АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

Н. Г. ФЕДИН

КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД И ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель доктор физико-математических наук проф. Н. Ф. ЧЕТВЕРУХИН

Москва 1952

Среди методических проблем, стоящих перед школой и ожидающих своего скорейшего разрешения, важное место занимает проблема обучения учащихся математике как одному из основных предметов, имеющему первостепенное значение в познании реального мира и в развитии логического мышления.

Научные открытия и технические изобретения должны в какой-то форме и степени проникать в программу средней школы, а следовательно, должны так или иначе сказываться на методике преподавания предмета.

Советская методическая наука в последнее время обогатилась рядом новых исследований и достижений, способствующих поднятию качества знаний учащихся по математике и уровню преподавания математики в школе. Об этом свидетельствует список диссертаций1, посвященных отдельным вопросам методики преподавания элементарной математики, большой тираж книг и журналов, изданных для учителей. Передовой опыт учителей в области преподавания математики изучается и распространяется целым рядом методических кабинетов, инстистутами усовершенствования учителей, Институтом методов обучения АПН РСФСР. Распространение передового опыта отдельных учителей в массы советского учительства приводит к положительным результамам в деле повышения успеваемости и качества знаний учащихся по математике.

Однако па пути преподавания математики и обучения этому предмету учащихся стоят еще некоторые трудности, приводящие к тому, что в школе еще велик процент неуспеваемости по математике, в знаниях учащихся имеется ряд серьезных недостатков.

Вопрос о введении элементов аналитической геометрии в курс математики средней школы также относится

1 А. В. Ланков, Научные работы по методике математики, журн. „Математика в школе“, 1950, № 5.

к числу методически трудных и до сих пор окончательно не разрешенных вопросов, хотя этим вопросом занимались в течение длительного времени многие ученые и педагоги у нас и за рубежом. Следует отметить, что усилия передо'вых методистов, занимавшихся упомянутым вопросом, были направлены не столько на методику изложения элементов аналитической геометрии в средней школе, сколько на объем этого предмета. Поэтому попытки разрешить поставленную проблему до сих пор не имели успеха: элементы аналитической геометрии преподавались в отрыве от основного курса элементарной геометрии, аналитическая геометрия в средней школе представляла из себя сокращенную копию вузовского курса, изолированного от всех разделов школьного курса математики.

Материалистическая диалектика учит нас, что всякий вопрос, всякое явление надо рассматривать в конкретных условиях места и времени. Отсюда следует, что и методический вопрос о введении элементов аналитической геометрии в курс средней школы в разное время и при различных условиях развития школьного обучения должен решаться по-разному, с различных точек зрения.

Вопросу преподавания элементов аналитической геометрии в средней школе посвящена диссертация И. Я. Баркова, защищенная им в Институте методов обучения АПН РСФСР в 1949 г.1.

В упомянутой диссертации поставленный вопрос решается довольно упрощенно: отбирается основной материал по аналитической геометрии, доступность которого проверяется факультативно в IX классе, а затем делается окончательный вывод о возможности преподавания элементов аналитической геометрии в соответствующей форме и объеме в IX классе средней школы.

Тема настоящей работы возникла в секторе методики математики Института методов обучения и была предложена последним автору для методической разработки. Представленная работа вопрос о возможности введения элементов аналитической геометрии в среднюю школу решает в другом плане, радикально отступая (и по форме, и по содержанию) от решения этого вопроса, которое мы находим в работе И. Я. Баркова. Возможность усвоения

1 И. Я. Барков, Элементы аналитической геометрии в средней школе, М., 1949 (рукопись диссертации).

элементов аналитической геометрии в средней школе доказана не только в советский период, это было установлено еще в дореволюционных отечественных и зарубежных школах многими методистами и учителями-практиками.

Автора настоящей работы интересовала не эта сторона вопроса. Цель данного исследования — выяснить, как и в каком объеме, в какой форме и в каком классе следует излагать учебный материал по математике с тем, чтобы развить у учащихся идею координатного метода.

Не претендуя на полноту изложения, автор настоящего исследование стремился показать те методические возможности, которые дают необходимый материал для применения метода координат, используя этот метод в органической связи с прохождением программного материала на протяжении изучения всего курса элементарной математики в школе. В предлагаемой работе уделяется внимание не столько элементам аналитической геометрии, сколько методу, лежащему в основе этой науки — методу координат. Диссертационная работа состоит из следующих четырех глав.

Глава 1. Роль и значение координатного метода в науке, технике и практической жизни.

