МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

З. П. ГОРЕЛЬЧЕНКО

К ВОПРОСУ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЯХ УЧАЩИХСЯ ШКОЛ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель заслуженный деятель науки РСФСР, член-корреспондент АПН РСФСР, профессор АНДРОНОВ И. К.

Москва — 1969

Работа выполнена в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской.

Официальные оппоненты:

1. Доктор психологических наук, профессор Крутецкий В. А.

2. Кандидат педагогических наук, доцент Мокрушин Е. Л.

3. Высшее учебное заведение:

Курганский государственный педагогический институт.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10/а) « » 1969 г.

Автореферат разослан « » 1969 г.

Социалистическое общество ставит своею целью не только дать каждому его члену общее образование, натравленное на соединение политехнического и умственного труда, но и обеспечить развитие духовных сил молодежи. Особое внимание обращается на развитие природных задатков и склонностей в направлении, наиболее соответствующем данному индивидууму.

Школа всегда замечала, что среди оканчивающих ее имеются учащиеся, склонные либо к гуманитарным наукам, либо к наукам технического цикла, либо к искусству. Как правило, наблюдаются и такие учащиеся, в мышлении которых проявляются данные к развитию математической интуиции, интересов к математическим проблемам и логическим методам математики.

В прошлом и современном буржуазном обществе проблему соответствия школьного образования индивидуальным склонностям учащихся пробовали решать созданием школ с уклоном в некоторые виды научных, технических или художественных интересов. Так, немецкая и русская школы в прошлом имели гимназии с гуманитарным уклоном, реальные училища с физико-математическим и техническим уклоном. Во Франции с 1902 г. была создана школа с большой системой полифуркации. В Англии и США для определения вида и степени развития способностей учащегося используется метод тестирования. По тестам предполагается определять духовные силы учащихся, соответствующие научным или практическим уклонам различных школ.

Однако опыт показал, что такое решение проблемы не дает желаемых оптимальных результатов. Во-первых, выяснилось, что под предлогом исследования индивидуальных способностей учащихся делается классовый отбор. Во многом тесты составлены так, что дети рабочих не всегда могут соревноваться с детьми интеллигенции и попадать в школы научного типа. В результате наиболее подготовленными к университету оказываются в первую очередь молодые люди, наиболее соответствующие интересам и нуждам правящего класса. Во-вторых, в коллективе учащихся, из которого устра-

йены наиболее «сильные», проявляющие повышенный интерес, например, к математике, не получается жизненно необходимого соревнования: не с кем соревноваться. Особенно же вреден такой отбор группам, объединяющим учащихся с повышенными односторонними способностями. Последние раньше времени воображают, что являются «солью земли» и начинают работать гораздо менее напряженно, не используя полностью свои возможности.

Принципиально по-новому к решению проблемы учета склонностей и способностей учащихся подошли социалистические страны, и в первую очередь СССР. В 1964 г. в нашей стране был принят проект разумного решения о том, что школа должна оставаться единой политехнической для всех учащихся. Для проявления и развития их индивидуальных способностей создается система так называемых факультативных замятий (начиная с 7-го класса). Это мудрое решение сравнительно недавно стало проникать в действительность — в нашу передовую школу.

Диссертация «К вопросу о математических способностях учащихся школ» посвящена проблеме учета и развития указанных способностей в условиях массовой школы и на факультативных занятиях по математике.

Работа сложилась из пяти глав.

Глава I «Три исторических этапа в развитии системы математического образования (начиная с XIX в.)» состоит из трех параграфов.

В § 1 «Сложившаяся в XIX в. традиционная система математического образования» дается характеристика этой системы, рассматривается состояние науки математики того времени и создание специального учебного предмета элементарной математики, связанного лишь с наукой математикой античного и средневекового времени и состоящего из четырех самостоятельно развивающихся школьных дисциплин. Критически анализируется основной метод преподавания математики, сложившийся в старой школе, метод, по которому преподаватель математики дает ученикам готовые знания. Учащиеся на занятиях в основном не активны: им следует лишь запомнить сообщаемое и на решении большого числа запутанных, «искусственно сшитых», сложных традиционных задач закреплять новые знания, развивая свое логическое мышление. Однако опыт показал, что самостоятельно задачи решали лишь очень немногие учащиеся. Подавляющее большинство учеников, будучи не в силах справиться с задачами

головоломного характера, предпочитали пользоваться решебниками, которые в обилии появлялись почти для всех школьных задачников.

