ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

Кафедра элементарной математики и методики преподавания математики

С. А. ГАСТЕВА

ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ЛЕНИНГРАД 1954

В связи с постановлением XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза завершить к концу пятилетки переход от семилетнего образования на всеобщее среднее образование (десятилетка) в столицах республик, городах республиканского подчинения, в областных, краевых и крупнейших промышленных центрах и подготовить условия для полного осуществления в следующей пятилетке всеобщего среднего образования (десятилетка) в остальных городах и сельских местностях, для преподавателей школ особенно актуальной стала задача добиться систематического и прочного усвоения основ науки, в том числе математики.

Первым этапом обучения математике в средней школе является обучение арифметике. Несмотря на то, что вопросам методики преподавания арифметики посвящается большая литература, несмотря на большие достижения в деле преподавания математики за последнее время, имеется еще ряд вопросов методики преподавания арифметики, требующих специального изучения.

Одним из таких вопросов является система изучения обыкновенных дробей, которая принята в настоящее время в программе по арифметике для V класса, в учебной и методической литературе. Имеются разделы этой системы, перешедшие по традиции из программы и учебников по арифметике дореволюционной школы, противоречащие логике построения предмета.

Методические приемы преподавания некоторых вопросов арифметики дробей являются спорными, мало обоснованными. Недостаточно учитывается принцип научности при составлении системы изучения темы, при подборе методических приемов.

Цель работы дать для преподавателей школ и для будущих преподавателей, студентов педагогических институтов, наиболее последовательную систему изучения обыкновенных дробей, отобрать лучшие методические приемы обучения ариф-

метике обыкновенных дробей, учитывая требования теории данного вопроса, принципы педагогики, опыт обучения арифметике, отраженный в учебной и методической отечественной литературе, опираясь на личный опыт педагогической работы автора в течение 37 лет, в которую входит работа с учащимися школ, с преподавателями школ и студентами Педагогического института.

При составлении работы учитывалось следующее высказывание известного методиста В. Латышева в предисловии к его книге «Руководство к преподаванию арифметики» (М. 1904. III издание).

«Начинающим преподавателям подробно указывать приемы преподавания полезно, но рядом с этим необходимо особое внимание обращать на те теоретические соображения, которые руководят автором методики, потому что необходимо учить начинающих не приемам обучения только, но и вдумчивости в свое дело и уменью проводить в курсе руководящую мысль. Иногда преподаватели могут вести очень хорошо и живо отдельные уроки, но не имеют связать их в одно целое, не умеют учить работе по предмету».

Работа состоит из следующих частей:

Введение, 4 главы, выводы и литература.

I глава посвящена учению о дробных числах.

В этой главе дано краткое изложение основных вопросов научных теорий дробей, теории пар, теорий, основанных на принципе сохранения формальных законов, операторной теории дробного числа.

Выделяется операторная теория дробного числа, в основу которой положена задача измерения величин, как наиболее близко соответствующая историческому ходу развития понятия числа. Эта теория допускает на всех стадиях построения конкретное толкование, поэтому ближе всего по своему идейному содержанию подходит к школьному изложению. Дается краткое освещение изложения этой теории в книге: И. В. Арнольд «Теоретическая арифметика».

Изложенное в этой главе имеет целью осветить вопросы научной теории дробей, которые положены в основу методики преподавания обыкновенных дробей.

II и III главы посвящены историческому обзору учебной » методической литературы по арифметике обыкновенных дробей.

Цель указанного исторического обзора определяется следующими словами В. И. Ленина:

«Когда мы слышим нередко и среди представителей молодежи и среди некоторых защитников нового образования нападки на старую школу, что старая школа была школой зубрежки, мы говорим им, что мы должны взять то хорошее, что было в старой школе». (В. И. Ленин. Задачи Союзов Молодежи, 1947, стр. 10).

Ставится задача рассмотреть ряд учебников арифметики и методических руководств, начиная с XVIII века и кончая XX веком, чтобы учесть более чем двухвековой опыт обучения арифметике дробей, отраженный в этой литературе.