Глава 2. Краткая историческая справка о развитии аналитической геометрии и ее преподавании в отечественных и некоторых зарубежных средних школах.

Глава 3. Современное состояние рассматриваемого вопроса в советской общеобразовательной средней школе.

Глава 4. Экспериментальное исследование и методика преподавания основных элементов аналитической геометрии в школе.

В заключительной части последней главы приведены выводы и предложения. В конце работы приложен список использованной литературы.

При работе над темой автором частично использован опыт передовых учителей Российской Федерации, личный 6-летний опыт преподавания математики в средней школе, изучена и проанализирована постановка преподавания аналитической геометрии в дореволюционных средних школах России (реальные училища и кадетские кор-

пуса), в советских средних общеобразовательных и специальных учебных заведениях (техникумы, суворовские училища и др.) и в некоторых средних школах за рубежом. В основу же диссертационной работы положено проведенное автором экспериментальное исследование вопроса, что составляет центральное место всей работы.

Теоретические выводы и предложения сделаны на основании анализа результатов эксперимента, проводившегося в течение двух лет (1950/51 и 1951/52 уч. гг.) в мужской средней школе № 362 Сокольнического района Москвы. В проведении экспериментальной работы участвовали, кроме автора настоящей работы, учителя школы А. Н. Калугин и Г. Д. Кикина.

Предварительные итоги и обобщения по методическому исследованию рассматриваемого вопроса сообщались автором дважды в докладах на собрании учителей Ленинского района Московской области. Методические мысли, затронутые в докладе и направленные на воспитание у учащихся идеи координатного метода, вызвали у присутствующих оживленный обмен мнениями. Докладчику было задано много вопросов. Учителя отмечали своевременность и полезность для школы методических приемов и предложений, выдвигаемых автором настоящей работы.

Краткое содержание диссертационной работы, выводы и предложения по ней были также обсуждены на заседании сектора методики математики Института методов обучения АПН РСФСР, где получили одобрительный отзыв со стороны научных сотрудников сектора.

Координатный метод, лежащий в основе аналитической геометрии, имеет весьма важное значение во всех областях народного хозяйства, в науке и технике. Специалисты самых разнообразных профилей (техники, инженеры, статистики, врачи, учителя и др.) в своей практической деятельности в той или иной мере применяют идеи координатного метода: графики, таблицы, диаграммы, карты и планы; используют различные кривые, изучаемые в координатной геометрии: эллипс, параболу, гиперболу и др.

Глава I.

Роль и значение координатного метода в науке, технике и практической жизни

Координатный метод является мощным орудием исследования геометрических фактов (по свойству кривой находим ее уравнение и, наоборот, зная уравнение кривой, находим ее геометрические свойства) и изучения законов движения материальных тел, методом познания пространственных форм и количественных соотношений реального мира.

Этот метод используется и в средней школе в ряде учебных предметов: в математике, физике, химии, географии, астрономии и других; элементы аналитической геометрии в неявной форме, но в заметном объеме, проникли в алгебру, тригонометрию и входят в программу.

Идеи координатного метода и аналитической геометрии возникают и развиваются в различной форме и степени на протяжении всего курса элементарной математики в нашей общеобразовательной школе.

Метод координат глубоко связывает алгебру с геометрией, точку с числом (или парой, или тройкой чисел), алгебраическое или трансцендентное уравнение с его геометрическим эквивалентом (образом) —линией. Поэтому применение и культивирование этого метода в средней школе дает возможность учащемуся отчетливо осознать связь алгебраических уравнений с их геометрическими образами, расширяет кругозор учащегося, повышает его математическую культуру, развивает функциональное мышление.

Это особенно важно при продолжении учащимися своего образования в тех вузах, где изучается высшая математика и, в частности, аналитическая геометрия, которая решение геометрических задач сводит к решению .и исследованию уравнений вида F (х: у) =0, геометрические построения сводит к вычислениям, к «арифметизации» геометрии, что как бы «разгружает» геометрическое воображение.

Использование координатного метода в школьном курсе математики явится не только средством для поднятия идейно-теоретического уровня преподавания этого предмета, но может оказать и действенное влияние на

устранение существующего разрыва между школьным курсом математики и современным уровнем развития математической науки.

Весь курс элементарной математики в средней школе, особенно в старших классах, представляет собой благоприятную почву для развития и применения идеи координат, широкие методические возможности для учителя в направлении осуществления этой идеи в школьной практике.

