АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

ГОЛЬДБЕРГ Ю. И.

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Москва — 1954

1. Выбор темы диссертации продиктован тем, что изучение иррациональных чисел в средней школе представляет большие методические трудности, в литературе удовлетворительного разрешения вопроса пока нет, иррациональные числа плохо усваиваются учащимися. К этим выводам приводят материалы наблюдений и экспериментов, организованных и проведенных диссертантом в ряде школ г. Москвы, материалы ряда журнальных статей и исследований.

2. В методической литературе и в школьном преподавании математики отдельные разделы курса — в частности, различные виды чисел — разобщены между собой, мало уделяется внимания общим руководящим идеям, подчиняющим себе родственные, иногда просто не разделимые по существу вопросы.

И по сей день процесс развития понятия числа является в школе процессом эпизодическим. Это затрудняет предварительную подготовку учащихся к введению новых чисел, усложняет установление связи и единства вновь вводимых чисел с числами уже известными. Учитывая это, в настоящей работе преследуется цель показать необходимость установления связи иррациональных чисел с другими видами чисел, необходимость объединить в преподавании все виды чисел общей идеей развития понятия числа, выяснить трудности в разрешении поставленной задачи и в процессе всего исследования выработать методические пути и методы разрешения проблемы.

В школьный курс алгебры входят понятия и методы нескольких математических наук: арифметики, алгебры, аналитической геометрии, анализа. Сами по себе, изолированно друг от друга, эти понятия не только не дают учащимся правильного представления о предмете и методе науки, которую они представляют, но, напротив, способны вызвать у школьников лишь недоумение и неверное истолкование самого существа этих понятий. Одной из основных задач школьного курса математики является введение учащихся в круг основных общематематических идей, среди которых следует указать идею развития понятия числа.

Нельзя усвоить понятия числа, не изучив последовательно целых чисел, дробных, отрицательных, иррациональных, мнимых. Но не только следует изучить каждый вид чисел в отдельности — нужно постичь самый процесс развития понятия числа, самый процесс перехода от одного вида чисел к другому.

«Анализ понятий, изучение их, «искусство оперировать с ними» (Энгельс) требует всегда изучения движения понятий, их связи, их взаимопереходов» (Ленин В. И. Философские тетради. М., ОГИЗ, 1947, стр. 237).

Усвоить понятие каждого вида чисел в отдельности и действительного числа в целом, уметь оперировать этими понятиями можно, лишь изучив последние в их взаимной зависимости и взаимном переходе, в их взаимной связи и взаимном проникновении. Общее понятие действительного числа не создается и не существует отдельно от частных понятий: целое число, дробное, рациональное и иррациональное положительное и отрицательное. Оно создается и существует как диалектическое единство этих частных понятий.

«Общее существует лишь в отдельном, через отдельное. Всякое отдельное есть (так или иначе) общее. Всякое общее есть (частичка или сторона или сущность) отдельного» (Ленин В. И. Философские тетради. М., ОГИЗ, 1947, стр. 329).

3. В методической литературе и практике преподавания математики в школе каждый новый вид чисел — в частности, иррациональных — вводится без предварительной к тому подготовки, необходимой при изучении уже известных чисел. Это приводит к непреодолимым методическим трудностям при введении новых чисел. Предлагаемая работа ставит своей целью обосновать необходимость введения учащихся в круг идей, связанных с иррациональными числами, до определения последних и выяснить методические приемы для разрешения поставленной задачи.

На каждом этапе развития понятия числа уже усвоенные учащимися сведения и приобретенные навыки меняются под влиянием изучения новых чисел. При этом неизбежна борьба между прежним понятием числа, уже усвоенным и пережитым учащимся, и понятием новым, которое возникает в процессе ознакомления с вводимыми числами.

