МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Т. Т. ФИСКОВИЧ

ОПЫТ ИЗЛОЖЕНИЯ КУРСА ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ НА ОСНОВЕ ИДЕИ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК (по методике преподавания математики)

Научные руководители — профессор М. П. ЧЕРНЯЕВ

кандидат педагогических наук доцент А. Н. ПОЛЯКОВ

Москва — 1966

Защита состоится на Ученом совете физико-математического факультета Московского областного педагогического института имени Н. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10-а).

Автореферат разослан

Секретарь Ученого совета И. Л. Холодова.

Разрыв между геометрией, преподаваемой в школе, и геометрией, преподаваемой в педагогическом институте, все еще велик. Знания, полученные в институте, мало применяются учителем в процессе преподавания геометрии в школе. Отсутствие единых научных и педагогических основ в дисциплинах геометрического цикла приводит к тому, что оканчивающие педагогический институт не представляют отчетливо содержания геометрических понятий и не умеют правильно осветить принципиальные вопросы школьной геометрии с точки зрения геометрической науки.

Известно, что одной из ведущих идей современной геометрической науки является теоретико-групповое обоснование геометрии. Если в науке теоретико-групповая точка зрения на геометрию завоевала всеобщее признание, то вопрос о педагогической целесообразности изучения геометрии на этой же основе до сих пор не получил окончательного практического решения. Реализации научных идей, и в первую очередь идеи геометрических преобразований, в практике преподавания геометрии посвящены работы крупных отечественных и зарубежных математиков Н. А. Глаголева, А. А. Глаголева, Д. Д. Мордухая-Болтовского, Н. Ф. Четверухина, Ф. Бахмана, К. Флядта, а также видных педагогов Д. И. Перепелкина, Б. В. Кутузова и др.

При существующей системе геометрической подготовки учителя названные выше идеи раскрываются в курсах «Высшей геометрии». Курс же «Элементарной геометрии», который больше других призван готовить студентов к преподаванию геометрии в школе, курс, на конкретном материале которого будущий учитель может осмыслить указанные идеи и привести в систему имеющиеся у него знания, не может выполнять такой роли при нынешней его постановке. Нарушение постепенности, систематичности и последовательности в формировании важнейших геометрических понятий вследствие идейной обособленности элементарной геометрии затрудняет усвоение этих понятий и в курсах высшей геометрии. Отсутствие преемственности между курсами приводит к тому, что у будущего учителя не вырабатывается умение применять знания, полученные в вузе, к практической работе в школе.

Необходимо усилить идейную сторону курса элементарной геометрии с теоретико-групповой точки зрения, сблизить его на этой основе с другими математическими дисциплинами и прежде всего с геометриями других групп преобразований — таково наше убеждение, и эту мысль мы положили в основу диссертации.

Изложение одного из возможных вариантов курса элементарной геометрии на плоскости на основе идеи групп преобразований, обоснование педагогической целесообразности такого изложения — важнейшие задачи исследования.

Мы отдаем себе отчет в том, что в рамках одной диссертации невозможно всесторонне осветить разнообразные вопросы, связанные с преподаванием геометрии на новой основе, создать полный учебный курс, удовлетворяющий многочисленным требованиям научно-методического порядка. Поэтому в нашей диссертации излагается лишь планиметрия группы конгруэнтных преобразований, затем, путем обобщения преобразований — геометрия подобий на плоскости, а далее схематично намечаются способы дальнейших обобщений. Выбор геометрий, а также степень глубины раскрытия их определялись содержанием школьного курса и потребностью накопления достаточного фактического материала, на котором можно раскрывать основные принципиальные вопросы современной геометрии.

Диссертация состоит из трех глав и двух приложений.

В первой (вводной) главе сообщаются мотивы, побудившие автора положить в основу преподавания геометрии те же теоретико-групповые принципы, которые оказались столь плодотворными в развитии геометрической науки. Здесь же мы определяем роль и задачи курса элементарной геометрии в системе геометрической подготовки учителя.

