Московский ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет имени М. В. Ломоносова

Философский факультет

Кафедра психологии

На правах рукописи

Л. С. ГЕОРГИЕВ

ФОРМИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ У ДЕТЕЙ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по психологии

МОСКВА — 1960

Исследование проведено под руководством доцента кафедры психологии Московского государственного университета

П. Я. ГАЛЬПЕРИНА

1

Мы начали исследование с намерением установить, меняется ли порядок усвоения последующих элементов знания, если его предыдущие части хорошо усвоены; должны ли тогда эти последующие элементы проходить все этапы формирования соответствующих умственных действий, и если, действительно, они сокращаются, то как, в какой последовательности и благодаря чему.

В качестве объекта мы наметили ряд начальных математических действий и понятий, так как это материал особенно четкий и позволяющий проследить усвоение каждой его части.

Ввиду такой цели для нас имело особенное значение тщательное установление всех звеньев объективной цепи и понятий. Пропуск какого-нибудь из них означал бы, что этот элемент или оставался не усвоенным или усваивался стихийно и, может быть, в каком-то отношении недостаточно, а это могло бы исказить картину усвоения последующих звеньев. Поэтому был предпринят тщательный анализ самых начальных шагов арифметического обучения, который обнаружил следующее.

Давний спор, деливший методику начальной арифметики на два лагеря, в настоящее время, как правильно указывает Н. А. Менчинская1, утратил свое прежнее значение: сторонники монографического изучения чисел признают действия, необходимые для восприятия количественных групп2, и вместе с тем снизили размер количества, которое можно непосредственно воспринять, до группы в 2—3(5) предмета3. В свою очередь сторонники метода действий вынуждены признать непосредственное восприятие чисел на подобных

1 Н. А. Менчинская. «Психология обучения арифметике», М., Учпедгиз, 1955, стр. 182.

2 В. А. Лай. «Руководство к первоначальному обучению арифметике», М., изд. 5, 1916, стр. 110.

3 К. Ф. Лебединцев. «Развитие числовых представлений у ребенка в раннем детстве», Киев, 1913, стр. 20.

же группах1, так как самые первые арифметические действия уже должны опираться на какие-то небольшие числа, от которых затем можно идти к формированию дальнейших больших чисел с помощью действий (счета).

Зато была обнаружена новая трудность: общепринятая методика начальной арифметики формирует понятие о единице путем выделения какого-нибудь предмета из множества других и затем очищения его от всех свойств, которыми разные предметы отличаются друг от друга2. В результате этих операций единица получает только один признак — отдельность (отдельный предмет как таковой). Но такая характеристика числа математически неправильна: отдельность является признаком всякого множества, а мощность каждого множества выражается его конкретным числом, которое должно получить особую характеристику.

Эта ошибка грозит большими последствиями. В процессе начального обучения единица занимает совершенно особенное место: все остальные числа строятся из единицы (по правилу п+1), и даже не числовые понятия (много — мало, больше — меньше) скрытым образом предполагают единицы как то, из чего составлены множества и чем они сравниваются друг с другом. Поэтому содержание понятия о единице отражается на содержании всех остальных чисел и действий с ними, то есть на всем понимании начальной арифметики. Если содержание понятия о единице формируется неправильно, то это бросает тень на все обучение начальной арифметике по этой методике.

Конечно, это надо проверить, и перед нами возникла задача прежде всего установить, какое значение имеет эта ошибка для усвоения всей системы начальных математических действий и понятий. Известно, что обучение по общепринятой методике имеет много недостатков: первоначальные числительные представляют для детей лишь ряд индивидуальных названий, и счет состоит лишь в соотнесении ряда этих названий с рядом предметов; поэтому и количественному и порядковому счету приходится учить дополнительно, как отдельным заданиям; долгое время над детьми доминируют пространственные и вообще наглядные соотношения (чем объясняются характерные ошибки, на которые указывает Ж. Пиаже); применение усвоенных арифметических

1 Н. А. Менчинская. «Психология обучения арифметике», М., Учпедгиз, 1955, стр. 171.

Г. Б. Поляк. «Преподавание арифметики в начальной школе», М., Учпедгиз, 1959, стр. 153.

2 А. М. Леушина. «Обучение счету в детском саду», М., Учпедгиз, 1959, стр. 27.

Ф. А. Михайлов, Н. Г. Бакст. «Занятия по счету в детском саду», М., Учпедгиз, 1958, стр. 18—19.

