АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

На правах рукописи

Л. М. ФРИДМАН

СОДЕРЖАНИЕ, СИСТЕМА И МЕСТО ЗАДАЧ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АРИФМЕТИКИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель кандидат педагогических наук Н. Н. НИКИТИН

Красноярское книжное издательство 1953

В свете исторических решений XIX съезда Коммунистической партии о переходе к всеобщему среднему образованию и политехническому обучению более резко обозначились существенные недостатки в преподавании математики в наших школах.

Основным звеном, за которое надо сейчас взяться, чтобы устранить недостатки в обучении математике, как справедливо указывает проф. И. К. Андронов, является проблема задачника.*).

Если задачник играет такую первостепенную роль во всей школьной математике, то его роль в арифметике, очевидно, еще более значительна.

Но для того, чтобы создать новые задачники по арифметике, отвечающие всем современным требованиям, необходимо предварительно решить, в частности, такие вопросы, как вопросы о содержании, системе и месте задач в школьном курсе арифметики.

Действительно, как можно создать полноценные задачники, не установив предварительно, какие задачи следует решать в курсе арифметики, каково должно быть их математическое, логическое и жизненное содержание, в какой последовательности следует решать эти задачи, какова должна быть связь между решением задач и изучением программного учебного материала и т. д.?

Решению этих важных вопросов и посвящена данная диссертация.

Как известно, при решении любого методического вопроса мы исходим из:

1) целей обучения в советской школе,

*) Проф. И. К. Андронов. Требования жизни. «Учительская газета» № 102 (3708) от 24 декабря 1952 г.

2) психолого-педагогических принципов обучения в советской школе и, наконец,

3) научной сущности того предмета, к которому относится рассматриваемый методический вопрос.

Значит, для решения поставленных выше методических вопросов о содержании, системе и месте задач в школьном курсе арифметики, необходимо сначала установить:

1. Цели решения задач в курсе арифметики.

2. Психолого-педагогические принципы обучения решению арифметических задач.

3. Сущность арифметических задач и их решения.

Если цели решения арифметических задач и психолого-педагогические принципы обучения их решению в основном уже установлены, то сущность арифметических задач и их решения до сих пор совершенно недостаточно выяснена. Единственный, пожалуй, вопрос, который подвергся многочисленным исследованиям, — вопрос о классификации задач, и тот до сих пор не получил полного решения.

А такие вопросы, как вопрос об особенностях отдельных видов арифметических задач, вопрос о логической сущности решения различных задач и некоторые другие, по существу, еще и не поставлены в нашей методической литературе.

Поэтому, значительная часть данной диссертации посвящена исследованию этих теоретических вопросов с тем, чтобы, на основе проведенного исследования и установленных в советской методике целей решения арифметических задач и психолого-педагогических принципов обучения решению этих задач, решить поставленную выше методическую проблему о содержании, системе и месте задач в школьном курсе арифметики.

В диссертации широко использован и освещен передовой опыт учителей математики школ г. Красноярска и Красноярского края, изучением и обобщением которого мы занимались в течение последних восьми лет. Многие положения и выводы данной диссертации подверглись экспериментальной проверке в красноярских школах.

Особую помощь при этом нам оказали учителя В. А. Сиротинин, Б. Н. Козьминых, З. Ф. Соловьева, М. И. Кузнецова, Е. Д. Соболева, С. Р. Горенко и другие.

Диссертация состоит из введения и пяти глав.

В первой главе диссертации исследуется вопрос о сущности одного из наиболее многочисленных и наиболее важных видов арифметических задач, который в методической литературе именуется по-разному: задачи с конкретным содержанием или просто конкретные задачи, сюжетные задачи и т. д. Мы остановились на названии сюжетные задачи.

Вообще под арифметическими задачами в данной диссертации, следуя определению, данному проф. В. М. Брадис, понимаются любые задачи, которые могут или должны решаться в школьном курсе арифметики.

