МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

Г. А. ГИНЗБУРГ

НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ (ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ) В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Спец. № 732 — методика преподавания математики

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель доцент С. Е. ЛЯПИН

1969

Работа выполнена при кафедре элементарной математики Ленинградского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института им. А. И. Герцена.

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук профессор ЯГЛОМ И. М., кандидат педагогических наук,

старший научный сотрудник АПН СССР ГЛЕЙЗЕР Г. Д.

Внешний отзыв — Томский пединститут, кафедра элементарной математики.

Защита диссертации состоится на заседании Ученого Совета факультета математики ЛГПИ им. А. И. Герцена: Ленинград, Д-186,

Мойка, 48 « » 1970 г.

Реферат разослан в « » 1970 года

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке института (Ленинград, Мойка, 48, корпус 5).

М-64539 23/XII-69 г. Тип. № 7 УПЛ з. 4125 т. 150

В любой статье или книге, касающейся проблемы школьного математического образования, написанной в последнее десятилетие у нас в стране или за рубежом, утверждается необходимость реформы математического образования, модернизации школьного курса математики. Одна из причин реформы — возросшая роль математических методов во многих областях человеческой деятельности. Другая причина состоит в том, что в результате развития обобщающих и объединяющих идей стала возможной перестройка школьного курса в направлении сближения его с духом современной математики.

В программе КПСС, в резолюции XXIII съезда КПСС по отчетному докладу ЦК КПСС даются важные указания о необходимости соответствия уровня народного образования современному уровню развития науки и техники. Эти указания в очень большой степени относятся и к школьному курсу математики.

Вопросу модернизации школьного курса математики уделяется значительное внимание во многих странах мира. Он ставится и обсуждается на различных международных совещаниях и математических конгрессах, причем от отдельных экспериментов во многих странах перешли к созданию новых программ и учебников.

Значительная подготовительная и экспериментальная работа по определению содержания математического образования в средней школе проводилась в нашей стране с конца 50-х гг. В процессе работы математической секции Комиссии по определению содержания среднего образования АН СССР и АПН РСФСР было разработано несколько вариантов проектов программы. Опубликованные проекты программы (см. Ж. «Математика в школе», 1968 г. № 2) ориен-

тируют на преодоление разрыва в преподавании между арифметикой и алгеброй, на последовательное осуществление функционального подхода к изучению математики, на усиление внимания к понятиям и методам, имеющим основное значение в естествознании и технике.

В программе составители очень осторожны во введении элементов современного подхода к основным математическим понятиям в школьное преподавание. Академик А. Н. Колмогоров считает, что такая осторожность соответствует реальному положению с подготовкой нашего учительства. (А. Н. Колмогоров «Новые программы и некоторые основные вопросы усовершенствования курса математики в средней школе». «Математика в школе» 1967 г. № 2, стр. 8).

Так например, отказ от включения понятий группы, кольца, поля в новую программу в нашей стране объясняется не тем, что составители не учитывают их значения, а тем, что предложения об их включении недостаточно подготовлены широкой пропагандой идей «современной математики».

В результате знакомства с книгами и статьями, опубликованными как в зарубежных журналах, так и наших, можно сделать следующий вывод.

В настоящее время существуют две различные точки зрения на возможное содержание школьного курса математики. Первая отражает попытку начинать серьезное знакомство с математикой с изучения в общей форме основных типов математических структур: «структур порядка», алгебраических структур «группы», «кольца», «поля», топологических структур и т. д., а структуры классической математики изучать в качестве естественных частных случаев. Например, предложения профессора Брюссельского университета Ж. Папи. Сторонники другой точки зрения считают, что содержание школьного курса математики должно быть перестроено, но не на таких основниях, что в первой точке зрения есть многое от моды, временных увлечений новизной («Математика в школе» 1967 г., № 2, стр. 8).

Бесспорным для составителей программ является: 1). Необходимость перестройки преподавания геометрии; 2). Использование в преподавании элементов теории множеств; 3). Включение в школьный курс элементов дифференциального и интегрального исчисления, элементов теории вероятностей.

Спорным является вопрос о включении и использовании элементов общей алгебры.

