах по математике, ж. «Математика в школе», 1966, № 3, стр. 39.

4) установить основные принципы подбора и расположения задачного материала для классной и внеклассной работы;

5) разработать некоторые новые виды упражнений и задач по геометрии, составить систематический сборник геометрических задач.

Вопросы содержания геометрических задач и методов их решения освещены в работе с учетом тех изменений, которые произошли в последние годы в школьном преподавании (ликвидация курса тригонометрии и распределение тригонометрического материала между курсами алгебры и геометрии и др.), а также исходя из современных требований к математическому образованию.

Методические рекомендации, приводимые в диссертации, проверялись автором в процессе многолетней (Педагогической работы его в школе.

Диссертация состоит из введения, трех глав, дополнения и приложения — сборника задач [1].

Глава 1 диссертации содержит анализ наиболее известных, пользующихся вниманием наших учителей и учащихся сборников геометрических задач повышенной трудности. Дается разбор появившихся еще в дореволюционный период задачников Е. М. Пржевальского, М. Г. Попруженко, И. И. Александрова, а также широко распространенных современных сборников задач Б. Н. Делоне и Житомирского «Задачник по геометрии» (изд. 7, Физматгиз, 1959), К. У. Шахно «Сборник задач по математике повышенной трудности», (Минск, «Высшая школа», 1965), В. Б. Лидского, А. В. Овсянникова, А. Н. Тулуйкова и М. И. Шабунина «Задачи по элементарной математике» (изд. 4, «Наука», 1965). Отмечаются достоинства и недостатки сборников задач с точки зрения их содержания, системы расположения задач и применяемых методов решения.

Глава II посвящена вопросам решения задач с помощью геометрических методов и приемов. Исследуются, в основном, вопросы, относящиеся к решению задач повышенной трудности в старших классах.

Воспитание у учащихся правильного подхода к решению задачи должно быть особой заботой учителя. Учащиеся часто затрудняются приступить к решению сложной задачи, не знают с чего начать решение. В § 2 главы II рассмотрены эвристические приемы (индукция, аналогия), помогающие учащимся отыскивать решения задач.

В § 3 приводятся задачи, развивающие геометрическую

зоркость и пространственное воображение учащихся, — задачи, требующие умения читать чертеж, представить себе фигуру в разных положениях и найти скрытые для первого взгляда зависимости. В учебной и методической литературе такие задачи разработаны недостаточно.

В последующих параграфах этой главы раскрыты роль и назначение вспомогательных построений в процессе решения задач, рассмотрены различные приемы решения геометрических задач и даны практические рекомендации учителю по обучению учащихся новым приемам решения задач.

§ 6 главы II посвящен решению задач (методом геометрических преобразований. Приводится следующий цикл связанных между собой по содержанию задач.

На. сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены квадраты АСАХА2 и ВСВХВ2. Доказать, что

1) отрезки АВХ и АХВ равны и перпендикулярны;

2) прямые АВХ, АХВ и А2В2 пересекаются в одной точке;

3) из отрезков АВХ, АХВ и А2В2 можно построить равнобедренный прямоугольный треугольник;

4) центры квадратов АСАХА2 и ВСВХВ2 и середины отрезков AB и АХВХ являются вершинами квадрата;

5) медиана СМ треуголника ABC перпендикулярна стороне АХВХ треугольника АХВХС и равна ее половине;

6) прямые А2В и АВ2 пересекаются на высоте С H треугольника ABC.

Задачи расположены так, что элементы нового вводятся постепенно и результат решенной задачи помогает решению последующих задач.

В § 7 обосновывается целесообразность расположения задач в определенной последовательности, облегчающей учащимся процесс отыскания решений задач. Решение системы близких друг другу задач не только помогает учащимся самостоятельно находить решения задач, но и вырабатывает у них правильное представление о методах и логической структуре геометрии.

Вопросы осуществления связи между математическими дисциплинами в старших классах средней школы путем решения целесообразно подобранных задач исследованы в главе III, которая по своему содержанию тесно связана с приложением к диссертации, задачником «Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач» [1].

В рекомендации Международной конференции по народному образованию, принятой на XIX сессии в Женеве, запи-

сано: «Существенно подчеркивать внутреннее единство математики, не устраивать перегородок между ее ветвями и сопоставлять различные методы решения данного вопроса»*.

Для осуществления более полной связи между математическими дисциплинами в курсе «Алгебра и элементарные функции» необходимо шире использовать геометрический материал, в частности, геометрические задачи, приводящие к алгебраическим и тригонометрическим уравнениям или тождествам, задачи на геометрические неравенства.