Все в целом не создавало большого интереса к математической работе в классе. В итоге в XIX веке наблюдалась массовая неуспеваемость учащихся по математике. Многие учащиеся школ ежегодно оставлялись на второй год или «отсеивались» как неспособные к изучению математики.

Все это к концу XIX — началу XX в. привело передовую педагогическую общественность к мысли о необходимости реформы математического образования.

В § 2 «Возникновение и развитие реформистской системы математического образования конца XIX — начала XX в.» раскрывается реформистское движение, связанное с критическим анализом прошлого опыта и возникновением новых поисков, характеризуемых прежде всего сближением учебного предмета математики с наукой математикой. Начинаются поиски творческих, активных методов изучения математики. В период реформистского движения впервые в международном масштабе ощутимо возрос интерес к литературе по методике преподавания в средних школах. В разных странах стали создаваться квалифицированные курсы, называемые «Педагогика математики», «Дидактика математики», «Методика математики». Авторами этих курсов, как правило, были выдающиеся ученые — математики и педагоги.

В диссертации отмечаются основные черты реформистского движения конца XIX—начала XX в., характерные для Франции, Англии, США, Германии и России; отмечается возникновение в 1908 г. на IV Международном математическом Конгрессе в Риме Международной комиссии по реформе математического образования, возглавляемой избранным президентом профессором Ф. Клейном, а также образование 19-ти национальных подкомиссий, организованных во многих странах Европы, в том числе и в России.

В диссертации показано, как в связи с международным реформистским движением во многих странах Европы стали создаваться новые программы и новые учебные пособия по математике. В частности, в России в реальные училища были введены элементы аналитической геометрии и элементы математического анализа. Особая высота подъема реформистского движения в России характеризовалась двумя Всероссийскими съездами преподавателей математики. I съезд, привлекший более 1200 профессоров и преподавателей математи-

ки, состоялся на границе 1911 —1912 гг. в Петербурге, II съезд с участием более 1000 профессоров и преподавателей математики состоялся на границе 1913—1914 гг. в Москве. В 1912-1914 гг. в России образовались три новых учебно-методических журнала, в числе других помещавших на своих страницах материалы, отражающие первые результаты реформистской системы преподавания математики.

Но возникшие две мировые войны приостановили международное объединение передовых научных и педагогических сил. Только с 40-х годов XX в., когда в развитии общества и всей его культуры особо выявилась невиданная роль математических наук, по-новому встал вопрос о коренном изменении характера математического образования в школе.

В § 3 «Современная реконструкция сложившейся системы математического образования» развивается проблема перестройки всего привычного математического образования, начиная с 1-го класса. В современной реконструкции математического образования вся программа обучения математике в школе подвергается коренному .пересмотру с точки зрения связи учебного предмета математики с простейшими элементами, входящими в современную науку математику (множества, группы, кольца, поля, структура, векторное пространство, элементы теории вероятностей, простейшие элементы математической логики и др.). Благодаря новой возникшей роли электронных счетных машин появилась необходимость знакомить учащихся с основными идеями, лежащими в основе современной вычислительной техники.

Ввиду новых открытий в области психологии развивающегося мышления детей, подростков и юных учащихся естественно встал вопрос о «сдвиге» сложившегося школьного материала по математике от старших классов в направлении к средним и младшим классам. Так, например, в первых трех классах школы в прошлом изучалась только пропедевтическая арифметика. В период современной реконструкции математического образования в нашей стране в этих классах началось экспериментальное изучение математики в целом, со включением начальных элементов алгебры и геометрии.

В СССР после большой предварительной теоретической и экспериментальной работы авторитетной комиссией, выделенной АН СССР и АПН СССР, возглавляемой академиком' Колмогоровым А. Н., созданы новые программы по математике, для школы. Эти программы осуществили коренное изменение традиций: отброшены вопросы, не связанные с совре-

менной наукой математикой; введены некоторые новые математические понятия, связанные с основами современной науки. Знаменательно, что новые программы по математике разбиваются на две части: программы, обязательные для всех учащихся, и программы дополнительные, предусматривающие их реализацию на факультативных занятиях, ставящих целью развитие одаренности тех учащихся, у которых начал проявляться настоящий интерес к предмету и методу математики. Предполагается, что факультативные занятия помогут учащимся не только хорошо усвоить оптимум обязательных математических знаний, но и в какой-то мере познать самих себя, свои интеллектуальные возможности и силы. В этом случае выбор будущей профессии каждый из них сделает в соответствии со своими подлинными окрепшими интересами и проверенными способностями.