Целью настоящей диссертации и является исследование вопроса о целесообразности и возможности, месте и объеме изучения в школьном курсе математики понятий группы, кольца, поля и изложение экспериментально проверенной методики изучения этих понятий.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения.

Во введении проводится анализ как зарубежных, так и советских проектов новых программ по математике, определяются задачи исследования, методы проведения исследования.

ГЛАВА ПЕРВАЯ

Введение понятий группы, кольца и поля в зарубежной учебной литературе для школы

В этой главе излагается мнение о построении школьного математического образования таких известных зарубежных психологов, как Ж. Пиаже, К. Гаттеньо, Дж. Брунер и др. Они считают, что изучение математики должно состоять из последовательного изучения математических структур, что в школьном математическом образовании на первый план должны быть выдвинуты обобщающие структурные аспекты, так как трем основным порождающим типам математических структур — алгебраическим, структурам порядка, топологическим — соответствуют три возможные операторные структуры мышления.

Осуществление этих идей проводит профессор Брюссельского университета Ж. Папи в своих книгах «Современная математика», расчитанных на учащихся 12—17 лет. Анализ этих книг проводится в этой главе.

В этой же главе рассматриваются и анализируются статьи по введению понятий группы, кольца, поля в школьном курсе алгебры в таких зарубежных журналах, как американский «The Mathematics Theacher», немецкий (ГДР) «Mathematik in der Schule», польский «Matematyka. Czasopismo dla nauzycieli», а также анализ разработанных комиссией стран — участниц Западно-Европейского экономического сообщества «Конспективных указаний к программам

по математике». В этих указаниях предлагается достаточно большой объем материала по теории групп. Предлагаемые упражнения довольно разнообразны, некоторые из них предполагают высокий уровень развития абстрактного мышления учащихся. Остальные вопросы изложены конспективно. Изучение этой литературы позволяет сделать вывод:

В зарубежной учебной литературе для школы к введению общих понятий алгебры подходят либо на основе полного отрицания традиционного материала, либо как к результату обобщения уже имеющихся у учащихся сведений. Но в рассмотренных статьях намечаются лишь основные направления работы и не даются более детальные указания к ее осуществлению.

Первый подход неприемлем в советской школе из-за спорности самого такого подхода по существу. Второй подход вполне реален и возможен. Возможность и реальность второго подхода рассматривается в следующих главах.

ГЛАВА ВТОРАЯ

Некоторые обоснования целесообразности изучения понятий группы, кольца, поля в школьном курсе математики.

Обзор советской литературы

В § 1 «О некоторых недостатках в знаниях учащихся по математике и возможных путях их устранения» отмечаются такие недостатки, как знание фактов, но отсутствие навыков обобщений; неумение подметить, искать и находить аналогию, отсутствие представлений об основном содержании курса алгебры средней школы, о его построении, методах, используемых в нем.

Например, на протяжении всего школьного курса математики производится постепенное расширение понятия числа. Вместе с новыми числами вводятся (явно или неявно) новые определения действий, показывается выполнимость законов действий. Однако в школьном курсе отсутствуют факторы, которые позволили бы обобщить эти знания, выявить то общее, что присуще, например, сложению, умножению в различных изучаемых множествах не только чисел, но и многочленов, векторов на плоскости и т. п.

Много внимания уделяется в школьном курсе изучению функций: линейной, квадратичной, показательной, логарифмической. Но тем не менее не всегда учащиеся понимают, что функция устанавливает закон соответствия между элементами двух множеств. В подтверждение этого приводятся ответы поступающих в институт на специально составленную систему вопросов.

Важное значение имеют в математике отношения. Много внимания уделяется этому понятию в школьном курсе математики. В курсе геометрии учащиеся встречаются с такими бинарными отношениями, как перпендикулярность, параллельность, равенство, подобие фигур; в курсе алгебры: тождественно равны, равносильны (уравнения), больше, меньше. Некоторыми свойствами отношений постоянно пользуются, например, транзитивностью, симметричностью, но на аналогию свойств различных отношений не обращается внимание учащихся, они этого не чувствуют.