Однако в нашей средней школе программный материал, базирующийся на идее применения координатного метода, или материал, для изучения которого использование координатного метода диктуется необходимостью, недостаточно сознательно и полно усваивается учащимися, что приводит к формальному усвоению довольно существенных разделов курса, таких как функции и графики, равносильность уравнений и систем уравнений, некоторые геометрические места точек и др.

Одной из причин этого серьезного недостатка в математической подготовке учащихся является отсутствие общих методических разработок по этому вопросу, а также отсутствие соответствующей литературы по изучению и обобщению опыта, проведенного в указанном направлении хоть сколько-нибудь длительно.

На необходимость изучения элементов аналитической геометрии и широкое использование координатного метода в средней школе не раз указывалось нашими лучшими дореволюционными педагогами на I и II Всероссийских съездах математиков (1911 —1912 и 1913—1914) и такими выдающимися советскими учеными-педагогами, как Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин и др.

Идея переменности, связь алгебры с геометрией, т. е. фузионизм двух ветвей математической науки, изучение непрерывных (сплошных) фигур — вот то, что характерно для аналитической геометрии, первые основания которой были созданы почти одновременно и независимо друг от друга знаменитыми французскими математиками Декартом (1596—1650) и Ферма (1601—1665).

«Поворотным пунктом в математике,— писал Энгельс в «Диалектике природы»,— была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым диференциальное и интегральное исчисле-

ние, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем».

Жизненные процессы окружающего нас реального мира находятся в непрерывкой и постоянной зависимости друг от друга; если при этом изменение одного явления влечет за собой определенное изменение другого, то на языке математики говорят, что эти явления находятся между собой в функциональной зависимости.

Функциональная зависимость между двумя переменными величинами) может быть задана таблицей, графиком, формулой или каким-нибудь словесным соглашением.

Диаграммы, таблицы, графики и графические изображения (иллюстрации) являются зачаточным и отправным материалом для дальнейшего развития координатного метода. Графические изображения широко применяются в различных областях знаний для иллюстрации течения и хода изменения различного рода процессов и закономерностей. При этом чаще всего пользуются прямоугольной декартовой системой координат как самой простейшей и наиболее наглядной.

График и лежащий в основе его построения метод координат способен дать не только простую иллюстрацию, наглядную картину изменения процесса, но и в некоторой степени предвидеть направление течения процесса. Изучение графика, умение его «читать» позволяет выявить не только количественную, но и качественную сторону явления, помогает открывать новые связи и качественные особенности, новые законы в природе. При умелом использовании график становится действенным орудием научного исследования, важным методом анализа изучаемого факта.

Классики марксизма-ленинизма высоко ценили значение графических изображений и не раз к ним прибегали в своих исследованиях. Так, в своих творческих работах при изучении социально-экономических явлений Маркс и Ленин иногда пользовались графическим методом. Маркс для анализа и вывода главных законов кризисов в капиталистическом обществе использовал таблицы цен, учетных процентов и пр. и составлял по этим таблицам кривые линии (графики)1. Ленин представлял картину «раз-

1 К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. XXIV, стр. 414.

делений» съезда партии в виде диаграммы2. Прекрасный образец применения специальной диаграммы для анализа разложения крестьянства дает В. И. Ленин в своей работе «Развитие капитализма в России» (Соч., т. III, изд. 4-е, стр. 112—113).

К графическим представлениям, отнесенным к прямоугольной системе координат, часто прибегают в физике при изучении различных явлений: при изучении движения тел, при изучении состояния идеального газа (закон Бойля — Мариотта), при рассмотрении намагничивания мягкого железа (петля гистерезиса), при построении графика работы, производимой некоторой силой, и во многих других случаях.

В химии при изучении процесса растворимости различных веществ также прибегают к графическим изображениям, используя при этом координатную сетку. Координатные графики довольно наглядно показывают нам картину зависимости растворимости соли от изменения температуры.

Идея координат и координатные графики находят широкое применение в самопишущих приборах, автоматически регистрирующих (записывающих) зависимость многих явлений. К таким приборам относятся барографы, индикаторы, бароспидографы, тахографы (показывающие число оборотов мотора самолета), термографы, электрокардиографы и др.

В диссертации рассматривается вопрос о роли координат в географии, топографии, астрономии, в железнодорожной службе (графики движения поездов), в прикладной отрасли математики — номографии , изучающей теорию построения особых чертежей (номограмм), служащих для решения различных уравнений определенного типа. Номограмма, построенная для решения какой-либо частной проблемы, служит как бы специальным чертежным инструментом для выполнения расчета по данной формуле или данному уравнению. С помощью номограммы вычисления производятся чисто механически, при этом сокращается время работы и отпадают сложные и утомительные вычисления. Номограмма близко примыкает к графическому способу решения уравнений: это тот же способ, но более механизированный, вплотную подходя-

2 В. И. Ленин, Шаг вперед, два шага назад, Соч., т. VII, изд. 4-е, стр. 311.