знаний и умений к решению конкретных задач тоже составляет отдельную проблему и отдельную трудность и т. д.1. Эти недостатки обычно считаются естественными и даже законными в том смысле, что математические понятия будто бы и не могут сразу раскрываться детям в их правильном содержании и поэтому некоторое время неизбежно оказываются формальными, но постепенно это исправляется. В связи с указанной ошибкой в понимании единицы у нас возникло подозрение, не связаны ли с ней эти обычные недостатки. Но если недостатки и не связаны с указанной ошибкой, то остается вопрос, какое значение имеет неправильное понимание единицы в формировании дальнейших математических понятий и действий.

П. Я. Гальперин, имея ввиду указанную ошибку в понимании единицы, схематически наметил новую линию формирования начальных математических понятий и действий, построенную на введении мерки и определении единицы через отношение к ней. Но дает ли такое обучение какие-нибудь преимущества перед общепринятой методикой, кроме теоретических. Разумеется, и насколько значительны эти преимущества? Это тоже нужно было проверить, и это требовало разработки новой методики и ее проведения в обычных «классных», то есть групповых условиях обучения начальной арифметике в детских садах.

Впрочем, эта вторая задача подводила нас и к реализации нашей исходной проблемы о порядке усвоения более поздних элементов известной системы знаний при условии хорошего (по нашим требованиям) усвоения ее первоначальных разделов.

2

Для проверки того, действительно ли общепринятая методика начальной арифметики ориентирует детей на единицы как отдельности, и если это так, то какие это имеет последствия,— мы разработали систему экспериментальных задач и с их помощью провели исследование качества арифметических знаний детей, обученных по обычной методике.

Все наши экспериментальные задачи требовали количественного сравнения конкретных величин и были построены на разведении трех компонентов: отдельных частей, из которых состояли эти величины, единиц (мерок), принятых для

1 Ф. Н. Блехер. «К вопросу об основной операции в усвоении детьми элементарных арифметических понятий», «Вопросы психологии», 1959, № 4.

А. М. Леушина. «Обучение счету в детском саду». М., Учпедгиз, 1959, стр. 25, 53—55, 70.

Н. А. Менчинская. «Психология обучения арифметике». М., Учпедгиз, 1955, стр. 163—230.

измерения этих величин, и числа как результата этого измерения. Это разведение было сделано с расчетом на то, что если дети принимают отдельности за единицы, то они будут ошибаться в тех случаях, когда число единиц и число отдельностей не совпадает; что когда сравниваются величины, состоящие из явных отдельностей, с «цельными» величинами, не разделенными на части, то равные величины будут оцениваться как неравные; что при ориентации на признак отдельности дети будут пренебрегать другими свойствами единиц (полнотой меры, одинаковостью единиц в обеих сравниваемых величинах и т. д.).

Всего было составлено 16 задач с 8 вариантами. Так как их содержание имеет большое значение для понимания полученных результатов, мы кратко приводим их описание.

1 задача — на учет полноты мерки: «Выложи из миски на стол в одну кучку пять ложек риса. Отложи из кучки обратно в миску четыре ложки риса. Сколько ложек риса осталось на столе?» (При откладывании риса со стола требуется особое внимание к полноте ложки.)

2 задача — на применение мерки при определении единиц: «Вот большая палочка, а вот маленькая (77 большой). Узнай, сколько таких (мерка) палочек будет в этой большой?»

3 задача — на применение объемных мерок: «Мы не знаем, сколько в чашке ложек риса. Вот ложка (дается). Узнай, сколько в чашке ложек риса?»

4 задача — на счет единиц по мерке, равной нескольким элементам величины: на столе одна большая палочка (мерка) и шесть меньших палочек, каждая из которых равна половине мерки. «Сосчитай, сколько таких (мерка) палочек на столе?»

5 задача — на счет единиц по мерке, равной нескольким элементам, которые физически не объединяются: на столе 3 чашки и 4 кружки; предварительно ребенок устанавливает, что из двух кружек воды получается одна полная чашка. «Сосчитай, сколько всего чашек воды на столе?»

6 задача — счет по понятийной мерке: «Сколько разных цветов здесь на столе?» (На столе 5 зеленых, 2 синих и 3 красных треугольника.)

7 задача — сравнительная оценка двух одинаковых величин, прерывной и непрерывной: на столе две одинаковые палочки, одна из них составлена из пяти одинаковых частей. Предварительно ребенок измеряет и убеждается, что непрерывная палочка содержит тоже пять маленьких. «Где больше маленьких палочек: здесь или здесь?»

8 задача —отмеривание величины по мерке и числу. Ребенку дают длинную веревку (метр) и говорят: «Нам надо взять такой кусок веревки (показывается неопределенно), чтобы в нем было четыре таких веревочки. (Дается мерка — веревочка в 10 сантиметров).