Школьный курс алгебры в настоящее время построен так, что учащиеся, оканчивающие школу, не выносят четкого представления о ней, как о дедуктивной науке. У них нет четкого представления ни об основном содержании курса алгебры, ни о его построении, ни о методах, используемых в нем. Это подтверждается результатами анкеты, проведенной среди 183 учащихся 10—11-х классов средних школ г. Бийска в мае 1966 года.

Проведенная анкета позволила также выяснить, что выпускники средней школы не представляют, что понимается под аксиомой, какие аксиомы в курсе алгебры используются, что такое основное, неопределяемое понятие, какие неопределяемые понятия им известны.

Анализ логического построения школьного курса алгебры по его основным линиям (в книгах А. Н. Барсукова «Алгебра» и Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой «Алгебра и элементарные функции» ч. 1 и ч. 2) позволил сделать вывод: в школьном курсе алгебры аксиомы четко не выделены. Там, где они используются, это не оговаривается. Объясняется это не только возрастными возможностями учащихся, недостатками учебника, но и содержанием программы, ее акцентировкой.

Б качестве возможного пути устранения отмеченных недостатков в работе предлагается и обосновывается путь введения в школьный курс алгебры таких обобщающих поня-

тий, как группа, кольцо, поле, понятие об аксиоматическом методе.

Группа, кольцо, поле — основные понятия современной алгебры и представляют собою множества, на которых заданы одна или две операции, обладающие определенными свойствами. Таким образом, при введении этих понятий с необходимостью будут приведены в систему: известные учащимся числовые множества; действия, всегда выполнимые в этих множествах; законы действий. Кроме этого, здесь же встанет вопрос о нечисловых множествах, например, о множестве векторов, об операциях, всегда выполнимых в них, и о свойствах этих операций.

С введением понятий поля, кольца, группы появляется возможность на достаточно доступном уровне рассказать учащимся об аксиоматическом методе в математике, в связи с чем выявить структуру школьного курса алгебры и дать пример дедуктивного построения какого-либо раздела. Таким образом, знакомство с аксиоматическим методом поможет устранению некоторых существенных недостатков в знаниях учащихся по алгебре.

Знакомство учащихся с аксиоматическим методом предполагает предварительное знакомство с понятием бинарного отношения, свойствами бинарных отношений. Тем самым знания учащихся о конкретных отношениях будут обобщены, учащиеся увидят глубокую аналогию в свойствах различных отношений.

Умению видеть, подмечать аналогию, делать предположения по аналогии способствует также введение понятия изоморфизма, которое может быть дано вместе с понятием группы. Изоморфизм — особый вид взаимно однозначного соответствия. Знакомство с понятием изоморфизма и в связи с ним с понятием соответствия и взаимно однозначного соответствия будет способствовать более глубокому пониманию соответствия, устранению некоторых из отмеченных недостатков в знаниях учащихся.

В этом параграфе обосновывается также, что введение перечисленных понятий, кроме устранения некоторых недостатков в знаниях учащихся, будет способствовать также общему подъему образовательного уровня преподавания: сближению курсов математики средней и высшей школы; даст возможность познакомить учащихся с основами современой науки; будет способствовать развитию диалектического мышления учащихся.

Педагогическим и психологическим обоснованиям возможности изучения указанных понятий в школьном курсе математики посвящен § 2 этой главы. Здесь же устанавливается место изучения и возможный объем материала.

В результате изучения работ советских психологов «Основы общей психологии» С. Л. Рубинштейна (Учпедгиз, М., 1946 г.), «Возрастная психология» Н. Ф. Добрынина, А. М. Бардиана, Н. В. Лаврова (Изд-во «Просвещение». М., 1965 г.), «Психология старшего школьника» Н. Д. Левитова (Учпедгиз, М., 1955 г.) был сделан вывод, что учащиеся старших классов способны усваивать достаточно абстрактный материал.

Затем в этом параграфе указывается, где и когда проводился эксперимент. Экспериментальная работа была начата во втором полугодии 1964/65 уч. года и проводилась в течение последующих четырех лет.

Впервые эксперимент проводился в двух математических кружках учащихся 9—10 классов двух школ г. Бийска (№ 18 й № 25). На следующий учебный год материал проверялся в математических кружках школы № 25 и Бротковской средней школы с. Павловское Алтайского края. В 1966/67 уч. году эксперимент проводился в математических кружках учащихся 9—10 классов школы № 1, № 5 г. Бийска и в классе с математическим уклоном школы № 1 В последующие два года материалы диссертации проверялись вначале в 9, а потом в 10 классе школы № 18. В это же время он проходил проверку на факультативных занятиях 9 класса в школе № 4.