Иррациональные числа не появляются в школе как естественное и вполне законное расширение ранее построенного множества чисел, а возникают в представлении учащихся в виде чего-то совершенно чужого и непонятного. Главное затруднение, с которым сталкиваются учащиеся при введении иррациональных чисел, заключается в том, что они не привыкли рассматривать числа, выраженные бесконечными совокупностями цифр, и считают такие числа неестественными и причудливыми. На первых уроках в 8 классе изложение обычно бывает поспешным, скопляется масса непривычных и трудных для учащихся идей и приемов. Еще до 8 класса учащиеся должны приобрести твердые навыки в округлении десятичных дробей с точностью до 1; 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., ибо не все ученики 8 класса без затруднений справляются с этой за-

дачей; при операциях над рациональными числами учащиеся должны в совершенстве владеть техникой приближений, сохраняющейся в основных чертах и при операциях над иррациональными числами.

Очень важно, чтобы при встрече с бесконечными процессами, с бесконечными числовыми последовательностями учитель не старался поскорее от них избавиться. Бесконечных процессов не избегать следует, но искать и умело использовать для формирования понятия действительного числа. При делении целых чисел вносится полная ясность в вопрос о том, в каких случаях процесс деления закончится, в каких случаях он не закончится, причем в последнем случае цифры частного будут непременно повторяться.

При выполнении действий над приближенными значениями бесконечных десятичных периодических дробей учащиеся, в основном 7 класса, в порядке обновления повторяемого курса арифметики обнаруживают периодичность цифр в результатах действий. В простейших случаях делается вывод о характере результатов действий с участием бесконечных десятичных периодических дробей. Учащиеся оперируют числами, выраженными бесконечными совокупностями цифр, строят на числовой оси точки, соответствующие бесконечным десятичным периодическим дробям, проверяют себя построением точек, соответствующих равным им обыкновенным дробям. Техника операций над числами, выраженными бесконечными совокупностями цифр, учащимся становится знакомой; при введении иррациональных чисел удается обратить внимание на принципиальную сторону вопроса.

При извлечении в 7 классе квадратных корней из рациональных чисел проводится параллель между приближенными частными и приближенными корнями. Установление сходства и различия между ними способствует более глубокому и сознательному пониманию смысла тех и других.

Без упоминания о действиях над иррациональными числами в 7 классе решаются примеры на выполнение действий над приближенными значениями квадратных корней. И здесь в основу положен принцип рассредоточения трудностей, необходимо возникающих при введении иррациональных чисел. Выполнение действий над приближенными значениями корней сопоставляется и перемежается с выполнением действий над приближенными значениями бесконечных десятичных периодических дробей. В этих примерах обнаруживается много общего, иррациональные числа не представляются далее учащимся ненастоящими и противоестественными. Не следует при введении иррациональных чисел оставлять в тени новое, что приходит в математику с расширением существующей числовой об-

ласти, но не следует и показывать иррациональные числа только с точки зрения их отличия от рациональных.

В 7 классе обнаруживается лишь ограниченная выполнимость извлечения корней во множестве рациональных чисел, т. е. ограниченная разрешимость уравнений степени выше первой.

По мере ознакомления с квадратными корнями из неотрицательных чисел — в 7 классе, с корнями натуральной степени — в 8 классе, с мнимыми числами — в 10 классе практикуется составление и анализ учащимися таблиц, показывающих цельность и единство системы действительных, а затем и комплексных чисел, развитие, расширение числовых множеств, связь отдельных видов чисел между собой и переход от одного вида чисел к другому.

При изучении измерения отрезков показывается единство рациональных и вводимых иррациональных чисел. Переход от одних чисел к возникающим другим происходит при самом процессе появления бесконечных десятичных непериодических дробей. Введение иррациональных чисел является необходимым расширением множества рациональных чисел до множества чисел действительных.

4. В практике школы, в школьные учебниках, в методических пособиях и статьях — нигде не рассматривается обобщение, систематизация и углубление, основных сведений о ранее известных числах как необходимый этап на пути к созданию новых чисел. Одной из целей настоящей работы является исследование вопроса о роли, месте и содержании обобщения и углубления основных вопросов рациональных чисел накануне введения иррациональных чисел и для этого введения.