Во II главе «Компоненты структуры математических способностей учащихся, указанные и развиваемые советскими психологами, экспериментально подтвердившиеся в нашем школьном опыте» анализируется и обобщается опыт советских психологов, и прежде всего опыт ведущего психолога математического мышления — доктора психологических наук, профессора В. А. Крутецкого.

Каждый из компонентов структуры математических способностей, открытых проф. В. А. Крутецким, автор экспериментально исследует на материале изучения старшеклассниками элементов математического анализа и математических вопросов повышенной сложности, выходящих за рамки программы традиционного школьного курса математики.

В § 1 «Способность к мышлению свернутыми структурами» в основном на примерах из темы «Неопределенный интеграл» раскрывается проявление соответствующего компонента структуры математических способностей, наблюдаемого в математическом поведении даровитых старшеклассников. Здесь же отмечается, что наиболее способные к математике ученики обнаруживают не только умение мыслить свернутыми структурами, но и естественное стремление к сокращенному мышлению, нетерпимость к подробным рассуждениям, подробным выкладкам при решении математической задачи и т. п. При этом тенденция к свернутому мышлению наблюдается не только тогда, когда эти учащиеся работают с давно известным, привычным математическим материалом, но и в работе с новыми, только что полеченными знаниями. Это положение иллюстрируется примерами работы наиболее способ-

ных к математике учащихся над задачами, взятыми из курса интегрального исчисления.

В § 2 «Содержательное понимание математических процессов» рассматривается компонент структуры математических способностей учащихся, названный В. А. Крутецким «Обобщение математических знаний».

Многократно организованные специальные эксперименты позволили исследователю наблюдать проявление этого свойства математического мышления учащихся в процессе работы над самыми разнообразными математическими вопросами.

В диссертации действенность этого компонента иллюстрируется, например, рассмотрением хода решения наиболее способными к математике учащимися уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Особо подчеркивается замеченная исследователем тенденция наиболее способных учеников искать в определенной частности ту общую закономерность, отражением которой эта частность является. Так, изучив для треугольника соотношение

(из которого, в частности, при Л = 90° получаем а1' = b2 + c2)r наиболее способные к математике учащиеся самостоятельно рассуждают, что своеобразным аналогом, обобщающим треугольник, в пространстве является тетраэдр. Имеет ли место аналогичная формула, например, для прямоугольного тетраэдра?

Вначале учащиеся затрудняются получить аналогичное соотношение для прямоугольного тетраэдра. Однако в результате настойчивой и напряженной работы приходят к формуле

где Sabc — площадь грани ABC тетраэдра, Saob , Saoc и ^вос — площади проекций д ABC на координатные плоскости.

В течение ряда лет автор наблюдал такую деталь обобщенного математического мышления у наиболее способных учеников, как стремление самостоятельно устанавливать общие математические закономерности и свойства и формулировать общие приемы и правила для решения всех однотипных задач. Утверждаемое иллюстрируется примерами математического поведения учащихся при работе над различными неопределенными интегралами.

В § 3 «Умение самостоятельно обратить процессы, связанные с доказательством теорем, тождеств, с решением задач» исследуется компонент структуры математических способностей, называемый «обратимостью мыслительных процессов».

Результатами многочисленных опытов и специально организованной экспериментальной работы автор подтверждает наличие этого свойства мышления у наиболее способных к математике старшеклассников и отмечает следующее: наиболее способные к математике ученики не только сравнительно легко и свободно обращают мыслительные процессы при решении специально предложенных и соответствующим образом подобранных математических задач, но и сами ставят себе задачи, обратные решенным, охотно ищут такие задачи, проявляют самостоятельную тягу к познанию математических процессов, обратных изучаемым.

