УКРАИНСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИКИ

На правах рукописи

Р. ГОРБАЧ

Графический метод как один из способов изучения функциональной зависимости в средней школе

Автореферат на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (методика математики)

Киев — 1952 г.

ВВЕДЕНИЕ

Основной задачей нашей школы является подготовка всесторонне развитых строителей коммунистического общества, идущих по пути, указанному Лениным и Сталиным. Поэтому средняя школа должна, во-первых, заложить прочный фундамент для формирования у учащихся марксистско-ленинского мировоззрения, во-вторых, дать учащимся систематические и прочные знания основ наук и, в-третьих, привить навыки, обеспечивающие приложение этих знаний в практической деятельности.

Осуществление этих задач коммунистического воспитания в процессе обучения требует в первую очередь повышения идейного уровня преподавания каждого предмета, каждой темы, в том числе и тем, связанных с изучением функциональной зависимости, а это может быть достигнуто только тогда, когда содержание учебного материала и методы преподавания его будут соответствовать этим задачам.

Настоящая работа посвящается содержанию и методам использования графического метода при изучении функциональной зависимости в курсе математики V—X классов советской средней школы. Графический метод изучения функциональной зависимости выбран потому, что этот метод, являясь наиболее доступным для изучения свойств элементарных функций в курсе математики средней школы (по словам Гончарова, «В средней школе функция не отделима от ее графического изображения»1), недостаточно разработан в методической литературе, а в школьной практике в процессе обучения графический метод используется далеко в недостаточной мере. Как часто ученик правильно чертит график логарифмической функции и, имея его перед глазами, не может ответить на вопрос о том, что происходит с логарифмом числа, когда это число, убывая, приближается к нулю и т. д.2

1 Гончаров В. Л. „Советская педагогика", 1945, № 3.

2 Подробнее см. статью Хинчина А. Я., „Советская педагогика'. 1944, № 11.

А между тем, ряд понятий (например, понятие о непрерывности, монотонности и др.), необходимых при изучении математики в высших учебных заведениях, можно в средней школе хотя бы приблизительно дать учащимся только при помощи графиков.

Источниками данного исследования являлись труды Всероссийских съездов преподавателей математики, учебники по математике, журнальные статьи, обмен мнениями с учителями школ, наблюдения за работой учителей и учащихся и личный опыт работы в средней школе.

Задача диссертационной работы заключается в том, чтобы показать, как практически при изучении понятия функциональной зависимости можно и. нужно использовать графический метод, то-есть дать методику использования графического метода (главным образом при изучении свойств функций), начиная с V и кончая X классом советской средней школы.

Предлагаемая работа состоит из введения, 6 глав и приложения, в котором дается опыт практического решения поставленных в диссертации задач.

В первой главе, которая называется «Графический метод вообще», дается краткое изложение истории применения графического метода, показывается широкое, всестороннее использование его, как рационального метода, в науке и технике, говорится о роли графического метода в тех отраслях науки и техники, где он является единственным методом для решения или исследования определенных вопросов. В современной математике рассматривается в основном две стороны использования графического метода: 1) в целях наглядности— для лучшего представления, запоминания, усвоения определенного процесса, явления и т. д. и 2) для нахождения неизвестного, которое часто можно найти только с помощью графического метода. Надо различать использование графического метода в аналитической геометрии и в алгебре. Аналитическая геометрия геометрические образы воплощает в аналитическое выражение (алгебраическую форму).

Использование графиков в алгебре противоположно использованию их в аналитической геометрии. В алгебре графический метод используется как вспомогательное средство для изучения свойств функций, иначе говоря, аналитическое выражение превращается в геометрический образ — график, по

которому исследуют тот или иной вопрос. Очень часто графическое решение вопроса бывает проще, легче, быстрее, чем аналитическое. Например, решить какое-нибудь уравнение— это значит найти точки пересечения графика, который изображает данное уравнение с осью ох.

Но одновременно с преимуществом графического метода в целом ряде случаев следует указать и на его основной недостаток — неточность результата. Однако, на практике точность, с которой можно решить определенный вопрос графическим методом, бывает вполне достаточной.

Широкое применение принципа замены функции ее графическим изображением привело к возникновению отдельной науки — номографии. Номография представляет собой ту отрасль математики, которая дает теорию построения особого вида рисунков, применяющихся для решения разного рода уравнений. Существенное отличие номографии от других графических методов, например, от графической алгебры, заключается в том, что графические методы вычислений и графическая алгебра производят геометрические построения для отдельных аналитических выражений. Для нахождения неизвестного надо каждый раз отдельно делать построения. А номография своей задачей ставит построение рисунков, эквивалентных данным формулам, пользование которыми уже не требует никаких дополнительных построений.