Исследованная система изучения иррациональных чисел в 8 классе предваряется обзором основных положений, касающихся целых чисел, дробных и отрицательных. Этот обзор преследует цель установить определения арифметических действий над рациональными числами, определение самих рациональных чисел, основные свойства этих чисел. В результате такого обзора и в результате работы, проведенной в 7 классе, во-первых, приводятся в систему основные сведения о множестве рациональных чисел, во-вторых, обнаруживается непосредственная потребность расширения этого множества. После введения иррациональных чисел и рассмотрения действий над ними начинается систематическое изучение поля действительных чисел, продолжающееся вплоть до введения мнимых чисел, а затем и после этого введения.

Вместе с учащимися устанавливается четкая определенность в терминах: целое неотрицательное число и натуральное число, разбирается вопрос о выполнимости действий в области целых неотрицательных чисел, о происхождении натуральных

чисел из счета и нумерации предметов, из измерений величин, в которых единица измерения укладывается без остатка^. Здесь же обнаруживается скованность практических операций и недостаточность математического аппарата, базирующегося лишь на целых числах, формулируются задачи, приводящие к возникновению дробей. Устанавливается, что в понятие дроби-числа должны входить определения сравнения дробей по величине между собой и с целыми числами, определения арифметических действий; вместе с учащимися создается определение дроби-числа, дробные числа изображаются на числовой оси, устанавливается свойство плотности множества рациональных чисел, выполнимость и невыполнимость действий во множестве неотрицательных рациональных чисел.

Аналогично углубляются и приводятся в систему вопросы расширения множества рациональных неотрицательных чисел до множества рациональных чисел, формулируется возможность изображения последних в виде конечных либо бесконечных периодических десятичных дробей — положительных и отрицательных, необходимость следующего расширения построенного числового множества.

Педагогический опыт диссертанта и организованная экспериментальная работа показали, что изложенный материал воспринимается учащимися вполне успешно, о чем говорит как текущий опрос на уроках, так и проводимые экспериментальные контрольные работы. Вдумчивый подход к составлению плана каждого урока дает возможность даже при существующем напряжении в 8 классе, в особенности в первой учебной четверти, провести достаточно содержательное повторение, систематизацию и углубление знаний учащихся в области рационального числа; в классах, где таковой работы не проводилось, вначале намечалось незначительное преимущество в умении решать традиционные примеры, но затем оно сошло на-нет. Если провести изложенную работу, учащиеся естественнее и охотнее воспринимают вновь вводимые иррациональные числа, правильно и толково рассказывают о практических задачах, вызывающих возникновение этих чисел; проведенная работа положительно сказывается на дальнейшем процессе формирования понятия действительного числа.

5. При изучении в школе рациональных и иррациональных чисел и при разработке методики их преподавания мало уделяется внимания вопросам происхождения того или иного вида чисел из реального мира, из разрешения вопросов практики в широком смысле этого слова; мало уделяется внимания показу связи изучаемых чисел с реальным миром, служения этих чисел делу познания объективной действительности. Среди задач настоящего исследования следует указать изучение вопроса о возможности и необходимости установления связей рацио-

нальных чисел с практическими задачами и реальными объектами окружающего нас мира при последующем установлении аналогичных связей для иррациональных чисел.

При углублении и систематизации основных сведений о рациональных числах перед введением чисел иррациональных учащимися устанавливаются и четко формулируются практические задачи, которые привели к возникновению целых чисел, дробных, отрицательных, а затем и иррациональных, задачи теории и практики, разрешению которых служит каждый вид чисел, их развитие.

После введения иррациональных чисел их происхождение и связь с реальными объектами материального мира утверждаются двумя путями: опосредствованным и непосредственным.