Далее показываем влияние эрлангенской программы на геометрическую подготовку учителя и выясняем причины медленного проникновения этой идеи в практику преподавания. В этой главе проанализированы учебные планы математических факультетов и отделений педагогических учебных заведений, материалы съездов, посвященных вопросам преподавания математики, содержание работы некоторых крупных математических кружков, а также статьи в периодической печати. Анализ названных источников позволил подметить, что реакция на научное открытие теоретико-группового построения геометрии проявилась в большем внимании к изучению отдельных геометрических преобразований, в повышении интереса к вопросу о применимости идей движения в средней школе. Вышедшие после этого открытия учебники и учебные пособия западных авторов свидетельствуют о стремлении некоторых из них коренным образом изменить преподавание элементарной геометрии, положив в основу его идею групп преобразований (Ш. Мэрэ, Э. Борель, Генрици и Трейтлейн, В. Шван и др.).

В учебной литературе русских геометров до 1917 года названная идея проявилась главным образом в виде внесения в традиционные курсы отдельных видов геометрических преобразований (в учебниках А. Н. Глаголева, Б. А. Марковича, П. А. Долгушина, А. Годнева, Е. И. Попова, А. Р. Кулишера и др.).

В первые годы Советской власти трудные условия работы в школах и вузах, а также различного рода прожектерство, отрицавшее научную подготовку педагога, отнюдь не способствовали внедрению идеи групп преобразований в практику преподавания. В 30-е годы эта идея вновь привлекает внимание геометров, а в 40-х годах советскими педагогами ставится вопрос о коренной перестройке преподавания элементарной геометрии в школе и педвузах (Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин, А. И. Фетисов и др.). В вышедших в этот период учебниках Н. А. Глаголева, А. А. Глаголева, Б. В. Кутузова, Д. И. Перепелкина геометрические преобразования играют видную роль, однако они пока лишь сопутствуют традиционному изложению курса и используются в основном как метод решения задач на построение и доказательства отдельных теорем. А. И. Фетисов сделал попытку создания школьного курса на основе геометрических преобразований.

Все же до настоящего времени курс элементарной геометрии в педагогических институтах — наиболее слабое звено образования учителя в плане теоретико-группового построения геометрии. В этом нас убедил анализ содержания ныне существующих геометрических дисциплин педвузов и знакомство с геометрической подготовкой школьных учителей.

В связи с этим во второй главе сделана попытка изложить элементарную геометрию как геометрию главной группы преобразований евклидовой плоскости.

Для построения избирается следующий путь. Точки, прямые и плоскости считаются самостоятельными элементами пространства. Основные соотношения между этими элементами устанавливаются с помощью понятий: принадлежать, предшествовать или следовать и соответствовать. Понятие множество считается известным, плоская геометрическая фигура определяется как множество точек и прямых. Указанные соотношения характеризуются соответствующими группами аксиом, при этом принимаемая система аксиом не является минимальной. Непротиворечивость излагаемой геометрии обеспечивается постепенным превращением классов геометрических фигур в величину, учение о которой считается заведомо непротиворечивым. Общие требования к величине высказаны в начале главы. В изложении же эти требования обусловливаются требованиями практики и аналогией с изучаемыми в других учебных предметах величинами. Система аксиом вводится не сразу, а постепенно, причем перед введением новой группы аксиом или принципиально важных геометрических понятий рассматриваются практические примеры и опыты, подводящие к необходимости аксиом или определений.

Диссертант не ставит перед собой цели дать строго логический систематический курс геометрии на основе принятой системы аксиом, равно как и рассмотреть общие вопросы аксиоматики, но последовательно проводит подготовку к пониманию этих вопросов, к критическому осмысливанию школьного курса геометрии, к выяснению роли отдельных групп аксиом, а также знакомит на отдельных примерах с логическим доказательством теорем.

