ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. М. Н. ПОКРОВСКОГО

В. А. Феофилатьев

СИММЕТРИЯ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ И ВОПРОСЫ ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Ленинград 1951 г.

I. Состояние вопроса и целевая установка

В методической литературе имеется не мало высказываний методистов, в которых признается ценность симметрии для школы и рекомендуется уделять этому вопросу достаточное внимание. Однако, сколько-нибудь подробное рассмотрение симметрии и ее преподавания в об'еме всего школьного курса, повидимому, отсутствует.

С другой стороны, изложение раздела „Симметрия" в школьных учебниках далеко не во всем удовлетворительно. Например, в учебниках мы не найдем общего определения» исходя из которого можно было бы решить, какой круг вопросов относится к учению о симметрии. Если допустить, что общее определение симметрии не помещается в учебниках вследствие его недоступности для учащихся школьного возраста, то частные понятия, вводимые в учебниках под названием „симметрия", не должны противоречить общему понятию симметрии. Наоборот, они должны подводить к нему, подготовлять его усвоение. Однако, ознакомление со школьными учебниками показывает, что выражение „симметрия" применяется там по отношению к совершенно различным понятиям. В одном случае симметрией называется некоторое специальное геометрическое преобразование, в другом— определенный вопрос из учения о равенстве или, во всяком случае, о некотором соотношении между разными геометрическими фигурами; наконец, еще далее симметрия рассматривает как известное свойство геометрической фигуры.

Конечно, по справедливому замечанию О. А. Вольберга, „в математике иногда бывает полезно давать разным вещам одно имя и одной вещи разные имена". Но, разумеется, это полезно лишь в том случае, когда указанные вещи удовлетворяют определенным условиям. В данном случае эти условия, очевидно, не выполняются. И действительно, в более строгих курсах геометрии, предназначенных для учителя, симметрия трактуется во многом отлично от школьных учебников. К сожалению, и в этих руководствах мы не найдем у авторов полного единодушия по данному вопросу. Зачастую то, что в одном из них называется симметрией, в другом считается не имеющим к ней отношения. Наконец, еще другие взгляды по затрагиваемому вопросу можно встретить в работах по кристаллографии и по теории групп.

Указанные обстоятельства побудили автора изучить историю вопроса и попытаться выяснить, как возникли различные понятия симметрии, чтобы по мере сил дать критическую оценку различным точкам зрения в данной области и наметить по возможности наиболее целесообразное его решение. Этому и посвящена первая глава диссертации. Вторая глава содержит попытку, исходя из положений, развитых в первой главе, осветить вопросы преподавания симметрии в школьном курсе, а третья рассматривает тот же вопрос в отношении кружковой работы. Наконец, в заключительной четвертой главе дается материал для ознакомления учителя с одним из наиболее важных для школы разделов учения о симметрии.

II. Симметрия в элементарной геометрии

В конце 18 века Лежандр*) дал два внешне сходные, но по существу различные определения симметрии. Первое из этих определений относится к весьма распространенному в природе отношению между телами, какое, например, существует между перчатками для правой и левой руки и которое естествоиспытателями называется энантиоморфизмом. Согласно второму определению, введенному Лежандром для удобства доказательства некоторой теоремы, симметричными называются две фигуры, которые расположены как предмет и его изображение в зеркале. Второе определение, с одной стороны, сужает первое, так как требует особого расположения фигур, чего не предполагается, вообще говоря, в первом определении. С другой стороны, по второму определению в разряд симметричных попадают такие фигуры, которые вообще не могут быть симметричными согласно первому определению.

В то время как для Лежандра основным является первое определение, а второе выступает как вспомогательное, введенное для удобства доказательства, в работе его ближайшего последователя Венсана**) эти определения выступают как равноправные. Если Лежандр рассматривал симметричное расположение только в стереометрии и только относительно плоскости, то Венсан рассматривает симметричное расположение и в стереометрии, и в планиметрии как относительно плоскости, так относительно прямой и точки. Кроме того Венсан вводит понятие о фигуре, симметричной самой себе относительно точки, прямой или плоскости. Таким образом, мы находим у него почти все современные школьные понятия симметрии.

*) Лежандр А. М. Основания геометрии и тригонометрии. Спб, 1837 г.

**) Vincent Л. J. H. Gours de géométrie élémentaire, Реймс—Париж, 1826 г.

Впоследствии к симметрии были отнесены те из преобразований равенства, которые можно рассматривать как отражение в точке, прямой или плоскости, а понятие симметричной фигуры под влиянием потребностей естествознания в середине 19 века было подвергнуто существенному обобщению.