Эксперимент, проведенный в 1964/65 уч. году, показал, какие имеются недостатки в предложенном варианте. Замеченные недостатки были устранены, предлагаемый материал подвергнут доработке. В процессе последующих экспериментов вносились необходимые добавления, изменения.

Экспериментальная работа проводилась по такой программе: 1. Элементы теории множеств; 2. Понятие алгебраической операции; 3. Определение группы. Примеры; 4. Соответствие. Взаимно однозначное соответствие. Изоморфизм; 5. Происхождение теории групп. Группа движений. Группа симметрий; 6. Отношение и разбиение; 7. Понятие кольца и поля; 8. Об аксиоматических определениях; 9. Понятие об аксиоматическом методе. Заключительная беседа.

Такая же программа предлагается для изучения пока на факультативных занятиях в 10 классе в качестве темы по выбору учителя или в 9 классе после темы «Элементы тео-

рии множеств» перед темой «Геометрические преобразования. Группа преобразований». (При таком расположении материал этой последней темы будет усваиваться более сознательно. Это во-первых. Во-вторых, перед учащимися математика предстанет как единая наука: одно и то же понятие приложимо к объектам как алгебры, так и геометрии). При дальнейшем уточнении школьной программы этот материал мог бы быть включен в курс алгебры и элементов анализа частично 9, частично 10 классов, при этом возможно, что п. п. 4 и 5 могли бы быть исключены.

Далее в этом параграфе приводятся те соображения, по которым выбран указанный круг вопросов.

Последний параграф этой главы посвящен обзору предложений относительно путей знакомства учащихся с понятиями группы, кольца, поля в советской литературе. Начинается он с анализа двух книг А. А. Столяра «Логические проблемы преподавания математики» и «Методы обучения математике». В результате анализа делается вывод: у А. А. Столяра теоретико-множественные понятия, понятие группы, изоморфизма являются средством «современного преподавания математики» в школе.

Анализируются два сообщения К. П. Захаровой о методике формирования у учащихся старших классов теоретико-групповых понятий в курсе математики. (Новые исследования в педагогических науках. Сб. III. Известия АПН РСФСР, выпуск 138. 1964 г. Сб. IV, 1965 г.), книга С. Мейланова «Понятие множества в курсе средней школы», а также некоторые учебные пособия, вышедшие в последние два-три года.

Анализ литературы позволяет сделать вывод: в советской литературе методика изучения понятий группы, кольца, поля в школьном курсе математики последовательно не излагается.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

Методика введения понятия группы в школьном курсе алгебры

Эта глава состоит из пяти параграфов. Начинается она с замечания о том, как строится каждый параграф: вначале дается принятое в математике определение или толкование рассматриваемого понятия, затем — возможный вариант из-

ложения предполагаемого материала учащимся с примерами и упражнениями. Примеры носят либо препедевтический характер, либо являются иллюстрацией к высказываемым положениям. Упражнения предназначены для закрепления изучаемого материала. В заключении параграфа отмечается, сколько времени требует изучение указанного материала; были ли затруднения у учащихся, учителя; какие типы упражнений рассматриваются, каково значение упражнений каждого типа, почему даны именно эти, а не другие, достаточна ли система упражнений, какие изменения вносились в ходе эксперимента. Указывается также, какая отечественная и зарубежная литература использовалась при подборе упражнений.

§ 1. «Элементы теории множеств» начинается с высказываний Г. Кантора и Н. Н. Лузина о множестве (из его книги — «Теория функций действительного переменного», Учпедгиз, 1948 г.), затем определяется задача, встающая перед учителем при введении этого понятия, и дается подробное содержание занятий по введению понятия множества, подмножества, объединения и пересечения множеств.

Для закрепления понятия подмножества предлагаются упражнения различных типов: выделение подмножеств в числовых множествах, в множествах геометрических объектов, отыскание множеств, в которых данное множество явилось бы подмножеством; подсчет числа подмножеств данного множества и др.