В работе показано преимущество номограмм перед разного рода счетными таблицами прежде всего в вопросе интерполяции.

Вместе с тем, обращается внимание и на основной недостаток номограмм, как и всякого графического метода, который заключается в том, что они могут дать ответ с ограниченной степенью точности.

Графическое изображение функциональной зависимости осуществляется в номографии с помощью двух существенно разных методов: метода помеченных линий и метода помеченных точек. В диссертации дается общая характеристика разных видов номограмм й указывается на принципы их построений.

Одной из центральных задач преподавания математики в средней школе должно быть развитие у учащихся идеи функциональной зависимости. Эта задача соответствует указаниям нашей марксо-ленинской философии: «Диалектический метод требует, чтобы явления рассматривались не только с точки

зрения их взаимной связи и обусловленности, но и с точки зрения их движения, их изменения, их развития».1

В процессе обучения необходимо добиться, чтобы для учащихся всякое математическое соотношение не было чем-то застывшим, неизменным, а чтобы они каждое математическое соотношение рассматривали, так сказать, «динамически», «в движении», изучали и исследовали процесс возможных изменений при данных конкретных условиях.

Достичь этого в средней школе в значительной мере поможет умелое изучение функциональной зависимости между величинами. В связи с этим в данной работе рассматривается использование графического метода в курсе математики средней школы при изучении функции.

Как известно, существует три способа изображения функциональной зависимости: 1) табличный, 2) графический, 3) аналитический.

В школе при изучении функциональной зависимости используются все эти три способа. Каждый из этих способов имеет свои преимущества и область применения. Но так как наглядность имеет большое значение в процессе обучения, то наилучшим, наиболее доступным при изучении функциональной зависимости как в пропедевтическом, так и в систематическом курсах, можно считать графический метод, который является наглядным изображением функциональной зависимости.

Так как идея функции должна проходить через все препо давание математики, то это понятие должно вводиться в школах очень рано. На первом этапе изучения функции в данной работе рекомендуется широко использовать графический метод в виде диаграмм и простейших графиков (графики температуры, давления воздуха, график движения поездов и т. д.), причем, материалом для составления диаграмм и графиков должны служить данные из фактов, которыми заинтересованы сами учащиеся.

После этого подробно излагается методика применения графического метода при изучении элементарных функций: линейной, квадратной, показательной и др.

В работе показано, что элементарные сведения о некоторых свойствах функций (о непрерывности, о монотонности и др.) можно дать в школе только пользуясь графиками, на которых все эти свойства выражены наглядно.

1 Краткий курс истории ВКП(б), глава IV. Госполитиздат, 1951 г., стр. 101.

Аналитический метод еще не вполне доступен учащимся в сзязи с возрастными особенностями их, а табличный метод не даст возможности сразу представить особенности хода изменения функции, найти наименьшее и наибольшее значение функции и т. д. Поэтому графический метод является наиболее рациональным в курсе математики средней школы. При использовании графического метода в школе необходимо работу поставить так, чтобы учащиеся свободно могли пользоваться графиками, владели бы техникой чтения графиков, построения графиков, «видели» на графике свойства функций. В результате всей работы надо достичь того, чтобы каждое алгебраическое выражение, отвлеченная формула превращалась в сознании учащихся в определенную функциональную зависимость. В работе указывается на широкое употребление диаграмм и графиков не только в курсе математики, но также при изучении в средней школе физики, химии, истории, биологии, литературы и т. д.

Дальше в работе исследуется вопрос о необходимости рассматривать в средней школе графический метод как основной наглядный метод для изучения свойств функций.

Изучение функций должно быть поставлено так, чтобы графики не были, бы только иллюстрацией, которой заканчивается изучение функций. График должен быть широко использован в самом процессе изучения функции, ибо только тогда использование графиков даст соответствующие результаты.1

Так как идея соответствия лежит в основе понятия функции, то в своих методических установках я особенно останавливаюсь на необходимости каждый раз подчеркивать соответствие между значением абсциссы (аргумента) и соответствующим ей значением ординаты (функции).

Во второй главе дается краткое изложение истории развития понятия о функции, начиная от сугубо геометрических изображений функциональной зависимости до современного определения понятия о функции, основанного на теории множеств.