В результате изучения истории и теории вопроса и проверки его в практике преподавания в работе принята точка зрения тех авторов, которые считают нецелесообразным об'единять под названием симметрии все эти различные понятия, потому что такое объединение отрицательно сказывается на ясности и четкости усвоения учащимися каждого из этих понятий. Вслед за С. А. Богомоловым и Д. И. Перепелкиным мы считаем, что вместо симметрии в смысле первого определения Лежандра лучше говорить об отраженном или зеркальном равенстве фигур. По аналогии с этим симметрия в смысле второго определения Лежандра в работе называется зеркальным расположением фигур. Разделяется в работе и предложение Д. И. Перепелкина о том, что не следует называть симметрией отражения. Представляется также нецелесообразным называть симметричными точки, соответственные при отражении, так как это не только укрепляет широко распространенное ошибочное убеждение в том, что отражения имеют большее отношение к симметрии, чем другие преобразования равенства, но и противоречит терминологии, принятой в геометрии по отношению ко всем другим преобразованиям. Таким образом, название симметричных в работе оставлено лишь для фигур, которые, по выражению А. Д. Александрова, „допускают ортогональные преобразованию в себя, отличные от тождественного".

Вследствие отмеченной выше нечеткости в терминологии, а также вследствие других причин, которые подробно излагаются в диссертации, преподавание вопросов симметрии в школе находится на значительно более низком методическом и научном уровне, чем преподавание большинства других разделов геометрии. Такое положение представляется тем более недопустимым, что вопросы симметрии играют существенную роль в ряде разделов науки, техники и изобразительных искусств. Улучшая постановку преподавания симметрии, мы получаем широкое поле для применения понятий о геометрических преобразованиях, о группах преобразований, а также получаем возможность доступно изложить учащимся довольно тонкий вопрос о зеркальном равенстве. Одновременно с этим в большей мере будет обеспечено воспитание диалектико-материалистического мышления учащихся.

Обнаруживая родство и взаимную связь между фигурами, геометрические преобразования разрушают метафизическое представление о неизменности, неподвижности геометрических фигур. Понятие симметричной фигуры служит хорошим примером гибкости понятий, той гибкости, доходящей до тождества противоположностей, которую так высоко ценил В. И. Ленин*). В самом деле, точки симметричной фигуры изменяют свои положения, в целом же фигура остается неизменной. Неизменное изменяется.

Осуществляя перестройку преподавания геометрии на более высоком научном и методическом уровне, советская методика математики в своей скромной области будет выполнять известное указание И. В. Сталина**) о том, какою должна быть передовая наука.

III. Симметрия в школьном курсе геометрии

Материал II главы работы — „Симметрия в школьном курсе" — разработан применительно к существующей программе геометрии и рассчитан, на прохождение его в школе без сколько-нибудь значительного изменения сложившегося школьного курса. Этот материал, как и материал следующее главы, был подвергнут проверке в практике преподавания. В 1949—50 учебном году в несколько расширенном об'еме против того, что предлагается во II глазе, он был пройден на 2-м курсе учительского института, а отдельные вопросы проверялись в двух школах города Череповца. В 1950—51 учебном году этот материал проверялся в работе математических кружков двух ленинградских школ. Проверка подтвердила основные положения диссертации, хотя и потребовала дополнительного уточнения некоторых из рассматриваемых в ней вопросов.

Изменения, предлагаемые в изучении симметрии плоских фигур, в общем незначительны. Отметим наиболее существенные из них.

В 6 классе вместо симметричного расположения фигур относительно оси вводится понятие об осевом отражении. Для четкого усвоения учащимися этого понятия разработан ряд последовательных упражнений. Теореме об оси симметрии равнобедренного треугольника дается более простое доказательство, чем в стабильном учебнике. Рекомендуется дать понятие об оси симметрии отрезка и угла, так как этим облегчается нахождение осей симметрии многоугольников.

*) В. И. Ленин. Философские тетради. Госполитиздат, 1947 г., стр. 84.