Опосредствованный путь подразумевает изучение иррациональных чисел в единстве с рациональными, происхождение которых из реального мира более очевидно и легче воспринимается учащимися. Установление единства рациональных чисел с иррациональными достигается несколькими путями. Введению иррациональных чисел предшествуют систематизация и обобщение основных сведений о рациональных числах, приводящие к необходимости введения чисел иррациональных. При изучении измерения величин и исследовании корней уравнений рациональные числа вновь выступают в единстве с иррациональными, решаются специальные задачи, показывающие переход от одних чисел к другим. Те и другие показываются как бесконечные десятичные дроби; и те и другие изображаются точками на числовой оси. Множество рациональных чисел, равно как множество иррациональных чисел и множество действительных чисел, обладает свойством плотности. Рациональные и иррациональные числа сравниваются друг с другом по величине; производятся арифметические действия над теми и другими числами. Учащиеся с пятого по десятый класс составляют и анализируют постепенно усложняющиеся по форме и по содержанию таблицы целых, затем неотрицательных рациональных, рациональных, действительных, и, наконец, комплексных чисел. Таблицы эти, показывая цельность и единство соответствующих числовых множеств, необходимость, пути и самый процесс их расширения, одновременно служат воспитанию в учащихся идеи соответствия, отображения одного множества на другое, идеи функциональной зависимости. При изучении функций и их графиков рациональные значения аргумента перемежаются с иррациональными, рациональные параметры с иррациональными и т. д.

Непосредственная связь иррациональных чисел с задачами практики обнаруживается тоже несколькими путями. Учащиеся устанавливают и формулируют происхождение иррациональ-

ных чисел из измерения величин, необходимости выполнения обратных действий, разрешения уравнений выше первой степени. При изучении пропорциональных отрезков учащиеся легко и быстро строят пары отрезков, соизмеримых и несоизмеримых между собой, пользуясь свойствами биссектрисы угла треугольника, сторон угла, пересекаемых рядом параллельных прямых, параллельных прямых, пересекаемых пучком прямых. Соизмеримость и несоизмеримость отрезков отождествляется с рациональностью либо иррациональностью их численных мер; иррациональные числа выступают во множестве отношений с объектами реального мира. При изучении площадей, а затем и объемов легко выполняются задачи на построение фигур, площади (объемы) которых заведомо выражаются как рациональными, так и иррациональными числами, задачи на построение пар фигур, отношение площадей (объемов) которых заведомо рационально либо иррационально. Это снова дает возможность показать единство рациональных и иррациональных чисел, связь действительных чисел с объектами окружающей нас жизни. При рассмотрении изменения тригонометрических функций в связи с изменением аргумента разбирается вопрос о соизмеримости и несоизмеримости участвующих в рассмотрении отрезков, о рациональности либо иррациональности значений изучаемых функций, строятся углы по заданным рациональным и иррациональным значениям их тригонометрических функций. Аналогичная работа выполняется при изучении функциональной зависимости вообще. Учащиеся изучают последовательности, членами которых являются и рациональные и иррациональные числа. Изучение таких последовательностей приводит учащихся к разрешению задачи большого принципиального и практического значения — вычислению длины окружности. На дуги одинакового радиуса и на углы без труда распространяются понятия соизмеримости и несоизмеримости, рассматриваются вопросы их рациональности и иррациональности. Иррациональные числа познаются в связях с объектами и отношениями реального мира, в их зависимостях; возникают из познания реального мира и для этого познания.

6. В практике школы и в методической литературе определения действий над иррациональными числами вводятся таким образом, что не ясно, существует ли результат определяемого действия, единственен ли он и как его можно отыскать. В диссертации даются определения арифметических действий над иррациональными числами, свободные от указанных недостатков. В основу этих определений положен факт, что действительное число считается заданным, если можно отыскать любой его десятичный знак. Вместе с тем обнаруживается, в некотором смысле, аналогия между правилом подсчета верных цифр в ре-

зультатах действий над приближенными значениями десятичных дробей и над иррациональными числами.

7. Решения XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза о политехническом обучении в средней школе и о проведении мероприятий, необходимых для перехода ко всеобщему политехническому обучению, ставят перед работниками нашей школы задачу такого преподавания основ наук, которое устанавливало бы единство науки и практики, давало бы учащимся умения и навыки выполнения операций, встречающихся в трудовой деятельности человека. Одна из целей данной диссертации — способствовать соединению идейного, научного и вместе с тем доступного преподавания иррациональных чисел в средней школе с привитием учащимся навыков и умений, необходимых в их дальнейшей практической деятельности.

Политехническое обучение понимается не как нечто, прилагающееся к общему образованию, но как органическая составная часть образования. Во всей работе широко практикуется составление и изучение учащимися различных числовых таблиц, что служит целям изучения действительных чисел и составляет неотъемлемую часть политехнического обучения в школьном курсе математики.