Уже в древних греческих математиков существовало интуитивное представление о переменных величинах; эти представления были связаны исключительно с геометрическими образами: геометрические места и диоризмы. В связи с развитием экономики в XVI в. создаются новые методы, которые

1 Подробнее см. статью А. Я. Хинчина, „Математика в школе" 1939, № 5.

соответствовали потребностям новых форм производства. В науке выступает на первый план идея движения, которая приводит к развитию математических представлений, связанных с переменными величинами.

Дальше в этой главе исследуется история развития понятия о функции, начиная от Декарта, который понятие о функции дает не в общей форме, а в сугубо геометрической интерпретации. Декарт всякую функцию связывал с определенной «кривой» линией, для которой ордината точки есть функция ее абсциссы; понятие непрерывности он отождествлял с образом сплошной кривой линии без разрывов.

Такое же интуитивное геометрическое представление о функций встречается и у основоположников дифференциального и интегрального исчисления — Ньютона и Лейбница.

Термин «функция» был введен Лейбницом в 1694 году, Лейбниц уже пытается дать логическую формулировку принципа непрерывности.

В начале XVIII в. в науку вводится аналитическое определение функции, что явилось началом новой эпохи в изучении функций.

Первая попытка аналитического определения функции была сделана только в XVIII в. Ив. Бернулли, при решении изопериметрической задачи; он первый отказался от геометрического определения функции.

Заслуга в создании полного учения о функции принадлежит выдающемуся отечественному академику Леонарду Эйлеру. Он так определяет функцию: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-нибудь способом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств».1

Однако в конце XVIII в. стало ясным, что формально-аналитическое определение функции не отвечает требованиям науки. Надо было отказаться от аналитического выражения и установить, что «понятие функции исчерпывается просто совокупностью разных числовых значений величины х —значений, вообще говоря, совсем независимых от другого».2

Этой идеей и руководствовался гениальный русский математик Н. И. Лобачевский, который дал такое определение функции:

1 Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, т. 1, ОНТИ, М.-Л., 1936, стр. 30.

2 Функция, Б. С. Э. т. 59, ОГИЗ, М„ 1935.

«Общее понятие требует, чтобы функцией от данного х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х меняется.

Значение функции может быть дано или аналитическим выражением или условием, которое дает средство испытать все числа и выбирать одно из них, или зависимость может существовать и оставаться неизвестною.

В таком случае предположение, будто функция выражается аналитически, должно назваться произвольным. Обширный взгляд теории допускает зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе...».1

Последним этапом развития понятия о функции явилось дальнейшее обобщение этого понятия, основанного на теории множеств. Функция определяется так: «Говорят, что функция t (х) действительного переменного х определена на множеств Е действительных чисел, если каждому действительному числу X, которое принадлежит Е, соответствует вполне определенное действительное число х, которое называется значением функции f в точке х, причем пишут равенство у =f (х)»2.

Функция может изображаться тремя способами: 1) табличным, 2) графичным, 3) аналитическим.

Таблица — наиболее общий, всегда доступный способ исследования определенных процессов. Но в таблице особенности функции выражены недостаточно четко, особенно, если числовые значения в таблице даны с большим числом знаков. Кроме того, выразить у как функцию от х можно только для конечного, не очень большого числа значений х.

Но табличный способ изображения определенной функциональной зависимости является всегда возможным.

Для теоретических исследований наиболее удобным, наиболее общим является аналитический метод изображения функции. Он широко применяется особенно в том случае, если речь идет об общих законах. Но аналитическое выражение надо отличать от функции. Одна и та же функция может быть представлена различными аналитическими выражениями.

Несмотря на то, что понятие функции теперь уже не связывается с ее геометрическим представлением, все же гра-

1 Н. И. Лобачевский, Об исчезновении тригонометрических строк, Ученые записки Казанского университета, 1834, книга II, стр. 181 — 183.

2 Н. Лузин, Теория функций действительного переменного, Изд. 2-е. Учпедгиз, М., 1948,

фический метод широко используется при изучении некоторых свойств функции.

Использовав соответствующие системы координат, определенные функции можно представить наглядно в виде какой-нибудь линии (прямой, кривой, ломаной), в виде совокупности линий, совокупности точек, кружочков, квадратов, ромбов и т. д.

В связи в этим в работе обращается внимание на то, как широко применяется графический метод для наглядного изображения отдельных свойств функций (как например, четность и нечетность, периодичность, монотонность, непрерывность и разрывы функций, однозначность и многозначность функций и т. д.). С помощью графиков все эти свойства наглядно представляются в определенной системе координат. Следовательно, графический метод и до сих пор имеет большое значение для изучения функций, несмотря на то, что современное понятие о функции, основанное на теории множеств, — самое общее.