В предлагаемом курсе вопросы геометрических построений не выделяются в особый раздел, а рассматриваются по мере накопления материала. Постулаты конструктивной геометрии не формируются явно, но каждый инструмент вводится для осуществления модели такого геометрического объекта, существование которого постулировано или доказано.

Для лучшего понимания вопросов, связанных с геометрическими преобразованиями в плоскости, диссертант изменяет привычную точку зрения на движения, как перемещение жестких фигур: модель плоскости представляется в виде двух совмещенных слоев, один из которых прозрачный. Таким образом, изображенные на нем фигуры видны с любой стороны его, а те же фигуры, нанесенные на второй слой, видны сквозь него. При тождественном преобразовании каждая фигура одного слоя «точка в точку» совпадает со своим прообразом. Как только один из слоев приводится в движение, можно наглядно видеть, что каждой точке образа соответствует единственная точка ее прообраза.

В первом разделе этой главы построена геометрия группы конгруэнтных преобразований в одномерных образах.

Как только на основании аксиом инцидентности и вытекающих из них теорем дано определение пучка прямых, а на основании аксиомы порядка точек на прямой определены понятия луча и пучка лучей, геометрия прямой и пучка лучей рассматриваются параллельно друг другу. Раннее введение понятия пучка лучей позволяет подметить и использовать аналогии в различных с наглядной точки зрения геометрических образах. С другой стороны, сопоставление наглядных изображений прямой и пучка убеждает в необходимости принятия аксиомы порядка для лучей пучка, а также позволяет видеть и объяснить нарушение этой аналогии, зависящее от различного порядка точек на прямой и лучей в пучке.

Полная аналогия и установление взаимно однозначного соответствия между геометрическими образами и их свойствами достигается там, где в основу изложения может быть положен полупучок. Так, отрезок прямой и выпуклый угол определяются соответственно как части прямой и полупучка лучей, причем между точками любого поперечного отрезка и внутренними лучами выпуклого угла устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Далее рассматривается ориентация прямой и пучка лучей, вводится понятие вектора как направленного отрезка и версора как направленного угла.

Наличие множества отрезков на прямой и множества углов в пучке приводит к необходимости сравнивать одноименные геометрические фигуры. Между тем принятые аксиомы порядка наряду с аксиомами принадлежности позволяют сравнивать лишь элементы множества сонаправленных векторов, имеющих общее начало, и сонаправленные версоры с общей начальной стороной.

Но так как множество отрезков прямой и углов пучка не исчерпывается выше указанными фигурами, то возникает необходимость установления соответствия между противонаправленными отрезками и углами с общими начальными элементами, а также между отрезками и углами, начальные элементы которых не совпадают.

Обращение диссертанта к наблюдениям форм, созданных природой, к знакомству со способами сравнения предметов в практической деятельности людей приводит к необходимости принятия новой группы аксиом, дающих возможность сравнивать произвольно расположенные отрезки прямой и любые углы одного пучка.

В качестве аксиом третьей группы для построения геометрии движений приняты аксиомы симметрии точек на прямой и лучей з пучке. Они дают возможность определить первые метрические понятия середины отрезка и биссектрисы угла, а также важнейшее понятие перпендикулярности прямых.

Для сравнения сонаправленных векторов прямой и версоров пучка вводится понятие произведения преобразований и определяются собственно и несобственно конгруэнтные преобразования как произведения четного и нечетного числа симметрий на прямой и в пучке лучей. Это, в свою очередь, позволяет дать понятие собственно и несобственно конгруэнтных отрезков и углов.

Доказав теоремы, устанавливающие связь между преобразованиями симметрии и частными видами конгруэнтных преобразований прямой и пучка, указываем на невозможность построения геометрии на основе произвольного выбора преобразований и обосновываем необходимость наличия групповых признаков, присущих той или иной совокупности преобразований, пользуясь которой можно было бы строить геометрию, свободную от противоречий.