щий к «машинной» математике. Элементы номографического решения задач полезно рассматривать и в средней школе. Построение номограммы для определения положительных корней приведенного квадратного уравнения, знакомство с номограммой для определения гипотенузы прямоугольного треугольника, с номограммой для определения фокусного расстояния линзы могут являться прекрасным материалом для занятий школьного математического кружка.

Координатный метод занимает довольно видное место и в самой математике. Графический способ решения уравнений или систем уравнений, хотя часто и сводится к приближенному нахождению корней, порой этот способ является единственно возможным. В этом состоит его основное достоинство в отличие от других способов решения уравнений.

Примеры применения координатного метода в курсе математики более подробно освещены в 4-й главе диссертации.

Что касается других областей знаний, то примеры из них взяты те, которые наиболее знакомы и интересны школьникам и с пользой для дела могут быть рассмотрены учителем на уроке или в кружке.

Глава 2.

Краткая историческая справка о развитии аналитической геометрии и ее преподавании в отечественных и некоторых зарубежных средних школах

История всякой, даже узкой, области знания всегда представляет большой интерес и бывает во многом поучительна. Исторический элемент, если его в меру и правильно использовать на уроке, вносит новую, живую струю в преподавание математики, повышает интерес школьников к учебному предмету.

«Как и все другие науки,— писал Энгельс,— математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики»1.

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, изд. 1948, стр. 37.

Идея координатного метода не является достижением, нового времени, а своими истоками уходит в глубь античной истории; в зародышевой форме намеки на идею координат мы можем обнаружить у древних математиков. Задачи, сводящиеся к уравнениям 1 и 2-й степени, в классических работах Эвклида, Архимеда и Аполлония решались чисто геометрическим путем, все арифметические действия и алгебраические законы излагались и доказывались с помощью геометрических построений. Эти приемы древних математиков в XIX в. стали называть «геометрической алгеброй», т. е. приложением геометрии к алгебре.

Появление «геометрической алгебры» объяснялось тем, что математики столкнулись с иррациональными числами, с которыми они не могли оперировать. Открытие иррациональных чисел, впервые встретившихся у пифагорейцев (VI в. до н. э.), произвело сильное! впечатление на умы древних. Аристотель говорил, что наука стала развиваться от удивления: с момента открытия иррациональностей.

Не умея объяснить иррациональности и выполнять с ними действия, греческие математики стали считать, что геометрическим величинам свойственны большая широта и общность, чем арифметическим. Отсюда и возникла «геометрическая алгебра», оперировавшая не числами, а геометрическими образами: отрезками, площадями и телами.

«Геометрическая алгебра», оперируя с отрезками как геометрическими знаками величин, не смогла служить базой для алгебраического счисления. Все теоремы и их доказательства проводились словесно ввиду отсутствия алгебраической символики (риторическая алгебра). Прием «приложения площадей» у Аполлония носил чисто геометрический, синтетический характер и не мог заменить формул и уравнений алгебраического метода исследования. Отсюда, отсутствие единого метода исследования приводило древних больше к выявлению частностей, особенностей отдельных кривых, а не к познанию их общих свойств. Хотя в работах Аполлония Пергского по исследованию конических сечений достигнуты выдающиеся результаты (в современной аналитической геометрии почти нет ни одного факта, ни одного свойства, которые бы не встречались у Аполлония), но теория его страдала

разобщенностью своих методов, что ограничивало область применимости этой теории.

Можно сказать, что древние лишь частным образом связали число с точкой, непрерывные геометрические образы с величиной. Идея переменности величины, буквенная символика, что характерно для новой математики XVI—XVII вв., совсем отсутствовали у древних. Поскольку древним было чуждо общее понятие вещественного числа (проблема континуума была решена значительно позже) и неизвестен алгоритм решения уравнений, то они с помощью «геометрической алгебры» не могли даже построить теорию прямой линии.

Существенной чертой аналитической геометрии являются две особенности: 1) метод координат и 2) применение алгебры к геометрии, связь и взаимное проникновение одной науки в другую.