В третьей главе дается история введения в курс элементарной математики идеи функциональной зависимости и графического метода, как основного метода изучения функциональной зависимости в средней школе.

В конце XIX и в начале XX в, стало ясным, насколько элементарная математика, которую преподавали в средних школах, отстает от высшей, какой большой разрыв между ними. Наши отечественные передовые методисты старались в курс элементарной математики включить понятие о функции.

В диссертации доказывается неправильность утверждения, будто бы движение за реформу школы возникло в Западной Европе, а Россия слепо шла за ней. В действительности было совершенно не так. Уже Остроградский и его ученики1 много говорили о необходимости включения в программу средней школы вопросов, связанных с изучением функциональной зависимости. В 1892 г. в математической комиссии при учебном отделе Товарищества распространения технических знаний был поставлен вопрос о пересмотре программы средней школы. В это же время на страницах периодической печати высту-

1 В. И. Шкляревич в 1865 г. поместил в „Педагогическом сборнике" статью\s„Некоторые соображения о методе преподавания начальной математики", в которой, подверг строгой критике современное ему преподавание математики и выдвинул ряд идей, которые затем, легли в основу международного движения за реформу преподавания математики в средней школе.

пают известные русские методисты, как например, Шохор-Троцкий, мнение которого совпадает с мнением членов математической комиссии Т. Р. Т. З.1 На заседаний в 1893 г. Сердобинский прочитал свой реферат, в котором показал необходимость ввести в элементарную математику понятие о функции, при этом подчеркнул необходимость введения графических изображений функций. Большое значение введения понятия о функции и ее графическому представлению придавал профессор университета им. Шанявского В. П. Шереметьевский (1895 г.), проф. К. М. Щербина (в книге «Математика в русской средней школе», 1908 г.). Щербина отмечает, что без идеи функциональной зависимости «люди, которые окончили среднюю школу и не имели специального высшего математического образования, были б лишены могущественного средства миропознания... В настоящий момент не г ни одной отрасли человеческого знания, куда б не проникало понятие о функциях и их графических изображениях».

Новые идеи в преподавании элементарной математики находили отклики в литературе. Так, например, вышли «Начальная алгебра» И. Сомова (1875 г.), где рассматривались элементарные функции и их графические изображения, «Наглядная геометрия» профессора А. Астряба (1907 г.), где последняя глава была посвящена графикам, «Алгебра», ч. I, II В. Александрова (1908 г.), «Курс применимой адгебры» В. Лермантова (1911 г.) и др., в которых рассматривались некоторые функции и их графики.

В официальную программу гимназий понятие о функции и не было введено, но элементы анализа и аналитической геометрии были введены в программу сначала коммерческих училищ (в 1905 г.), а потом (в 1907 г.) и в программу реальных училищ. Однако, эти темы совершенно не были связаны с основным программным материалом и поэтому изучение этих тем не дало положительных результатов. Понятие о функции изучалось только как отдельный раздел программы, идея функциональной зависимости не выявлялась, не подчеркивалась на других уроках математики. Тема «Функции» была сама по себе и сама для себя.

Вся работа в области дальнейших методических исследований русских педагогов, математиков относительно введения в элементарную математику темы «Учение о функциях и их графиках» в дореволюционный период нашла свое отражение

1 Товарищество распространения технических знаний.

и утверждение в работах Всероссийских съездов преподавателей математики, которые происходили в начале XX в. (1-й съезд состоялся с 9 по 16 января 1912 г. в Петербурге. 2-й съезд был созван через два года в Москве и работал с 8 по 16 января 1914 г.).

Как на первом, так и на втором съездах был прочитан целый ряд докладов, посвященных реформе курса элементарной математики, в частности, введению идеи функциональной зависимости и графического метода в курс элементарной математики.

Там, например, были прочитаны такие доклады: «Использование графического метода в средне-школьной программе» Н. А. Томилина, «Номография и ее значение для средней школы» М. Л. Франка, «Требования преподавателей физики в области математики» А. И. Бачинского, «Понятие о функции в средней школе» С. Н. Бернштейна, «Вопросы реформы школьной математики с методической точки зрения» С. И. Полякова и другие.

Все участники этих съездов категорически требовали быстрейшего введения в школьную практику применения графического метода как одного из способов изучения функциональной зависимости. На съездах подчеркивалось педагогическое, методическое и общеобразовательное значение графического метода. Съезды приняли резолюции о немедленном введении идеи функциональной зависимости в курс математики средней школы.