Так, при изучении способа вычисления дуги плоской кривой с помощью определенною интеграла получили для работы формулу:

где а и b — абсциссы точек концов дуги данной кривой. Уже на первом занятии двое из наиболее способных наших учеников, О. М. и Ш. Н., опередив учителя в постановке соответствующей задачи, предложили «свою» формулу:

где с и (1 — ординаты точек концов дуги данной кривой; содержательно и полно обосновали справедливость этой формулы.

В § 4 «Гибкость математического мышления» рассматривается проявление указанного компонента структуры математических способностей учащихся старших классов при изучении элементов математического анализа, при вычислении ими различных неопределенных интегралов, при отыскании производных, пределов функций и т. п.

На основании многочисленных наблюдений делается вывод о том, что способные к математике ученики, решающие данную задачу единственным способом, в подавляющем большинстве случаев предварительно намечают, «просматривают в перспективе» несколько вариантов решения, выбирая наиболее надежный, наиболее рациональный.

В § 5 «Пониженная утомляемость при математической работе» в дополнение к результатам соответствующих исследований проф. В. А. Крутецкого и его ученика, доц. С. И. Шапиро, отмечается такое систематически наблюдаемое автором явление. Наиболее способные ученики сравнительно мало устают от занятий математикой, если эти занятия носят творческий характер (поиски «новых» доказательств теорем, решение интересных задач). И устают значительно быстрее, почти в такой же мере, как ученики со средними способностями, если математическая работа их мало интересна, однообразна, не связана ни с каким творческим процессом (например, продолжительные вычисления, не связанные с решением какой-нибудь содержательной математической задачи, без ожидаемых с интересом результатов).

Утверждаемое является результатом большого числа специально организованных соответствующих опытов.

В главе III «Компоненты структуры математических способностей учащихся, введенные автором как гипотезы, подтвердившиеся в его экспериментальной работе» делается попытка исследовать и систематизировать другие признаки математического мышления, характерные для наиболее способных учеников, признаки, наблюдаемые автором в течение ряда лет в условиях обычных занятий с учащимися на уроках математики, на кружковых и факультативных занятиях, и подкрепленные результатами специально организованных экспериментальных занятий. Заметная «устойчивость» этих признаков для разных учащихся и для различных возрастных этапов у отдельного ученика позволила автору предложить включить нижеуказанные признаки в число компонентов структуры математических способностей учащихся.

Каждому предлагаемому автором признаку-компоненту в III главе посвящается отдельный параграф.

В § 1 «Единство двух противоположных тенденций мышления учащихся к обобщению и «сужению» математических понятий» делается попытка уточнить и несколько расширить компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе «обобщение математических знаний».

Дело в том, что у способных к математике учащихся при усвоении нового материала довольно отчетливо наблюдается не только прямое восхождение к обобщению его. Одновременно (или почти одновременно) их мысль работает в обрат-

ном направлении, именно, в направлении «сужения» математических понятий.

В мышлении наиболее способных учеников при усвоении новых знаний прежде всего начинается самостоятельная конкретизация изучаемых явлений, тщательный пересмотр всех деталей изучаемого, исследование каждого возможного особого и частного случая. И одновременно с этим начинается процесс обобщения новых знаний. Так, например, определяя в аналитической геометрии диаметр эллипса, параболы, гиперболы как геометрическое место середин параллельных хорд, наши «юные математики» сразу же обратили внимание на то обстоятельство, что «старое» определение диаметра окружности можно заменить новым, таким же как определение диаметра эллипса, параболы, гиперболы. Тогда это «старое» определение диаметра будет частным случаем «нового», а для всех изучаемых кривых второго порядка будет одно общее определение диаметра.

В параграфе приводится множество других примеров, подкрепляющих вывод о том, что процесс восприятия способным учеником нового математического материала представляет собою синтез двух противоположных направлений в мышлении: усмотрения воспринимаемого в частностях и устремления от него к более общим положениям. В связи с этим в указанном компоненте возможно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике.