Сюжетные задачи первоначально определяются как такие арифметические задачи, условия которых представляют собой словесное описание количественной стороны одного или нескольких фиксированных моментов какого-то реального явления и которые имеют единственное решение и не содержат лишних данных.

В § 2 этой главы устанавливается, какие величины рассматриваются в сюжетных задачах, каковы особенности этих величин, какова роль в сюжетных задачах каждого из видов величин.

В § 3 вводится понятие о соотношениях, под которыми понимаются такие зависимости между значениями одной и той же или разных величин, когда эти зависимости могут быть выражены с помощью арифметических действий и равенства. Соотношения между значениями одной и той же величины названы нами соотношениями 1-го рода, а соотношения между значениями разных величин — соотношениями 2-го рода.

Установлено, что в сюжетных задачах могут встретиться следующие 4 основных вида соотношений 1-го рода:

1. Соотношения равенства.

Пример задачи, содержащей одно соотношение этого вида: «Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и через некоторое время встретились. Один из них шел до встречи 5 часов. Сколько часов шел до встречи другой пешеход?

2. Соотношения суммарного вида.

Пример задачи: «В коробке 5 красных и 8 синих карандашей. Сколько всего карандашей в коробке?» 3. Соотношения разностного вида.

Пример задачи: «В одной коробке 20 карандашей, а в другой на 3 карандаша меньше. Сколько карандашей во второй коробке?»

4. Соотношения кратного вида.

Пример задачи: «В одной коробке 20 карандашей, а в другой — 5. Во сколько раз в первой коробке карандашей больше, чем во второй?»

Все остальные соотношения 1-го рода могут быть расчленены на указанные выше основные соотношения.

В § 4 рассматриваются виды и особенности соотношений 2-го рода.

§ 5 посвящен исследованию вопроса о способах и особенностях задания соотношений в условиях сюжетных задач. Всякое соотношение есть зависимость между известными и неизвестными значениями величин, членами этого соотношения. Известные члены соотношений — это данные задачи. Неизвестные же члены соотношений могут быть трех видов:

1. Искомые — такие неизвестные члены соотношений, нахождение размеров которых требуется вопросом задачи.

2. Вспомогательные — такие неизвестные члены соотношений, нахождение размеров которых возможно и необходимо для решения задачи, но непосредственно не требуется вопросом задачи.

3. Неопределенные — такие неизвестные члены соотношений, нахождение размеров которых невозможно и не требуется вопросом задачи.

Во всяком соотношении должен быть по крайней мере один неизвестный член.

Если в соотношении имеется только один неизвестный член, то такое соотношение названо разрешимым, если же в него входят два или более неизвестных члена, тэ такое соотношение названо неразрешимым.

Пример 1: «В одной коробке 20 карандашей, а в другой на 5 штук больше, чем в первой. Сколько карандашей в обеих коробках?»

В этой задаче рассматривается одна величина — количество карандашей, заданная тремя своими значениями:

1) количество карандашей в первой коробке;

2) количество карандашей во второй коробке;

3) количество карандашей в обеих коробках.

Первое значение есть данное, второе — вспомогательное неизвестное и третье — искомое. Эти три значения величины связаны Двумя соотношениями 1-го рода:

1. Соотношение разностного вида между первым и вторым значениями. Связкой в одном соотношении служит величина разностного отношения, размер которой дан (5 штук),

В этом соотношении имеется всего один неизвестный член — количество карандашей во второй коробке и. значит, это соотношение является разрешимым.

2. Соотношение суммарного вида между всеми тремя значениями величины. В этом соотношении имеется уже два неизвестных члена, и поэтому это соотношение неразрешимое.

Пример 2: «.В первый день отряд прошел в 2 раза меньше, чем во второй день. Во сколько раз отряд прошел за два дня больше, чем в один первый день?»