В исследовании много уделяется внимания выполнению действий над приближенными значениями рациональных и иррациональных чисел, чем достигается познание учащимися множества действительных чисел и приобретение навыков и приемов приближенных вычислений, необходимых в практической, трудовой деятельности.

В связи с изучением иррациональных чисел в единстве с рациональными глубже и содержательнее рассматриваются вопросы функциональной зависимости и ее графического изображения, — последнее играет большую роль в современном производстве. Наконец, при изучении действительных чисел рассматриваются задачи с конкретным содержанием, решение которых дает учащимся умения и навыки в разрешении практических задач.

8. Ни в школьных учебниках, ни в методических работах, ни в школьном преподавании не уделяется внимания углублению и закреплению знаний учащихся об иррациональных числах после их формального введения, не уделяется должного внимания систематизации и расширению полученных знаний о новых числах. Целью настоящего исследования является обоснование необходимости такой работы для правильного и полного понимания и усвоения учащимися новых чисел, для многостороннего и более глубокого познания ранее введенных чисел, отыскание таких форм и методов этой работы, которые

служили бы и более сознательному и глубокому познанию учащимися других важных разделов и идей курса математики.

Необходимость закрепления, систематизации, а вместе с тем и расширения знаний об иррациональных числах диктуется в основном тем, что последние усваиваются большинством учащихся неполно и поверхностно. Без приведения в единую систему вновь приобретенных знаний со знаниями уже известными, без соподчинения и дополнения одних другими учащиеся не будут иметь правильного представления об изучаемом предмете. Понятия тем полнее и глубже усваиваются человеком, чем в большем количестве связей, зависимостей и сопоставлений они возникают и формируются. На каждом новом этапе эволюции понятия числа должны пересматриваться все ранее введенные числа; множество действительных чисел должно изучаться во всем многообразии его качеств и свойств. Числа целые и дробные, положительные и отрицательные, рациональные и иррациональные рассматриваются в их взаимной зависимости и взаимном переходе друг в друга; они сравниваются, сопоставляются и противопоставляются. В процессе изучения действительных чисел вызывается необходимость и создается основа расширения множества действительных чисел до множества чисел комплексных. Методы и приемы осуществления этих задач весьма разнообразны: построение на числовой оси точек, соответствующих бесконечным десятичным периодическим и непериодическим дробям — и положительным и отрицательным; построение углов, соответствующих и иррациональным значениям тригонометрических функций; всевозможные приемы построения заведомо соизмеримых и несоизмеримых отрезков; рассмотрение соизмеримости и несоизмеримости дуг и углов; построение фигур, площади либо объемы которых заведомо рациональны и иррациональны, отношение площадей или объемов которых рационально и иррационально; составление и анализ учащимися таблиц рациональных чисел, таблиц иррациональных чисел, таблиц действительных чисел — положительных и отрицательных; исследование рациональности и иррациональности корней уравнений; изучение вопросов плотности и непрерывности числовых множеств; сопоставление действий над иррациональными числами — бесконечными десятичными непериодическими дробями — с действиями над рациональными числами — бесконечными десятичными периодическими дробями; изучение последовательностей рациональных и иррациональных чисел; изучение функций рациональных и иррациональных аргументов с рациональными и иррациональными параметрами — и т. д. Эта работа не требует дополнительной затраты времени сравнительно с установившимся преподаванием математики; традиционные вопросы курса понимаются и усваи-

ваются учащимися более глубоко, содержательно и прочно. Весь ход исследования позволяет сделать эти выводы.

9. В процессе исследования вопросов чему и как учить ученика, нельзя было обойти и вопроса, как ученик и класс учатся, как они усваивают изучаемый материал и приходят от незнания к знанию, от менее прочных и менее глубоких знаний к более прочным и более глубоким знаниям, как влияют на учебный процесс недостатки в знаниях учащихся, какие затруднения возникают у каждого ученика в отдельности и у класса в целом. Намечались пути устранения обнаруженных недостатков, проверялась их эффективность, — изучением процесса и результатов обучения, — на практике проверялось и совершенствовалось содержание предполагаемого диссертационного материала, в него вносились существенные дополнения и изменения.