Диссертантом не рассматривается во всей полноте вопрос об измерении геометрических величин, а намечается лишь схематично общая задача измерения отрезков и углов, подчеркивается необходимость принятия новых аксиом, которые наряду с аксиомами первых 3-х групп позволили бы установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех отрезков прямой и множеством действительных чисел.

Во втором разделе этой главы сделана попытка распространить геометрию движений прямой и пучка на всю евклидову плоскость. Наличие в плоскости бесконечного множества пучков прямых (лучей) дает возможность определить новые геометрические фигуры, представляющие собой различные соединения изученных ранее фигур. Это, прежде всего, ломаная как объединение ко-

нечного числа отрезков различных прямых и многоугольник как сочетание углов различных пучков.

В соответствии с двусторонностью прямой и пучка встает вопрос о понятии ориентации плоскости. Он решается доказательством теоремы:

Если произвольно выбранную ориентацию полупучка, определяемого некоторым лучом в плоскости, назвать положительной, а другую — отрицательной, то можно единственным образом определить для каждого луча в этой плоскости положительную или отрицательную ориентацию полупучка, для которого этот луч является начальным.

Доказательство этой теоремы позволяет рассмотреть вопрос о делении плоскости на области всяким простым многоугольником и некоторые другие вопросы, связанные с ориентацией.

Представляя плоскость как сочетание бесконечного множества точек, инцидентных бесконечному множеству прямых различных пучков, доказываем теорему о существовании взаимно однозначной коллинеации плоскости, оставляющей неизменной одну из ее прямых и называемой осевой симметрией плоскости.

Изучение свойств этого преобразования позволяет доказать теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, проходящего через данную точку плоскости, об отсутствии общей точки у двух прямых, перпендикулярных к третьей, о взаимно однозначном преобразовании прямых с помощью осевой симметрии плоскости.

Наличие прямых, не имеющих общей точки, позволяет ввести понятие «пучка прямых, имеющих общий перпендикуляр», или «несобственного пучка» и определить понятие полосы как части «несобственного пучка» аналогично ранее рассмотренному понятию угла.

Параллельное изучение свойств угла и полосы дает возможность лучше осмыслить не только общее, но и специфическое в этих двух различных видах пучков.

Чтобы на основании осевой симметрии плоскости ввести понятие конгруэнтных фигур и распространить на них метрику прямой и пучка, принимаются еще две аксиомы. Одна из них обеспечивает инвариантность симметрии точек на прямой и лучей в пучке при осевой симметрии плоскости, другая — конгруэнтность симметричных отрезков.

Свойства преобразования осевой симметрии широко используются в диссертации при доказательстве теорем о сравнительной длине перпендикуляра, наклонных и их проекций; при доказательстве теоремы о том, что точка, не принадлежащая оси симметрии двух других точек плоскости, ближе к той из них, с которой лежит в одной полуплоскости; теорем о неравенствах в треугольниках и др.

Аналогично тому, как вводилось понятие конгруэнтных преобразований в одномерных образах, изучаются конгруэнтные преоб-

разования плоскости как произведения осевых симметрий. Различаются собственно и несобственно конгруэнтные преобразования в зависимости от четности числа симметрий.

Основная теорема о движениях дается в такой формулировке: Существует единственное движение плоскости, при котором каждому ориентированному полупучку соответствует наперед заданный ориентированный полупучок.

Из этой теоремы непосредственно следует, что всякое движение плоскости можно рассматривать как произведение самое большее трех осевых симметрий, а всякое собственное движение, отличное от тождественного, эквивалентно произведению двух осевых симметрий.

