АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

В. Ф. ФИЛАТОВ

ИЗМЕРЕНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук А. И. Фетисов

МОСКВА — 1967

Одним из наиболее важных разделов школьного курса геометрии является измерение геометрических величин. Важность этого раздела определяется прежде всего тем практическим значением измерения и вычисления геометрических величин, с которым приходится сталкиваться в производительном труде и повседневной жизни. Трудно назвать такую профессию человека, в которой не приходилось бы производить измерение и вычисление тех или иных геометрических величин. С измерением геометрических величин человеку приходится сталкиваться почти ежедневно, начиная с самого раннего детства.

Наряду с практическим значением следует отметить и общеобразовательное значение этих вопросов. Измерение и вычисление геометрических величин может оказать значительное влияние на развитие математического мышления учащихся, их сообразительности, пространственных представлений и воображений. Без знания вопросов, связанных с измерениями, невозможно изучение и ряда смежных школьных предметов.

Однако изучение этих вопросов в курсе математики средней школы имеет еще целый ряд существенных недостатков. Особенно ясно эти недостатки выступают в материале старших классов.

Отметим, прежде всего, недостатки логического порядка. Наиболее существенным из этих недостатков является отсутствие в школьном курсе геометрии общего определения таких понятий, как длина отрезка, длина кривой линии, площадь и объем. Не имея общего определения, невозможно доказать их аддитивность, которой приходится часто пользоваться. Из этих основных недостатков вытекает большинство других логических недостатков. Поясним сказанное несколькими примерами.

При изучении объемов каждый раз приходится уславливаться, что понимать под объемом данного геометрического тела. Это влечет за собой множество определений, каждое из которых пригодно только для одного частного случая. При этом объемам некоторых тел вообще не дается никакого определения (например, объему прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды, шарового сегмента и т. д.). Никакой свя-

зи между этими понятиями в курсе геометрии обычно не устанавливается. Скажем, объемам цилиндра и конуса даются разные определения, то есть налицо два различных понятия. Почему же эти различные понятия можно называть одним и тем же термином «объем»? Почему этим же термином можно называть понятие, которое вообще принимается без определения? Эти вопросы в школе остаются без разъяснения.

Аналогичный недостаток имеет место и при изучении площадей плоских фигур, а также площадей кривых поверхностей. В последнем случае недостаток усиливается еще тем, что сам процесс вписывания многогранников в круглое тело не всегда приводит к нужному результату. Об этом говорит хотя бы такой пример, как цилиндр Шварца.

Вывод формул для длины дуги окружности, площади сектора, объема усеченной пирамиды, объема шарового сегмента и др. основывается на свойстве аддитивности, которое нигде в школьном курсе не доказывается.

При изучении длины окружности дается определение, что понимать над длиной окружности. Это определение теряет всякий смысл, если не доказано, что искомый предел не зависит от первоначального многоугольника. Этого доказательства в школе не дается. Аналогичный недостаток имеет место и при изучении площади круга. Можно без труда увеличить перечень логических недостатков, связанных с изучением геометрических величин в средней школе. Однако и приведенных примеров достаточно, чтобы показать, что имеется целый ряд методических проблем, связанных с улучшением преподавания разделов школьного курса геометрии, относящихся к измерению и вычислению геометрических величин.

В последнее время возникает все более настоятельная потребность приблизить школьный курс математики к современному состоянию этой науки. Уже сейчас в школьный курс включены некоторые элементы математического анализа и векторной алгебры. В дальнейшем несомненно эти элементы будут изучаться в гораздо большем объеме.

Методике изучения геометрических величин в средней школе посвящен ряд кандидатских диссертаций. Хорошо разработаны приемы привития учащимся практических навыков в диссертациях А. Ф. Спасского «Измерение геометрических величин на разных ступенях обучения в политехнической школе» и И. С. Климова «Измерение геометрических величин в средней школе и их практические приложения». В диссертации Спасского много внимания уделяется различным измерительным инструментам, а в диссертации Климова разработана система практических работ по измерению геометрических величин.

Математическое обоснование теории скалярных величин и, в частности, геометрических величин излагается в диссертации К. Ф. Рубина «Обоснование учения о геометрических величинах». В этой же диссертации подробно рассматривается история вопроса. Наконец, в диссертации З. И. Турлановой «Изучение скалярных величин в курсе математики 9 и 10 классов средней школы» излагается методика изучения в старших классах таких разделов, как «Длина отрезка», «Длина кривой линии» и «Площадь геометрической фигуры». Много внимания в этой работе уделяется повышению логической стройности изложения этих вопросов.