В этой задаче также рассматривается одна величина — путь, заданная тремя значениями: путь, пройденный отрядом в первый день, во второй день и за два дня. Все три значения этой величины являются неопределенными неизвестными. Искомым же в этой задаче является значение величины кратного отношения между первым и третьим значениями основной величины.

В § 6 рассматриваются связи между соотношениями, входящими в условие одной и той же задачи. В результате вводится понятие о системе взаимосвязанных соотношений и дается окончательное определение сюжетных задач, как систем взаимосвязанных соотношений, удовлетворяющих особым условиям.

В последнем § 7 рассматривается вопрос о зависимости между числом неизвестных членов и числом соотношений в одной и той же сюжетной задаче. Доказывается, что в сюжетной задаче без неопределенных членов общее число неизвестных равно числу соотношений.

Вторая глава диссертации посвящена вопросу о классификации сюжетных задач.

Проблема классификации сюжетных задач имеет большую историю. В настоящее время существует несколько практически важных способов классификации сюжетных арифметических задач. В первую очередь следует указать классификацию этих задач по числу дей-

ствий, с помощью которых может быть решена задача. Однако полного решения проблема классификации сюжетных задач до сих пор не получила. В диссертации изложен новый способ классификации сюжетных задач, который, на наш взгляд, полностью решает эту сложную проблему.

Все сюжетные задачи сначала подразделяются по числу основных соотношений, входящих в их состав. Задачи, содержащие только одно основное соотношение, названы нами элементарными; задачи же, содержащие систему двух или более взаимосвязанных соотношений, названы сложными.

Элементарные задачи, в свою очередь, делятся на элемемнтарные задачи 1-го рода, содержащие одно соотношение 1-го рода, и на элементарные задачи 2-го рода, содержащие одно соотношение 2-го рода.

Элементарные задачи 1-го рода могут быть четырех видов: элементарные задачи вида равенства, суммарного, разностного и кратного видов.

Элементарные задачи 2-го рода делятся на виды, в зависимости от типа соотношения, образующего данную задачу.

Обычные простые задачи, решаемые одним арифметическим действием, представляют собой частный случай элементарных задач. Кроме простых задач, в число элементарных задач входят задачи вида равенства, не требующие для своего решения выполнения каких-либо арифметических действий, и такие элементарные задачи, которые решаются более чем одним арифметическим действием

Сложные сюжетные задачи делятся на три вида: l. Открытые задачи, содержащие по крайней мере одно разрешимое соотношение и решение которых идет «цепным» способом.

Вот пример такой задачи: «Купили 4 кг печенья по 12 руб. за 1 кг и несколько килограммов конфет. В уплату за всю покупку дали 200 руб. и получили 41 рубль сдачи. Сколько килограммов конфет было куплено?»

В этой задаче имеются два разрешимых соотношения: 1) купили 4 кг печенья по 12 руб. за 1 кг (неизвестное — стоимость печенья);

2) в уплату за покупку дали 200 руб. и получили 41 рубль сдачи (неизвестное — стоимость покупки).

Выделив эти два разрешимых соотношения в виде простых задач и решив их, мы найдем, что печенье стоило 48 руб., а вся покупка стоила 159 руб. Тогда становится разрешимым третье соотношение этой задачи: стоимость печенья и стоимость конфет вместе составляют стоимость покупки. Выделив и решив это соотношение, как простую задачу, мы найдем, что конфеты стоили 111 руб. Наконец, после этого становится разрешимым и последнее соотношение: стоимость конфет есть произведение их цены и веса. В результате решения этого соотношения, как простой задачи, мы найдем размер искомого — вес конфет и тем самым полностью решим всю сложную задачу.

2. Замкнутые задачи, которые не содержат разрешимых соотношений, а представляют собой системы взаимосвязанных неразрешимых соотношений.

Вот пример такой задачи: «В трех корзинах 120 яблок. Во второй корзине втрое больше, чем в первой, а в третьей — вдвое больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?»