В эпоху возрождения, в связи с общим подъемом науки и техники, с развитием мореходства и торговли, механики и оптики практика требовала развития и соверщенствования вычислительного аппарата, создания буквенной символики), расширения понятия числа.

В XVI в. начинает появляться буквенная символика, близкая к современной и связанная с именем французского ученого Виета (1540—1603). Ему принадлежит первое приложение алгебры к геометрии. Хотя в алгебраической теории Виета были существенные недостатки, но выработанная им символика послужила той непосредственной базой, на которой впоследствии было воздвигнуто величественное здание аналитической геометрии.

Открытие аналитической геометрии не может быть связано с именем только одного ученого, так как науку творят не одни гении, а в ее создании и дальнейшем развитии участвуют ученые многих поколений; да и содержание науки, методы исследования, проблемы и направляющие идеи в ней постоянно меняются и совершенствуются. Значение того или иного ученого оценивается тем, насколько он достиг значительных успехов в разработке важных проблем в науке, добился в ней фундаментальных результатов.

Развитие алгебраического аппарата, установление связи алгебры с геометрией (хотя и далеко не полное), работы древних в исследовании конических сечений, жизненные запросы практики (вычисление истинных орбит

планет, обращающихся вокруг Солнца, параболические траектории полета ядер из пушек и др.) привели Декарта и Ферма к открытию аналитической геометрии.

Хотя оба математика были хорошо знакомы с работами Аполлония и находились под его влиянием, тем не менее, они дали науке новый метод — метод координат, лежащий в основе созданной ими аналитической геометрии. Отметим, что понятие о координатах было у этих математиков в начальной стадии, а не в нашем смысле.

При жизни своей Ферма ничего не напечатал, отдельные мысли его исследований были найдены среди рукописей, извлечены из замечаний на полях различных книг и переписки с друзьями; его сочинение «Введение в учение о геометрических местах», известное в рукописи среди его друзей еще в 1637 г., появилось в свет лишь в 1679 г., когда автора не было уже в живых.

Сочинение Ферма «Введение» не получило широкого распространения, поскольку оно было напечатано в 1679 г., уже после выхода в свет «Геометрии» Декарта.

«Геометрия» Декарта, появившаяся в свет в 1637 г., несмотря на трудность ее стиля, беглость замечаний ее автора, новизну алгебраической символики (введены были обозначения х и у), как печатное произведение попала в руки многочисленных читателей, переводилась на другие языки, захватывала умы ученых.

Знаменитый геометр и мыслитель Декарт, более чем его современник Ферма, понимал ограниченность и специфичность характера синтетической геометрии древних и поэтому искал общий метод в изучении мироздания. В математике он решил соединить анализ древних и алгебру, усмотрев их тождество (заметим, что под словом «анализ» в математике часто понимается нечто иное, чем в логике). Таким образом, Декарт первый высказал мысль об установлении взаимно однозначного соответствия между точками сплошных геометрических образов и областью действительных чисел, считавшейся до этого дискретным множеством.

Создание более удачной буквенной символики, установление тесной связи алгебры с геометрией, пространства с числом (хотя и не всегда строго обоснованно), введение в математику переменной величины (которая, по словам Энгельса, явилась «поворотным пунктом в математике», в результате чего стало возможным бурное раз-

витие всей высшей математики и смежных с ней разделов естествознания) дают право считать Декарта основ ным творцом аналитической геометрии.

Дальнейшее развитие и совершенствование аналитической геометрии, перенесение ее метода на пространство было продолжено рядом ученых.

Вопрос введения элементов высшей математики в курс средней школы — вопрос большой давности. Как анализ бесконечно-малых величин, так и аналитическая геометрия получили отражение в программах средней школы во многих странах Западной Европы еще в начале XIX в.1.

Так, в Германии в 1816 г. в старших классах средней школы преподавались элементы аналитической геометрии, но в 1834 г. в новой программе уже никаких элементов «высшей математики» нет. В Англии, в силу чрезвычайной пестроты школьной системы, программы по математике большинства школ носили индивидуальный характер, и обязательным предметом изучения математика стала лишь со второй половины XIX в. В это время в незначительном числе школ изучалась аналитическая геометрия на плоскости, но уровень знаний учеников английских школ был невысок. Современная американская школа, хотя и включает элементы аналитической геометрии в программу и учебники, но так как методика преподавания математики строится на базе «тестов» и «метода проектов» и рассматривается с позиций американского «бизнеса» и «американского образа жизни», то учащиеся не получают глубоких знаний по этому предмету.