9 задача — отмеривание количества, составленного из частей, в практической ситуации: на столе миска с рисом и чайная ложка. «Отложи на стол в одну кучку две ложки риса. Вот какая кучка получилась! Дай мне, воспитательнице, папе, маме и тете (последние трое отсутствуют) такие же кучки риса».

Вариант а: «Положи на стол рядом две ложки риса. Вот это (обводятся пальцем обе кучки) будет одна кучка тебе. Дай мне...» и т. д.

Вариант б: «Отсыпь в одну кучку две ложки риса Дай мне... и т. д. столько же риса, сколько в этой кучке».

10 задача — та же самая, но в арифметической ситуации: «Отложи в одну кучку две ложки риса. Вот какая кучка получилась! Положи рядом пять таких же (указание на первую кучку) кучек риса».

Варианты а и б.

11 задача — на дифференцировку оценки величин по количеству единиц от их оценки по количеству отдельностей: на столе две одинаковые чашки одинаково наполненные рисом. Ребенок выкладывает из одной чашки рис столовой ложкой, из другой — чайной ложкой, отдельными кучками возле своей чашки; кучки из одной чашки отделяются линейкой от кучек другой чашки. «Где больше риса: здесь или здесь?»

12 задача — на дифференцировку размера величин по числу единиц от их пространственных измерений: сначала ребенок откладывает из миски на стол в одну кучку 5 чайных ложек, в другую кучку — 4 столовые ложки риса. Ребенок повторяет, сколько ложек в каждой кучке. Тогда его спрашивают: «Где больше ложек риса — здесь или здесь?»

13 задача — сравнительная оценка величин после изменения пространственных размеров одной из них. Ребенок отсыпает ложкой три кучки риса: 4, 2 и 2 ложки. Повторяет, сколько ложек в каждой кучке. После ответа (всегда правильного) экспериментатор рассыпает по столу среднюю кучку (из 2 ложек) и спрашивает: «А теперь где больше риса: здесь или здесь (1—2 кучки), здесь или здесь (3—2 кучки)?»

14 задача — сравнительная оценка величины с разным количеством элементов, но с одинаковыми пространственными размерами: два ряда орехов одинаковой длины (один как

раз под другим), в одном 6 орехов, в другом 7. «В каком ряду больше орехов?»

15 задача — сравнительная оценка величин с одинаковым количеством элементов, но с разными пространственными размерами: на столе ряд блюдец, на каждом из них «счетная палочка» (со счетными палочками дети привыкли производить разные арифметические операции). «Чего больше: блюдец или палочек?» Ответ всегда: «Одинаково». Тогда на глазах ребенка экспериментатор снимает палочки и составляет из них под рядом блюдец второй ряд, гораздо более короткий, и снова спрашивает: «А теперь чего больше: блюдец или палочек?»

16 задача — выбор мерки для величины по ее числу: «В этой кучке 10 ложек риса. Какой ложкой насыпан рис — этой (столовой) или этой (чайной)?» (Кучка насыпана чайной ложкой.)

16а задача. «В этой кучке 3 ложки риса...» и т. д. (Кучка насыпана столовой ложкой.)

Эти задачи мы предложили 60 детям старших групп трех детских садов, где занятия по начальной арифметике были поставлены особенно хорошо. Исследование проводилось в строго индивидуальном порядке весной 1959 года, когда программа по арифметике (счет, сложение, вычитание и состав чисел в пределах первого десятка) была уже полностью пройдена. Предварительная проверка показала, что среди наших детей было 30 отличников, их знания намного превосходили требования программы; 21—хорошо успевающих, их знания кое в чем превосходили требуемое по программе и лишь 9 человек оказались посредственно успевающими: они не могли ответить на наиболее трудные вопросы программы.

Наши контрольные задачи эти дети решили так (см. табл. 1, правильные решения указаны в проц. для удобства сравнения):

Таблица 1

Число правильных решений в контрольных задачах у детей, обучавшихся по общепринятой методике (в % к общему числу детей)

№ задач ....

1

2

3

4

5

6

7

8

9

,0

12

13

14

15

16

16а

Правильно решивших к общему числу детей . .

47

78

52

47

18

8

47

33

100

32

17

42

25

68

52

55

55

Эти результаты вместе с анализом процесса решения показывают, что в наших контрольных задачах очень большой процент детей ориентируется не на указанные меркой едини-

цы, а на фактические отдельности и что понимание единицы как отдельности непосредственно приводит ко многим ошибкам. Действительно, при таком понимании становятся безразличны другие признаки величин: одинаковы ли сосчитываемые единицы—мерки для обеих величин, полнота мерки в пределах каждой из них, качество сосчитываемых объектов (елочки, грибки, домики) и т. д. Когда задача построена так, что все это необходимо учитывать, дети, ориентирующиеся только на отдельности, постоянно совершают характерные ошибки.