В школьных задачниках встречаются задачи, решаемые с применением алгебры и тригонометрии. Чаще всего это задачи на вычисление длин отрезков, площадей и объемов геометрических фигур. «Среди задач, требующих применения тригонометрии (преимущественно геометрического содержания) должны иметь место и задачи на составление тригонометрических уравнений в зависимости от условий задач, что придает конкретный характер работе и оживляет ее».*

Кроме задач на вычисление в курсе «Алгебра и элементарные функции» могут быть использованы также несложные геометрические задачи на доказательство, решаемые с помощью алгебры и тригонометрических функций. Решение их целесообразно связать с изучением соответствующего теоретического материала. Задачи не должны быть громоздкими, чтобы их геометрическое содержание почти не отвлекало от темы занятий. Задачи более сложного характера нужно решать в курсе геометрии.

При решении задач на построение алгебраическим методом необходимо обращать внимание учащихся на выбор неизвестной величины. Обычно за искомую величину принимают некоторый отрезок, связь которого с другими данными отрезками выражают с помощью алгебраического уравнения. Однако иногда целесообразно за неизвестное принять угол, составить и решить тригонометрическое уравнение, затем построить угол на основании полученного выражения. В диссертации и приложении [1] содержатся задачи, при решении которых, выгодно применять указанный аналитический способ.

Отметим еще один вид задач, представленных в работе, — задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин. Такие задачи рекомендуется решать в школе в связи

* «Вопросы преподавания математики на XIX международной конференции в Женеве», ж. «Математическое просвещение», в 1, М., 1957, стр. 20.

* В. Г. Чичигин, Методика преподавания тригонометрии, Учпедгиз, 1954, стр. 232.

с изучением неравенств, свойств квадратного трехчлена и тригонометрических функций еще до изучения производной. Педагогическая ценность задач на максимум и минимум заключается в их привлекательности и практической направленности. В процессе решения задачи учащиеся находят аналитическое выражение функции, исследуют ее, приобретая навыки, необходимые также при решении таких задач с помощью дифференцирования.

В работе приводится элементарное решение следующей задачи.

Дана прямая 1 и вне ее две точки А и В. Найти на прямой 1 точку M такую, чтобы отношение имело наибольшее (наименьшее) значение.

Получается следующий результат. Если отрезок AB не перпендикулярен прямой 1, то строим окружность, проходящую через данные точки А и В с центром на данной прямой 1. Эта окружность пересекает прямую 1 в точках M и М'. Для одной из них рассматриваемое отношение имеет наибольшее значение, для другой — наименьшее. Частный случай, когда отрезок AB перпендикулярен прямой 1, более прост и рассматривается особо.

В § 6 главы III изложена методика решения геометрических задач на вычисление с параметрическими данными. В нашей методической литературе имеются работы, посвященные этому вопросу, например, книга И. А. Гибша «Исследование решений задач с параметрическими данными» (изд-во АПН РСФСР, М., 1952). Однако методика решения задач с параметрами до сих пор разработана недостаточно и положительный опыт еще не внедрен в массовую школу. Большинство учебных пособий для средней школы не ориентируют учащихся на корректное решение и оформление задач с параметрами.

Геометрические задачи на вычисление с параметрическими данными имеют много общего с задачами на построение; различие обычно заключается лишь в том, что искомые элементы в первом случае определяются вычислением, а во-втором — построением с помощью определенных инструментов. Поэтому требования к оформлению решений вычислительных и конструктивных задач должны быть во многом схожи. В частности, решение задач на вычисление с параметрическими данными должно заключаться не только в выводе формул для вычисления неизвестных, но и в отыскании критерия разреши-

мости задачи, в установлении множества допустимых значений параметров.

Иногда вычисление искомого элемента требует рассмотрения различных возможных случаев (например, случаи острого, прямого и тупого угла в треугольнике). Рассуждения, с помощью которых формула выводится в одном случае, могут оказаться неприменимыми в других случаях. Вследствие этого для вычисления неизвестного элемента может получиться не одна, а несколько формул, каждая с определенным множеством допустимых значений параметров. Это можно проиллюстрировать следующим примерам.

Дан прямоугольник АВСД, в котором АВ = 1 и АД = 2. Луч с вершиной О в середине АД вращается вокруг точки О из положения OA в положение ОД, пересекая при этом контур прямоугольника в точке М. Выразить площадь части прямоугольника, заметаемой лучом ОМ, как функцию угла а= <,АОМ.

Искомая функция S угла а определяется формулами:

Следовательно, в каждой задаче путем рассмотрения различных геометрически возможных случаев должно быть установлено множество значений параметров, для которых формула дает значение искомого элемента.

Решение задач с параметрическими данными нередко удобно начинать с определения допустимых значений параметров и лишь потом производить вычисления искомых элементов. При этом исследование геометрических свойств фигуры нередко помогает наметить план решения задачи и рационально выполнить вычисления.

Возможен и другой путь: предполагая, что указанная в условии задачи фигура существует, вначале вычислить неизвестные элементы, а затем определить множество допустимых значений параметров путем исследования уравнений и формул для вычисления неизвестных. Часто выгодно пользоваться обоими приемами и сопоставлять результаты.

В работе даны образцы решений задач, как планиметри-

ческих, так и стереометрических, и рассмотрены приемы определения множества допустимых значений параметров.