Показав, что совокупность всех движений плоскости образует группу, а всякое движение можно рассматривать как произведение осевых симметрий, доказываем на основании свойств преобразований теоремы, устанавливающие соотношения неравенства между отрезками и углами в треугольниках, признаки конгруэнтности треугольников, существование некоторых геометрических мест точек. Признавая возможность построения геометрии движений с помощью осевых симметрий, диссертант считает целесообразным изучить некоторые частные виды движений с тем, чтобы использовать их для выявления геометрических свойств фигур этой же геометрии.

Так как собственные движения образуют группу, им уделяется больше внимания.

Частные виды собственных движений получены автором в результате произведений двух осевых симметрий. В зависимости от того, какому из изученных пучков принадлежат оси симметрии, получаются различные частные виды движений.

Из преобразования вращения особо выделяется случай центральной симметрии плоскости, которая получается в результате произведения симметрий со взаимно перпендикулярными осями.

Предлагается в таком плане рассмотреть отличные от осевой симметрии несобственно конгруэнтные преобразования, которые всегда могут быть представлены в виде так называемой скользящей симметрии. При этом подчеркивается наличие единственной прямой— оси скольжения, преобразующейся в себя.

Отмечая общие свойства частных видов движений, вытекающие из свойств осевой симметрии, настоятельно проводим мысль о специфике этих преобразований, основанной на различии двух видов пучков в геометрии Евклида. Так, сравнивая вращение (без центральной симметрии) с параллельным переносом, противопоставляем такие свойства, как наличие общей точки двух соответственных прямых в первом случае и отсутствие ее во втором; наличие неподвижной точки и отсутствие ее; отсутствие прямых, преобразующихся в себя, и наличие бесконечного множества таких прямых. Центральной симметрии плоскости уделено особое внимание. Глав-

ным особенным свойством, отличающим ее от общего случая вращения, является параллельность соответственных прямых.

В диссертации продемонстрировано получение некоторых частных видов многоугольников, которые особенно часто встречаются в школьном курсе геометрии. Так, пересечение угла и полосы дает все виды треугольников и трапеций, пересечение двух полос — все виды параллелограммов, а пересечение двух собственных пучков с выделенными парами прямых приводит к получению всех видов треугольников, трапеций, параллелограммов и некоторых других частных видов четырехугольников. Свойства перечисленных фигур легко получаются из изученных свойств пучков.

В этом же разделе предлагается рассмотреть некоторые подгруппы группы движений, уделив особое внимание циклическим группам вращений, изучение инвариантов которых составляет содержание геометрии правильных многоугольников.

В третьем разделе второй главы намечается дальнейшее изложение геометрии евклидовой плоскости как изучение инвариантов других групп преобразований.

Отталкиваясь от практических примеров, в которых одинаковыми считаются фигуры одной только формы, через модель «растяжимой» плоскости, приводим к замене некоторых аксиом геометрии движений их аналогами в геометрии подобий, для чего заменяем аксиомы симметрии точек на прямой такими, которые обеспечат «растяжение» или «сжатие» ее. Симметрию же лучей в пучке, а также аксиомы принадлежности, порядка и непрерывности оставляем без изменения.

При построении геометрии подобий постоянно используется аналогия с геометрией движений и вместе с этим подчеркивается специфика каждой из них. Полученная на основе гомотетии геометрия прямой распространяется, как и прежде, сначала на бесконечное множество прямых одного пучка, а затем и на все пучки плоскости. Для этого используется теорема Фалеса и обратная ей. Последняя позволяет, не прибегая к измерению, строить точки, гомотетичные данным, если задан центр гомотетии и пара соответственных точек.

Установив с помощью гомотетии взаимно однозначное соответствие между парами всех точек плоскости, рассматриваем ряд наиболее важных свойств плоских фигур как инварианты преобразования, используем преобразование при доказательстве теорем и решении задач.