Безразличие к конкретному содержанию единицы ведет к своеобразному формализму счета и числа. Для этих детей счет относится только к отдельностям — он означает только процесс сосчитывания отдельностей. Число, полученное в результате счета, служит этим детям только для характеристики того, как была получена данная величина, как она составлялась, но не того, что она есть. При составлении только что ими составленных, отмеренных величин дети уже не опираются на известное им число и оценивают эти величины на основе их наглядных соотношений и непосредственно доминирующих признаков. Если две одинаковые величины разделены на разное количество частей или одна представляется целой, а другая — составленной из частей, то дети оценивают эти величины как неравные, хотя только что сами измеряли их и устанавливали их равенство; следуя непосредственному впечатлению, они считают большей ту величину, в которой наглядно выступает больше отдельностей.

Задача счета и задача оценки конкретных величин являются для этих детей двумя разными и взаимно не связанными задачами. Счет шел у них по отдельностям и не относился к величине как целому, а оценка величины как непосредственно наличного конкретного целого велась по ее наглядным свойствам и не зависела от результатов счета.

Самое число воспринималось не как отношение величины к мерке (единице измерения), а как абсолютная величина. Оно сопоставлялось с другими конкретными величинами по принципу (конечно, неосознанному) «подобное к подобному». Так, например, если в задаче указывались конкретная величина, число и мерка, то дети, те, что делали ошибки, подбирали к большему числу большую мерку, а к малому числу — малую, пренебрегая тем, что их действительные отношения являются обратными.

Мерку эти дети рассматривали тоже как абсолютную величину и связывали ее с измеряемой величиной по тому же принципу: большую мерку к большему числу, малую — к малому, минуя величину как объект измерения и отношения между величиной, меркой и числом.

Дети, правильно решавшие задачи, отличались от детей, решавших их неправильно, всегда и четко одним признаком: пользовались или не пользовались они указанной меркой для отмеривания единиц. Правильно решавшие задачи всегда сначала отмеривали единицы, затем сосчитывали их и только после этого и на основании полученных числовых результатов выносили количественную оценку. А дети, решавшие задачи неправильно, или совсем не прибегали к отмериванию единиц или воспроизводили измерение лишь как внешнее подражание чужому действию с наивными нарушениями его элементарных требований.

Умеют ли дети отмеривать и считать отмеренные единицы (а не только отдельности) и в каком отношении они это умеют, а в каком не умеют,—вот что определяло правильное или неправильное решение наших задач.

Таким образом, коренное отличие между детьми состояло прежде всего в общем подходе к количественной оценке величин: на основе отмеривания единиц (и тогда обязательно их счета) или на основе непосредственного сравнения величин и их оценки по доминирующему в восприятии признаку. Приблизительное равенство или неравенство отдельностей при равенстве других признаков (пространственных размеров, формы, яркости и т. п.) составляло один из таких решающих признаков. Вред от ориентации на отдельности заключался поэтому не только в том, что отдельности часто не совпадают с единицами и ведут к ошибкам, но еще больше в том, что такая ориентация закрепляет нематематический подход к количественной оценке конкретных величин.

Очень характерно, что умение пользоваться меркой (и тогда обязательно применять счет отмеренных единиц) хотя в общем и шло параллельно с успеваемостью детей (в обучении по общепринятой методике), однако вовсе не совпадало с ним. Многие отличники решали задачи путем непосредственного сравнения величин по признаку, доминирующему в восприятии, а многие посредственно успевающие в тех же задачах пользовались меркой и счетом. Эти два способа оценки величин не находились в строгой зависимости от уровня арифметических знаний и умений, от систематического обучения началам математики.

В каждом случае применение мерки и счета определялось взаимоотношением следующих моментов: насколько ребенок владеет этими умениями; насколько он умеет пользоваться меркой именно в том параметре, измерение которого требуется в задаче (так, например, длину умело измерять значительно большее количество детей, чем объем); насколько сильное влияние оказывает картина непосредственного сходства или различия сравниваемых величин. Поэтому одни и те же дети в одних задачах пользовались измерением

(счетом), а в других, с более «сильными» непосредственными признаками, оказывались в плену у впечатления от ситуации и переходили на прямое сравнение величин в поле восприятия.