В § 2 «Диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний» раскрывается подмеченное в процессе исследования настойчивое проявление диалектических тенденций в логическом мышлении наиболее способных к математике учеников при интеллектуальной вообще, и прежде всего при математической работе. В мышлении этих учащихся гораздо раньше, чем у остальных их сверстников, пробуждаются зародыши интуитивного стремления постигать новые математические понятия в процессе их становления, через единство и онтогенез противоположностей в изучаемом математическом явлении. Почти в каждом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайней мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. Так, изучая определение тригонометрических функций острого угла, наиболее способные к математике восьмиклассники (шк. № 10 г. Краснодара) по соб-

ственной инициативе рассмотрели предельный случай подвижного прямоугольного треугольника с единственным постоянным катетом, когда этот треугольник вырождается в отрезок (гипотенуза совпадает с постоянным катетом, а переменный катет вырождается в точку — вершину прямого угла). Применив определение тригонометрических функций острого угла треугольника к этому предельному случаю его, самостоятельно установили, что sin 0° = 0; cos 0°=1; tg 0°=0; ctg 0° не существует; sin 90°= 1; cos 90°=0; tg 90° не существует; ctg 90° = 0.

Неожиданность выводов при аналогичном подходе к рассмотрению таких относительно простых явлений как подвижные геометрические фигуры и тела и при исследовании более сложных математических вопросов (бесконечные процессы, предельные переходы) заставляла учащихся задуматься над тем, что определенные количественные накопления могут приводить рассматриваемое явление (к новому качеству. Так, например, отношение приращения функции к приращению ее аргумента, когда последнее стремится к нулю, приводит к производной функции, римановы суммы при бесконечном увеличении числа бесконечно уменьшающихся слагаемых — к определенным интегралам и т. д.

Интересно отметить, что наиболее способные к математике старшеклассники, рассматривая, например, определения секущей и касательной в их взаимной связи, относительно легко и свободно приняли как единственно разумную точку зрения о том, что касательная есть предельное положение секущей, когда одна из общих точек секущей и кривой совпадает с другой такой общей точкой.

Ученики же со среднеразвитыми математическими способностями вначале предпочитали мыслить касательную как прямую, компланарную данной кривой и имеющую с ней только одну общую точку (по аналогии с первоначальным определением касательной к окружности). И только рассмотрение многочисленных примеров касательных к кривым второго порядка и трансцендентным кривым (синусоиде, косинусоиде, тангенсоиде) постепенно убедило этих учащихся в том, что в общем случае касательную нельзя понимать в том элементарном смысле, как она была представлена им в средних классах школы при изучении окружности, поняли необходимость общего определения касательной, введенного Лейбницем.

Отражение в математике различных диалектических про-

цессов, как правило, не увлекало лишь учащихся со слабо развитыми математическими способностями. Даже рассмотрение удивительных неожиданных результатов, связанных с бесконечными процессами, предельными переходами и г. д. оставляло их равнодушными. На каждую новую ступень логических размышлений эти учащиеся поднимались с трудом, при большом усилии учителя.

В диссертации приводятся разнообразные примеры того, как наиболее способные к математике ученики, диалектически осмысливая отдельные факты старого изученного материала, могут приходить к «открытию» новых математических явлений.

Отмечается, что при систематическом воспитании диалектического мышления учащихся на математическом материале, где особенно четко структурно вычленены, предельно сконцентрированы диалектические процессы, наблюдается дифференциация учеников, выделяющая более способных, среднеспособных и малоспособных к математике.

В § 3 «Особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям; противоположным ранее установленным» на многочисленных и разнообра?ных примерах показывается, что мышление увлеченных математикой учеников отличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, к новым возникающим закономерностям, не связанным с предыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающим из них, а иногда и вступающим в противоречие с ними. Так, сравнительно небольшой жизненный опыт успел довольно сильно упрочить у учащихся мысль о том, что множество всегда больше своей правильной части. И вдруг старое, привычное рушится, когда они узнают, что это верно лишь для конечных множеств элементов. Для бесконечных же множеств целое может быть эквивалентно своей правильной части. Например, четных чисел столько же, сколько целых; квадратов натуральных чисел столько же, сколько натуральных и т. п. Еще больший интерес вызвал у учащихся тот факт, что множество точек на любом сколь угодно малом отрезке эквивалентно множеству точек на любом сколь угодно большом отрезке. Посредством взаимно-однозначного соответствия наиболее способные к математике учащиеся самостоятельно установили справедливость этих удивительных- положений. С большим интересом и завидной легкостью усваивали они простейшие элементы теории множеств.