3. Смешанные задачи, которые содержат разрешимые соотношения, но процесс последовательного их выделения обрывается и не приводит к полному решению этих задач: остается сложная замкнутая задача.

Вот пример такой задачи: «В магазине было 40 т картофеля. В первый день продали 0,3 всего картофеля, во второй день — 0,2 остатка. Оставшийся после этого картофель продали в следующие два дня так, что в один день продали в 3 раза больше, чем в другой. Сколько картофеля продали в каждый из последних двух дней?»

Непосредственно в самой задаче имеется одно разрешимое соотношение, которое можно выделить и решить как простую задачу:

1. Сколько картофеля продали в первый день?

40X0,3 = 12 (т) После этого становится разрешимым и второе соотношение:

2. Сколько картофеля осталось в магазине после первого дня?

40— 12 = 28 (т) Теперь становится разрешимым третье соотношение:

3. Сколько картофеля продали во второй день?

28X0,2 = 5,6 (т)

Наконец, становится разрешимым четвертое соотношение:

4. Сколько картофеля осталось в магазине после двух дней?

28 — 5,6 = 22,4 (т) На этом процесс последовательного выделения разрешимых соотношений обрывается, ибо остается замкнутая задача: «За два дня магазин продал 22,4 т картофеля, причем в один день было продано в 3 раза больше, чем в другой. Сколько картофеля продали в каждый день?»

Дальнейшая классификация сложных задач производится уже по другим основаниям деления.

В заключении этой главы дается способ составления сюжетных задач, с помощью которого можно образовать все сюжетные задачи одну за другой, не пропустив при этом ни одной из них.

В третьей главе диссертации выясняется сущность решения сюжетных задач и решается ряд вопросов о содержании, системе и месте этих задач в школьном курсе арифметики.

В результате исследования вопроса о сущности решения простых задач получены такие выводы:

1. Сущность процесса решения простых задач различна на разных этапах обучения учащихся, на разных этапах овладения учащимися понятием арифметического действия.

2. На первых порах решение простой задачи происходит, как выполнение предметной операции. Ученик не осознает, что он в данном случае произвел то или иное арифметическое действие. Само выполнение арифметических действий воспринимается им как некая предметная операция.

3. Лишь постепенно вырабатывается обобщенное понятие о каждом арифметическом действии, и эти действия, теряя черты предметных операций, приобретают черты абстрактных операций, выполняемых по особым правилам и таблицам сложения и умножения над абстрактными числами.

4. Только после этого может быть выработано понимание сущности решения простой задачи как выбора арифметического действия.

Значит, процесс выработки у учащихся умения решать простые задачи есть в то же время процесс формирования у них понятий об арифметических действиях.

Для улучшения дела обучения решению простых задач предлагается:

1. Рассматривать решение простых задач не как самоцель, а как средство формирования у учащихся разнообразных умений и навыков.

2. Особое внимание уделить решению простых предметных задач, решая их на протяжении всего курса арифметики, ибо решение предметных задач формирует у учащихся те предметные (реальные) образы, абстракцией которых являются многочисленные арифметические понятия и, в частности, понятия об арифметических действиях.

3. Большое внимание следует уделить специальному изучению словесных особенностей задания каждого вида соотношений.

4. Очень важно, чтобы умение выбрать то или иное арифметическое действие для решения предложенной задачи было доведено до умения обосновать этот выбор, т. е. до умения ясно истолковать с арифметической точки зрения соотношение, заданное в предложенной задаче.

Исследование сущности решения сложных открытых задач показывает, что для того, чтобы ученик мог решить задачу открытого типа, он должен иметь следующие умения и навыки:

1. Навык в преобразовании условия неприведенной сложной задачи в приведенный вид.

2. Умение расчленять условие сложной задачи на составляющие ее соотношения,

3. Умение устанавливать, является ли данное соотношение разрешимым или нет.

4. Умение формулировать разрешимое соотношение в виде элементарной (простой) задачи.

5. Прочный навык в решении элементарных задач.