Следует отметить, что во всех рассмотренных диссертациях не затрагивается проблема связи вопросов измерения геометрических величин с элементами векторной алгебры, а связь измерения геометрических величин с элементами математического анализа выражается только в применении понятия предела. В диссертациях же, посвященных изучению в средней школе элементов математического анализа, эта связь выступает в виде применения элементов математического анализа к вычислению площадей и объемов. Так И. М. Шапиро в своей диссертации «Элементы дифференциального и интегрального исчисления в средней школе» исходит из того, что теория геометрических величин уже построена и известна учащимся.

В связи с этим возникает методическая проблема: построить систему изучения таким образом, чтобы измерение и вычисление геометрических величин было органически тесно связано с элементами математического анализа и векторной алгебры. При этом необходимо добиться того, чтобы значительно повысился логический уровень изучаемых вопросов.

Исходя из этой проблемы, в диссертации ставятся задачи:

1) Раскрыть место и значение понятия предела при изучении геометрических величин;

2) показать преимущества изучения объемов геометрических тел с помощью определенного интеграла;

3) показать преимущества изучения площадей кривых поверхностей с помощью производной;

4) показать возможность и целесообразность изучения площадей ориентированных фигур с привлечением элементов векторной алгебры в средней школе;

5) построить логически стройную систему изучения геометрических величин в старших классах средней школы, основанную на применении элементов математического анализа и векторной алгебры.

Диссертация состоит из введения, заключения, библиографии и трех глав.

Глава I. Геометрические величины, их место и значение в математике

Глава начинается с рассмотрения понятия скалярной аддитивной величины. Анализируя работы С. О. Шатуновского, А. Н. Колмогорова и А. Лебега, а также книги: И. В. Арнольда «Теоретическая арифметика», М. К. Гребенча и С. Е. Ляпина «Арифметика», Е. Г. Гонина «Теоретическая арифметика», Н. Г. Алимова «Теория действительных чисел с точки зрения исторического процесса ее возникновения» и др., делается вывод о том, что к понятию скалярной аддитивной величины можно подойти следующим образом.

Пусть дано такое множество М, на котором установлены соотношения равенства и порядка и определена ассоциативная операция сложения, обладающая свойством полуобратимости. Пусть, кроме того, на множестве M выполняется постулат Архимеда. Разобьем множество M на классы так, чтобы два элемента входили в один и тот же класс в том случае, если они равны между собой. То общее, что объединяет элементы множества M в один класс, назовен скалярной аддитивной величиной этих элементов. Множество М* получившихся классов составляет систему однородных величин.

Исходя из этого определения, рассматривается процесс измерения величин и устанавливается, что система непрерывных скалярных величин изоморфна множеству действительных чисел. Последнее дает основание в математической теории рассматривать скалярную величину как число, соотнесенное каждому элементу множества М.

Далее рассматриваются различные варианты изложения теории длин отрезков, площадей плоских фигур и объемов геометрических тел в научной, учебной и методической литературе. Анализируя эту литературу, делается вывод о том, что в старших классах средней школы наиболее целесообразно в изложении учения о той или иной гометрической величине исходить из общего конструктивного определения этой величины. Такой подход дает возможность установить единый метод в вычислении отдельных значений каждой геометрической величины, доказать все принципиально важные предложения теории.

Следует отметить, что конструктивное определение каждой геометрической величины может быть дано не единственным образом. Различные определения приводят к различным вариантам теории. В диссертации разработан новый вариант изложения теории измерения площадей плоских фигур и объемов геометрических тел. В основу изложения теории площадей

плоских фигур кладется следующее конструктивное определение понятия площади.

Пусть дана фигура, ограниченная непрерывной замкнутой линией, состоящей из дуг выпуклых кривых и отрезков, и произвольная прямая А. Разобьем данную фигуру на n частей прямыми, параллельными прямой А (в дальнейшем эти части будем называть полосками). Назовем шириной полоски расстояние между прямыми, ограничивающими полоску, а основанием полоски часть ограничивающей полоску прямой, лежащую внутри данной фигуры.

Для каждой полоски составим произведение основания на ширину и возьмем сумму всех таких произведений. За площадь данной фигуры относительно прямой А примем предел составленной суммы при n стремящемся к бесконечности так, чтобы ширина всех полосок стремилась к нулю.

Далее доказывается ряд теорем:

1) При принятых ограничениях площадь фигуры относительно прямой А существует и имеет единственное значение.