Особое внимание уделяется вопросам:

1) Система расположения материала при изучении дробей.

2) Обоснования рассматриваемых положений о дробях.

3) Методика введения понятия дроби.

4) Методика введения понятия умножения на дробь.

5) Методика изучения деления дробей.

Глава II посвящена изучению дореволюционной литературы по арифметике обыкновенных дробей.

В § 1-м этой главы проводится анализ учебной и методической литературы XVIII века и первой четверти XIX века, начиная с «Арифметики» Л. Ф. Магницкого.

В конце параграфа подведены итоги изучения учебной литературы этого периода, отмечены особенности системы расположения материала и характера обоснований.

Указывается, что вопросы делимости чисел были недостаточно разработаны и включались в разделы, посвященные сокращению дробей. В большинстве учебников не дается общего способа нахождения наименьшего кратного данных чисел.

В учебной литературе рассматриваются два способа получения дроби: как части единицы и как частного от деления двух целых чисел. Одни авторы в основу определения берут один способ получения дроби, другие другой, но каждый раз устанавливается, что полученная дробь представляет одну или несколько одинаковых долей единицы.

В ряде учебников рассматривается до действий увеличение и уменьшение дроби в несколько раз при умножении (или делении) числителя и знаменателя на какое-нибудь число, это свойство используется при выводе основного свойства дроби, в других учебниках основное свойство дроби выводится на основании представления о равенстве дробей.

Отмечаются логические пробелы в изучении умножения на дробь, в большинстве учебников считается более обоснован-

ным вывод правила на основании свойств произведения, установленных для целых чисел.

В дальнейшем в результате сравнения по величине произведения с множимым авторы учебников приходили к толкованию умножения, вытекающему из операторного представления дроби: «берется такая часть от умножаемого количества, какую часть единицы множитель изображает». (Войтяховский). Отмечается ряд учебников, где пользуются приведенным толкованием смысла умножения для вывода правила умножения на дробь.

Умножение дроби на целое число в большинстве учебников рассматривается до умножения дроби на дробь, умножение целого числа на дробь не рассматривается отдельно, к нему переходят или от умножения дроби на дробь, рассматривая целое число как дробь с знаменателем единица, или от умножения дроби на целое число: «Равным образом поступать надлежит и при умножении целого числа дробью» (учебник Войтяховского).

Деление дробей рассматривается как деление по содержанию во всех учебниках и производится путем деления числителей, если дроби с одинаковыми знаменателями, в случае дробей с разными знаменателями, предварительно данные дроби приводятся к общему знаменателю. Деление на целое число рассматривается как деление на дробь с знаменателем, равным единице. В некоторых учебниках деление дроби на целое число рассматривается отдельно после умножения дроби на целое число до умножения дробей.

При выводе правил смысл деления как действия обратного умножению мало используется. Проверка деления умножением производится. Законы действий не рассматриваются, кроме переместительного закона умножения, о котором упоминается в руководстве Эйлера.

Десятичные дроби во многих учебниках рассматриваются не сразу после обыкновенных дробей, в ряде учебников отделяются главой, посвященной именованным числам и действиям над ними.

Основной формой учебной литературы по арифметике этого периода был учебник, который заменял и теоретический курс и имел целью одновременно с передачей знаний учащимся следить за научными успехами и вводить логические обоснования излагаемой теории. При составлении учебника мало принимались во внимание педагогические принципы.

Только начиная с конца XVIII века, когда стали открывать народные училища, начали появляться методические руководства по преподаванию арифметики и составляться учебники для учащихся народных училищ с учетом доступности изучения. В ряде учебников доступность изложения отразилась на сокращении обоснований, изложение сводилось к формулировке правил. В дальнейшем усиливается внимание к доступным обоснованиям, вводятся элементы наглядности, проводится работа над построением урока в виде беседы учителя с учеником, в такой форме проводится изложение в ряде книг.

§ 2 II главы посвящается изучению учебной и методической литературы за период от второй четверти XIX века до Октябрьской революции. Начало этого периода увязывается с появлением методических руководств по арифметике Ф. И. Буссэ и П. С. Гурьева.