6. Умение преобразовывать условие сложной задачи путем исключения одного из разрешимых соотношений и замены неизвестного члена этого соотношения его размером.

Для того чтобы учащиеся овладели этими умениями и навыками, следует давать им в достаточном коли-

честве и в определенной системе специальные упражнения для образования и закрепления этих умений и навыков. В диссертации приведены примеры таких упражнений.

Особое внимание уделено вопросу о разборе задачи.

Правильно организованный разбор условия сюжетной задачи должен в основном состоять из анализа описываемого в задаче явления, из выяснения, в частности, таких вопросов:

1. Какое явление описывается в задаче?

2. Какие моменты этого явления рассматриваются?

3. Какие величины характеризуют это явление?

4. Какие значения принимает каждая из этих величин?

5. Какие из этих значений известны, а какие нет?

6. Какими зависимостями (соотношениями) связаны между собой значения величин?

7. Какие из этих соотношений представляют собой простые задачи, которые можно сразу решить?

8. Сколько искомых в задаче? Если их несколько, то зависимы ли они между собой, т. е., если мы найдем одно из них, то сумеем ли мы найти другие? и т. д.

Конечно, не все эти вопросы задаются при разборе любой задачи и последовательность их может быть совсем иной. Вообще разбор различных задач должен производиться по-разному в зависимости от условия задачи, от того, насколько знакомы учащиеся с явлением, рассматриваемым в задаче, от сложности задачи, от целей ее решения и т. д. Никакого трафарета для разбора задачи не следует устанавливать. Важно лишь, чтобы разбор задачи не сводился только к механическому повторению условия задачи по отдельным вопросам или же к формальному разбору с помощью лишь таких вопросов: «Что известно в задаче?.. Что отсюда можно найти?» или же: «Что спрашивается в задаче?.. А что для этого нужно знать? .», а был подлинным логическим анализом условия задачи, количественной стороны описываемого явления.

Общий способ решения замкнутых задач с неопределенными членами состоит в том, что мы заменяем некоторые из неопределенных членов произвольными (в известных, конечно, границах) числами, в результате чего остальные из неопределенных членов превращаются в

вспомогательные неизвестные, а вся задача в сложную задачу без неопределенных членов, причем число неопределенных членов, которые надо заменить произвольными числами, равно разности между числом всех неизвестных и числом соотношений задачи (эта разность названа нами степенью неопределенности задачи).

Однако з школе должен применяться не этот общий способ решения задач с неопределенными членами, а только частные способы решения этих задач:

1. Способ измерения единицей, когда один из неопределенных членов принимают за единицу (измерения), а остальные неопределенные члены измеряют с помощью этой единицы. Этим способом можно решать лишь задачи первой степени неопределенности.

2. Способ, основанный на использовании правил об изменении результатов арифметических действий при изменении членов этих действий.

3. Способ, основанный на применении пропорциональности величин.

Этими тремя способами можно решить не всякую задачу с неопределенными членами. Задачи с неопределенными членами, которые этими способами нельзя или очень трудно решить, в курсе арифметики не должны рассматриваться.

Особенно сложным является вопрос о решении замкнутых задач, большинство которых совпадает с так называемыми типовыми задачами.

Как известно, по вопросу о месте и роли этих задач в курсе арифметики имеются две крайние точки зрения.

Сторонники первой точки зрения чрезвычайно преувеличивают роль замкнутых (типовых) задач, как в образовательном отношении, так и, особенно, в воспитательном отношении, как лучшее, по их мнению, средство для развития логического мышления, сообразительности и пр. Исходя из такого понимания роли замкнутых (типовых) задач, они насыщают курс арифметики большим количеством этих задач. Ставя перед собой цель научить учащихся решать любые замкнутые (типовые) задачи с помощью так называемых особых способов (что, кстати, практически неосуществимо), сторонники этой точки зрения возводят решение типо-

вых задач в самоцель. Отсюда вытекает принцип типизации, как методическое средство осуществления поставленной цели.