После работы съездов в школах начали вводить учения о функциях и графику некоторых из них; однако эта тема изучалась в разделе аналитической геометрии. Впервые изучению темы «Функции и их графики» было указано определенное место в программе средней школы, а также была дана методика преподавания этой темы в книжке К. Ф. Лебединцева «Учение о простейших функциях, их графиках и теория пределов» (1916 г.), в которой автор детально на конкретных примерах показал, как надо изучать тему «Функции и их графики» в средней школе. К. Ф. Лебединцев графический метод подчинил наглядному изображению отдельных функций; таким образом графики у него служили для иллюстрации отдельных свойств функций.

Заслуга К. Ф. Лебединцева в том, что он впервые в русской методической литературе, самостоятельно, независимо от методической мысли Западной Европы, ввел графики для

наглядного изображения определенной функциональной зависимости в средней школе. Это давало учащимся возможность глубже изучить свойства рассматриваемой ими функции.

После выхода книги К. Ф. Лебединцева многим методистам и преподавателям стало ясно, что необходимо идею функциональной зависимости вводить в школе, начиная с младших классов. Однако в действительности в школах оставался старый способ изучения функций и их графиков, т. е. функции рассматривались в курсе математического анализа, а их графики в аналитической геометрии. Но даже и такой способ изучения функций вводился далеко не во всех школах. Несмотря на то, что вопросу о функциях уделялось много внимания все же разработать и обосновать методы изучения темы «Функции и их графики», дать определенные указания для работы преподавателей никто не смог. Да и не смогла бы этого сделать буржуазная педагогика.

Только советская педагогика, которая основывается на марксистско-ленинской методологии, смогла успешно решить самые сложные вопросы методики математики, в том числе вопрос о введении в курс алгебры темы «Функции и их графики», вообще о введении функциональной зависимости в математику средней школы.

Историю преподавания темы «Функции и их графики» в нашей советской школе можно разбить на четыре этапа, которые тесно связаны с развитием в нашей школе общих методических идей преподавания математики.

В диссертации дается анализ методики преподавания темы «Функции и их графики» в программах с 1917 г. по 1950 г.

Характерной особенностью этих программ было то, что в них большое место уделялось графическому методу, но в силу перегрузки программы практически не удалось осуществить надлежащее использование этого метода в школе.

Только после постановления партии и правительства о школе, материал программы начал соответствовать уровню математического развития и возможностям учащихся.

Соответственно постановлениям партии и правительства были пересмотрены программы, программа по математике была уменьшена, а в объяснительной записке к программе 1934 г. по алгебре указывалось, что «Идея функциональной зависимости изучается на протяжении всей программы по математике... Программа по математике предусматривает три

способа изображения зависимостей: как математическую формулу, как таблицу и как график».1

Характерной особенностью современного курса алгебры в советской средней школе является то, что идея функциональной зависимости пронизывает всю программу по математике, особенно по алгебре, и отражает стремление приблизить курс элементарной математики к современному уровню математической науки. В связи с этим возникает необходимость ввести более глубокое и более эффективное использование графического метода — как одного из способов изображения функциональной зависимости. В объяснительной записке к современной программе по математике подчеркивается, что одной из задач преподавания алгебры является «развитие идеи функциональной зависимости и ее графического изображения».2

Для того, чтобы ученик лучше мог представить себе определенную функциональную зависимость, необходимо создать наглядное изображение данной зависимости. А поэтому нужно, начиная с V, VI классов, вводить пропедевтический курс наглядного изображения функции в виде диаграмм и простейших графиков.

В четвертой главе дается методика введения элементов графического метода в курс математики V, VI, VII классов в виде диаграмм (V класс), простейших графиков (VI класс), графиков прямой пропорциональной зависимости и графический способ решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными (VII класс).

К сожалению, в современных учебниках по математике для средней школы3 почти совсем не разработан вопрос о методике и объеме пропедевтического курса функций и их графиков.

Однако в программе V, VI и VII классов указывается, что именно изучать, но не дается никаких указаний о методике преподавания этих вопросов. Недостаточное внимание к графическому методу на практике часто приводит к тому, что изучение графиков сводится или только к вычерчиванию гра-

1 Програма середньої школи, 2-е вид., „Радянська школа", Харків, 1934р.