Этот период является периодом расцвета методики преподавания математики. Появляются работы по методике математики талантливых методистов—Латышева, Егорова, Беллюстина, Щербина, Шохор-Троцкого и других. В этих работах в борьбе мнений по вопросам методики преподавания обыкновенных дробей вскрываются новые пути их разрешения.

Приводятся темы докладов на первом и втором с'ездах преподавателей математики, в которых нашли отражение передовые идеи реформы преподавания математики; связь школы с жизнью, активное участие учащихся в изучении учебного материала, в связи с этим лабораторный метод преподавания, развитие функционального мышления, введение наглядного курса геометрии в программу начальной школы и пятого класса.

Отмечается то новое, что внесено в методику преподавания арифметики дробей по сравнению с предыдущим.

Во всей методической литературе этого периода рассматриваются два концентра при изучении дробей. Первый концентр предлагается вводить в начальной школе и посвящать созданию конкретных представлений о дробях параллельно с изучением целых чисел, включая также вопросы, которые не требуют расширения понятия о действиях, второй концентр посвятить систематическому курсу дробей.

В большей части учебной и методической литературы до дробей рассматриваются вопросы делимости чисел, причем в достаточном объеме.

В большей части изученной литературы до изучения действий рассматривается увеличение и уменьшение дробей в не-

сколько раз и в систематическом курсе дробей, в отрыве от умножения и деления на целое число, на что дана правильная критика в методиках арифметики Беллюстина, Латышева, в статье Щербина. Во многих учебниках нахождение части числа и всего числа по его части помещено до действий над дробями, что правильно критикуется в методике Беллюстина. Решение этих задач должно стоять первой перед умножением на дробь, второй перед делением на дробь, так как должно служить подготовкой к усвоению тех операций, которые должны выполняться при умножении и делении на дробь. В большей части методической литературы правильно деление дроби на целое число предлагается изучать до умножения на дробь, так как нахождение части числа требует деления на знаменателя.

При рассмотрении умножения на дробь получила почти общее признание в учебно-методической литературе необходимость введения нового определения умножения на дробь как нахождения дроби числа, причем большая часть авторов предлагает подводить учащихся к новому определению умножения из рассмотрения конкретных задач, некоторые авторы формулируют общее определение умножения, пригодное для целых и дробных чисел, и из него выводят правило умножения на дробь.

Деление определяется большинством авторов как действие обратное умножению, но в ряде учебников дается новое определение. В методике Егорова правильно критикуется введение нового определения деления, указывается, что этим нарушаются «все те соотношения между действиями, которые установлены в целых числах». Большинство авторов рассматривают различные виды задач, решаемых делением, рассматриваются случаи, когда делением находится множимое и когда множитель (деление по содержанию). Дальше указывается, что выведенное правило применимо для обоих случаев.

В рассматриваемый период в учебной и методической литературе появляется вопрос о порядке изучения обыкновенных и десятичных дробей. В учебнике Буняковского проводится изучение десятичных дробей параллельно с целыми числами до обыкновенных дробей, в докладе на I съезде преподавателей математики К. Ф. Лебединцев предлагает распределение курса дробей на циклы. Первый цикл посвятить наглядному изучению дробей, второй — изучению десятичных дробей, исключая умножение и деление на дробь, и третий — параллельному изучению обыкновенных и десятичных дробей.

III глава посвящена изучению учебной и методической литературы за период после Октябрьской революции по настоящее время.

Великая Октябрьская революция открыла возможности для осуществления передовых идей реформы преподавания математики. Перед преподавателями школ встала также задача — приступить к осуществлению политехнического обучения, содержание которого было раскрыто В. И. Лениным.

Эти идеи получили отражение в учебной и методической литературе по математике. Появились рабочие книги по математике, задачники с практическим содержанием. Как один из лучших учебников арифметики выделяется книга К. Ф. Лебединцева «Счет и мера». «Арифметика в связи с начатками геометрии для трудовой школы и самообучения», изданная в 1923 году. В системе изучения дробей в этом учебнике отсутствуют все указанные выше недостатки. В этом учебнике осуществлены все передовые положения методики преподавания дробей, которые были высказаны автором этой книги в докладе на I съезде преподавателей математики.