При изложении вопроса о пересечении и объединении множеств обращается внимание на аналогию и различие соответственно с умножением и сложением в числовых множествах.

В следующем параграфе дается методика введения понятия алгебраической операции, причем хотя в современной литературе чаще пользуются термином «Закон композиции», мы предпочитаем пользоваться первым, так как он является более наглядным. Затем дается определение, этого понятия аналогичное приведенному в «Лекциях по общей алгебре» А. Г. Куроша (Физматгиз, 1962 г.). В качестве примеров алгебраических операций рассматриваются: сложение векторов, сложение вращений правильного треугольника вокруг центра, сложение поворотов прямоугольника вокруг осей и центра. Упражнения здесь предлагаются двух типов: 1). Установить, определена ли указанная операция на некотором множестве бесконечном или конечном; 2). Является ли опе-

рация, определенная на данном множестве, ассоциативной, коммутативной. В качестве множеств рассматриваются: множество натуральных чисел с операцией нахождения НОД и НОК, нахождения наименьшего или наибольшего из двух данных чисел; множество действительных чисел с операцией нахождения среднего арифметического, среднего геометрического (для неотрицательных чисел); множество показательных функций с операцией умножения; множество точек с операцией нахождения середины отрезка двух упорядоченных точек, построения для двух упорядоченных точек, точки симметричной одной из них относительно другой. Для конечных множеств показывается составление таблиц операций с двумя входами.

Предлагаемая здесь серия упражнений, с одной стороны, показывает аналогию свойств операций в числовых и нечисловых множествах, а с другой — подготавливает учащихся к определению группы.

Вторая половина главы (§§ 3—5) посвящена методике введения понятия группы и связанных с ней вопросов. В § 3 излагается методика введения определения группы.

Определение понятия группы дается в три этапа. На первом — определение аддитивной группы, на втором — мультипликативной, на третьем — определение абстрактной группы.

В главе обосновывается целесообразность именно такого порядка. Определение группы дается с использованием нейтрального элемента (а не понятия обратной операции), так как такое определение удобнее при выполнении упражнений и к тому же не требует введения понятия обратной операции.

Для первоначального знакомства с понятием группы рассматриваются свойства операции сложения, определенной во множестве целых чисел, во множестве векторов на плоскости, во множестве вращений правильного треугольника вокруг центра. Определение мультипликативной группы формулируется в результате анализа аддитивного. Затем дается определение абстрактной группы и составляется таблица рассмотренных групп. Упражнения здесь предлагаются различных типов: 1. Доказать, что некоторое множество с определенной в нем операцией является группой. Множества здесь такие: множество рациональных чисел с операцией сложения и множество положительных рациональных чисел с операцией умножения; множество чисел вида а+в"|/2, где а и в — целые, с операцией сложения и то же множество,

с операцией умножения, если а и в — рациональные, неравные одновременно нулю; множество чисел вида 2Ш с операцией умножения; множество показательных функций с операцией умножения; множество вращений отрезка вокруг середины и др. 2. Выяснить, является ли данное множество группой относительно определенной в нем операции. Например — множество четных чисел с операцией сложения, множество корней уравнения X2—1=0 относительно умножения, множество всех подмножеств относительно операций объединения, пересечения, и др. 3. Выяснить, почему данное множество, в котором определена алгебраическая операция, не является группой. В качестве примеров рассматриваются: множество натуральных чисел с операцией нахождения наибольшего или наименьшего из двух данных чисел, операцией нахождения НОД и НОК; возведения в степень.

При рассмотрении примеров с числовыми множествами, знакомыми учащимся, с хорошо известными им свойствами определенных в этих множествах операций выступает главный аспект понятия группы — обобщающий.

Рассмотрение множества чисел вида а+в]/2 с различными ограничениями для а и в в зависимости от определенной в нем операции дает учащимся хороший пример непривычного им числового множества.

Упражнения второго типа выполняют двойную роль: служат закреплению введенного понятия и являются подготовкой к введению понятия изоморфизма; упражнения третьего типа показывают, что множества натуральных чисел не являются группой относительно ни одной из определенных в нем операций.