2) Если данная фигура разбита на две части линией, на которую налагаются те же ограничения, то площадь всей фигуры относительно прямой А равна сумме площадей ее частей относительно той же прямой.

3) Площадь данной фигуры не зависит от выбора прямой А.

Таким образом, в определении площади можно отбросить слова «относительно прямой А».

4) Равные фигуры имеют равные площади.

5) Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, и т. д.

Далее строится теория объемов геометрических тел, аналогичная теории площадей плоских фигур.

Разработанный вариант теории площадей плоских фигур и объемов геометрических тел позволяет наиболее естественным и доступным путем ввести и использовать понятие определенного интеграла.

В этой же главе дается анализ возможности и необходимости применения предела, производной и определенного интеграла в вопросах обоснования учения о геометрических величинах. В результате проведенного анализа делается вывод о том, что в средней школе можно построить систему изучения всех геометрических величин, не опираясь на такие понятия, как предел, производная и определенный интеграл. Однако такое построение нецелесообразно, так как эти понятия имеют огромное образовательное значение. В средней школе имеются все необходимые возможности тесно увязать изучение гео-

метрических величин с методами математического анализа при этом необходимо использовать не только понятия предела и определенного интеграла, но и понятие производной.

Глава 2. Система изучения геометрических величин в старших классах средней школы

Изучение длины отрезка в 9 классе рекомендуется проводить по нижеследующему плану.

Дается понятие об общей мере двух отрезков и определение соизмеримых отрезков. Доказываются леммы: 1) если натуральное число не делится на три, то и квадрат этого числа не разделится на три; 2) не существует рационального числа, квадрат которого равен трем. На основании этих лемм доказывается теорема: катеты прямоугольного треугольника с острым углом в 30° не имеют общей меры. Метод доказательства дает возможность распространить его на другие случаи, то есть привести бесчисленное множество примеров несоизмеримых отрезков (в частном случае, этим же самым методом доказывается несоизмеримость стороны и диагонали квадрата).

Мы считаем целесообразным показать учащимся, что случай несоизмеримости является более общим, чем случай соизмеримости.

Дальнейшее изложение основано на аксиомах Архимеда и Кантора. В работе приводится методика ознакомления учащихся с аксиомой Кантора. Предлагается дать учащимся общее конструктивное определение длины отрезка и доказать, что определенная таким образом длина отрезка удовлетворяет обычным требованиям. Изложение предлагается закончить установлением взаимно однозначного соответствия между точками числовой прямой и действительными числами.

Преимуществом предлагаемого плана изложения по сравнению с традиционным является, во-первых, то, что хотя существование несоизмеримых отрезков доказывается на частном примере, метод доказательства носит общий характер. Поэтому учащиеся самостоятельно могут доказать существование еще целого ряда пар несоизмеримых отрезков. Применение аксиом Архимеда и Кантора дает возможность построить все изложение на более высоком уровне строгости и познакомить учащихся с такими очень важными понятиями математики, как взаимно однозначное соответствие и непрерывность.

Одним из недостатков изучения этой темы в средней школе является отсутствие достаточного количества упражнений В связи с этим в диссертации разработана система упражнений по этой теме.

Далее рассмотрено измерение величины угла. Обычно в учебной литературе рассматривается только косвенное измерение центральных углов дугами, на которые они опираются, и даются вспомогательные способы измерения углов. Мы предлагаем познакомить учащихся с прямым измерением углов и только после этого перейти к косвенному измерению. В диссертации разработана методика ознакомления учащихся с прямым измерением углов. В изложении этого вопроса рекомендуется опираться на аксиому Кантора.

Такой метод изучения дает возможность сопоставить и провести аналогию в измерении углов с измерением длин отрезков, а в дальнейшем с измерением площадей и объемов.

Здесь же выясняется вопрос о том, какую роль играет аддитивность в измерении величины угла и в измерении величины двугранного угла. Доказывается критерий возможности измерения одной величины с помощью другой: для того, чтобы одна величина могла быть измерена с помощью другой величины, необходимо и достаточно, чтобы между значениями этих величин было установлено такое взаимно однозначное соответствие, при котором: 1) равным значениям одной величины соответствуют равные значения другой величины; 2) сумме двух значений одной величины соответствует сумма тех значений второй величины, которые соответствуют слагаемым значениям первой величины. Этот критерий может быть применен не только к углам, но и к самым различным величинам как геометрическим, так и физическим. Ознакомление учащихся с этим вопросом дает кроме того возможность более глубоко познакомить учащихся с прямо пропорциональной зависимостью.