У наших испытуемых математический подход к количественной оценке конкретных величин не соответствовал уровню их арифметических знаний и в общем значительно отставал от них. Он имел иной источник: стихийную и несистематическую житейскую практику измерения. Она, конечно, подкрепляется арифметическими знаниями, но последние не обязательно связаны с ней. Этим и объясняется непрямая связь умения измерять с арифметическими знаниями и неравномерное развитие этого умения в отношении разных сторон и свойств вещей и в разных ситуациях.

Помимо медленности изживания донаучного подхода в оценке конкретных величин, усвоение измерения в практике, не организованной в целях обучения, имеет еще и тот недостаток, что носит характер прилаживания к частным задачам и условиям. Оно не сопровождается осознанием ложности понимания единиц как отдельностей. Наоборот, измерение рассматривается как способ выделения отдельностей, пригодных для данного случая. Ребенок приучается правильно действовать в известных условиях, но не может научиться лучше понимать. Он усваивает приемы вычислительных операций, не умея математически думать.

3

Таким образом, проведенное исследование показало, что общепринятая методика обучения начальной арифметике воспитывает представление о единице как об отдельности и этим не только обрекает детей на ошибки во всех случаях, где единицы не совпадают с отдельностями, но и закрепляет донаучный подход к количественной оценке конкретных величин и донаучные представления о количествах и числах как абсолютных, а не относительных характеристиках.

Вместе с тем это исследование выявило главное условие воспитания полноценных представлений о количественной оценке конкретных величин, о числах и арифметических действиях с ними. Это — применение мерки для выделения единиц, которыми следует пользоваться для количественной характеристики данных величин. Такое применение мерки означает вместе с тем решительное преодоление влияния «сильных» наглядных признаков и тенденции к оценке этих величин в непосредственном сравнении.

Это подтвердило новую схему формирования начальных математических понятий и действий, предварительно намеченную П. Я. Гальпериным, и побудило нас разработать эту

схему и создать полноценную методику, пригодную для систематического обучения детей дошкольного возраста в обычных условиях группы детского сада1.

Необходимость тщательных дифференцировок мерки и отмеренного количества от отдельностей, фактических частей, из которых могут состоять конкретные величины, привела нас к выделению целого ряда действий и понятий, предшествующих собственно арифметическим: самого процесса применения мерки, выделения равных мерке количеств, превращения конкретных количеств в математические множества, процесс соотношения (одно к одному) их элементов, соизмерения этих множеств путем такого соотношения, определение понятий «столько же (равно)», «больше», «меньше» и больше или меньше «на столько-то» (с показом избытка или недостатка вещественных единиц). Эти действия и понятия являются уже собственно математическими, но все они обходятся без числа и в этом смысле не являются собственно арифметическими. Они составляют довольно обширную часть нашей программы — ее пропедевтическую часть, в которой не только формируется ряд необходимых действий и понятий, но — что, может быть, самое главное — собственно математический подход к количественной оценке конкретных величин.

Вторую часть нашей программы составляет изучение чисел и действий с ними в пределах первого десятка (которым ограничивается программа по арифметике в детском саду). Здесь мы, во-первых, четко разделили «действие то образованию нового числа» и действия по его дальнейшему использованию (в счете, сложении, вычитании). Во-вторых, не только фактически пользовались формулой п+1 но, подкопив минимальный эмпирический материал чисел (1, 2, 0, 3), ввели сознательное усвоение этого правила, с помощью которого ребенок в дальнейшем сам формировал каждое новое число (начиная с 5). В-третьих, ввели систематическое изучение каждого числа путем всевозможных действий с ним и его составляющими и, следовательно, усвоение состава всех чисел в действиях с ними. Оказалось, что благодаря применению составных мерок дети фактически выполняли и усваивали умножение и деление (их названий мы, однако, не давали и, следовательно, не выделяли их как действия, отличные от сложения и вычитания); применение понятийных мерок устраняло затруднения в переходе к решению конкретных задач.

Последнюю, третью часть нашей методики составило систематическое изучение — на обильном предшествующем материале—различных взаимоотношений между конкретной

1 Методика дана в приложении к диссертации.

величиной, применяемой меркой («единицей измерения») и числом (как результатом измерения и характеристикой величины по данной мерке).

По этой методике мы провели систематическое формирование начальных математических понятий и действий у 50 детей (в тех же детских садах это давало приблизительно однородность контингента детей, закончивших обучение по обычной методике в средней группе и перешедших в старшую). Предварительно и у этих детей мы проверили, тоже в индивидуальном порядке, их знания по программе, а затем предложили им решить контрольные задачи. По уровню усвоенных знаний среди них оказалось 26 отличников, 17 хорошо и 6 посредственно успевающих, то есть почти точно такое же соотношение, как и в предыдущей группе. Их решение наших контрольных задач представлено в таблице 2.