10. На первых этапах настоящего исследования изучались состояние и история преподавания действительных и мнимых чисел в школе. С этой целью посещались уроки различных учителей, заседания школьных методических объединений, районные учительские совещания по обмену педагогическим опытом, школьные экзамены, семинары Московского Городского института усовершенствования учителей, педагогические чтения, организуемые Академией педагогических наук РСФСР. По заранее намеченным вопросам проводились беседы с учащимися, учителями и научными работниками, изучались материалы педагогических чтений, районных методических кабинетов, дореволюционные и послереволюционные журнальные статьи, школьные учебники, материалы учительских съездов, методические пособия и монографии. Большое внимание было уделено изучению личного педагогического опыта диссертанта в 1943/44 учебном году в средней школе Тепловского района Чкаловской области и затем в средней школе № 175 Свердловского района и в средней школе № 585 Ленинского района г. Москвы; в нескольких школах диссертантом была организована и проведена экспериментальная работа.

При посещении уроков и беседах с учителями обнаруживались недостатки в методике преподавания различных вопросов учения о числе в средней школе, недостатки в знаниях, умениях и навыках учащихся. Наблюдения в различных классах, беседы с учителями анализировались, сопоставлялись друг с другом. Появлялась возможность не только отметить те или иные недочеты в преподавании вопросов числа, но и установить причины этих недочетов, выяснить, какие обстоятельства привели к их возникновению. Одновременно анализировался и обобщался положительный опыт школ и учителей, раскрывались значение и смысл обнаруженных положительных фактов. При изучении положительных и отрицательных сторон знаний

учащихся и работы учителей изучались и обобщались методы и средства, которые привели к наблюдаемым положительным либо отрицательным явлениям.

В процессе исследования много внимания было уделено тому, чтобы вопросы преподавания действительных чисел в средней школе были подчинены требованиям марксистского диалектического метода, учению И. П. Павлова — в частности, о первой и второй сигнальных системах и о динамическом стереотипе; содержание преподавания исследовалось, исходя из задач нашей школы, современной математической и методической науки, особенностей психологии учащихся.

Изучение истории математики и истории ее преподавания дало возможность проследить тенденции в преподавании числа в школе, что сыграло положительную роль в процессе исследования.

При работе в школе, преимущественно в 8—10 классах, диссертантом велось систематическое изучение, анализ и обобщение личного опыта преподавания математики вообще и вопросов числа в частности; записывались наблюдаемые недостатки в знаниях учащихся, анализировались их причины, намечались пути устранения. В частности, в 1943/44 учебном году велись наблюдения над состоянием преподавания и уровнем знаний по математике учащихся средней школы Тепловского района Чкаловской области; с 1949 года аналогичная работа велась в средней школе № 175 Свердловского района и средней школе № 585 Ленинского района г. Москвы.

Проверочный эксперимент, организованный в 10-б классе средней школы № 175 в 1951/52 учебном году, обнаружил целый ряд недостатков в знании учащимися действительных и мнимых чисел, в их умении оперировать этими числами. Анализ и теоретическое обобщение результатов эксперимента были использованы в положительной части исследования.

На основании изучения живого опыта учителей, а также опыта, почерпнутого из литературных источников, заседаний методических объединений, конференций и семинаров намечались отдельные методические приемы и способы устранения недочетов в преподавании вопросов числа. Экспериментальным путем проверялась их эффективность, обнаруживались достоинства и недостатки. Вся эта работа, с одной стороны, дала возможность уточнить цели и границы исследования, с другой стороны, предоставила значительный материал для положительной части диссертации, причем этот материал в ходе дальнейшего исследования изменялся в одних частях, сокращался либо вовсе отвергался в других, дополнялся новым материалом в третьих.

С каждым новым шагом исследования, по мере накопления содержания работы, все большие размеры принимала экспери-

ментальная проверка накопленного материала, его усовершенствование в ходе педагогического процесса, включавшего экспериментальный материал.