Прежде чем вводить в § 4 понятие изоморфизма подробно рассматривается понятие соответствия и взаимнооднозначного соответствия. Попутно вводится определение отношения равномощности двух множеств.

Понятие изоморфизма вводится после рассмотрения примеров изоморфных групп: группы целых чисел с операцией сложения и группы четных чисел с той же операцией; группы целых чисел с операцией сложения и группы чисел вида 2т, где m — целое, с операцией умножения, группы вращений отрезка вокруг середины относительно сложения вращений и группы корней уравнения X2—1=0 относительно умножения.

Таким образом, в первом примере — оба множества бесконечные, в обоих определена операция сложения; во вто-

ром примере — множества попрежнему бесконечные, но в одном определено сложение, а в другом — умножение; в третьем — множества конечные и в одном определено сложение, а в другом — умножение. На этих трех примерах и выясняется три существенных момента в определении понятия изоморфизма.

Изоморфизм группы вращений правильного треугольника вокруг центра относительно сложения вращений и группы корней уравнения X3—1=0 относительно умножения устанавливается двумя способами. В упражнении предлагается показать изоморфизм группы корней уравнения X4—1=0 и вращений квадрата вокруг центра.

Как дополнительный в параграф включен материал для углубления понятий взаимно однозначного соответствия, изоморфизма. Здесь, в частности, показывается возможность установления взаимно однозначного соответствия между элементами двух множеств с помощью однозначной функции, определенной на одном множестве и принимающей значения из другого, показывается использование графиков функций.

В заключительном § 5 этой главы — «Происхождение теории групп. Группа движений. Группа симметрий» дается краткое изложение происхождения теории групп в связи с задачей решения алгебраических уравнений, рассматривается группа подстановок трех элементов на примере движений правильного треугольника вокруг осей и центра. В связи с этим вводится понятие подгруппы. Здесь рассматривается группа движений правильного тетраэдра вокруг осей и его подгруппы.

В конце главы приводятся вопросы заключительной беседы, проведенной с учащимися, которые изучали материал этой главы, приводятся некоторые ответы учащихся, делается вывод по всей главе.

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

Методика введения понятий кольца и поля в школьном курсе алгебры.

Понятие об аксиоматическом методе

Начинается эта глава, как и третья, с замечаний о структуре главы. Она (структура) аналогична структуре главы третьей. Состоит эта глава из пяти параграфов.

В § 1 «Отношение и разбиение» работа по введению и усвоению понятия отношения проводится в несколько этапов. На первом этапе вводится понятие прямого произведения вначале для двух различных конечных множеств, затем для двух одинаковых конечных множеств (квадрата множеств) и лишь после этого — для квадрата бесконечного множества. Для иллюстрации последнего используется координатная плоскость. На втором этапе в образованных множествах упорядоченных пар выделяются некоторые подмножества; на третьем — проводится беседа о необходимости изучения бинарных отношений между математическими объектами, приводятся примеры бинарных отношений в математике и повседневной жизни.

Следующий этап — введение определения отношения. Оно дается аналогично определению в «Лекциях по общей алгебре» А. Г. Куроша (Физматгиз, 1962).

Изучение свойств отношений начинается со свойства транзитивности. Затем изучаются симметричность и рефлексивность. В диссертации дается обоснование такого порядка изложения и выбора именно этих свойств, высказываются методические замечания к их изучению.

Упражнения здесь трех типов: установить, обладает ли данное отношение между парой элементов определенного множества указанным свойством или нет; какое из данных отношений обладает некоторым свойством; придумать отношения, обладающие одними и не обладающие другими свойствами.

Используемые в упражнениях множества и отношения в них часто повторяются: множество натуральных чисел с отношением делимости; множество прямых плоскости с отношением перпендикулярности, параллельности; множество людей с тем или иным отношением. Тем самым показываются различные стороны рассматриваемых отношений, что способствует как усвоению свойств отношений, так и углублению, обобщению уже известного — понятий перпендикулярности, параллельности, делимости.

Понятие разбиения связывается с отношением эквивалентности. В качестве примеров используются близкие учащимся разбиения множеств: учеников школы по классам, учеников определенной параллели по классам, множества целых чисел на четные и нечетные и т. д. Здесь же доказывается теорема о связи между отношением эквивалентности

и разбиением. В диссертации подробно показывается, как раскрыть перед учащимися значение этого факта.