**) И. В. Сталин. Речь на приеме в Кремле работников высшей школы 17 мая 1938 года. Госполитиздат, 1938, стр. 4.

В 7 классе элемент симметрии параллелограмма рассматривается не как центр отражения, а как центр вращения второго порядка, так как последнее понятие легко обобщается на центры вращений любых порядков, чего не допускает понятие о центре отражения. Чтобы подчеркнуть своеобразие нового элемента симметрии, его отличие от оси симметрии, рекомендуется на примере правильного треугольника и квадрата дать понятие о центре тройной и четвертной симметрии. Предлагается модель для создания у учащихся наглядного представления о центрах вращения различных порядков. Дается доказательство теоремы о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром двойной симметрии. В связи с введением понятия о центрах тройной и четверной симметрии предлагаются некоторые изменения в порядке прохождения темы „Четыреугольники". Указывается на пробел в стабильном учебнике, где не дается понятие об оси симметрии окружности и тем не менее в дальнейшем этим понятием пользуются при доказательстве теорем. Предлагаются меры для устранения упомянутого пробела.

Перечисленными вопросами программа и учебник считают симметрию в планиметрии исчерпанной, не считаясь с тем, что тема „Правильные многоугольники" в 9 классе дает прекрасную возможность завершить и систематизировать изучаемый в школе раздел симметрии на плоскости. С этой целью в 9 классе следует дать общее определение симметричной фигуры, которое, как показывает наш опыт, вполне доступно учащимся 9 и 10 класса. Предварительно дается понятие о преобразованиях равенства. При предлагаемом способе преподавания учащиеся знакомы уже с отражением, поворотом, тождественным преобразованием. Если добавить сюда параллельный перенос, понятие о котором уместно дать при изучении параллельности, то этих сведений о преобразованиях для нашей цели вполне достаточно. Определение симметричной фигуры можно дать, например, в следующей форме. Фигура, которая допускает какое-либо преобразование равенства в себя, отличное от тождественного, называется симметричной. Понятие „преобразоваться в себя" знакомо учащимся из рассмотрения симметрии фигур в 6 и 7 классах. Здесь же доказывается теорема о том, что правильный п-угольник обладает п осями симметрии и центром ^/-кратной симметрии.

На предлагаемый материал в 9 классе потребуется дополнительно 2 часа. Если же не доказывать теоремы об элементах симметрии правильного ^-угольника, то достаточно и одного часа, причем большая его часть уйдет на повторение

и закрепление материала, пройденного ранее, которое во всяком случае должно проводиться в школе. Затратив эти час—два на вопросы симметрии, учащиеся получат достаточно цельное, стоящее на уровне современной науки представление о симметрии, чего не дает существующее состояние преподавания этого вопроса.

Несколько сложнее обстоит дело в стереометрии. В программе о симметрии многогранников не упоминается. Изложение этих вопросов в стабильном учебнике не представляется удовлетворительным ни в научном, ни в методическом отношении. В методических указаниях Управления школ Министерства просвещения РСФСР*) предлагается изучать лишь часть материала учебника вследствие того, что остальной материал труден для учащихся.

Детальное теоретическое изучение вопроса и проверка на практике привели автора к убеждению в том, что трудности усвоения учащимися симметрии многогранников заключаются не столько в существе самого предмета, сколько в неразработанности методики его преподавания.

В основном предложения здесь сводятся к следующему. Симметрию многогранников надо рассматривать в порядке ее усложнения, чтобы каждый новый вид симметрии был подготовлен к его усвоению предыдущими. Надо усилить наглядность, моделируя наиболее трудные для восприятия многогранники и вычерчивая ортогональные проекции их на плоскости, перпендикулярные тем или другим осям симметрии. Существование соответствующей оси и проходящих через эту ось плоскостей симметрии при этом становится столь же наглядным, как существование центра и осей симметрии в плоской фигуре. Представляется также целесообразным вопросы симметрии многогранников не выделять в особый раздел, а изучать попутно с прохождением соответствующих фигур, чтобы симметрия служила дополнительной их характеристикой.

Выполнение этих, а также некоторых других пожеланий, выдвигаемых в диссертации, позволит дать учащимся нашей школы довольно систематизированный круг сведений по симметрии многогранников. Представляется желательным, чтобы кончающие нашу среднюю школу не только находили, но я умели так или иначе обосновать наличие следующих элементов симметрии многогранников:

в правильной п-угольной пирамиде —ось 7?-кратной симметрии и п плоскостей симметрии;

*) О преподавании математики в семилетней и средней школе. Учпедгиз, 1947 г.