В сентябре 1952 года в 8-а классе средней школы № 585 Ленинского района г. Москвы диссертантом была организована экспериментальная работа по углублению, систематизации и обобщению основных сведений о рациональных числах перед введением чисел иррациональных. Цели этого педагогического эксперимента состояли в следующем: проверить доступность для учащихся опытного материала в части, касающейся непосредственной подготовки в 8 классе к введению иррациональных чисел; проверить эффективность и разумность исследуемых форм работы для введения иррациональных чисел и формирования понятия действительного числа; в ходе экспериментальной работы внести в предполагаемый диссертационный материал необходимые усовершенствования.

Для осуществления первой цели из урока в урок учителем-диссертантом велся подробный дневник, куда заносилось по возможности все, относящееся к уроку: тема, проверка и выполнение учащимися домашнего задания, содержание нового материала на уроке — и традиционного и экспериментального, — вопросы преподавателя, ответы учащихся, вопросы учащихся; отмечались интерес, внимание, общее настроение класса, проводилось сравнение настоящего урока с предыдущими. Параллельно диссертант работал в 8-в классе, по общему признанию одинаковом по силе с 8-а, вел также дневник в этом классе; до введения иррациональных чисел в 8-в излагался лишь традиционный материал. В процессе исследования работа в том и другом классах сопоставлялась, сопоставлялись записи обоих дневников, изучался вопрос о том, как влияет усвоение экспериментального материала на усвоение материала традиционного. Для более тщательного наблюдения и изучения вопроса об усвоении учащимися экспериментального материала диссертантом ставились естественные индивидуальные эксперименты по совету и указаниям Научно-исследовательского института психологии Академии педагогических наук РСФСР. Такой вид экспериментальной работы позволял следить и за тем, что и в какой степени усваивают учащиеся, и за тем, как происходит самый процесс усвоения, какие трудности при этом возникают, позволял обнаружить причины этих трудностей и наметить пути их устранения.

При проверке эффективности и целесообразности систематизации и обобщения основных сведений о рациональных числах для введения иррациональных и для формирования понятия действительного числа вся остальная работа в 8-а и 8-в классах — начиная с введения иррациональных чисел и до конца года — велась совершенно одинаково. Диссертантом-учите-

лем в обоих классах тщательно велся дневник на протяжении и остальной части года. Записи в дневнике, домашние, классные и контрольные работы обоих классов анализировались, сопоставлялись; удавалось судить о степени влияния рассмотренного в 8-а и не рассмотренного в 8-в материала не только на изучение действительных чисел, но и на изучение вообще математики в 8 классе. Наконец, в ходе эксперимента при анализе домашних, классных и контрольных работ, протоколов естественных индивидуальных экспериментов, записей в дневнике обнаруживались и устранялись несовершенства опытного материала: в одних частях он оказывался слишком растянутым и сокращался, в других частях был слишком лаконичным и детализировался, в третьих труден для понимания учащихся и делался более простым, доступным — и т. д.

При изучении функциональной зависимости в 8-а и 8-в классах в том же учебном году была организована экспериментальная работа по углублению, закреплению и развитию сведений и навыков учащихся, относящихся к действительным числам, в связи с изучением функциональной зависимости и для этого изучения. Цели проведенного педагогического эксперимента сводились к следующему: 1) проверить эффективность и необходимость для формирования понятия действительного числа проведенной в начале года в 8-а классе работы над рациональными числами и исследовать вопрос о затруднениях учащихся 8-в класса, где таковой работы не было; 2) проверить доступность предлагаемого материала для понимания и усвоения его учащимися; 3) убедиться, в какой степени возможно изложение предлагаемого материала в связи с насыщенностью программы 8 класса; 4) внести в экспериментальный материал ряд изменений и дополнений, продиктованных ходом эксперимента и его результатами; 5) исследовать роль проводимой работы в процессе изучения учащимися действительного числа и ее влияние на усвоение других разделов курса математики, в частности учения о функциях и их графиках; 6) исследовать вопрос о целесообразности вообще для школы материала, подвергаемого экспериментальной проверке.