В России с самого начала организации гимназий (1804) в некоторых из них изучалась аналитическая геометрия; в учебном материале несколько раз происходили изменения, но элементы аналитической геометрии оставались вплоть до 1846 г., когда из программы гимназии были исключены начертательная и аналитическая геометрия. В программу средней школы России элементы аналитической геометрии входили иногда под названием «Приложение алгебры к геометрии» (часть вторая, содержащая в себе конические сечения).

В начале XX столетия во всех странах Европы в том или ином объеме были введены в школу начала аналити-

1 Л. С. Барановская, Элементы анализа и аналитической геометрии в программах средней школы, М., 1940 (диссертация).

ческой геометрии, которая проникла в программу школы раньше, чем анализ бесконечно малых. Русские педагоги задолго до реформистов Западной Европы указывали на необходимость введения преподавания аналитической геометрии в курс общеобразовательной средней школы (Н. В. Бугаев, В. Шереметевский и др.).

В России аналитическая геометрия преподавалась в кадетских корпусах, в некоторых специальных средних учебных заведениях, а с 1907/08 уч. г. она была введена вместе с анализом в дополнительный класс (VII) реальных училищ.

Приветствуя включение начала аналитической геометрии в среднюю школу, передовые русские педагоги (К. М. Щербина —1864—1946 гг. С. И. Шохор-Троцкий — 1853—1923 гг. и др.) отмечали и серьезные недостатки в ее преподавании: 1) отсутствовали руководящие методологические и методические указания о преподавании этого предмета; 2) не было даже примерной программы курса, а указан лишь отрывочный план; 3) не было единого учебника (в Кавказском учебном округе обучение реалистов велось по различным учебным пособиям, число которых достигало 24); 4) весь курс «высшей математики» в дополнительном классе реальных училищ не был органически связан с курсом математики первых шести классов; 5) курс координатной геометрии по объему не был приспособлен к возрастным особенностям учащихся.

Глава 3.

Современное состояние рассматриваемого вопроса в советской общеобразовательной средней школе

Идея координатного метода в своей зачаточной форме встречается в курсе арифметики: при графической записи условия некоторых арифметических задач, при построении прямоугольных и секторных диаграмм, при изучении процентов. Ряд передовых учителей: Я. А. Шор (Москва)1, К. В. Чечулин (Домодедово, Моск. обл.)2 и другие в своей практической работе часто прибегают при ре-

1 Я. А. Шор, О решении арифметических задач, Изд-во АПН РСФСР, М., 1951.

2 К. В. Чечулин, Из опыта применения графических иллюстраций при решении арифметических задач, сб. „Из опыта работы передовых учителей математики“, изд-во АПН РСФСР, М., 1950.

шении арифметических задач к графическим иллюстрациям и достигают при этом положительных результатов.

На важность и необходимость построения графиков в декартовой системе координат имеются прямые указания в программе по математике (изд. 1951 г., стр. 11): «При построении графиков во всех классах нельзя ограничиваться схематическими чертежами. Необходимо добиваться построения графиков с достаточной степенью точности по точкам на клетчатой бумаге». Относительно значения графиков функций в тригонометрии в объяснительной записке к программе (стр. 15) говорится: «Опасность формализма при изучении тригонометрии заключается в том, что усвоение предмета опирается главным образом на запоминание. Преподавателю надо добиться у учащихся отчетливых геометрических представлений, связанных с единичным (тригонометрическим) кругом и графиками функций. Это требование может показаться на первый взгляд усложнением задачи преподавания, однако затрачиваемое здесь время с избытком окупается позже, например, при изучении обратных тригонометрических функций».

Таким образом, важность графического изображения функций, что, как известно, опирается на использование метода координат и в значительной степени способствует пониманию учащимися динамики соотношений, данных в рассматриваемой задаче, подчеркивается действующей программой по математике для средней школы.

Непосредственное соприкосновение с идеей координат в своей первоначальной форме учащиеся впервые имеют в VI классе в курсе алгебры при изучении положительных и отрицательных чисел. Хотя в VI классе появляется числовая прямая, но она совершенно не используется в работе вплоть до VII класса, когда вводится понятие прямоугольной системы координат, изучается график прямой пропорциональности, дается геометрическая интерпретация решения системы двух линейных уравнений. График же обратной пропорциональности относится к курсу алгебры VIII класса. При изучении графиков функций лишь немногие учителя в школах знакомят учащихся с графиками прямых и обратных функций (хотя на желательность такою ознакомления учащихся указано в объяснительной записке к программе по математике, стр. 15), с графическим решением систем уравнений 2-й

степени и простейших трансцендентных уравнений, с графическим представлением четной и нечетной функций, непрерывной функции. В геометрии идеи координатного метода совсем отсутствуют.