Выделяется как лучшая «Рабочая книга по математике для 5 года обучения» И. И. Грацианского, защитника систематического изучения теории предмета, которая дает ценный материал для обучения теории школьной арифметики. Как пример рабочей книги другого характера рассматривается «Рабочая книга по математике для пятого года обучения» М. Ф. Берга и М. А. Знаменского, в которой нарушается систематичность изложения, теория не занимает должного места.

Отмечается чрезмерное увлечение практическими приложениями математики, лабораторным методом, которое привело к неверной практике «попутного» изучения математики, принижению значения теории. После 1923 года по 1931 год выходили только рабочие книги по математике и практические руководства по математике с задачами и темами для лабораторных работ, содержащие много практического материала, но в которых в ряде случаев нарушалась систематичность изложения, умалялось значение теории.

Постановление Центрального Комитета Всесоюзной Коммунистической партии большевиков от 5 сентября 1931 года устанавливает правильные соотношения между практикой и теорией, в нем указывается следующая задача средней школы: «Дать достаточный объем общеобразовательных знаний и подготовить... вполне грамотных людей, хорошо владеющих

основами наук и усвоивших точно очерченный круг систематизированных знаний».

После этого взамен рабочих книг снова стали создаваться учебники и методики арифметики.

Изучается учебная и методическая литература, вышедшая после постановления ЦК ВКП (б) от 1931 г.

Большое внимание уделяется также статьям в журнале «Математика в школе», посвященным арифметике дробей.

Большая часть статей посвящена методике преподавания умножения на дробь. Проводится анализ дискуссии по вопросу методики обучения умножению на дробь на страницах журнала «Математика в школе». В высказываниях преподавателей нашли отражение различные подходы к определению умножения на дробь и к выводу правила, встречающиеся в рассмотренной литературе. Все рассмотренные определения умножения на дробь основаны на операторном толковании числа, как характеристики действия, которое должно быть осуществлено над каким-либо объектом. Определяя умножение на дробь как нахождение дроби числа, мы этим показываем, что умножением называется действие, которое состоит в выполнении над множимым той операции, которая указывается множителем. Чтобы сделать доступным определение умножения на дробь, необходимо установить связь этого действия с действием умножения на целое число и выяснить смысл этого действия, что достигается методом целесообразных задач.

М. Ф. Шинова в своей статье «По поводу статей об умножении и делении на дробь» предлагает установить связь умножения на дробь с умножением на целое при помощи общих слов, характеризующих это действие в обоих случаях, и этим (10X2 — взять 2 десятка, 10XV5 — взять 3/5 десятка) оправдать применение термина умножения к разным операциям над данными числами, для выяснения смысла умножения на дробь, предлагает дать наглядное толкование производимым операциям. Затем рекомендует показать и на решении, задач целесообразность введенного определения умножения на дробь, установив, что при введенном определении умножения на дробь один и тот же вопрос задач» решается одним и тем же действием независимо от числовых значений величин.

Рассматривается статья профессора И. В. Арнольда «Операторное истолкование числа в курсе элементарной математика», развитием которой является методическая разработка М. Ф. Шиновой.

При подведении итогов изучения учебной и методической литературы за период после Октябрьской революции по настоящее время отмечается, что система изучения арифметики дробей в основном остается прежней в большей части учебной и методической литературы. Но борьба за изменение системы изучения арифметики дробей ведется, издан учебник Лебединцева, свободный от всех указанных недостатков в системе изучения дробей, появляется критика системы принятой в стабильном учебнике. И. Писарчик в статье, помещенной в журнале «Математика в школе» «Об изменении величины дроби с изменением ее членов» критикует помещение этого вопроса до действий.