Интересно, что эти учащиеся сами предложили определение бесконечного множества: «бесконечным множеством называется такое множество, которое эквивалентно своей правильной части».

В диссертации приводится много других примеров, иллюстрирующих увлечение некоторых учащихся изучением новых математических закономерностей, обобщающих «старые» и вступающих в противоречие с ними.

Отмечается, что повышенное внимание к контрастам и взаимно-противоположным математическим явлениям, положительный эмоциональный настрой при исследовании таких явлений присущи далеко не всем учащимся, а лишь тем из них, которые наиболее склонны к серьезной творческой математической работе.

Указанная особенность математического поведения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у них элементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом, побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет их великий интерес к математике.

В § 4 «Особое увлечение способных учеников сложными математическими проблемами» сообщается о том, что каждый из «юных математиков» — учеников автора, как правило, был всегда увлечен какой-нибудь «своей», довольно трудной проблемой, довольно сложной математической задачей. Примерами таких задач могут служить Великая проблема Ферма, некоторые проблемы, поставленные Гильбертом, например, проблема равносоставленности равновеликих фигур, проблема формулы, лающий только простые числа, проблема Эйлера, о представлении любого четного числа, большего 2, суммой двух простых чисел и многие другие известные и мало известные, но довольно трудные проблемы-задачи.

Наблюдалось, что подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие маститые математики и решение которых до сих пор не найдено. И часто поиски решения этих задач становятся тем интенсивнее, чем больше неудач подстерегает юных мыслителей на избранном пути.

Привязанность к одной и той же математической задаче, «верность» ей, как правило, разделяет всех учащихся класса

на более устойчивых, менее устойчивых (преимущественно ученики со средней степенью развития математических способностей) и неустойчивых (наиболее слабые по математике ученики). Последних чаще всего вначале привлекает занятная форма поставленной математической задачи. При первых же трудностях проникновения в содержание ее они отступают от задачи и забывают о ней.

Автору удалось организовать ряд интересных опытов, результаты которых подтверждают мысль о том, что наиболее способные к математике учащиеся в подавляющем большинстве случаев как-то интуитивно чувствуют серьезность математической задачи и по .первому беглому ознакомлению с ее условием, еще до того, как начнут по-настоящему вести исследование, искать решение, они как бы предвидят степень предстоящих затруднений в поисках этого решения, что и привлекает к задаче их внимание.

Естественное влечение отдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам свидетельствует, по нашим наблюдениям, о склонности их к серьезной математической работе, о наличии у них способностей к успешным занятиям математикой.

В § 5 «Переувлечение математической работой с невозможностью быстро выключиться из процесса математических размышлений» в результате специальных исследований и на основании отзывов многих учителей математики отмечается, что наиболее способные учащиеся почти после каждого урока математики еще некоторое время продолжают жить теми математическими мыслями, которыми они были заняты на уроке, были «заряжены» в конце урока. Не раз наблюдалось, что после урока математики на следующем по расписанию уроке эти ученики продолжают увлеченно что-то обдумывать, вычерчивая на листе бумаги (или на парте) геометрические фигуры или записывая какие-то формулы; продолжают решать задачи, начатые, но не законченные на математическом уроке, и никак не могут легко переключиться на новую, не математическую работу, хотя данный урок обязывает их к этому. Как правило, для такого переключения увлеченным математикой учащимся требуется времени гораздо больше, чем ученикам, не отличающимся особой склонностью к математическим занятиям. При этом замечено, что чем интенсивнее велась учеником определенная, целенаправленная математическая работа, тем дольше по окончании ее он находится во власти мыслей, вопросов и матема-

тических идей, связанных с нею. Особенно это заметно тогда, когда математические занятия ученика прерываются искусственно до того, как он сможет полностью решить начатую задачу. В таких случаях увлеченный своей задачей, но вынужденный заниматься другими вопросами, ученик на первых порах очень рассеян, работает непродуктивно, постоянно ищет возможность возвратиться к нерешенной математической задаче, к новым поискам возможного решения.

В диссертации приводятся примеры таких наблюдаемых явлений.

В § 6 «Относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах» отмечается постоянно наблюдаемое разделение учащихся класса по тому интересу, который проявляют они при ознакомлении с построением основ математических наук на базе аксиоматического метода, по интересу и склонности к стропим логическим рассуждениям.