При изучении длины кривой линии, в частности, длины окружности, рекомендуется руководствоваться учебным пособием А. И. Фетисова «Геометрия». Предложенный в этом пособии вариант изложения не содержит тех логических недостатков, которые присущи традиционному изложению, и вместе с тем вполне доступен учащимся.

Основное внимание уделяется методике изучения площадей и введению понятия определенного интеграла.

Методика изучения площадей геометрических фигур разработана на основании теории площадей, построенной в первой главе. Рекомендуется в старших классах дать определение площади, формулировка которого приведена в первой главе.

К этому определению необходимо подвести учащихся, используя их интуитивные представления о площади, приобретенные в восьмилетней школе. В связи с этим рекомендуется вначале повторить материал седьмого класса, относящийся к

площадям многоугольников. Далее ставится задача о вычислении площадей произвольных фигур. Исходя из практических способов вычисления этих площадей учащиеся и подводятся к вышеуказанному определению.

На классных занятиях целесообразно доказать теоремы:

1) Если фигура разбита на две части, то площадь всей фигуры равна сумме площадей полученных частей.

2) Равные фигуры имеют равные площади.

3) Площадь фигуры не зависит от направления прямых, разбивающих ее на полоски.

На эти теоремы приходится в дальнейшем все время опираться. Доказательство же их не вызывает у учащихся затруднений.

Теорему о существовании и единственности площади предлагается сообщить учащимся без доказательства (доказательство этой теоремы приводится в первой главе и может быть рассмотрено на внеклассных занятиях по математике). На основании данного определения площади вычисляются площади некоторых геометрических фигур: треугольника, криволинейного треугольника, ограниченного осью абсцисс, параболой и какой-либо ординатой и др. Дается два способа вывода формулы площади эллипса.

Понятие определенного интеграла вводится, исходя из задачи вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, двумя ординатами и графиком данной непрерывной функции. Такой путь введения определенного интеграла оказывается наиболее естественным, так как в этом случае к понятию определенного интеграла приводит практическая потребность в вычислении площадей. Данное учащимся определение площади плоской фигуры дает возможность наиболее быстро и доступно перейти к рассмотрению интегральных сумм и определенного интеграла.

Из рассмотренных ранее примеров получаем три формулы для вычисления определенных интегралов от функций у = х2, у = х и у=1. Далее рекомендуется доказать два свойства определенных интегралов:

1) Постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла;

2) определенный интеграл от суммы нескольких функций равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций.

Этих сведений об определенном интеграле оказывается достаточно для решения большинства задач, рассматриваемых в средней школе. В частности, их оказывается достаточно для вывода формул объемов всех геометрических тел, традиционно изучаемых в средней школе.

В следующем параграфе излагается методика установле-

ния связи определенного интеграла, имеющего переменный верхний предел, с производной и введения неопределенного интеграла. Это дает возможность познакомить учащихся с применением неопределенных интегралов к вычислению определенных интегралов (формула Ньютона — Лейбница) и рассмотреть ряд разнообразных упражнений. В частности, рекомендуется при выполнении упражнений на построение графиков функций и на исследование функций с помощью производной параллельно выполнять упражнения на вычисление площадей, ограниченных графиками различных функций. Приводится система таких упражнений.

Далее изложен вопрос о применении элементов интегрального исчисления к вычислению объемов геометрических тел. Прежде всего показывается, как подвести учащихся к общему определению понятия объема, используя их интуитивные представления об объеме, полученные в восьмилетней школе. Определение объема дается в следующем виде.

Разобьем данное тело параллельными плоскостями на n частей и назовем полученные части слоями. Толщиной слоя будем называть расстояние между плоскостями, ограничивающими слой, а его основанием — часть такой плоскости, заключенную внутри данного тела. Составим сумму произведений площадей оснований всех получившихся слоев на толщину каждого соответствующего слоя. Объемом данного тела тогда будем называть предел составленной суммы, когда n стремится к бесконечности таким образом, чтобы толщина каждого слоя стремилась к нулю.

Как и для площадей, на уроках рекомендуется доказать теорему: если данное тело разбить на две части, то сумма объемов этих частей равна объему данного тела. Теорему о существовании и единственности объема (доказательство которой приводится в первой главе) рекомендуется сообщить учащимся без доказательства. Доказательство же может быть рассмотрено в порядке внеклассной работы. Большой интерес у учащихся вызывает доказательство того, что величина объема не зависит от направления плоскостей, разбивающих тело на слои.