Недостаточное внимание учителей координатному методу в преподавании приводит учащихся к формальным и поверхностным знаниям отдельных принципиально важных тем и разделов математики.

Так, в материалах первой научно-практической конференции преподавателей математики Ставропольского края мы читаем: «Недостаточно полно усвоены учащимися графики показательной и логарифмической функций. Многие из учащихся не могут по графику объяснить их свойства, а, главное, четко не представляют характера изменения этих функций». В брошюре «О подготовке поступающих в высшие учебные заведения», изданной Министерством высшего образования (М., 1951), указывается на «нечеткие сведения выпускников об основных свойствах тригонометрических функций: их периодичности, границах изменения, четности и нечетности и т. д.».

Как показало изучение состояния преподавания и уровня знаний учащихся по математике в школах Некрасовского района Ярославской области, Шиловском районе Рязанской области и во многих школах Москвы, учащиеся IX и X классов испытывали затруднения в ответах на вопросы примерно такого характера: сколько корней имеет уравнение lg* = s'mx? какой период имеют функции у = |sin л| ? у — sin2*? какой график имеет показательная функция ах при а= 1? что является геометрическим местом точек на координатной плоскости, расстояния которых от начала координат меньше 7, но больше 5? решить неравенство \х —2\<СЪ.

Умаление роли координатного метода и элементов координатной геометрии в преподавании математики приводит к снижению знаний учащихся по этому предмету.

Глава 4.

Экспериментальное исследование и методика преподавания основных элементов аналитической геометрии в школе

В этой главе раскрывается методика преподавания тех разделов элементарной математики, сознательное усвоение которых опирается на применение координатного

метода. В работе проводится идея последовательного и постепенного применения координатного метода и элементов координатной геометрии на протяжении всего курса математики в средней школе. Цель исследования — дать такую методику изложения некоторых тем и разделов курса математики, которая, опираясь на применение идеи координатного метода, привела бы к повышению качества знаний учащихся по математике.

Выводы и предложения по диссертации сделаны на основании проведенного экспериментального исследования, результаты которого подтвердили в основном наши предположения: уровень знаний учащихся по отдельным темам и разделам математики должен повыситься, если при изучении этих тем и разделов использовать метод координат.

Эксперимент ставил цель: проверить разработанную автором систему методических приемов, предложений и упражнений, направленных на улучшение уровня преподавания и повышение качества знаний учащихся по отдельным темам.

Так как программный материал по математике, требующий для своего сознательного усвоения применения координатного метода, больше относится к старшим классам, то и в диссертации предлагается методика изложения отдельных тем, изучаемых преимущественно в этих классах.

Экспериментальная работа состояла из ряда вопросов, задач и упражнений, развивающих и воспитывающих идею координатного метода при изучении отдельных тем в алгебре, тригонометрии и геометрии. В качестве создания базы для воспитания у учащихся идеи координатного метода экспериментальное исследование включало ряд упражнений и заданий подготовительного характера для учащихся V—VI классов по курсу арифметики. В ходе проведения эксперимента методические мысли и предложения автора частично уточнялась и изменялись.

Методика преподавания основных элементов координатной геометрии по замыслу автора диссертации расчленена по отдельным классам, что дает возможность учителю убедиться в значении координатного метода как связывающего звена между различными предметами математики: алгеброй, тригонометрией и геометрией, создает прочную графическую основу у учащихся для целост-

ного, а не разрозненного, усвоения всего курса математики. Эта мысль воплощена в методической разработке отдельных тем, в подборе и систематизации учебного материала, прочное усвоение которого обеспечивается применением координатного метода.

Построение секторных (круговых) диаграмм и арифметические задачи с циферблатом часов автор рассматривает как материал, который в дальнейшем находит свое выражение в понятии полярной системы координат; с последней учащиеся знакомятся в X классе при геометрической интерпретации комплексных чисел.

При изучении положительных и отрицательных чисел в курсе алгебры VI класса автор рекомендует широко использовать числовую (координатную) ось, которая также должна быть использована и при решении простейших линейных уравнений в VI классе. Автору работы представляется необходимым знакомить учащихся уже в VI классе с координатной сеткой, в противном случае, нельзя будет изучить программный материал по выполнению графиков простейших зависимостей.