На основании предварительных наблюдений и результатов специально организованных экспериментальных замятий утверждается, что раннее признание надобности аксиом, заметное влечение к изучению аксиоматического метода построения науки может считаться одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и перехода их к зрелому математическому мышлению. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся.

В § 7 «Возникновение и развитие эстетических эмоций в интеллектуально-математической работе учащихся» приводятся многочисленные примеры, иллюстрирующие утверждение о том, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить v них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению.

Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический оклад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций.

Особенно ярко эстетическое чувство математического мыш-

ления наиболее способных учеников проявляется при решении ими различных математических задач.

В диссертации показано, как «юные математики» «эстетическим чутьем» улавливают самые рациональные, самые изящные и лаконичные приемы решения иногда довольно трудных математических задач.

Самостоятельное устойчивое стремление отдельных учащихся к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют, на наш взгляд, о наличии в мышлении этих учеников чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике

Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способстностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут, по нашим наблюдениям, служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников.

В § 8 «Сравнительно большая скорость продвижения способных учащихся в овладении математическими знаниями и повышенная быстрота решения математических задач» на примере изучения одного из наиболее трудных разделов математики — логического обоснования учения о длине окружности и площади круга — раскрывается наблюдаемый автором и многочисленными его коллегами факт довольно различной скорости и относительной легкости овладения новым математическим материалом у разных учащихся класса.

Как правило, у наиболее способных к математической работе учащихся скорость восприятия и усвоения новых знаний повышенная. У «средних» учащихся и тем более у учащихся с невысокой степенью развития математических способностей наблюдается замедленная скорость в овладении математическим материалом.

Считая повышенную скорость математического мышления с большой вероятностью одним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием наличия математических способностей, мы склонны рассматривать это условие, как компонент их структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальная ориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников.

В § 9 «Характерные особенности памяти учащихся, способных к математике» на основании опыта преподавания математики в старших классах школы, опыта работы с абитуриентами во время приемных экзаменов в вуз и дальнейшей математической работы со студентами утверждается, что наиболее способные к математике молодые люди в процессе математической работы ориентируют свое мышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем на запоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять не только отдельные математические факты, но и основные идеи, связываюшие их друг с другом и с остальным усвоенным ранее математическим материалом, четко определить логическое место новых познаваемых фактов в обшей системе определенных математических знаний. Большое значение в процессе запоминания имеет специальная психологическая установка на длительный срок хранения получаемой информации.

В диссертации обосновывается утверждение о том, что наиболее способные к математике ученики не запоминают и не стараются запомнить полностью, шаг за шагом всю последовательность рассуждений, ведущих к тому пли иному окончательному результату. Зато они очень отчетливо запоминают отправной момент вывода и основную идею вывода. Основываясь только на этом, учащиеся способны самостоятельно шаг за шагом постепенно восстановить весь процесс логического вывода. Так, например, помня только утверждение о невозможности представления | 2 никаким рациональным числом и то, что в основание вывода этого утверждения был положен метод от противного, способный ученик восстанавливает весь процесс вывода так: «Метод от противного подсказывает допущение, что дробь несократимая. Отсюда естественно перейти к 2Ь2 = а2, то есть а — четно. Но тогда a2 делится на 4. А последнее влечет четность Ь, чего не может быть, так как первоначальная дробь несократима. Противоречие обусловливает ложность нашего допущения».

В диссертации приводится обильная иллюстрация утверждаемого положения. Раскрываются особенности памяти учащихся, средне- и малоспособных к математике.

Глава IV «Преподавание математики в школе с учетом различной степени развития математических способностей учащихся» состоит из трех параграфов.

В § 1 «Компоненты структуры математических способностей учащихся как критерий для разбиения классного коллектива на три основные группы» подчеркивается важность при дифференцированно-групповом подходе в преподавании математики разделения учащихся класса на три группы на основании объединения в одну и ту же группу учеников с примерно одинаковой (в данный момент) степенью развития их математических способностей.

Подробно освещается опыт практического разделения учащихся класса на указанном основании, получения групп «А», «В» и «С», объединяющих соответственно учащихся с высокоразвитыми, среднеразвитыми и слаборазвитыми математическими способностями.