Первая цель была достигнута благодаря постоянному сравнительному анализу хода и результатов проводимой работы в 8-а и 8-в классах. Результаты сравнения анализировались, устанавливались причины обнаруженных недостатков либо достоинств проводимых уроков, работ и ответов учащихся. С целью проверки доступности материала для понимания и усвоения его учащимися применялись уже описанные методы исследования: ведение и изучение дневника в обоих классах, естественные индивидуальные эксперименты, изучение классных и домашних работ, проверочные эксперименты в виде контрольных работ.

Эти же методы дали возможность осуществить третью, четвертую и пятую цели эксперимента.

Для разрешения вопроса о целесообразности и необходимости применения в практике школы всего экспериментального материала, относящегося к 8 классу, в конце третьей четверти были проведены контрольные работы в 8-б и 8-д классах того же содержания, что и в 8-а и 8-в классах, причем работа в 8-б и 8-д классах велась очень опытным и умелым учителем при обычном изложении традиционного материала. Сопоставление и анализ результатов заключительных контрольных работ в 8-а и 8-в классах — с одной стороны, в 8-б и 8-д классах — с другой, равно как и анализ результатов всего учебного года, позволили судить о целесообразности и даже необходимости исследованных отклонений от принятого изложения традиционного материала.

В процессе работы над диссертацией одним из методов исследования было обсуждение с практическими работниками школы отдельных глав и разделов диссертации, находящейся в стадии написания. В 1950/51 и в 1951/52 учебных годах отдельные вопросы диссертации обсуждались на заседаниях методического объединения преподавателей математики средней школы № 175 Свердловского района г. Москвы и в 1952/53 учебном году — средней школы № 585 Ленинского района г. Москвы. Учителя высказывались по обсуждаемым вопросам диссертации, делились собственным опытом в исследуемых вопросах. Эти критические замечания и предложения оказали значительное влияние на содержание работы. Аналогичное обсуждение диссертации было организовано в Московском Областном институте усовершенствования учителей и на семинаре Московского Городского педагогического института им. В. П. Потемкина при участии членов кафедры высшей алгебры и элементарной математики, методики преподавания математики и учителей различных школ г. Москвы.

В начале 1952/1953 учебного года диссертантом был организован также длительный педагогический эксперимент в десятых классах средней школы № 175 г. Москвы и Чоботовской средней школы Кунцевского района Московской области. На протяжении десяти уроков алгебры, предшествующих введению мнимых чисел, проводились повторение, систематизация, углубление и обобщение основных сведений о действительных числах. Цели эксперимента были следующие: исследовать вопрос о понимании и усвоении предлагаемого материала учащимися 10 классов и о возможности уделить время повторению и углублению основных сведений о действительных числах до введения мнимых; проследить влияние проведенной работы на изучение учащимися мнимых чисел и на формирование понятия комплексного числа; в процессе экспериментальной работы усо-

вершенствовать опытный материал и методику его преподавания. Для достижения указанных целей экспериментальный материал систематически вкрапливался в обычное содержание уроков алгебры на протяжении сентября—октября 1952 года; материалы эксперимента анализировались и обобщались.

В середине 1952/53 учебного года под руководством диссертанта был проведен аналогичный эксперимент в 7-д и 7-ж классах средней школы № 9 Ленинского района г. Москвы. Содержанием работы было исследование вопроса о возможности и эффективности ознакомления учащихся седьмых классов с вопросами бесконечных десятичных периодических дробей в порядке повторения арифметики. В основном изучался вопрос об усвоении учащимися экспериментального материала, об их внимании и интересе к нему, о возможности вести подобную работу с пользой для изучения других разделов курса. В процессе эксперимента на практике совершенствовался и самый экспериментальный материал. Изучение и анализ наблюдений и всего собранного материала позволили притти к изложенным в диссертации выводам относительно целесообразности, форм и методов подготовки учащихся к введению иррациональных чисел при изучении чисел рациональных.

Всего в ходе описанных экспериментов было проверено и проанализировано 1200 письменных работ учащихся.

Изложенные методы исследования не только чередовались, но между собой переплетались, друг друга совершенствовали и дополняли.