Для рассмотрения области применения гомотетии устанавливается соответствие между фигурами после последовательного применения нескольких гомотетий, изучается влияние гомотетии на конгруэнтные преобразования плоскости с тем, чтобы можно было использовать ранее полученные результаты. Ряд теорем при этом доказывается, а некоторые предлагаются в качестве упражнений. Установление инвариантности простого отношения трех точек прямой при гомотетии дает возможность показать, что осе-

вая симметрия плоскости, а значит и конгруэнтность фигур, не нарушается при этом преобразовании. Таким образом преобразование подобия в плоскости получено как произведение гомотетии на движение. В зависимости от рода движения различаются собственно и несобственно подобные преобразования плоскости. В полной аналогии с конгруэнтными фигурами определяются и подобные фигуры.

Доказательство двух предложений:

Любые два треугольника с соответственно равными углами определяют единственное преобразование подобия.

Совокупность всех подобий плоскости образует группу, позволяет автору заключить, что изучение инвариантных свойств подобия и является содержанием геометрий главной группы.

Показав, что всякое собственно подобное преобразование плоскости, отличное от гомотетии, может быть представлено как произведение вращения на гомотетию, диссертант моделирует это преобразование как одновременное осуществление равномерного вращения лучей пучка вокруг центра с равномерным их растяжением или сжатием. Это дает возможность получить центральное подобие как обобщенную гомотетию плоскости и задавать его центром и парой соответственных точек или двумя парами соответственных точек плоскости.

Подобно тому, как всякое несобственное движение могло быть представлено в виде произведения осевой симметрии на параллельный перенос, вектор которого параллелен оси симметрии, в геометрии главной группы доказана справедливость следующего предложения: «Всякое несобственно подобное преобразование может быть представлено как произведение осевой симметрии на гомотетию, центр которой принадлежит оси симметрии». Здесь же дается описание модели для демонстрации в динамике преобразования подобия.

В диссертации предлагается и другой путь перехода от геометрии движений к геометрии подобий. Этот путь основан на обобщении осевой симметрии плоскости. При этом изложении в качестве частных случаев аффинных коллинеаций и их произведений диссертант получает гомотетию и косую симметрию, положенную им в основу эквиаффинной геометрии.

Отметив, что конгруэнтные преобразования не обеспечивают возможности введения понятий «больше» и «меньше» для плоских фигур, автор предлагает упорядочить множество этих фигур путем изучения эквиаффинных преобразований. Последние легко получаются в результате произведения косых симметрий. Превращению простых плоских многоугольников в величину посвящен один из параграфов третьего раздела.

Аналогично тому, как множество всех отрезков плоскости можно было упорядочить приведением их к общему началу одного и того же луча, множество всех треугольников (или параллелограммов) можно упорядочить, расположив их внутри полуполосы так,

чтобы поперечный отрезок ее служил общей стороной всех треугольников (или параллелограммов). Доказательство теоремы о том, что всякий простой многоугольник может быть преобразован в равновеликий ему треугольник, решает вопрос о превращении в величину всех простых многоугольников.

На примерах геометрии движений и подобий, а также частично аффинной геометрии, изложенных во второй главе реферируемой диссертации, показано, что понятие инвариантности позволяет рассматривать различные геометрии с единой точки зрения.

В заключение раздела автор указывает пути ознакомления с некоторыми видами преобразований евклидовой плоскости, отличными от коллинеаций. К ним относится инверсионное и полярное преобразование относительно окружности. Знакомство с последним вплотную подводит к необходимости расширения плоскости и изучения других геометрий иных пространств.

В третьей главе раскрывается педагогическая целесообразность построения курса геометрии на основе идеи групп преобразований.

Признавая характерной чертой современной математики создание новых обобщающих понятий, новую, более высокую ступень абстракций, диссертант заботится, чтобы учитель современной школы мог понимать хотя бы в самых общих чертах основные проблемы математики и чтобы усвоенные идеи обобщающего характера мог использовать в практической работе при разрешении вопросов элементарной геометрии. Но чтобы довести будущего учителя до понимания обобщающих понятий, надо систематически учить обобщению на доступном материале, надо воспитывать потребность в обобщении при решении конкретных задач.