В этот период получила общее признание необходимость введения нового определения умножения на дробь как нахождения дроби числа, но относительно приемов введения этого определения еще имеются разногласия. Деление так же, как и в предыдущий период, определяется большинством авторов как действие обратное умножению, но все еще имеются сторонники проходить деление независимо от умножения и лишь потом показать связь между ними.

Осуществлено в ряде случаев в учебной и методической литературе параллельное изучение обыкновенных и десятичных дробей, процентов. Усилилось внимание в литературе к детальной разработке приемов обучения, к наглядности преподавания, разработан метод целесообразных задач. Усилилось внимание к задачам практического характера, вводятся задачи, способствующие коммунистическому воспитанию учащихся.

IV глава посвящена изложению методики преподавания обыкновенных дробей в курсе средней школы.

В этой главе нашла осуществление наиболее последовательная система изучения дробей, отобраны лучшие методические приемы обучения арифметике дробей, приведены наглядные пособия, конкретные примеры, примеры систем упражнений.

На основании изученного материала устанавливается необходимость введения двух концентров изучения дробей, целесообразность прохождения темы «Делимость чисел» перед темой «Обыкновенные дроби». Рекомендуется десятичные дроби проходить после обыкновенных, считается возможным параллельное прохождение обыкновенных и десятичных дробей, если предшествует первый концентр изучения не только обыкновенных дробей, но и десятичных, что имело место в программе начальной школы до 1949 года.

Понятие о проценте рекомендуется ввести в начальной школе, простейшие упражнения проводить параллельно с изучением обыкновенных дробей, но после десятичных дробей выделить отдельную тему, посвященную процентам, чтобы рассмотреть более сложные задачи на проценты, привести в систему сведения, полученные о процентах.

Выделяются основные идеи темы «Обыкновенные дроби».

1) Введение дробных чисел — новый этап расширения числовой области.

2) Новое понятие числа требует введения нового определения понятия равенства чисел, суммы и произведения.

3) Введение дробных чисел снимает ограничения с действия деления целых чисел (кроме деления на нуль).

4) Дробные числа подчиняются всем законам арифметических действий, установленным для натуральных чисел.

Хотя в начальной школе учащиеся получили представление о простейших дробях, предлагается начинать тему «Обыкновенные дроби» с углубления и закрепления понятия дроби. Учитывая, что исторически дроби возникли в связи с потребностью измерять, рекомендуется для иллюстрации различных вопросов школьного курса дробей пользоваться долями линейной единицы, кв. единицы и куб. единицы.

Указывается на ценный материал по вопросу наглядности при обучении дробям в книге: П. А. Компанийц «Очерки по методике преподавания математики в I—IV классах школы».

Делая соответствующий чертеж в тетрадях, учащиеся могут находить доли линейного дециметра, квадратного дециметра, чертить развертки кубического дециметра и его долей и дома склеивать соответствующие модели, составлять прямоугольники из долей квадратной единицы, параллелепипеды из прямоугольных долей кубической единицы.

В результате такой работы у учащихся создается представление о доле единицы, о дроби как совокупности одинаковых долей единицы, и сами учащиеся составляют соответствующее определение.

Не рекомендуется переходить сразу после этого ко второму способу получения дроби в результате деления двух целых чисел. Приводятся следующие возражения. Деление определяется как действие, обратное умножению. Удовлетворяет ли рассмотренное деление этому определению? Все это требует обоснования. Без этого учащиеся не будут увязывать этот случай деления с определением деления. В стабильном учебнике при изучении деления дробных чисел выводится правило деления

целых чисел в случае дробного частного, но это правило иначе формулируется, чем то, которое дано при рассмотрении получения дроби при делении целого числа на равные части, и не указывается связь между ними.

В систематическом курсе должна соблюдаться логическая последовательность изучения действий, обратные действия должны изучаться после соответствующих прямых. Рекомендуется получение дроби как частного от деления рассматривать при изучении деления целого числа и дроби на целое число.

После введения понятия дроби рекомендуется ввести понятие равенства и неравенства дробей. В основу сравнения долей единицы и дробей кладется сравнение величин, измеряемых дробями. В стабильном учебнике даются соответствующие определения. Эти определения не рекомендуется заучивать, но на конкретных примерах следует подчеркнуть высказанные в них положения.