Сторонники второй точки зрения, наоборот, преуменьшают роль этих задач; больше того, они считают, что решение этих задач в курсе арифметики не только не приносит пользы, но большей частью вредно. Исходя из этого, они предлагают изъять вовсе эти задачи из курса арифметики и перенести их в курс алгебры.

На основании проведенного нами исследования сущности решения замкнутых (типовых) задач мы можем утверждать, что обе крайние точки зрения неправильны, а верное решение состоит совсем в ином. Нельзя ни преувеличивать, ни преуменьшать роль замкнутых (типовых) задач в курсе арифметики. Но роль этих задач определяется не ими самими, а тем, как мы их будем использовать, как мы их будем решать.

Несомненно, решение этих задач представляет большие возможности для развития логического мышления учащихся, их сообразительности, развития многих важных умений, для овладения особыми методами рассуждения и т. д., но эти возможности превратятся в действительность только тогда, когда будет правильно организовано решение этих задач, когда эти задачи будут правильно подобраны и расположены в курсе арифметики, когда решение их будет преследовать на каждом этапе, в каждом отдельном случае вполне определенные, конкретные, ясные, как учителю, так и учащимся, цели, а не будет рассматриваться как самоцель.

Конечно, количество замкнутых задач, решаемых в курсе арифметики, должно быть несколько уменьшено; следует изменить несколько и подбор этих задач, но главное, что следует изменить, — это изменить методику их решения, а именно:

1. Решение замкнутых задач можно начинать уже в III классе. На первом этапе решение этих задач должно производиться исключительно лишь способами, основанными на воображаемых, но в принципе реально возможных операциях над величинами. Следует ограничиться следующими тремя способами: 1) сравнение и сопоставление, 2) замена и 3) предположение, явля-

ющимися в то же время важными общематематическими приемами рассуждения.

Цель решения замкнутых задач на этом этапе должна заключаться в овладении учащимися этими тремя основными методами рассуждения.

Поэтому подбор задач должен производиться не по типам, а по тому, пригодно ли решение данной задачи для изучения рассматриваемого метода и можно ли ее решение произвести с помощью каких-то наглядных пособий.

Решению каждого вида задач должна предшествовать определенная система подготовительных упражнений, образцы которых приведены в диссертации.

2. Уже в IV классе следует познакомить учащихся с арифметическим истолкованием применяемых методов решения замкнутых задач и тем самым перейти к решению этих задач с помощью последовательного применения свойств арифметических действий. На этом этапе решение замкнутых задач должно служить средством изучения тех свойств арифметических действий, которые применяются при этом решении. Поэтому подбор и расположение замкнутых задач на этом этапе ставится в зависимость от порядка изучения свойств арифметических действий.

3. Наконец, в V классе некоторые замкнутые задачи следует решать алгебраическим методом, с которым учащиеся должны познакомиться уже в начальной школе. При этом алгебраический метод решения замкнутых задач используется как средство изучения самой арифметики и как средство связи между арифметикой и алгеброй.

в четвертой главе диссертации подробно рассмотрены остальные виды арифметических задач, которые получаются в результате расширения понятия сюжетной задачи.

Рассмотрены такие задачи:

I. Задачи с недостающими данными:

1. Недостающие данные ученик знает (или должен знать) и может самостоятельно их восстановить по памяти.

2. Недостающие данные ученик может и не знать, но он их легко может восстановить по справочнику, путем измерения или иным путем.

3. В условии задачи указано, какие данные недостают, — их размеры же произвольны (в определенных границах).

4. Задачи на определение того, какие данные нужны для ответа на указанный вопрос.

5. Задачи на определение зависимости между величинами.

6. Неопределенные задачи.

II. Задачи с излишними данными:

1. Задачи, заданные в обычной форме.

2. Задачи, заданные в виде таблицы.

3. Задачи, решение которых возможно как при учете излишних данных, так и без них.