Каждый из двух следующих параграфов, посвященных введению понятий кольца и поля, начинается с рассмотрения различных возможных подходов к их изложению в учебниках по высшей алгебре А. Г. Куроша, Е. С. Ляпина, Л. Я. Окунева, обосновывается целесообразность использования в школьном курсе подхода Л. Я. Окунева.

В качестве примеров колец берутся следующие числовые множества: множества целых, множества четных, кратных 3, а также множество классов вычетов по модулю 2, 3, 6. Последний пример предлагается для наиболее успевающих учащихся. При рассмотрении примеров полей доказывается теорема о том, что поле рациональных чисел является минимальным числовым полем (содержится во всяком числовом поле). В качестве примеров конечных полей рассматриваются классы вычетов по модулю 2 и 3.

В § 4 «Понятие об аксиоматических определениях» дается обоснование целесообразности рассмотрения особенностей определения группы, кольца, поля, излагается, как может быть введено понятие об аксиоматическом определении.

В первой половине § 5 «Понятие об аксиоматическом методе» дается примерное содержание беседы учителя о сущности аксиоматического метода. Чтобы учащиеся яснее представили себе его сущность, предлагается рассмотреть конкретный пример системы, заданной аксиоматически. Для этого берется множество, состоящее из четырех элементов, в качестве отношения берется отношение «предшествует», перечисляются аксиомы порядка и задаются три соотношения между объектами.

Во второй части параграфа показывается, как может быть построен аксиоматически такой раздел школьного курса алгебры, как тождественные преобразования целых рациональных выражений, доказывается теорема о кольце многочленов, выясняется, какие предложения считаются аксиомами и те неопределяемые понятия, которые используются в этом разделе курса алгебры.

Заключительная часть главы посвящена анализу контрольной беседы с учащимися по материалам этой главы. В числе вопросов беседы были и такие, которые проверяли, насколько учащиеся поняли, что значит задать систему аксиоматически, осознали ли, как может быть определен по-

рядок на множестве, т. е. вопросы были поставлены так, что учащимся предлагалось перечислить аксиомы структуры полного порядка.

В диссертации приводится стенографическая запись беседы учителя по выявлению этих моментов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ содержит краткие педагогические выводы по всей работе.

Некоторые из них следующие:

1. Чтобы приблизить школьное образование к научному, полезно и целесообразно ввести в школьный курс математики 9 и 10 классов, пока хотя бы факультативно, некоторые понятия общей алгебры, такие, как группа, кольцо, поле, понятие об аксиоматическом методе.

2. Экспериментальная работа показала, что в результате изучения этих понятий: а) знания учащимися таких важных понятий как число, функция, отношение углубляются, расширяются, приводятся в систему; б) учащиеся научились лучше проводить анализ и синтез, у них значительно развились способности видеть и подмечать аналогию, значительно развилось абстрактное мышление; в) возросла культура мышления, математическая речь учащихся стала более четкой, богатой.

3. Разработанная методика сообщения учащимся указанных понятий доступна учащимся, вызывает интерес, желание познакомиться с ними глубже.

Здесь же указывается, сколько учащихся было охвачено экспериментом.

В заключение намечается возможная программа дальнейших исследований.

В приложении к диссертации даны:

1. Отзывы учителей о результатах эксперимента;

2. Некоторые из анкет, проведенных среди учащихся.

3. Несколько работ учащихся.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ АВТОРОМ НАПИСАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ СТАТЬИ:

1. Введение понятия группы в школьном курсе алгебры. Ученые записки Барнаульского госпединститута, том. X. В помощь учителю математики и физики средней школы. Барнаул. 1966 г.

2. Введение понятия кольца и поля в школьном курсе алгебры. Ученые записки Барнаульского госпединститута, том. X. В помощь учителю математики и физики средней школы. Барнаул, 1966.

3. Анализ логического построения школьного курса алгебры. Тезисы доклада на XXV научно-педагогической конференции математических кафедр педвузов Уральской зоны. Свердловск, 1967 г.

4. Опыт введения понятия бинарного отношения. «Математика в школе», 1968 г. № 2.