Таблица 2

Число правильных решений контрольных задач во второй группе по сравнению к первой группе (в % к общему числу детей)

Во второй группе по сравнению с первой в ряде задач отмечается снижение процента правильных решений — это отвечает снижению возраста второй группы на год (и притом наиболее значительный для изучения арифметики в детском саду). Скорее заслуживает внимания тот факт, что во многих задачах это различие совсем невелико, а в некоторых задачах дети второй группы оказались даже сильней первой. Это еще раз показывает, как мало связана успешность в решении задач, где математические единицы не совпадали с отдельностями, с успешностью в обучении по общепринятой методике.

Нам пришлось затратить много времени на переучивание детей, которые в младшей и средней группе учились считать отдельности за единицы, а также на формирование ряда понятий, которые прежде, при ориентации на отдельности, были не нужны. Необходимость обеспечить прохождение всей программы за один год — фактически за 8 месяцев — заста-

вила нас увеличить количество занятий до двух, а под конец и до трех раз в неделю, что, впрочем, не вызвало трудностей, так как интерес к этим занятиям со временем все больше увеличивался. Всего было проведено 68 занятий, каждое от 25 и до 30 минут. Занятия проводились со всей группой без всякого выделения отстающих и без дополнительных занятий с ними в детском саду или дома.

После завершения всей программы мы еще раз (опять в индивидуальном порядке) предъявили этим детям наши контрольные задачи и получили следующие результаты (табл. 3). Для сравнения мы снова приводим снизу процент решения этих задач в группе закончивших обучение в детском саду по обычной методике.

Таблица 3

Решение контрольных задач после обучения по методике, построенной на измерении (в % к общему числу детей данной группы и в сравнении с такими же данными по группе, обучавшейся по общепринятой методике)

Неполные 100% решения в задачах 11 —13 и 14—16а приходятся на пять детей, которые по разным причинам серьезно отставали от остальных и с которыми (напомним это) все-таки не проводилось никаких дополнительных занятий; каждый из этих детей не решил по 2—3 из указанных пяти задач.

С учетом этих обстоятельств можно сказать, что предложенная методика формирования начальных математических понятий, построенная на измерении, полностью устранила недостатки в решении наших контрольных задач, наблюдавшихся у детей, обученных по общепринятой методике, а вместе с ними и те недостатки в формировании первых арифметических знаний и умений, которые обычно отмечаются у таких детей и о которых мы упомянули выше на стр. 5.

4

Эти результаты позволяют нам вернуться к нашим основным психологическим проблемам.

Мы утверждаем, что общепринятая методика начального арифметического обучения воспитывает понятие о единице как отдельности. Но представители этой методики могут и не согласиться с нами и сказать, что хотя содержание этого понятия заимствуется из отдельного предмета, однако вовсе не сводится к признаку отдельности. Это различие между нами имеет своим источником различие в понимании самого процесса познания.

Мы утверждаем, что познание ребенка ограничивается тем, что ему открывают его предметные, то есть преобразующие предметы, действия с вещами. Согласно общепринятой методике ребенок производит только выделение одного предмета из множества других и, дальше, отделение его различающихся свойств от чего-то, остающегося общим всем предметам. Это, по нашему мнению, открывает в предметах только одно их свойство — их отдельность.

Если представители общепринятой методики не желают согласиться с нами, они должны принять, что указанные предметные действия только подготавливают предмет для дальнейшего его познания, которое, собственно, и открывает в нем некое содержание, не совпадающее с признаком отдельности. А это значит, что предполагаются некие процессы мышления, которых суть нечто сверх предметных действий и нечто качественно отличное от них.

Таким образом, проблема конкретного содержания понятия о единице в начальном обучении становится полем спора двух направлений в учении о природе мышления. Одно, представляемое нами, считает мышление лишь идеальной формой предметных действий и поэтому ограничивает в каждый данный момент познание тем, что открывают реально выполняемые, материальные или идеальные, предметные действия. Другое, представленное в общепринятой методике начальной арифметики, считает предметные действия лишь подсобными приемами, которые расчищают путь для процессов мышления, качественно отличных от предметных действий и дающих познание, выходящее за пределы последних.