4. Задачи с лишними условиями.

5. Задачи с противоречивыми данными.

III. Числовые арифметические задачи или задачи с отвлеченными данными.

Эти задачи можно классифицировать так же, как и обычные сюжетные задачи.

IV. Текстовые примеры на вычисление, которые могут быть простыми и сложными.

V. Арифметические примеры на вычисление.

VI. Уравнения.

VII. Сюжетные задачи с особыми дополнительными условиями:

1. Задачи, в которых истинные размеры некоторых данных неизвестны, а указаны лишь границы возможных размеров.

2. Задачи, в которых размеры данных являются приближенными числами.

3. Задачи, в которых размеры данных приближенные или точные числа и в условии указана точность, с которой нужно вычислить размеры искомых.

4. Задачи, в которых размеры данных точные или приближенные числа, а размеры искомых должны быть в соответствии с их реальным смыслом натуральными числами.

5. Задачи, в которых некоторые условия могут быть выражены в понятиях теории делимости.

6. Задачи, в которых искомые и некоторые данные суть особые числа (цифры, простые числа и т. д.) VIII. Упражнения в составлении сюжетных задач:

1. Подбор вопроса к условию задачи.

2. Подбор условия задачи к вопросу.

3. Составление задач по картинке, рассказу, статье и т. д.

4. Составление задач по краткой записи их условия.

5. Составление задач по их решению.

6. Составление задач на определенное действие или на несколько действий.

7. Составление задач с определенным числом действий.

8. Составление задач, подобных данной.

9. Составление задач по обобщенной (числовой) формулировке их.

В конце этой главы установлены общие принципы классификации арифметических задач.

В заключительной пятой главе диссертации рассмотрены принципы и конкретные пути создания новых задачников, необходимость которых особенно возросла в связи с переходом на политехническое обучение.

Основным документом, определяющим содержание и характер задачника, является государственная программа. Однако программа определяет содержание и характер задачника лишь в основном, лишь в главных чертах.

Для того, чтобы более полно наметить содержание и характер будущего задачника, следует предварительно составить:

1. Перечень представлений и понятий, которые должны получить учащиеся за время обучения арифметике.

2. Перечень умений и навыков, которыми должны овладеть учащиеся.

В диссертации приведен перечень умений и навыков, которыми должны овладеть учащиеся за время обучения арифметике.

Имея эти два перечня, на основании государственной программы составляется детализованная програм-

ма для всего курса арифметики (I—VI классы) по следующей форме:

1) класс;

2) наименование тем и подтем (отдельных вопросов) ;

3) число часов, отведенных на изучение данного вопроса;

4) новые представления, которые должны получить учащиеся;

5) новые понятия, которые должны быть сформированы при изучении данного вопроса;

6) новые умения и навыки (в том числе и практические), которыми должны овладеть учащиеся;

7) другие новые понятия, представления, умения и навыки, которые должны быть сформированы при изучении данного вопроса, но с ним непосредственно не связанные;

8) понятия, представления, умения и навыки, которыми должны уже владеть учащиеся для изученя данного вопроса;

9) понятия (кроме перечисленных в п. 8), которые должны быть повторены;

10) умения и навыки (кроме указанных в п. 8), которые должны быть закреплены.

Кроме этого надо составить перечень явлений и величин, а также перечень основных справочных данных, которые должны быть рассмотрены в арифметических задачах.

Подробно рассмотрен вопрос об отражении в задачниках связи между арифметическими задачами и теорией.

Особо рассмотрен вопрос о роли арифметических задач в осуществлении политехнического обучения и намечены мероприятия, направленные на усиление этой роли в будущих задачниках по арифметике.

Таково кратко содержание диссертации.

Ответственный за выпуск Л. Лифшиц.

Заказ 3270, тир. 100. Подписано к печати 24 июля 1953 г. АЛ0004Л

г. Красноярск, типография „Красноярский рабочий", проспект имени Сталина, 55.