С помощью определенного инетграла выводятся формулы для объемов геометрических тел, традиционно изучаемых в средней школе, а также некоторых других геометрических тел.

В следующем параграфе дается методика ознакомления учащихся с формулой Симпсона. Предлагается доступный для учащихся вывод формулы Симпсона, основанный на применении определенных интегралов. Показывается, как можно ознакомить учащихся с применением формулы Симпсона к вычислению определенных интегралов.

В последнем параграфе второй главы излагается методика изучения площадей кривых поверхностей. Предлагается дать следующее определение площади кривой поверхности.

За площадь ограниченной непрерывной поверхности принимается предел отношения объема слоя одинаковой толщины, покрывающего эту поверхность, к толщине этого слоя, когда толщина слоя стремится к нулю.

Исходя из этого определения, можно вполне доступно для учащихся доказать, что равные поверхности имеют равные площади, и что площадь кривой поверхности обладает свойством аддитивности: если поверхность какой-либо кривой разбить на две части, то сумма площадей этих частей равна площади всей поверхности. Далее доказывается теорема: если поверхность является частью или всей поверхностью, ограничивающей данное тело, то ее площадь является производной от объема тела по переменному отрезку, перпендикулярному этой поверхности. Последняя теорема дает возможность вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, конуса, усеченного конуса, площадь поверхности шара и шарового сегмента. В качестве упражнений приводятся примеры вычисления площадей других поверхностей с помощью производной (тора, боковой поверхности цилиндрического отрезка и ряд других).

Приведенное изложение показывает, что использование элементов математического анализа позволяет, не уменьшая доступности, повысить логическую стройность учения о геометрических величинах в старших классах средней школы. Простота и общность применяемых методов окупает время, затраченное на ознакомление учащихся с понятием интеграла, и одновременно дает в руки учащимся такой мощный метод современной математики, каким является интегральное исчисление.

Глава 3. Применение элементов векторного исчисления к измерению геометрических величин

Глава начинается с методики ознакомления учеников с понятием площади ориентированной фигуры. Перед тем как знакомить учащихся с площадью ориентированной фигуры, рекомендуется остановиться на тех преимуществах, которые дает рассмотрение величины направленного отрезка и величины произвольного угла. Введение этих понятий дает возможность при доказательстве теорем проводить рассуждения в общем виде, не рассматривая различные частные случаи. Ту же цель преследует и расширение понятия площади. Пло-

щадь ориентированной фигуры вводится, исходя из возможности установить на контуре два противоположных направления.

Рекомендуется путем решения нескольких задач показать учащимся те преимущества, которые дает введение понятия площади ориентированного многоугольника.

В этой же главе показывается возможность и целесообразность изучения в старших классах средней школы, наряду со скалярным произведением, косого (внешнего, псевдоскалярного) произведения векторов. В результате проверенного исследования установлено, что параллельное изучение этих двух видов произведения векторов приводит к более прочному и глубокому усвоению каждого из них в отдельности, вследствие возможности проводить все время аналогию в противопоставление их свойств.

Косое произведение вводится, исходя из задачи вычисления площади ориентированного прямоугольника и параллелограмма. Этот путь наиболее естественен и доступен, так как площади неориентированных прямоугольника и параллелограмма тоже находились действием умножения. Рекомендуется вывести формулы площадей для ориентированного треугольника и многоугольника через косое произведение векторов. На нескольких примерах показывается, что применение косого произведения векторов может существенно облегчить доказательство некоторых теорем и решение ряда задач. В качестве примера приводим задачу, которая легко решается с использованием косого произведения векторов.

Задача: Стороны AB и CD четырехугольника ABCD продолжены до пересечения в точке О. Доказать, что площадь треугольника OMN в четыре раза меньше площади данного четырехугольника ABCD, где M и N середины диагоналей BD и АС четырехугольника.

Целесообразно решать и такие задачи, в которых одновременно находит применение как косое, так и скалярное произведение. Примером может служить следующая задача.

Дан треугольник ABC, в котором AA1 и BB1 являются медианами. Найти соотношение между сторонами данного треугольника, при котором окружность, описанная около треугольника CB1A1 проходит через точку пересечения медиан треугольника ABC.