Наши эксперименты показывают, что очень многие дети, обученные по общепринятой методике, в решении конкретных задач ориентируются не на единицы, а на отдельности. Несложный анализ показывает далее, что это не имеет прямой связи с уровнем успеваемости в обучении по арифметике, так как очень многие отличники и хорошо успевающие ориентируются на отдельности, а очень многие посредственно успевающие ориентируются на подлинные единицы. На-

конец демонстративный факт состоит в том, что правильная ориентировка целиком зависит от пользования измерением, именно от предварительного отмеривания указанных меркой единиц (и тогда обязательно их счетом). А обязательному применению мерки общепринятая методика не только не учит, но это и по существу является для нее излишним, так как она предполагает, что содержание единицы, не совпадающее с отдельностью, извлекается из содержания отдельного, максимально обобщенного предмета. Все это говорит о том, что если такое понимание единицы и существует, то в решении задач оно во всяком случае не проявляется.

Правда, это еще не говорит о его неправильности, а только о его бездейственности. Известно, что многие школьные знания не сразу получают применение на практике, в решении конкретных задач. Так может обстоять дело и здесь. По этому для решения вопроса о достоинстве этих знаний следует найти другой путь. Он состоит в том, чтобы идти от объекта этих знаний. Дело в том, что отдельный предмет, из которого будто бы извлекается такое понятие о единице, во всяком случае не содержит количественного отношения (отношение отдельности, то есть бытия к небытию, не является количественным). Если же единица определяется через отношение равенства своей мерке, как это делаем мы, то количественное отношение становится основоположным содержанием этого понятия. Не приходится сомневаться, что отсутствие количественного отношения в содержании числа является во всяком случае его очень существенным дефектом.

Мы приходим к заключению, что обучение по общепринятой методике формирует неудовлетворительное представление о кардинальном в процессе обучения числе, о единице, потому что это представление во всяком случае не содержит количественного отношения и, кроме того, оказывается бездейственным. В решении задач дети фактически ориентируются на отдельности, поскольку житейская практика с измерением не вносит поправки в это теоретическое обучение.

Это значит, что представление о таком содержании понятия о единице, которое формируется на отдельном предмете и не ограничивается признаком отдельности, является произвольной гипотезой. Она опровергается в той мере, в какой проверяется, и может сохраняться лишь в той мере, в какой непроверяема. Такая гипотеза лишена научного основания и должна быть отброшена.

Вместе с нею лишается основания (по крайней мере на данном материале) гипотеза процессов мышления, полностью отличных от предметных действий и способных обна-

ружить нечто сверх того, что раскрывают в объектах предметные действия (материальные или идеальные).

Разработанная нами методика формирования начальных математических понятий и действий, построенная целиком на положении, что познанию ребенка открывается лишь то, что раскрывают в вещах его предметные действия, устранила все недостатки в решении наших контрольных задач, а заодно и те недостатки арифметических знаний и умений, которые отмечались в них при обучении по общепринятой методике самими ее сторонниками. Мы рассматриваем этот результат как свидетельство практики о продуктивности подхода к мышлению со стороны конкретных предметных действий субъекта.

Прежде чем приступить к дальнейшему, необходимо сделать разъяснение по поводу самих предметных действий. Их часто понимают как чисто предметные процессы, и это вызывает возражения против введения их в процессы мышления. Но дело в том, что одно дело—предметные действия сами по себе, вне субъекта, а другое дело — те же предметные действия как действия субъекта; одно дело операция сложения как она рассматривается в математике, а другое дело сложение, когда оно выполняется субъектом и рассматривается психологией как действие этого субъекта. Во втором случае понимание действия становится его составной частью и его важнейшим, определяющим механизмом. Конечно, в мышление предметные действия входят не только как объект и материал, как внесубъектные процессы, а именно как реализованные отношения субъекта к этому материалу, как предметные действия самого субъекта, со всем пониманием и умением, какие субъект может в них принести и которые вместе с тем строго определяются логикой самого действия.

Построенная на алгоритме таких предметных действий методика начального обучения арифметике отличается рядом особенностей, часть которых относится к ее построению, а другая часть — к ее усвоению.

Особенности построения методики сводятся к трем моментам: наибольшего первоначального развертывания действия, четкой дифференцировки его объекта и максимального его осознания. Тщательное развертывание действий, без чего нельзя обеспечить понимания их объективной связи, привело нас, как уже говорилось выше, во-первых, к выделению ряда собственно математических, но не связанных с числом действий и понятий, особенно важных для преодоления непосредственного, донаучного и воспитания математического подхода к количественной оценке конкретных величин, и, во-вторых, к не менее важному разделению действий по образованию числа действий по его применению (в счете, сложении и так далее).

Тщательная дифференцировка понятий о мерке и единице отдельностей (отдельных величин или их частей) привела к применению в счете, сложении и вычитании различных «составных мерок», а также понятийных мерок, а применение таких мерок — к фактическому выполнению одновременно с указанными действиями умножения и деления.