В § 2 «Принципы, положенные в основу дальнейшего развития математических способностей учащихся» освещаются приемы и средства, использованные автором для наиболее эффективного осуществления дифференцированно-группового преподавания математики, для систематического развития математических способностей учащихся каждой из трех основных трупп класса.

Подробно раскрывается сущность системы математических занятий с учащимися, основанной на психологизированной логике.

Освещается смысл историко-генетического метода преподавания математики. Даются примеры использования этого метода в практической работе исследователя. Наиболее характерными примерами иллюстрируется реализация в процессе преподавания математики принципов психологизированной логики (отдельно и в сочетании с историко-генетическим методом). Эвристический же метод преподавания математики в данном случае выступает как суженное, частное проявление историко-генетического метода.

В § 3 «Систематическое развитие математических способностей учащихся» излагаются приемы воспитания и развития у учащихся каждой из трех групп тенденции к самостоятельному творческому мышлению, повышенной любознательности к истокам математических фактов, к конструкциям различных методов логико-математических доказательств. Здесь показано, как на специально подобранных задачах осуществлялось воспитание у старшеклассников естественного интереса к самому процессу изобретения, становлению математического доказательства. При этом с учащимися различных групп проводилась несколько различная работа.

Подробно рассматриваются такие приемы развития математических способностей учащихся, как «создание проблемных ситуаций» на уроках и факультативных занятиях по математике, беседы с учащимися, связанные с очевидно неправильным выводом, но кажущимся правильным рассуждением (софизмы), опора на искусственно вызванный повышенный интерес к новому математическому материалу, на повышенную творческую активность учащихся, широкое использование нестандартных математических задач.

В главе V «Основные результаты эксперимента, проводимого в школах Краснодарского края» отмечается, что дифференцированно-групповое преподавание математики с учетом различной степени развития математических способностей учащихся и с целью дальнейшего развития математических способностей учеников каждой из трех групп «А», «В», и «С» дало положительные результаты.

Так, в школе № 8 станицы Ново-Титаровской Краснодарского края наблюдалось по классам, в которых велась экспериментальная работа, такое продвижение учащихся в более высокие группы:

В 9-10-м «Л» классе школы № 48 г. Краснодара наблюдалось такое изменение числового состава групп:

Из 32 учащихся этого класса (двое выбыли) к концу 11-го класса оценку «5» по математике имели 26 учащихся. Осталь-

яые имели оценку «4». 22 учащихся окончили школу с золотыми и серебряными медалями. Подавляющее большинство учащихся этого класса избрали для дальнейшего образования факультеты вузов, где основными являются предметы физико-математического цикла. Многие из них поступили и ныне учатся в ведущих вузах страны (МГУ, МИФИ, МФТИ и др.).

Из 18 окончивших школу молодых людей, с которыми автор проводил индивидуальные экспериментальные занятия, семь успешно закончили механико-математические факультеты Ростовского, Саратовского, Киевского, Махачкалинского университетов. Восемь человек ныне успешно учатся на механико-математических факультетах различных университетов, двое — на физико-математическом факультете Краснодарского педагогического института, один учится на механическом факультете Краснодарского политехнического института.

Проведенные исследования — это лишь первые пробные шаги на подступах к решению большой и важной задачи современности — систематического воспитания и развития математических способностей учащихся школ.

Ближайшие задачи, которые ставит перед собой автор, таковы :

1. Глубже изучать старые и продолжать поиски новых, наиболее эффективных способов обнаружения имеющихся у школьников математических способностей.

2. Искать, находить, осваивать и испытывать средства воспитания и дальнейшего развития математических способностей учащихся.

3. Продолжать поиски решения вопроса, как осуществлять изучение математики с учетом различных математических способностей учащихся.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Опыт преподавания математики в специальном классе. Сб. «В помощь учителю математики средней школы», Краснодар, 1968.

2. Золотое сечение в живописи и музыке. Сб. «В помощь учителю математики средней школы», Краснодар, 1968.

3. О компонентах структуры математических способностей учащихся. Ученые записки МОПИ, М-, 1969 г.

Л-73151 от 12Л1.69 г. Об'ем 1,5 п. л. Зак. 2356 Тир. 150 Типография газеты сНа боевом посту». Павловская, 8.