2 Пояснюзальна записка до програми з математики. Програма середньої школи,\s„Радянська школа", Київ, 1950 р

3 Исключая „Задачник по алгебре" часть I Ларичева, где даются упражнения на построения диаграмм и простейших графиков, но на Украине этот задачник был издан лишь в 19.51 г.

фиков, причем это делается механически без исследование графиков, или наоборот, совсем не чертят графиков, а исследование функции производят аналитически, что не соответствует уровню развития учащихся этих классов. Поэтому в IV главе диссертации подробно исследуется не только объем того материала, который должен быть изучен в V, VI, VII классах, но также и методика изучения этого материала.

Наблюдения в школе показали, что уже начиная с V класса можно широко использовать прямоугольные диаграммы, как один из наглядных способов изображения функциональной зависимости. Надо добиваться того, чтобы учащиеся по квадратикам и прямоугольникам, из которых состоит диаграмма, «вычитывали» весь ход изменения определенного процесса, связывали при помощи диаграммы изменение одной величины с изменением другой, что крайне важно для развития «функционального» мышления. Необходимо при чтении диаграмм подчеркивать идею соответствия между значениями аргумента и соответствующими им значениями функций.

В VI классе по программе указывается на необходимость построения простейших графиков. Во многих школах графики эти чертятся учениками VI класса недостаточно сознательно. Ученики чертят систему координат, строят точки, соединяют их ломаной линией и этим ограничиваются. Конечно, для такого ученика графики останутся пустым местом.

Экспериментальные исследования убедили меня в том, что построение простейших графиков в VI классе лучше всего начинать с известных ученикам прямоугольных диаграмм и постепенным переходом от столбика к точке (конца вертикального отрезка) переходить к построению простейших графиков.

При таком построении графиков учащийся ясно себе представляет, что величина температуры изображается не точкой, а величиной вертикального отрезка, концом которого и является данная точка; и, чтобы узнать температуру, например, в 10-й день измерения, надо из точки горизонтальной оси, которая соответствует 10-му дню, восстановить перпендикуляр к пересечению с трафиком; деление на вертикальной оси, соответствующее концу перпендикуляра, и покажет температуру в 10-й день измерения. Необходимо научить учащихся читать график так, чобы он не был мертвой ломаной, а чтобы все эти повороты, спуски, подъемы говорили ученику о ходе изменения изображаемого графиком явления.

И только после таких упражнений в построении простейших графиков (на конкретных примерах) можно вводить понятие, о координатах точки, о системе координат и т. д. Эти сведения лучше всего давать уже в VII классе. Как проверено на опыте, эти сведения, если их давать постепенно и брать примеры, близкие к жизни самих учащихся, воспринимаются учащимися вполне сознательно и с большим интересом.

Систематическое исследование убедило меня, что при таком методе построения и использования графиков ученики VII класса четко себе представляют, что графиком прямой пропорциональной зависимости является прямая, обязательно проходящая через начало координат, и что графиком линейного уравнения с двумя неизвестными (линейная функция у = ах г + в) является прямая, параллельная прямой у — ах и отсекающая на оси оу отрезок равный в.

Что касается графического решения линейных уравнений, то в работе рекомендуется пользоваться графическим приемом не столько как способом решения уравнений, сколько как способом иллюстрации этого решения.

Многие педагоги возражают против графического решения линейных уравнений в VII классе. Но как показал проведенный опыт1, ученики VII класса; если постепенно знакомить их с графическим методом, свободно владеют им, вполне сознательно строят прямые и каждый случай решения линейных уравнений логически обосновывают.

Следовательно, боязнь многих учителей того, что ученики VII класса «недопонимают» графики, напрасна.

В пятой главе дается методика использования графиков при изучении в VIII классе обратной пропорциональной зависимости, линейной и квадратной функции; при изучении в IX классе показательной и логарифмической функции ив X классе при исследовании квадратного трехчлена, при решении неравенств и уравнений.

При изучении графика обратно пропорциональной зависимости я считаю необходимым рассмотреть, хотя бы на кружковых занятиях, график дробно-линейной функции.

Как известно, обратно пропорциональную зависимость у = — можно рассматривать, как частный случай дробно-линейной функции у = *Х±£ » в которой а = 0, в = к ах =

1 См. дополнение к диссертации.

~ i>Bl ===* 0. В V главе дается не только методика построения графика дробно линейной функции в общем случае,; но также и методика использования графика для решения некоторых уравнений и неравенств.