Известный математик и замечательный педагог Д. Пойа писал, что

«. . . существует два рода обобщений: один дешевый, а другой ценный. Легко обобщить путем разрежения, важно обобщить путем сгущения.., Обобщение путем сгущения сжимает в одно понятие большого размаха несколько идей, казавшихся ранее разбросанными»*.

Предлагаемое в предыдущей главе построение курса геометрии, по убеждению диссертанта, способствует выработке именно таких сгущенных обобщений, причем процесс сгущения происходит постепенно, по мере изучения все более широких групп преобразований, включающих в себя в качестве подгрупп изученные ранее. И тот «очищенный экстракт», который выступает в качестве прочных геометрических свойств более общих преобразований, прочно оседает в сознании учителя.

Мы излагаем методику выработки у студентов некоторых важных обобщающих понятий, показываем процесс образования понятия гомологии путем постепенного обобщения простейшего преоб-

* Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1957, стр. 50.

разования осевой симметрии и приводим примеры использования общих идей в решении конкретных задач.

Чтобы выработать у будущего учителя обобщающее понятие геометрического движения как фундаментальной группы той или иной геометрии, рекомендуем идти постепенно от движений элементарной геометрии, имеющих много общего с понятием механического движения, к аффинным, проективным, гиперболическим и другим видам геометрических движений, существенно отличающимся от механического. При этом подчеркивается, что сформированные таким путем в процессе преподавания общие понятия геометрии будут служить учителю для освещения и более глубокого понимания отдельных разделов геометрии и даже отдельных ее предложений.

Чтобы глубже познать сущность какой-либо науки или соответствующего ей учебного предмета, надо не только знать общие законы, но и специфику их проявления в данном предмете. Мы показываем, как изучение полярных преобразований относительно окружности в евклидовой геометрии помогает выявлению общего и специфического в понимании сущности этой геометрии, помогает учителю выяснить те «смутные аналогии», которые возникают у него на протяжении всего курса.

Глубокое понимание связи между полярным преобразованием и принципом двойственности дает возможность учителю не только лучше уяснить сущность предмета, но и формулировать ряд новых предложений, заведомо зная наличие или отсутствие их решения. Если студент сам сформулирует ряд взаимных теорем, получит конструктивно их одну из другой с помощью полярного преобразования, он лучше осознает, что дело не в наглядном образе и его названии, а в каких-то более общих, пока еще скрытых закономерностях, имеющих место в геометрии.

Двойственные преобразования, как подчеркивает Ф. Клейн, «. . . подводят под один и тот же закон вещи, которые для наивного представления настолько различны, насколько это только возможно»*. Опираясь на изучение свойств полярного преобразования относительно окружности, автор вводит, следуя терминологии проф. Д. Д. Мордухая-Болтовского, основные взаимные понятия и формулирует ряд теорем и задач, взаимных данной. Различный выбор особой точки позволяет получить из одной задачи несколько взаимных, которые могут быть предложены и как самостоятельные задачи. На примерах автор показывает, что разумный выбор «особой» точки дает возможность использовать полярные преобразования не только как источник образования новых теорем и задач, но и как средство для решения наиболее трудных задач элементарной геометрии.

* Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. II, стр. 191.

При существующей постановке геометрической подготовки учителя многие основные понятия усваиваются студентами без необходимой вариации признаков, без постепенности в обогащении понятия— усваиваются формально, а вследствие этого знания, получаемые ими при изучении высших отделов геометрии, мало применяются в практической работе.

При ответах студентов, прослушавших курс проективной геометрии, а также изучивших все геометрические дисциплины, диссертант неоднократно убеждался, что большинство из них не понимает требования «оставлять неизменным абсолют плоскости», не может привести примеры инволюционных преобразований. Поэтому в курсе элементарной геометрии, построенном по предлагаемой в диссертации схеме, мы уделяем большое внимание формированию и этих понятий, трудно усваиваемых при изучении высшей геометрии.