Приводится графическая иллюстрация сравнения долей единицы. В результате рассмотрения конкретных примеров вводится классификация дробей на правильные и неправильные. При составлении отрезков из долей линейной единицы, при составлении прямоугольников из долей квадратной единицы учащиеся приходят к исключению целого числа из неправильной дроби и обратному преобразованию. Указывается, что в методической литературе возникал вопрос о помещении этих преобразований в школьном курсе после изучения деления дроби на целое число, и деления дробей с одинаковыми знаменателями, в виду того, что при первом преобразовании производится деление дробей с одинаковыми знаменателями, при втором умножение дроби на целое число и сложение дробей. Отмечается преимущество принятого расположения материала: возможно рассматривать действия над всеми видами дробей и смешанными числами одновременно, причем эти преобразования не нарушают системы изучения действий, связаны с конкретными представлениями дробей и сводятся к действиям над целыми числами. Дальше рассматривается вывод основного свойства дроби на основании определения равенства дробей путем использования наглядного пособия.

Критикуется изучение до действий увеличения и уменьшения дроби в несколько раз. Приводятся имеющиеся в методической литературе критические замечания. Что значит увеличить или уменьшить в несколько раз? Ведь нет же действий увеличения и уменьшения в несколько раз, а есть умножение и деление на целое число. Рассмотрение увеличения или умень-

шения дроби в несколько раз рекомендуется увязывать с прохождением умножения и деления дроби на целое число, так как эти задачи тождественны.

Рассматриваются преобразования дробей, сокращение и приведение дробей к общему знаменателю. Приводятся наглядные пособия.

При рассмотрении сложения и вычитания дробей разбирается вопрос о системе упражнений. Устанавливается на основании рассмотрения частных примеров справедливость законов сложения для дробных чисел.

При рассмотрении умножения дроби на целое число приводится примерный план первого урока по этой теме. Приводятся рациональные приемы умножения смешанного числа на целое число; путем общих рассуждений, проведенных на частном примере, устанавливается справедливость применяемого при этом распределительного закона умножения относительно суммы, когда одно из слагаемых дробь.

После этого рекомендуется перейти к изучению деления дроби на целое число. Такой порядок указывается в большей части методической литературы. Предварительно рассматривается деление целого числа на целое в случае дробного частного. В основу вывода правила кладется определение деления как действия обратного умножению. Рассматриваются рациональные приемы деления смешанного числа на целое число.

При рассмотрении умножения на дробь дается анализ различных способов введения определения умножения на дробь и вывода правила, приведенных в обзоре учебной и методической литературы за все периоды, начиная с XVIII века по настоящее время. Из этих способов выделяются как лучшие: 1) способ, разработанный М. Ф. Шиновой, состоящий в том, что путем общих слов, характеризующих умножение на целое число и умножение на дробь (10X2 — взять 2 десятка, 10Х3'/б — взять а/5 десятка) устанавливается связь между этими действиями, для выяснения смысла умножения на дробь дается наглядное толкование производимым операциям, в результате вводится определение умножения на дробь как нахождение дроби числа; 2) способ, при котором целесообразность вводимого определения умножения на дробь как нахождение дроби числа показывается путем решения конкретной задачи. Перед введением определения умножения на дробь рекомендуется изучить с учащимся вопрос о нахождении дроби числа, так как решение этой задачи служит подготовкой к усвоению тех операций, которые должны выполняться при

умножении на дробь. Приводится примерная система упражнений на нахождение дроби числа, графическая иллюстрация к решению задачи на нахождение дроби от дроби. После этого рассматривается методика преподавания умножения на дробь, которая получила в настоящее время наибольшее признание в педагогической практике и в учебно-методической литературе, которая основана на применении второго из выделенных, как лучшие, способов.