Вес это дает возможность учителю более глубоко познакомить учеников с обратно пропорциональной зависимостью, как с частным случаем дробно-линейной функции, ибо в стабильном учебнике по алгебре Киселева изучению обратно пропорциональной зависимости посвящается только один параграф, в котором дается неполный график функции у =

Никакого исследования графика для выяснения свойств функции не дается. Далее в V главе расматривается методика использования графиков при изучении в VIII классе линейной, а затем квадратной функции. В работе указывается на необходимость графического исследования поведения функции на всем промежутке изменения аргумента. Такое предварительное, самое элементарное исследование изменения хода функции по ее аналитическому выражению на всем промежутке изменения аргумента способствует развитию «функционального» мышления у учащихся. После таких предварительных упражнений рекомендуется исследовать поведение функции, ее свойства, пользуясь таблицей и аналитическим выражением, однако, в качестве основного метода изучения функции и тут рекомендуется график.

В школам в основном принят один способ построения графиков — по точкам. В этой же главе рекомендуется новый способ построения графиков функций, пользуясь предварительным исследованием ее аналитического выражения и графиками более простых функций. Такой способ построения дает возможность упрочить знания важнейших свойств функций и вместе с тем повторить арифметику и алгебру. Построение таким методом можно проводить в следующей последовательности:1 1) устанавливается область определения функции; 2) выясняется, периодическая ли данная функция или нет и, если периодическая, то какой ее период; симметричен ли график функции относительно характерных линий; 3) выделяются на плоскости те части, в которых заведомо не будут находиться точки графика; 4) сравнивается график с более элементарным, уже известным ранее графиком; 5) для уточ-

1 При таком методе построения необходимы элементарные звания теории неравенств (VII класс).

нения формы графика строятся еще несколько характерных точек. Так построенный график поможет учащимся лучше осознать свойства функции из ее графика. После таких упражнений учащийся легко поймет, почему графиком функции у ==х2, будет парабола, а не кривая иной формы.

В работе отмечается необходимость вводить такие упражнения, в которых дается график функции, а учащийся должен «прочесть» его, т. е. по графику охарактеризовать поведение данной функции.

В этой же главе дана методика использования графиков при изучении в IX классе показательной и логарифмической функции. При изучении показательной и логарифмической функции вводится впервые понятие обратной функции и рассматривается два способа построения графиков обратной функции, пользуясь графиком прямой.

На опыте мною проверено, что учащиеся, которые изучали свойства функции у = ах, у = loga х аналитически, не представляют себе их ясно; на самые простые вопросы не могут дать ответов. Те же учащиеся, которые изучали свойства этих функций при помощи графиков, давали ответы точные, ясные, логически вполне обоснованные. Изучение свойств логарифмической функции нужно связать обязательно с графиком показательной функции.

Так учащиеся при помощи графика легко убеждаются, что одна и та же кривая есть график как функции у = iux , так и функции X = Igy. Прежде чем изучать свойства функции необходимо дать учащимся доказательство существования логарифма для любого положительного числа. Легче всего доказательство это показать графически. После этих всех замечаний ученики переходят к изучению свойств функции у = luga X.

Если свойства функции изучать в указанном порядке, тогда учащийся, глядя на график функции у = lgx,, без затруднений скажет, чему равен логарифм числа 0,1 и т. д.

В V же главе дается еще методика использования графиков при решении уравнений, неравенств первой и второй степени и системы неравенств. На опыте доказано, что те учащиеся, которым очень трудно бывает разобраться аналитически в решении неравенств, свободно, легко и просто разбираются в решении неравенств, начертив, хотя бы схематически, графики данных функций.

Большой интерес вызывает у учащихся графическое решение уравнений. Злоупотреблять этим методом, конечно, не

стоит, но показать значение его надо, причем, надо решать графически такие уравнения, аналитическое решение которых еще не доступно учащимся.

Рассматривая тригонометрию прежде всего как науку о тригонометрических функциях, нельзя не обратить внимания на исключительную роль графиков при изучении тригонометрии. Однако, наши стабильные учебники очень редко при изучении свойства тригонометрических функций прибегают к графическому методу.

В VI главе я ставлю себе целью дать методику изучения свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, положив в основу изучения графический метод. Этот метод дает возможность учащимся наглядно представить некоторые свойства, которые без графика было бы в средней школе представить трудно (непрерывность, точки разрыва, монотонность и др.). В работе рассматривается три способа построения графиков тригонометрических функций: 1) по точкам, 2) геометрически, 3) построение графиков функций у = cosx и у =ctgx, используя графики функций у = sin х иy=tgx. В работе выясняется, что наилучшим способом построения графиков является геометрический и потому, что он простой, и потому, что построенный таким путем график дает более точные значения. Для построения графиков обратных тригонометрических функций в работе рекомендуется такой же способ, как и для построения графиков всех иных обратных функций.