В VII классе следует рекомендовать учителю в курсе алгебры сначала знакомить учащихся с геометрической интерпретацией решения системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными, а затем переходить к алгебраическим приемам решения, когда у учащихся имеются уже наглядные геометрические представления о решении системы уравнений.

В VIII классе программный материал по математике требует со стороны учащихся для своего усвоения наибольшего умственного напряжения. Поэтому ряд трудных идей и принципиально важных вопросов нуждается для облегчения своего усвоения в геометрическом их воплощении на основе использования метода координат. Так, понятие непрерывности, четности и нечетности функции, возрастание и убывание функции, решение систем уравнений 2-й степени с 2-мя неизвестными, равносильность уравнений подкреплялись графиками. Понятие непрерывности функции давалось через посредство наглядного понятия непрерывности ее графика, четность функции подкреплялась графиком, симметрично расположенным относительно оси ординат.

Доказательство прямолинейности графика линейной функции в диссертации рекомендуется провести в виде

теорем, опирающихся на теорию подобия треугольников. После того как в геометрии (в теории подобия) мы познакомили учащихся с теоремой Пифагора (алгебраическим доказательством), идея координат постепенно стала проникать в курс геометрии. Так, в курсе геометрии учащиеся знакомились с такими элементами координатной геометрии: определение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами (без циркуля и линейки), деление отрезка в данном отношении, вычисление линейных элементов треугольника, определение площади треугольника по координатам его вершин, уравнение окружности, взаимное расположение прямой и окружности. Эти вопросы находили себе применение не только в алгебре (при решении систем уравнений 2-й степени), но и в геометрии: доказательство' некоторых теоретических вопросов (теорем и задач на геометрические места) проводилось не только чисто синтетически, но и аналитически — средствами координатной геометрии.

Дальнейшее развитие и применение координатного метода переносится в курс тригонометрии и сочетается с курсом алгебры. Например, при построении графиков на комбинацию трансцендентных функций, при решении графическим путем трансцендентных уравнений, при уяснении свойств прямой и обратной функции и т. д.

В курсе алгебры X класса учащиеся знакомились с полярной системой координат, одной из простейших систем криволинейных координат. Для закрепления навыков по работе с полярной сеткой учащимся предлагались упражнения по вычерчиванию некоторых замечательных кривых: спирали Архимеда (программный материал по черчению), лемнискаты Бернулли, графиков тригонометрических функций синуса и косинуса. Эти упражнения имели большое образовательное значение, поскольку они расширяли запас представлений о некоторых замечательных кривых и вооружали учащихся более глубокими знаниями о графиках тригонометрических функций в различных системах координат.

В курсе математики IX и X классов, как подтверждает опыт, координатные графики существенно помогают при решении различных неравенств, что положительно сказывается на развитии функционального мышления учащихся и в некоторой степени заполняет существующий разрыв в прохождении этого материала в VII и X классах.

Учебный материал для внеклассной и кружковой работы, опирающийся на идею координат, но не могущий изучаться на уроке за недостатком времени, в диссертации изложен отдельно.

Учащиеся VIII—X классов показали сознательные и прочные знания по математике на весенних экзаменах в 1951 и 1952 гг. Пять учащихся IX—X классов средней школы № 362 получили похвальные грамоты на математической олимпиаде при Московском университете (в 1952 г.), один из них получил премию второй степени. До 1952 г. школа не имела ни одной похвальной грамоты за участие ее воспитанников в математической олимпиаде.

В результате проведенного эксперимента автор приходит к следующим выводам:

1. В курсе математики средней школы следует отстаивать не выделение аналитической (координатной) геометрии в самостоятельный предмет, а использование ее метода и элементов в органической связи со всем курсом элементарной математики.

2. Идею метода координат необходимо развивать и совершенствовать не только в старших классах, но и в V— VII классах средней школы, где имеется целый ряд возможностей для использования этого метода. Затраченное здесь время окупается позже при усвоении принципиально важных разделов математики.

3. Изучение координатного метода важно не только само по себе. Применение этого метода при изучении отдельных тем и теоретических вопросов помогает их сознательному усвоению, содействует развитию общего математического кругозора учащихся, облегчает установить связь между различными разделами всего курса школьной математики.

4. Координатный метод и элементы координатной геометрии необходимо проводить и в курсе геометрии, отдельные вопросы которой более резонно и методически правильно рассматривать с точки зрения координатного метода.

5. Формирование и развитие идеи координатного метода у учащихся до некоторой степени будет содействовать устранению существующего разрыва между школьным курсом математики и уровнем современной математической науки.