Наконец мы стремились к наибольшему осознанию ребенком того, что он делает. Это было связано с необходимостью выражения этого в речи, «во второй сигнальной системе». Конечно, мы выбирали и даже специально вырабатывали наиболее простые выражения, но всюду, где считали целесообразным такое осознание, мы вводили названия и письменные обозначения (например, цифры), определения (например, определения мерки и единицы) и формулировки правил (например, правило образования чисел натурального ряда (п±1). При условии понимания объекта и постоянного практического применения эти речевые выражения и обозначения не только не составляли какой-нибудь существенной трудности, но скорей, наоборот, открывали новые возможности разнообразить действия.

Развертывание действий и понятий, их дифференцировка и осознание предъявляли свои требования к порядку усвоения различных частей программы. Иначе говоря, они потребовали перестройки учебного предмета и тем более — учебной программы. Таким образом, психология, опирающаяся на учение о предметных действиях субъекта, помимо нашего намерения, выступила у нас наукой, предъявляющей решительные требования к построению не только процесса усвоения, но и самого учебного предмета и учебной программы, как это, собственно, и должно было бы быть.

Что касается самого усвоения, то наше исследование в общем подтверждает — для данного возраста и для данного материала — прежде установленный порядок поэтапного усвоения. Однако и здесь оно вносит следующие два новых момента. Во-первых, на нашем материале очень ясно обнаружилось, что необходимо разделить этап «громкой речи без предметов» на две последовательные стадии: конкретной речи, когда необходимо указывать конкретные объекты действия (непосредственно отсутствующие), и стадию абстрактной речи, когда можно обойтись указанием одних свойств или характеристик (в нашем случае одних числительных). Таким образом, представления получают свое место в общем процессе поэтапного усвоения. Они действительно, как указывалось раньше1, не составляют отдельный, самостоятельный

1 П. Я. Гальперин. Развитие исследований по формированию умственных действий, «Психологическая наука в СССР», т. 1, изд. АПН РСФСР, 1959, стр. 453.

этап формирования умственных действий и могут встречаться на разных этапах (громкоречевом, во «внешней речи про себя»). Но вместе с тем они необходимы как переходная стадия при отрыве от вещей, при переходе к действию с абстракциями.

Второй момент, который следует отметить, хотя он и не был нами исследован, заключается в том, что при переходе к действию с абстракциями последние превращаются в новые объекты. Это и необходимо для расширения возможностей мышления и в то же время несет с собой определенную опасность. Дело в том, что в результате такого превращения абстракция психологически начинает выступать не как момент той действительности, от которой она отвлечена, а как новая действительность. Благодаря опоре на речь она противостоит умственному действию как отдельный предмет, и законы его содержания — это уже не те законы, которым оно подчинялось, когда входило частью в более обширную систему черт конкретного предмета. Содержание абстракции выступает как самостоятельная система, самобытная действительность и потому уже с другими свойствами и закономерностями. Это, конечно, бросает свет на роль этих черт в составе тех вещей, от которых они были отвлечены, и на значение их ограничения другими свойствами этих вещей. Словом, это значительно обогащает наше познание этих вещей, но создает опасность представления, будто наряду с объективной действительностью материального мира существует некая другая, логическая действительность. Мы считаем поэтому необходимым отметить эту проблему превращения части прежнего объекта в самостоятельный объект мысли с новым отношением к прежнему (отношением, которое не исчерпывается происхождением от него). Но, повторяем, она не была подвергнута нами экспериментальному анализу, и мы не претендуем ни на ее освещение, ни даже на определенную ее постановку.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Психологический анализ современной методики обучения начальным математическим понятиям. Доклады АПН РСФСР, 1960, № 1.

2. Основной ряд действий, ведущих к образованию начальных математических понятий. Доклады АПН РСФСР, 1960, № 3.

3. Основное содержание программы формирования начальных математических понятий на основе измерения. Доклады АПН РСФСР, 1960, № 4.

4. Результаты формирования начальных математических понятий по методике, основанной на измерении. Доклады АПН РСФСР, 1960, № 5.

5. Психология формирования начальных математических понятий у детей. Журнал «Народное просвещение», 1960, на болгарском языке.

6. К вопросу о формировании начальных арифметических понятий у детей. Журнал «Дошкольное воспитание», 1960, на болгарском языке.

7. Психологические условия формирования полноценных начальных математических понятий у детей. Доклады АПН РСФСР, 1961, № 1 (печатается).

2-я типография Профиздата. Москва. Ленинский проспект, -12