Применение косого и скалярного произведений векторов к решению геометрических задач дает возможность показать учащимся ценность алгебраических методов. Обычно каждая геометрическая задача требует особого метода решения. В связи с этим решение геометрических задач вызывает у учащихся большие трудности, чем алгебраических. Элементы

векторной алгебры вносят в геометрию общие методы решения и тем самым сближают ее с алгеброй.

На внеклассных занятиях по математике рекомендуется познакомить учащихся в барицентрическими координатами. В диссертации разработана система изучения барицентрических координат, основанная на максимальном использовании элементов векторной алгебры.

К понятию барицентрических координат учащиеся подводятся путем решения ряда задач.

1. Дан треугольник ABC и внутри него произвольная точка О. Показать, что всегда возможно так подобрать три массы в вершинах треугольника, чтобы точка О оказалась центром тяжести трех получившихся материальных точек.

2. В вершинах треугольника ABC помещены три массы, а точка О центр тяжести трех получившихся материальных точек. Доказать, что массы пропорциональны площадям треугольников ОВС, ОСА и ОАВ.

Путем решения таких задач учащиеся подводятся к определению; барицентрическими координатами точки M при координатном треугольнике ABC называется тройка чисел, пропорциональных площадям ориентированных треугольников МВС, МСА и MAB.

Такое определение дает возможность при выводе формул пользоваться косым произведением векторов. В диссертации разработаны доступные учащимся способы вывода формулы расстояния между двумя точками, формулы площади треугольника, уравнения прямой и др. в барицентрических координатах. Показывается эффективность применения барицентрических координат к выводу некоторых предложений геометрии треугольника и к решению задач.

Основные положения диссертации прошли экспериментальную проверку в средних школах гор. Хабаровска и на занятиях юношеской математической школы при Хабаровском пединституте.

Качество усвоения учащимися изученного материала определялось на основании анализа контрольных работ и устных ответов.

Экспериментальная проверка показала, что разработанная система изучения геометрических величин в средней школе вполне возможна и целесообразна.

Знания учащихся оказались значительно глубже и шире. Учащиеся ясно осознали, что геометрическим величинам необходимо давать общие конструктивные определения, что необходимо доказать их основные свойства. При решении задач учащиеся обосновали свои действия ссылкой на соответствующие свойства геометрических величин. Разработанная система

дала возможность решать задачи на вычисление площадей и объемов более широкого класса геометрических фигур.

По материалам диссертации автор выступал неоднократно на конференциях учителей математики гор. Хабаровска. В сентябре 1966 г. на VI межвузовской научной физико-математической конференции Дальнего Востока по материалам диссертации автором было сделано два доклада, которые получили одобрение.

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Изучение вопросов, связанных с измерением и вычислением геометрических величин, в старших классах средней школы можно значительно улучшить, изложив их в более стройной логической системе и вместе с тем сохранив их доступность.

2. В старших классах имеется возможность сформулировать общее определение таких важных понятий, как длина отрезка, длина кривой, площадь плоской фигуры, объем геометрического тела, площадь кривой поверхности.

3. Измерение и вычисление геометрических величин в старших классах должно быть тесно связано с изучением элементов математического анализа и векторной алгебры. Такая связь с одной стороны облегчает задачу внедрения этих методов в школьное преподавание, с другой же стороны значительно упрощает изложение вопросов измерения геометрических величин.

4. Изложенная в диссертации система изучения геометрических величин в старших классах средней школы вполне приемлема и целесообразна.

Основные положения диссертации изложены в статьях:

1. О понятии величины в математике. «Ученые записки» Хабаровского госпединститута, том I, Хабаровск, 1959.

2. Измерение величин и подход к понятию действительного числа в средней школе. «Сборник статей по математике и методике преподавания математики в среденй школе», том V, выпуск 3, Челябинск, 1960.

3. К методике введения понятия иррационального числа в средней школе. Сборник статей «Вопросы методики преподавания математики в школе», Хабаровск, 1961.

4. Об изучении длины окружности и площади круга в средней школе. Там же.

5. Об измерении геометрических величин в средней школе на различных ступенях обучения. «Восьмая научная конференция (краткое содержание и тезисы докладов)», Хабаровск, 1961.

6. Вычисление площадей и объемов в старших классах средней школы методами интегрального исчисления. Сборник статей «Вопросы методики преподавания математики в школе», Хабаровск, 1966.

7. Применение производной к вычислению площадей кривых поверхностей. Там же.

A 103002. Подп. в печать 13/II 1967 г. Объем 1 печ. л. Тир. 200. Зак. 131

Типография № 1 Росглавполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров РСФСР. Москва, Садово-Самотечная, 1