Опыт показывает, что корректное решение геометрических задач на вычисление с параметрическими данными является для учащихся трудным делом, и для того, чтобы привить им необходимые навыки, требуется длительное время. Поэтому элементы исследования необходимо вводить уже при решении задач, приводящих к уравнениям первой и второй степени. На первых порах следует чаще предлагать учащимся упражнения в подборе конкретных числовых значений для параметров. Полезны также специальные упражнения на определение множества допустимых значений параметров. К исследованию планиметрических задач с параметрическими данными учащихся можно подвести вполне естественным образом, если практиковать решение комбинированных задач на построение и вычисление. При решении конструктивной задачи учащиеся приучены отыскивать критерий разрешимости, тем самым и вычислительная задача получит полное решение. Особое внимание следует уделять решению геометрических задач с параметрами в старших классах средней школы, когда изученный программный материал позволяет учащимся применять различные способы определения допустимых значений параметров.

В § 8 главы III рассмотрены задачи на доказательство неравенств, имеющих место для элементов треугольника. При решении их можно убедительно показать учащимся единство различных методов элементарной математики, их взаимосвязь. Для доказательства геометрических неравенств используются лишь такие алгебраические неравенства, которые обычно рассматриваются в школе. Простота решения обеспечивается тем, что неравенства выводятся одно за другим, в определенной последовательности. Результат записывается в виде цепочки неравенств:

(здесь и далее 2 р —периметр, S — площадь, R — радиус описанной окружности, г — радиус вписанной окружности, hx — высота, Ii — биссектриса, ri — радиус вневписанной окружности треугольника ABC). Такая запись неравенств легко позволяет получить ряд следствий:

Из неравенств

вытекают тригонометрические неравенства, имеющие место для углов треугольника:

Отсюда с помощью особого приема, позволяющего удваивать и делить аргументы функций пополам, а также посредством тождественных преобразований, получается большое число новых тригонометрических неравенств, которые в свою очередь могут быть использованы для доказательства геометрических неравенств и решения конкретных задач.

В последнем параграфе главы III рассмотрен вопрос о решении геометрических задач различными средствами.

Решение одной и той же задачи различными методами позволяет выявить особенности того или иного метода, сравнить полученные решения, полнее исследовать свойства фигуры. В старших классах средней школы рекомендуется отводить специальные уроки, посвященные решению геометрических задач различными средствами. При этом учащимся приходится повторять весь курс элементарной математики, учащиеся видят связи между математическими дисциплинами и приучаются выбирать наиболее выгодный метод решения. Поиски рациональных решений активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивают их творческие способности. Решенные задачи и приемы их решения надолго запоминаются и могут быть использованы в дальнейшей работе.

Изучение элементов векторной алгебры и аналитической геометрии в средней школе, способствуя повышению математической культуры учащихся, вместе с тем дает им в руки новые методы решения геометрических задач. Дополнение к диссертации содержит задачи, решаемые с помощью координатного метода, векторов и комплексных чисел. Этот материал проверялся автором во внеклассной работе с учащимися.

Приложение к диссертации — пособие для учителей «Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач» (изд. «Просвещение», М., 1965), содержащее преимущественно новые задачи, составлено автором на основе его педагогического опыта. В пособие включены разнообразные геометрические задачи, решаемые с помощью алгебры, тригонометрических функций и векторов. Особое внимание уделено задачам с параметрическими данными. В ответах к этим задачам указываются множества допустимых значений параметров. Имеются задачи на повторение и задачи для внеклассных занятий. Обращается внимание на расположение задач внутри каждого параграфа, а, также на применение различных методов решения задач. Большинство задач этого сборника многократно проверялось автором на практике в разных классах средней школы № 5 г. Печоры Коми АССР. Использование задачника в практической работе показало, что при рассматриваемой методике решения геометрических задач учащиеся получают представление о практическом значении тригонометрических уравнений, тождеств и неравенств и в то же время приобретают более глубокие навыки в применении вычислительных методов к решению геометрических задач, что способствует повышению качества знаний учащихся.

Материалы диссертации опубликованы в следующих изданиях

1. Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач, М., «Просвещение», 1965.

2. О решении геометрических задач различными методами, ж. «Математика в школе», 1962, №. 1.

3. Дополнительные треугольники и применение их свойств к решению задач, ж. «Математика в школе», 1963, № 3.

4. Геометрические задачи, решаемые с помощью тригонометрии, сборник «Вопросы совершенствования преподавания в средней школе», Ярославль, 1963.

5. Задачи на максимум и минимум в курсе математики средней школы, сборник. «Вопросы совершенствования преподавания в средней школе», Ярославль, 1963.

6. Несколько задач на максимум и минимум, ж. «Математика в школе», 1965, № 1.

Зак. 90 Л81388 от 23/1 1968 г. Объем 0,75 печ. л. Тир. 150

Типографий№ 4 Управления по печати исполкома Моссовета.