Рассматривая графики, учащиеся хорошо себе представляют свойства функций, как это показал опыт. Чтобы еще больше развить у учащихся технику пользования графиками, даются способы нахождения значений функции по заданным значениям аргумента, т. е. составление таблиц, графическая интерпретация и т. д. Вообще показывается какое широкое применение могут иметь графики не только в курсе тригонометрии средней школы, но также и в математических и физических науках при изучении периодических функций и колебательных движений, например, колебание маятника, струны, изменение силы тока и т. д. В этой же главе рассматриваются графические способы решения тригонометрических уравнений.

В конце изучения тригонометрических функций дается пример на построение графика при помощи изучения аналитического выражения функции так же, как это делалось в курсе алгебры. Такие упражнения дают возможность хорошо повторить материал, Если некоторые свойства тригонометрических

функций можно изучить, не пользуясь графиками, то свойства обратных тригонометрических функций в средней школе должны изучаться исключительно по графикам (к сожалению, ни в одном стабильном учебнике методики изучения обратных тригонометрических функций у нас нет).

В главе VI изложена методика изучения обратных тригонометрических функций.

Прежде чем начать изучение обратных тригонометрических функций, в работе рекомендуется познакомить учащихся с некоторыми элементарными свойствами любых обратных функций. Без такой предварительной работы изучение обратных тригонометрических функций будет для учеников мало доходчивым, неясным. Учащиеся значительно легче воспринимают теорию обратных тригонометрических функций, если им известна зависимость между монотонностью прямой и однозначностью обратной функции и т. д. Поэтому в VI главе, прежде чем перейти к методике изучения свойств обратных тригонометрических функций, рассматривается теория обратных функций вообще, а дальше уже идет изучение свойств обратных тригонометрических функций. Пользуясь графиками, учащиеся сравнительно легко воспринимают эти свойства. В школе на уроках рекомендуется рассматривать графики только четырех тригонометрических функций: у = sinx; у = cosx; у = tgx; у — ctgx и четырех обратных тригонометрических функций: у = Arc*£inx, у = Arc cosx, у = Arc tgx, у == Arc-4Mgx.

Для большей четкости в различии функций, например, y = Arcsinx и у =arcsinx лучше чертить отдельно график главных значений функций: у = arcsinx, у = arc cosx, у = arctgx, у — arcctsx.

В десятом классе необходимо подытожить все знания, которые приобрели учащиеся по теории функций. Надо в сознании учащихся закрепить, систематизировать все те знания об Элементарных функциях, которые они получили в результате изучения курса алгебры и тригонометрии. С этой целью рекомендуется в конце 10 класса дать примеры на исследование различных элементарных функций, пользуясь их графиками. При этом графики надо строить не по точкам, а на основании предварительного анализа отдельных свойств функций. Такие упражнения способствуют не только повторению и закреплению материала, связанного с изучением функций, но также дают возможность повторить вопросы алгебры и геометрии.

ВЫВОДЫ

В итоге работы над диссертацией получены следующие результаты:

1. Использование графического метода в школе является одним из актуальных и эффективных методических приемов при изучении свойств функций.

2. Графический метод является наиболее доступным при изучении свойств элементарных функций в средней школе.

3. Ряд понятий (например, понятие о непрерывности, монотонности и др.) в средней школе можно дать учащимся только при помощи графиков.

4. Графики должны быть использованы в самом процессе изучения функции, а не только для «фотографии» функции.

5. Во многих школах применение графиков часто недостаточно эффективно оттого, что в этих школах при использовании графиков рабски копируют аналитическую геометрию в то время, как использование графического метода для изучения свойств функций прямо противоположно применению его в аналитической геометрии.

6. Для повышения качества изучения графиков необходимо в V — VII классах ввести пропедевтический курс изучения графиков (в работе дана методика введения элементов графического метода в курс математики V—VII классов).

7. Установлено содержание и разработана методика изучения основных свойств элементарных функций по их графикам (VIII—X классы).

8. Широкое использование графического метода при исследовании квадратного трехчлена, при решении неравенств, систем неравенств дает ученикам ответы с предельной ясностью.

9. Необходимо практиковать построение графиков в школе не только по точкам, что делается большей частью, а надо прежде чем строить график функции сделать анализ алгебраического выражения функции с целью выяснения общего вида графика.

6И 10846

Тип. КГПИ. Зак. 114-100