В диссертации показана система работы по накоплению существенных признаков основных понятий и проанализированы результаты этой работы путем сравнения ответов студентов, часть которых слушала курс по старой программе, а другая часть — по нашему варианту курса.

Заключая главу, говорим о воспитательном значении теоретико-группового построения геометрии в педагогических институтах.

Такое содержание курса способствует большему развитию самостоятельности мышления учащегося: он постоянно наблюдает свойства не застывших, а изменяющихся по законам преобразований фигур, имеет возможность путем собственного наблюдения выявить общие и неизменные свойства, присущие любому геометрическому образу. Учащиеся на примерах простейших геометрических преобразований осознаннее усваивают абстрактную теорию групп вообще и отдельные принципиальные положения этой теории в частности.

Подводя итог проведенному исследованию, мы пришли к твердому убеждению в том, что перестройка преподавания геометрии в средней школе не может быть эффективной, если не будет подвергнуто коренному изменению преподавание курса элементарной геометрии в педагогическом институте и не будет дано в руки учителя пособие, позволяющее увидеть наиболее доступные геометрии как совокупности свойств, инвариантных относительно определенных групп преобразований.

Теоретико-групповой взгляд на геометрию в руках учителя обеспечит более ясное понимание ими предмета геометрии, а значит и роли отдельных звеньев, изучаемых в школе, в общей системе геометрических знаний.

Сознательное усвоение указанного взгляда на геометрию достигается лишь тогда, когда рассматриваются в сравнении геометрии нескольких простейших групп преобразований, когда обобщение опирается на достаточное число фактов.

В приложении 1 дана система упражнений и задач, способствующих закреплению и углубленному познанию теоретического материала, изложенного во второй главе. Многие из них неоднократно давались автором в юношеской математической школе и математических кружках нескольких школ города Ростова-на-Дону.

В приложении 2 изложен вопрос об основных геометрических понятиях для учащихся восьмилетней школы, приступающих к изучению геометрии. Основное внимание уделено формированию понятия «равенство» на основе осевой симметрии плоскости.

Опытная проверка основных положений диссертации осуществлялась следующим образом:

В 1962/63 учебном году диссертант читал курс элементарной геометрии половине потока студентов второго курса Ростовского педагогического института на основе идеи преобразований. Второй половине потока лекции читались по действующей программе. Начиная с 1963/64 учебного года курс элементарной геометрии ежегодно читается в выше изложенном плане.

Под руководством диссертанта в течение трех лет работал студенческий научно-образовательный кружок, основным содержанием работы которого были вопросы геометрических преобразований. В этом же плане выполнены десять курсовых и одна дипломная работа студентов.

В течение трех лет диссертант работал с учащимися ЮМШ г. Ростова-на-Дону по теме: «Геометрические преобразования».

Важность предлагаемого для вуза курса геометрии признавалась учителями математики школ Ростовской области, которым диссертант читал цикл лекций о геометрических преобразованиях в связи с включением этой темы в программы средней школы.

Идея построения курса элементарной геометрии на основе преобразований нашла одобрение среди работников математических кафедр педагогических институтов Юга РСФСР, перед которыми автор выступал с докладами на межвузовских конференциях в г.г. Ставрополе, Грозном и Майкопе.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ АВТОРОМ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

1. Простейшие геометрические преобразования и их применение в школе. «Доклады научно-теоретической конференции аспирантов Ростовского пединститута», 1962.

2. Некоторые вопросы геометрической подготовки учителя в пединституте. «Труды IV научной конференции математических кафедр пединститутов юга РСФСР». Сставропольское книжное издательство, 1963.

3. Выработка обобщающих понятий в процессе преподавания геометрии в пединституте на основе идеи групп преобразований. «Тексты докладов научно-теоретической конференции аспирантов», г. Ростов-на-Дону, 1964.