в произвольном параллелепипеде—центр симметрии;

в прямом параллелепипеде — ось двойной симметрии ш центр и плоскость симметрии;

в прямоугольном параллелепипеде—центр и три плоскости симметрии и три оси двойной симметрии;

в правильной /г-угольной призме — ось ^г-кратной симметрии, п осей двойной симметрии и« + 1 плоскость симметрии;

в правильном тетраэдре—4 оси тройной, и 3 оси двойной симметрии и 6 плоскостей симметрии;

в кубе и правильной октаэдре — 3 оси четверной, 4 оси тройной и 6 осей двойной симметрии и центр и 9 плоскостей симметрии.

Кроме того нужно дать некоторое представление о неточечной симметрии (симметрия прямой и плоскости), что необходимо для решения обычно помещаемых в учебниках задач.

В диссертации этот материал разработан достаточно подробно и приведены также относящиеся сюда теоремы. Оказалось, что если доводить изложение предлагаемого материала до той степени строгости, которая принята в других разделах школьной геометрии, то дополнительно потребуется около 7 часов, из них около 2 часов в 9 классе, где дается понятие о плоскости симметрии. Часть этого времени пойдет за счет домашней работы учащихся.

Однако, особая наглядность предмета позволяет произвести дальнейшее значительное сокращение классного времени и практически сделать затрату его неощутимой, если отказаться от проведения некоторых доказательств, удовлетворяясь в этих случаях наглядными представлениями и интуицией, как это имеет место в большинстве случаев и теперь, когда обращаются к данным вопросам. По мнению автора, и такое прохождение симметрии будет представлять интерес для школы с точки зрения развития пространственных представлений и возможности дальнейших практических приложений.

В заключение главы приводятся задачи на симметрию, снабженные указаниями к решению и ответами, а в нужных случаях и подробными решениями. Большинство задач составлено автором.

IV. Симметрия в кружковой работе

Третья глава посвящена вопросам симметрии в кружковой работе. Материал лишь незначительно расширен по сравнению со второй главой. Так на плоскости рассматривается симметрия не только правильных, но и полуправильных мно-

гоугольников. В пространстве вводится новый элемент симметрии — зеркальная ось, что дает возможность находить элементы симметрии многогранников полностью. Рассмотрена симметрия ромбоэдра и частных видов тетраэдра.

Основное отличие этой главы от предыдущей заключается в методе изложения, опирающемся на понятие подстановки и группы. С помощью умножения подстановок составляются таблицы умножения преобразований симметрии, так называемые квадраты Кэли. Эти таблицы, с одной стороны, как бы завершают работу, дают определенную уверенность, что элементы симметрии найдены верно, так как в случае ошибки таблица „не сойдется". С другой стороны, эти таблицы могут послужить для решения новых задач, например, для разыскания всех подгрупп, входящих в данную группу; они же могут быть использованы как средство для развития пространственных представлений учащихся.

Автору представляется, что эта глава может содействовать введению понятия группы в школьное преподавание, в пользу чего выступали выдающиеся советские ученые математики и методисты (П. С. Александров, Б. Н. Делоне, Н. А. Глаголев, А. И. Фетисов и другие).

V. Точечная симметрия

Не подлежит сомнению, что вопросы, входящие в круг школьного преподавания, учитель должен знать по возможности глубоко. Поскольку литература, освещающая с достаточной полнотой вопросы симметрии с точки зрения удовлетворения запросов учителя, отсутствует, автор попытался восполнить указанный пробел в IV главе своей работы.

В этой главе дается вывод всех видов симметрии конечных фигур или, точнее, вывод всех точечных групп симметрии, то есть таких групп, при всех преобразованиях которых по крайней мере одна точка пространства остается неподвижной.

Точечные дискретные группы в русской литературе впервые были выведены Е. С. Федоровым*),**), а затем вывод их был повторен С. А. Богомоловым***). Все точечные непрерывные группы впервые вывел А. В. Шубников****).

*) Федоров Е. С. Начала учения о фигурах, Спб., 1885 г.

**) Он же. Симметрия и структура кристаллов. АН СССР, 1949 г.

***) Богомолов С. А. Вывод правильных систем по методу Федорова, часть, I, Лнг, 1932 г.

****) Шубников А. В. Тридцать девять видов точечной кристаллографической симметрии. Труды лаборатории кристаллографии, в. 2, 1940 г.

В настоящей главе автор использует метод вывода, не применявшийся, насколько ему известно, ранее. Идея вывода проста и заключается в следующем. Пользуясь свойствами плоскостей симметрии выводятся так называемые полногранные (голоэдрические) виды или группы симметрии. Рассматривая все существенно различные между собою подгруппы этих групп, получаем все возможные виды точечной дискретной симметрии. Непрерывные точечные группы получаются либо путем предельного перехода из некоторых дискретных групп, либо в результате дополнительного исследования того, что получится, если те или другие условия, приводящие к дискретным группам, не выполнены.