Рассматривается геометрическая задача на вычисление площади прямоугольника, в результате решения которой устанавливается, что для того, чтобы площадь прямоугольника вычислялась по одному правилу и в случае, когда длины сторон выражены дробными числами, целесообразно решение записывать при помощи умножения длины основания на длину высоты. Выясняется смысл умножения на дробь и формулируется определение.

Дальше приводится арифметическая задача, путем решения которой тоже можно показать целесообразность вводимого определения умножения на дробь.

Правило умножения на дробь выводится как следствие определения. Умножение дроби на дробь изучается на основании определения действия умножения на дробь. На частных примерах устанавливается справедливость законов умножения для дробных чисел.

Рассматриваются два способа умножения смешанных чисел. Наглядное представление второго способа дается путем решения геометрической задачи. Рекомендуется установить с учащимися одну из особенностей умножения на дробь, при умножении на правильную дробь получается произведение меньшее множимого. Приводятся примеры упражнений.

Делению на дробь предпосылается нахождение числа по данной величине его дроби. Рассматриваются виды упражнений.

Для того чтобы соблюдалась одна и та же система изучения обратных действий, изучение деления на дробь рекомендуется начать с повторения образования действия деления для целых чисел, затем перейти к рассмотрению примера на умножение целого числа на дробь в случае целого произведения и образовать две обратные задачи. Решение одной из задач приводит к делению целого числа на дробь. Формулируется определение деления на дробь как действия, обратного умножению. При помощи рассуждений, основой которых служит определение, учащиеся приходят к выводу, что при делении на дробь

отыскивается число по данной величине его дроби. После решения ряда примеров, выводится правило деления целого числа на дробь. Также предлагается изучить деление дроби на дробь. Указывается, что неправильно строить изучение деления на дробь, взяв за определение, что разделить какое-нибудь число на дробь — значит найти число по данной величине его дроби. Это противоречит научному построению изучения действий над числами, при котором вычитание и деление любых чисел определяются как действия, обратные сложению.

На конкретных задачах показывается, что деление на дробь в том случае, когда искомым является множитель (деление по содержанию), имеет другой смысл по сравнению с тем случаем, когда искомым является множимое. Так же как при умножении, рекомендуется рассмотреть на частных примерах возможные случаи соотношения между частным и делимым.

В конце главы даны виды упражнений, дополняющих материал стабильного задачника и преследующих специальные цели: 1) подготовить учащихся к изучению десятичных дробей и процентов, 2) подготовить учащихся к практической деятельности. В последнюю группу входят упражнения, связанные с измерением, построение диаграмм, решение задач, знакомящих учащихся с техническими терминами, с простейшими техническими установками.

Предложенная методика изучения обыкновенных дробей в средней школе приводит к следующим выводам:

1) Необходимо изменить систему изучения, имеющуюся в стабильном учебнике по арифметике и применяемую в настоящее время в школах. Необходимо исключить из плана изучения дробей увеличение и уменьшение дроби в несколько раз как самостоятельный вопрос. Следует увязать его с умножением и делением дроби на целое число, так как эти задачи тождественны. Деление дроби на целое число следует изучать до умножения на дробь, получение дроби в результате деления следует рассматривать после умножения дроби на целое число.

2) Больше всего отвечает педагогическим требованиям введение понятия дроби как совокупности одинаковых долей единицы, а в случае отвлеченной дроби, как характеристики той операции, которую нужно производить над единицей.

3) Умножение на дробь следует определять как нахождение дроби числа, т. е. исходить из операторного толкования дроби. Лучшим способом введения понятия умножения на

дробь, наиболее проверенным на опыте, является метод целесообразных задач.

4) Деление на дробь следует определить как действие, обратное умножению. Одним из лучших способов введения понятия деления на дробь является составление обратной задачи для задачи (примера) на умножение на дробь, в результате решения которой учащиеся приходят к определению деления на дробь как действия, обратного умножению. Необходимо рассмотреть с учащимися различные виды вопросов, решаемых делением на дробь в конкретных задачах, в зависимости от того, что является искомым при делении, множимое или множитель (деление по содержанию).

М29488 17-V-54 г. Тип. «Сталинец» з. 2093 т. 100