Для удобства нахождения подгрупп составляются квадраты Кэли. Эти квадраты оказываются полезными также ири решении ряда других вопросов, связанных с группами симметрии, в частности, при разыскании минимального числа образующих, что имеет значение для выбора рациональной системы обозначения групп симметрии. Построение квадратов Кэли требует точного указания каждого преобразования, входящего в данную группу. Благодаря этому удалось обнаружить некоторые подробности в строении групп симметрии, обычно ускользающие при других методах исследования.

Для составления квадратов Кэли используются два различных метода. Для бипирамидально-призматической (иначе w-гональной или диэдрической) системы удалось вывести 16 формул, предусматривающих все возможные случаи умножения преобразований симметрии. В случаях кубооктаэдрической и додекаэдро-икосаэдрической систем симметрии оказалось более целесообразным находить произведение преобразований симметрии при помощи умножения тех подстановок вершин какого-нибудь из многогранников, принадлежащих к данному виду симметрии, которые производят соответствующие преобразования симметрии.

Другой особенностью изложения является иллюстрация каждого вида симметрии по возможности наиболее простой геометрической фигурой, как правило, многоугольником или многогранником. В связи с этим описывается значительное количество наиболее интересных по их симметрии полуправильных многогранников как равноугольных, так и равногранных, полный вывод которых впервые был произведен Е. С. Федоровым. Кроме того, повидимому, впервые здесь вводится в планиметрии понятие о полуправильных многоугольниках, а в стереометрии о полуправильных пирамидах и призмах. Нам представляется, что эти иллюстрации будут не безинтересны для учителя.

В связи с новым методом вывода точечных групп лишь немногие теоремы повторяют известные формулировки и выводы, причем в таких случаях по возможности указывается автор, впервые установивший теорему. Ряд известных теорем снабжен новыми доказательствами, а значительное число предложений, повидимому, вообще впервые сформулировано и доказано автором.

VI. Выводы

1. В настоящее время под названием симметрия в школьных учебниках геометрии об'единяется ряд различных понятий: зеркальное расположение и зеркальное равенство фигур, свойство некоторых фигур допускать нетождественные ортогональные преобразования в себя и, наконец, некоторые из геометрических преобразований. Главное внимание при этом уделяется вопросу о расположении. В других понятиях по преимуществу подчеркиваются черты их сходства с зеркальным расположением, а выяснению характерных черт и особенностей внимания уделяется недостаточно, вследствие чего, как показывает опыт, ни одно из этих понятий не усваивается учащимися с достаточной четкостью.

Для того, чтобы указанные понятия не смешивались, целесообразно изменить принятую в учебниках терминологию.

2. Вопросам, связанным с каждым из этих понятий, при условии доступности их учащимся, следует уделять ту степень внимания, которая соответствует их теоретической и практической ценности. Поэтому недопустимо вопрос о преобразованиях (отражение, поворот) заменять вопросом о зеркальном расположении. Вопрос о зеркальном равенстве нужно излагать с большей обстоятельностью, четко разграничивая понятия зеркального равенства и зеркального расположения.

3. Рассмотрение симметрии позволяет глубже и точнее познать изучаемые геометрические фигуры. В частности, именно от симметрии фигуры зависит то обстоятельство, имеет ли она зеркально равную себе фигуру, не являющуюся в то же время совместимо равной.

Изучение симметрии позволяет наиболее простым и естественным путем ввести в школьное преподавание понятие о геометрических преобразованиях и о группах преобразований. Таким образом, изучение симметрии позволяет разрешить ряд вопросов, связанных с введением в школьный курс геометрии некоторых из важнейших современных научных понятий.

4. Мнение о недоступности для учащихся изучения симметрии многогранников основано главным образом на не-

удовлетворительном изложении этого вопроса в школьных учебниках и на неразработанности методики его преподавания. Использование понятия о геометрических преобразованиях, систематичность в изложении, выражающаяся в переходе от простых видов симметрии ко все более сложным, усиление наглядности путем моделирования и вычерчивания определенных ортогональных проекций — основные усовершенствования в методике, которые позволяют излагать симметрию в доступной для учащихся форме.

ГЕ-06024

Череповецкая городская типогр. Тир. 200 ЭКЗ* Ззк.ль 2Ш